КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ГОРОДНІЙ Михайло Федорович

УДК 517.98 + 519.21

ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ РІЗНИЦЕВИХ І
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СТОХАСТИЧНИХ АНАЛОГІВ У БАНАХОВОМУ ПРОСТОРІ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Перестюк Микола Олексійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Баскаков Анатолій Григорович,

Воронезький державний університет, завідувач кафедри математичних методів дослідження операцій

доктор фізико-математичних наук, професор

Слюсарчук Василь Юхимович,

Український державний університет водного господарства та природокористування (м. Рівне), професор кафедри вищої математики

доктор фізико-математичних наук, професор

Самойленко Валерій Григорович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри математичної фізики

Провідна установа:

Інститут математики НАН України (м. Київ), відділ диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань

Захист відбудеться “_30__” __серпня__ 2004 року о _14__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 6,
корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “_23__” _червня_ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При дослідженні різницевих або диференціальних рівнянь, які описують еволюцію реальних систем з механіки, радіотехніки, біології, економіки, важливе місце займає питання існування та єдиності обмежених розв’язків цих рівнянь або стаціонарних розв’язків їх стохастичних аналогів. Мабуть, першими відзначили важливість дослідження цього питання А.Пуанкаре, О.Перрон, а також, у зв’язку з проблемою абсолютної експоненціальної стійкості, А.М.Ляпунов.

У 1947 – 1950 роках М.Г.Крейн узагальнив ряд результатів з теорії стійкості за Ляпуновим на випадок диференціальних рівнянь у банахових просторах. Запропонований М.Г.Крейном і розвинутий в роботах Х.Массери (J.Massera), Х.Шеффера (J.Schaffer), В.Коппеля (W.A.Coppel), Ф.Хартмана (Ph.Hartman) та ін. функціонально-аналітичний підхід до диференціальних рівнянь дозволив дослідити питання про існування та єдиність обмежених на всій числовій осі та періодичних розв’язків різних класів диференціальних рівнянь як з обмеженими, так і з необмеженими операторними коефіцієнтами.

Важливі результати у цьому напрямі отримано для диференціальних рівнянь у скінченновимірному просторі Я.Курцвейлем (J.Kurzweil), А.М.Самойленком, В.Л.Куликом, О.А.Бойчуком, Г.П.Пелюхом, В.І.Ткаченком, В.Г.Самойленком, Д.Я.Хусаїновим, а у нескінченновимірному просторі – М.Г.Крейном, С.Г.Крейном, Ю.Л.Далецьким, Ю.М.Березанським, М.Л.Горбачуком, Б.М.Левітаном, В.В.Жиковим, С.Я.Якубовим, Є.М.Мухамадієвим, В.Ю.Слюсарчуком, М.О.Перестюком, А.Г.Баскаковим, С.І.Трофімчуком, В.М.Тюріним, А.Г.Руткасом, Д.Хенрі (D.Henry) та іншими математиками. Деякі з цих результатів були отримані при узагальненні методів нелінійної механіки, розвинутих М.М.Криловим, М.М.Боголюбовим, Ю.О.Митропольським та їх учнями. Апроксимація розв’язків задач Коші для диференціальних рівнянь з операторними коефіцієнтами на скінченному відрізку за допомогою відповідних різницевих схем досліджувалася в роботах П.О.Соболевського, М.І.Хазана, С.І.Піскарьова, Н.Ю.Бакаєва, Ж.Джерома (J.W.Jerome), О.А.Самарського, В.Л.Макарова, І.П.Гаврилюка, А.Аширалиєва та ін. Задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь другого порядку з малим параметром при старшій похідній, зокрема у зв’язку з явищем примежового шару досліджували Б.С.Мітягін, Б.Н.Панайоті, П.О.Соболевський, Х.Фатторіні (H.O.Fattorini), М.Сова (M.Sova).

Незважаючи на велику кількість важливих результатів з цієї тематики, залишалися відкритими актуальні питання про зв’язок обмежених на R розв’язків диференціально-операторних рівнянь та обмежених на Z розв’язків відповідних їм операторно-різницевих рівнянь, а також про поведінку обмежених на R розв’язків диференціально-операторних рівнянь з малим додатним параметром при старшій похідній, коли .

Починаючи з 60-х років 20-го сторіччя у зв’язку з розвитком теорії імпульсних систем та широким застосуванням ЕОМ почався бурхливий розвиток теорії дискретних систем як у скінченновимірних, так і в абстрактних просторах. Питання про існування та єдиність обмежених (на Z) розв’язків різницевих рівнянь у банахових просторах, які природно виникають при дослідженні таких систем, вивчалися В.С.Кімом,
В.Ю.Слюсарчуком, І.І.Мaрмерштейном, П.Преда (P.Preda), М.Меган (M.Megan), Д.Хенрі (D.Henry), І.В.Гайшуном у випадку обмежених операторних коефіцієнтів, а також А.Я.Дороговцевим, А.Г.Баскаковим у випадку необмежених операторних коефіцієнтів. В той же час недостатньо дослідженими залишалися лінійні та нелінійні різницеві рівняння нескінченних порядків з не обов’язково обмеженими операторними коефіцієнтами, а також питання про наближення обмежених розв’язків таких рівнянь розв’язками відповідних крайових різницевих задач.

Періодичні розв’язки різницевих рівнянь у скінченновимірному просторі вивчали А.Халанай (А.Halanay), Ю.О.Митропольський, А.М.Самойленко, О.М.Шарковський, Д.І.Мартинюк, Г.П.Пелюх, В.Б.Колмановський, а в довільному банаховому просторі – А.Я.Дороговцев, В.І.Гуцу. Питання про існування та єдиність lp-розв’язків різницевих рівнянь досліджувалося В.Г.Мазьєю і М.Г.Сулімовим у випадку обмежених та А.Г.Баскаковим і О.І.Пастуховим у випадку необмежених операторних коефіцієнтів. При цьому залишалися мало вивченими питання про існування та єдиність періодичних або lp-розв’язків різницевих рівнянь нескінченних порядків з не обов’язково обмеженими операторними коефіцієнтами.

У зв’язку з дослідженням стохастичних динамічних систем стаціонарні (у вузькому сенсі) розв’язки різницевих та диференціальних рівнянь, збурених випадковими процесами, у скінченновимірному просторі вивчали К.Урбанек (K.Urbanik), У.Верваат (W.Vervaat), Б.Лізек (B.Lizek), І.І.Ворович, Р.З.Хасмінський, А.Я.Дороговцев, Т.Кавата (T.Kawata), Т.Морозан (T.Morozan). Починаючи з 1987 року А.Я.Дороговцев досліджував такі рівняння в довільному банаховому просторі. Виявилося, що умови на операторні коефіцієнти, які забезпечують існування і єдиність стаціонарних розв’язків таких рівнянь, співпадають з умовами існування і єдиності обмежених розв’язків відповідних детермінованих рівнянь. Питання про зв’язок цих результатів залишалося відкритим.

Перерахованим вище актуальним питанням з цієї тематики та деяким їх застосуванням присвячена дана дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Значна частина результатів, викладених в дисертації, отримана в процесі виконання науково-дослідної теми № 97044 “Математичний аналіз еволюційних систем в абстрактних просторах та його застосування”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0197U003014) та держбюджетної теми 01БФ038-03 “Розробка якісних та аналітичних методів дослідження та асимптотичного інтегрування нелінійних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002479).

Напрямок досліджень, обраний у дисертації, передбачено планами наукової роботи кафедри математичного аналізу та кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Мета і задачі дослідження. Об’єктом дослідження є різницево-операторні та диференціально-операторні рівняння, а також їх стохастичні аналоги.

Предмет дослідження – обмежені, періодичні та lp-розв’язки різницево-операторних рівнянь, обмежені розв’язки диференціально-операторних рівнянь, обмежені в середньому порядку p і стаціонарні (у вузькому сенсі) розв’язки різницево-операторних та диференціально-операторних рівнянь, збурених випадковими процесами.

Мета дослідження – отримання критеріїв існування і єдиності обмежених, періодичних, lp-розв’язків різницево-операторних рівнянь, обмежених розв’язків диференціально-операторних рівнянь та обмежених в середньому порядку p і стаціонарних розв’язків їх стохастичних аналогів, а також вивчення питання про апроксимацію цих розв’язків розв’язками відповідних різницевих рівнянь та крайових різницевих задач.

Задачі дослідження:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи функціонального аналізу, методи теорії різницевих та диференціальних рівнянь в абстрактних просторах, методи теорії операторнозначних функцій комплексної змінної, методи теорії ймовірностей та випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано такі нові результати.

1) Доведено критерій існування єдиного обмеженого на Z розв’язку лінійного різницевого рівняння з нескінченним числом операторних коефіцієнтів, один з яких не обов’язково обмежений. Цей результат посилює результати В.Ю.Слюсарчука та А.Я.Дороговцева. При цьому запропоновано новий метод доведення єдиності обмеженого розв’язку для різницевого рівняння, що розглядається.

2) Для лінійного різницевого рівняння з нескінченним числом операторних коефіцієнтів, один з яких не обов’язково обмежений, отримано критерій існування єдиного періодичного розв’язку. Цей результат узагальнює аналогічний результат А.Я.Дороговцева, який розглядав різницеве рівняння з одним обмеженим операторним коефіцієнтом.

3) Доведено теорему, що містить необхідні і достатні умови існування єдиного lp-розв’язку лінійного різницевого рівняння зі скінченним числом операторних коефіцієнтів, один з яких не обов’язково обмежений.

4) Отримано достатні умови існування обмежених або lp-розв’язків деяких класів нелінійних різницевих рівнянь, і, зокрема, різницевих рівнянь з нелінійністю загального вигляду. Аналогічні результати про існування обмежених розв’язків операторних рівнянь Ріккаті встановлено А.Я.Дороговцевим і Т.О.Петровою. У їх доведеннях явно використо-вувався квадратичний вигляд нелінійності рівнянь, що розглядалися.

5) Доведено нові теореми про обмеженість розв’язків нелінійних дискретних систем Вольтерри. Ці результати узагальнюють та доповнюють результати В.Б.Колмановського.

6) Одержано нові твердження про наближення обмежених розв’язків лінійних різницево-операторних рівнянь другого порядку розв’язками відповідних крайових різницевих задач.

7) Доведено теорему про апроксимацію обмеженого на числовій осі розв’язку лінійного диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом обмеженими розв’язками відповідних різницевих рівнянь.

8) Вказано достатні умови існування єдиного обмеженого на R розв’язку диференціального рівняння другого порядку з малим додатним параметром при другій похідній та секторіальним операторним коефіцієнтом, отримано явний вигляд цього розв’язку. Доведено, що при ці розв’язки збігаються рівномірно на R до єдиного обмеженого розв’язку відповідного виродженого диференціального рівняння першого порядку.

9) Для лінійних різницево-операторних або диференціально-операторних рівнянь, збурених обмеженими в середньому порядку p або стаціонарними випадковими процесами, одержано критерії існування єдиного обмеженого в середньому порядку p або стаціонарного розв’язку. Для їх доведення запропоновано новий метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у банахових просторах випадкових елементів. При цьому питання про існування єдиного обмеженого у середньому порядку p розв’язку вказаних рівнянь зводиться до питання про існування єдиного обмеженого розв’язку відповідних детермінованих рівнянь.

10) Отримано достатні умови неперервної диференційовності на R майже всіх траєкторій єдиного обмеженого в середньому порядку p розв’язку диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом, збуреного обмеженим у середньому порядку p випадковим процесом.

11) Доведено, що, як і у випадку обмеженого операторного коефіцієнта, умова Ш ?а спектр секторіального оператора А є необхідною для існування єдиного стаціонарного розв’язку диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом А, збуреного стаціонарним процесом.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації носять теоретичний характер. Вони можуть бути використані в теорії динамічних систем з дискретним та неперервним часом, а також для подальшого дослідження еволюційних диференціальних рівнянь та задач математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, включені в дисертацію, одержані автором самостійно. У спільних з професором А.Я.Дороговцевим статтях [1, 6] внесок співавторів однаковий. У спільній з А.В.Чайковським роботі [13] співавтору належить оцінка для . З спільної з О.А.Лагодою статті [9] здобувачеві належать постановки задач та пропозиція доводити обмеженість спеціально підібраних послідовностей для перевірки збіжності ряду при доведенні теореми 1.

Апробація результатів дисертації. Результати доповідались на VI Радянсько – Японському симпозіумі з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1991), Міжнародній конференції імені І.Г.Петровського (Москва, 1994), Міжнародних наукових конференціях імені академіка Михайла Кравчука (Київ, 1997, 2000), Міжнародній конференції з функціонального аналізу, супутній конференції Українського математичного конгресу (Київ, 2001), міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь. П’яті Боголюбівські читання” (Кам’янець – Подільський, 2002), міжнародній конференції “Функціональний аналіз та його застосування”, прсвяченій 110-й річниці з дня народження Стефана Банаха (Львів, 2002), на Київському міському семінарі з функціонального аналізу (керівники – академік НАН України Ю.М.Березанський, член-кореспондент НАН України М.Л.Горбачук), на семінарі з чисельних методів в Інституті математики НАН України (керівник – член-кореспондент НАН України В.Л.Макаров), на семінарі з диференціальних рівнянь на механіко-математичному факультеті Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники – академік НАН України А.М.Самойленко, член-кореспондент НАН України М.О.Перестюк), на семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії нелінійних коливань Інституту математики НАН України (керівник – академік НАН України А.М.Самойленко), на семінарі “Числення Маллявена” в Інституті математики НАН України (керівник – доктор фіз.-мат. наук А.А.Дороговцев), на семінарі з диференціальних рівнянь в Інституті математики при Воронезькому державному університеті (керівник – професор А.Г.Баскаков) та інших конференціях і семінарах.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 21 статті (17 без співавторів) та тезах доповідей наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 226 найменувань. Повний обсяг роботи складає 304 сторінки, з них список використаних джерел займає 23 сторінки.

Я висловлюю щиру подяку своєму науковому консультанту члену-кореспонденту НАН України професору М.О.Перестюку за постійну увагу і підтримку при проведенні досліджень. Я завжди буду з вдячністю згадувати професора А.Я.Дороговцева, який привернув мою увагу до цієї тематики, і співпраця з яким була великим стимулом для написання дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, висвітлюється питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою дисертаційної роботи з вказанням нерозв’язаних проблем.

У розділі 2 наведено формулювання основних результатів дисерта-ційної роботи, які дають відповідь на питання, поставлені в розділі 1.

Розділ 3 містить результати про існування та єдиність обмежених розв’язків різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами в банаховому просторі.

У підрозділі 3.1 наведено позначення та допоміжні твердження, які використовуються у подальшому. Нехай – комплексний банахів простір; банахів простір усіх лінійних обмежених операторів, що діють з в; одиничний, нульовий оператори в. Через і позначатимемо відповідно спектр і резольвентну множину оператора . Нехай замкнений оператор, що діє в , з областю визначення, фіксована послідовність операторів з , для якої виконується

Припущення 3.2.1. Операторнозначна функція

є аналітичною в кільці, де фіксовані дійсні числа, які задовольняють нерівність.

У підрозділі 3.2 досліджується питання про існування та єдиність обмеженого (за нормою в ) розв’язку різницевого рівняння

(1)
в якому деяка обмежена послідовність елементів з простору .

Позначимо через клас усіх наборів операторів з простору, які задовольняють такі умови:

на множині .

Нехай одиничне коло в з центром у нулі. Справджується

Теорема 3.2.2. Перелічені нижче твердження еквівалентні.

і) Існує такий набір операторів , що рівняння (1) має для довільної обмеженої в послідовності обмежений розв’язок виду

(2)
іі) Для кожного оператор має обернений оператор.

ііі) Для довільної обмеженої в послідовності існує єдиний обмежений розв’язок різницевого рівняння (1).

При виконанні умови іі) та припущення 3.2.1 операторна функція розвивається в ряд Лорана в деякому кільці, що містить одиничне коло:

(3)
Коефіцієнти цього розвинення використовуються в рівностях (2) для побудови відповідного довільній обмеженій в послідовності єдиного обмеженого розв’язку різницевого рівняння (1).

Ідея побудови обмеженого розв’язку виду (2) різницевого рівняння (1) за допомогою операторних коефіцієнтів ряду Лорана (3) належить А.Я.Дороговцеву, який встановив еквівалентність тверджень і) та іі) теореми 3.2.2 для рівняння (1) у випадку, коли додатково послідовність містить скінченне число ненульових скалярних операторів. Єдиність обмеженого розв’язку рівняння (1) перевіряється за допомогою переходу до еквівалентного цьому рівнянню операторного рівняння у банаховому просторі обмежених послідовностей з і побудови обмеженого оберненого оператора до оператора . При цьому знову використовуються оператори з розвинення (3).

Підрозділ 3.3 містить узагальнення теореми 3.2.2 на випадок різницевих рівнянь виду

Тут деякий обмежений набір елементів з простору .

У підрозділі 3.4 одержано критерії існування та єдиності обмежених розв’язків для деяких класів різницевих рівнянь з комутовними самоспряженими операторними коефіцієнтами у випадку, коли додатково – комплексний сепарабельний гільбертів простір. Сформулюємо один з результатів цього підрозділу. Зафіксуємо і позначимо через -алгебру борельових множин простору. Нехай – розклад одиниці на .

Означення 3.4.3. Точка називається сталою точкою розкладу одиниці , якщо знайдеться така множина

що і .

Справджується така теорема.

Теорема 3.4.6. Нехай комутовні самоспряжені оператори . Тоді різницеве рівняння

має для довільної обмеженої в послідовності єдиний обмежений розв'язок у тому і тільки в тому випадку, коли виконуються такі умови:

а) якщо то та сталі точки сумісного розкладу одиниці операторів;

б) якщо, то для кожного точка є сталою точкою для сумісного розкладу одиниці.

У підрозділі 3.5 теореми, отримані в підрозділах 3.2 і 3.3, застосовуються для дослідження питання про існування обмежених розв’язків деяких нелінійних різницевих рівнянь. Спочатку розглядається різницеве рівняння

(4)
в якому – задана обмежена в послідовність, – деяке відображення. Справджується

Теорема 3.5.1. Припустимо, що:

1) оператори задовольняють припущення 3.2.1 та твердження теореми 3.2.2;

2) відображення задовольняє з деяким числом умову Ліпшиця:

причому

де оператори визначаються з рівності (3).

Тоді для кожної обмеженої в послідовності рівняння (4) має єдиний обмежений розв'язок.

Далі розглядається нелінійне операторне різницеве рівняння

(5)
відносно послідовності операторів. Тут – фіксовані набори операторів з .

Означення 3.5.2. Послідовність називається відповідним послідовності обмеженим розв'язком різницевого рівняння (5), якщо, для кожного, і виконуються операторні рівності (5).

Справджується

Теорема 3.5.5. Припустимо, що:

1) оператори задовольняють припущення 3.2.1 та твердження теореми 3.2.2;

2)

3) обмежена послідовність задовольняє нерівність

в якій , де – оператори з рівності (3).

Тоді рівняння (5) має відповідний послідовності обмежений розв'язок .

Відзначимо, що рівняння (5) є різницевим аналогом операторного рівняння Ріккаті, обмежені розв’язки якого вивчалися в роботі А.Я.Дороговцева
(Дороговцев А.Я. О периодических решениях операторного уравнения Риккати // Укр. мат. журн. – 1993. – 45, № 2. – С. 239 – 242). Метод доведення теореми 3.5.5 аналогічний методу, запропонованому в цій роботі, і суттєво використовує квадратичний вигляд нелінійності рівняння (5).

У наступній теоремі цей метод узагальнюється на випадок рівнянь з загальним виглядом нелінійності і застосовується для дослідження питання про існування обмеженого розв’язку двопараметричного різницевого рівняння

(6)
в якому для кожного -лінійна обмежена форма, – заданий обмежений набір елементів.

З аналога теореми 3.2.2 для двопараметричного різницевого рівняння випливає, що у випадку, коли відрізок міститься у резольвентній множині оператора, операторнозначна функція

є аналітичною в деякій області з, яка містить множину. Тому знайдеться таке кільце, що і функція розвивається в ряд Лорана в :

.
Покладемо і позначимо через норму . Справджується

Теорема 3.5.11. Припустимо, що і існують такі дійсні числа , що ,

а також виконується нерівність .

Тоді рівняння (6) має обмежений розв'язок, відповідний обмеженому набору.

У підрозділі 3.6 теореми, отримані в підрозділі 3.2, застосовуються для дослідження питання про обмеженість розв’язку нелінійної дискретної системи Вольтерри

(7)
в якій фіксована послідовність дійсних чисел, деяка функція, задана обмежена послідовність дійсних чисел. Доведено наступну теорему.

Теорема 3.6.1. Припустимо, що виконуються такі умови:

монотонно неспадна на функція;

Тоді для довільної обмеженої послідовності дійсних чисел система Вольтерри (7) має єдиний обмежений розв'язок. Цей розв'язок задовольняє нерівність.

Відзначимо, що аналогічний результат отримано В.Б.Колмановським (Колмановский В.Б. Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных систем Вольтерра //Автом. и телемех.– 2000.– № 4.– С. 42–50) у випадку, коли додатково послідовність періодична, а .

У підрозділі 3.7 встановлено обмеженість розв’язків деяких лінійних та нелінійних систем Вольтерри, аналогічних (7), у просторі .

У розділі 4 вивчається питання про наближення обмежених розв’язків деяких лінійних різницевих рівнянь розв’язками відповідних крайових різницевих задач. Спочатку розглядається різницеве рівняння

(8)

де – задана обмежена послідовність елементів з простору. Рівнянню (8) відповідає набір крайових різницевих задач виду

(9)
Тут – фіксовані елементи простору, – натуральні числа. Справджується

Теорема 4.1.1. Для того щоб для довільних, крайова різницева задача (9) мала єдиний розв’язок, необхідно і достатньо, щоб множина

містилася в .

Зауважимо, що , а також внаслідок теореми 3.2.2 при виконанні включення різницеве рівняння (8) має для довільної обмеженої послідовності єдиний обмежений розв’язок , причому

,
де , – оператори з рівності (3) для функції , а отже, стала залежить тільки від оператора

Збіжність розв’язків різницевих задач (9) до обмеженого розв’язку рівняння (8) при , а також оцінку швидкості цієї збіжності характеризує наступна теорема.

Теорема 4.1.2. Якщо , то знайдуться такі залежні тільки від оператора сталі, що для довільної обмеженої в послідовності, відповідного їй єдиного обмеженого розв’язку рівняння (8), довільних та відповідного єдиного розв’язку крайової задачі (9), довільного , справджується нерівність

У підрозділі 4.2 отримано аналоги теорем 4.1.1, 4.1.2 для різницевого рівняння

в якому – попарно комутовні оператори з .

У підрозділі 4.3 розглядається двопараметричне різницеве рівняння

(10)

та відповідний йому набір крайових різницевих задач виду

(11)
Справджується

Теорема 4.3.1. Крайова задача (11) має для довільних , єдиний обмежений розв’язок у тому і тільки у тому випадку, коли множина

міститься в .

Також доведено аналог теореми 4.1.2 про наближення обмежених розв’язків рівняння (10) розв’язками крайових задач (11) при .

Розділ 5 присвячений дослідженню питання про існування періодичних та -розв’язків різницевих рівнянь з операторними коефіцієнтами.

У підрозділі 5.1 вивчається питання про існування і єдиність періодичних розв’язків різницевого рівняння (1). Нехай – фіксоване натуральне число. Послідовність називається -періодичною, якщо для кожного . Замість припущення 3.2.1 у цьому підрозділі використовується

Припущення 5.1.1. Для послідовності операторів виконується умова .

Справджується

Теорема 5.1.3. Якщо виконується припущення 5.1.1, то різницеве рівняння (1) має для довільної -періодичної послідовності єдиний -періодичний розв’язок тоді і тільки тоді, коли для кожного, такого, що, оператор має обернений оператор.

Відзначимо, що для різницевого рівняння, у випадку, коли додатково оператор обмежений, теорему 5.1.3 доведено А.Я.Дороговцевим.

У підрозділі 5.2 встановлено граничну періодичність розв’язку лінійної системи Вольтерри для випадку періодичної “вхідної” послідовності.

Підрозділи 5.3, 5.4 присвячені вивченню -розв’язків різницевих рівнянь. Зафіксуємо і покладемо

Нехай фіксовані оператори з замкнений оператор, що діє в, з областю визначення . Покладемо

Справджується

Теорема 5.4.1. Наведені нижче твердження еквівалентні.

Існує такий набір операторів, що різницеве рівняння

(12)

має для довільного розв'язок вигляду

Для кожного оператор

має обернений оператор.

Для довільного рівняння (12) має у просторі єдиний розв'язок .

-розв’язки лінійних різницевих рівнянь зі зліченним числом обмежених операторних коефіцієнтів у гільбертовому просторі досліджувалися В.Г.Мазьєю і М.Г.Сулімовим. Твердження теореми 5.4.1 у випадку, коли додатково , співпадає з твердженням теореми 7 статті А.Г.Баскакова і О.І.Пастухова (Баскаков А.Г., Пастухов А.И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. – 2001. – т. 42, № 6. – С. 1231 – 1243).

Відзначимо, що при виконанні припущення 3.2.1 і умови ii) теореми 3.2.2 відповідний послідовності єдиний обмежений розв’язок рівняння (1) додатково належить . Це дозволило довести аналог теореми 3.5.11 про існування -розв’язку нелінійного різницевого рівняння

у випадку, коли .

У розділі 6 досліджується питання про наближення обмеженого на розв’язку лінійного диференціального рівняння з секторіальним операторним коефіцієнтом розв’язками відповідних різницевих рівнянь.

У підрозділі 6.1 наведено потрібні у подальшому відомості про секторіальний оператор, який визначається наступним чином.

Означення 6.1.1. Лінійній оператор з областю визначення , що діє в комплексному банаховому просторі , називається секторіальним, якщо:

1) множина скрізь щільна в ;

2) знайдуться такі сталі, що спектр оператора міститься в множині

3) резольвента оператора задовольняє умову:

Позначимо через клас всіх таких функцій, що для кожної функції, а також знайдуться такі залежні від сталі що

(13)

Розглянемо диференціальне рівняння

(14)

в якому – секторіальний оператор, .

Означення 6.2.1. Функція називається відповідним обмеженим розв’язком диференціального рівняння (14), якщо для довільного та виконується рівність (14).

У підрозділі 6.2 доведено, як допоміжний результат, що для секторіального оператора справджується наступний аналог відомої теореми М.Г.Крейна.

Теорема 6.2.2. Рівняння (14) має для довільної єдиний обмежений розв’язок тоді і тільки тоді, коли спектр оператора не перетинається з уявною віссю

Зафіксуємо. Диференціальному рівнянню (14) відповідає залежний від параметра набір різницевих рівнянь вигляду

(15)

Зауважимо, що внаслідок теореми 3.2.2 з умови випливає, що для кожного різницеве рівняння (15) має єдиний обмежений розв`язок. У підрозділі 6.3 отримано явне зображення обмеженого розв’язку різницевого рівняння виду (15).

Наступна теорема з підрозділу 6.4, яка стверджує, що обмежені розв’язки різницевих рівнянь (15) наближують при обмежений розв’язок диференціального рівняння (14), є основним результатом розділу 6.

Теорема 6.4.1. Припустимо, що . Якщо і при кожному – єдині обмежені розв’язки відповідно диференціального рівняння (14) та різницевого рівняння (15), то для кожного справджується оцінка

Тут - стала із нерівності Гельдера (13) для функції .

У розділі 7 вивчається питання про існування та єдиність обмежених на розв’язків диференціального рівняння

(16)

в якому – секторіальний оператор, , – додатне число, та досліджується поведінка цих розв’язків при . Означення обмеженого розв’язку диференціального рівняння (16) аналогічне означенню 6.2.1.

Основні результати цього розділу містяться в двох наступних теоремах.

Теорема 7.2.1. Якщо , то знайдеться таке , що для довільних рівняння (16) має єдиний обмежений розв’язок , відповідний функції .

Теорема 7.3.1. Припустимо, що . Якщо – відповідний єдиний обмежений розв’язок рівняння (14), – відповідний єдиний обмежений розв’язок рівняння (16) при , то

Зауважимо, що теорема 7.3.1 доповнює детермінований варіант аналогічної теореми А.Я.Дороговцева (Дороговцев А.Я. Устойчивость стационарных решений // Доклады РАН. – 1999. – т. 369, № 3. – С. 309 – 310), яка доведена у випадку, коли додатково – лінійний обмежений оператор,. Це дозволяє шукати обмежений розв’язок рівняння (16) у вигляді ряду. У дисертаційній роботі використовується інший підхід, а саме, знайдено явне інтегральне зображення єдиних обмежених розв’язків диференціальних рівнянь (14), (16), та отримано оцінку для за допомогою операторного числення Данфорда-Коші для секторіального оператора.

У розділі 8 досліджуються обмежені в середньому та стаціонарні розв’язки різницевих і диференціальних рівнянь, збурених випадковими процесами. Запропоновано метод переходу до еквівалентних детермінованих рівнянь у спеціально підібраних банахових просторах випадкових елементів, що дозволило використати для цього дослідження теореми, отримані раніше для детермінованих різницевих та диференціальних рівнянь.

У подальшому додатково вважається, що – комплексний сепарабельний банахів простір, –-алгебра борельових множин простору, – повний імовірнісний простір. Як звичайно, при фіксованому через позначено банахів простір, елементами якого є всі класи еквівалентних випадкових елементів , таких що

Нехай – замкнений оператор, що діє в, зі скрізь щільною в областю визначення та непорожньою резольвентною множиною . Відзначимо, що у випадку, коли -значний випадковий елемент діє з в, також є випадковим елементом. Покладемо

і визначимо лінійний оператор співвідношенням

Нехай – одиничний оператор в . Центральну роль при переході до еквівалентних детермінованих рівнянь відіграє

Теорема 8.1.3. Справджуються такі твердження.

Множина скрізь щільна в .

Оператор з областю визначення є замкненим оператором.

а також при .

Якщо оператор секторіальний, то оператор теж секторіальний і задовольняє умови з означення секторіального оператора з тими ж сталими, що й оператор .

Якщо, то, а також .

Далі використовуються поняття обмеженості в середньому і стаціонарності для послідовності -значних випадкових елементів.

Означення 8.2.1. Послідовність -значних випадкових елементів називається

–

– обмеженою в середньому, якщо для кожного , а також .

У підрозділі 8.2 вивчаються обмежені в середньому або стаціонарні розв’язки стохастичного різницевого рівняння

(17)
в якому – замкнений оператор, – задана обмежена в середньому або стаціонарна послідовність -значних випадкових елементів.

Означення 8.2.2. Послідовність -значних випадкових елементів називається обмеженим у середньому (стаціонарним) розв’язком рівняння (17), відповідним обмеженій у середньому (стаціонарній) послідовності, якщо – обмежена в середньому (стаціонарна) послідовність і для кожного з імовірністю 1 і виконується рівність (17).

Єдиність розв’язку рівняння (17) розуміється в сенсі єдиності з точністю до стохастичної еквівалентності.

Скористаємося введеними раніше позначеннями з підрозділу 3.1. Справджуються наступні теореми.

Теорема 8.2.3. Нехай виконується припущення 3.2.1. Тоді перелічені нижче твердження еквівалентні.

Існує такий набір операторів , що стохастичне різницеве рівняння (17) має для довільної обмеженої в середньому послідовності обмежений у середньому розв’язок вигляду

(18)

Для кожного оператор має обернений оператор .

Рівняння (17) має для довільної обмеженої в середньому послідовності єдиний обмежений у середньому розв’язок .

Теорема 8.2.4. Нехай виконується припущення 3.2.1. Розглянемо такі твердження.

Існує такий набір операторів , що стохастичне різницеве рівняння (17) має для довільної стаціонарної послідовності з стаціонарний розв’язок вигляду (18).

Рівняння (17) має для довільної стаціонарної послідовності з єдиний стаціонарний розв’язок з .

Тоді твердження еквівалентні, а також твердження еквівалентне твердженню теореми 8.2.3.

Тут через позначено математичне сподівання випадкової величини .

Зауважимо, що у випадку, коли рівняння (17) містить скінченне число відмінних від нульового обмежених операторних коефіцієнтів, твердження теореми 8.2.4 доведено А.Я.Дороговцевим (Дороговцев А.Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохастических динамических систем. – К.: Вища школа, 1992. – 319 с.) (див. с.187).

Також у підрозділі 8.2 доведено аналог теореми 8.2.3 для стохастичного різницевого рівняння, що залежить від кількох індексів, та аналогічне теоремі 4.1.2 твердження про наближення єдиного обмеженого в середньому розв’язку стохастичного аналога різницевого рівняння (8) розв’язками відповідних стохастичних крайових різницевих задач.

Підрозділ 8.3 містить теореми, які узагальнюють відомі твердження з теорії дискретних динамічних систем. Зафіксуємо послідовність операторів , для якої виконується

Припущення 3.8.1. Існує таке, що ряд збігається.

Тоді справджуються такі теореми.

Теорема 8.3.1. Для того щоб для довільних обмежених у середньому послідовностей випадкових елементів , визначена рівностями

послідовність випадкових елементів була обмеженою в середньому, необхідно і достатньо, щоб для кожного існував та належав обернений оператор до оператора .

Теорема 8.3.4. Стохастичне різницеве рівняння

має для довільної стаціонарної послідовності з єдиний стаціонарний розв’язок з у тому і тільки у тому випадку, коли для кожного існує та належить обернений оператор до оператора .

У підрозділі 8.4 досліджуються неперервні в середньому порядку розв’язки диференціальних рівнянь, збурених випадковими процесами. Наведемо означення.

Означення 8.4.1. -значний випадковий процес заданий на ймовірнісному просторі називається–

обмеженим у середньому порядку на , якщо для довільного і ;–

неперервним у середньому порядку на , якщо для кожного і .

Означення 8.4.2. Будемо говорити, що -значний випадковий процес , для якого має похідну в середньому порядку в точці , якщо існує такий -значний випадковий процес, що

Нехай – секторіальний оператор, що діє в з областю визначення – обмежений і неперервний у середньому порядку на -значний випадковий процес.

Означення 8.4.3. -значний випадковий процес називається відповідним процесу обмеженим в середньому порядку розв’язком диференціального рівняння

(19)

якщо – обмежений у середньому порядку на, має обмежену і неперервну в середньому порядку на похідну, а також для кожного з імовірністю 1 і справджується рівність (19).

Єдиність розв’язку рівняння (19) ) розуміється в сенсі єдиності з точністю до стохастичної еквівалентності.

Позначимо через клас усіх обмежених в середньому порядку на -значних випадкових процесів, таких, що для кожного знайдуться залежні від сталі , з якими

(20)

Справджуються такі теореми.

Теорема 8.4.4. Наступні твердження еквівалентні.

) Для довільного рівняння (19) має єдиний обмежений у середньому порядку розв’язок.

) =Ш.

Теорема 8.4.5. Припустимо, що і задовольняє нерівності (20) з такою сталою , що . Тоді майже всі траєкторії відповідного єдиного обмеженого у середньому порядку розв’язку рівняння (19) неперервно диференційовні на.

Відзначимо, що з умов теореми 8.4.5 не випливає обмеженість майже всіх траєкторій процесу . Тому для доведення цієї теореми не можна потраєкторно застосувати теорему 6.2.2.

У підрозділі 8.5 розглядаються періодичні та стаціонарні (у вузькому сенсі) розв’язки диференціального рівняння (19), збуреного періодичним або стаціонарним процесом .

Означення 8.5.1. -значний випадковий процес заданий на ймовірнісному просторі , називається періодичним з періодом , якщо

Процес називається стаціонарним, якщо він є періодичним з будь-яким періодом

Нехай – клас усіх таких -значних випадкових процесів, що для довільного виконуються умови:–

періодичний процес з деяким періодом ;

існує така множина , що для кожного для траєкторії процесу знайдуться залежні від цієї траєкторії сталі , з якими

Означення 8.5.3. Процес називається відповідним розв’язком диференціального рівняння (19), якщо знайдеться така множина , що для кожного , а також

Виконується таке твердження.

Теорема 8.5.4. Якщо , то для довільного , періодичного з періодом , рівняння (19) має єдиний періодичний з періодом розв’язок , який задовольняє нерівність .

Позначимо через клас усіх стаціонарних процесів , для яких умова ) виконується з та деякими сталими одночасно для всіх траєкторій . Тоді справджується

Лема 8.5.6. Нехай . Якщо , – відповідний єдиний стаціонарний розв’язок рівняння (19), то додатково .

Основний результат підрозділу 8.5 містить

Теорема 8.5.8. Припустимо, що для кожного рівняння (19) має єдиний стаціонарний розв’язок з . Тоді .

Теорема 8.5.5 дає ствердну відповідь на питання про необхідність умови для виконання твердження теореми 8.5.4. Ця проблема була поставлена А.Я.Дороговцевим (Дороговцев А.Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и стохастических динамических систем. – К.: Вища школа, 1992. – 319 с.) в бібліографічних зауваженнях до розділу 7 (див. с. 305).

ВИСНОВКИ

У дисертації дано вирішення низки актуальних проблем з теорії різницево-операторних і диференціально-операторних рівнянь та їх стохастичних аналогів щодо критеріїв існування і єдиності обмежених, періодичних, lp-розв’язків різницево-операторних рівнянь, обмежених розв’язків диференціально-операторних рівнянь та обмежених в середньому порядку p і стаціонарних розв’язків їх стохастичних аналогів, а також апроксимації цих розв’язків розв’язками відповідних різницевих рівнянь та крайових різницевих задач. Зокрема, вперше отримано такі результати.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.