ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

Федотов Федір Володимирович

УДК 537.87

ЧИСЛОВЕ ДОСЛІДЖЕННЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ В АКТИВНИХ СУЦІЛЬНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

01.04.03 - радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки .

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Нерух Олександр Георгійович, Харківський національний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри вищої математики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

Буц В’ячеслав Олександрович, ННЦ "Харківський фізико-технічний інститут" НАНУ, начальник лабораторії,

доктор фізико-математичних наук, професор,

Чурюмов Геннадій Іванович, Харківський національний університет радіоелектроніки, кафедра фізичних основ електронної техніки, професор кафедри.

Провідна установа:

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна МОН України, кафедра теоретичної радіофізики, м. Харків.

Захист відбудеться “2” Червня 2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна , ауд. .

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці ХНУРЕ: 61166, м. Харків, пр.Леніна .

Автореферат розісланий “23” Квітня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.М. Безрук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідженню трансформації нестаціонарних електромагнітних полів в шарових нелінійних середовищах або у обмежених нестаціонарних середовищах з залежними від часу параметрами. Для дослідження розроблено числово-аналітичний метод, який базується на підході, що описує нестаціонарну електродинамічну задачу за допомогою інтегрального рівняння Вольтерра другого роду в часовій області. Інтегральне рівняння еквівалентне рівнянням Максвелла і містить у собі початкові і граничні умови. Це рівняння єдиним образом визначає поле у всьому просторі, включаючи як область нестаціонарності, так і навколишній простір. За допомогою розробленого програмного комплексу досліджується трансформація довільного електромагнітного сигналу в плоскому нестаціонарному діелектричному шарі, середовище якого може бути нелінійним або мати змінні у часі та просторі параметри, а також розв’язується задача про поширення електромагнітних сигналів у нестаціонарному плоскому діелектричному хвилеводі.

В роботі одержав розвиток метод, спочатку запропонований М.А. Хижняком Нерух А. Г., Хижняк Н. А. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. – Х.: Тест –Радио, 1991. –--с. для стаціонарних задач, а потім поширений на нестаціонарні задачі О.Г. Нерухом Nerukh A. G., Scherbatko I. V., Marciniak M. Electromagnetics of modulated media with applications to photonics. – Warsaw 2001, –-- p.. Для нестаціонарних граничних задач із залежними від часу параметрами та нелінійними середовищами основу методу складають інтегральні рівняння Вольтерра у часовій області. За допомогою запропонованого методу досліджено ряд типових явищ з плоскою симетрією, а саме взаємодія електромагнітного поля з діелектричним шаром скінченної товщини з нестаціонарним або нелінійним середовищем, та розв’язана задача про поширення та трансформацію електромагнітного сигналу у плоскому нестаціонарному діелектричному хвилеводі. Отримані результати і вивчені явища становлять основу при моделюванні процесів в області радіофізики, оптоелектроніки, а також у всіх областях, де істотну роль грає поширення електромагнітних хвиль у нестаціонарному або нелінійному середовищі.

Актуальність теми. Дослідження нестаціонарних електромагнітних процесів являють собою в даний час одну з найбільш актуальних областей сучасної макроскопічної електродинаміки. Інтерес до таких процесів викликаний, передусім, бурхливим розвитком електронних технологій, ростом глобальних телекомунікаційних систем, насамперед Інтернету, та стрімкою мініатюризацією оптичних та електронних пристроїв. Як наслідок, з’являється необхідність використання ультракоротких імпульсів в системах передачі інформації в усіх діапазонах хвиль, в тому числі і оптичному, та підвищення швидкості реагування електронних та оптичних пристроїв. Реалізація таких технологій можлива тільки на основі явищ, що стають предметом вивчення нестаціонарної електродинаміки, таких як генерація і перетворення ультракоротких оптичних імпульсів за допомогою нелінійних кристалів або спеціальних оптичних волокон, генерація вищих гармонік у нелінійних середовищах, а також самофокусування і самоузгодження фаз; дисперсія сигналів та її компенсація за допомогою використання спеціальних середовищ або структур з негативною дисперсією; модуляція сигналу за допомогою керування властивостями середовища в часі, посилення сигналів в активних середовищах, демультиплексування сигналів за допомогою нелінійних або оптичних кристалів та інші. Зокрема, дослідження та моделювання явищ із залежними від часу параметрами та з нелінійними середовищами вкрай необхідні для створення пристроїв нового покоління прозорих оптичних систем, що використовують високу інформаційну ємність нестаціонарних сигналів для швидкої контрольованої передачі великих обсягів інформації.

Для моделювання ультрашвидких нестаціонарних процесів потрібні методи для розв’язання задач одразу у часовій області. Точні аналітичні розв’язки вдається отримати лише для вузького кола ідеалізованих задач з порівняно простими типами нестаціонарності. Для одержання розв’язку більшості практичних задач потрібно застосовувати обчислювальні методи. Одним із перспективних підходів для розвитку таких методів дослідження нестаціонарних явищ у часовій області є використання методу інтегральних рівнянь нестаціонарної електродинаміки. Такі рівняння еквівалентні диференціальним рівнянням Максвела, але, на відміну від них, включають початкові та граничні умови, а також умову випромінювання на нескінченності.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідницької роботи Харківського національного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем “Розробка аналітико-числових методів у дослідженні нестаціонарних електромагнітних явищ в активних середовищах” (№ДР 0100U003412), та “Дослідження формування імпульсних електромагнітних полів збудженням широкосмугових антенних систем” (№ДР 0102U003740). В рамках зазначених тем Федотов Ф.В. працював на посаді молодшого наукового співробітника. В ході роботи над дисертацією аспірант Федотов Ф.В. працював також в рамках наукового обміну в Національному Технічному Університеті Афін (Греція), в Технічному Університеті Ільменау (Німеччина), та виконував роботу в рамках спільного проекту кафедри Вищої Математики ХНУРЕ та Університету Ноттінгема (Великобританія) „Застосування техніки інтегральних рівнянь у часовій області для оптоелектронного моделювання”.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток існуючих та створення нових засобів для дослідження нестаціонарних електродинамічних процесів в активних шарових середовищах, в тому числі в діелектричних хвилеводах, виявлення основних електродинамічних характеристик структур, що розглядаються, та дослідження перетворення електромагнітних сигналів в них. Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати наступні задачі:

розробити ефективний числово-аналітичний метод та програмні засоби для моделювання поширення електромагнітних хвиль з довільною просторово-часовою залежністю в нестаціонарних та нелінійних середовищах. Матеріальні параметри середовищ повинні допускати довільну просторово-часову залежність, а самі нестаціонарні середовища бути обмеженими у просторі;

- дослідити перетворення різних типів електромагнітних сигналів в активних шарових середовищах з різними типами нестаціонарності;

- дослідити перетворення власних хвиль та імпульсних сигналів в плоскому діелектричному хвилеводі під впливом нестаціонарності середовища в його ядрі;

- провести порівняння результатів, точності та стабільності розроблених методів та програмних засобів з іншими сучасними числовими методами на тестових задачах та у випадках, коли можливе таке порівняння.

Об'єктом дослідження є нестаціонарні електродинамічні процеси в активних середовищах, а саме в обмежених середовищах із залежними від часу параметрами та в шарових нелінійних середовищах.

Предметом дослідження є електромагнітне поле та його трансформація під впливом нестаціонарності.

Методи дослідження: Для моделювання та дослідження нестаціонарних електродинамічних процесів застосовується метод інтегральних рівнянь макроскопічної електродинаміки, який зводить рівняння Максвелла у часовій області до еквівалентних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Для розв’язку інтегральних рівнянь застосовується еволюційний підхід з використанням методу резольвент та числових методів. Для перевірки методу, що розробляється, слід порівняти його точність та стабільність у граничних випадках та на тестових задачах з найпоширенішим сучасним суто числовим методом кінцевих різностей у часовій області (FDTD).

Наукова новизна одержаних результатів. В ході виконання дисертаційної роботи отримані такі нові результати:

- Вперше сформульовано метод інтегральних рівнянь Вольтерра для розв’язку задач з активним шаровим середовищем. Отримано рівняння, що описує взаємодію довільного електромагнітного сигналу з нестаціонарним шаром, та побудовано числовий метод його розв’язання для різних видів середовища у шарі, яке має змінні властивості як у просторі, так і в часі. Розроблено програмний комплекс для автоматизації моделювання та дослідження таких задач.

- Без обмежень на коефіцієнт нелінійності середовища досліджено перетворення основних видів електромагнітних сигналів, а саме плоскої хвилі, гауссового імпульсу та гауссового хвильового пакету, солітону, в діелектричному нелінійному шарі. Розв’язок задач будується без апріорних припущень що до його структури на базі єдиного підходу, що дає можливість розрахувати всі вищі гармоніки трансформованого електромагнітного поля.

- Без обмежень на амплітуду збурення параметрів досліджено перетворення плоскої хвилі в нестаціонарному діелектричному шарі, параметри якого модулюються у часі або у часі та просторі. Розраховане повне електричне поле містить у собі всі вищі гармоніки, які являють собою лінійні комбінації частоти первинної хвилі та частоти модуляції параметрів середовища.

- Одержані розв’язки деяких нестаціонарних задач за допомогою методу FDTD та вперше проведено порівняння з результатами, одержаними за допомогою методу інтегральних рівнянь. Показано збіг результатів для лінійних стаціонарних задач та перевагу методу інтегральних рівнянь Вольтерра за точністю та стабільністю отриманих числових результатів для нестаціонарних задач.

- Вперше сформульовано метод інтегральних рівнянь Вольтерра для задач з нестаціонарним плоским діелектричним хвилеводом. Отримано рівняння, що описує взаємодію електромагнітного сигналу з нестаціонарним хвилеводом, властивості середовища ядра якого змінюються у часі. Побудовано числовий метод його розв’язання та розроблено програмний комплекс для моделювання електродинамічних процесів в хвилеводі із застосуванням технології паралельних обчислень.

- Показано, що при перетворенні власної хвилі хвилеводу, параметри середовища ядра якого різко змінюються у часі, виникають нові власні хвилі, одна з яких не змінює свою постійну розповсюдження, але змінює частоту, інша має частоту первинної хвилі, але нову постійну розповсюдження, а також виникає безперервний спектр хвиль випромінювання. Показано також, що спектр трансформованої хвилі відрізняється в різних точках поперечного перетину хвилеводу.

- Досліджено перетворення гауссового хвильового пакету у випадку стрибка параметрів середовища ядра хвилеводу у часі. Показано, що явища, що виникають при трансформації гармонійної власної хвилі, призводять до зміни просторово-часової структури первинного імпульсу.

- Побудовано метод моделювання нелінійного середовища з довільним коефіцієнтом нелінійності у хвилеводі за допомогою послідовності резольвентних операторів, які дають точний розв’язок лінійної задачі у випадку різкої зміни параметрів середовища у часі. Досліджено вплив нелінійності середовища на власну хвилю хвилеводу. Показано виникнення нестабільності поля, яка зникає при введенні насичення в модель нелінійності. Показано смугасту структуру спектру трансформованої хвилі, причому, на відміну від аналогічної задачі в діелектричному шарі, кожна гармоніка розщеплена і має свою структуру.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи були використані для моделювання фізичних процесів взаємодії електромагнітних сигналів з обмеженими нелінійними середовищами, нестаціонарними середовищами зі змінними у часі та просторі параметрами, а також для моделювання плоских нестаціонарних діелектричних хвилеводів. Розроблені методи та програмні засоби можуть бути використані при дослідженні генерації та перетворенні ультракоротких оптичних імпульсів за допомогою нелінійних кристалів або нестаціонарних оптичних волокон та генерації вищих гармонік у нелінійних середовищах, при розробці нових принципів модуляції сигналів за допомогою керування властивостями середовища в часі, при розрахунку параметрів пристроїв з нелінійними середовищами, які використовують ефекти самофокусування та самоузгодження фаз або інших нелінійних ефектів;

Особистий внесок здобувача. Особистий внесок здобувача у роботах, опублікованих у співавторстві складається з участі в одержанні інтегральних рівнянь та отриманні проміжних аналітичних розв’язків [1-5], з розробки числових методів для розв’язання інтегральних рівнянь [2-5, 7, 9, 10, 12, 14-18], в розробці комплексів прикладних розрахункових програм [2-18], а також в формулюванні початково-граничної нестаціонарної задачі на базі диференціального рівняння, її розв’язку методом FDTD та порівняння результатів з результатами методу інтегральних рівнянь Вольтерра, 3, 5, 10, 12, 15].

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідалися й обговорювалися на наступних міжнародних конференціях і симпозіумах:

– International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET–2000 (12-15 вересня, 2000 р., Харків, Україна);

– 9th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling OWTNM–2001 (April 6-7, 2001, Paderborn, Germany);

– 4th International Kharkov Symposium on "Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves" MSMW–2001 (June 4-9, 2001, Kharkov, Ukraine);

– 3rd International Conference on Transparent Optical Networks ICTON –2001 (18-21 червня 2001 р., Краків, Польща );

– 10th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling OWTNM–2002 (5th–6th April 2002, Nottingham, UK);

– 4th International Conference on Transparent Optical Networks ICTON –2002 (April 21-25, 2002, Warsaw, Poland);

– 56th Scotish Universities Summer School in Physics Ultrafast Photonics SUSSP-56 (1-14 Sept. 2002, St. Andrews, Scotland UK);

– 11th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling OWTNM-2003 (April 4-5, 2003, Prague, Czech Republic);

– 5th International Conference on Transparent Optical Networks ICTON-2003 (June 29 - July 3 2003, Warsaw, Poland). Науковий семінар ім. М.А. Хижняка “Интегральные уравнения макроскопической электродинамики” (20 Листопада 2004, м. Харків).

Публікації за темою дисертації. Матеріали дисертації викладено в 18 наукових працях, в тому числі в 5 статтях в фахових наукових журналах [1-5], в 10 збірниках доповідей конференцій за 3 збірниках тезисів конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 160 сторінок, з них 13 стор. – список використаних літературних джерел (125 найменувань). Всього в дисертації 51 рисунків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У Вступі викладається актуальність теми дослідження і обґрунтовується необхідність виконання роботи, її зв’язок з науковими програмами, визначена мета і задачі дослідження, наведено нові результати та галузі їхнього можливого застосування.

Розділ 1 присвячений огляду літератури за темою дисертації. Перераховані основні галузі застосування нестаціонарних електромагнітних явищ. Зазначені розв’язані на сьогодні задачі, визначене коло нерозв’язаних питань, проаналізовані існуючи числові та аналітичні методи дослідження нестаціонарних електромагнітних полів, а також пояснюється значення і переваги методу інтегрального рівняння Вольтерра при вивченні поширення електромагнітних полів у нестаціонарних середовищах. На основі цього виділено напрямки, що вимагають подальшого дослідження.

У Розділі 2 наведено основні положення інтегрального методу макроскопічної електродинаміки, що описує еволюцію електромагнітного поля у суцільних нестаціонарних середовищах. У першому підрозділі загальна електродинамічна задача сформульована у виді інтегрального рівняння Вольтерра другого роду , ядро якого являє собою добуток оператора поширення та оператора середовища , а являє собою вільний член рівняння, зумовлений передісторією нестаціонарного процесу.

Одержано рівняння Вольтерра для одновимірної задачі з довільним необмеженим або обмеженим нестаціонарним середовищем:

де , с - швидкість світла у вакуумі, - діелектрична стала, - дельта функція Дірака, - характеристична функція нестаціонарної просторової області, - первинне поле, - поляризація середовища.

Розглянуті та проаналізовані основні методи розв’язання інтегрального рівняння, а саме: метод послідовних наближень, метод еволюційної рекурсії та розв’язання задачі на основі числових методів і на цій основі обґрунтовано вибір методу прямого числового інтегрування для розв’язку поставленої нестаціонарної задачі.

Розглянуті та проаналізовані різні варіанти реалізації числового алгоритму, в тому числі детально розглянуто явні схеми на квадратній (у нормованих координатах) та на прямокутній сітці із зсувом, а також неявну схему. Найкращою та найбільш придатною для моделювання нелінійних нестаціонарних задач виявлено явну обчислювальну схему на прямокутній сітці із зсувом та застосуванням напіввідкритої формули трапецій для числового розрахунку інтегралів, яка має найкращу точність та стабільність серед розглянутих схем.

У Розділі 3 розглядається задача про поширення і трансформацію довільного електромагнітного сигналу у активному діелектричному шарі. Наведено детальну постановку задачі, яка є одновимірною у просторі, та сформульовано інтегральне рівняння для її описування. Для розв’язання інтегрального рівняння застосовується числовий метод на прямокутній сітці з зсувом кліток, побудований у розділі 2. Детально описана побудова пакету програм для автоматизації числового моделювання, а саме накопичення, візуалізації і обробки результатів моделювання цього класу одномірних у просторі нестаціонарних задач. Система побудована за об’єктно-орієнтованою технологією програмування в системі візуальної розробки програм – Borland C++ Builder для сімейства операційних систем Microsoft Windows 9x/NT. Програма дозволяє одночасно виконувати декілька числових експериментів застосовуючи різні розрахункові модулі, будувати візуалізацію отриманих даних, порівнювати результати різних числових методів між собою а також, де це можливо, з точними аналітичними розв’язками тестових задач та проводити аналіз отриманих результатів за допомогою похідних характеристик, що розраховуються автоматично. Результати розробленого алгоритму та розрахункової програми перевірені на тестовій задачі для різкого стрибка діелектричної проникливості середовища шару , для якої відомий точний аналітичний розв’язок. На рис. а зображено порівняння аналітичного та числових результатів розв’язання тестової задачі, отриманих з різним шагом дискретизації:

(а) |

(б) | Рис. . Порівняння з точним аналітичним розв’язком числових результатів, одержаних методом інтегральних рівнянь з різним кроком дискретизації (а), та з результатами, одержаними методом FDTD (б). Поле розраховано для середньої точки шару.

Проведено числове моделювання нестаціонарних явищ в діелектричному шарі для електромагнітної хвилі у середовищі, діелектрична проникливість якого модулюється у часі за законом , або у часі та просторі одночасно, , де – амплітуда та частота модуляції (часова та просторова координати та всі параметри нормалізовані).

На відміну від існуючих методів теорії збурювань та методу малого параметра, запропонований метод не має обмежень на амплітуду та частоту модуляції, також розраховане за єдиним підходом повне електричне поле містить у собі всі вищі гармоніки, частоти яких являють собою лінійні комбінації частоти первинного сигналу та частоти модулювання. Показано, що при модулюванні параметрів середовища хвилею, що біжить, амплітуди та кількість вищих гармонік значно більше, ніж при гармонійному модулюванні параметрів середовища тільки у часі.

Детально розглянуто явище перетворення гармонійної хвилі, гауссового імпульсу та пакету, а також солітоно-подібного сигналів у шарі з нелінійним середовищем з кубічною нелінійністю, поляризація якого описується функцією , де - нормований коефіцієнт нелінійності. Показано трансформацію усіх розглянутих електромагнітних сигналів у нелінійному середовищі, окрім солітону, який зберігає свою форму в процесі розповсюдження, як показано на рис. а. Виявлено високу стабільність запропонованого методу при моделюванні нелінійних задач, навіть при екстремально-великих значеннях коефіцієнта нелінійності, які на 3-4 порядки перевищують ті, що звичайно застосовуються в сучасній теорії. Проведені в даній роботі розрахунки повного електричного поля показали, що воно містить у собі всі вищі гармоніки, на відміну від більшості сучасних підходів, коли обмежуються тільки малими коефіцієнтами нелінійності і розглядають тільки одну-дві гармоніки.

(а) |

(б) | Рис. . Порівняння поширення солітоно-подібного сигналуа) та гауссового пакетуб) в нелінійному шарі, ,

У Розділі 4 розглянуто задачу про поширення електромагнітних сигналів у плоскому діелектричному хвилеводі, властивості середовища ядра якого можуть змінюватися у часі. Для випадку хвилеводу з нелінійним середовищем задача розв’язується наближено за допомогою апроксимації нелінійної задачі послідовністю лінійних задач, в яких ефективна діелектрична проникливість змінюється у часі під впливом нелінійності середовища.

Отримано хвильові рівняння для поперечних и повздовжніх компонент поля, які потім, за допомогою функції Гріна, перетворені в нестаціонарні інтегральні рівняння Вольтера другого роду. Для повздовжнього магнітного поля рівняння має вид:

де - первинне магнітне поле, - функція Гріна, - оператор середовища, - просторовий вектор, - товщина ядра хвилеводу, - швидкість світла у фоновому середовищі.

Отримані рівняння розв’язуються за допомогою апроксимації, коли довільна зміна параметрів середовища у часі замінюється на послідовність стрибків параметрів у часі. На кожному стрибку застосовується відомий точний аналітичний розв’язок задачі трансформації електромагнітної хвилі в середовищі з різкою зміною властивостей у часі, отриманого за допомогою резольвентного оператора. У випадку нелінійного середовища в ядрі хвилеводу його діелектрична проникливість описується нелінійним законом: , де - номер стрибка, - коефіцієнт нелінійною сприйнятливості, - ефективна величина електричного поля, яка обчислюється через магнітне поле. Залежність поля від повздовжньої координати на кожному часовому кроці використовується у виді перетворення Фур’є відносно цієї координати: .

Побудовано обчислювальний алгоритм розв’язку розглянутої задачі. Для одночасного розрахунку всіх просторових гармонік досліджуваного сигналу застосовується технологія паралельних обчислень за допомогою Інтерфейсу передачі повідомлень MPI (Message Passing Interface).

Наведено результати розрахунків ряду задач у нестаціонарному хвилеводі, а саме перетворення гармонійної хвилі та гауссового хвильового пакету для випадку, коли діелектрична проникливість середовища змінюється стрибком або гармонічно модулюється у часі. На рис.  показано еволюцію у часі поперечного розподілу повздовжнього магнітного поля власної хвилі хвилеводу для випадку різкої зміни діелектричної проникливості середовища у часі. Спектр трансформованого сигналу, отриманий за допомогою швидкого перетворення Фур’є одержаного повного поля у хвилеводі, показано на рис. . Аналіз результатів показав виникнення нових власних хвиль хвилеводу, одна з яких має колишню постійну розповсюдження, але нову частоту, інша – колишню частоту та нову постійну розповсюдження, а також виникнення безперервного спектру хвиль випромінювання. Виявлено також, що спектр трансформованої хвилі відрізняється у різних точках поперечного перетину хвилеводу.

Розглянуто задачу з нелінійним середовищем у хвилеводі. Показано концентрування енергії сигналу у хвилеводі при трансформації гармонійної хвилі та виникнення нестабільності поля, спричинена концентрацією енергії в ядрі хвилеводу та необмеженою нелінійною добавкою до діелектричної проникливості в застосованій моделі нелінійності. При введенні насичення в модель нелінійності нестабільності поля не виникає. Спектр трансформованої хвилі зображено на рис..

У Розділі 5 вперше проведено порівняння запропонованого методу інтегральних рівнянь з найпоширенішим на сьогодні обчислювальним методом електродинаміки у часовій області FDTD. Наведено основні положення методу FDTD, одержано диференціальні рівняння для нестаціонарних задач з необмеженим лінійним середовищем та задач з плоским нестаціонарним діелектричним шаром. Наведено початкові та граничні умови. Проведена дискретизація похідних кінцевими різностями та детально описана числова схема розв’язку наведених задач.

Наведено порівняння якісних характеристик інтегрального методу та методу FDTD. Перевагами інтегрального підходу є його універсальність, що виражається в можливості моделювання різних типів середовищ, у тому числі нелінійних або нестаціонарних, за допомогою одного й того обчислювального алгоритму та програми, урахування початкових та граничних умов у основному рівнянні та більш природний опис складних нестаціонарних та нелінійних середовищ. Основним недоліком інтегрального підходу відносно FDTD методу є складність у побудові багатовимірних обчислювальних алгоритмів через використання більш складного математичного апарату в основі методу.

У наступному підрозділі порівняно результати числового моделювання нестаціонарних задач з лінійними середовищами у діелектричному шарі, отримані за допомогою двох числових методів – методу на базі інтегральних рівнянь Вольтера та методу FDTD. Розглянуто декілька різних типів нестаціонарних задач взаємодії електромагнітних хвиль з діелектричним шаром, а саме тестова задача з різкою зміною діелектричної проникливості середовища в шарі, рис. б, гармонійна модуляція проникливості у часі та у часі і просторі одночасно, а також задача поширення електромагнітної хвилі у діелектричному шарі, границі якого рівномірно наближаються одна до одної. Порівняння результатів двох методів показало перевагу, відносно точності та стабільності, методу інтегральних рівнянь для нестаціонарних задач, та збіг результатів для стаціонарних задач.

ВИСНОВКИ

У даній дисертаційній роботі розв’язана актуальна задача дослідження ультрашвидких нестаціонарних електродинамічних процесів в нелінійних обмежених середовищах, та у середовищах зі швидко змінними у часі та просторі параметрами за присутності просторових границь. Для розв’язку задач розроблено числово-аналітичний метод на базі інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, еквівалентних рівнянням Максвела, який, на відміну від більшості сучасних методів, не має обмежень на величину збурювань параметрів середовища та на величину коефіцієнту нелінійності, а також дозволяє отримувати повний розв’язок нестаціонарної задачі без апріорних припущень що до його структури. Окрім розрахунку кількісних характеристик, запропонований метод дозволяє також проводити якісний аналіз нестаціонарних процесів.

Для реалізації методу розроблено спеціалізований програмний комплекс. За допомогою цього комплексу досліджено перетворення плоскої хвилі, гауссового імпульсу, гауссового хвильового пакету та солітону у діелектричному шарі, параметри якого змінюються у часі за різними закономірностями, серед яких розглянуто різкий стрибок у часі, модулювання параметрів середовища гармонічною у часі або у часі та просторі хвилею, у нелінійному шарі, а також у шарі з границями, що рухаються. Отримані результати підтверджують, що розроблений метод не має обмежень на величину коефіцієнту нелінійності і на амплітуду збурювання параметрів середовища та має високу стабільність навіть при екстремально-великих значеннях коефіцієнта нелінійності і амплітуд параметричної модуляції. Показано також, що розраховане за єдиним підходом повне електромагнітне поле містить у собі всі вищі гармоніки.

Одержано розв’язки лінійних задач у діелектричному шарі за допомогою методу FDTD та вперше проведено порівняння з результатами методу інтегральних рівнянь. Показано збіг результатів двох методів для стаціонарних задач та більш високу точність і кращу стабільність методу інтегральних рівнянь для нестаціонарних задач.

При дослідженні перетворення власної хвилі діелектричного хвилеводу, коли параметри середовища його ядра різко змінюються у часі, виявлено виникнення нових власних хвиль у хвилеводі та безперервного спектру хвиль випромінювання. Одна з нових власних хвиль має частоту первинної хвилі, але нове значення постійної розповсюдження, інша трансформована хвиля не змінює свою постійну розповсюдження, але змінює частоту. Показано також, що спектр трансформованого сигналу відрізняється в різних точках поперечного перетину хвилеводу. При дослідженні перетворення гауссового хвильового пакету в хвилеводі показана і розрахована зміна просторово-часової структури імпульсу, яка є наслідком явищ, які виникають при трансформації власних хвиль під впливом нестаціонарності.

Показане збудження широкого спектру комбінаційних частот, що теоретично передбачається, при гармонійній модуляції параметрів середовища в ядрі хвилеводу, хоча звичайно на практиці обмежуються аналізом тільки малих амплітуд модуляцій, коли враховуються лише одна або дві комбінаційні гармоніки. Виявлено також появу гармоніки в спектрі трансформованого сигналу, яка відповідає частоті параметричного резонансу.

Побудовано метод моделювання нелінійного середовища у хвилеводі за допомогою послідовності точних резольвентних операторів, які дають точний розв’язок лінійної задачі з різкою зміною параметрів середовища у часі. Показано, що при перетворенні власної хвилі в хвилеводі з нелінійним середовищем у ядрі, виникає нестабільність поля, спричинена концентрацією енергії в ядрі хвилеводу та необмеженою нелінійною добавкою до діелектричної проникливості в застосованій моделі нелінійності. При введенні насичення в модель нелінійності нестабільності поля не виникає. Показано смугасту структуру спектру трансформованого сигналу, в якій, на відміну від аналогічного явища в одновимірному випадку, кожна смуга розщеплена і має свою структуру. Розщеплення вищих гармонік, можливо, викликане появою постійної компоненти нелінійної добавки до величини ефективної діелектричної проникливості і, як наслідок, впливу явищ, аналогічних випадку зі різкою зміною параметрів середовища хвилеводу у часі.

Достовірність результатів підтверджується збігом отриманих в роботі аналітичних і числових результатів в граничних випадках з відомими раніше, збігом числових результатів з точними аналітичними розв’язками тестових задач, збігом числових результатів, отриманих новим методом та методом FDTD для лінійних задач, а також відповідністю нових результатів фізичній картині явищ, що досліджуються.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Емельянов К.М., Нерух А.Г., Федотов Ф.В. Распространение электромагнитного сигнала в безграничной плазменной среде // Радиоэлектроника и информатика.-2000.-№ 4(13).-С. 18-23.

2. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Scherbatko I.V. Comparison of the FDTD and direct-integrating methods for electrodynamic problem in time-varying medium // Facta-Universitatis, Ser.:Elec.Energ., Nis, Yugoslavia-2002.-Vol.15 No2.-P.165-173.

3. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Investigation of Electromagnetic Field in a Layer with Time-Varying Medium by Volterra Integral Equation Method // IEEE J. of Lightwave Technology.-2003.-Vol. 21. No1.-P.305-314.

4. Федотов Ф.В., Нерух А.Г. Применение метода интегральных уравнений Вольтерра для исследования преобразования электромагнитного поля в нелинейном диэлектрическом слое // Радиотехника.-2003.-№132.-С. 65-69.

5. Федотов Ф.В., Нерух А.Г. Численное исследование взаимодействия электромагнитного поля с нестационарным диэлектрическим слоем при помощи метода интегральных уравнений Вольтерра // Радиоэлектроника и информатика. – 2003.-№4(25). – С. 12-15

6. Nerukh A.G., Yemelyanov K.M., Fedotov F.V. Computer modeling of electromagnetic wave propagation in a time-varying medium // Proc. International Conf. on Antenna Theory and Tech. (ICATT-99).-Sevastopol (Ukraine).-1999.-P. 429-431.

7. Nerukh A.G., Fedotov F.V., Yemelyanov K.M. Numerical modelling of electromagnetic signal propagation in a time-varying medium // Proc. International Conf. On transmitting waves of progress to the next millennium.-Salt Lake City (USA).-2000-P.2103-2106

8. Sakhnenko N.K., Nerukh A.G., Fedotov F.V. Transients of an axial symmetric electromagnetic source in a flat waveguide with a time varying plasma // Proc. International Conf. On Math. Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2000).-Kharkov (Ukraine).-2000.-P. 111-113.

9. Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Fedotov F.V. Modelling of far infrared radiation generation in semiconductor structure // Proc. of 9th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (OWTNM-2001).-Paderborn (Germany).-2001.-P25.

10. Nerukh A.G., Fedotov F.V., Scherbatko I.V. Comparison of the FDTD and direct-integrating algorithms for solution of the one-dimensional nonstationary electrodynamic problem // Proc. of The Forth Internat. Kharkov Symp. "Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves" (MWMW-2001).-Kharkov (Ukraine).-2001.-Vol.1.-P.157-159.

11. Nerukh A.G., Yemelyanov K.M., Fedotov F.V. Numerical simulation of electromagnetic transients in nonstationary plasma layers // Proc. Of 3rd International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON-2001).-Warsaw (Poland).-2002.-Vol. 1, P. 180-183.

12. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Scherbatko I.V. Comparison of the FDTD and direct-integrating methods for electrodynamic problem in time-varying medium // Proc. International Conf. Of Applied Electromagnetics (PES-2001).-Nis (Serbia).-2001.-P. 57-60.

13. Sakhnenko N.K., Fedotov F.V., Nerukh A.G. Electromagnetic field in a flat waveguide with time-varying plasma // Proc. International Conf. Of Applied Electromagnetics (PES-2001).-Nis (Serbia).-2001.-P. 135-138.

14. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Simulation of an Electromagnetic Signal Propagation through a Layer of Nonlinear Dielectric using Integral Equations Approach // Proc. of 10th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (OWTNM-2002).-Nottingham (UK).-2002.-P.41.

15. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Solution of non-stationary electrodynamics boundary value problem by FDTD and Volterra Integral Equation methods // Proc. Of 4th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON-2002).-Warsaw (Poland).-2002.-Vol. 1, P.180-183.

16. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Analytic-Numerical Approach to Nonlinear Problems in Dielectric Waveguides // Proc. of 11th International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modelling (OWTNM-2003).-Prague (Czech Republic).-2003. – P.127.

17. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Resolvents Method for Analytical-Numerical Investigation of Nonlinear Problems in Dielectric Waveguide // Proc. Of 5th International Conference on Transparent Optical Networks (ICTON-2003).-Warsaw (Poland).-2003. P.54-57.

18. Fedotov F.V., Nerukh A.G., Benson T.M., Sewell Ph. Numerical Solution to Nonlinear Problems in Dielectric Waveguides via Resolvent Method // Proc. of International Conference on Advanced Optoelectronic and LASERS (CAOL-2003).- Alushta (Ukraine).-2003 .-P. 173-175.

АНОТАЦІЯ

Федотов Ф.В., Числове дослідження нестаціонарних електродинамічних процесів в активних суцільних середовищах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 – радіофізика. – Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, 2004.

Дисертація присвячена побудові числово-аналітичного методу та програмних засобів для розв’язання граничних нестаціонарних задач та дослідженню перетворення довільних електромагнітних сигналів, включаючи ультра-швидкі імпульси, у плоскому нестаціонарному або нелінійному діелектричному шарі та у плоскому нестаціонарному хвилеводі. Основним методом дослідження є метод нестаціонарних інтегральних рівнянь у часовій області. Одержані інтегральні рівняння Вольтерра другого роду розв’язані за допомогою методу резольвенти, а також за допомогою обчислювальних методів. Побудовано спеціальне програмне забезпечення для автоматизації моделювання, а також застосовано технологію розподілених обчислень. Розроблений метод порівняно з найпоширенішим на сьогодні методом кінцевих різностей у часовій області (FDTD). Досліджено перетворення різноманітних сигналів у нелінійному та нестаціонарному у часі шарі, у шарі з границями, що рухаються, а також у нелінійному та нестаціонарному діелектричному хвилеводі.

Ключові слова: нестаціонарність, нелінійність, нестаціонарні середовища, інтегральне рівняння Вольтерра, резольвента, FDTD, метод еволюційної рекурсії, паралельні обчислення, обчислювальні методи.

SUMMARY

Fedotov F.V., Numerical investigation of nonstationary electrodynamic processes in active solid media. – Manuscript.

Thesis for candidate’s degree by speciality 01.04.03 – radiophysics. Kharkov National University of Radio Electronics, Kharkov, 2004.

The thesis is devoted to the investigation of transient electromagnetic field evolution in a flat dielectric waveguide and in a slab, in both cases a medium has time-varying properties or nonlinear ones. The problem is described in the time-domain by means of the Volterra integral equations. Special numeric-analytical approach, as well as software, is developed to solve the problem. The approach is based on the analytical method of a resolvent combined with numerical computations. The developed method is tested by comparison with exact analytical solutions on test problems and by comparison with results of the Finite-Differences in Time-Domain method (FDTD) for various nonstationary linear problems. Interactions of various electromagnetic signals with the slab and the waveguide are investigated. Different time and space modulations of the medium, a nonlinear medium and a slab with moving boundaries are considered.

Key words: transients, nonlinear media, time-varying media, Volterra integral equation, resolvent operator, FDTD, evolutionary recursion method, numerical methods, time-domain methods.

АННОТАЦИЯ

Федотов Ф.В., Численное исследование нестационарных электродинамических процессов в активных сплошных средах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 – радиофизика. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, г. Харьков, 2004.

Диссертационная работа посвящена исследованию нестационарных электромагнитных полей граничных задач в нелинейных средах и в средах с зависимыми от времени параметрами. Исследована трансформация произвольного электромагнитного сигнала в плоском нестационарном диэлектрическом слое, среда которого может быть нелинейной или иметь меняющиеся во времени параметры, а также решена задача о распространении электромагнитных сигналов в нестационарном плоскопараллельном диэлектрическом волноводе. Основным методом решения является метод интегральных уравнений нестационарной электродинамики, с помощью которого исходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода во временной области. Уравнение содержит в себе начальные и граничные условия, а также единым образом определяет поле во всем пространстве, включая как нестационарную область неоднородности, так и окружающее пространство.

Для решения уравнения применяются метод прямого численного интегрирования и эволюционный подход, основанный на аппроксимации нестационарности среды последовательностью резких скачков её параметров, для каждого из которых известно точное аналитическое решение, полученное с помощью метода резольвенты. В работе разработан численно-аналитический метод решения нестационарного уравнения Вольтерра и создано программное обеспечение, позволяющее эффективно моделировать и исследовать распространение электромагнитных сигналов с произвольной пространственно-временной зависимостью в нестационарном слое. Предложенный подход позволяет с помощью единого программного инструмента решать множество различных классов задач, в частности, с нелинейными, дисперсионными или нестационарными во времени средами, а также задач с движущимися границами. Разработанные программные средства проверены на тестовых задачах, для которых известно точное аналитическое решение. Для линейных нестационарных задач реализовано решение с помощью метода конечных разностей во временной области (FDTD). Выполнено качественное и количественное сравнение результатов метода интегральных уравнений и метода FDTD к решению нестационарных электродинамических задач во временной области, показавшее совпадение результатов для стационарных задач и преимущество метода интегральных уравнений Вольтерра по точности и стабильности по сравнению с FDTD для нестационарных задач.

Задача о распространении электромагнитного поля в плоском нестационарном диэлектрическом волноводе в случае нелинейной среды в ядре аппроксимирована с помощью последовательного изменения параметров линейной среды в соответствии с влиянием нелинейности вещества. Построение решения данной задачи выполнено с помощью разработанной комбинации аналитического метода резольвенты и численных методов для вычисления интегро-дифференциальных операторов. Изменение параметров среды во времени аппроксимируется ступенчатыми функциями, на каждом шаге которых решение для первичного гармонического сигнала получено точно с помощью резольвентного оператора, соответствующего скачку диэлектрической проницаемости во времени. В дальнейшем для вычисления полученных аналитических интегральных выражений использованы численные методы. Разработано программное обеспечение, позволяющее производить необходимые расчеты с применением технологий параллельных вычислений MPI (Message Passing Interface), что существенно повышает производительность и расширяет возможности программы.

Ключевые слова: нестационарность, нелинейность, нестационарные среды, интегральное уравнение Вольтерра, резольвента, FDTD, метод эволюционной рекурсии, распределенные вычисления, численные методы, методы временной области.