СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ДУБОВИК Сергій Андрійович

УДК 681.5:517.935

АСИМПТОТИЧНІ МЕТОДИ СИНТЕЗУ

СИСТЕМ КЕРУВАННЯ РУХОМ

05.13.03 - системи і процеси керування

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Севастополь - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі технічної кібернетики Севастопольського національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Барабанов Олександр Трифонович, професор кафедрі технічної кібернетики Севастопольського національного технічного університету

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор, старший науковий співробітник Баранов Георгій Леонідович, заступник директора Центрального науково-дослідного інституту навігації та керування, м. Київ;

доктор технічних наук, професор Потапенко Євгеній Михайлович, Запорізький національний технічний університет, професор кафедри електроприводу та автоматизації промислових установок;

доктор технічних наук, професор Пряшніков Федір Дмитрович, Севастопольський національний інститут ядерної енергії та промисловості, завідувач кафедрою автоматизації електричних систем.

Провідна організація:

Інститут космічних досліджень Національної академії наук України та Національного космічного агентства України, м. Київ

Захист дисертації відбудеться 16 вересня 2004 року о 13-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 50.052.02 при Севастопольському національному технічному університеті за адресою: 99053, м. Севастополь, Студмістечко.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці СевНТУ.

Відгуки на автореферат просимо направляти на ім'я секретаря спеціалізованої вченої ради по зазначеній адресі.

Автореферат розісланий 09.08.2004 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Д 50.052.02

к.т.н., доцент

Крамарь В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ускладнення задач керування рухом супроводжується розширенням застосувань у цій області методів теорії керування. Цьому сприяє також постійне вдосконалювання засобів обчислювальної техніки й розроблювального програмного забезпечення. Бортові комп'ютери, установлювані на сучасних літальних апаратах, морських і річкових судах та інших транспортних засобах, мають характеристики, достатні для розгортання в їхній пам'яті досить оснащеного математичного забезпечення, призначеного для організації руху, навігації та бортової діагностики. У цей час існують досить потужні методи, що дозволяють розробляти алгоритми керування для багатомірних систем. Можна відзначити методи функцій Ляпунова, оптимального керування, узагальнений метод Рауса для алгебраизації критеріїв якості багатомірних систем. Зазначені методи розвинені в роботах А.А. Андронова, М.А. Айзермана, А.Т. Барабанова, Е.А. Барбашина, Р. Беллмана, В.Г. Болтяньского, Р. Габасова, В.И. Гурмана, В.І. Зубова Р. Калмана, Ф.М. Кирилової, Н.Н. Красовського, В.Ф. Кротова, В.М. Кунцевича, А.Б Куржанського, В.Б. Ларіна, М.М. Личак, Н.Н. Моісеєва, Ю.П. Петрова, Л.С. Понтрягина, Б.Н. Пшеничного, Е.С. Пятницького, Е.Н. Розенвассера, В.А. Якубовича.

Проектування систем керування, призначених для роботи в умовах невизначеності, може ґрунтуватися на деяких гарантуючих принципах, орієнтованих на найгірші з можливих умови функціонування системи. Це привело до створення теорії гарантованого або робастного керування в працях А.Е. Барабанова, Д. Дойла, Р. Гловера, Г. Зеймса, Х. Квакернаака, А.А. Первозванського, В.М. Кунцевича, В.Б. Ларіна, Б.Т. Поляка, М.Г. Сафонова, В.Л. Харитонова та ін.

З іншого боку, практика застосування зазначених методів показує, що в цілому ряді випадків не вдається досягти очікуваних показників ефективності проектованих систем. Одним з основних доданків, складових тут поняття ефективності, виявляється показник надійності, що розуміє як здатність системи виконувати основну задачу всупереч несприятливо складним зовнішнім обставинам, інакше кажучи, стійкість системи до збурень. Часто виявляється так, що цей показник надійності або стійкості вступає в протиріччя з іншими складовими ефективності в тій мері, у якій останні приводять до ускладнення проектованої системи. У цей час досвід проектування стійких складних систем у великому ступені зосереджений у тій галузі знань про керування, що називається наукою про системи штучного інтелекту. Одним з основних досягнень цієї теорії є розуміння тієї обставини, що проблема проектування дійсно ефективної складної системи, що функціонує в умовах невизначеності, це багато в чому проблема мови. Тут варто мати на увазі, що в так званих позаштатних ситуаціях, коли система піддається нерозрахованим збуренням, вимоги до обробки вхідної інформації істотно міняються - дефіцит часу пропонує виділяти в інформації тільки те, що потрібно для виконання основної задачі й відкидати все інше, що мало сенс в апріорних поданнях про ефективність. Такий обіг з інформацією виявляється можливим тільки у випадку її належного структурування, або оснащення інформації семантикою (що має у загальному випадку декларативну і процедурну компоненти). У розвиток цієї конструктивної ідеї, у теорії штучного інтелекту створений спеціальний апарат, що, втім, мало пристосований до задач керування динамічними системами. У дійсній роботі він також ніяк не використовується. Що ж стосується ідеї структурування інформації, те тут вона реалізується на основі класичної теорії збурень. Малий параметр використовується як в описі динаміки керованих процесів, так і в моделях збурень. У першому випадку він дозволяє адекватно сформулювати задачу синтезу й побудувати досить прості алгоритми локального керування, у тому числі термінального. Другий випадок дозволяє розглянути глобальні ефекти керування, пов'язані з нерозрахованим (позаштатним) розвитком збурень і всього керованого процесу. Досить загальною моделлю, що поєднує зазначені підходи, є керований процес дифузійного типу з малими параметрами в матриці дифузії. Якщо існує можливість корекції алгоритму керування при зміні параметрів збурень, то стають доцільними зусилля, спрямовані на досягнення деяких еталонних або оптимальних характеристик керування в рамках апріорної моделі збурень.

Зв'язок з науковими програмами. Перші результати роботи із застосування сингулярних збурень у синтезі систем керування рухомими об'єктами отримані при виконанні госдоговірних НДОКР по спеціальній тематиці. Наступні результати отримані при виконанні держбюджетних і госдоговірних НДР і по особистій ініціативі. У НДР “Методи аналізу і синтезу багатомірних нестаціонарних функціонально складних процесів і систем” (шифр “Корунд”, номер держ. реєстрації 0198U002904) автором виконані дослідження з матеріалів третього й четвертого розділів дисертації та написаний розділ звіту. У НДР “Методи синтезу систем керування функціонально складними процесами та об'єктами” (шифр “Топаз”, номер держ. реєстрації 0101U001179) увійшли результати п'ятого і шостого розділів дисертації та також написаний розділ звіту.

Метою дисертаційної роботи є розробка методів синтезу систем керування, що відповідають наступним вимогам:

· близькість по якості до заданих спрощених еталонних моделей;

· стійкість до збурень і до неточності в завданні параметрів об'єкта керування;

· простота й надійність алгоритмів, що реалізують пропоновані закони керування багатомірними системами.

Об'єктом і предметом дослідження є задачі забезпечення якості, точності та стійкості й методи їхнього рішення, засновані на поданні об'єкта керування у вигляді звичайних і стохастичних диференціальних рівнянь, що містять малі параметри.

Методи дослідження. При розробці методів синтезу керувань для лінійних систем використовуються методи асимптотичного аналізу сингулярно збурених диференціальних рівнянь, тотожність Якубовича-Калмана й перетворення вихідних рівнянь динаміки до канонічних координат.

Аналіз великих відхилень слабко збуреної системи здійснюється на основі асимптотичних методів усереднення для нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь і функціонала дії.

На захист виносяться

1. Метод композиційного синтезу стаціонарного регулятора, що забезпечує необхідну якість замкнутої системи для об'єкта із багаточастотною схемою сингулярних збурень.

2. Метод формування квадратичного критерію, що забезпечує задані характеристики якості й стійкості замкнутої стаціонарної системи.

3. Метод композиційного синтезу термінального регулятора, приблизно оптимального в змісті квадратичного критерію якості, що містить рекомендації з вибору вагових матриць критерію.

4. Оцінка грубості багатомірної системи за критичним значенням параметра сингулярних збурень; поняття жорсткості як негрубості замкнутої системи.

5. Метод композиційного синтезу стаціонарного регулятора, заснований на оцінках жорсткості й - розбивці по зазначених параметрах.

6. Метод аналізу великих відхилень у нелінійної слабко збуреної стохастичної системі, заснований на функціоналі дії й детермінованій системі відхилень.

7. Алгоритм прогнозу критичного стану багатомірної слабко збуреної системи з виродженою матрицею дифузії.

Наукова новизна роботи.

1. Вперше показано, що у рамках обурених задач керування квадратичний критерій якості може успішно використатися для додання лінійним системам еталонних властивостей.

2. Запропоновано метод лінійно квадратичного синтезу для регулярно й сингулярно обурених задач, що дозволяє задавати еталонні властивості замкнутої системи з різним ступенем грубості.

3. Розроблено новий метод синтезу термінальних систем керування сингулярно збуреними об'єктами, що вирішує задачу субоптимального синтезу у вигляді композиції вкорочених термінальних регуляторів для зовнішніх змінних і стаціонарних регуляторів для швидких змінних, що дозволяє істотно спростити алгоритм.

4. Вперше запропоновано оцінку грубості багатомірної системи за критичним значенням параметра сингулярних збурень і поняття жорсткості як негрубості замкнутої системи. Розроблено новій метод композиційного синтезу стаціонарного регулятора, заснований на оцінках жорсткості й - розбивці по зазначених параметрах.

5. Розроблено новий метод оцінки ймовірності великих відхилень у слабко обурених нелінійних системах, заснований на функціонале дії для системи великих відхилень.

Практичне значення отриманих результатів. Всі розроблені методи можуть бути використані й використовувалися при проектуванні систем керування рухомими об'єктами. За допомогою методу композиційного синтезу, представленого в другому й третьому розділах дисертації, розроблені алгоритми й програми керування літальним апаратом з обертовим вектором тяги в різних фазах посадки на корабель. Імовірнісне асимптотичний метод контролю великих відхилень використовувався при створенні програмного забезпечення (ПЗ) бортової системи оперативної оцінки мореплавності судна. Метод термінального керування сингулярно збуреним об'єктом застосовувався при виборі параметрів схем конденсаторного управління приводу високовольтного вакуумного вимикача.

Особистий внесок здобувача. Всі основні теоретичні результати отримані автором самостійно. У співавторстві розроблено тільки ПЗ системи оперативного аналізу мореплавності судна, у якій участь співавтора обумовлена необхідністю розробки математичних моделей динаміки конкретних типів суден в умовах вітро-хвильових збурень.

Апробація роботи Результати досліджень доповідалися на наступних семінарах і конференціях: Методологічні проблеми автоматизованого проектування і дослідження систем, Республіканська науково-технічна конференція, Севастополь, 1987; Системи автоматичного керування літальними апаратами, Друга Всесоюзна конференція, Москва, МАІ ім. С. Орджонікідзе, 1988; Непараметричні й робастні статистичні методи в кібернетиці та інформатиці, Сьомий всесоюзний семінар, Томськ , 1990; Нелінійні крайові задачі математичної фізики і їхнього додатка, Ін-т математики АН України, 1993; Міжнародна конференція “Автоматика - 96”, Севастополь, 1996; Міжнародний симпозіум “Морські інтелектуальні системи”, С.-Петербург, 1996; Семінар по теорії керування на кафедрі технічної кібернетики СевНТУ, 1997, 2003 ; Семінар по комутаційній техніці в системах енергетики при ПГ “Таврида-Електрик”, Севастополь, 2000; Конференція по теорії керування, присвячена пам'яті акад. Б.М. Петрова. Москва, ІПУ РАН. 2003; Друга міжнародна конференція із проблем керування (МКПКМосква, ІПУ РАН, 2003; Міжнародна конференція “Автоматика - 2003”, Севастополь, 2003.

Публікації. За результатами виконаних досліджень опубліковано 23 статті в спеціальних виданнях (у тому числі 17 – в журналах, 18 – без співавторів, 5 – переведені в математичних журналах США на англійську мову), 9 тез докладів на всеукраїнських і міжнародних конференціях, 4 статті в республіканських наукових збірниках.

Структура роботи. Дисертація складається із вступу (С.5-13), семи розділів (С. 14 - 273), висновків (С.274-276), списку використаних джерел (С.277-289, 142 найменування) і додатка (С. 290-293), що містить документи, що підтверджують впровадження результатів роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність дослідження й дається коротка характеристика основного змісту роботи.

У першому розділі викладається необхідний математичний апарат у тому виді, у якому він далі використовується в роботі. У розглянутому колі проблем ключову роль грають методи асимптотичного аналізу динамічних систем з малими випадковими збуреннями й сингулярно збурених звичайних диференціальних рівнянь. У дисертаційній роботі використовуються наступні теореми О. Д. Вентцеля й М. І. Фрейдлина, що є далеко ідучими узагальненнями на стохастичний випадок відомих результатів детермінованої теорії усереднення. Загальною моделлю для розглянутих задач є система

де випадковий процес є "швидкою" змінною і траєкторії його є безперервними з імовірністю одиниця.

Теорема 1.1 (Про середній). Припустимо, що в існує векторне поле таке, що для довільних і рівномірно по й нехай . Тоді для будь-яких і де задовольняє рівнянню нульового наближення (рівнянню середніх)

, .

Цю теорему можна розглядати як результат типу закону більших чисел. І така аналогія може бути продовжена: нормована різниця має граничний гауссовський розподіл, коли залежність між величинами й з ростом у певному змісті слабшає. Саме, про випадковий процес , , говорять, що він задовольняє умові сильного перемішування з коефіцієнтом перемішування , якщо -алгебри , породжені значеннями процесу при , задовольняють умові

при , де верхня грань береться по всім -вимірним , , і -вимірним , .

Теорема 1.2 (Про нормальні відхилення). Нехай елементи вектора-функції , , , мають безперервні обмежені у всьому просторі перші й другі частки похідні, а випадковий процес зі значеннями в має кусочно-безперервні з імовірністю 1 траєкторії й задовольняє умові сильного перемішування з коефіцієнтом таким, що й . Нехай, крім того, виконуються умови:

1. Рівномірно по , існують межі , ,

де .

2. Для всіх при деякому

, .

Тоді процес при слабко сходиться на інтервалі до гауссовського марковського процесу , що задовольняє системі лінійних диференціальних рівнянь , , де - вінеровський процес, - матриця, - -матриця, що задовольняє рівнянню .

Це результат типу центральної граничної теореми і він дозволяє одержати в деяких випадках автономне рівняння для повільної частини вектора стану. Якщо випадковий процес задається рівнянням слабко обуреної системи для якого виконуються умови: А). вектор-функція й матрична функція в обмежені й рівномірно безперервні, Б). матриця при кожному симетрична й рівномірно не вироджена, то має місце

Теорема 1.3. (Про великі відхилення). Нехай - дифузійний процес у з переносом , матрицею дифузії й початковою крапкою , причому при рівномірно сходиться до , тобто й граничний вектор переносу й матриця дифузії задовольняють умовам А и Б. Нехай, далі, функціонал задається формулою . Тоді є функціоналом дії для сімейства процесів при в змісті метрики рівномірно щодо початкової крапки.

Це означає, що для будь-якого регулярного борелевського множини справедлива груба (тобто з точністю до логарифмічної еквівалентності) оцінка ймовірності: . Такі оцінки використовуються в розділі 5 дисертації для побудови алгоритмів контролю більших відхилень від стану рівноваги (СР) відповідної необуреної системи. У свою чергу, оснащеність бортового обчислювача такими алгоритмами дозволяє відокремити ситуацію більших відхилень, чревату втратою стійкості, від штатного розвитку процесу, коли можливе використання звичайних засобів лінеаризації рівнянь динаміки в малій околиці СР.

Линеаризовані моделі у вигляді сингулярно збурених рівнянь використовуються в розд. 2-4. Застосовуваний тут апарат – це теореми А. М. Тіхонова, Кокотовича-Джекіла й деякі результати А. Б. Васильєвій по асимптотичним розкладанням прикордшарного типу. Відомі вкорочені моделі, на яких ґрунтуються асимптотичні подання рішень таких рівнянь, є компонентами декларативного опису (ДМ) системи й можуть бути використані для формулювання еталонних вимог до динаміки. У свою чергу, вихідні обурені рівняння задають процедурну модель (ПМ) керованого процесу. Це приводить до розуміння задачі синтезу на нескінченному інтервалі як задачі побудови керувань у формі зворотних зв'язків, що забезпечують характеристики стійкості ПМ при заданих вимогах (наприклад, на спектр) до ДМ. Різні варіанти такого підходу реалізуються в розд. 2 і 4. У випадку термінального керування замість вимоги стійкості в задачі (композиційного) синтезу з'являються вимоги кінцевої точності (розд. 3).

Другий розділ називається “Синтез лінійно-квадратичних регуляторів для сингулярно збурених систем”. Тут розглядається система

, (2.1)

у якій - вектор керування на відрізку вибирається із класу безперервних на функцій так, щоб функціонал

, (2.2)

де матриця - ненегативно певна при , приймав мінімальне значення. За умови керованості пари існує відоме не вироджене перетворення системи (1) до канонічним змінного. Це дозволяє зробити декомпозицію системи (1) на підсистем і розглядати надалі наступну канонічну задачу синтезу для скалярного керування: мінімізувати критерій

, (2.3)

на рухах системи

, (2.4)

де ,

- -вектор, - тий елемент якого дорівнює 1, а всі інші - нулю, .

Багатомірні системи звичайно виявляються сингулярно збуреними, тобто містять малі параметри при старшій похідній. У випадку одного такого параметра всі корени

характеристичного полінома з коефіцієнтами розбиваються на більші та малі по абсолютній величині, . Це треба з канонічного розкладання полінома на множники. У більше загальному випадку в такім розкладанні можна виділити груп корінь одного порядку: ,

що дозволяє представити матрицю замкнутої системи в наступному виді

, (2.5)

де

, ,

, ,

, , ,

причому , а - рядок коефіцієнтів полінома, що входять у групу -го порядку, що будемо називати -им блоком полінома ; позначено також . Матриця в (5) подібна до матриці

(2.6)

наступної структури:

,

, .

Такий випадок залежності від малого параметра будемо називати схемою багаточастотних збурень. Особливо важливий приватний двочастотний випадок, коли , .

, , . (2.7)

Записуючи рівняння (4) у замкнутій формі з матрицею (6)

, (2.8)

визначимо, по термінології А. М. Тихонова, послідовність приєднаних і вироджених систем. При цьому кожна - та приєднана система має характеристичним поліномом , що назвемо - тим часткою поліномом системи (8). Нехай на - тім кроці алгоритму вже отримані системи з матрицями

(приєднана) і

(вироджена),

, , ,

для яких виконана умова тихоновісти УТ: матриці , - гурвіцеви. Тоді для приватних поліномів та блоків справедливі співвідношення (теорема 2.1):

, , .

У зазначених умовах . У зв'язку із цим, уведемо операцію обчислення - того часткового полінома для початкового полінома , у такий спосіб:

.

Для задачі (3),(4) розглядається також випадок регулярних збурень: при наступних значеннях матриць критерію

, (2.9)

уведемо двомірний вихід

;

критерій (3) одержимо у вигляді:

,

якщо матриці критерію та виходу зв'язані співвідношеннями:

.

Умови (9) будуть забезпечені, якщо вибрати матрицю в такий спосіб

.

Позначаючи , , і з огляду на відоме рішення стандартної задачі для , будемо мати матрицю зворотного зв'язку

,

у якій матриця є рішенням диференціального рівняння Ріккаті

,

де ,

тобто . Позначимо

,

і розглянемо оптимальну замкнуту систему (4) зі стаціонарним регулятором

; позначимо цю систему . Матриця в ній - гурвіцева. Визначимо ще для матрицю .

Теорема 2.2. За умови гурвіцевости матриці в системі асимптотично реалізується поліном , тобто .

Двочастотна схема збурень. Нехай об'єктом керування є канонічна система

, (2.10)

у якій матриця та вектор мають вигляд (7), тобто містять малий параметр при похідних від змінних - вектора . На рухах (10) визначимо критерій

. (2.11)

Необхідно вибрати керування у вигляді лінійної форми стану

, (2.12)

що доставляє мінімум функціоналові (11) на відрізку при . Позначимо

, де - вектор становлять "повільні" (зовнішні) змінні, , а - вектор - "швидкі" змінні, та відповідно до цим і (7) . Рішення для матриці має вигляд:

, (2.13)

де задовольняє алгебраїчному рівнянню Ріккаті

. (2.14)

Справедливо також тотожність Якубовича-Калмана для інваріантної в часі системи (10),(12) і передатної функції :

.

Оптимальну систему (10),(12) -(14) позначимо через . Будемо називати задачею зовнішнього синтезу досягнення в системі асимптотичної рівності , де використана операція при .

Нехай для нульового приватного полінома виконана умова

УТ3: поліном - гурвіцев.

Теорема 2.3. За умови УТ3 у системі реалізується рішення задачі зовнішнього синтезу, тобто існує й

.

Доказ опирається на тотожність Якубовича-Калмана. Сформувати еталон для задачі зовнішнього синтезу істотно простіше, ніж еталон у задачі асимптотичной реалізації полінома (теорема 2.2). Повної (а не приватної) асимптотичной реалізації полінома в розглянутої сингулярно збуреній задачі для системи можна досягти, якщо замість критерію (11) взяти критерій, що використався в регулярній задачі, тобто зберегти у функціоналі змішані білінійні форми. З іншого боку, сингулярні збурення дозволяють одержати ще більш грубий результат, що пред'являє ще менше вимог до об'єму даних про еталон - для цього в критерії (11) потрібно викинути змішані білінійні форми, що залежать від компонентів різних блоків, що рівносильна блочно-діагональній структурі матриці критерію. Питання про те, до яким конкретно наслідкам це приводить, розглядається в дисертації в рамках схеми багаточастотних збурень.

Теорему 2.3 можна одержати й безпосередньо з аналізу рівняння Ріккаті (14), не вводячи тотожності Якубовича-Калмана й всіх, пов'язаних з ним об'єктів. Однак, наведений шлях трохи коротше, тому що тотожність містить тільки векторну змінну на відміну від матричного рівняння (14). Більшою мірою ця перевага комплексного аналізу проявляється в загальної багаточастотний схемі сингулярних збурень для задачі з нескінченним інтервалом.

Багаточастотна схема збурень. Об'єктом розгляду є система (10), але тепер матриці й мають загальний вигляд, що відповідає багаточастотний схемі, так що після замикання системи (10) регулятором

, (2.15)

матриця замкнутої системи визначається формулою (6) і містить блоків на діагоналі. Керування (15) необхідно вибрати так, щоб забезпечити на відрізку ( ) мінімум функціонала

, (2.16)

де

, , . (2.17)

Оптимальну систему, що відповідає задачі (10),(15) -(17) позначимо через . Для неї можна ввести всі ті ж об'єкти, що й для системи , виходячи з тотожності Якубовича-Калмана.

Теорема 2.4. Для системи має місце наступне граничне співвідношення .

Наслідок 2.1. Нехай система розбита на блоки, порядки яких не вище двох, тобто . Тоді для корінь приватних поліномів і "прямокутника" , де

, виконується умова приналежності

УП: .

Тут гранична множина є множина корінь полінома , коефіцієнти якого є межами коефіцієнтів при .

Випадок , , особливо цікавий, тому що він приводить до діагональної вагової матриці критерію (16).

Наслідок 2.2. При , , у системі асимптотично реалізується поліном з речовинними коріннями, обумовленими елементами головної діагоналі матриці C, тобто:

, .

Третій розділ дисертації називається “Композиційний синтез термінальних стохастичних систем”. У цьому розділі розглядаються задачі лінійно квадратичної оптимізації на кінцевому інтервалі, у яких критерії містять термінальні члени. У тому числі, розглядаються випадки, характерні для систем наведення й посадки літальних апаратів, коли термінальні складові у функціоналах є переважними.

Нехай у задані гауссови розподіли , і . Для й уведемо у функцію "відстані" (квазиметрику) за допомогою щільністій розподілів і :

(3.1)

Найменування функції (1) пояснюється наступним її основною властивістю

Лема 3.1. і знак рівності можливий лише у випадку .

Природно спрощує задачу мінімізації

Лема 3.2. Наступні дві задачі еквівалентні в змісті збігу їхніх рішень

1. ;

2. ,

за умови .

Нехай тепер є щільність розподілу кінцевого стану лінійної інваріантної в часі неоднорідної системи, що представимо в канонічній формі

, (3.2)

де .

Керування в (2) формується за допомогою зворотного зв'язку

, (3.3)

так що для замкнутої системи маємо

, . (3.4)

Тому що - стандартний “білий шум”, а початкова умова - гауссова випадкова величина з нульовим середнім, , той розподіл - вектора при є гауссовим, , з параметрами й .

Поряд з дійсним розподілом вектора , формованим спільною дією й , розглянемо еталонний розподіл із щільністю типу для вектора , а також функцію “відстані” в , для якої справедлива лема 2. Помітимо, що детермінантна умова , характеризує точність приведення в крапку в термінальний момент .Мінімізація при обмеженні на може бути зведена до задачі на мінімум критерію

(3.5)

при підходящому виборі .

Критерій (5) помножимо на детермінант матриці й, уважаючи величину малої, одержимо задачу на екстремум ( ):

. (3.6)

Теорема 3.1. За умови й для оптимального рішення задачі (2),(6) справедливо асимптотична рівність , при .

Нехай тепер для матриці замкнутої системи (4), заданої на відрізку , для будь-якого кінцевого існує межа .

Із граничним поліномом будемо зв'язувати траєкторне вимоги до системи (4), що будемо позначати як або просто . Розглянемо граничну систему із класу інваріантних у часі систем з початковою умовою й вектором при "білому" шумі, опускаючи чортові над символами: , тобто .

Якщо тепер - ще одна система з того ж класу:

,

те процеси й , формовані відповідно системами й , задають в еквівалентні імовірнісні міри й , абсолютно безперервні відносно винерови міри . У силу цього існують щільності й , для яких можна визначити функціонал "відстані"

, (3.7)

що володіє властивістю, сформульованою в лемі 2.1, тобто й рівність справедливо лише у випадку з імовірністю одиниця. Для розглянутих систем функціонал (7) має вигляд ( - матриця, псевдозворотна ):

.

Позначаючи й з огляду на:

, а - керування в системі , остаточно одержимо: .

Перейдемо тепер до більше загальних випадків сполучення термінальних і траєкторних вимог, у яких матриця інтегральної частини критерію - невід`ємно визначена. У зв'язку із цим виявляється корисної наступна

Четвертий розділ дисертації називається “Сингулярні збурення в задачах синтезу робастних систем керування”. Відомі робастної властивості систем, які формулюються за допомогою параметричних способів опису невизначеності у вигляді інтервального або афінного сімейств поліномів або матриць. Це можуть бути як точні методи, що виходять із принципу виключення нуля й теореми Харитонова, так і наближені, засновані на теорії збурень. В останньому випадку мова йде звичайно про регулярні збурювання. І взагалі, оскільки в зазначених способах подання номінальний елемент розглянутого сімейства має ту ж розмірність, що й обурений, при посиланні на ці методи нам буде зручно говорити про їх як про регулярні засоби опису робастних систем.

Тим часом, у цілому ряді випадків невизначеність в описі системи може бути охарактеризована за допомогою сингулярних збурень. Одержувані при цьому критерії робастних властивостей виявляються істотно більше простими, хоча, як правило, наближеними. На користь сингулярних збурень говорить ще й та обставина, що саме такі збурення є визначальними в системах, що містять невідомі малі постійні часу, швидкі рухи, невраховану динаміку й т.п. При цьому, зневага такими параметрами, на відміну від регулярного випадку, приводить до зміни істотної характеристики задачі – її розмірності. Говорячи про простоту критеріїв, можна мати на увазі наступний простий приклад: при досить довільному поданні для невизначеності в коефіцієнтах полінома , будь-який критерій стійкості відразу показує, що робастної властивості даної системи пропорційні відношенню . Цей факт зовсім не просто одержати за допомогою регулярних методів, у той же час він прямо виходить із сингулярно обурених подань, як це й показано в розділі 4.

П'ятий розділ дисертації називається “Методи й алгоритми аналізу великих відхилень у керованих системах. Функціонал дії в задачах керування”. Нехай задане нелінійне стохастичне рівняння для керованого процесу . Задачею синтезу керувань у цій системі є стабілізація деякого положення рівноваги . Припустимо, що замкнута система описується рівнянням

, , (5.1)

де вектор переносу регулярно залежить від параметра ,

. (5.2)

Позначимо систему (1) , що відповідає їй незбурену - і рішення системи , що задовольняє початковій умові (3), - .

Шостий розділ дисертації називається “Синтез і алгоритмізація на основі квадратичного критерію систем керування літальними апаратами”

У цьому розділі основні результати, отримані в дійсній роботі, застосовуються для конструювання контурів керування літальними апаратами (ЛА) у різних режимах руху. У першому підрозділі вводиться загальна модель літального апарата (ЛА), що представляє собою сингулярно збурену систему диференціальних рівнянь. У наступному підрозділі формулюється задача синтезу контуру керування ЛА як лінійно квадратична задача на екстремум й пропонується спосіб наближеного приведення оптимальної замкнутої системи до контуру з астатизмом першого порядку

Сьомий розділ дисертації називається “Застосування асимптотичних методів до деяких задач керування рухом”.

У першому підрозділі представлені результати застосування методу функціонала дії (МФД) для оперативної оцінки остійності судна в умовах вітро-хвильових збурень і інтенсивної бортової хитавиці. Для конкретного рівняння бортової хитавиці судна водотоннажністю послідовно викладається алгоритм побудови системи для прямих і сполученій змінних у задачі ЛП. Приводиться результуюча екстремаль функціонала дії. Груба асимптотична оцінка ймовірності перекидання (ЙмП) у крапці, що не належить досить малої околиці нульового атрактора, знайдена у формі інтегрально квадратичного функціонала від керувань відповідної СВВ (5.3). За аналогією з теорією ігрових задач, ці керування можна називати контркеруваннями (інші аспекти порівняння МФД із робастним, у тому числі - керуванням, наведені в підрозділі 5.3). Міра коливання контркерування (оцінювана функціоналом дії) грубо визначає ЙмП: чим більше коливання контркерування, тим менше ЙмП. Досягнута в розглянутій задачі ЙмП відповідає максимальному часу до перекидання 160 с. Проблема більш довгострокового прогнозу - це проблема розбіжності в рішеннях системи для прямих і сполучених змінних, розглянута в підрозділі 5.2 дисертації.

У підрозділі 7.2 приводяться результати застосування методів композиційного синтезу термінальних сингулярно збурених систем (розділ 3) при проектуванні зворотно-поступальних приводів для високовольтної комутаційної апаратури. Підходяще сингулярно збурений опис динаміки електромагнітного приводу виникає при використанні в якості „повільних” змінних координати й швидкості якоря, і „швидкої” - струму намагнічування. При цьому виявляється, що термінальні умови на координату й швидкість якоря в момент замикання головних контактів вимикача приблизно ті ж, що й у задачі про вертикальну посадку ЛАВТ. Пропонований у результаті режим енергоживлення виявляється істотним як для зниження енергоспоживання приводу, так і для підвищення надійності замикання основних контактів вимикача (відсутність „дребезга” і зварювання контактів).

У висновку наведені основні результати й висновки дисертаційної роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ Й ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі запропоновані асимптотичні методи синтезу керувань, що дозволяють досягати необхідних характеристик якості й стійкості до збурень багатомірних систем при відносній простоті алгоритмічних і програмних реалізацій представлених методів.

Основні наукові результати й висновки полягають у наступному:

1. Запропоновано метод лінійно квадратичного синтезу для регулярно й сингулярно обурених задач, що дозволяє досягати заданого розташування всіх корінь замкнутої системи у випадку регулярних збурень і домінуючих корінь у сингулярно збурених системах.

2. Показано, що квадратичний критерій якості може успішно використатися для додання лінійним системам еталонних властивостей у рамках обурених задач керування.

3. Запропоновано канонічні схеми сингулярних збурень, у загальному випадку багаточастотних, що дозволяють задавати еталонні властивості замкнутої системи з різним ступенем грубості.

4. Розроблено метод синтезу термінальних систем керування сингулярно збуреними об'єктами, що вирішує задачу субоптимального синтезу у вигляді композиції вкорочених термінальних регуляторів для зовнішніх змінних і стаціонарних регуляторів для швидких змінних, що дозволяє істотно спростити алгоритм, скоротити обчислення й підвищити надійність системи керування.

5. Запропоновано оцінку грубості багатомірної системи за критичним значенням параметра сингулярних збурень і поняття жорсткості як негрубості замкнутої системи.

6. Розроблено метод композиційного синтезу стаціонарного регулятора, заснований на оцінках жорсткості й - розбивці по зазначених параметрах.

7. Розроблено метод оцінки ймовірності великих відхилень у слабко обурених нелінійних системах, заснований на варіаційній задачі Лагранжа у формі Понтрягіна для системи великих відхилень та функціонала дії.

8. На основі представлених методів композиційного синтезу розроблена методика синтезу спрощених алгоритмів керування літальними апаратами та астатичних контурів кутовий і траєкторній стабілізації ЛА.

9. Розроблено методику оцінки критичних станів багатомірної системи з виродженої матрицею дифузії, на основі якої запропонований алгоритм оперативної оцінки остійності судна, підданого вітро- хвильовим збуренням.

10. На основі розроблених у дисертації методів синтезу сингулярно збурених термінальних систем запропонована методика вибору параметрів конденсаторного керування зворотно-поступальним приводом високовольтного вакуумного контактора, що дозволяє понизити енергоспоживання приводу й збільшити надійність комутації силових ланцюгів.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Барабанов А.Т., Дубовик С.А. Некоторые вопросы анализа и синтеза линейных терминальных регуляторов // Киберн. на морск. транспорте: Сб. научн. тр.- Киев: Техника, 1983. – Вып.12 – С.18-23.

2. Дубовик С.А. Об одной асимптотической оценке качества стабилизации линейной системы // Непараметрические и робастные статистические методы в кибернетике и информатике: Материалы 7 всесоюзного семинара, Томск ч.1, 1990- С. 208-212.

3. Дубовик С.А. Квадратический критерий качества систем управления // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 1996. – Вып. 2. “Автоматизация процессов и управление” - С. 88-91.

4. Дубовик С.А. Об оценке вероятности кризисного состояния многомерной системы // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 1997. – Вып. 7. “Автоматизация процессов и управление” - С. 29-32.

5. Дубовик С.А. Алгоритм прогноза критического состояния динамической системы // Динамические системы: Межвед. научн. сб. – Симферополь: Таврия, 1998. – Вып.14. – С. 40-44.

6. Дубовик С.А. Синтез сингулярно возмущённых систем на основе канонических представлений // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 1998. – Вып. 14. “Автоматизация процессов и управление”- С. 68-72.

7. Дубовик С.А. Композиционный синтез терминальных регуляторов для систем с разделением движений // Радиоэлектроника и информатика: Сб. науч. тр. – Харьков: Харьк. гос. техн. ун-т радиоэлектроники, 1998. – № 3.- С. 48-53.

8. Дубовик С.А. Композиционный синтез линейно-квадратических регуляторов // Проблемы управления и информатики. – 1999. – №2.- С. 50-62.

9. Дубовик С.А. Аналитическое конструирование регуляторов для сингулярно возмущённых систем // Проблемы управления и информатики. – 1999. – №5.- С. 54-68.

10. Дубовик С.А. Синтез линейных сингулярно возмущённых систем // Динамические системы: Межвед. научн. сб. – Симферополь: КФТ, 1999. – Вып.15. – С. 45-49.

11. Дубовик С.А. Тождество Калмана в синтезе многомерных линейных систем // Динамические системы: Межвед. научн. сб. – Симферополь: КФТ, 2000. – Вып.16. – С. 28-31.

12. Дубовик С.А. Асимптотические квазиметрики в задачах синтеза систем управления // Оптимизация производственных процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Севаст. гос. техн.ун-т, 2001.– Вып. 4.-С. 95-98.

13. Дубовик С.А. Прогноз движения посадочной площадки и летательного аппарата-С.253-258 // В.Л.Александров и др. Интеллектуальные системы в морских исследованиях и технологиях / Под ред. Ю.И.Нечаева. СПб:Изд. Центр СПбГМТУ, 2001.-395с.

14. Дубовик С.А. Метод композиции в синтезе регуляторов для сингулярно возмущённых систем // Динамические системы: Межвед. научн. сб. – Симферополь: КФТ, 2001. – Вып.17. – С. 12-17.

15. Дубовик С.А. Метод “замораживания” в задачах терминального управления многомерными системами // Оптимизация производственных процессов: Сб. науч. тр. – Севастополь: Севаст. гос. техн.ун-т, 2002.– Вып. 5. – С. 72-79.

16. Nechaev Yu.I., Dubovik S.A. Probability-asymptotic methods in ships dynamic problem // 15 int. conf. on hydrodynamics in ship design: safety and operation, HYDRONAV”2003. – Gdansk, Poland, 22-23.10.2003. – C.187-199.

17. Дубовик С.А. Метод D-разбиения по параметру сингулярных возмущений в применении к синтезу грубых систем управления // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2003. – Вып. 49. “Автоматизация процессов и управление” – С. 52-58.

18. Дубовик С.А. Метод “замораживания” в синтезе терминального управления многомерной системой// Радиоэлектроника и информатика: Сб. науч. тр. – Харьков: Харьк. нац. ун-т радиоэлектроники, 2002. – № 4.- С. 62-65.

19. Дубовик С.А. О возможности прогноза критических состояний многомерных динамических систем // Динамические системы: Межвед. научн. сб. – Симферополь: КФТ, 2004. – Вып.18. – С. 3-8.

20. Дубовик С.А. Вероятностно-асимптотический метод композиционного синтеза в соотношении с процедурой робастного - управления // Радиоэлектроника, информатика, управление: Сб. науч. тр. – Запорожье: Зап. нац. техн. ун-т , 2003. – №2. – С. 121-125

21. Дубовик С.А. Выбор квадратического критерия в линейной задаче синтеза регулятора для многотемповой системы // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2000. – Вып. 27. “Автоматизация процессов и управление” - С. 13-16.

22. Дубовик С.А. Анализ качества и синтез алгоритмов управления стохастическими системами // В сб. “Алгоритмизация систем управления”.- К: Общ. “Знание” Украины, 1992.-С. 1, 10-22.

23. Нечаев Ю.И., Дубовик С.А. Высокопроизводительные вычисления на основе принципа конкуренции с использованием вероятностно-асимптотических методов структурирования данных // Морской вестник. Морские интеллектуальные технологии: – С.-Петербург, 2003. – №2. – С.95-100.

24. Белоконь И.В., Дубовик С.А. Применение сингулярных возмущений для синтеза многомерных регуляторов // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 2002. – Вып. 36. “Автоматизация процессов и управление” - С. 145-148

25. Нечаев Ю.И., Дубовик С.А. Анализ устойчивости нелинейной стохастической модели динамики корабля на волнении с помощью функционала действия // Нелинейные краевые задачи мат. физики и их приложения: Сб. науч. тр. - К: Ин-т математики НАН Украины, 1993. – С.101-103.

26. Дубовик С.А. Об автоматизации управления движением // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 1998. – Вып. 14.– С. 54-59.

27. Дубовик С.А., Прозорова А.Ю. Алгоритм грубого распределения корней в линейной системе // Вестн. СевГТУ: Сб. науч. тр. – Севастополь, 1998. – Вып. 14.– С. 54-59.

28. Дубовик С.А. Алгоритмизация САУ методами асимптотического анализа и синтеза // Тез. докл. респ. научно-техн. конф. “Методологические проблемы автоматизированного проектирования и исследования систем”. – Севастополь, 1987. – С.61-62.

29. Бокша В.В., Дубовик С.А. Синтез алгоритмов САУ ЛА асимптотическими методами