КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЧИЧУРІН Олександр Вячеславович

УДК 517.925

АНАЛІТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

ДРУГОГО І ТРЕТЬОГО ПОРЯДКІВ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Білоруському державному університеті

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, Заслужений діяч науки Республіки Бєларусь, професор

Лукашевич Микола Антонович

професор кафедри диференціальних рівнянь

Білоруського державного університету

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Гребеніков Євген Олександрович завідувач відділу математичних методів нелінійного аналізу Обчислювального центру РАН ім.А.А.Дородніцина, м. Москва

доктор фiзико-математичних наук, професор

Євтухов Вячеслав Михайлович

Завідувач кафедри диференціальних рівнянь Одеського національного університету імені І.І.Мечникова

доктор фiзико-математичних наук, професор

Петришин Роман Іванович

декан математичного факультету Чернівецького національного університету імені Юрія

Федьковича

Провідна організація: Інститут математики Національної академії

наук України, відділ диференціальних рівнянь та теорії коливань

Захист відбудеться “24” 01 2005 р. о 14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127 м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці імені М.Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м.Київ, вул.Володимирська, 58)

Автореферат розісланий “01” 12 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена розробці математичних методів дослідження і аналітичного розв’язання задач з теорії звичайних диференціальних рівнянь, які пов’язані зі знаходженням рівнянь другого (рівнянь Пенлеве) і третього порядків типу, а також з інтегровністю лінійних диференціальних рівнянь третього порядку, що редукуються до нелінійних рівнянь другого порядку спеціального вигляду.

Розробка методів зворотної задачі розсіяння спричинила прогрес в розвитку математичної фізики, який спостерігається в останні три десятиріччя. Застосування цього методу дозволило проінтегрувати велику кількість рівнянь в частинних похідних, що мають важливе значення для застосувань (рівняння Кортевега – де Фріза, рівняння sin – Gordon, нелінійне рівняння Шредінгера та ін.). Застосування методів групового аналізу рівнянь в частинних похідних, а також методу вдосконаленого Ж. Вейсом (J. Weiss), М. Табором (M.Tabor), Ж. Карневейлем (G.Carnevale) (ідеї якого йдуть з робіт С.В. Ковалевської і П. Пенлеве), як до робіт в частинних похідних, так і до звичайних диференціальних рівнянь, сприяло появі великої кількості нових фізично важливих моделей (що описуються цими рівняннями), які редукуються до рівнянь Р-типу. Після класичних робіт Шлезінгера, Р.Фукса, Р. Гарньє даний напрямок отримав розвиток як теорія ізомонодромної деформації в роботах японських математиків (М. Сато, М. Дзімбо, Т. Міва та ін.). Це також виявило зв’язок з рівняннями Р-типу.

Рівняння третього порядку вигляду

(поліном за з аналітичними коефіцієнтами за , раціональна функція за з аналітичними коефіцієнтами за ) досліджували Гарньє, Шазі, Бюро, Кардон-Лебрун, Екстон, М.А.Лукашевич, І.П. Мартинов, К. Косгроу та ін. Ними були знайдені в деяких випадках необхідні й достатні умови відсутності у розв’язків спеціальних видів рівнянь (1) рухомих критичних особливих точок.

Шазі, досліджуючи на предмет належності до Р-типу рівнянь, що мають шість особливих точок і записуються у вигляді

де , – функції змінної , отримав систему (S) (що наводиться нижче), якій повинні задовольняти 32 коефіцієнти рівняння (2). У випадку, коли – сталі величини і , виникає рівняння, яке вдається звести до лінійного рівняння другого порядку, що має шість особливих точок. Дослідження цього рівняння є актуальним, оскільки саме це рівняння тісно пов’язане з рівняннями класу Фукса і рівняннями математичної фізики.

Між спеціальними рівняннями третього порядку, що задовольняють необхідні умови належності до Р-типу, і рівняннями Абеля є тісний зв’язок, тому розвиток методів інтегрування рівнянь Абеля може забезпечити прогрес в дослідженні цих рівнянь на предмет їх належності до Р-типу.

Звідси можна зробити висновок, що вивчення властивостей розв’язків даних класів диференціальних рівнянь другого і третього порядків є важливим не тільки з точки зору теорії звичайних диференціальних рівнянь, але й з точки зору її застосувань до фізичних та інших задач.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалась в рамках держбюджетної теми Міністерства Освіти Республіки Бєларусь з математики в рамках науково-дослідницької роботи “Аналітичне і якісне дослідження космодинамічних моделей Лагранжа-Вінтнера, Гребенікова-Ельмабсута і нелінійних диференціальних рівнянь третього і четвертого порядка” (номер державної регістрації №2001509); наукових проектів Білоруського республіканського фонду фундаментальних досліджень: “Аналітичне дослідження звичайних нормальних диференціальних систем з мероморфними відносно шуканих функцій правими частинами, розв’язки яких мають задані граничні властивості, і нелінійних диференціальних рівнянь Пенлеве другого, третього і четвертого порядків” (проект Н95М-МП-10 від 12.12.1995 р., 1996-1997 рр.); “Аналітичне дослідження звичайних диференціальних рівнянь 1-4 порядків” (проект Ф97М-107 від 01.03.1998 р., 1998-2000 рр.); наукового національного проекту Російського фонду фундаментальних досліджень: “Методи математичного моделювання в гамільтоновій гомографічній динаміці” (проект 01-01-000144, 2002-2003 рр.).

Мета і задачі дослідження.

Предмет дослідження – нелінійні диференціальні рівняння другого і третього порядків, що мають P-властивість.

Мета дослідження – розв’язання алгебраїчно – диференціальної системи Шазі і дослідження рівнянь Р-типу, які при цьому виникають.

Задачі дослідження – розв’язання алгебраїчно – диференціальної системи Шазі з 22 рівнянь, яка є необхідною і достатньою умовою належності до Р-типу рівнянь вигляду (2) з коефіцієнтами, що залежать від шести параметрів, та використання знайдених розв’язків диференціальної системи Шазі для побудови рівнянь вигляду (2), що належать до типу, інтегрування лінійного диференціального рівняння з шістьма особливими точками, яке при цьому виникає; відшукання нових класів одно– та двохпараметричних сімей розв’язків рівнянь вигляду (2), що належать до типу з коефіцієнтами, залежними від шести параметрів; знаходження нових класів лінійних рівнянь третього порядку, пов’язаних з нелінійними рівняннями другого порядку типу, що інтегруються в квадратурах, а також дослідження лінійного рівняння третього порядку класу Фукса з трьома особливими точками; редукція третього і шостого рівнянь Пенлеве до спеціальних рівнянь другого порядку, відшукання нових еквівалентних систем, а також побудова нових класів однопараметричних сімей розв’язків для п’ятого і шостого рівнянь Пенлеве; знаходження нових класів рівнянь Абеля, які інтегруються в квадратурах і дослідження на основі цих результатів спеціальних нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

Методи дослідження. Поряд з класичними методами загальної і аналітичної теорії диференціальних рівнянь в дисертаційній роботі використовуються і розвиваються методи дослідження нелінійних диференціальних рівнянь, викладені П. Пенлеве, Ж. Шазі, Б. Кояловичем, В.В. Голубєвим, М.А. Лукашевичем та ін. В дисертації будуються алгоритми, які реалізуються в середовищі системи комп’ютерної алгебри Mathematica.

Наукова новизна і значимість отриманих результатів. В дисертації вперше встановлено такі результати:

для рівняння Абеля встановлено нові випадки інтегровності. Досліджено нелінійне диференціальне рівняння другого порядку, яке є узагальненням рівняння Абеля;

знайдено розв’язки алгебро – диференціальної системи Шазі із 22 рівнянь, яка є необхідними і достатніми умовами належності до Р-типу рівнянь вигляду (2) з коефіцієнтами, залежними від шести параметрів;

побудовано рівняння вигляду (2), що належить до Р-типу та проінтегровано спеціальний клас таких рівнянь. Для побудованих рівнянь Р-типу знайдено одно– і двохпараметричні сім’ї розв’язків;

для лінійних рівнянь третього порядку встановлено нові випадки інтегрованості в квадратурах. Метод, що при цьому використовувався, узагальнено на лінійні рівняння більш високого порядку. Досліджено на належність до Р-типу деякі нелінійні рівняння другого порядку, які при цьому виникають.

Основні положення дисертації, що виносяться на захист. Знайдено розв’язки системи (S), яка складається з 22 алгебро-диференціальних рівнянь з невідомими функціями,. При цьому розглянуто випадки як сталих коефіцієнтів, так і залежних від z. Використовуючи знайдені розв’язки, побудовано нелінійні диференціальні рівняння третього порядку P-типу.

Для рівнянь зі сталими коефіцієнтами, E, при умові D=0 побудовано їх розв’язки у вигляді узагальнених степеневих рядів. Знайдена система умов, що визначає однопараметричні сім’ї розв’язків цих рівнянь у формі загальних розв’язків рівнянь Ріккаті. Знайдено коефіцієнтні умови, при виконанні яких побудовані нелінійні диференціальні рівняння третього порядку Р-типу мають двохпараметричну сім’ю розв’язків, які визначається як розв’язки спеціального нелінійного диференціального рівняння другого порядку.

Отримано нові умови інтегровності в замкнутій формі для лінійного диференціального рівняння третього порядку і встановлено зв’язок між цими рівняннями та спеціальними нелінійними рівняннями другого порядку. Знайдено нові класи рівнянь Абеля, які інтегруються в квадратурах.

Практичне значення отриманих результатів. Основні результати дисертації мають теоретичне спрямування. Вони можуть бути використаними як при дослідженні звичайних диференціальних рівнянь типу, так і при розв’язанні задач, де виникають рівняння Абеля. Сюди слід віднести також задачі гамільтонової динаміки, пов’язані з ланцюжками Тоді, задачі теорії примежових шарів, задачі математичної та теоретичної фізики, що пов’язані з нелінійними еволюційними рівняннями і квантовою теорією поля, а також задачі нелінійної механіки та класичні задачі про тепловий вибух. Крім того, основні результати дисертації можуть бути застосовані при розв’язанні деяких конкретних задач теоретичної і математичної фізики, нелінійної механіки і космічної динаміки, які досліджуються в обчислювальному центрі РАН, Санкт-Петербугському відділенні Математичного інституту ім. В.А. Стеклова, Санкт-Петербугському державному університеті, а також при читанні спеціальних курсів лекцій в Білоруському, Брестському, Гродненському держуніверситетах. Результати дисертації використано при написані навчального посібника [57].

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, що виносяться автором на захист, отримані ним самостійно. З результатів праць, опублікованих спільно з іншими авторами, в дисертацію включені лише ті результати, які належать дисертанту. У навчальному посібнику [2] п. 3.7 і глава IV написані дисертантом самостійно, а решта глав – спільно с М.А. Лукашевичем.

Апробація результатів. Основні результати дисертації доповідались на: Міжнародній конференції “Еругинские чтения-III” (Брест, 1996); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-IV” (Вітебськ, 1997); Міжнародній конференції SAATS-97 (Брест, 1997); Міжнародній конференції пам’яті проф. С.Г. Кондратені (Брест, 1998); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-V” (Могильов, 1998); Міжнародному науковому семінарі “Асимптотичні і якісні методи теорії диференціальних рівнянь”, (Ужгород, 1998); Міжнародній науковій конференції “Mathematica system in teaching and research” (Седльце (Польща), 1999); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-VI” (Гомель, 1999); Міжнародній конференції “CAS-99” (Мінськ, 1999); Другій міжнародній конференції “Mathematica system in teaching and research” (Седльце (Польща), 2000); VIII Білоруській математичній конференції (Мінськ, 2000); Міжнародній конференції “DE&CAS’2000” (Брест, 2000); Третіх наукових читаннях з звичайних диференціальних рівняннях, присвячених 80-річчю Ю.С.Богданова” (Мінськ, 2001); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-VII” (Гродно, 2001); Міжнародній конференції “Computer Algebra and its Applications to Physics” (Дубна, 2001); Третій міжнародній конференції “Mathematica system in teaching and research” (Седльце (Польща), 2001); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-VIII” (Брест, 2002); V Міжнародному конгресі з математичного моделювання (Дубна, 2002); III Міжнародній науковій конференції “Компьютерная математика в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании” (Мінськ, 2002); Міжнародній конференції “Качественные исследования дифференциальных уравнений”, присвяченій 75-річчю академіка К.С. Сибірского (Кишинів, 2003); Міжнародній конференції “Еругинские чтения-IX” (Вітебськ, 2003); Міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (Київ, 2003); Міжнародній науковій конференції “Шостi Боголюбовськi читання” ( Чернівці, 2003) та на: семінарі Інституту математики і фізики Академії Подляска (кер. – професор Є.О. Гребеніков (Седльце (Польща), 1999, 2002, 2003); семінарі кафедри диференціальних рівнянь Білоруського державного університету (кер. – професор М.А. Лукашевич (Мінськ, 1997–2003); семінарі відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України (кер. – академік НАН України, професор А.М. Самойленко (Київ, 2003); семінарі з диференціальних рівнянь Гродненського держуніверситету (кер. – професор І.П.Мартинов (Гродно, 2003); семінарі математичного факультету Брестського державного університету (кер. – професор І.Г. Кожух (Брест, 2000-2003).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в працях [1–56] (37 без співавторів), з яких: 1 монографія, 19 статей в наукових журналах (15 без співавторів), 16 статей в збірниках праць, 1 навчальний посібник з грифом Міністерства Освіти Республіки Білорусь, 19 текстів доповідей наукових конференцій.

Структура і об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, загальної характеристики роботи, шести глав, заключної частини, списку використаних джерел і додатків. Повний об’єм дисертації становить 260 сторінок. Список використаних джерел містить 230 найменувань і викладено на 21 сторінці. Додатки міститься на 20 сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дано коротку оцінку сучасного стану досліджуваних проблем, обговорено основні ідеї і методи дослідження, обгрунтовано необхідність проведення досліджень з даного напрямку.

У главі 1 досліджується рівняння Абеля першого і другого роду та рівняння

Тут дається короткий огляд властивостей рівняння Абеля, етапів його вивчення. Знайдено редукцію рівняння

зі сталими коефіцієнтами до рівняння Абеля.

Для рівняння Абеля першого роду

(5)

з двома відомими частинними розв’язками знайдено редукцію,

за допомогою якої (5) зводиться до рівняння

де

Для рівняння (6) інтегруючий множник має вигляд

де аналітичні функції від; деякі сталі. Показується, що пошук інтегруючого множника (7) зводиться до пошуку інтегруючого множника у вигляді

При цьому використовується така теорема.

Теорема 1.2. Якщо виконуються коефіцієнтні умови

то диференціальне рівняння (6) має інтегруючий множник вигляду (8).

Теорема 1.4. Якщо коефіцієнти рівняння Абеля (5) задовольняють систему

то рівняння (5) розв’язне і має загальний інтеграл вигляду

В аналітичній теорії диференціальних рівнянь Б.М.Кояловичем було розроблено метод частинних розв’язків, що ґрунтується на використані поняття інтегруючої функції. Цей метод в дисертації застосовується для дослідження рівняння Абеля другого роду

, (9)

для якого апріорі відомо один частинний розв’язок і для якого Б.М.Кояловичем було знайдено в явному вигляді інтегруючу функцію, яка не залежала від змінної x. Нами знайдено нова інтегруюча функція для рівняння Абеля (9) вигляду

де частинний розв’язок рівняння (9), довільні сталі.

Знайдена інтегруюча функція використовується в дисертації для інтегрування спеціальних рівнянь Абеля, для яких відомо частинний розв’язок. Виконана процедура інтегрування двох рівнянь Абеля, часткові випадки яких були проінтегровані Б.М. Кояловичем.

Для рівняння Абеля першого роду (5) будується рівняння (3), яке є узагальненням рівняння Абеля. Показується, що рівняння (3) має ще одну однопараметричну сім’ю розв’язків, яка є загальним розв’язком рівняння Абеля.

Теорема 1.6. Рівняння (3) має розв’язок вигляду

тоді і тільки тоді, коли

і виконуються співвідношення ,

Для рівняння (3) будується еквівалентна система вигляду

Теорема 1.8. Система (10) еквівалентна рівнянню (3), якщо і має місце одна з систем коефіцієнтних умов:

чи

Отримані результати інтерпретуються для рівняння (4).

Глава 2 містить дослідження рівнянь Пенлеве. Тут спочатку третє () і шосте () рівняння Пенлеве, записуються у вигляді еквівалентних систем двох диференціальних рівнянь, а потім зводяться до рівняння

Для рівнянь () і () дається спосіб побудови еквівалентних систем диференціальних рівнянь. Для рівнянь () і () запропоновано метод побудови однопараметричних розв’язків у вигляді суми двох загальних розв’язків рівнянь Ріккаті і Бернуллі.

Теорема 2.1. Рівняння () при умові

має розв’язки вигляду

де загальний розв’язок рівняння

що записується через гіперболічні функції.

Теорема 2.2. Рівняння () () при умові

має розв’язок вигляду, де загальний розв’язок рівняння Ріккаті вигляду –

загальний розв’язок рівняння Бернуллі, коефіцієнт якого визначається спеціальною розв’язною системою рівнянь.

У главах 3–5 дано розв’язання наступної проблеми Шазі. Як відомо, Шазі, розв’язуючи задачу про відшукання рівнянь (1), інтеграли яких не були б відомими класичними функціями і які б не зводились до канонічних рівнянь Пенлеве, серед рівнянь вигляду (1) з поліноміальними правими частинами виділив ті, у яких загальні інтеграли є однозначними, в той час як особливі інтеграли таких рівнянь мають рухомі критичні точки. Досліджуючи рівняння вигляду (1) з раціональними правими частинами, Шазі знайшов рівняння вигляду (2) з шістьма полюсами і яке задовольняло необхідним умовам належності до рівнянь типу. В 1911 р. він довів, що функції і повинні задовольняти систему з 31 алгебраїчно–диференціальних рівнянь. Для знаходження рівнянь Р-типу вигляду (2) вимагалось розв’язати наступну систему (S)

де , функції є невідомими. Проблема полягала в тому, що потрібно було спеціальним чином визначити коефіцієнти рівняння (2).

Більше 80 років ця проблема залишалась відкритою. В 1993 р. М.А. Лукашевич розв’язав систему (11), яка складається з 9 алгебраїчних рівнянь і знайшов функції

Тому природно виникла задача про розв’язання системи, яка складається з 22 рівнянь системи (S) (системи (12)–(15)).

Глава 3 починається з огляду літератури і постановки проблеми Шазі для рівняння Шазі (2). Доводиться, що у випадку, коли функції є сталими, системи (12)–(15) є сумісними і вдається знайти їх розв’язки.

Введемо позначення–

елементарні симетричні многочлени від елементів.

Теорема 3.1. Система (12), (13) при сталих коефіцієнтах має розв’язки вигляду:

1) (при), (19)

або

2) (при ), (20)

де задана, а довільна аналітична функція за .

Теорема 3.2. Система (14) при сталих коефіцієнтах має розв’язки вигляду:

(деяка аналітична функція).

Теорема 3.3. Система (12), (15) при сталих коефіцієнтах має розв’язки вигляду:

і виконується співвідношення ( при ),

або

і виконуються співвідношення , (при ),

або

і виконуються співвідношення, (26) (при).

Наступна теорема виділяє три класи рівнянь Шазі вигляду (2) зі сталими коефіцієнтами, які належать до Р-типу.

Теорема 3.4. Рівняння

у яких коефіцієнти:

визначаються за формулами (19), за формулами (21), за формулами (23), а (довільна стала),

або

2) визначаються за формулами (20), за формулами (22), за формулами (24) і виконується співвідношення

або

3) визначаються за формулами (20), за формулами (22), за формулами (25) і виконується, (26),

належать до P-типу.

В розділі 3 глави 3 отримано також нову умову вигляду

яку в загальному випадку повинні задовольняти коефіцієнти .

Якщо функція, то рівняння (2) зі сталими коефіцієнтами, E за допомогою заміни зводиться до лінійного рівняння

Тому задача інтегрування даного рівняння зводиться до інтегрування однорідного рівняння

Дослідженню рівняння (27) присвячено главу 4. Вигляд розв’язку рівняння (27) встановлюється наступною теоремою.

Теорема 4.1. Розв’язок рівняння (27) можна подати у вигляді ряду

або ряду

довільна стала) для скінченої особливої точки

або ряду (28), ,

де

(довільні сталі)

довільні сталі)

для нескінченної особливої точки. Тут основні симетричні многочлени, які залежать від коефіцієнтів .

Подальше дослідження рівняння (27) грунтується на використанні похідної Шварца. При цьому для 39 коефіцієнтних співвідношень рівняння (27) проводиться процедура інтегрування в квадратурах. Вивчено також зв’язок рівняння (27) з рівняннями, які містять одну, дві, три і чотири особливі точки.

Теорема 4.2. Загальний розв’язок рівняння

має вигляд

де – сталі, причому дві з них є довільними, а третя стала записується через ці довільні сталі.

Теорема 4.4. Загальний розв’язок рівняння

має вигляд

де

В підрозділі 3 глави 4 для рівняння (2) зі сталими коефіцієнтами шукаються такі коефіцієнтні співвідношення, при виконанні яких це рівняння має однопараметричну сім’ю розв’язків, яка є загальним розв’язком деякого рівняння Ріккаті.

Для рівняння Ріккаті вигляду

(стала) (29)

доведено таку теорему.

Теорема 4.8. Рівняння Шазі (2) за умов випадок 1) теореми 3.4 має однопараметричну сім’ю розв’язків, яка визначається як розв’язки рівнянням Ріккаті (29), якщо справджуються співвідношення

Рівняння (2) зі довільними коефіцієнтами розглянуто у главі 5. Введемо позначення

де сталі, серед яких немає двох рівних. Вважаємо, що зберігаються позначення (17), (18).

В підрозділі 1 глави 5 доведено такі теореми.

Теорема 5.1. Система (12), (13), (30) має розв’язки вигляду:

1) (при), (31)

або

2) (при ), (32)

де задана, а довільні аналітичні функції за .

Теорема 5.2. Система (14), (30) має розв’язки вигляду:

(деяка аналітична функція, довільна стала).

Теорема 5.3. Система (12), (15), (30) має розв’язки вигляду:

(якщо і виконується одна з умов: чи

або

або

Тут

довільна стала.

Теорема 5.4. Функції, що визначаються згідно формул (30), (31), (33), (35), (36) відповідно, задовольняють систему (S), а отже рівняння (2) з цими коефіцієнтами належить до P-типу.

Теорема 5.5. Функції, які визначаються відповідно формулам (30), (32), (34), (37), (39),

,

задовольняються систему (S ), а отже рівняння (2) з цими коефіцієнтами належить до P-типу.

Теорема 5.6. Функції, що визначаються згідно формул (30), (32), (34), (38), (39), , , , задовольняють систему (S), а отже рівняння (2) з цими коефіцієнтами належить до P-типу.

В главі 5 також розв’язано задачу про відшукання коефіцієнтів рівняння (2), при яких існують двохпараметричні сім’ї розв’язків, які визначаються як розв’язки деякого нелінійного диференціального рівняння другого порядку. При розв’язанні цій задачі рівняння (2) зводиться до такого вигляду

Теорема 5.7. Рівняння Шазі (28) має двохпараметричну сім’ю розв’язків, яка визначається як розв’язки рівняння вигляду

якщо коефіцієнти рівняння (28) задовольняють умови:

Теорема 5.8. Рівняння Шазі вигляду має двохпараметричну сім’ю розв’язків, які є розв’язками рівняння вигляду

, (29)

якщо коефіцієнти задовольняють умови .

Зауважимо, що загальний розв’язок рівняння (29) має вигляд

де довільні сталі.

В підрозділі 3 глави 5 одержано розв’язки систем (13)-(15) для випадку довільних коефіцієнтних функцій.

Теорема 5.9. Розв’язок системи (12), (13) має вигляд

довільна аналітична функція.

Теорема 5.10. Розв’язок системи (14) має вигляд

довільна аналітична функція,

. (35)

Теорема 5.11. Розв’язок системи (15) має вигляд

е функції визначаються згідно формул (30), (31), а функції– згідно формул (32)-(35). При цьому довільні аналітичні функції, а функції задовольняють умову .

Глава 6 містить результати, пов’язані з дослідженням лінійних диференціальних рівнянь третього порядку, зокрема, рівнянь типу Фукса. Наступні теореми містять нові умови інтегровності рівнянь третього порядку

Теорема 6.3. Лінійне рівняння третього порядку (36), коефіцієнти якого задовольняють умови

інтегрується в квадратурах, причому його загальний розв’язок має вигляд

Зауважимо, що з чотирьох сталих, які входять в загальний розв’язок, тільки три є них є довільними.

Теорема 6.4. Якщо коефіцієнти рівняння (36) задовольняють умову

то його інтегрування зводиться до інтегрування двох лінійних рівнянь другого порядку

де фундаментальна система розв’язків рівняння (39);– довільні сталі.

В ряді випадків виявляється, що інтегрування системи (39) простіше, ніж інтегрування рівнянь (36), (38).

Теорема 6.5. Інтегрування рівняння (36) з коефіцієнтами вигляду

зводиться до інтегрування рівняння другого порядку

При цьому, якщо два лінійно незалежних розв’язки рівняння (41), то загальний розв’язок рівняння (36), (40) знаходиться за формулою

Теорема 6.7. Інтегрування рівняння типу Фукса з трьома особливими точками 0,1, вигляду

зводиться до інтегрування лінійного рівняння другого порядку

де функція записується через розв’язок XXV рівняння Пенлеве в класифікації Айнса.

В підрозділі 4 глави 6 проведено дослідження лінійного диференціального рівняння четвертого порядку з довільними аналітичними коефіцієнтами і деякого нелінійного диференціального рівняння четвертого порядку. Для частинного випадку останнього рівняння наведено редукцію цього рівняння до нелінійного рівняння другого порядку.

В додатках A–D містяться програми, реалізовані в системі кодів системи комп’ютерної алгебри Mathematica 4.0, які дозволяють знаходити розв’язки диференціальних рівнянь, розглянутих в главах 1, 2, 4.

В дисертації розглянуто 20 прикладів, які ілюструють застосування наведених теорем і методів дослідження.

В И С Н О В К И

В дисертаційній роботі проведено систематичне дослідження системи Шазі (S), побудовано нові нелінійні диференціальні рівняння третього порядку Р-типу, розглянуто класи лінійних диференціальних рівнянь, які допускають редукцію до рівнянь Р-типу. Проведено дослідження рівняння Абеля першого і другого роду та отримано нові результати для третього, п’ятого і шостого рівнянь Пенлеве.

При цьому отримано такі результати:

1. Розроблено єдиний підхід до пошуку розв’язків системи Шазі (S) і знайдено функції Шазі . Знайдено функції Шазі, які дозволяють побудувати три класи рівнянь Шазі Р-типу зі сталими коефіцієнтами і чотири класи рівнянь Шазі Р-типу, коли коефіцієнти є змінними величинами. Отримано необхідну умову для функцій. Знайдено редукцію, за допомогою якої вдається проінтегрувати рівняння Шазі зі сталими коефіцієнтами, коли. Для рівнянь Шазі побудовано класи однопараметричних сімейств розв’язків, які є загальними розв’язками рівняння Ріккаті (у випадку сталих коефіцієнтів) та двохпараметричні сім’ї розв’язків, які є загальним розв’язком деяких нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку спеціального вигляду. Ці результати представлено в працях [1, 9, 11-13, 16, 18, 19, 21, 22, 29, 34, 39, 46, 49, 53, 55, 56].

2. Отримано нові умови інтегровності рівняння Абеля. Для спеціального нелінійного диференціального рівняння другого порядку побудовано еквівалентну систему двох диференціальних рівнянь і доведено існування двох однопараметричних сімей розв’язків у вигляді загальних розв’язків рівняння Абеля. Ці результати представлено в працях [2, 6, 17, 24, 27, 28, 31, 35, 37, 43, 44, 50, 54].

3. Знайдено нові класи лінійних рівнянь третього порядку, інтегровні в квадратурах і пов’язані з нелінійними диференціальними рівняннями другого порядку. Наведено редукцію для лінійного рівняння третього порядку з трьома особливими точками до XXV рівняння Пенлеве в класифікації Айнса. Метод, що використовується для дослідження лінійних рівнянь третього порядку, узагальнено для випадку рівнянь четвертого порядку, що дозволило знайти двохпараметричні сім’ї розв’язків таких рівнянь у вигляді дробово раціональних функцій. Ці результати представлено в працях [1, 2, 7, 14, 15, 20, 23, 26, 33, 40, 42, 47].

4. Побудовано системи двох диференціальних рівнянь, еквівалентні рівнянням Пенлеве і. Для рівнянь і розроблено метод побудови нових розв’язків, при умові, що ці рівняння мають однопараметричні сім’ї розв’язків, які є загальним розв’язком рівняння Ріккаті. Наведено редукції спеціальних систем, часткові випадки яких еквівалентні рівнянням і, до нелінійного диференціального рівняння другого порядку. Ці результати представлено в працях [3, 4, 30, 36, 45, 48, 51, 52].

ПРАЦІ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Чичурин А.В. Уравнение Шази и линейные уравнения класса Фукса: монография. – М.: Изд-во Российского ун-та дружбы народов, 2003. – 163 с.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. Дифференциальные уравнения первого порядка. – Мн.: БГУ, 1999. – 210 с.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. Об одном преобразовании III и V уравнений Пенлеве // Весцi АН РБ. Сер. фіз.-мат. наук. – 1995. – № 2. – С.9–12.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. О существовании поверхностей, порождаемых нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка // Весцi АН РБ. Сер. фiз.-мат. наук. – 1997. – № 2. – С. 44–47.

Чичурин А.В. Простейшие дифференциальные уравнения четвертого порядка P-типа // Нелiнiйнi коливання. –1999. –Т.2, № 2. – С.278–284.

Лукашевич Н.А, Чичурин А.В. К теории уравнения геодезических линий // Нелiнiйнi коливання. – 1999. – Т.2, № 1. – С.30–35.

Чичурин А.В. Дифференциальные уравнения четвертого порядка P-типа // Вестник БрГУ. – 1999. – № 4. – С. 35–43.

Чичурин А.В. Об одном нелинейном уравнении IV-го порядка с постоянными коэффициентами// Вестник БрГУ. – 2000. – №4.– С.33–38.

Чичурин А.В. Об одном решении системы Шази // Вестник БрГУ. – 2000. – № 6. – С. 27–35.

Ревинский А.Ф., Чичурин А.В. Об одном методе решения солитонного уравнения для газа взаимодействующих фононов // Весцi АН РБ. Сер. фіз.–мат. – 2000. – № 1, – С. 81–84.

Чичурин А.В. О специальной линейной системе Шази // Вестник Белорусского ун-та. Сер. 1. Математика. – 2001.– № 2. – С. 57 – 61.

Чичурин А.В. Уравнения третьего порядка P-типа с шестью полюсами // Вестнiк Брэсцкага ун-та. – 2001. – № 2. – С. 55–61.

Чичурин А.В. Уравнения третьего порядка P-типа с шестью непостоянными полюсами // Вестнiк Брэсцкага ун-та. – 2001. – №4. –С.24–31.

Чичурин А.В. Об интегрируемости в квадратурах линейных дифференциальных уравнений третьего порядка. // Вестнiк Брэсцкага ун-та. – 2002. – №2. – С. 34–43.

Чичурин А.В Об одном классе линейных уравнений третьего порядка // Вестнiк Брэсцкага ун-та. – 2002. – № 4. – С. 53–56.

Чичурин А.В. К проблеме существования отображений между классами уравнений Шази и уравнениями второго порядка // Вестник Белорусского ун-та. Сер. 1. Математика. – 2003. – № 2. – С. 74 – 78.

Чичурин А.В. О существовании отображений между нелинейным уравнением второго порядка и уравнениями Абеля // Вестник Белорусского ун-та. Сер. 1. Математика. – 2003. – № 3. – С.76–80.

Чичурин А.В. Об общем решении системы Шази // Вестнiк Брэсцкага ун-та. – 2003. – № 4. – С. 17–22.

Chichurin A.V. Integration of Chazy equation with constant coefficients // Nonlinear Oscillations. – 2003. – Vol. 6, № 1. – P. 133–143.

Chichurin A.V. Integration of special linear equations of the second order // Nonlinear Oscillations. – 2003. – Vol. 6, № 2. – P. 279–287.

Chichurin A.V. About some equations of the third order with six poles // Buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova. – 2003. – № 2 (42).

– P.59–68.

Чичурин А.В. О специальных классах решений уравнения Шази // “Статистический и прикладной анализ временных рядов SAATS-97: Труды межд. конф., Брест, 11-13 ноября 1997 г. – Брест: БрГУ, 1997. – С.299–306.

Чичурин А.В. К теории линейных уравнений четвертого порядка // Математические исследования: Сб. ст. / Под ред. И.Г. Кожуха. – Брест: БрГУ, 1998. – С.13–16.

Чичурин А.В. Об одном классе интегрирующих функций уравнений Абеля // Математические исследования: Сб. ст. / Под ред. И.Г. Кожуха. – Брест: БрГУ, 1999. – Вып. 2. – С.24–27.

Chichurin A.V. Simplest P-type differential equations of the fourth order // Использование системы Mathematica в научных исследованиях и образовании: Труды международного семинара, Седльце, РП, 28-30 янв. 1999г. / Брестский госуниверситет. – Брест, 1999. – С.63–70.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. Computer algebra system Mathematica and solving of ordinary differential equations // Computer Algebra Systems (CAS-99): Procedings of the scientific conf., Minsk, BSU, 20-24.09.1999. – Мн.: БГУ, 1999. – С.96–98.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. Элементы аналитической теории уравнений III и IV порядков // Нелинейный анализ и гомографическая динамика: Сб. стат./ Под ред. Е.А. Гребеникова. – М.: ВЦ РАН, 1999. – С. 49–59.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. Solving of ordinary differential equations with computer algebra system Mathematica // Использование системы Mathematica в научных исследованиях и образовании: Труды международного семинара, Седльце, РП, 28-30.01.1999г. – Брест: БрГУ, 1999. – С.45–51.

Chichurin A.V. About linear equation of second order with six poles // The Second international workshop on Mathematica System in Teaching and Research: Procedings of the conf., Siedlce, Poland, 28-30.01.2000. – Moscow, Publ. S. Lavrova, 2000. – С.34–44.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. Baklund’s Transformation Search with Computer Algebra System Mathematica // The Second international workshop on Mathematica System in Teaching and Research: Procedings of the conf., Siedlce, Poland, 28-30.01.2000. – Moscow, Publ. S. Lavrova, 2000. – С.165–177.

Прокопеня А.Н., Чичурин А.В. Классы интегрирующих функций уравнения Абеля // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: Труды межд. конф., Брест, 19.09-22.09.2000 г. – Брест: Изд.-во С. Лаврова, 2001. – С. 91–101.

Ревинский А.Ф., Чичурин А.В. Компьютерное моделирование ангармонических эффектов в твердых телах // Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры: Труды межд. конф., Брест, 19.09-22.09.2000 г. – Брест: Изд-во С.Лаврова, 2001. – С.109–115.

Chichurin A.V. Linear Differential Equations of Fuchs Class of Third Order with Three Singular Points // The Third International Workshop on Mathematica System in Teaching and Research: Proceedings of the Conf., Siedlce, Poland, 5-7.09. 2001. – Siedlce: WAP, 2001. – P. 46–50.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. Investigation of Nonlinear Second and Third Orders Differential Equations of P-type with CAS Mathematica // Computer Algebra and its Application to Physics CAAP’2001: Proceedings of the International Conference, Dubna, Russia, 28-30.06.2001. – Dubna, JINR, 2001. – P. 245–252.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. On Some Methods of Studying Abel’s Equation with CAS Mathematica // The Third International Workshop on Mathematica System in Teaching and Research: Proceedings of the Conference, Siedlce, Poland, 5-7.09.2001.– Siedlce: WAP, 2001.–P.136–144.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. Об одном методе нахождения однопараметрических семейств решений для второго и третьего уравнений Пенлеве // The International WorkShop “Applications of the "Mathematica" System to the Social Processes and Mathematical Physics”: Proceedings of the International Workshop., Брест, БрГУ, 03-06 июня 2003 г. – Брест: БрГУ, 2003. – С. 119–124.

Чичурин А.В. О специальной системе двух дифференциальных уравнений // The International Workshop “Applications of the "Mathematica" System to the Social Processes and Mathematical Physics”: Proceedings of the International Workshop, Брест, БрГУ, 03-06 июня 2003 г. – Брест: БрГУ, 2003. – С. 219–223.

Чичурин А.В. Простейшие дифференциальные уравнения IV порядка вида // Еругинские чтения – IV: Тез. докл. межд. конф., Витебск, 20-22 мая 1997 г. – Витебск: ВГУ, 1997. – С.34.

Чичурин А.В. О коэффициентах уравнения Шази // Конференция памяти проф. С.Г. Кондратени: Тез. докл. конф. Брест, 21-23 апреля 1998г. – Брест: БрГУ, 1998. – С. 36–37.

Чичурин А.В. О линейных уравнениях IV порядка // Еругинские чтения – V: Тез. докл. межд. конф., Могилев, 26-28 мая 1998 г. – Могилев: МГУ, 1998. – С. 30–31.

Чичурин А.В. К теории дифференциальных уравнений четвертого порядка P-типа специального вида // Еругинские чтения–VI: Тезисы докладов межд. конф. Гомель, 20-21 мая 1999 г. – Гомель: ГГУ, 1999.– С. 26–27.

Чичурин А.В. К теории одного уравнения четвертого порядка // VIII Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов межд. конф. Минск, 19-24 июня 2000 г. – Минск: ИМ НАНБ, 2000. – Т. 1. – С. 59.

Лукашевич Н.А., Чичурин А.В. Об уравнении Абеля с двумя известными решениями // Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння: Тезисы докладов межд. конференции (Одесса, 12-14.09.2000 г.) – Одесса: АстроПринт, 2000. – С. 175–176.

Прокопеня А.Н., Чичурин А.В. Классы интегрирующих функций уравнения Абеля // DE&CAS’2000: Тезисы докладов межд. конф., Брест, 19-22.09.2000 г. – Брест: БрГУ, 2000. – С. 59.

Прокопеня А.Н., Чичурин А.В. Построение систем, эквивалентных уравнению // VIII Белорусская математическая конференция: Тез. докл. межд. конф. Минск, 19-24 июня 2000 г. Т. 3. – Минск: ИМ НАНБ, 2000.– С. 176.

Чичурин А.В. Уравнение третьего порядка P-типа с шестью неподвижными полюсами // Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию Ю.С. Богданова: Тез. докл. межд. конф., Минск, 26.02-01.03.2001г. – Мн.: БГУ, 2001.– С.19–20.

Чичурин А.В. Некоторые интегрируемые линейные дифференциальные уравнения третьего порядка // Еругинские чтения – VII: Тез. докл. межд. конф., Гродно, 28-30 мая 2001 г. – Гродно: ГрГУ, 2001. – С. 185–186.

Прокопеня АН., Чичурин А.В. Исследование уравнения геодезических линий, соответствующего третьему уравнению Пенлеве // Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященные 80-летию Ю.С.Богданова: Тез. докл. межд. конф., Минск, 26.02-01.03.2001 г. – Мн.: БГУ, 2001. – С. 14–15.

Prokopenya A.N., Chichurin A.V. Investigation of Nonlinear Second and Third Orders Differential Equations of P-type with CAS Mathematica // Computer Algebra and its Application to Physics CAAP’2001: Short Communications of International Conference, Dubna, Russia, 28-30.06.2001. – Dubna: JINR, 2001. – P. 8–9.

Чичурин А.В. Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка // Еругинские чтения – VIII: Тез. докл. межд. конф. Брест, 20-23 мая 2002 г.– Брест: БрГУ, 2002.– С.184-185.

Чичурин А.В. Решение некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений в СКА “Mathematica” // Тезисы докладов III международной научной конференции “Компьютерная математика в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании” (Минск, БГУ, 24.09-28.09.2002) – Мн.: БГУ, 2002. – С.65.

Chichurin A.V. About one method of the construction of solutions for fifth and sixth Painleve equations with CAS Mathematica // V International Congress on Mathematical Modelling: Book of abstracts. JINR, Dubna, Russia, 30.09-06.10.2002. – M.: JANUS-K, 2002. – Vol.2. –P.10.

Чичурин А.В. Об интегрируемости нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка с шестью полюсами // Еругинские чтения – IX: Тез. докл. межд. конф., Витебск, 20-22 мая 2003 г. – Витебск: ВГУ, 2003. – С. 28–29.

Чичурин А.В. О построении эквивалентной системы для обобщенного уравнения Абеля // Dynamical system modelling and stability investigation: Thesis of Intern. Conf., Kyiv, 27-30.05.2003. – Kyiv: KNU, 2003. – P. 118.

Chichurin A.V. About two-parametric families of Chazy equation solutions // Мiжнародна наукова конференцiя “Шостi Боголюбовськi читання”: Тези доповідей. Чернiвецький НУ, Чернiвцi, Украiна, 26.08-30.08.2003. – Київ: Ін-т мат-ки НАН України, 2003.– P. 269.

Чичурин А.В. Нелинейные дифференциальные уравнения II и III порядка Р-типа, связанные с уравнениями нелинейной и математической физики // “Современные научные проблемы и вопросы преподавания теоретической и математической физики, физики конденсированных сред и астрономии”: Материалы докл. межд. конф., Брест, 28-29 октября 2003 г. – Брест: БрГУ, 2003. – С. 88–90.

Прокопеня А.Н., Чичурин А.В. Применение системы Mathematica к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. – Мн.: БГУ, 1999. – 265с.

АНОТАЦІЇ

Чичурін А. В. Аналітичні дослідження нелінійних диференціальних рівнянь другого і третього порядків. – Рукопис. – Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 – диференцiальнi рівняння. – Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2004.

Знайдено розв’язки системи Шазі і побудовано нові класи рівнянь третього порядку P-типу. Для