МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКА ДЕРЖАВНА АГРОТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ

Цибуленко Ольга Володимирівна

УДК 514.18:303.092.5

ГЕОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ ДЛЯ ПРОЦЕДУР

БАРИЦЕНТРИЧНОГО УСЕРЕДНЕННЯ

Спеціальність 05.01.01 _Прикладна геометрія, інженерна графіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Мелітополь – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Херсонському державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, професор

Крючковський Віктор Володимирович,

професор кафедри прикладної математики і математичного моделювання,

Херсонський державний технічний університет

(м. Херсон)

Офіційні опоненти:–

доктор технічних наук, професор

Найдиш Андрій Володимирович, завідувач кафедри прикладної математики і обчислювальної техніки, Таврійська державна агротехнічна академія

(м. Мелітополь)–

кандидат технічних наук, доцент

Гнатушенко Володимир Володимирович,

доцент кафедри електронних засобів телекомунікацій,

Дніпропетровський національний університет

(м. Дніпропетровськ)

Провідна установа: Одеський Національний політехнічний університет,

кафедра нарисної геометрії та інженерної графіки

Міністерства освіти і науки України

(м. Одеса)

Захист відбудеться “_22_ __лютого__ 2005 р. о _12_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 18.819.02 у Таврійській державній агротехнічній академії за адресою:

72312, Мелітополь, проспект Б.Хмельницького, 18.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Таврійської державної агротехнічної академії за адресою:

72312, Мелітополь, проспект Б.Хмельницького, 18

Автореферат розісланий “_20_” __січня__2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.М. Малкіна

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Розрахунки стаціонарних фізичних полів (наприклад, теплового, електростатичного) для конструктивних елементів різноманітної конфігурації, а також розрахунки характеристик при крученні стержневих елементів різноманітного поперечного перерізу є важливими задачами при конструюванні механізмів. В математичній постановці – це задачі відновлення гармонічної функції в деякій області з заданими граничними умовами. До розв’язання таких задач зводяться також дослідження екологічного стаціонарного стану території або дослідження продуктивності нафтогазових пластів, коли по даним вимірювання вздовж границі деякої області необхідно відновити інформацію всередині досліджуваної області. Відомо, що точні розв’язки можливо отримати лише для тривіальних областей та простих граничних умов. Тому найчастіше подібні задачі розв’язуються наближено. Зазвичай використовуються дискретні методи, які в більшості є сітковими і приводять до розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, що в багатьох випадках значно ускладнює та сповільнює обчислення. Актуальним та мало дослідженим є створення несіткових методів. В цьому напрямку, завдяки роботам А.Н. Хомченка та багатьох послідовників, ефективним є метод барицентричного усереднення (МБУ), що ґрунтується на імовірнісно-геометричній інтерпретації інтегрального критерію гармонічності Привалова-Кьобе та схеми „блукань по колах” Брауна-Маллера. Розвиток МБУ обумовлений тим, що розв’язання задач відновлення гармонічних функцій, а також побудова формул наближеного кратного інтегрування (кубатур) типу Ньютона-Котеса (що неодмінно виникають в теорії потенціалів) зводяться до побудови середнього значення функції на деякій області по дискретно заданій інформації. Важливим є правильний вибір вагових коефіцієнтів усереднення. Їх вибір можна здійснити лише шляхом вибору шаблону певної геометричної форми у вигляді дискретного елемента.

Розвиток МБУ, що став можливим виключно завдяки геометричному моделюванню, дає підґрунтя для використання процедур барицентричного усереднення і в інших задачах. Геометричні моделі у поєднанні з механічними (або іншими) аналогіями дають зручний інструментарій, що дозволяє вирішувати такі задачі, для яких інші підходи виявляються непридатними. Цілком логічно, що геометричні моделі все більше проникають в дискретні методи. Це свідчить про їх глибоке коріння в багатьох обчислювальних методах, фундаментальні геометричні основи яких на перший погляд непомітні. Зокрема, геометричне моделювання породжує нові геометричні модифікації методу Монте-Карло: схеми несіткових блукань типу Брауна-Маллера для побудови вагових коефіцієнтів барицентричного усереднення в мішаних граничних задачах або схеми несиметричних випадкових блукань комп’ютерного тестування вагових коефіцієнтів кубатур на центрованих дискретних елементах, для яких традиційні симетричні схеми не дають фізично правдоподібних результатів.

Тому актуальними є питання побудови, вдосконалення і дослідження геометричних моделей для розв’язання зазначених задач за допомогою процедур барицентричного усереднення та створення на їх основі відповідних обчислювальних алгоритмів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає державним науково-технічним програмам, що сформульовані в Законі України "Про наукову і науково-технічну діяльність". Робота виконана в рамках наукової програми "Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики" (реєстраційний номер 0101U008069) кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського державного технічного університету.

Мета і задачі дослідження.

Метою дослідження є розробка геометричних моделей для розв’язання за допомогою процедур барицентричного усереднення параметрів задач відновлення гармонічних (за І. Приваловим) функцій багатьох змінних та задач ієрархічного конструювання формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса.

Об'єкт дослідження – процедури барицентричного усереднення.

Предмет дослідження – геометричні моделі для процедур барицентричного усереднення в класах задач, розв’язання яких зводиться до визначення математичного сподівання (вибіркового середнього) випадкової величини.

Для досягнення поставленої мети дослідження вирішувались такі задачі:

- побудувати геометричні моделі (шаблони) МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів другого і третього порядку та гексагонального дискретного елемента; розробити на їх основі алгоритми розв’язання задач відновлення гармонічних функцій; за допомогою імовірнісно-геометричного моделювання побудувати вагові коефіцієнти усереднення для нових шаблонів;

- розробити нові геометричні моделі монте-карловського усереднення для статистичного визначення вагових коефіцієнтів нових модифікацій МБУ;

- на основі геометричних моделей та процедури барицентричного усереднення розробити алгоритм побудови кубатур для центрованих дискретних елементів та перевірити експериментально спектри вагових коефіцієнтів отриманих формул;

- розробити програмне забезпечення для запропонованих в роботі методів барицентричного усереднення, що основані на геометричних моделях; здійснити практичне впровадження результатів дослідження.

Методи дослідження. В ході дослідження в роботі використовуються методи математичної фізики, диференціальної та обчислювальної геометрії, методи інтерполяції та апроксимації функцій двох та трьох змінних, метод скінченних різниць, метод Монте-Карло, ключові ідеї методу скінченних елементів, математичний апарат теорії імовірностей, методи алгоритмізації та комп'ютерного експерименту.

Наукова новизна одержаних результатів:

- вдосконалені геометричні моделі МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів другого і третього порядку, що, на відміну від існуючої тривузлової моделі, враховують нелінійності досліджуваної функції в області з границею довільної форми; побудовано алгоритм розв’язання задач відновлення гармонічних функцій за допомогою таких шаблонів; встановлено імовірнісно-геометричний зміст вагових коефіцієнтів розрахункових формул;

- побудовано гексагональні моделі МБУ для апроксимації розв’язку задачі відновлення гармонічної функції у крайових задачах з умовами Діріхлє на границі та з мішаними граничними умовами, коли гранична інформація представлена дискретно та сконцентрована у розрахункових вузлах;

- вперше застосовано ієрархічну схему до побудови кубатур на дискретних елементах, яка заснована на зважуванні простих моделей для отримання моделей вищого рівня; вона значно простіша за інші підходи і дозволяє будувати відомі та нові альтернативні кубатури для дискретних елементів вищих порядків;

- запропоновано нові схеми методу Монте-Карло (маршрутизації і алгоритмізації випадкових блукань), що відповідають фізичному змісту задач.

Обґрунтованість і достовірність результатів підтверджується використанням положень аналітичної та прикладної математики, методів та результатів імовірнісно-геометричного моделювання, запропонованих іншими авторами, порівнянням з відомими результатами, що одержані іншими підходами та іншими авторами, серією комп'ютерних та фізичних експериментів.

Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані в роботі обчислювальні методи та алгоритми, які отримані завдяки геометричним моделям та процедурам барицентричного усереднення, дають простий та швидкий інструментарій для дослідження задач теорії потенціалів. А саме, для моделювання стаціонарних фізичних полів та для побудови кубатур на центрованих дискретних елементах.

Практичне значення результатів підтверджується впровадженням в ТОВ „Електромаш” (м. Херсон) та ВАТ „Херсонські комбайни” (м. Херсон) для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітних поперечних перерізів.

Особистий внесок здобувача:

1. Побудовані геометричні моделі (шаблони) МБУ у вигляді трикутних дискретних елементів другого та третього порядку, а також гексагонального дискретного елемента, отримані на їх основі обчислювальні формули та алгоритми розв’язання для задач відновлення гармонічних функцій з граничними умовами І роду та з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду). Досліджені характеристики синтетичного базису для гексагонального дискретного елемента та проведено його тестування для задач відновлення гармонічних функцій за МБУ.

2. Розроблена геометрична однокрокова схема несіткових випадкових блукань методу Монте-Карло на гексагоні, а також геометрична схема випадкових блукань з околом переваги „слідкуючого” маршруту на квадраті.

3. Зроблено узагальнення ієрархічної барицентричної схеми побудови кубатур на n-вимірні інтеграли, побудовано нові альтернативні кубатури для квадрата, гексагона, куба, призми з гексагональним перерізом, чотиривимірного гіперкуба.

Апробація результатів дисертації.

Основні ідеї, положення і результати дослідження, що включені до дисертації, доповідались на наступних конференціях:

- V міжнародній конференції по математичному моделюванню (м. Херсон, 2002 р.);

- VII та VIII міжнародних науково-практичних конференціях “Сучасні проблеми геометричного моделювання”(м. Мелітополь, 2003 р. та 2004 р.);

- XII науковій конференції вчених України, Росії, Білорусі "Прикладні задачі математики та механіки" (м. Севастополь, 2003 р.);

- міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”(м. Львів, 2003 р.).

- XVII міжнародній науково-методичній конференції „Математика в вузе” (м. Санкт-Петербург, 2004 р.).

Також результати дисертації доповідались і обговорювались на семінарах кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського державного технічного університету.

В цілому дисертація доповідалась на об'єднаному семінарі кафедри прикладної математики та математичного моделювання, кафедри вищої математики, кафедри інформатики і комп’ютерних технологій та кафедри основ конструювання Херсонського державного технічного університету (м. Херсон, 2004 р.); на семінарі кафедри алгебри, геометрії та математичного аналізу Херсонського державного університету (м. Херсон, 2004 р.); на об’єднаному семінарі кафедри прикладної геометрії та інформаційних технологій проектування та кафедри прикладної математики і обчислювальної техніки Таврійської державної агротехнічної академії (м. Мелітополь, 2004 р.).

Публікації. По результатам дисертації опубліковано 14 робіт, з них 11 статей у виданнях, які включено до переліку фахових видань ВАК України.

Дисертація складається з вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел з 177 найменувань, двох додатків. Загальний обсяг роботи 166 с., вона містить 58 рис. та 16 таблиць.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульовані актуальність, мета і задачі дослідження, наукова новизна, теоретична і практична значущість отриманих результатів.

У першому розділі наведено основні поняття, що використовуються при розв’язанні задач за допомогою процедур барицентричного усереднення. Розкриваються передумови та етапи розвитку застосувань процедур барицентричного усереднення в обчислювальних методах. Аналіз робіт попередників виявив коло тих питань, що залишилися невирішеними, серед них – розвиток несіткових методів та створення нових геометричних моделей.

У другому розділі сформульовані диференціальний та інтегральний критерії гармонічності функції. Розкриті геометричні аспекти основних методів розв’язання задач відновлення гармонічних функцій: детермінованих (методу скінченних різниць та методу скінченних елементів) та статистичного (методу Монте-Карло), які використовуються в роботі. Наведено переваги та недоліки перелічених методів. Зроблено узагальнення відомої геометричної моделі А.М. Колмогорова дифузійної плями на сітки з трикутними комірками.

Третій розділ присвячено особливостям МБУ та його новим версіям на основі квадратичної і кубічної інтерполяції.

Рис. 1 | Основою для МБУ є дискретний аналог (рис. 1) інтегрального критерію гармонічності функції (теореми Привалова-Кьобе):

. (1)

При скінченому і регулярному розподілі вузлів маємо окремі випадки умови (1) (рис. ). | Таким чином отримуємо скінченноелементні області гармонічності (рис. 2), що повністю містяться в крузі гармонічності. Розглядаючи симплекс-елементи та прямокутні дискретні елементи, попередники запропонували схему „блукань по дискретних елементах” методу Монте-Карло, що є основою МБУ,

Рис. 2 | яка значно скорочує об’єм обчислень, а метод відновлення функції при цьому стає несітковим. Така схема дозволяє ігнорувати історію блукань. Частинка за один крок

переноситься з точки старту в один з вузлів дискретного елемента, в яких для моделювання умов І роду передбачається поглинаючий екран. Задача зводиться до визначення апріорних перехідних імовірностей – вагових коефіцієнтів усереднення.

В роботі зроблене розповсюдження МБУ на шаблони у вигляді дискретних елементів вищих порядків. Відновлення функції в будь-якій точці всередині шаблону здійснюється таким чином, що поточна точка є центром мас системи вузлових значень функції на шаблоні:

, (2)

де – вагові коефіцієнти усереднення; – значення функції у вузлових точках шаблону .

Геометрія контуру досліджуваної області може бути довільною. Для точності важливе розташування вузлів шаблону. Вимагається лише, щоб вершини шаблону належали границі досліджуваної області, причому необхідно зберігати виконання властивості середнього. В роботі це досягається завдяки вибору в якості вагових коефіцієнтів усереднення базисних функцій дискретного елемента. Для усіх функцій повинна виконуватися інтерполяційна умова:

, , (3)

де – символ Кронекера, – кількість вузлів дискретного елемента.

В межах дискретного елемента повинен зберігатися ваговий баланс:

. (4)

Першим шаблоном МБУ був тривузловий трикутник, що здійснює апріорі лінійну інтерполяцію функції по відомій граничній інформації. Але в цьому ж і недолік такого шаблону, так як шукана гармонічна функція не обов’язково лінійна. Тому для одержання задовільної точності обчислень у точці M поворотом шаблону на деякий кут будувалася послідовність “стоп-кадрів” з подальшим арифметичним або зваженим усередненням результатів.

В роботі запропонована квадратична інтерполяція, що точніше наближує задану функцію, ніж лінійна вже на одному „стоп-кадрі”. МБУ з трикутним обчислювальним шаблоном удосконалено за рахунок включення в шаблон трьох додаткових вузлів на сторонах трикутника. Отримано шаблон МБУ з квадратичною інтерполяцією.

Для знаходження вагових коефіцієнтів усереднення МБУ (апріорних перехідних імовірностей в однокрокових схемах випадкових блукань) в роботі використано імовірнісно - геометричне моделювання. Основна ідея полягає в розбитті елемента вищого порядку на симплекс-елементи: для трикутника другого порядку на два симплекси зі спільною вершиною у вузлі . Сформульовані правила випадкового попадання частинки в підсимплекси та на основі геометричної імовірності побудовані функції на кожному підсимплексі. Відомо, що положення будь-якої точки всередині трикутника можна однозначно задати трьома числами (барицентричними координатами в

а) б)

Рис. 3 | трикутнику), що зв’язані з декартовими координатами вершин цього трикутника. Отже побудовані вагові коефіцієнти є функціями від барицентричних координат, що повністю співпадають з базисними функціями відповідного дискретного елемента, які отримані за іншим підходом | (алгебраїчним). На рис. 3 наведене графічне зображення вагових коефіцієнтів квадратичного трикутного шаблона МБУ для вузлів 1 (рис.3а) та 4 (рис.3б).

Рис. 4 | Значення шуканої функції в досліджуваних точках визначаються в роботі як зважені середні шести вузлових значень на шаблоні:

. (5)

При цьому (рис. 4) три вузлових значення асоціюються з вершинами трикутника, що лежать на границі області, інші три (на серединах | сторін трикутника) “зносяться” з контуру області. Зважене усереднення і “знос” граничної інформації на кромки (границю) шаблону в роботі здійснюються на основі барицентричних уявлень. В дисертації побудовані обчислювальна формула, вагові коефіцієнти усереднення, а також процедура зносу граничної інформації для трикутного шаблона третього порядку (10 вузлів) з кубічною інтерполяцією.

В цьому ж розділі наведено приклад побудови обчислювальної формули МБУ для тривимірного шаблона МБУ у вигляді тетраедра другого порядку в просторових задачах теорії потенціалів, показана процедура зносу інформації з границі досліджуваної області на границю шаблону.

Четвертий розділ присвячений гексагональним шаблонам МБУ.

Рис. 5 | Інтерполяція на шестивузловому гексагональному шаблоні в роботі побудована як зважене середнє відомих значень функції:

, (6)

де , – вагові коефіцієнти – базис гексагонального дискретного елемента; – відомі значення функції у вершинах гексагона.

Формула (6) забезпечує прискорені обчислення за однокроковою шестимаршрутною схемою блукань з апріорними перехідними імовірностями.

Зазначимо, що, незважаючи на те, що гексагоналізація дозволяє знизити розмірність задачі, гексагональні елементи довгий час залишалися поза увагою дослідників у зв’язку з тим, що алгебраїчний (традиційний) підхід до пошуку коефіцієнтів поліноміальних базисних функцій гексагона наштовхувався на невдачу (матриця системи для гексагона є виродженою). В роботі проілюстрована геометрична побудова всіх існуючих на сьогоднішній час гексагональних базисів та проаналізовані їх властивості:

Рис. 6 | 1) дробово-раціональний базис (ДРБ), що з’явився історично першим, задовольняє інтерполяційній гіпотезі Лагранжа та зберігає ваговий баланс функцій (на рис. 6 зображена функція для вузла 1), проте недоліком використання дробово-раціональних функцій є погано контрольовані похибки при обчисленні подвійних інтегралів; |

Рис. 7 | 2) для поліноміального базису (ПБ) виконується інтерполяційна гіпотеза, але окрема базисна функція нелінійна на сторонах елемента (на рис. зображена функція для вузла 1), проте в системі функцій будь-які нелінійності згладжуються, тому зберігається ваговий баланс (4); | 3) нещодавно проф. Хомченком А.Н. було запропоновано базис, що утворюється зваженим усередненням (в "золотій пропорції") двох недосконалих систем функцій. Отриманий синтетичний базис (СБ) при виконанні інтерполяційної

Рис. 8 | умови має один недолік – порушення вагового балансу (4) у вузькій кільцевій смузі (рис. ). Проте при детальному аналізі виявилося, що в цьому випадку порушення вагового балансу локалізовані у вузькій кільцевій смузі на відстані (0,75 – 0,85)R від центра гексагона і не перевищують 3%. Таким чином цей базис придатний для практичних розрахунків, що доведено в роботі. | Для тестування альтернативних базисів і вибору кращого для певного класу задач в роботі виконано комп'ютерні експерименти з випадковими блуканнями (метод Монте-Карло) на гексагональному елементі (з трикутною сіткою).

На основі імовірнісно-геометричного моделювання та процедури барицентричного усереднення в дисертації побудовані обчислювальні формули для задач відновлення гармонічних функцій на гексагоні з мішаними граничними умовами (Діріхлє та Неймана), коли гранична інформація представлена дискретно та сконцентрована у розрахункових вузлах. Значення функції в довільній точці отримано у вигляді зваженого середнього значень у вузлах гексагона. Вагові коефіцієнти знайдено за допомогою імовірнісно-геометричного моделювання однокрокових випадкових блукань. Для

Рис. 9 | моделювання умов І роду, як і раніше, передбачаються поглинаючі вузли, для моделювання умов ІІ роду – ідеально відбиваючі вузли. Обчислювальна формула відновлення гармонічної функції при використанні гексагонального шаблона МБУ (рис. 9) з п’ятьма поглинаючими та одним ідеально відбиваючим вузлом (вузол 1) має вигляд: |

, (7)

де – або ДРБ, або ПБ, або СБ.

Також в роботі побудовані обчислювальні формули для гексагональних моделей МБУ з одним, двома, трьома та чотирма ідеально поглинаючими вузлами.

П’ятий розділ присвячено застосуванню геометричних моделей та барицентричних процедур до побудови кубатурних формул типу Ньютона-Котеса на дискретних елементах:

, (8)

де – дискретний елемент у n –вимірному евклідовому просторі; – вагові коефіцієнти; – вузли інтегрування (точки n-вимірного простору) на границі дискретного елемента.

На основі геометричних представлень в дисертації розвинута принципово нова схема побудови кубатурних формул (8) типу Ньютона-Котеса, яка заснована на поступовому ускладненні простих моделей. Під простими моделями ми розуміємо такі дискретні елементи і їх кубатурні формули:–

дискретний елемент з єдиним вузлом, що знаходиться в центрі ваги (просторовий аналог формули центрального інтегрування)

, (9)

де – n-вимірний об'єм елемента;–

дискретний елемент з n вузлами у вершинах елемента (просторовий аналог формули трапецій)

; (10)–

дискретний елемент з m вузлами на серединах ребер (просторовий аналог формули трапецій)

. (11)

Модель наступного рівня – це дискретний елемент, що має вузол у центрі ваги і вузли у вершинах елемента. Формула для такого центрованого елемента в роботі одержується об'єднанням формул (9) і (10) з відповідними коефіцієнтами. Таке об'єднання ми будемо називати зважуванням. Вибір вагових коефіцієнтів здійснюється, виходячи із повузлової пропорційності. Модель цього рівня має (n+1) вузлів, тому невідомі коефіцієнти дорівнюють 1/(n+1) і n/(n+1). З огляду на те, що центр ваги бере на себе найбільше навантаження, йому приписується найбільший коефіцієнт:

. (12)

І, нарешті, дискретний елемент з вузлами в центрі ваги, у вершинах елемента і на серединах його ребер – модель вищого рівня. Щоб одержати кубатурну формулу для такого елемента, в роботі запропоновано зважування формул (11) і (12) відповідно до повузлової пропорційності, тобто з ваговими коефіцієнтами (n+1)/(n+m+1) і m/(n+m+1). Враховуючи, що центрованій моделі відповідає більший ваговий коефіцієнт, одержано

. (13)

Таким чином, в роботі запропонована ієрархічна схема побудови кубатурних формул від простої моделі через проміжні до складної: дискретні елементи нижчого рівня поступово ускладнюються додатковими вузлами. Схема розташування вузлів показана на рис. 10.

Рис. 10

Зі збільшенням кількості вузлів в схемі виникають нові розгалуження і нові варіанти кубатур.

Зважене усереднення моделей можна виконати не тільки за правилом повузлової пропорційності. В дисертації запропоновано використання поширеного в природі і розповсюдженого в науці та мистецтві розподілу цілого на дві частини – „золоту пропорцію”, яка може бути апроксимована звичайними дробами 3/5 і 2/5. При зважуванні формул (11) і (12) відповідно до „золотої пропорції” одержано формули, коефіцієнти яких мало відрізняються від коефіцієнтів формул, отриманих за повузловою пропорційністю.

В роботі побудовані і перевірені на прикладах кубатурні формули, сконструйовані як за правилом повузлової пропорційності, так і за правилом „золотої пропорції” для дискретних елементів різних геометричних форм.

; (14)

. (15) | ; (16)

. (17) | ; (18)

. (19) |

Зважене усереднення дозволяє конструювати як вже відомі кубатурні формули, наприклад, (14), (17), (19), так і нові альтернативні – відповідно (15), (16), (18). Аналогічно були побудовані нові кубатурні формули для центрованих гексагона, тетраедра, гексагональної призми. |

; (20)

. (21) | ; (22)

. (23) | ;

(24)

. (25) | В роботі ієрархічна схема побудови кубатур розповсюджена на кубатури для обчислення чотирикратних інтегралів від функції на гіперкубі (49 вузлів):

; (26)

. (27)

Тестування отриманих альтернативних формул для інтегрування дробово-раціональних та трансцендентних функцій показує, що вони практично співпадають.

Рис. 11 | Для статистичної перевірки спектрів отриманих в роботі кубатур використовується аналогія між коефіцієнтами кубатурної формули
і дискретною апроксимацією одиничної маси елемента по вузлах. Спектри вагових коефіцієнтів кубатур знайдені експериментально | моделюванням броунівського руху в дискретному елементі з поглинанням частинок у вузлах інтегрування. Симетричні випадкові блукання, що основані на схемі Бернуллі, для цієї задачі вже не дають фізично адекватних результатів. Враховуючи, що розглядаються центровані елементи, в роботі запропонована схема випадкових блукань з центрованим околом переваги „слідкуючого” маршруту. При попаданні блукаючої частинки в центральну зону порушується симетрія перехідних імовірностей на користь впливового центра. Розміри області впливу (рис. 11) визначені таким чином, щоб кількість частинок, що поглинаються в кутах, на серединах сторін і в центрі утворювали пропорцію 1:n:n2, де n – кількість кутів. Показана близькість отриманих статистичних спектрів до апріорних, що свідчить про стійкість кубатур по відношенню до двох підходів.

В шостому розділі наведено приклади розв’язання за допомогою МБУ наступних задач.

1. Знаходження температурного поля квадратної пластини за допомогою квадратичного трикутного шаблона МБУ. Розв’язок порівняно з розв’язком, отриманим за допомогою лінійного трикутного шаблона МБУ, та розв’язком, отриманим за методом сіток. Показано, що використання квадратичного шаблону МБУ значно ефективніше, ніж лінійного.

2. Знаходження температурного поля квадратної пластини за допомогою кубічного трикутного шаблона МБУ. Розв’язок порівняно з розв’язками, отриманими за допомогою лінійного і квадратичного трикутного шаблонів МБУ та з розв’язком, отриманим за методом сіток. Показана ефективність використання шаблонів МБУ вищого порядку для відновлення складного осцилюючого температурного поля.

3. Знаходження температурного поля гексагональної пластини з використанням ДРБ, ПБ та СБ. Розв’язки порівняно з розв’язком, отриманим за класичною схемою випадкових блукань методу Монте-Карло, а також за методом сіток. Для підтвердження точності розрахунків, отриманих різними моделями МБУ для гексагона, в електротехнічній лабораторії ТОВ “Електромаш” (м. Херсон) була проведена серія фізичних експериментів на мідних пластинах гексагональної форми. Обчислення показали, що результати, отримані за допомогою метода барицентричного усереднення, добре узгоджуються з результатами фізичних експериментів. Найбільш близькі до фізично реальних значень температури дає модель температурного поля з використанням поліноміального базису.

4. Знаходження розподілу електростатичного потенціалу всередині труби з коловим перерізом за допомогою гексагональної апроксимації МБУ з використанням ДРБ, ПБ та СБ. Розв’язки порівняно з точним аналітичним розв’язком, отриманим за допомогою метода відокремлення змінних (метода Фур'є). Для наведеного прикладу гексагональна модель МБУ з поліноміальним базисом дає результати, що повністю співпадають з точними.

5. Знаходження температурного поля гексагональної пластини з теплоізольованою частиною границі за МБУ з використанням ДРБ, ПБ та СБ. Розв’язки порівняно з розв’язком, отриманим за класичною схемою випадкових блукань метода Монте-Карло. Комп’ютерні експерименти показали, що зі статистичними результатами краще узгоджені моделі з ДРБ та СБ.

6. Знаходження температурного поля прямокутної пластини з теплоізольованою частиною границі за допомогою гексагональної апроксимації МБУ з використанням ДРБ, ПБ та СБ. Розв’язки порівняно з точним аналітичним розв’язком, отриманим за допомогою метода відокремлення змінних (метода Фур'є). Обчислення показали, що точніші результати дають гексагональні моделі МБУ з ДРБ та СБ.

7. Знаходження геометричної жорсткості при крученні пружного призматичного стержня з поперечним перерізом у формі трапеції за допомогою трикутних центрованих дискретних елементів і їх відповідних кубатур типу Ньютона-Котеса. Розв’язок добре узгоджується з розв’язком, отриманим за відомою в літературі наближеною формулою. Запропонований підхід дозволяє знаходити геометричну жорсткість при крученні пружного призматичного стержня з поперечним перерізом довільної геометричної форми.

ВИСНОВКИ

1. В проведених у дисертації дослідженнях дістав подальшого розвитку метод барицентричного усереднення для задач, розв’язання яких можна звести до визначення математичного сподівання (вибіркового середнього) випадкової величини. На основі дискретного аналога критерію Привалова запропонована версія МБУ, що використовує геометричні шаблони у вигляді трикутників другого і третього порядку та гексагони. Такі геометричні моделі дозволяють відновлювати нелінійні гармонічні функції за допомогою лише одного дискретного елемента.

В роботі показано, що для всіх процедур барицентричного усереднення зберігається властивість середнього завдяки вибору в якості вагових коефіцієнтів базисних функцій дискретних елементів. Запропоновано імовірнісно-геометричний підхід до побудови вагових коефіцієнтів МБУ для трикутних дискретних елементів другого та третього порядку. Отримані вагові коефіцієнти повністю співпадають з вже відомими функціями форми цих елементів.

Завдяки використанню імовірнісно-геометричного моделювання в роботі вперше побудовані гексагональні моделі та формули МБУ для відновлення гармонічних функцій в областях з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду), коли гранична інформація представлена дискретно та сконцентрована у розрахункових вузлах гексагона. На основі побудованих шаблонів розроблені алгоритми розв’язання за допомогою МБУ задач відновлення гармонічних функцій.

2. В дисертації вперше показана ефективність застосування геометричних моделей та процедур барицентричного усереднення для побудови формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса для центрованих дискретних елементів. За допомогою запропонованої ієрархічної схеми зваженого усереднення розроблено алгоритм та отримані альтернативні кубатури для центрованих дискретних елементів.

3. Вперше побудовані однокрокові шестимаршрутні схеми випадкових блукань методу Монте-Карло для відновлення гармонічних функцій на гексагоні та проаналізовано ефективність альтернативних базисів гексагона в якості вагових коефіцієнтів МБУ (перехідних імовірностей в однокрокових шестимаршрутних схемах випадкових блукань). Встановлено, що для задач відновлення гармонічних функцій з граничними умовами І роду точніші результати дає використання поліноміального базису, а в мішаних задачах (з граничними умовами І та ІІ роду) – дробово-раціонального та синтетичного базисів гексагона.

Для комп’ютерного тестування спектрів вагових коефіцієнтів, отриманих в роботі кубатур на центрованих дискретних елементах, вперше запропоновано геометричну схему багатокрокових випадкових блукань методу Монте-Карло з областю переваги "слідкуючого" маршруту.

4. Практичне значення результатів дисертаційної роботи підтверджено впровадженням запропонованих методів і обчислювальних алгоритмів, а також розробленого на їх основі програмного забезпечення в ТОВ „Електромаш” (м. Херсон) та ВАТ „Херсонські комбайни” (м. Херсон) для проектних розрахунків температурних полів пластинчастих елементів різноманітної конфігурації в деталях механізмів, а також для розрахунків характеристик при крученні стержневих елементів різноманітного поперечного перерізу. Отримані в роботі результати використовуються в навчальному процесі в ХДТУ на лекційних та практичних заняттях для студентів ІІ курсу спеціальностей: "Фізична та біомедична електроніка”, "Комп’ютерні системи та мережі", що підтверджено відповідним актом впровадження.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Модели взвешенного усреднения и кубатурные формулы // Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2002. – Вип.2. – С. 19–24.

2. Крючковський В.В., Цибуленко О.В. Спрощена побудова кубатур Ньютона-Котеса на дискретних елементах // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Вип. 4, Т. 18.– С. –139.

3. Крючковський В.В., Хомченко А.Н., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових маршрутів Монте-Карло на гексагоні // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Вип.4, Т.19. – С. 36–39.

4. Цибуленко О.В., Лур'є І.А. Комп’ютерні оцінки стаціонарної температури шестикутної пластини // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2003.–Вип.4, Т.20.–С.90–94.

5. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Дембровская М.В. Барицентрические оценки электростатического поля в круге // Научно техн. журнал "Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы". –2003. – №1(11). – С.35–40.

6. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Лурье И.А. Метод барицентрического усреднения граничных потенциалов с квадратичной интерполяцией электростатического поля // Научно техн. журнал "Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы". – 2003. – №2(12). – С. 46–48.

7. Зуб П.М., Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Кубатуры Ньютона-Котеса для пространственных дискретных элементов // Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2004. – Вип. 5. – С. 20–24.

8. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Колесникова Н.В. Компьютерные оценки квадратичной поправки МБУ в расчетах электростатического поля // Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2004. –Вип. . – С. 9–13.

9. Хомченко А.Н., Цибуленко О.В. Про усереднення граничних сіткових функцій двох аргументів // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2004. – Вип.4, Т.23. – С. 35–39.

10. Цибуленко О.В. Геометричні аспекти барицентричного усереднення // Прикладна геометрія та інженерна графіка. – Мелітополь: ТДАТА, 2004. – Вип.4, Т.27. – С. 111–114.

11. Цыбуленко О.В. Полиномиальная аппроксимация решения задачи кручения // Вестник Херсонского госуд. технического университета. – Херсон: ХГТУ, 2002. – №2(15). – С.485–487.

12. Хомченко А.Н., Цибуленко О.В., Лур'є І.А., Зичкова О.Е. Нові схеми випадкових блукань для еліптичних задач // Прикладні завдання математики та механіки: Матеріали ХІІ наук. Конф. Вчених України, Росії, Білорусії. – Севастополь: Вид-во СевНТУ, 2003. – С. 142–144.

13. Хомченко А.Н., Зуб П.М., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових блукань у центрованих дискретних елементах // Сучасні проблеми геометричного моделювання: Матеріали Міжнар. наук.-практ. конф. – Львів: НУ "Львівська політехніка", 2003. – С. 104–106.

14. Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В., Крючковский В.В. Нелинейные поправки в несеточных методах барицентрического усреднения // Тр. XVII междунар. научно-метод. конф. „Математика в вузе”.– СПб.: ПГУПС, 2004. – С. 196–197.

В роботах [1] та [7] особисто автором побудовані кубатури на відповідно квадратному та кубічному дискретних елементах, проведена серія комп'ютерних розрахунків для тестування отриманих альтернативних формул. В роботі [2] автором зроблено узагальнення ієрархічної схеми побудови кубатур на n-вимірні інтеграли, побудовано та тестовано кубатури для гіперкуба. В роботі [3] автором запропонована геометрична однокрокова схема для несіткових випадкових блукань на гексагоні, розроблено алгоритм та складена комп'ютерна програма для проведення комп'ютерних експериментів на мультикрокових схемах методу Монте-Карло. В роботі [4] автором особисто побудовані геометричні моделі і обчислювальні формули для розрахунку температурних полів на гексагональному дискретному елементі з мішаними граничними умовами (І та ІІ роду), побудовано алгоритм та складена програма комп'ютерного тестування теоретичних формул, а також проведені обчислення. В роботі [5] автором проведені обчислення за допомогою гексагональної моделі МБУ для граничної задачі в крузі. В роботі [6] та [8] побудовано обчислювальні формули та алгоритми МБУ з квадратичними шаблонами для відповідно дво- та тривимірної граничної задачі. В роботі [9] особисто автором знайдені та візуалізовані за шістьма різними підходами до усереднення стаціонарні температурні поля на 8-вузловому квадратному елементі при дискретно поданій граничній інформації. В роботі [12] автором проаналізовано роль імовірнісно-геометричних підходів та окреслено нові перспективи розвитку МБУ. В роботі [13] особисто автором побудована геометрична схема несиметричних випадкових блукань методу Монте-Карло на квадраті, розроблено алгоритм та складена комп'ютерна програма. В роботі [14] автором запропоновано використання шаблона МБУ у вигляді трикутника третього порядку з кубічною інтерполяцією.

Цибуленко О.В. Геометричні моделі для процедур барицентричного усереднення. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – прикладна геометрія, інженерна графіка. – Таврійська державна агротехнічна академія, Мелітополь, 2004.

Дисертація присвячена геометричному моделюванню процедур барицентричного усереднення для задач відновлення гармонічних функцій двох і трьох змінних та задач ієрархічного конструювання формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса. Розв’язання таких задач зводиться до побудови середнього значення по деякій області дискретно заданої інформації. Важливим є правильний вибір вагових коефіцієнтів усереднення. В роботі вибір вагових коефіцієнтів здійснюється шляхом застосування шаблонів певної геометричної форми у вигляді дискретних елементів. Отримав подальший розвиток метод барицентричного усереднення (МБУ) для задач відновлення гармонічних функцій багатьох змінних з різноманітними граничними умовами в областях довільної геометричної конфігурації. Створені та досліджені обчислювальні шаблони у вигляді трикутників другого і третього порядку та гексагонів. Розвинута ієрархічна схема зваженого усереднення для конструювання формул наближеного кратного інтегрування типу Ньютона-Котеса та побудовані кубатури для обчислення кратних інтегралів на центрованих дискретних елементах. На основі геометричних моделей та процедур барицентричного усереднення в роботі запропоновані нові модифікації методу комп’ютерного експерименту (Монте-Карло).

Ключові слова: геометрична модель, барицентричне (зважене) усереднення, шаблон методу барицентричного усереднення, вагові коефіцієнти, імовірнісно-геометричне моделювання, однокрокова схема випадкових блукань, дискретний елемент, кубатури типу Ньютона-Котеса.

Цыбуленко О.В. Геометрические модели для процедур барицентрического усреднения. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 – прикладная геометрия, инженерная графика. – Таврическая государственная агротехническая академия, Мелитополь, 2004.

Диссертация посвящена геометрическому моделированию процедур барицентрического усреднения для задач восстановления гармонических функций двух и трех переменных и задач иерархического конструирования формул приближенного кратного интегрирования типа Ньютона-Котеса. Решения таких задач сводится к построению среднего значения по некоторой области дискретно заданной информации. Важным является правильный выбор весовых коэффициентов усреднения. В работе выбор весовых коэффициентов осуществляется путем применения шаблонов определенной геометрической формы в виде дискретных элементов. Процедуры барицентрического усреднения для решения упомянутых задач легко алгоритмизируются и программируются на ЭВМ. В основе разнообразных вариантов применения процедур барицентрического усреднения лежат геометрические соотношения "правила рычага".

Получил дальнейшее развитие метод барицентрического усреднения (МБУ) для задач восстановления гармонических функций многих переменных с разнообразными граничными условиями в областях произвольной геометрической конфигурации. Предложенная на основе дискретного аналога критерия Привалова версия МБУ использует геометрические шаблоны в виде треугольников второго и третьего порядка и гексагоны. Такие геометрические модели позволяют восстанавливать нелинейные гармонические функции с помощью лишь одного дискретного элемента. В работе предложен вероятностно-геометрический подход к построению весовых коэффициентов МБУ для треугольных дискретных элементов второго и третьего порядка. Полученные весовые коэффициенты полностью совпадают с уже известными функциями формы этих элементов.

Впервые построены одношаговые шестимаршрутные схемы случайных блужданий метода Монте-Карло для восстановления гармонической функции на гексагоне и проанализирована эффективность дробно-рационального, синтетического и полиномиального базисов гексагона в качестве весовых коэффициентов МБУ (переходных вероятностей в одношаговых шестимаршрутных схемах случайных блужданий). На основе одношаговых схем случайных блужданий с идеально поглощающими и идеально отражающими узлами в работе впервые построены гексагональные шаблоны и формулы МБУ для восстановления гармонических функций в областях со смешанными граничными условиями (І и ІІ рода), когда информация сконцентрирована в расчетных узлах в вершинах гексагона.

Развита иерархическая схема взвешенного усреднения для конструирования формул приближенного кратного интегрирования типа Ньютона-Котеса для вычисления кратных интегралов на центрированных дискретных элементах. С помощью предложенной схемы, используя правило поузловой пропорциональности и правило „золотой пропорции”, получены как уже известные кубатуры (полученные раньше методом неопределенных коэффициентов), так и альтернативные формулы одного порядка точности для дробно-рациональных и трансцендентных функций. В работе построены кубатуры для вычисления кратных интегралов на центрированных дискретных элементах в виде квадрата, треугольника, гексагона, куба, тетраэдра, призмы с гексагональным поперечным сечением, гиперкуба в четырехмерном пространстве. Процедуры барицентрического усреднения дают возможность быстро и легко иерархически строить кубатуры на дискретных элементах высших порядков, которые раньше не рассматривались.

Для компьютерного тестирования спектров весовых коэффициентов, полученных в работе кубатур на центрированных дискретных элементах, впервые предложена геометрическая схема многошаговых случайных блужданий метода Монте-Карло с областью преобладания "следящего" маршрута.

Ключевые слова: геометрическая модель, барицентрическое (взвешенное) усреднение, шаблон метода барицентрического усреднения, весовые коэффициенты, вероятностно-геометрическое моделирование, одношаговая схема случайных блужданий, дискретный элемент, кубатуры типа Ньютона-Котеса.

Tsybulenko O.V. Geometrical models for procedures of the barycentrical averaging. – Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of engineering science on a speciality 05.01.01 – applied geometry, engineering graphics – Tavria state agrotechnical academy, Melitopol, 2004.

The thesis is devoted to the geometrical modeling procedure of barycentrical averaging for problems of restoring harmonic functions of two and three variables and problems of hierarchical designing of Newton-Cotes type approximate formulas for multiple integration. The solving of these problems is reduced to a construction of average value on some area of the discretely given information.