НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

Гладкова Людмила Анатоліївна

УДК 519.21

АСИМПТОТИЧНІ ЗАДАЧІ СТАТИСТИКИ

ДЛЯ ДИСКРЕТНИХ РОЗПОДІЛІВ

01.01.05- теорія ймовірностей та математична статистика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізіко-математичних наук, професор,  

Ліньков Юрій Миколайович 

Офіційні опоненти: доктор фізіко-математичних наук, професор,
Бондарев Борис Володимирович,
завідувач кафедри теорії ймовірностей,
Донецький Національний універсітет;

кандидат фізіко-математичних наук, доцент,

Пилипенко Андрій Юрійович,
науковий співробітник відділу теорії випадкових процесів,
Інститут Математики НАН України (м. Київ).

Провідна установа: Київський Національний Університет ім. Т.Г. Шевченка,
кафедра теорії ймовірностей та математичної статистики.

Захист відбудеться “10” березня 2004 р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, .

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, .

Автореферат розісланий “04” лютого 2004р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради О.С.Чани.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності відіграють важливу роль в теорії інформації, теорії масового обслуговування, статистичній механіці, а також в математичній статистиці при дослідженні швидкості спадання ймовірностей помилок першого і другого роду найбільш потужних критеріїв в задачі перевірки статистичних гіпотез (відзначимо тут праці Г. Чернова, Р.Р. Бахадура, О.О. Боровкова і О.О. Могульського, Ю.М. Лінькова).

На цей час доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в загальній схемі статистичних експериментів у працях Ю.М. Лінькова, М.І. Медведевої. Ці загальні теореми дозволяють досліджувати залежність між швидкостями спадання ймовірностей помилок першого і другого роду критерію Неймана-Пірсона. Але їх застосування до конкретних класів випадкових процесів є задачею далеко не тривіальною, тому що не завжди вдається довести граничні теореми для інтеграла Хелінгера (підібрати нормируючий множник такий, щоб функція укліну не була виродженою), розв’язати допоміжні функціональні рівняння, за допомогою яких можна розв’язати задачу до кінця у сенсі обчислення характеристик швидкостей спадання ймовірностей помилок критеріїв Неймана-Пірсона, байєсівських і мінимаксних. Тому актуальною є задача знаходження класів розподілів, до яких можна використати теореми про великі відхилення, тим більше, що загальної методики знаходження функції укліну немає. Відзначимо застосування загальних теорем щодо статистичних експериментів, які породжені:– 

лічильними процесами – в працях Ю.М. Лінькова, О.О. Василенко,– 

процесами авторегресії – в працях Ю.М. Лінькова, М.І. Медведевої, О.М. Ладан,– 

загальними процесами з незалежними приростами в працях Ю.М. Лінькова, Ю.А. Шевлякова.

Зазначені праці висвітлюють застосування теорем про великі відхилення щодо дослідження поведінки ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона.

У дисертаційній роботі доведені граничні теореми щодо статистичних експериментів, спричинених бернуліївськими послідовностями та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією.

У відрізнянні від результатів роботи О.О. Боровкова і О.О. Могульського, де розглядається використання “точних” теорем про великі відхилення в задачі перевірки складних гіпотез в схемі спостережень незалежних однаково розподілених випадкових величин і випадкових полей, в дисертації для бернуліївських послідовностей досліджується схема спостережень незалежних, взагалі кажучи, неоднаково розподілених випадкових величин. Виділені періодичний випадок та випадок схеми серій.

При побудові математичних моделей фізичних, геофізичних, хімічних явищ та в плані рішення конкретних медико-біологічних задач (С.М. Зуєв) звичайно виникають процеси Гальтона-Ватсона.

Дисертаційна робота розвиває методи статистичного оцінювання параметрів математичних моделей. Ці методи можуть бути застосовані до обгрунтування висновків за даними лабораторних та клінічних спостережень, розв’язанню прикладних задач, пов’язаних з обробкою даних імунологічних експериментів таких, як порівняння ефективностей методів лікування або вивчання впливу препаратів на параметри організму тощо.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з науковими дослідженнями відділу теорії ймовірностей і математичної статистики ІПММ НАН України, її результати використані при виконанні наукової програми 1.1.4.5. “Граничні теореми для випадкових процесів та їх застосування у задачах статистики процесів та стохастичних диференціальних рівнянь” №0199V001611.

Мета роботи – в задачі перевірки гіпотез довести теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності, дослідити поведінку ймовірностей помилок першого та другого роду критерію Неймана-Пірсона, ймовірностей помилок і ризиків байєсівських і мінімаксних критеріїв для різних моделей спостереження бернуліївських послідовностей та процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Методика дослідження. У роботі використовуються загальні граничні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності, граничні теореми для випадкових процесів, методи опуклого аналізу.

Наукова новизна. У роботі одержано такі нові результати:– 

встановлено граничні теореми про поведінку інтегралів Хелінгера;– 

доведено теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, спричинюваних спостереженнями бернуліївських послідовностей та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією;– 

досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона у задачі розрізнення бернуліївських послідовностей та процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією;– 

визначено взаємозв’язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок першого і другого роду та ризиків байєсівських і мінімаксних критеріїв у випадку, коли виконуються теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібностей.

Теоретична і практична ціннність. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть застосовуватись для розв’язування задач перевірки складних гіпотез та оцінювання невідомих параметрів у випадку спостережень послідовностей бернуліївських випадкових величин і для процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих роботах [1-4, 6-9] співавтору належить постановка задач, загальне керівництво, обговорення та інтерпретація одержаних результатів. Дисертанту належать всі фактичні результати цих робот.

Апробація роботи. Основні результати роботи доповідались на другій та третій Всеросійських школах-колоквіумах щодо стохастичних методів (Йошкар-Ола, 18-25 грудня 1995р., Туапсе, 17-24 вересня 1996 р.), на першій та другій Українсько-Скандинавській конференціях “Стохастичні динамічні системи: теорія і використання” (Ужгород, Україна, 30 вересня-6 жовтня 1995 р., Юмеа; Швеція, 8-13 червня 1997 р.), на Донецькому колоквіумі “Ймовірність та статистика”, присвяченому 80-річчю від дня народження І. І. Гіхмана (Донецьк, 24-27 травня 1998 р.), на інтернаціональному літньому семінарі “Стохастичні динамічні системи” (Судак, Крим, Україна, 30 травня–3 червня 2003 р.), на семінарі кафедри теорії ймовірностей Київського Національного Університету ім. Т. Г. Шевченка
(Київ, 22 травня 2003 р.), на семінарах відділу теорії ймовірностей і математичної статистики Інституту прикладної математики і механіки НАН України (Донецьк, 1995–2002 рр.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 11 праць, список яких наведено в кінці автореферату (3 опубліковані у наукових фахових виданнях).

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків і списку літератури (98 назв). Загальний обсяг роботи 147 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел з 99 назв. В дисертації використовується подвійна нумерація теорем та формул: перша цифра вказує на номер розділу, а друга – номер теореми (леми, формули тощо) у даному розділі.

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертації, наведені мета і задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення одержаних результатів, апробація та структура роботи.

У першому розділі подано огляд сучасного стану проблем, пов’язаних з темою дисертації, та літератури, у якій досліджено великі відхилення та перевірку гіпотез.

У другому розділі подано загальні визначення та припущення, що використовуються надалі у всій роботі. Нехай – повний ймовірнісний простір, на якому визначено всі випадкові елементи, що розглядаються нижче, ,– сім’я вимірних просторів,– вимірний відбиток до для кожного n. Нехай (відповідно) – ймовірнісна міра, яка задає розподіл спостереження, коли справедлива гіпотеза (відповідно). Вводиться інтеграл Хелінгера порядку для мір і, та наводяться деякі, необхідні в роботі, властивості інтегралу Хелінгера. Для перевірки двох простих гіпотез і розглядається критерій Неймана-Пірсона рівня вигляду

,

де– логарифм відношення правдоподібності, а, – параметри критерію, що відзначаються значенням рівня, при цьому позначимо ймовірність помилки другого роду для критерію

,

де – математичне сподівання за мірою.

Вводяться також байєсівський і мінімаксний критерії для перевірки гіпотез і. Крім того, у другому розділі вводиться умова щодо поведінки за, яка використовується потім у всій роботі.

. Для будь-якого існує границя

, ()

де за, а є власна опукла функція, така що, диференційовувана на і, де

Також у другому розділі наведено теореми про великі відхилення для загальної схеми статистичних експериментів та теореми про поведінку ймовірностей помилок критеріїв Неймана-Пірсона, байєсівських і мінімаксних залежно від поведінки за.

У параграфі 3.1 розглядаються спостереження, процесу Гальтона-Ватсона з іміграцією, де

()

Тут - незалежні однаково розподілені пуасонівські випадкові величини з параметром, тобто,. Розглядається задача перевірки двох простих гіпотез та, які полягають у тому, що розподіл спостереження задається мірами і відповідно, де.

У параграфі 3.2 застосовуються результати параграфу 3.1 для дослідження поведінки швидкостей спадання ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона, байєсівських і мінімаксних критеріїв. Отримано лему про властивості функції (лема ).

Вводяться позначки

де

Наступна теорема описує поведінку ймовірностей помилок і за критерію Неймана-Пірсона.

Теорема . Коли, тоді справедливі такі твердження:

1) для будь-якого

а єдиний розв’язок рівняння щодо, де;

2) для будь-якого

,

та для будь-якого

,

3) для будь-якого

,

та для будь-якого

.

У параграфі 4.2 розглядаються спостереження процесу Гальтона-Ватсона з іміграцією, де мають вигляд

а– незалежні однаково розподілені пуасонівські випадкові величини з параметром, тобто. Розглядається задача перевірки двох простих гіпотез і, які полягають у тому, що розподілення спостереження задається мірою і відповідно,.

У параграфі доведено граничні теореми для інтеграла Хелінгера у випадку, коли не залежить від n, а залежить від і за. Передбачається, що для всіх , де за.

Вводяться такі позначки:

Звідси, в силу теореми , отримано

.

Сформулюємо тут теореми про поведінку в трьох різних випадках:

Теорема 4.. Нехай і, де і за. Тоді для будь-якого існує границя , де

Теорема .. Нехай і, де і за всіх , причому і за. Тоді для будь-якого існує границя , де, за незалежно від знака, у випадку за всіх, за і, де

,

передбачаючи.

Теорема .. Нехай і, де за. Тоді для будь-якого існує границя , де, за всіх, за,.

У тому самому параграфі доведено граничні теореми для інтеграла Хелінгера у випадку асимптотично критичних процесів (теореми 4.13– 4.15), тобто, передбачається, що, для всіх n. Розглядаються різні шляхи прямування до одиниці. Нижче наведено формулювання однієї з теорем.

Теорема 4.13. Нехай за всіх , і за, і, д. Тоді для будь-якого існує границя , де і

,

На підставі отриманих граничних теорем доведено теореми про великі відхилення для за у випадках, коли виконується умова.

У §4.3 та §4.4 доведено теореми про асимптотичну поведінку ймовірностей помилок критеріїв Неймана-Пірсона, байєсівських і мінімаксних в умовах справедливості теорем про великі відхилення для для бернуліївських послідовностей з 4.1 та для близьких процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією з 4.2.

ВИСНОВКИ

В дисертації доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності щодо статистичних експериментів, які породжуються бернуліївськими послідовностями та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією, в задачі перевірки статистичних гіпотез. Розв’язання цієї задачі зведено до пошуку перетворення Лежандра-Фенхеля деяких опуклих функцій та розв’язанню відповідних функціональних рівнянь.

Обгрунтовано граничні теореми про поведінку інтегралів Хелінгера, які вказують умови справедливості теорем про великі відхилення для різних схем бернуліївських спостережень та для процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією. Знайдено нові типи функцій, які поповнили відомий до цього клас цих функцій для інших схем спостережень. У розглянутих випадках вдалось розв’язати задачу до кінця у сенсі обчислення характеристик швидкостей спаданняй мовірностей помилок критеріїв Неймана-Пірсона, байєсівських і мінимаксних.

Отримані в дисертації формули та граничні теореми для інтегралів Хелінгера можуть використовуватись у задачі перевірки складних гіпотез, у задачі оцінювання невідомих параметрів у випадку спостережень послідовностей бернуліївських випадкових величин та для процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Основні положення дисертації опубліковані в роботах:

.’kov Yu. N., Lunyova L. A. Large deviation theorems in the testing problems for the Bernoulli sequences // ROSE – 1995. – 3, №3. – P.231-243.

2. Lin’kov Yu.N., Lunyova L.A. Large deviation theorems in the hypotheses testing problems for the Galton-Watson processes with immigration // Theory Stoch. Processes. – 1997. – 3(19), no.
1-2. – P. 270-285.

3. Линьков Ю.Н., Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия бернуллиевских последовательностей. – Препринт №-02.-1. – Донецк: ИПММ НАНУ. 2002. 28с

4. Линьков Ю.Н., Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия бернуллиевских последовательностей // Труды ИПММ НАН Украины, 2002, т.7, с.115-133.

5. Гладкова Л.А. Теоремы о больших уклонениях в задаче различия близких процессов Гальтона-Ватсона. // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. –2002.–№2.–с.72-88.

6. Lin’kov Yu.N., Lunyova L.A. MedvedevaShevliykov Yu.A., Vasilenko O.A. Large deviations in hypotheses testing problems for processes with independent increments // I Ukr.-Scan. Conf in Math. Stat. (Uzhgorod, Ukraine, 30.09-06.10.95). – Abstract.– p.57.

7. Линьков Ю.Н., Лунева Л.А. Большие уклонения в задаче различия бернуллиевских последовательностей// II-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 18-25.12.95) Тез. Докл. – М.: ТВП, 1995. с.88-89.

8. Линьков Ю.Н., Лунева Л.А. Большие уклонения в задаче различия процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией// III-я Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Туапсе , 17-24.09.96). – Тез. Докл. – М.: ТВП, 1996. С.105-106.

9. Lin’kov Yu. N., Lunyova L. A. Large deviation in testing problems for Galton-Watson processes with immigration// II Scand.–Ukr. Conf in Math. Stat. (Umea, Sweden, 8-13.07.97). – Abstract.–p.59.

10. Щербакова Л.А. Теоремы о больших уклонениях для процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией //Донецкий коллоквиум “Вероятность и статистика” посвященный 80-летию И.И. Гихмана. (Донецк, Украина, 24-27.98). –Тез. Докл. – Донецк. МЧП “ЛИК”, 1998. С.44-46.

11. Gladkova L.A. Large deviation in testing problems for near Galton-Watson processes with immigration// International Summer Seminar “Stochastic Dynamical Systems”. (Sudak, Crimea, Ukraine 30.05-3.06.03).– Abstract.–2003.–P.12.

АНОТАЦІЯ

Асимптотичні задачі статистики для дискретних розподілів. Рукопис. Дисертація на здодуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05.–Теорія ймовірностей та математична статистика. Інститут прикладної математики та механіки НАН України. Донецьк, 2003.

У дисертації отримані такі результати.

Встановлено граничні теореми про поведінку відповідних інтегралів Хелінгера, які вказують умови вірності теорем про великі відхилення.

Доведені теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності в задачі розрізнення двох простих гіпотез для статистичних експериментів, що породжуються спостереженнями бернулієвських послідовностей та процесами Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Досліджено поведінку ймовірностей помилок критерію Неймана-Пірсона, коли вірні теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібності у задачі розрізнення бернулієвських послідовностей та процесів Гальтона-Ватсона з іміграцією.

Досліджено взаємозв’язок між швидкостями спадання ймовірностей помилок 1-го і 2-го роду та ризиків байєсовських і мінімаксних критеріїв у випадку, коли виконуються теореми про великі відхилення для логарифму відношення правдоподібностей.

Ключові слова: теореми про великі відхилення, відношення правдоподібності, критерій Неймана-Пірсона, байєсовський і мінімаксний критерії, бернуліївські послідовності, процес Гальтона-Ватсона з іміграцією.

АННОТАЦИЯ

Асимптотические задачи статистики для дискретных распределений. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05.–Теория вероятностей и математическая статистика. Институт прикладной математики и механики. Донецк, 2003.

Диссертация посвящена применению общих теорем о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия к статистическим экспериментам, порожденным бернуллиевскими последовательностями и процессом Гальтона-Ватсона с иммиграцией, в задаче проверки статистических гипотез. Решение этой задачи сведено к нахождению преобразования Лежандра-Фенхеля некоторых выпуклых функций и решению соответствующих функциональных уравнений.

В диссертации получены следующие результаты.

Рассмотрена задача различения бернуллиевских последовательностей в периодическом случае и в случае схемы серий, причем для сближающихся и несближающихся гипотез.

В работе рассмотрены неодинаково распределенные случайные величины, независящие от номера серии. При этом выделены асимптотически одинаково распределенные случайные величины и периодический случай. Исследована схема серий с одинаково распределенными случайными величинами внутри серии в случае близких гипотез и в случае асимптотической независимости от номера серии. Рассмотрена также схема серий с неодинаково распределенными случайными величинами внутри серии при различном поведении вероятности успеха при нулевой гипотезе.

Получены предельные теоремы о поведении интегралов Хеллингера, указывающих условия справедливости теорем о больших уклонениях.

Установлены соответствующие теоремы о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия при нулевой гипотезе и при альтернативе.

Полученные теоремы применены к исследованию поведения вероятностей ошибок критерия Неймана-Пирсона, а также вероятностей ошибок и рисков байесовских и минимаксных критериев.

Установлена зависимость скорости убывания вероятности ошибки второго рода критерия Неймана-Пирсона от поведения уровня в случае, когда уровень экспоненциально убывает для всех моделей наблюдения бернуллиевских последовательностей.

Исследован вопрос о скоростях убывания вероятностей ошибок критериев Неймана-Пирсона, байесовских и минимаксных для процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией в случае, когда справедливы теоремы о больших уклонениях для логарифма отношения правдоподобия. Здесь независимые переменные распределены по закону Пуассона с соответствующими параметрами при альтернативных гипотезах. При этом рассмотрены случаи, когда параметры: 1) не зависят от n; 2) зависят от n некоторым образом. Второй случай посвящен изучению близких гипотез в схеме серий.

Для всех случаев доказаны теоремы об асимптотическом поведении интеграла Хеллингера. На основании этих теорем получены теоремы о больших уклонениях.

Доказаны теоремы об асимптотическом поведении вероятностей ошибок критериев Неймана-Пирсона, байесовского и минимаксного.

Ключевые слова: теоремы о больших уклонениях, отношение правдоподобия, критерий Неймана-Пирсона, байесовский и минимаксный критерии, бернуллиевские последовательности, процесс Гальтона-Ватсона с иммиграцией.

ABSTRACT

Gladkova L. A. Statistics’ asymptotic problems for discrete distribution. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05.-–Probability Theory and Mathematics Statistics. Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine. Donetsk, 2003.

In thesis the following results are obtained:

Limit theorems about behaviour of Hellinger integrals which describe validity of large deviation theorems conditions are obtained.

Large deviations theorems for logarithm likelihood ratio in testing two simple preliminary propositions distinction for statistical experiments generated by the Bernoulli sequences and Galton-Watson processes with immigration examinations are proved.

The behaviour of error probabilities for Neyman-Pearson tests when the large deviation theorems for logarithm likelihood ratio in testing problems for Bernoulli sequences and Galton-Watson processes with immigration are true is investigated.

The relation between the decrease rate of the 1st and 2nd type errors probabilities and bayes and minimax test risks when the large deviation theorems for logarithm likelihood ratio are applied is proved.

Key words: large deviations theorems, likelihood ratio, Neyman-Pearson tests, bayes and minimax test, Bernoulli sequences, Galton-Watson processes with immigration.

Подписано к печати 02.02.2004. Формат 60х84 1.16.

Усл. печ. л. 1,0. Печать лазерная. Заказ №5028. Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО “Норд Компьютер”
на цифровых лазерных издательских комплексах
Rank Xerox DocuTech 135 и DocuColor 2060.

Адрес: г. Донецк, б. Пушкина, 23. Телефон: (062) 337-43-06.