НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

На правах рукопису

ДЕРЖКО Олег Володимирович

УДК 536.75; 538.9

Ефекти анізотропії, регулярної неоднорідності і випадкового безладу

у низьковимірних спінових моделях

01.04.02 – теоретична фізика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

ЛЬВІВ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України.

Офіційні опоненти––– |

доктор фізико-математичних наук, професор Дідух Леонід Дмитрович, Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, завідувач кафедрою фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор Ткач Микола Васильович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедрою теоретичної фізики;

доктор фізико-математичних наук, професор Швець Валерій Тимофійович, Одеська державна академія холоду, завідувач кафедрою вищої математики.

Провідна організація– | Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (м.Київ), відділ нелінійної фізики конденсованого стану.

Захист відбудеться 03.11.2004 року о 13 год. 30 хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01 при Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України за адресою: 79011, м. Львів, вул. Свєнціцького, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 79026, м. Львів, вул. Козельницька, 4.

Автореферат розіслано 01.10.2004 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01,

кандидат фіз.-мат. наук |

Т.Є.Крохмальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Спінові моделі конденсованих середовищ виникли відразу після появи квантової механіки. Завдяки Діраку і Гайзенбергу (а також Ван Флеку, Слетеру і багатьом іншим) з’явилося поняття обмінної взаємодії. У 1931 році Бете запропонував підстановку для знаходження хвильової функції ланцюжка спінів, у якому взаємодіють лише найближчі сусіди з обмінною взаємодією Гайзенберга (спіновий ланцюжок Гайзенберга). Дещо раніше Ізинг знайшов статистичну суму ланцюжка спінів з простішою міжспіновою обмінною взаємодією (спіновий ланцюжок Ізинга). Визначальну роль у дальшому розвитку статистичної теорії багаточасинкових систем і теорії фазових переходів відіграла праця Онзагера 1944 року, у якій він обчислив статистичну суму моделі спінів Ізинга на квадратній гратці (за відсутності зовнішнього магнітного поля). Цей точний розв’язок продемонстрував, як у системі багатьох взаємодіючих частинок виникає фазовий перехід, а також показав, що поведінка різних величин в околі температури фазового переходу може характеризуватися набором показників, що відрізняються від тих, які передбачає теорія середнього поля. У другій половині двадцятого століття ряд важливих результатів теорії конденсованих систем були отримані саме для спінових моделей (це і теорія спінових хвиль, і ряд нових точно ров’язуваних (спінових) моделей систем багатьох взаємодіючих частинок, і ряд строгих результатів для (спінових) моделей систем багатьох взаємодіючих частинок). Ширшим стало і коло фізичних задач, у яких виникали спінові моделі. Окрім традиційної теорії магнетизму, зумовленого локалізованими магнітними моментами, (псевдо)спінові моделі знайшли застосування і в теорії сегнетоелектриків, екситонів, сплавів, в граткових теоріях класичних і квантових рідин, в квантовій оптиці тощо.

Незважаючи на те, що дослідження властивостей спінових моделей ведуться вже коло вісімдесяти років, інтерес до них не зникає. Скоріше навпаки: з початку дев’яностих років минулого століття інтерес до спінових моделей значно зріс. У зв’язку з відкриттям високотемпературних надпровідників в кінці вісімдесятих років минулого століття багато зусиль було зосереджено на експериментальному і теоретичному дослідженні купратів, які можуть виявляти високотемпературну надпровідність. Це привело до синтезу споріднених сполук, які описуються двовимірними, драбинковими чи одновимірними спіновими моделями. Так у 1993 році була синтезована перша неогранічна сполука CuGeO3, яка виявляє спінову нестійкість Пайєрлса (Hase M., Terasaki I., Uchinokura K. // Phys. Rev. Lett. 1993, 70 3651). Інші сполуки, які з'явилися у зв'язку з дослідженнями у цій області – низьковимірні спінові моделі на екзотичних гратках (див., наприклад, Miyahara S., Ueda K. // J. Phys.: Condens. Matter 2003, 15 R327), які виявляють нетривіальні магнітні властивості (плато чи стрибки у кривих намагнічення при низьких температурах), фракціоналізацію елементарних збуджень (Coldea R., Tennant D. A., Tylczynski Z. // Phys. Rev. B 2003, 68 134424), часто з анізотропією/антисиметрією обмінної взаємодії чи геометричними фрустраціями. З другого боку, спінові моделі вдається реалізувати у молекулярних магнетиках. Такі молекулярні магнетики, де елементарним носієм магнетизму є молекула чи “організований” з них молекулярний кристал (наприклад, одновимірний), є перспективними матеріалами для пам’яті комп’ютерів. Інше можливе застосування квантових спінових ланцюжків – квантовий комп’ютинг; квантові спінові ланцюжки розглядаються також з точки зору використання у лініях квантового зв’язку (Bose S. // Phys. Rev. Lett. 2003, 91 207901). Ще один приклад спінових моделей можна навести у зв’язку з матерією з охолоджених атомів. Магнітокалоричний ефект і проекти магнітних холодильних установок, вільних від екологічно шкідливих газів, що руйнують озоновий шар, знову ж таки пов'язані з спіновими моделями (Tegus O., Bruck E., Buschow K. H. J., de Boer F. R. // Nature 2002, 415 150; Zhitomirsky M. E., Honecker A. // arXiv:cond-mat/0404683).

Чим привабливі спінові моделі? По-перше, звичайно вони простіші за електронні моделі (Габарда, Фалікова-Кімбала, Андерсона тощо). Часто спінові моделі з’являються у граничних випадках тієї чи іншої моделі сильно корельованих електронів. На прикладі спінових моделей часто можна з’ясувати загальні риси сильно корельованих квантових систем, які притаманні і складнішим моделям, але вивчати які є значно трудніше. Так багато особливостей квантових фазових переходів можна зрозуміти на прикладі одновимірної моделі Ізинга у поперечному магнітному полі (Sachdev S. Quantum phase transitions. – Cambridge: Cambridge University Press, 1999). Підкреслимо також, що за останні десять-двадцять років з’явилося багато нових методів дослідження квантових систем з сильними кореляціями (наприклад, бозонізація і інші методи низьковимірних теорій поля, розвиток методу Бете, чисельні методи), які були напочатку застосовані для аналізу саме спінових систем.

Таким чином, дослідження низьковимірних квантових спінових моделей сьогодні становить значний інтерес, про шо свідчить і величезний потік публікацій на цю тему у провідних фізичних журналах, і багато конференцій, присвячених обговоренню сучасного стану розвитку науки у цій області.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження у області статистичної механіки спінових моделей мають давні традиції у Львові і починаються, мабуть, з шістдесятих років двадцятого століття. Такі дослідження, зокрема, тісно пов’язані з теперішньою науковою тематикою Інституту фізики конденсованих систем Національної академії наук України. Дослідження, результати яких представлені у дисертації, були виконані у відділі теорії модельних спінових систем Інституту фізики конденсованих систем НАН України у відповідності з планом наукової роботи за темами: #0194U022990 “Розробка мікроскопічної теорії релаксаційних явищ і термодинамічних властивостей невпорядкованих систем в кластерному підході”, #0199U000667 “Дослідження впливу зовнішніх полів і безладу на фазовий перехід і фізичні властивості псевдоспінових систем з суттєвими короткосяжними і далекосяжними взаємодіями” та #0102U000219 “Дослідження регулярних і невпорядкованих сегнетоактивних матеріалів у базисному підході”.

Мета і задачі дослідження. Мета представлених у дисертації досліджень – проаналізувати можливі прояви у макроскопічних властивостях низьковимірних спінових моделей регулярної неоднорідності міжспінових взаємодій чи локальних полів, наявності випадкових взаємодій чи полів, анізотропії взаємодій (у спіновому просторі чи у реальному просторі), а також фрустрації взаємодій. Об’єктом досліджень є вплив особливостей мікроскопічних взаємодій у спінових моделях на їх макроскопічну поведінку. Для цього було розглянуто ряд спінових гамільтоніанів (Ізинга, Гайзенберга, XY моделі) на одновимірних і двовимірних гратках (зокрема, квадратній гратці і гратках квадратне кагомі і кагомі). Нас цікавили статичні та динамічні сприйнятливості, структурні фактори, намагніченості, теплоємності та інші термодинамічні величини. Ми вивчали структурну нестійкість спінової гратки (спінову нестійкість Пайєрлса), а також критичну поведінку в околі точок фазових переходів. Предметом досліджень були термодинамічні і динамічні властивості низьковимірних спінових моделей з регулярнозмінними, випадковими, конкуруючими взаємодіями. Для досягнення цілей досліджень ми використовували ряд методів сучасної теорії конденсованих систем: ферміонізацію Йордана-Вігнера, метод функцій Гріна, метод неперервних дробів, теорію спінових хвиль тощо. Ми також використовували чисельні розрахунки, які у випадку малих систем доповнювали скінченорозмірним скейлінгом.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі запропоновано новий аналітичний метод дослідження термодинамічних властивостей спін-1/2 XY ланцюжків (ізотропного XY ланцюжка у поперечному полі, поперечного ланцюжка Ізинга, анізотропного XY ланцюжка без поля) з регулярнозмінними параметрами гамільтоніана. Метод грунтується на ферміонізації Йордана-Вігнера і використанні представлення неперервних дробів для функцій Гріна. Цей підхід дозволяє отримати щільність розподілу енергій чи квадратів енергій елементарних збуджень аналітично, що є перевагою у порівнянні з іншими методами. Підхід узагальнено на складніший випадок, коли параметри гамільтоніана є випадковими величинами (певного типу).

У дисертаційній роботі запропоновано кілька нових точно розв’язуваних моделей спінових ланцюжків з випадковими параметрами гамільтоніана. Запропоновані моделі з скорельованим безладом є поширенням на випадок спінових систем раніше відомих результатів для електронних систем. В результаті аналізу термодинаміки цих моделей було показано, як безлад може проявляти себе у макроскопічних властивостях, зокрема, у процесах намагнічення таких магнітних систем.

У дисертаційній роботі було досліджено структурні нестійкості деяких одновимірних і двовимірних граток, зумовлених механізмом Пайєрлса, за наявності зовнішнього магнітного поля і/чи антисиметричних міжспінових взаємодій. Розгляд стосувався ізотропної/анізотропної XY моделі і моделі Гайзенберга. Зокрема, вперше передбачено структурну нестійкість моделі Гайзенберга на гратці кагомі при полі насичення.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, представлених у дисертації досліджень, мають (крім самостійного інтересу) застосування до інших проблем теорії конденсованих систем. Так результати проведеного аналізу властивостей спінових систем в основному стані та при ненульових температурах важливі для розуміння динамічних властивостей таких систем (динаміка димеризованих спін-1/2 ізотропних XY ланцюжків розглядалася у працях de Lima J. P., Goncalves L.L. // arXiv:cond-mat/0111372; Derzhko O., Krokhmalskii T., Stolze J. // J. Phys. A 2002, 35 3573; динаміка ланцюжків з скорельованим безладом розглядалася у працях Derzhko O., Krokhmalskii T. // physica status solidi (b) 2000, 217 927; динаміка zz спінових кореляцій двовимірних систем розглядалася у працях Derzhko O., Krokhmalskii T. // Physica B 2003, 337 357; Nunner T. S., Kopp T. // Phys. Rev. B 2004, 69 104419). Отримані в дисертації результати для регулярнозмінних спін-1/2 XY ланцюжків є корисними при вивченні складніших ланцюжків, наприклад, ланцюжків Гайзенберга (Cabra D. C., Grynberg M. D., Honecker A., Pujol P. // arXiv:cond-mat/0010376; Tong P., Zhong M. // Physica B 2001, 304 91). Результати, що стосуються впливу взаємодії Дзялошинського-Морія на нестікість Пайєрлса, потрібні для розуміння результатів чисельного дослідження складніших спінових ланцюжків (див., наприклад, Yang Z., Wang Z., Chen H. // J. Phys.: Condens. Matter 2002, 14 L19), а також для побудови теорії, що не використовує адіабатичної границі. Результати дальшого дослідження властивостей запропонованої нами точно розв'язуваної моделі можна знайти у праці Goncalves L. L., Vieira A. P. // J. Magn. Magn. Mater. 1998, 177-181 79. Результати застосування двовимірної ферміонізації Йордана-Вігнера для спін-1/2 систем розвиваються далі у праці Cabra D. C., Rossini G. L. // Phys. Rev. B 2004, 69 184425. Ми сподіваємося, що виконаний нами аналіз структурної нестійкості деяких квантових фрустрованих антиферомагнетиків у сильних зовнішніх магнітних полях, стимулюватиме відповідні експериментальні дослідження.

Особистий внесок здобувача. Усі викладені в дисертації оригінальні результати отримані автором дисертації самостійно або при його безпосередній участі. У спільних публікаціях автору дисертації належить постановка задач, вибір методів дослідження; він брав участь у виконанні аналітичних і чисельних розрахунків та інтерпретації отриманих результатів. Цілий ряд результатів отримані дисертантом самостійно: застосування методу неперервних дробів до розрахунку термодинамічних функцій регулярнозмінних спін-1/2 XY ланцюжків, узагальнення методу за наявності випадкового (лоренцового) поперечного поля, тестування наближення сильного зв’язку для розрахунку кривої намагніченості, результати для термодинаміки регулярнозмінного спін-1/2 анізотропного XY ланцюжка без поля, аналіз властивостей в основному стані класичних регулярнозмінних ланцюжків, а також застосування двовимірного перетворення Йордана-Вігнера до розрахунку термодинамічних функцій спін-1/2 анізотропної XY моделі на квадратній гратці. Автор також самостійно виконав аналітичні розрахунки при дослідженні спін-пайєрлсової нестійкості граток квадратне кагомі і кагомі у сильних магнітних полях.

Апробація роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на таких міжнародних наукових конференціях: Small Triangle Meeting on theoretical physics (Medzev, Slovak Republic, 2003), International Conference on Theoretical Trends in Low-Dimensional Magnetism (Florence, Italy, 2003), International Workshop and Seminar on Quantum Phase Transitions (Dresden, Germany, 2003), International Workshop and Seminar on Modern Aspects of Quantum Impurity Systems (Dresden, Germany, 2003), 28th Conference of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (Saarbrucken, Germany, 2003), 288. WE-Heraeus-Seminar on the Theme of “Quantum Magnetism: Microscopic Techniques for Novel States of Matter” (Bad Honnef, Germany, 2002), 19th General Conference of the EPS Condensed Matter Division held jointly with CMMP 2002 - Condensed Matter and Materials Physics (Brighton, UK, 2002), 11th Czech and Slovak Conference on Magnetism (Kosice, Slovak Republic, 2001), XII School of Modern Physics on Phase Transitions and Critical Phenomena (Ladek Zdroj, Poland, 2001), Ampere Summer School “Applications of Magnetic Resonance in Novel Materials” (Nafplion, Greece, 2000), Aperiodic 2000 (Nijmegen, The Netherlands, 2000), 227. WE-Heraeus-Seminar on Microscopic Theories of Phase Transitions: Quantum Versus Thermal Fluctuations (Bad Honnef, Germany, 1999), Localisation 99. International Conference on Disorder and Interaction in Transport Phenomena (Hamburg, Germany, 1999), The European Conference Physics of Magnetism 99 (Poznan, Poland, 1999), International Workshop on Cooperative Phenomena in Statistical Physics: Theory and Applications (Dresden, Germany, 1999), XXth IUPAP International Conference on Statistical Physics STATPHYS20 (Paris, France, 1998), Summer College in Condensed Matter on “Statistical Physics of Frustrated Systems” (ICTP, Trieste, Italy, 1997), 22nd Seminar of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (Szklarska Poreba, Poland, 1997), 9th International Conference on Rapidly Quenched and Metastable Materials (Bratislava, Slovakia, 1996), 6th European Magnetic Materials and Applications Conference, First International Workshop on Simulation of Magnetization Processes (Vienna, Austria, 1995), Research Workshop on Condensed Matter Physics, Miniworkshop on Quantum Incoherence and Quantum Coherence in Strongly Correlated Systems (ICTP, Trieste, Italy, 1995), 34 Schladming Winter Workshop on Low-Dimensional Models in Statistical Physics and Quantum Field Theory (Schladming, Austria, 1995), International Conference on Magnetism 1994 (Warsaw, Poland, 1994). Результати дисертації також були представлені на ряді всесоюзних, всеукраїнських та регіональних конференцій. Окремі результати були темами семінарів, проведених автором в університетах Магдебурга, Дортмунда, Вроцлава, Будапешта, Львова та неодноразово обговорювалися на семінарах Інституту фізики конденсованих систем НАН України і відділу теорії модельних спінових систем цього інституту.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 1 розділ у колективній монографії, 31 журнальну статю, 1 препринт; з них 7 публікацій є одноосібними, а 26 з кількома співавторами. Перелік основних публікацій подано в кінці автореферату.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків та списку використаних джерел. Робота викладена на 263 сторінках (разом з літературою 298 сторінок), включає бібліографічний список, що містить 329 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлено актуальність теми дослідження, сформульовано мету роботи та відзначено її наукову новизну і практичне значення.

У першому розділі “Низьковимірні спінові моделі у фізиці конденсованих систем” розглянуто ряд спінових моделей, що використовуються у фізиці конденсованих систем, приведено стислий огляд методів, які застосовуються для аналізу їх властивостей, та отриманих за їх допомогою результатів. Особлива увага зосереджена на методі, що грунтується на перетворенні Йордана-Вігнера. Цей метод дозволяє зобразити квантову спін-1/2 модель з допомогою системи безспінових ферміонів Йордана-Вігнера. Далі приведено короткий перелік основних результатів, отриманих у підході ферміонізації Йордана-Вігнера, а також сформульовано проблеми, які розглядатимуться у дисертації.

У другому розділі “Статичні сприйнятливості неоднорідного ланцюжка Ізинга” приведено результати аналізу впливу неоднорідності обмінних взаємодій на залежність від температури компонент тензора початкової (тобто у нульовому зовнішньому магнітному полі) статичної сприйнятливості . На відміну від підходу запропонованого Ідогакі, Рікітоку і Такером (Idogaki T., Rikitoku M., Tucker J. W. // J. Magn. Magn. Mater. 1996, 152 311), який грунтувався на тотожності Калена-Сузукі, ми скористалися теорією лінійного відгуку і точними результатами для спінових кореляційних функцій неоднорідного ланцюжка Ізинга з гамільтоніаном . Остаточна відповідь має вигляд:

, (1)

, (2)

а решта компонент тензора дорівнюють нулю [11,12]. Формули (1), (2) узагальнюють добре відомі результати для однорідного ланцюжка Ізинга на випадок, коли обмінна взаємодія змінюється вздовж ланцюжка. Вони дозволяють вивчити вплив регулярнозмінних чи випадкових обмінних взаємодій на температурну залежність компонент тензора статичних сприйнятливостей.

Проведений аналіз для поздовжньої статичної сприйнятливості показує, що якщо обмінні взаємодії феромагнітного чи антиферомагнітного типу змінюються регулярно вздовж ланцюжка, то поведінка при низьких температурах може бути і такою як у феромагнетика, і такою як у антиферомагнетика залежно від конкретного виду послідовності обмінних взаємодій. Приведені на рис. 1, 2 результати для випадкових взаємодій показують, що якщо випадковий розподіл містить обмінні взаємодії обох знаків, то феро- чи антиферомагнітна асимптотика при низькій температурі перетворюється на асимптотику, притаманну парамагнетику. Випадкові обмінні взаємодії можуть сприяти зростанню поперечної статичної сприйнятливості . У випадку, коли обмінні взаємодії випадково набувають одне з двох значень, може бути як більше так і менше за сприйнятливість такого ж регулярнозмінного ланцюжка залежно від конкретної послідовності обмінних взаємодій.

У третьому розділі досліджуються деякі властивості узагальненої одновимірної спін-1/2 XY моделі з гамільтоніаном

. (3)

Перетворенням повороту у спіновому просторі таку модель можна звести до спін-1/2 анізотропного XY ланцюжка з z компонентою взаємодії Дзялошинського-Морія (Конторович В. М., Цукерник В. М. // Журн. экспер. теорет. физ. 1967, 53 1167). Шляхом перетворень Йордана-Вігнера, Фур’є та Боголюбова спінову модель (3) можна зобразити системою невзаємодіючих ферміонів з енергіями

(4)

Це дозволяє розрахувати термодинамічні функції, а також спінові кореляційні функції [3]. У цьому розділі приведено також розрахунок поперечної динамічної сприйнятливості [3,4]. Детальний аналіз цієї величини виконано для гранично анізотропного випадку (ланцюжок Ізинга в поперечному полі з взаємодією Дзялошинського-Морія). При цьому показано, що частотний профіль zz динамічної сприйнятливості може змінюватися якісно за наявності взаємодії Дзялошинського-Морія (рис. 3,4).

Вплив взаємодії Дзялошинського-Морія на динамічні властивості можна дослідити і у іншому граничному випадку – для ізотропного XY ланцюжка у поперечному полі [32]. У такій моделі взаємодію Дзялошинського-Морія можна “виключити”, перенормувавши ізотропну XY взаємодію. В результаті для zz динаміки можна використати вже відомі результати (Taylor J. H., Muller G. // Physica A. 1985, 130 1). zz динамічні величини зумовлені континуумом двоферміонних (частинка-дірка) збуджень; границі двоферміонного континууму у площині хвильовий вектор – частота та лінії, вздовж яких може мати місце сингулярна поведінка, за наявності взаємодії Дзялошинського-Морія слідують з результатів Тейлора і Мюллера після перенормування величини ізотропної XY взаємодії . При цьому стає зрозумілим, що взаємодія Дзялошинського-Морія не може бути виявлена у експерименті, пов’язаному з поперечною динамікою. Точні результати для xx (yy) та xy (yx) динамічних величин можуть бути отримані у границі безмежно високої температури, а також при нульовій температурі і сильному (поперечному) магнітному полі. Наприклад, при для динамічних структурних факторів маємо:

, (5)

де . xx (yy) та xy (yx) динамічні структурні фактори (сприйнятливості) зазнають якісних змін за наявності взаємодії Дзялошинського-Морія (як видно, зокрема, з (5)), а тому динамічні експерименти пов’язані з xx (yy) та xy (yx) динамікою можуть бути використані для експериментального визначення взаємодії Дзялошинського-Морія.

Результати строгого розгляду енергетичного спектру спінової моделі (3) можна використати для аналізу наближення комутаційних співвідношень Бозе (при якому нехтують так званою кінематичною взаємодією), яке часто використовують у теорії квантових спінових систем. Застосувавши таке наближення до спінової моделі (3), приходимо до системи невзаємодіючих бозонів, енергетичний спектр яких збігається з (4), коли має місце симетрія , [2,5]. Таким чином, у частинному випадку ізотропного XY ланцюжка без чи з взаємодією Дзялошинського-Морія залежність енергії елементарних збуджень від квазіімпульсу не змінюється після наближення комутаційних співвідношень Бозе, тоді ж як у частинному випадку ланцюжка Ізинга у поперечному полі таке наближення приводить до неправильного результату для енергії елементарних збуджень. Різниця, зумовлена кінематичною взаємодією, виникає, починаючи з доданків, пропорційних до квадрату взаємодії.

Третій розділ дисертації завершується аналізом короткочасової спінової динаміки спін-1/2 XY ланцюжків, який виконано для простоти у випадку ланцюжка Ізинга у поперечному полі [1]. Якщо розвинути залежний від часу оператор у означенні парної різночасової спінової кореляційної функції у ряд за степенями часу, то коефіцієнти у такому ряді (які пов’язані з однаковочасовими кореляційними функціями) для спін-1/2 XY ланцюжків можуть бути обчислені точно. Приведені у дисертації результати для часовозалежних xx кореляційних функцій одновимірної моделі Ізинга у поперечному полі можуть бути використані для тестування різних наближених результатів (c-циклічне наближення, покращене c-циклічне наближення, наближення Ватараї-Матцубари тощо), а також для конструювання нових наближених виразів для динамічних величин. Зокрема, у дисертації розглянуто таке наближення, що використовує апроксимації Паде короткочасових розвинень.

У четвертому розділі “Ізотропні XY ланцюжки з регулярнозмінними параметрами” досліджуються властивості одновимірної спін-1/2 ізотропної XY моделі у поперечному полі з регулярнозмінними параметрами (міжвузловими взаємодіями і (поперечними) полями на вузлах). Гамільтоніан моделі має вигляд

, (6)

а послідовність параметрів у (6) є , де p – період регулярної зміни параметрів гамільтоніана. Нас цікавлять властивості системи в основному стані і термодинамічні властивості системи. Для аналітичного обчислення потрібних для такого дослідження величин ми використовуємо пертворення Йордана-Вігнера, після якого приходимо до одновимірної системи безспінових ферміонів з гамільтоніаном . Далі ми використовуємо представлення з допомогою неперервних дробів для температурних двочасових функцій Гріна (). Для регулярнозмінних ланцюжків неперервні дроби у цьому представленні стають періодичним і можуть бути обчислені точно після ров’язування квадратного рівняння. В результаті отримуємо точний розв’язок для діагональних функцій Гріна і пов’язаної з ними щільності розподілу енергії елементарних збуджень

. (7)

Щільність станів (7) дозволяє отримати термодинамічні функції спінової моделі (6) [14,15], а також такі локальні величини як (поперечна) намагніченість чи (поперечна) сприйнятливість окремого вузла. Підхід, що використовує неперервні дроби, можна узагальнити на випадок, коли поперечні поля на вузлах є незалежними випадковими змінними з лоренцовою щільністю розподілу ймовірності [14,15].

Регулярнозмінні параметри гамільтоніана приводять до ряду цікавих ефектів у макроскопічних властивостях спінової системи [18,20]. Залежність намагніченості від поля при нульовій температурі містить горизонтальні фрагменти – плато намагніченості. Їх число залежить від періоду неоднорідності, а значення намагніченості є універсальною величиною у відповідності з умовою квантування Ошікави, Яманаки і Афлека (Oshikawa M., Yamanaka M., Affleck I. // Phys. Rev. Lett. 1997, 78 1984). Значення полів, які відповідають початку/кінцю плато на кривій намагніченість – поле є неуніверсальними величинами, які залежать від конкретних значень параметрів гамільтоніана. Неуніверсальними є і значення локальних намагніченостей, що відповідають плато. Регулярна зміна параметрів гамільтоніана (6) може приводити до появи ненульової намагніченості в нульовому (середньому) полі, а також до немонотонної температурної залежності намагніченості (див. рис. 5). Усереднена щільність станів для моделі з випадковим (лоренцовим) поперечним полем дозволила аналітично дослідити процеси намагнічення у випадковому регулярнозмінному ланцюжку. При цьому було проаналізовано сценарій розмиття плато у кривій намагніченість – поле при появі у системі регулярнозмінного безладу (наприклад, кожне друге поле випадкове). Строгий аналіз процесів намагнічення у регулярнозмінних спін-1/2 ізотропних XY ланцюжках був також використаний для аналізу меж застосовності наближеного підходу до отримання кривих намагніченість – поле (наближення сильного зв’язку) [22,20].

Аналітичні результати для енергії основного стану (вільної енергії Гельмгольца), знайдені з допомогою неперервних дробів дозволяють дослідити спінову нестійкість Пайєрлса спін-1/2 ізотропного XY ланцюжка у адіабатичній границі. За відсутності зовнішнього поля однорідний спін-1/2 ізотропний XY ланцюжок структурно нестійкий і структурно димеризується через механізм Пайєрлса (Pincus P. // Solid State Commun. 1971, 9 1971). Вплив однорідного поперечного поля на димеризацію Пайєрлса обговорювався у праці Taylor J. H., Muller G. // Physica A. 1985, 130 1. Вплив однорідної взаємодії Дзялошинського-Морія за відсутності поля на димеризацію Пайєрлса проаналізовано у праці Звягин А. А. // Журн. экспер. теорет. физ. 1990, 98 1396. Нові висновки про вплив взаємодії Дзялошинського-Морія на спін-пайєрлсову димеризацію можна отримати при аналізі регулярнозмінного ланцюжка з гамільтоніаном

, (8)

у якому припускатимемо, що , ; тут є димеризаційний параметр, а параметр описує можливість різної залежності від міжвузлової відстані ізотропної обмінної взаємодії і взаємодії Дзялошинського-Морія [17,19]. Обчисливши повну енергію ланцюжка, яка складається з магнітної енергії і пружньої енергії , ми досліджуємо мінімум/мінімуми у залежності цієї величини від димеризаційного параметра. Типові результати приведено на рис. 6, 7, 8. Такий аналіз дозволяє збудувати фазову діаграму у площині пружність гратки – поперечне поле , вказуючи області стійкості/метастабільності димеризованої чи однорідної фази (рис. 9). Так при нульовій температурі було показано, що поперечне поле руйнує димеризацію за сценарієм фазового переходу першого роду, наявність однорідної взаємодії Дзялошинського-Морія ( у (8)) протидіє димеризації, зменшуючи значення димеризаційного параметра і критичного поля, яке руйнує димеризований стан, тоді ж як при взаємодія Дзялошинського-Морія може сприяти димеризації Пайєрлса (рис. 9). Ми розглянули вплив z компоненти взаємодії Дзялошинського-Морія з парметром на спін-пайєрлсову димеризацію в основному стані і у складнішому ланцюжку – ізотропному ланцюжку Гайзенберга [19]. Виключаючи z компоненту взаємодії Дзялошинського-Морія з гамільтоніана через відповідне унітарне перетворення, можна побачити, що перенормування компонент взаємодії Гайзенберга, яке має місце при такому перетворенні, “уподібнює” ланцюжок Гайзенберга до ізотропного XY ланцюжка. Ми перевірили також справедливість висновків про вплив взаємодії Дзялошинського-Морія на спін-пайєрлсову димеризацію ланцюжка Гайзенберга в залежності від значення параметра , виконавши чисельні розрахунки для систем з 24 і 28 спінів (рис. 8).

У п’ятому розділі “Регулярнозмінний ланцюжок Ізинга в поперечному полі” досліджується одновимірна модель Ізинга в поперечному полі з гамільтоніаном

. (9)

У (9) обмінні взамодії і поля змінюються вздовж ланцюжка регулярно з періодом , тобто послідовність параметрів є . Така модель унітарно еквівалентна ряду інших спінових ланцюжків, термодинаміка яких через це буде однаковою. Зокрема, спін-1/2 анізотропний XY ланцюжок без поля з гамільтоніаном

(10)

унітарно еквівалентний двом вдвічі коротшим ланцюжкам Ізинга у поперечному полі (9) з параметрами (взаємодії), (поля) і (взаємодії), (поля) [26,29].

У п’ятому розділі дисертації показано як отримати аналітично термодинамічні функції спінового ланцюжка (9) для довільного скінченого періоду регулярної зміни , використавши перетворення Йордана-Вігнера і неперервні дроби [21]. Для цієї моделі вдається знайти щільність розподілу квадратів енергій елементарних збуджень (безспінових ферміонів Йордана-Вігнера) , через яку виражається вільна енергія Гельмгольца, а отже всі термодинамічні величини. Щільність станів дозволяє також отримати величину щілини в енергетичному спектрі спінового ланцюжка.

Обговоримо вплив регулярнозмінного поперечного поля (тобто у (9) , , ) на властивості спінової моделі (9) [21,26,27,28,29,33]. Аналіз поведінки щілини в енергетичному спектрі із зміною поперечного поля показує, що для ланцюжка з () щілина може зникати при двох, трьох або чотирьох (двох, трьох, чотирьох, п’яти або шести) значеннях поля . Зникнення щілини в енергетичному спектрі свідчить про точку квантового фазового переходу (у однорідній моделі (9) маємо – дві точки квантового фазового переходу, критична поведінка в околі яких належить до класу універсальності моделі Ізинга на квадратній гратці). Досліджуючи критичну поведінку енергетичної щілини і енергії основного стану, ми виявили, що вона може характеризуватися або залежністю і , або залежністю і . В результаті у першому випадку маємо критичну поведінку з класу універсальності моделі Ізинга на квадратній гратці (з критичними показниками , (логарифмічна розбіжність)), а у другому випадку – слабшу сингулярність (квантовий фазовий перехід четвертого роду за класифікацією Еренфеста з критичними показниками , ). Ці особливості критичної поведінки були підтверджені результатами чисельного аналізу спінових кореляційних функцій.

Виявлена залежність енергетичної щілини від поперечного поля у регулярнозмінному поперечному ланцюжку Ізинга дозволяє пояснити особливості поведінки поперечної намагніченості, поперечної статичної сприйнятливості чи низькотемпературної теплоємності із зміною поля (див. рис. 10). Зокрема, при критичних полях може або логарифмічно розбігатися, або мати логарифмічно розбіжну другу похідну за полем, а теплоємність при критичних полях прямує до нуля лінійно із зменшенням температури (див. рис. 10).

Спінові кореляційні функцій в загальному випадку не можуть бути знайдені розвинутим методом (який дозволяє знайти лише щільність станів і термодинамічні величини); ці величини можуть бути знайдені чисельним способом. Однак, при деяких значеннях поля (коли поле на одному з вузлів дорівнює нулю) основний стан (а отже і спінові кореляційні функції) моделі (9) вдається визначити точно. При цих значеннях поля після відповідного унітарного перетворення ланцюжок (9) перетворюється у систему невзаємодіючих кластерів з вузлів, а тому його властивості в основному стані можуть бути проаналізовані строго. При цьому отримано, наприклад, значення різних парних спінових кореляційних функцій .

У п’ятому розділі приведено також аналіз магнітих властивостей при нульовій температурі класичного аналога регулярнозмінних поперечних ланцюжків Ізинга (ізотропних XY ланцюжків), у яких спінові змінні зображаються трикомпонентними векторами (а не матрицями Паулі). Так класичний аналог гамільтоніана (9) має вигляд

. (11)

Вибираючи відповідну підстановку для енергії основного стану моделі (11) з параметрами, які визначаються в результаті мінімізації енергії основного стану, можна знайти спінові конфігурації, які реалізуються при тих чи інших значеннях поля . Важливо відзначити, що і у класичному регулярнозмінному ланцюжку можливі плато у залежності намагніченість – поле (див. рис. 11, 12).

Завершується п’ятий розділ аналізом впливу анізотропії обмінної XY взаємодії на структурну димеризацію Пайєрлса в основному стані. Використовуючи щільність станів для спінового ланцюжка (10) з параметрами , , , , де – параметр анізотропії, ми дослідили поведінку повної енергії як функції димеризаційного параметра і проаналізували, як із зростанням анізотропії димеризований стан перестає бути вигіднішим у порівнянні з однорідним (див. рис. 13). Анізотропія обмінної взаємодії подібно до поперечного поля руйнує димеризовану фазу згідно з сценарієм фазового переходу першого роду. Однак, значення димеризаційного параметра , при якому повна енергія має глобальний мінімум, зменшується (залишається незмінним) із зростанням ().

У шостому розділі “Ізотропні XY ланцюжки з діагональним і скорельованим безладом” досліджуються термодинамічні властивості ізотропних XY ланцюжків з взаємодією Дзялошинського-Морія у випадковому (лоренцовому) поперечному полі (діагональний безлад) або з випадковими (лоренцовими) взаємодіями і полями на вузлах, що залежать лінійно від взаємодій, що оточують вузол (скорельований безлад). Гамільтоніан таких моделей можна записати у вигляді

. (12)

При цьому, наприклад, ізотропні обмінні взаємодії є незалежні випадкові змінні з щільністю розподілу ймовірності Лоренца

, (13)

взаємодії Дзялошинського-Морія не змінюються від вузла до вузла, а поперечні поля на вузлах визначаються формулою:

, (14)

де є дійсний параметр і . Після перетворення Йордана-Вігнера випадковий спіновий ланцюжок зображається ланцюжком сильнозв’язаних безспінових ферміонів з комплексним інтегралом переносу; випадкове поле відповідає випадковій енергії на вузлі; випадкова взаємодія відповідає випадковому інтегралу переносу. Для розрахунку усередненої щільності станів ферміонів Йордана-Вігнера, яка дозволяє отримати всі термодинамічні функції спінової моделі, ми використовуємо метод, розвинутий раніше для електронних систем (John W., Schreiber J. // physica status solidi (b) 1974, 66 193). У цьому підході ми усереднюємо за безладом рівняння руху для ферміонних двочасових температурних функцій Гріна, використовуючи контурні інтеграли і критерій Гершгоріна, який дозволяє з’ясувати розташування сингулярностей функцій Гріна у площині комплексних випадкових змінних. Для моделі (12) – (14), наприклад, остаточий результат для усередненої щільності станів має вигляд [6,8,13]:

,

,

. (15)

Формула (15) містить у граничному випадку , модель з діагональним безладом, яка була досліджена раніше окремо [7,9,10]. Мабуть найцікавішою властивістю моделі з скорельованим безладом є асиметрія щільності станів, яка особливо яскраво проявляється, коли (див. рис. 14, 15). Вона має ряд важливих наслідків для термодинаміки. Наприклад, модель з скорельованим безладом може мати ненульову середню намагніченість у нульовому середньому полі при низьких температурах. Ця властивість спостерігалась також і для іншого типу (не обов’язково лоренцового) скорельованого безладу (Goncalves L. L., Vieira A. P. // J. Magn. Magn. Mater. 1998, 177-181 79). Вона справді зумовлена скорельованістю введеного безладу. Розгляньмо певну випадкову реалізацію ланцюжка (12) – (14). Можна очікувати, що у такому ланцюжку буде однакове число вузлів, оточених сильними взаємодіями, і вузлів, оточених слабкими взаємодіями. Через накладене співвідношення (14) для поперечні поля на одних і других вузлах мають однакові значення, але протилежні напрямки, так що середнє поле дорівнює нулю. З другого боку можна очікувати, що вузли, оточені сильними взаємодіями, матимуть меншу намагніченість, а вузли, оточені слабкими взаємодіями, матимуть більшу намагніченість, орієнтовану у протилежному напрямку. В результаті середня намагніченість виявиться відмінною від нуля. Із ростом параметра різниця між протилежно напрямленими намагніченостями меншає. Включення додаткової взаємодії Дзялошинського-Морія між вузлами також робить цю різницю меншою. Ці аргументи пояснюють виникнення ненульової намагніченості у нульовому полі, що зумовлено скорельованістю недіагонального і діагонального безладу. Їх можна доповнити кількісним аналізом асиметрії усередненої щільності станів [16]. А саме, для неоднорідного спін-1/2 ізотропного XY ланцюжка у поперечному полі ми обчислюємо строго моменти щільності станів (перший, другий і третій). Такі результати дозволяють знайти моменти усередненої щільності станів довільного випадкового ланцюжка. Ми проаналізували, за яких умов з’являється відмінний від нуля третій момент усередненої щільності станів при нульовому полі, що сигналізує про асиметрію усередненої щільності станів [16].

У сьомому розділі досліджуються двовимірні квантові спінові моделі. Напочатку ми розглядаємо спін-1/2 анізотропну XY модель на просторово анізотропній квадратній гратці з гамільтоніаном

(16)

(тут і є обмінні взаємодії між сусідніми спінами вздовж рядка чи стовпця, а параметр контролює анізотропію обмінної взаємодії [23,24,25,30]. Така модель дозволяє дослідити вплив просторової анізотропії і анізотропії у спіновому просторі на властивості двовимірної квантової спінової системи. Для аналізу статистико-механічних властивостей моделі (16) ми використали підхід, що грунтується на двовимірній ферміонізації Йордана-Вігнера (Fradkin E. // Phys. Rev. Lett. 1989, 63 322) [23,24,25], лінійну теорію спінових хвиль [30], а також виконали скінченорозмірний скейлінг результатів точної діагоналізації для малих систем (з числом спінів меншим за чи рівним 36) [30]. Дослідження енергії основного стану як функції анізотропії у методі двовимірної ферміонізації Йордана-Вігнера передбачає квантовий фазовий перехід першого роду керований анізотропією. Такий аналіз не може бути виконаний у межах лінійної теорії спінових хвиль, але дуже добре узгоджується з висновками, отриманими у методі взаємодіючих кластерів і методі скорельованих базисних функцій (Farnel D. J. J., Kruger S. E., Parkinson J. B. // J. Phys.: Condens. Matter 1997, 9 7601; Farnel D. J. J., Ristig M. L. cond-mat/0105386). Ми також дослідили появу намагніченості в основному стані для ізотропної XY моделі, коли у системі невзаємодіючих ланцюжків зростає міжланцюжкова взаємодія (див. рис. 16). Результати отримані різними методами дещо відрізняються, що свідчить про те що ця проблема потребує подальшого аналізу, але у будь-якому разі виникнення параметра порядку з появою міжланцюжкової взаємодії у ізотропній XY моделі відбувається при значно менших значеннях R аніж у відповідній ізотропній моделі Гайзенберга. Ми порівняли результати підходу двовимірної ферміонізації Йордана-Вігнера для термодинамічних величин (теплоємності і параметра порядку) з відомими в окремих випадках точними результатами чи результатами обчислень методом квантового Монте Карло.

У останньому параграфі сьомого розділу ми розглядаємо дві фрустровані антиферомагнітні спінові гратки Гайзенберга: кагомі і квадратне кагомі [31]. Ці гратки належать до класу фрустрованих квантових антиферомагнетиків, для яких локалізовані магнони можуть бути основними станами у сильному зовнішньому полі, що приводить до стрибка намагніченості при полі насичення у кривій намагніченість – поле при нульовій