ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Дніпропетровський національний університет
УДК 530.145:539.12
Добровольська Ірина Володимирівна
Напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь
01.04.02 – теоретична фізика
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дніпропетровськ – 2004
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі теоретичної фізики Дніпропетровського національного університету Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Тутік Руслан Семенович,
Дніпропетровський національний університет, м.Дніпропетровськ,
завідувач кафедри теоретичної фізики.
Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України
Шульга Микола Федорович,
Національний Науковий Центр
“Харківський фізико-технічний інститут”, м. Харків,
директор інституту теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера.
доктор фізико-математичних наук, професор
Росcіхін Володимир Васильович,
Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту
ім. академіка В.А. Лазаряна, м. Дніпропетровськ,
професор кафедри фізики.
Провідна установа: Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, м. Київ.
Захист дисертації відбудеться “ 24 ” грудня 2004 р. о 14 год. 15 хв. на засіданні Спеціалізованої вченої ради Д .051.02 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова 10, корп. 11, ауд. 300.
З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Казакова, 8).
Автореферат розісланий “ 9 ” листопада 2004 р.
Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Д .051.02,
професор Спиридонова І.М.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Дослідження зв'язаних станів є однією з центральних задач квантової фізики. Їх опис найчастіше виконується в рамках квантово-механічних рівнянь Шредінгера, Клейна–Гордона або Дірака з відповідними потенціалами. Однак точні розв'язки цих рівнянь існують тільки для дуже обмеженого класу задач, що робить актуальним побудову різного роду наближених методів.
Незважаючи на те, що з розвитком обчислювальної техніки досягнуто значного прогресу в розробці ефективних алгоритмів чисельного розв'язування, важливе місце в практиці, як і раніше, приділяється аналітичним методам. Вони дозволяють досліджувати закономірності, властиві даній системі, і є базою для проведення машинних розрахунків.
Переважна більшість аналітичних методів будується з використанням асимптотичних розвинень. Тому одержані розв’язки, як правило, є розбіжними рядами, які потребують наступного підсумовування. Але застосування сучасних методів обчислення сум розбіжних рядів потребує знання багатьох членів асимптотичного ряду, що вимагає від розроблюваних методів, щоб знайдені формули були зручними для комп'ютерних розрахунків і давали можливість обчислення поправок вищих порядків. Прямим шляхом вирішення такої задачі є побудова простих рекурентних алгоритмів обчислень та, як кінцева мета, алгебраїзація процедури знаходження коефіцієнтів розвинень.
Виправданим інструментом дослідження в багатьох задачах квантової механіки є теорія збурень, для якої існує декілька модифікацій. Найбільш поширеною з них останнім часом стала логарифмічна теорія збурень. На відміну від теорії Релея–Шредінгера, вона використовує розв'язок незбуреної задачі тільки для розглядуваного стану. Крім того, заміна хвильової функції її логарифмічною похідною приводить до рівняння Ріккаті, що дає можливість побудови рекурентних алгоритмів. Однак даний формалізм дозволяє отримати прості рекурентні формули тільки для основного стану і стає дуже громіздким і майже непридатним для обчислення поправок високого порядку навіть у випадку перших збуджених станів. Таким чином, в логарифмічній теорії збурень дотепер залишається актуальною проблема врахування нулів хвильової функції.
Проте існує інший клас асимптотичних методів, відомий в літературі під загальною назвою наближення Вентцеля–Крамерса–Бріллюена (ВКБ), для якого характерна простота врахування нулів хвильової функції за допомогою правил квантування. Але областю їх застосування є великі значення радіального і орбітального квантових чисел згідно з обраними правилами переходу до класичної межі. Модифікації цих методів, спрямовані на обчислення низько розташованих рівнів енергії, зводяться, по суті, до доведення можливості відновлення результатів теорії збурень для одновимірного випадку. Вони не приводять до простих алгоритмів і мають ряд недоліків, які істотно обмежують їх застосування.
Отже, як з теоретичної, так і з практичної точок зору залишається актуальною проблема поєднання можливостей різних методів з метою подолання суттєвого недоліку логарифмічної теорії збурень при розгляді збуджених станів і побудови для неї простих рекурентних формул за допомогою умов квантування.
На розв’язання цієї проблеми і спрямована дана дисертація.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Дніпропетровського національного університету згідно з тематичним планом держбюджетних науково-дослідницьких робіт, затвердженому Міністерством освіти і науки України, в рамках тем № 09–181–00 “Дослідження властивостей кварк-глюонної взаємодії і зв’язаних станів адронної фізики”, номер держреєстрації № 0100U005251, та № 1–049–03 “Дослідження спектрів зв’язаних станів малочастинкових квантових систем”, номер держреєстрації № 0103U000539.
Мета і задачі дослідження. Метою досліджень, проведених у дисертаційній роботі, є розробка напівкласичного підходу до побудови логарифмічної теорії збурень, придатної для обчислення поправок вищих порядків до енергії і хвильових функцій як для основних, так і для збуджених зв'язаних станів рівнянь Шредінгера, Клейна–Гордона і Дірака.
Для досягнення означеної мети необхідно було розв’язати наступні задачі:
1. Дослідити можливість побудови логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів за допомогою напівкласичних h розвинень і правил квантування з вибором відповідних правил переходу до класичної межі та контуру інтегрування в комплексній площині.
2. Розробити алгебраїчні рекурентні формули для розрахунків високих порядків логарифмічної теорії збурень як для основного, так і для збуджених зв'язаних станів одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора.
3. Пристосувати одержані формули для перенормування розбіжних рядів теорії збурень з метою прискорення їх збіжності.
4. Узагальнити напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень на випадки тривимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора та з потенціалом, що має кулонівську особливість у початку координат.
5. Розробити напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для розв'язання задач Штурма–Ліувілля у випадку релятивістських рівнянь Клейна–Гордона і Дірака.
6. Перевірити практичну застосовність одержаних формул на прикладах зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь.
Об’єкт дослідження. Зв’язані стани рівнянь Шредінгера, Клейна–Гордона і Дірака, логарифмічна теорія збурень.
Предмет дослідження. Хвильові функції та спектр енергій для зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь, умови квантування.
Методи дослідження. Дослідження проводилися аналітичними і числовими методами. Основний аналітичний метод, що використовувався в дисертації — метод асимптотичних розвинень. Також застосовувалися методи теорії функцій комплексної змінної та теорії диференціальних рівнянь. Більшість комп’ютерних розрахунків проведено в інтегрованому програмному середовищі Mathematica; окремі комп’ютерні програми реалізовано на мові програмування Pascal.
Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що вперше:
1. Показано, що перехід до класичної механіки за новими правилами, які відрізняються від використовуваних в методах ВКБ та 1/N – розвинення, дає можливість сформулювати нові умови квантування і, на їх основі, побудувати модифікацію логарифмічної теорії збурень, вільну від недоліків стандартної теорії.
2. Побудовано логічно послідовний напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для одновимірного рівняння Шредінгера, що приводить до алгебраїчних рекурентних формул для енергій та коефіцієнтів розвинень в ряди Лорана логарифмічної похідної хвильової функції. Одержані рекурентні формули мають однаково простий вигляд як для основних, так і для збуджених станів і дають можливість обчислення вищих порядків теорії збурень як в аналітичному, так і в чисельному вигляді. На відміну від стандартного підходу метод не потребує використання розв'язків незбуреної задачі.
3. Метод узагальнено на випадок тривимірного сферично-симетричного рівняння Шредінгера з потенціалами, що мають простий глобальний мінімум або кулонівську особливість.
4. Отримано прості рекурентні формули логарифмічної теорії збурень для релятивістських рівнянь Клейна–Гордона і Дірака, що дозволяють обчислювати будь-які порядки логарифмічної теорії збурень.
5. Для розбіжних рядів розроблено перенормований варіант логарифмічної теорії збурень, що передбачає можливість застосування різних, в тому числі багатопараметричних, схем перенормування.
6. Запропоновано новий ефективний метод аналітичного обчислення значення критичного параметру екранування потенціалу Дебая.
Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що
1. Отримані результати доповнюють фундаментальні уявлення про зв’язок між квантовим та класичним описом фізичної системи.
2. Знайдені рекурентні формули дозволяють обчислювати поправки високих порядків логарифмічної теорії збурень в потенціальних моделях адронів, атомній і молекулярній спектроскопії, а також в задачах фізики твердого тіла, що приводять до зв’язаних станів як нерелятивістських, так і релятивістських квантово-механічних рівнянь.
3. Отримані формули придатні для застосування сучасних методів обчислення сум розбіжних рядів, зокрема, дозволяють включати в себе перенормування асимптотичних рядів з метою прискорення їх збіжності.
Особистий внесок здобувача. Автором було побудовано напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для одновимірного рівняння Шредінгера [1], розроблено схему перенормування розбіжних рядів теорії збурень [2]. Метод поширено на випадок тривимірного сферично-симетричного рівняння Шредінгера [6]; розроблено напівкласичний підхід до теорії збурень в рамках релятивістських квантово-механічних рівнянь [3]–[5]. Аналітичні і комп’ютерні розрахунки проведено автором дисертації особисто. Науковим керівником, докт. фіз.-мат. наук проф. Тутіком Р.С. здійснювалась постановка задач, обговорення напрямків досліджень і результатів робіт [1]–[6].
Апробація результатів дисертації. Матеріали дослідження доповідались на конференціях: секції гравітації та теоретичної фізики I – VI Міжнародних молодіжних науково-практичних конференцій “Людина і космос”, 1999 – 2004 р. (Національний центр аерокосмічної освіти молоді України, м. Дніпропетровськ); Конференції молодих учених і аспірантів “ІЕФ–2003”, 10–12 вересня 2003 р. (Інститут електронної фізики НАН України, м. Ужгород); Міжнародній науковій конференції студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики ЕВРІКА–2004, 19–21 травня 2004 р. (ЛНУ ім. І. Франка, м. Львів).
Публікації. Матеріали дисертації опубліковано в 15 наукових працях, з них 4 у реферованих журналах та 11 у препринтах, матеріалах і тезах доповідей на міжнародних конференціях.
Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 127 найменувань та додатків. Дисертація містить 9 таблиць, 1 рисунок, її повний обсяг — 153 сторінки. Таблиці займають 6 сторінок, рисунок — 1 сторінку, список використаних джерел — 14 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність обраного напрямку досліджень, зв’язок роботи з науковими програмами та темами, сформульовано мету і задачі роботи, її наукову новизну та практичну значимість, обґрунтовано достовірність наукових положень та висновків, а також наведено дані про апробацію результатів та публікації за темою дисертації.
Перший розділ містить стислий опис підходів до розв’язування задач про зв’язані стани квантово-механічних рівнянь. У підрозділі 1.1. розглянуто клас методів, відомих під загальною назвою “теорія збурень”, і зроблено висновок, що жоден з цих методів не дає можливості простого обчислення поправок вищих порядків теорії збурень. Зокрема, логарифмічна теорія збурень, яка широко використовується для розрахунків основних станів, зустрічається з проблемою врахування нулів хвильової функції у випадку радіально-збуджених станів. В рамках логарифмічної теорії збурень, незважаючи на значну кількість спроб, ця проблема дотепер не була вирішена.
Пошуки зручних методів врахування нулів хвильової функції приводять до напівкласичних методів, які розглянуто в підрозділі 1.2.
Пункт 1.2.1. присвячено квазікласичному методу ВКБ, в якому вузловими в контексті даної роботи є два моменти. По-перше, врахування нулів хвильової функції проводиться з використанням умов квантування Цваана–Данхема-
, (1)
де — логарифмічна похідна хвильової функції, — контур інтегрування, що обходить класичні точки повороту, — кількість нулів хвильової функції на дійсній осі всередині замкненого контуру.
По-друге, оскільки радіальне і орбітальне квантові числа є суто квантовими величинами, умови квантування повинні бути доповненими правилами їх переходу до класичної межі. В методі ВКБ ці правила мають вигляд
, (2)
що відповідає так званому квазікласичному руху частинки і вимагає для зв’язаних станів великих значень радіального і орбітального квантових чисел.
Модифікації квазікласичних методів для опису низько розташованих станів розглянуто в пунктах 1.2.2.–1.2.5. Однак, усі ці методи наслідують недоліки або методу ВКБ, або теорії збурень. Їх реалізація є досить трудомісткою задачею, що не дозволило цим методам знайти широкого застосування у практиці дослідження низько розташованих рівнів енергії.
У підрозділі 1.3. розглянуто доповнювальний до ВКБ–наближення метод розвинення, в якому перехід до класичної механіки здійснюється за правилом
, (3)
що робить його придатним для опису зв’язаних станів радіального рівняння Шредінгера з малими значеннями радіального і великими значеннями орбітального квантових чисел.
На підставі аналізу існуючих наближених методів зроблено висновок, що дотепер не знайдено простий і універсальний алгоритм опису низько збуджених станів, який би зводився до алгебраїчних обчислень за простими рекурентними формулами, тому задача побудови логарифмічної теорії збурень, вільної від недоліків стандартного підходу, є актуальною.
У другому розділі на прикладі одновимірного рівняння Шредінгера
(4)
з потенціалом ангармонічного осцилятора
. (5)
сформульовано основні ідеї напівкласичного підходу до логарифмічної теорії збурень.
В підрозділі 2.1. обговорено зв’язок між логарифмічною теорією збурень та напівкласичним підходом. За допомогою скейлінгової заміни змінної показано, що ряди теорії збурень водночас є напівкласичними рядами за степенями сталої Планка. В запропонованому методі, так само, як і в логарифмічній теорії збурень, шляхом стандартної заміни зроблено перехід до рівняння Ріккаті
. (6)
Шукану енергію та логарифмічну похідну хвильової функції представлено у вигляді формальних асимптотичних рядів за степенями сталої Планка:
. (7)
Після їх підстановки у рівняння Ріккаті здобуто рекурентну систему
(8)
яка у випадку основного стану може бути розв’язана за стандартним алгоритмом логарифмічної теорії збурень.
Для обліку нулів хвильової функції у випадку збуджених станів використано наступні положення, що приводять до нових правил квантування:
Обрано новий, відмінний від використовуваного в методі ВКБ, спосіб переходу до класичної межі:
(9)
З фізичної точки зору такий перехід відповідає частинці, яка падає на дно потенціальної ями. Отже, її класична енергія перетворюється на нуль, точки повороту зближуються і, нарешті, зливаються у початку координат.
Враховано, що розвинення власних значень енергії починаються з першого порядку за h, що обумовлено вибором правила (9).
Використано умови квантування Цваана–Данхема для врахування числа нулів хвильової функції. Проте, на відміну від методу ВКБ, контур інтегрування в цих умовах охоплює лише точку , в якій зливаються точки повороту, отже, і нулі хвильової функції.
У підрозділі 2.2. показано, що функції мають єдину особливу точку — початок координат — і можуть бути представлені в її околі у вигляді рядів Лорана . Підстановка цих рядів у систему (8) та використання теореми про лишки приводить до наступної рекурентної системи, записаної через коефіцієнти розвинень у ряди Лорана:
,
, (10)
.
Здобуті рекурентні формули мають однаково простий вигляд як для основного, так і для збуджених станів та вирішують проблему врахування нулів хвильової функції в логарифмічній теорії збурень.
Тестування методу здійснено у підрозділі 2.3. Отримано перші поправки до власних значень енергії в аналітичному вигляді і порівняно їх з обчисленими в стандартному підході до логарифмічної теорії збурень. Розглянуто випадок гармонічного осцилятора, для якого запропоновані рекурентні формули приводять до точних розв’язків як для енергії, так і для хвильової функції. Показано, що і для квазіточнорозв’язуваних задач про ангармонічні осцилятори теж відновлюються точні результати.
У підрозділі 2.4. метод застосовано до обчислень аналітичного вигляду поправок до енергії осцилятора з ангармонізмом , який є порівняно мало вивченим. Наведено перші 6 членів ряду теорії збурень і виправлено помилки попередніх авторів.
Хоча одержані формули дають можливість знайти поправки теорії збурень довільного порядку, нерідко здобути чисельний результат шляхом прямої підстановки значень параметрів неможливо внаслідок розбіжності асимптотичних рядів. Зокрема, для досліджуваного потенціалу радіус збіжності рядів теорії збурень дорівнює нулеві. Розширити границі застосовності теорії збурень дозволяє так зване перенормування асимптотичних рядів, засноване на перегрупуванні та частковому підсумовуванні їх членів.
Підрозділ 2.5. присвячено розробці схем перенормування, які включено до отриманих автором рекурентних формул. В їх основу покладено уявлення про частоту або масу осцилятора як функцію сталої Планка, з подальшим напівкласичним розвиненням цієї функції. Коефіцієнти такого розвинення виступають як додаткові параметри, оптимальний вибір яких забезпечує прискорення збіжності одержаних рядів для енергій і хвильових функцій. З математичної точки зору процедура перенормування зводиться до переходу від асимптотичних розвинень за означенням Пуанкаре до розвинень за Ердейі. За цими формулами у підрозділі 2.6. розглянуто перші чотири доданки перенормованого ряду для енергії осцилятора та проведено чисельні розрахунки згідно різних схем перенормування. Досліджено збіжність перенормованих рядів в залежності від обраної схеми, параметру ангармонізму і радіального квантового числа.
Всупереч розповсюдженій в літературі думці про перевагу принципу найменшої чутливості показано, що застосування як принципу найменшої різниці, так і принципу найменшої чутливості для даного потенціалу забезпечує приблизно однакову і досить високу точність у широкому діапазоні зміни та номеру стану.
Типові результати розрахунків представлено в табл. 2.1.,
Таблиця 2.1.
k | n = 0 | n = 1 | n = 5
1 | 0.508693705 | 1.161458 | 1.55611747 | 4.210051 | 6.59434725 | 25.95659
3 | 0.508378396 | 1.110292 | 1.55399477 | 4.054344 | 6.57502024 | 25.54466
5 | 0.508371342 | 1.104354 | 1.55397174 | 4.047270 | 6.61788050 | 26.44265
10 | 0.508370692 | 1.102706 | 1.55398991 | 4.056856 | 6.61763448 | 26.42384
15 | 0.508370674 | 1.102541 | 1.55398998 | 4.057586 | 6.61764001 | 26.42596
20 | 0.508370673 | 1.102651 | 1.55398999 | 4.057838 | 6.61764261 | 26.42806
25 | 0.508370689 | 1.102586 | 1.55398995 | 4.057637 | 6.61763908 | 26.42459
30 | 0.508370674 | 1.102729 | 1.55398996 | 4.057495 | 6.61763913 | 26.42449
35 | 0.508370726 | 1.102819 | 1.55398997 | 4.057749 | 6.61764005 | 26.42450
40 | 0.508370676 | 1.102768 | 1.55398996 | 4.057442 | 6.61763907 | 26.42474
45 | 0.508370682 | 1.102796 | 1.55398996 | 4.057401 | 6.61763907 | 26.42484
0.508370682 | 1.102862 | 1.55398996 | 4.057422 | 6.61763908 | 26.42476
де наведено послідовності часткових сум перших перенормованих поправок до енергії основного та збуджених станів осцилятора з потенціалом , обчислених за принципом найменшої чутливості в одиницях .
У третьому розділі здійснено узагальнення методу на випадок радіальної частини рівняння Шредінгера
(11)
для руху частинки в сферично-симетричному полі потенціалу ангармонічного осцилятора або екранованого кулонівського. Відміною від одновимірного випадку є поява відцентрового члену та інші крайові умови, що призводить до проблеми вибору правил переходу до класичної межі та контуру інтегрування в умовах квантування.
У підрозділі 3.1. побудовано теорію збурень для ізотропного парного ангармонічного осцилятора. Основні кроки співпадають з виконаними в першому розділі, проте є відмінності, що обговорено у пункті 3.1.1. А саме: правила переходу до класичної межі з урахуванням орбітального квантового числа відрізняються від правил як ВКБ–наближення (1), так і методу 1/N–розвинення (3):
. (12)
Оскільки відцентрова енергія має другий порядок малості, то при вона прямує до нуля і при переході до класичної межі маємо, як і в одновимірному випадку, що частинка опускається на дно потенціальної ями. Тому її класична енергія дорівнює нулеві: . Врахування квантових флуктуацій приводить до розвинення енергії за сталою Планка, головний член котрого має перший порядок відносно h.
Обговоримо питання вибору контуру інтегрування в умовах квантування. У тривимірному випадку вибір контуру між точками повороту веде до побудови методу ВКБ або 1/N– розвинення в залежності від обраних правил переходу до класичної межі. При виборі нового типу переходу до класичної межі (12) класичні точки повороту зближуються та, при , зливаються у початку координат. Отже, контур, що відповідає правилам (12), повинен охоплювати лише точку . Показано, що з урахуванням симетрії задачі та поведінки хвильової функції в початку координат кратність утвореного нуля наближеної хвильової функції дорівнює , тобто умови квантування (2) приймають вигляд
. (13)
Подальше використання теореми про лишки дозволило в єдиному підході побудувати в пункті 3.1.2. алгебраїчні рекурентні формули, придатні для опису як основних, так і радіально-збуджених станів. Показано, що одержані ряди дійсно є рядами логарифмічної теорії збурень. В пункті 3.1.2. метод застосовано для відновлення точних розв’язків задачі про гармонічний ізотропний осцилятор і квазіточнорозв’язуваної задачі з потенціалом ангармонічного осцилятору. Далі, в пункті 3.1.4. досліджено осцилятор , до якого зводяться деякі моделі квантової теорії поля (2+1). Оскільки для даного потенціалу радіус збіжності рядів теорії збурень дорівнює нулеві, щоб одержати чисельні результати, які представлені в табл. 3.1, розроблено перенормований варіант логарифмічної теорії збурень. Збіжність рядів перенормованої теорії збурень для енергії для даного потенціалу є гіршою, ніж для потенціалів з одним ангармонічним доданком, але достатньо швидкою, що дозволяє забезпечити точність 10-5 для низько розташованих рівнів енергії.
В підрозділі 3.2 розроблено напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для тривимірного рівняння Шредінгера з екранованим кулонівським потенціалом, який використовується в багатьох фізичних моделях. Для переходу до класичної межі у пункті 3.2.1 обрано загальні для тривимірного випадку правила (12). Показано, що для потенціалів, які мають кулонівську особливість в нулі: , де — аналітична, а — зростаюча функція, перетворення на нуль відцентрового доданку веде при переході до класичної межі до падіння частинки на центр. Тому в h розвиненнях змінюються головні за h порядки величин і асимптотичні ряди для енергії та логарифмічної похідної хвильової функції приймають вигляд:
, . (14)
Кількість нулів всередині контуру інтегрування в умовах квантування в цьому випадку дорівнює головному квантовому числу , а контур охоплює тільки точку . Далі, у пункті 3.2.2., застосування теореми про лишки приводить до рекурентних формул для поправок до
енергії та коефіцієнтів розвинень функцій в ряди Лорана:
(15)
де — коефіцієнти розвинення в ряд Лорана потенціальної функції.
Метод протестовано на прикладі кулонівської задачі, для якої у пункті 3.2.3. одержано точні розв’язки. Показано, що у випадку екранованих кулонівських потенціалів ряди за степенями квадрату сталої Планка співпадають з рядами за степенями параметру екранування. Перші п’ять із знайдених поправок теорії збурень для енергії співпадають з наведеними в літературі.
У пункті 3.2.4. метод застосовано для розрахунків енергії зв’язаних станів в полі потенціалу Дебая , який широко використовується в атомній і ядерній фізиці, фізиці плазми, фізиці твердого тіла. Результати розрахунків ілюструє табл. 3.2.
Знання вищих порядків дозволило уточнити висновки попередніх авторів щодо залежності збіжності рядів теорії збурень для енергії частинки в дебаєвському полі від параметру екранування. А саме, показано, що радіус збіжності рядів теорії збурень не є для всіх станів, а залежить від квантових чисел та . Для основного стану доведено розбіжність ряду теорії збурень для енергії при , який вважався збіжним при даних значеннях параметру екранування.
Важливою характеристикою екранованих кулонівських потенціалів є критичне значення параметру екранування , при якому відбувається виштовхування рівня з даними та в неперервний спектр. Зважаючи на практичну цінність потенціалу Дебая, обчисленню значення критичного параметру було присвячено велика кількість робіт, проте ефективні схеми було розроблено лише для основного стану.
У підрозділі 3.3. розв’язано зворотну задачу Штурма–Ліувілля: запропоновано новий аналітичний метод знаходження за відомим власним значенням . Оскільки для екранованих кулонівських потенціалів теорія збурень майже непридатна на границі дискретного та неперервного спектрів, з метою прискорення збіжності методу було зроблено перехід до ангармонічного осцилятора у чотиривимірному просторі. Далі розроблену в підрозділі 3.2. перенормовану логарифмічну теорію збурень для радіального рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора модифіковано на чотиривимірний випадок. Із застосуванням багатопараметричної схеми перенормувань одержано наближені аналітичні формули для обчислення безрозмірного критичного параметру за даними квантовими числами. За цими формулами було проведено чисельні розрахунки. Прискорення збіжності досягалося за допомогою діагональних Паде-аппроксимантів [N/N].
Результати розрахунків представлено в табл. 3.3, де num— результат чисельного інтегрування.
Таблиця 3.3.
N
1 | 0.09632 | 0.034500 | 0.017578 | 0.010627 | 0.0071120
5 | 0.11156 | 0.039720 | 0.020203 | 0.012206 | 0.0081659
10 | 0.11257 | 0.040000 | 0.020333 | 0.012282 | 0.0082152
15 | 0.11259 | 0.040023 | 0.020340 | 0.012284 | 0.0082173
20 | 0.11263 | 0.040021 | 0.020341 | 0.012286 | 0.0082178
num | 0.11271 | 0.040024 | 0.020342 | 0.012286 | 0.0082179
Такого рівня точність у рамках теорії збурень досягалася попередніми авторами лише для випадку основного стану.
У четвертому розділі метод узагальнено на випадок одночастинкового рівняння Клейна–Гордона з екранованим кулонівським потенціалом.
Підрозділ 4.1. висвітлює особливості напівкласичного підходу до логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів радіального рівняння Клейна–Гордона
(16)
з лоренц-векторним потенціалом , що включено в часову компоненту чотири-вектора та лоренц-скалярним потенціалом , який використовують в моделях так званої “динамічної маси”. Причому один з цих потенціалів, чи обидва, мають кулонівську особливість у початку координат.
Після стандартної для логарифмічної теорії збурень заміни увагу приділено рівнянню Ріккаті
. (17)
Відміною від нерелятивістського випадку є поява крім сталої Планка ще й швидкості світла, що потребує перед переходом до класичної межі визначення порядку добутку hc.
На основі аналізу граничних переходів від релятивістської механіки до нерелятивістської та від квантової до класичної показано, що для побудови теорії збурень треба обрати hcO(1). Надалі, для спрощення обчислень покладено hc=1.
Крім того, хоча перехід до класичної межі здійснено за правилами, запропонованими для радіального рівняння Шредінгера (12), умови квантування приймають інший вигляд:
, (18)
де контур охоплює початок координат, до якого стягнулися нулів хвильової функції на дійсній вісі, а доданок одержано шляхом безпосереднього інтегрування логарифмічної похідної навколо початку координат.
Шукані величини представлено наступними розвиненнями з урахуванням їх порядків за степенями сталої Планка:
. (19)
У підрозділі 4.2. здобуто рекурентну систему для обчислення поправок теорії збурень для повної енергії:
, (20)
(21)
де , а також для коефіцієнтів розвинення в ряди Лорана логарифмічної похідної хвильової функції:
(22)
Одержані формули мають таку ж просту алгебраїчну структуру, як і в нерелятивістському випадку, і вирішують проблему опису збуджених станів релятивістської скалярної частинки за допомогою логарифмічної теорії збурень.
Підрозділ 4.3. демонструє застосування методу до випадків кулонівського потенціалу та потенціалу Хюльтена. Доведено, що для чисто кулонівського потенціалу, який має як лоренц-векторну, так і лоренц-скалярну компоненту, відновлюються точні розв’язки для енергії та хвильової функції.
Розглянуто зв’язані стани в полі потенціалу Хюльтена, який містить як векторну, так і скалярну частину. Наведено перші 5 поправок до енергії і показано, що даний алгоритм дійсно відновлює ряди теорії збурень у релятивістському випадку, а для хвиль — і точні розв’язки.
Для збуджених станів досліджено залежність збіжності одержаних рядів від параметру екранування, квантових чисел та лоренцівської природи потенціалу. Результати обчислень власних значень енергії зв’язку частинки в полі потенціалів Хюльтена наведено в табл. 4.1. та 4.2. в релятивістських одиницях.
Знайдено, що для чисто векторного потенціалу поправки теорії збурень непарних порядків дорівнюють нулеві і послідовність часткових сум k перших членів ряду теорії збурень монотонно прямує до точного значення. Для скалярного і рівнозмішаного потенціалів ( та ) існують дві підпослідовності часткових сум — зростаюча та спадна. Найкращим наближенням для енергії є середнє арифметичне двох сусідніх часткових сум в точці максимального зближення послідовностей різної монотонності.
Таблиця 4.2
k | n=1, l=1 | n=2, l=1
EVEWEV+WEVEWEV+W
0 | 0.0658276410 | 0.0469381378 | 0.2000000000 | 0.0361387365 | 0.0273816445 | 0.1176470588
1 | 0.0408276410 | 0.0231115912 | 0.1550000000 | 0.0111387365 | 0.0030661856 | 0.0705882353
2 | 0.0429258608 | 0.0261418445 | 0.1576041667 | 0.0151819849 | 0.0084791552 | 0.0753799020
3 | 0.0429258608 | 0.0260660882 | 0.1575390625 | 0.0151819849 | 0.0083438310 | 0.0752601103
4 | 0.0429313002 | 0.0260797356 | 0.1575459045 | 0.0152016857 | 0.0083832374 | 0.0752797124
5 | 0.0429313002 | 0.0260788067 | 0.1575454727 | 0.0152016857 | 0.0083804511 | 0.0752783920
6 | 0.0429313619 | 0.0260790922 | 0.1575455210 | 0.0152022491 | 0.0083822926 | 0.0752786268
7 | 0.0429313619 | 0.0260790603 | 0.1575455167 | 0.0152022491 | 0.0083820739 | 0.0752786028
8 | 0.0429313632 | 0.0260790724 | 0.1575455172 | 0.0152022850 | 0.0083822747 | 0.0752786079
9 | 0.0429313632 | 0.0260790705 | 0.1575455172 | 0.0152022850 | 0.0083822414 | 0.0752786072
10 | 0.0429313633 | 0.0260790712 | 0.1575455172 | 0.0152022881 | 0.0083822718 | 0.0752786074
Enum | 0.0429313633 | 0.0260790711 | 0.1575455172 | 0.0152022885 | 0.0083822705 | 0.0752786073
П’ятий розділ присвячено розробці напівкласичного підходу до релятивістської логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів частинок зі спіном . У підрозділі 5.1. будується теорія збурень для рівняння Дірака з центральними потенціалами, які мають як часову компоненту лоренцівського чотири-вектора V(r), так і скалярну складову W(r), причому хоч один з цих потенціалів має кулонівську особливість у початку координат. Система радіальних рівнянь Дірака в цьому випадку має вигляд:
(23)
Вилучення малої компоненти F(r) приводить до рівняння Ріккаті для логарифмічної похідної великої компоненти :
, (24)
де .
Його розв’язки представлено у вигляді розвинень в асимптотичні ряди за квадратом сталої Планка. У випадку рівняння Дірака крім розвинень енергії та логарифмічної похідної хвильової функції в ряд розкладається також функція Q(r). Подальша побудова рядів теорії збурень для потенціалів з кулонівською особливістю в загальних рисах співпадає з розробленою в попередньому розділі — це стосується як способу переходу до класичної межі, так і співвідношення порядків h і c та головних порядків за h у розвиненні енергії. Умови квантування приймають вигляд:
, (25)
де — кількість нулів великої компоненти біспінора, а контур інтегрування охоплює тільки початок координат.
У підрозділі 5.2. знайдено рекурентні формули для поправок до енергії та коефіцієнтів hрозвинення логарифмічної похідної великої компоненти. Результатом є рекурентна система, що має просту алгебраїчну структуру, схожу з відповідною системою (20)–(22) для рівняння Клейна–Гордона.
Перевірку одержаних формул проведено у підрозділі 5.3. на прикладі кулонівської задачі з векторною та скалярною взаємодією. Показано, що розроблена техніка відтворює точні розв’язки, причому, на відміну від інших напівкласичних методів, у вигляді замкнених виразів.
Підрозділ 5.4. містить обчислення власних значень енергії для чисто векторного екранованого кулонівського потенціалу. Показано, що перші з отриманих поправок співпадають з наведеними в літературі і обчисленими за іншими алгоритмами теорії збурень. Досліджено поведінку рядів теорії збурень для енергії частинки в полі потенціалів Дебая з параметрами, що застосовуються для опису зовнішніх K – електронів в атомі. Знайдено (табл.5.1.), що на відміну від випадку рівняння Клейна–Гордона, ряди для енергії частинки в полі всіх потенціалів: лоренц-векторного, лоренц-скалярного та рівно змішаного мають однаковий осцилюючий характер збіжності. Визначено, що для важких атомів теорія збурень є зручним методом розрахунків, бо збіжність рядів зростає з ростом атомного номеру.
Підрозділ 5.5. присвячено аналізу рівняння Дірака з немінімальним включенням лінійної за координатою взаємодії, яке при нерелятивістському граничному переході перетворюється на рівняння Шредінгера з осциляторним потенціалом. Ця задача, відома під назвою “осцилятор Дірака”, останнім часом привернула увагу багатьох дослідників, бо вона має точні розв’язки і може розглядатися як перше наближення при описі адронів як зв’язаних станів кварків. Але нефізичне виродження її спектру зумовлює спроби розгляду більш реалістичних потенціалів, що приводить до необхідності застосування наближених методів.
У пункті 5.5.1. розроблено теорію збурень у рамках напівкласичного підходу для збуреного діраківського осцилятора. Відповідне рівняння одержується з рівняння Дірака для вільного ферміона шляхом продовження імпульсу у вигляді
, (26)
що для лінійного аксіального потенціалу приводить до осцилятора Дірака.
В роботі розглянуто центральносиметричні непарні аксіальні потенціали, представлені як . Тоді радіальне рівняння Дірака приймає вигляд:
(28)
У цій найпростішій моделі збуреного осцилятора Дірака питання про співвідношення порядків величин h і c взагалі не виникає. Більш того, незалежно від знаку при велика компонента має асимптотичну поведінку , і внаслідок симетрії умови квантування будуть тотожні тим, що використовуються в тривимірному рівнянні Шредінгера з осциляторним потенціалом. Після вилучення малої компоненти та переходу до рівняння Ріккаті побудова теорії збурень в загальних рисах співпадає з алгоритмом третього розділу.
За одержаними рекурентними формулами було обчислено спектр діраківського осцилятора з найпростішим — кубічним збуренням і проаналізовано зняття виродження спектру. Знайдено, що ряди теорії збурень є факторіально розбіжними і для їх підсумовування необхідно застосовувати методи прискорення збіжності асимптотичних рядів.
Метою пункту 5.5.2. була розробка напівкласичного підходу до логарифмічної теорії збурень для задачі про зв'язані стани системи частинка–античастинка, в якій утримання складових системи здійснюється потенціалом діраківського осцилятора. Ця одновимірна модель розглядається в літературі як важливий елемент опису багаточастинкових кваркових систем. Однак у цьому випадку застосування варіаційних методів, як доведено іншими дослідниками, веде до додаткових ускладнень, і більш раціонально використовувати теорію збурень. Але знаходження поправок за стандартним підходом викликає значні труднощі, тому попередні автори були вимушені обмежитися тільки першим наближенням теорії збурень.
У даному підрозділі вирішено задачу побудови простих рекурентних формул, що дозволило обчислити поправки високих порядків теорії збурень і дослідити збіжність одержаних рядів для спектру мас. Ряди виявилися розбіжними, тому достатню точність розрахунків досягнуто за допомогою перенормувань. Тим самим підтверджено можливість аналітичного дослідження властивостей релятивістських багаточастинкових систем на основі моделей збуреного осцилятора Дірака, що не мають точних розв’язків.
Додатки. У додатках приведено приклади програм аналітичних та чисельних розрахунків, проведених у дисертації.
ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена побудові напівкласичного підходу до логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь з метою усунення недоліку стандартного підходу при розгляді збуджених станів. Вперше вирішено ряд актуальних задач опису низько розташованих рівнів енергії рівнянь Шредінгера, Клейна–Гордона і Дірака, а саме:
Запропоновано новий напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь з використанням напівкласичних h – розвинень і умов квантування, доповнених відповідними правилами переходу до класичної межі.
Розроблено нову рекурентну алгебраїчну процедуру обчислення поправок логарифмічної теорії збурень для власних значень енергії та логарифмічної похідної хвильової функції частинки для одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора. Здобуті рекурентні формули мають однаково простий вигляд як для основних, так і для збуджених станів і дозволяють обчислити поправки теорії збурень довільного порядку як в аналітичному, так і в чисельному вигляді. На відміну від стандартного підходу, метод не потребує знання точного розв’язку незбуреної задачі. Більше того, він дає змогу знайти точні розв’язки, якщо вони існують.
Розроблено рекурентні формули для знаходження поправок довільного порядку перенормованої теорії збурень із застосуванням будь-якої схеми прискорення збіжності асимптотичних рядів. Досліджено спектр ангармонічного осцилятора з потенціалом і вказано на помилки в аналітичних виразах для поправок теорії збурень, наведених іншими авторами.
Метод розповсюджено на випадок тривимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора та екранованим кулонівським потенціалом. Уточнено висновки попередніх авторів щодо залежності збіжності рядів теорії збурень від значень параметру екранування у задачі про зв’язані стани в полі потенціалу Дебая.
Запропоновано новий ефективний метод аналітичного обчислення критичного значення параметру екранування потенціалу Дебая.
Здійснено релятивістське узагальнення методу на задачі про зв’язані стани рівнянь Клейна–Гордона і Дірака з потенціалами різної векторної природи. Знайдено, що ряди теорії збурень для цих рівнянь з екранованими кулонівськими потенціалами мають різний характер збіжності в залежності від векторної природи потенціалу.
Знайдено рекурентні формули для збуреного діраківського осцилятора, у спектрі якого відсутнє нефізичне виродження, і двохчастинкового одновимірного осцилятора Дірака, які є складовими елементами опису реалістичних кваркових систем.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. Semiclassical treatment of the logarithmic perturbation theory // J. Phys. A: Math. Gen. –1999. – Vol.32, № 8. – P. 563–568.
[2] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. A recursion technique for deriving renormalization perturbation expansions for one-dimensional anharmonic oscillator // Int. J. Mod. Phys. A.– 2001.--– Vol. A16, № 14.– P. 2493–2504.
[3] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. A new approach to perturbation theory for a Dirac particle in the central field // Phys. Lett. A –--1999. Vol. 260. № 1. P.1016.
[4] Добровольська І.В., Тутік Р.С. Теорія збурень для релятивістської двочастинкової задачі з осциляторною взаємодією // Вісник Дніпропетровського університету. Фізика. Радіоелектроніка. Вип. 10. Вид-во ДНУ. 2004. – С. 4–9.
[5] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. Logarithmic perturbation theory for radial Klein–Gordon equation with screened Coulomb potentials via expansions // Препр./arXiv:quant-ph/0212087.– 2002. (to be published in Int. J. Mod. Phys. A.)
[6] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. A new approach to the logarithmic perturbation theory for the spherical anharmonic oscillator// Препр./arXiv:quant-ph/0407182.– 2004.
[7] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. Renormalization of perturbation series for one-dimensional anharmonic oscillator // Збірник тез доповідей Bсеукраїнської молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". – Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 1999. – С.15.
[8] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. Critical screening parameter for Debye potential // Збірник тез доповідей ІV Міжнародної молодіжної науково-практичної конференції "Людина і космос". –
Дніпропетровськ: НЦАОМУ. – 2002. – С.45.
[9] Dobrovolska I.V., Tutik R.S. Bound states of the KleinGordon equation with Hulten potential // Збірник тез доповідей ІI Всеукраїнської молодіжної науково-практичної конференції з міжнародною участю "Людина і
