МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ГУМЕН Олена Миколаївна

УДК 515.2

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНИХ ЗАДАЧ ТЕХНІКИ

Спеціальність 05.01.01 — Прикладна геометрія,

інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут”

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор

ВАНІН Володимир Володимирович,

завідувач кафедри нарисної геометрії, інженерної

та комп’ютерної графіки Національного технічного

університету України “Київський політехнічний

інститут”

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, професор Корчинський Володимир Михайлович, завідувач кафедри електронних засобів телекомунікацій Дніпропетровського національного університету;

- кандидат технічних наук, доцент Несвідомін Віктор Миколайович, доцент кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки Національного аграрного університету України (м.Київ).

Провідна установа: Таврійська державна агротехнічна академія Міністерства аграрної політики України, кафедра нарисної геометрії та інженерної графіки, м. Мелітополь.

Захист відбудеться “ 2 “ липня 2004 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої Ради Д 26.056.06 Київського Національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 466

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського Національного університету будівництва і архітектури за адресою: 03037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий “ 28 “ травня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Д 26.056.06

кандидат технічних наук,

доцент Плоский В.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дослідження складних залежностей між багатьма змінними різної фізичної природи є предметом багатовимірної прикладної геометрії. Геометричне моделювання таких залежностей наочне і зручне у використанні як у теоретичних дослідженнях, так і при розв’язанні практичних задач виробництва. У самому загальному випадку геометричною моделлю складної залежності між n змінними являється певний k-багатовид (1Ј k Ј n–1) евклідового простору цих n змінних. При цьому неперервна сукупність точок k-багатовиду ставиться у взаємну однозначну відповідність з неперервною сукупністю всіх можливих станів змодельованої багатопараметричної залежності між всіма n змінними. Таким чином, взаємозалежність технічних параметрів моделюється взаємозалежністю параметрів геометричної моделі, а алгоритми розв’язання геометричних задач на моделі відповідають певним технічним, результат розв’язку яких трансформується на технічні параметри вихідного процесу.

Актуальність теми. З найбільш досліджених у літературі подібних задач є моделювання залежностей між багатьма змінними, з яких одна розглядається як функція решти аргументів. Це найпростіші залежності,, геометричними моделями яких є гіперповерхні. Залежність між змінними для них описується математично одним рівнянням.

Зустрічаються також роботи, у яких досліджуються залежності декількох функій одних і тих же аргументів. Такі залежності дослідники розглядають, переважно, розділеними на окремі частини, кожна з яких розглядається як одна функція решти аргументів. Тільки поодинокі дослідники розглядають одночасне моделювання залежностей всіх функцій з усіма аргументами, так що такі дослідження є актуальними.

Та поряд з описаними існує така група складних залежностей між n змінними, з яких m функцій і k аргументів (n = m + k) зв’язані так, що на функції впливають аргументи у різних комбінаціях. Тобто, залежність така, що на одні функції впливає одна група аргументів, а на інші — інша група, куди можуть частково входити і аргументи з першої групи. Оскільки такі системи зустрічаються в техніці, то вивчення їхньої геометричної природи та розробка апарата їх геометричного моделювання і дослідження вважаються актуальними.

Особливо важливою і актуальною для даного випадку складних залежностей між багатьма змінними є проблема знаходження оптимальних розв’язків багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно. Ця проблема в роботі ставиться і розв’язується як ключова.

Оскільки математичні рівняння багатовидів як геометричних моделей складних залежностей досить часто подаються в параметричній формі, то в роботі розглядається також геометричне трактування систем таких рівнянь.

Як наслідок, з розгляду систем рівнянь багатовидів витікає можливість геометричного трактування взагалі систем нелінійних рівнянь. Іншими словами, пропонується можливість побудови графіків найзагальніших систем нелінійних рівнянь у вигляді відповідних багатовидів.

Як окремий випадок багатовидів у роботі досліджено дві поверхні 4-го порядку та плоскі алгебраїчні криві 4-го порядку, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема лемніскати Бернуллі.

На захист виносяться основні положення, що складають наукову новизну та практичну цінність роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами Теоретичні дослідження дисертації віповідають науковій направленості і тематиці кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ “КПІ” “Геометричне моделювання багатопараметричних залежностей між багатьма змінними стосовно розв’язку інженерних задач” в рамках держбюджетної теми “Узагальнення синтезу моделей конструкторсько-технологічних поверхонь методами аналізу їх інваріантних складових”, державний реєстраційний номер 0102 U 002464.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є розкриття геометричної суті складних залежностей між багатьма змінними, що взаємно впливають одні на інші у різних комбінаціях та розробка методів формалізованого геометричного розв’язування технічних задач різної фізичної природи.

Об’єкт дослідження: Геометричне моделювання складних залежностей між багатьма змінними, що одночасно впливають одні на інші у різних комбінаціях, у вигляді відповідних багатовидів обхоплюючого простору всіх змінних.

Предмет дослідження: Багатовиди як геометричні моделі багатопараметричних складних залежностей багатьох змінних та їх використання для формалізованого розв’язування технічних задач різної фізичної природи, зокрема, багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно.

Для реалізації поставленої цілі були сформульовані та розв’язані конкретні теоретичні і практичні задачі:

1. Досліджено геометричну суть залежностей між багатьма змінними багатопараметричних систем при впливі всіх аргументів на всі функції одночасно.

2. Досліджено геометричну суть залежностей між багатьма змінними багатопараметричних систем при одночасному впливі аргументів на функції у різних комбінаціях.

3. Узагальнено методику розв’язування багатокритеріальних задач на складні залежності між багатьма змінними при одночасному впливі аргументів на всі функції у різних комбінаціях.

4. Розроблено геометричне представлення (моделювання) параметричних рівнянь кривих ліній, гіперповерхонь і багатовидів, взагалі, як геометричних моделей складних залежностей багатьох змінних.

5. Запропоновано геометричне представлення (модель) системи нелінійних рівнянь у обхоплюючому просторі всіх змінних у вигляді відповідного багатовиду цього простору та використання його як інструмента дослідження систем нелінійних рівнянь.

6. Одержано рівняння алгебраїчних поверхонь 4-го порядку: двопорожнинного параболічного параболоїда та двопорожнинного гіперболічного параболоїда з дослідженням їх властивостей і форми.

7. Одержано метод конструювання алгебраїчних кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, лемніскати Бернуллі.

8. Впроваджено теоретичні результати у практику розрахунків оптимальних умов технологічного виробництва друкарських форм та ін.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених у роботі задач використовуються положення і методи нарисної, аналітичної, диференціальної та прикладної багатовимірної геометрій, методи математичного аналізу, теорія кривих ліній і поверхонь та ін.

Теоретичною базою для проведення досліджень послужили праці провідних вчених:

- у галузі прикладної геометрії кривих ліній і поверхонь: Ваніна В.В., Іванова Г.С., Ковальова С.М., Котова І.І., Куценка Л.М., Михайленка В.Є., Найдиша В.М., Скидана І.А., Надолинного В.О., Обухової В.С., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Пилипаки С.Ф., Підкоритова А.М., Плоского В.О., Рижова М.М. та ін.

- у галузі геометричного моделювання об’єктів, процесів і явищ: Ваніна В.В., Верещаги В.М., Борисенка В.Д., Гумена М.С., Івахненка Л.Г., Дворецького О.Т., Ковальова Ю.М., Корчинського В.М., Михайленка В.Є., Несвідоміна В.М., Павлова А.В., Підгорного О.Л., Юрчука В.П. та ін.

- у галузі автоматизації проектування і комп’ютерної графіки: Власюк Г.Г., Грибова С.М., Ковальова Ю.М., Михайленка В.Є., Найдиша А.В., Надолинного В.О., Сазонова К.О., Скидана І.А., Стояна Ю.Г. та ін.

- у галузі прикладної багатовимірної геометрії: Буке Х., Валькова К.І., Волкова В.Я., Гумена М.С., Джапарідзе І.С., Ейтеля В., Екхарта В., Корчинського В.М., Котова І.І., Мартина Є.В., Первікової В.М., Рашевського П.К., Розенфельда Б.А., Соммервіля Д., Схоуте П., Федорова Є.С., Філіпова П.В., Четверухіна М.Ф., Юркова В.Ю. та ін.

- у галузі поліграфічної промисловості: Полянського Н.Н., Трейваса М.Г., Лазаренка Є.Т., Ємельянова С.В., Ларичева О.І., Васильєва В.Б., Малової Т.Н., Романової В.І. та ін.

- у галузі оптимізації та розв’язування багатокритеріальних задач: Брахмана Т.Р., Гафта М.Г., Гумена М.С., Іванілова Ю.П., Ларичева О.І., Медведєва Г.А., Моісеєва Н.Н., Сеа А., Соболя І.М., Статникова Р.Б., Столярова Є.М., Тарасенка В.П., Озерного В.М., Філіпова П.В. та ін.

Наукова новизна одержаних результатів. полягає у створенні та дослідженні універсального формалізованого методу геометричного моделювання багатопараметричних складних залежностей, коли на всі функції впливають всі аргументи одночасно, але в різних комбінаціях.

У роботі вперше:

1. Розширено клас геометричних моделей у вигляді багатовидів для складних багатопараметричних залежностей багатьох змінних, коли на всі функції впливають всі аргументи одночасно, але в різних комбінаціях з алгоритмами їх конструювання і дослідження.

2. Розроблено узагальнену методику та алгоритм пошуку точок компромісного екстремуму на багатовидах n-вимірного евклідового простору як моделях тих же складних залежностей стосовно розв’язування багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно.

3. Встановлено і досліджено геометричне трактування параметричних рівнянь кривих ліній, гіперповерхонь та багатовидів, взагалі, як геометричних моделей складних залежностей багатьох змінних.

4. Запропоновано геометричне представлення (моделі) систем нелінійних рівнянь у вигляді певних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних, включаючи параметри, та їх можливе використання як інструмента дослідження відповідних систем нелінійних рівнянь.

5. Одержано рівняння алгебраїчних поверхонь 4-го порядку: двопорожнинного параболічного параболоїда та двопорожнинного гіперболічного параболоїда, як окремих випадків багатовидів. Досліджені форма поверхонь і характерні їх перерізи.

6. Виведено рівняння алгебраїчних плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, лемніскати Бернуллі.

Практичне значення отриманих результатів. Застосування одержаних результатів роботи грунтується на широких можливостях пропонованого методу, а саме на використанні математичного виразу у вигляді рівнянь одержаної геометричної моделі з наступним програмуванням та виконанням необхіних розрахунків на комп’ютері, а також у можливості графічного зображення моделі досліджуваної залежності на кресленні чи моніторі комп’ютера.

Практичне значення має також можливість формалізованого розв’язування багатокритеріальних задач техніки на геометричній моделі досліджуваної залежності виключно геометричними діями.

Пропоновані методи геометричного моделювання і дослідження багатопараметричних задач відкривають широкі можливості управління технологічними процесами при одержанні різних промислових виробів, зокрема, у поліграфічній промисловості.

Впровадження одержаних результатів. Практичне значення і достовірність одержаних теоретичних положень підтверджується впровадженням їх у розрахунках оптимальних технологічних параметрів при підготовці виробництва для виготовлення фотополімерних друкарських форм у поліграфічній промисловості на ЗАТ “Артсервіс” у м. Львові.

Другим реальним впровадженням є застосування узагальнених лемніскат (стиснутої та витягнутої) у проектуванні та експлуатації трубопроводів, що підвищує стійкість руху частинок матеріалу та дозволяє при цьому зменшити додаткові енерговитрати на перекачування за рахунок зменшення відцентрової сили, і тим самим підвищити довговічність труб у місцях їх кутового спряження.

Особистий внесок здобувача у статтях, що опубліковані у співавторстві, полягає в доведенні рівнянь узагальнених кривих 4-го порядку, проведенні дослідження геометричної природи складних залежностей між багатьма змінними, що пов’язані між собою у різних комбінаціях, виведенні рівняння поверхні двопорожнинного гіперболічного параболоїда 4-го порядку та його дослідження, в розробці класифікації та виконанні табличного представлення еліптичних та гіперболічних параболоїдів 4-го порядку.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи доповідались та обговорювались на:

- Міжнародній науково-практичній конференції “Современные проблемы геометрического моделирования”, Мелітополь, 1996.

- Міжнародному науковому симпозиумі “Нарисна геометрія та комп’ютерна графіка” до 250-річчя з дня народження Гаспара Монжа, Львів, 1996.

- Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Мелітополь, 1997.

- Міжнародній науково-технічній студентській конференції, Львів, 1998.

- Кафедрі прикладної геометрії та комп’ютерної графіки Національного авіаційного університету, 2003.

- Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Мелітополь, 2003.

- Міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Львів, 2003.

- Кафедрі нарисної геометрії інженерної та комп’ютерної графіки НТУУ “КПІ”, 2002, 2003, 2004.

Публікації. За результатами, одержаними у дисертації, опубліковано 11 друкованих праць, з них без співавторства 5 праць. У міжвідомчих та міжвузівських тематичних науково-технічних збірниках, що затверджені ВАК України як фахові —8 публікацій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота викладена на 241 сторінці друкованого тексту, з них основна частина складає 175 сторінок. Структурно робота складається із вступу, 5 розділів з висновками до них, ілюстрованих 87 рисунками, загальних висновків, списку використаних літературних джерел у кількості 142 найменувань та 5 додатків.

Основний зміст роботи

У вступі подано загальну характеристику роботи, обгрунтовано актуальність теми досліджень, названо наукову новизну та практичне значення результатів дисертації.

У першому розділі висвітлено сучасний стан проблеми з геометричного моделювання багатопараметричних залежностей, зроблено стислий огляд та критичний аналіз відповідних літературних джерел.

На підставі зробленого аналізу літератури виявлено невирішені на даний період задачі, зокрема, дослідження геометричної суті складних залежностей між багатьма змінними, що впливають одні на інші у різних комбінаціях, а також розв’язання багатокритеріальних задач для таких залежностей та задача геометричного представлення параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь та багатовидів, взагалі, тощо.

У другому розділі розглядаються багатовиди як геометричні моделі складних залежностей. Приводиться класифікація таких залежностей на три групи:

I група — Одна функція багатьох змінних. Геометричною моделлю залежності є гіперповерхня, що описується одним рівнянням.

II група — На кожну із m функцій одночасно впливають всі k аргументів. Геометричною моделлю є k-багатовид, що описується системою із n-k рівнянь, кожне з яких включає k аргументів.

III група — На m функцій впливають k аргументів у різних комбінаціях. Геометричною моделлю є k-багатовид, що описується системою із n-k рівнянь, кожне з яких, взагалі, вклюває різне число аргументів і в інших комбінаціях.

У прикладній геометрії найбільше досліджена I група залежностей, як найпростіша. Групі II присвячені окремі наукові праці, але найчастіше їх розбивають на m частин, у кожній з яких одна функція моделюється гіперповерхнею у своєму підпросторі змінних. Такий підхід не дозволяє строгого, з точки зору геометрії, розв’язання багатокритеріальних задач з багатьма функціями оптимізації одночасно. Для цього необхідно мати одну спільну модель загальної залежності між всіма змінними.

Що ж стосується III групи залежностей, то в літературі вони не зустрічаються. Умовимося називати їх складними залежностями багатьох функцій багатьох змінних, що впливають на функції у різних комбінаціях.

У роботі досліджуються переважно залежності III групи, їх геометричне моделювання та алгоритми розв’язування технічних задач, включаючи багатокритеріальні задачі оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно.

Взагалі, k - багатовид виражається системою n - k рівнянь:

Зокрема, коли на кожну з функцій оптимізації впливають одночасно всі k аргументів (II група залежностей), система рівнянь k - багатовиду набуває вигляду:

Кожне з рівнянь системи в геометричному розумінні розглядається в обхоплюючому n - просторі як рівняння проекціюючого гіперциліндра. На взаємному перетині всіх n - k гіперциліндрів виділяється k - багатовид як геометрична модель (графік) залежності між всіма змінними.

З точки зору нарисної геометрії кожне з рівнянь системи розглядається як проекція k - багатовиду на відповідні n - k координатні підпростори декартової системи координат.

На рис. 1. приведена загальна схема побудови проекцій багатовиду на прикладі 4 змінних, з яких дві фунції, наприклад, х3 і х4, та два аргументи: х1 і х2 (k = 2; n = 4) для II групи залежностей. Геометричною моделлю залежності є 2-багатовид Б2, який задається системою двох рівнянь, що відповідають двом проекціям Б12 і Б22 багатовиду Б2 на координатних підпросторах Ox1x2x3 та Ox1x2x4, відповідно.

У обхоплюючому просторі всіх змінних проекціям Б12 і Б22 відповідають гіперциліндри Ц13 та Ц23, твірні яких паралельні координатним підпросторам, доповняльним до відповідних координатних підпросторів проекцій. У даному випадку твірними є прямі, паралельні координатним осям Ox4, і Ox3 відповідно. На взаємному перетині Ц13 і Ц23 одержуємо шуканий багатовид Б2 .

Для складних залежностей III групи зв’язок між змінними встановлюється системою рівнянь (1). На рис. 2 схематично представлена така залежність на прикладі чотирьох змінних, з яких дві функції (наприклад, х3 і х4) та два аргументи (х1 і х2).

Нехай функція х3 залежить від обох аргументів одночасно, а функція х4 — тільки від одного, наприклад, х1: .

Оскільки рівняння системи (3) мають спільний аргумент х1, то існує і спільна геометрична модель залежності. Розглянемо алгоритм її пошуку.

Кожне з рівнянь системи (3) розглядається як рівняння підбагатовиду у своєму підпросторі: Б12 — 2-підбагатовид у підпросторі Ox1x2x3 і Б21 — крива у площині Ox1x4. У обхоплюючому просторі всіх змінних цим підбагатовидам відповідають проекціюючі гіперциліндри Ц13 і Ц23, твірними яких є лінійні підпростори, доповняльні до координатних підпросторів цих підбагатовидів. Твірними Ц13 є прямі, паралельні осі Ox4, а твірними Ц23 — 2-вимірні лінійні підпростори, паралельні координатній площині Ox2x3. На взаємному перетині гіперциліндрів визначається шуканий 2-багатовид Б2 , що розглядається як геометрична модель (графік) загальної залежності між всіма чотирма змінними.

Аналогічно розглядаються інші приклади для різного числа змінних у різних комбінаціях, включаючи взагалі випадок для n змінних, з яких m функцій n-k аргументів.

Далі розглядаються алгоритми знаходження екстремальних точок багатовидів стосовно розв’язання багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно.

Точка локального екстремуму визначається як точка дотику k-вимірного лінійного підпростору до k-багатовиду. Цей k-підпростір визначається на взаємному перетині системи n-k гіперплощин, дотичних, відповідно, до гіперциліндрів, що проекціюють k-багатовид у відповідні підбагатовиди-проекції. Система дотичних гіперплощин має вигляд:

Для строгого розв’язку задачі багатокритеріальної оптимізації вводяться ваги функцій оптимізації, в залежності від пріоритетності функцій, та приписуються їм знаки “+”чи “–” в залежності від потреби максимізувати чи мінімізувати функцію. Тоді мова йтиме про компромісний екстремум, оскільки одним функціям оптимізації віддається перевага перед іншими.

Геометрично розв’язування задачі компромісної оптимізації зводиться до побудови гіперплощин (4), дотичних до k-багатовиду і паралельних напрямній гіперплощині.

На рис. 3 наочно зображено схему побудови напрямної гіперплощини, яка перетинає осі функцій оптимізації хk+1,...,xn, відповідно, у точках, координати яких обернені значенням ваг оптимізації. У точках компромісного локального екстремуму виконується умова:

Оскільки дотична є інваріантом проекціювання, то маємо, як наслідки з розглянутого вище, такі твердження:

Твердження 1: Дотичний до k-багатовиду k-вимірний лінійний підпростір проекціюється на n-k координатні підпростори проекцій відповідними проекціюючими гіперплощинами у дотичні до підбагатовидів-проекцій k-підпростори координатних підпросторів — носіїв підбагатовидів.

Твердження 2: n-просторова задача багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно може бути приведена до n-k (k+1)-просторових розв’язків задачі на проекціях k-багатовиду.

Твердження 3: n-просторова задача багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно може бути зведена до n-k ms-просторових (2 Ј ms Ј n-1) розв’язків задачі на проекціях k-багатовиду.

Зокрема, якщо ms = k + 1, це твердження відповідає твердженню 2.

На рис. 4 схематично зображено алгоритм побудови k-багатовиду Бk як результату перетину системи n-k гіперциліндрів , та дотичний до нього k-підпростір Ek .

Оскільки багатовиди, як геометричні моделі багатьох змінних, математично задаються системами нелінійних рівнянь, то, як наслідок, одержуємо обернене твердження, що системи нелінійних рівнянь моделюються k-багатовидами обхоплюючого простору всіх змінних системи, де k – число аргументів.

У третьому розділі розглядається геометричне представлення параметричних рівнянь ліній, поверхонь (гіперповерхонь), багатовидів, взагалі. Нехай k-багатовид заданий системою n параметричних рівнянь

Кожній з n функцій (7) у обхоплюючому (n + k)-вимірному просторі всіх змінних відповідає k-вимірний підбагатовид у своєму (k + 1)-вимірному координатному підпросторі. Ці підбагатовиди у обхоплюючому просторі всіх змінних розглядаються як основи проекціюючих гіперциліндрів, твірними яких є лінійні (n – 1)-вимірні підпростори, паралельні координатним підпросторам Oxj... хn. Всі n такі (n – 1)-вимірні гіперциліндри перетинаються у спільному k-вимірному багатовиді, який і розглядається як геометрична модель (графік) системи параметричних рівнянь (7).

Якщо k-багатовид має конкретний вигляд, то його геометричне представлення через параметричні рівняння у обхоплюючому просторі всіх змінних теж буде мати конкретний вигляд. Так, зокрема, для кола з рівнянням

відповідають параметричні рівняння.

Кожному з рівнянь (9) відповідають косинусоїда і синусоїда у координатних площинах Ox і Oj та Oy і Oj , відповідно.

Амплітуда кривих дорівнює радіусу R, а період дорівнює 2p . У обхоплюючому просторі всіх змінних x, y і j задане коло (8) і косинусоїда з синусоїдою (9) утворюють систему ортогональних проекцій геометричної моделі параметричних рівнянь кола (рис. 5).

Відповідні цим проекціям проекціюючі циліндри Ц12, Ц22 і Ц32, взаємноперетинаючись, утворюють просторову циліндричну гвинтову лінію, яка і є геометричною моделлю системи рівнянь (9).

У четвертому розділі приводиться дослідження двох поверхонь 4-го порядку як окремих випадків багатовидів із загальним рівнянням

Якщо R<a, то рівняння (10) описує поверхню двопорожнинного гіперболічного параболоїда (рис. 6).

Характерними перерізами поверхні є: дві параболи (напрямні)

що лежать у координатній площині х = 0 (рис. 7).

У площині у = 0 маємо переріз (рис. 8):

.

У площині z = 0 маємо переріз (рис. 9):

де

На рис. 10 зображена крива у площині а на рис. 11 — у площині .

У перерізах поверхні (10) площинами рівня, перпендикулярними осі Оz, які проходять через точки взаємного перетину напрямних парабол, тобто при , маємо попарно дві прямі, що перетинаються на осі Оу у цих точках (рис. 14).

При перерізах поверхні площинами рівня y = const у границях між точками взаємного перетину напрямних парабол та при маємо криві типу кривої, зображеної на рис. 15, а при y > 1/2 (a + R) cos a — дві параболи.

Якщо у (10) прийняти R = a, маємо поверхню двопорожнинного параболічного параболоїда (рис.16).

Характерними перерізами цієї поверхні є: у площині у = 0 (рис. 17) — дві параболи з параметрами p = ± R: z12 = ± 2Rx1.

У площині x = 0 — парабола з параметром р = – 2R cos a :

z12 = – 4 Ry1 cos a . У площині z = 0 маємо параболу з параметром

р = R/2 sin 2 a cos a :

x12 = Ry1 sin 2 a cos a .

У площині z = R sin a - парабола з параметром 2R sin 2 a cos a:

x2 = 4Ry sin 2 a cos a . У площині z = – R sin a одержується подвійна пряма х2 = 0, що зливається з віссю Оу.

У січній площині у = R sin 2 a / 4 cos a маємо криву, зображену на рис. 18.

У січній площині у = – R y sin a маємо криву, зображену на рис. 19. При значеннях у > 0 у січних площинах маємо х-подібні криві 4-го порядку. На рис. 20 приведена така крива для січної площини у = R sin a .

У кінці розділу приведено виведення рівнянь кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що зв’язані співвідношеннями відстаней до фокусів і центра (рис. 21):

(MF1 . MF2)2 = a4 + 2 MO2 . F1F2 . c ,

де а - завжди додатній параметр, а параметр с може бути й від’ємним.

Рівняння кривих має вигляд:

Одержане рівняння (11) відрізняється від рівнянь кривих Персея-Кассіні складовою 2Rc (x2 + y2) у лівій частині рівняння. Оскільки R як відстань від кожного з фокусів до центра не може рівнятись нулю, то рівняння (11) вироджується у рівняння Персея-Кассіні при с = 0.

Далі проведено дослідження всіх можливих кривих в залежності від різних співвідношень параметрів рівняння. Розглянемо тут тільки стиснуту лемніскату (рис.22) при 0 < c < R = a та витягнуту лемніскату (рис. 23) при 0 > c ; | c | < R = a. Рівняння лемніскат має вигляд:

Якщо c < 0, маємо витягнуту лемніскату, якщо c > 0, то стиснуту. Якщо ж с = 0, то рівняння (12) вироджується у рівняння лемніскати Бернуллі.

У п’ятому розділі приведено реальні приклади впровадження запропонованих у дисертації методів геометричного моделювання складних залежностей між багатьма змінними та алгоритмів розв’язування багатокритеріальних задач оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно в галузі поліграфічного виробництва.

Приклад 1. Розглянуто моделювання процесу виготовлення фотополімерних друкарських форм з твердих фотополімеризуючих матеріалів. Якісними критеріями (функціями оптимізації) розглянуто графічну точність відтворення друкуючих елементів (х1), мінімальну оптичну щільність зображень (х2), глибину пробільних елементів (х3), геометричний показник профілю друкуючих елементів (х4), загальну тривалість виготовлення (х5). Впливаючими на функції факторами (аргументами) є: тривалість гіперсенсибілізації (х6), тривалість експонування (х7), концентрація гідроокису натрію у розчині (х8), відстань полімерного шару до джерела випромінювання (х9), температура вимивання (х10), тривалість додаткового експонування (х11) та температура сушіння фотополімерних форм (х12). При цьому, на формування профілю друкуючих елементів впливає відстань до освітлювача, відчутно не впливаючи на інші функції, а тривалість додаткового експонування та температура сушіння практично не впливають на якість форм, а тільки на загальну тривалість виготовлення. Тобто дана залежність відноситься до такої складної, коли на 5 функцій впливає решта 7 аргументів у різних комбінаціях.

За розробленою схемою були проведені експерименти на ЗАТ “Артсервіс” (м. Львів), що приведені в Додатку (на 38 сторінках).

Оскільки загальна тривалість х5 виготовлення друкарських форм складається із суми тривалостей всіх операцій, то її можна виключити з подальшого розгляду моделі. Тоді геометричною залежністю між 11 змінними (для 4 функцій 7 аргументів) є 7-вимірний багатовид 11-вимірного простору Охіхj, де i = 1, ... , 4 ; j = 6, ..., 12. Цей 7-багатовид задаємо спочатку дискретним каркасом із ліній у 5-вимірних підпросторах рівня (взагалі у (n – k + 1) - вимірних підпросторах рівня, тут 11 – 7 + 1 = 5). Кількість N таких ліній обчислюється за формулою , де mi — прийняті кількості гіперплощин рівня, у яких знаходяться лінії каркасу, що відповідають кількостям рівнів фіксованих змінних. Лінії каркасу задаємо системами проекцій (системами відповідних їм рівнянь) на координатні підпростори нижчих розмірностей, тобто на 4-вимірні, 3-вимірні і 2-вимірні. Останні будуємо за даними експерименту. Знайшовши рівняння кривих-проекцій у 2-площинах, переходимо до рівнянь кривих-проекцій у 3-підпросторах рівня і т.д. до кривих-проекцій у 5-вимірному підпросторі рівня, паралельному координатному підпростору Ox1x2x3x4x6. Одержані 5-просторові криві дискретного каркасу шуканого багатовиду, що знаходяться у одних 6-вимірних підпросторах рівня, розглядаються як лінії дискретного каркасу 2-вимірного підбагатовиду Б2. Ці 2-підбагатовиди Б12, Б22 і Б32, що знаходяться у 6-вимірних підпросторах рівня, паралельних координатному підпростору Ox1x2x3x4x6x7, розглядаються як дискретний каркас 3-підбагатовидів, що знаходяться у своїх 7-вимірних підпросторах рівня. Потім приходимо до каркасів 4-підбагатовидів у 8-вимірних підпросторах і т.д. до 6-підбагатовидів у 10-вимірних підпросторах рівня, що розглядаються як каркас шуканого 7-вимірного багатовиду Б7 у обхоплюючому 11-вимірному просторі всіх змінних.

Від одержаного таким чином дискретного каркасу переходимо до неперервного, виражаючи послідовно залежності коефіцієнтів спочатку 2-просторових ліній від третьої змінної, а одержані вирази для 3-просторових ліній через вираження їхніх коефіцієнтів від наступної змінної і т.д. до одержання системи із 4 рівнянь (взагалі із n – k рівнянь) шуканого 7-багатовиду як загальної моделі залежності між всіма 11 змінними.

Була розроблена програма на мові програмування Delphi 5, яка дозволяє оперативно розрахувати оптимальні значення функцій x1, x2, x3 i x4 та параметри факторів, що їм відповідають у заданих масштабах. Програма складається з декількох файлів, зокрема, Unitl.pas, який включає безпосередньо саму форму (оболонку) програми та розрахунки шуканих значень фукнцій, а також проектний файл Project1.

Обчислені оптимальні значення всіх змінних, що рекомендуються для використання: x10 = 11,3%; x20 = 0,53 од.оп.щ.; x30 = 1,16мкм; x40 = 810; x50 = 329 хв.; x60 = 310 хв.; x70 = 14,5хв.; x80 = 0,15%; x90 = 12,5 см; x100 = 300C; x110 = 4,5 хв.; x120 = 490C.

Далі наводяться наступні приклади застосування запропонованого геометричного моделювання:

Приклад 2. Визначення фізико-механічних властивостей облицювальних матеріалів друкарських валів глибокого друку.

Приклад 3. Геометричне моделювання процесу емульгування офсетних фарб.

Приклад 4. Геометричне дослідження впливу умов окислення сажі на її властивості.

Приклад 5. Геометричне моделювання впливу кобальтових сиккативів на швидкість закріплення друкарських фарб.

ВИСНОВКИ

1. У роботі розширено клас геометричних моделей залежностей багатьох змінних у вигляді певних багатовидів на такі складні залежності, коли на функції впливають аргументи у різних комбінаціях.

2. Розроблена методика розв’язування багатокритеріальних задач компромісної оптимізації, що зводиться до розгляду системи складових (проекцій чи відповідних їм рівнянь) загальної залежності між всіма змінними, що сукупно відображають багатовид як геометричну модель (графік) загальної залежності і геометрично моделюються підбагатовидами у відповідних координатних підпросторах обхоплюючого простору всіх змінних.

3. Досліджено і встановлено геометричну суть параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь), багатовидів взагалі та запропоновано їхні відображення (графіки) у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи параметричних рівнянь, включаючи параметри.

4. Запропоновано геометричне представлення (моделі) систем нелінійних рівнянь у вигляді відповідних багатовидів у обхоплюючомупросторі всіх змінних заданої системи.

5. Одержано рівняння алгебраїчних поверхонь 4-го порядку: двопорожнинного гіперболічного параболоїда з чотирма прямими та двопорожнинного параболічного параболоїда як окремих випадків багатовидів, та досліджені форма цих поверхонь і характерні їхні перерізи.

6. Розроблено спосіб побудови алгебраїчних плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, витягнутої і стиснутої лемніскат, що розглядаються як узагальнення лемніскати Бернуллі.

7. Одержані теоретичні результати дисертації впроваджені у виробництво в галузі поліграфічної промисловості, в конструкціях кутових переходів газонафтопроводів, у навчальному процесі при викладанні курсів фізики, математичного моделювання, математичного аналізу та диференціальної геометрії на фізико-математичному факультеті Національного технічного університету “Київський політехнічний інститут”.

8. Запропоновані методи формалізованого геометричного моделювання складних багатокритеріальних задач компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно та алгоритми їх розв’язування можуть бути застосовані для розв’язування аналогічних задач різної фізичної природи у будь-якій галузі.

9. У подальшому розвитку приведених у роботі досліджень запропоноване геометричне представлення (графіки) систем нелінійних рівнянь як і систем параметричних рівнянь кривих ліній, поверхонь (гіперповерхонь) і багатовидів, взагалі, сприятиме удосконаленню методів дослідження таких систем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гумен О.М. Узагальнення кривих Персея-Кассіні / Зб. тез доповідей Міжнародної науково-технічної студентської конференції, Львів, 1998. - с. 101-102.

2. Гумен О.М. Двопорожнинний параболічний параболоїд 4-го порядку / Зб. Прикладна геометрія та інженерна графіка, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в. 4, т. 18, Мелітополь: ТДАТА, 2003. - с. 108-112.

3. Гумен О.М., Ванін В.В. Гіперболічний двопорожнинний параболоїд 4-го порядку з порожнинами одного напряму та чотирма спільними прямими / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в. 4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т. 19, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с. 53-58.

4. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь кривих ліній / Праці Таврійської державної агротехнічної академії, - в.4, Прикладна геометрія та інженерна графіка, т. 21, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003. - с. 89-92.

5. Гумен О.М. Геометричне представлення параметричних рівнянь поверхонь і багатовидів / Матеріали Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”, Львів, - 2003.

6. Гумен О.М. Геометричне розв’язання задач оптимізації за багатьма критеріями одночасно, Праці Таврійської державної агротехнічної академії, в. 4, Прикладна геом. та інж. графіка, т.22, Наукове фахове видання, Мелітополь, 2003, — с. 121-127.

7. Гумен О.М., Гумен М.С. Витягнена та стиснена лемніскати як узагальнення лемніскати Бернуллі: НТУУ “КПІ”, ДНТБ України від 12.03.1996 р., Деп. в УкрІНТЕІ, №737, Ук. 96. - 4 с.

8. Гумен О.М., Гумен М.С. Одне узагальнення овалів Кассіні / Зб. Прикладна геом. та інж. графіка, В. 59, - К.: КГТУСА, 1996. - с. 33-36.

9. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі всіх аргументів на всі функції / Сб. Трудов Международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”, ч. I, - Мелитополь, 1996. - с. 20 - 21.

10. Гумен О.М., Гумен М.С. Узагальнені геометричні моделі складних залежностей р функцій q аргументів при впливі на функції частини аргументів у різних співвідношеннях / Матеріали Міжнародного наукового симпозиуму “Нарисна геометрія, інженерна та комп’ютерна графіка” до 250-річчя з дня народження Гаспара Монжа, Львів, 1996. - с. 13.

11. Гумен М.С., Гумен О.М. До питання класифікації параболоїдів 4-го порядку / Сб. Трудов IV Международной научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”, ч. 2, - Мелитополь, 1997. - с. 105-109.

АНОТАЦІЇ

Гумен О.М. Геометричне моделювання багатокритеріальних задач техніки. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 — “Прикладна геометрія, інженерна графіка”. — Київський Національний університет будівництва і архітектури. Київ. 2004.

В дисертації набуло подальшого розвитку розв’язання задач багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно для складних залежностей між багатьма змінними, коли на функції оптимізації впливають аргументи у різних комбінаціях.

Суть пропонованого підходу заключається у розгляді системи проекцій чи відповідних їм рівнянь, що сукупно відображають багатовид як модель загальної залежності. Геометричне розв’язання цієї задачі зводиться до знаходження на багатовиді екстремальної точки як точки дотику k-підпростору, паралельного гіперплощині

l1 x1 + ... + ln–k xn–k = 1,

де li — ваги функцій оптимізації, які задаються в залежності від пріоритетності цих функцій. При цьому вагам приписуються знаки “+” чи “–” в залежності від потреби максимізувати чи мінімізувати їх.

Оскільки рівняння багатовидів часто подають у параметричній формі, то в дисертації розглядається також геометричне моделювання таких систем рівнянь у вигдяді відповідних багатовидів у обхоплюючому просторі всіх змінних системи. включаючи параметри.

Якщо багатовиди описуються системами нелінійних рівнянь, то й обернено будь-якій системі нелінійних рівнянь, зв’язаних спільними аргументами, відповідає, як модель (графік), відповідний багатовид.

Як окремі випадки багатовидів у роботі розглядаються поверхні 4-го порядку: двопорожнинний гіперболічний параболоїд та двопорожнинний параболічний параболоїд з дослідженням їхніх характерних перерізів та форми.

Одержано також рівняння плоских кривих 4-го порядку як геометричних місць точок у площині, що розглядаються як узагальнення кривих Персея-Кассіні, зокрема, лемніскати Бернуллі.

Практичне значення одержаних теоретичних положень дисертації заключається у спрощенні алгоритмів коректного розв’язування задач багатокритеріальної компромісної оптимізації за багатьма критеріями оптимізації одночасно. Розроблений метод впроваджено у ЗАТ “Артсервіс” (м. Львів) для розрахунку оптимальних технологічних параметрів при підготовці виробництва фотополімерних друкарських форм.

Одержані узагальнені лемніскати впроваджені у виробництво на УМТ “Львівтрансгаз” для спряження трубопроводів.

Результати роботи впроваджені також у навчальний процес на фізико-математичному факультеті НТУУ “КПІ”.

Ключові слова: багатовид, гіперциліндр, гіперплощина, багатокритеріальна компромісна оптимізація, моделювання, параметричні рівняння, гіперболічний двопорожнинний параболоїд, параболічний параболоїд, стиснута і витягнута лемніскати.

Гумен Е.Н. Геометрическое моделирование многокритериальных задач техники. — Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 — “Прикладная геометрия, инженерная графика”. — Киевский Национальный университет строительства и архитектуры. Киев. Украина. 2004.

В диссертации нашло дальнейшее развитие решения задач многокритериальной компромисной оптимизации по многим критериям оптимизации одновременно для сложных зависимостей между многими переменными, когда на функции оптимизации влияют аргументы в различных сочетаниях.

Суть предлагаемого подхода заключается в рассмотрении системы проекций или соответствующих им уравнений, которые совместно отображают многообразие как геометрическую модель общей зависимости. Геометрическое решение многокритериальной задачи сводится к определению на многообразии экстремальной точки как точки касания линейного k-подпространства, параллельного гиперплоскости

l1 x1 + ... + ln–k xn–k = 1,

где li — веса функций оптимизации, которые задаются в зависимости от приоритетности функций оптимизации. Кроме этого, весам функций оптимизации приписываются знаки “+” или “–” в зависимости от того, необходимо функцию максимизировать или минимизировать. Поэтому и оптимизация называется коспромиссною, поскольку одним функциям отдаётся предпочтение перед другими.

Поскольку уравнения многообразий часто записываются в параметрической форме, то в диссертации рассматривается также и геометрическое представление (моделирование) систем параметрических уравнений, линий, поверхностей (гиперповерхностей), вообще, многообразий в виде соответствующих многообразий в объемлющем пространстве всех переменных системы, включая параметры.

Поскольку многообразия описываются системами нелинейных уравнений, то и обратно любой системе нелинейных уравнений, связанных общими аргументами, соответствует как модель (график) соответствующее многообразие.

Как частные случаи многообразий в работе рассматриваются поверхности 4-го порядка: двухполостный гиперболический параболоид и двухполостный параболический параболоид с исследованием их характерных сечений и формы.

Выведено также уравнение плоских кривых 4-го порядка как геометрических мест точек в плоскости, которые рассматриваются как обобщение кривых Персея-Кассини, в частности лемнискаты Бернулли.

Практическое значение полученных теоретических положений