НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

ГОРОВИЙ Олексій Миколайович

УДК 534.2

ТЕЧІЯ СТОКСА НАВКОЛО СИСТЕМИ ПРЯМОКУТНИХ

ПЛАСТИНОК

01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті гідромеханіки НАН України, м. Київ

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ГОМІЛКО Олександр Михайлович,

Інститут гідромеханіки НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БАРНЯК Михайло Якимович, Інститут математики НАН України, м. Київ, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук

ГАЙДАЙ Олександр Васильович, Національна акціонер-на компанія “НАФТОГАЗ УКРАЇНИ”, м. Київ, головний фахівець

Провідна установа: Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Захист відбудеться “ 20 ” травня 2004 р. о “  14  ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д. .196.01 Інституту гідромеханіки НАН України (03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту гідромеханіки НАН України (03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4).

Автореферат розісланий “ 17 ” квітня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д. .196.01,

доктор технічних наук, професор Криль С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія в’язкої рідини при малих числах Рейнольдса являє собою один з найважливіших для практики та цікавий з точки зору фундаментальних математичних досліджень розділ гідромеханіки. Фізика нафтових та інших мастильних речовин, проблеми фільтрації, деякі напрямки біо та геофізики, фізіології і медицини, океанології, екології, хімічної промисловості, гідротехніки – ось далеко не весь перелік галузей науки і техніки при дослідженні проблем яких плідно використовується модель Стокса та гідромеханіка при малих числах Рейнольдса. Велика кількість прикладних проблем говорить про актуальність теоретичних досліджень, що базуються на теорії Стокса.

Аналіз стану питання про розв’язання граничних задач для течій Стокса показує, що на теперішній час розроблені математичні методи та побудовані розв’язки здебільшого для двовимірних та осесиметричних областей різної геометрії. Однак очевидно, що із всіх типів течій найскладнішими є просторові потоки. Оскільки тривимірність області є істотнім, а в деяких випадках просто необхідним фактором при моделюванні реальної течії, тому дослідження просторових задач є важливим і корисним для поглиблення розуміння природи і властивостей в’язких течій.

В даній дисертаційній роботі розглянуто просторові задачі обтікання по Сток-су у класичній постановці для таких тіл як тонка прямокутна пластинка та система з прямокутних пластинок. Такі конструктивні елементи є важливими частинами механізмів для перемішування в’язких рідин, що широко використовуються у промисловості, різних технологічних процесах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження та результати, що увійшли до дисертаційної роботи, тісно пов’язані з програмами науково-дослідної роботи, яка проводиться в Інституті гідромеханіки НАН України. Зокрема дисертація є частиною комплексних наукових програм Інституту гідромеханіки НАН України: “Дослідження динамічних характеристик пружних систем, що взаємодіють з рідиною” (державний реєстраційний номер 0100U004750, 1999 – 2002 р.), “Дослідження закономірностей генерації та розповсюдження звуку в пружно-рідинних системах” (державний реєстраційний номер 0103U000048, 2003 – 2004 р.).

Мета і задачі дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є розробка методики розв’язання та побудова чисельно-аналітичних розв’язків граничних задач Стокса для тонких прямокутних пластинок та систем з таких пластинок, вивчення кінематичних властивостей тривимірних стоксових течій. Для досягнення цієї мети автор ставив перед собою такі конкретні завдання: – 

побудувати розв’язок граничної задачі Стокса про обтікання тонкої прямокутної пластинки в’язкою нестисливою рідиною, швидкість потоку якої на нескінченності є нормальною до площини пластинки (нормальне обтікання); провести аналіз отриманих результатів у порівнянні з роботами інших авторів; – 

побудувати розв’язок граничної задачі Стокса про обтікання тонкої прямокутної пластинки в’язкою нестисливою рідиною, швидкість потоку якої на нескінченності утворює довільний кут з площиною пластинки (похиле обтікання); – 

на основі методики побудови розв’язків вище згаданих задач дослідити повздовжнє обтікання системи тонких прямокутних пластинок; – 

на основі чисельно-аналітичних розв’язків провести аналіз кінематичних властивостей потоків в залежності від геометричних параметрів області та швидкості потоку.

Об’єктом дослідження є гідромеханічні процеси та явища, що відбуваються у потоках в’язкої рідини при малих числах Рейнольдса.

Предметом дослідження є властивості та основні характеристики стаціонарної течії Стокса при обтіканні прямокутної пластинки та системи прямокутних пластинок.

Методи дослідження. При розв’язанні поставлених у роботі граничних задач для рівнянь Стокса застосовувались методи теорії гідродинамічних потенціалів, метод суперпозиції, теорія матриць, чисельні методи інтегрування та розв’язання систем диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. В межах моделі Стокса, на основі теорії гідродинамічних потенціалів та використання методу суперпозиції в дисертаційній роботі отримано такі нові результати: – 

розвинуто чисельно-аналітичну методику, яка враховує особливості поведінки потоку в околі границі області та дозволяє одержати вирази компонент поля швидкості для аналізу кінематики потоку течії Стокса при обтіканні системи пластинок; – 

знайдено асимптотичний закон для невідомих коефіцієнтів розв’язку у випадку нормального обтікання пластинки; – 

побудовано чисельні алгоритми, які дозволяють на основі одержаних полів швидкості досліджувати форми та властивості тривимірних стаціонарних кінематичних структур, що утворюються навколо прямокутної пластинки та системи з таких пластинок.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати можна застосувати у прикладних задачах, які виникають у хімічних технологіях під час перемішування дуже в’язких розчинів, розплавів полімерів, апаратами, що містять конструктивні елементи у вигляді прямокутних пластинок. Побудовані розв’язки задач про повільне обтікання тіл в’язкою рідиною можна використати у теорії седиментації частинок.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, що увійшли до дисертаційної роботи і складають предмет захисту, а також теоретичні дослідження, вибір придатних та ефективних чисельних методів, розробка комп’ютерних алгоритмів і програм, попередній аналіз отриманих результатів, було отримано автором самостійно. Роботи [1], [2] опубліковані у співавторстві з науковим керівником доктором фізико-математичних наук О.М. Гомілком, якому належить постановка задач і вибір загального напрямку досліджень.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи були представлені на наступних міжнародних наукових конференціях: –

та міжнародні наукові конференції імені академіка М.Кравчука (Україна, м. Київ, 2000, 2002 роки); –

міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Україна, м. Луцьк, 2000 рік);

Тези доповідей опубліковано у матеріалах відповідних конференцій.

На протязі виконання дисертаційної роботи основні її результати доповідались та обговорювались на наукових семінарах: – 

Республіканський науковий семінар з гідромеханіки Інституту гідромеханіки НАН України під керівництвом академіка НАН України В.Т. Грінченка; – 

науковий семінар “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної та прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка під керівництвом члена-кореспондента НАН України А.Ф. Улітка, академіка НАН України В.Т. Грінченка.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць, серед яких 3 – у наукових фахових журналах [1-3] і 3 – у збірниках праць міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, одного додатку, висновків та списку використаної літератури. Повний обсяг дисертації становить 128 сторінок друкованого тексту, в тому числі: 26 рисунків, 7 таблиць та список використаної літератури зі 130 найменувань, який розміщено на 13 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, висвітлюється актуальність теми дисертаційної роботи; сформульовано мету і задачі дослідження; вказано наукову новизну та практичне значення результатів, отриманих у роботі; наведено дані про зв’язок дисертаційної роботи із науковими темами, що виконуються в установі здобувача, про апробацію результатів роботи та список публікацій автора за темою дисертації.

Перший розділ містить огляд літератури, присвяченої розв’язанню задач гідромеханіки при малих числах Рейнольдса. Відмічено класичні роботи таких видатних вчених як Стокса, Релея, Рейнольдса, Озієна, Обербека, Ламба. Більш детально розглянуті роботи вчених, які поповнили новими знаннями цю область на протязі останніх 50 – 60 років. Проаналізовані роботи Хаппеля, Бреннера, Мофата, Пана, Акрівоса, Юнгрена, Шанкара, Девіса, Оттіно, а також роботи вітчизняних вчених В.Т. Грінченка, А.Ф. Улітка, В.В. Мелешка, О.М. Гомілка, В.С. Малюги.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячено задачі про нормальне обтікання прямокутної пластинки, коли вектор швидкості потоку на нескінченності є нормальним до поверхні пластинки (рис. ). Задача розв’язуєть-ся в межах стаціонарної моделі Стокса. Для обезрозмірювання змінних використаємо заміни

де – це безрозмірні величини: просторові координати, компоненти вектора швидкості і тиск відповідно. Постановка задачі складається з системи рівнянь Стокса (1) та граничних умов (2), (3)

(1)

(2)

(3)

Представлення поля швидкості і тиску у вигляді

, , (4)

де  – довільна гармонічна функція, зводить задачу (1) – (3) до розв’язання рівняння Лапласа з граничними умовами Діріхле

(5)

Використання класичної теорії потенціалу для розв’язання задачі (5), дозволяє звести її до двомірного інтегрального рівняння Фредгольма першого роду.

(6)

де – невідома густина, розподілена по поверхні пластинки. Після виконання граничних умов задачі (5) приходимо до інтегрального рівняння

(7)

Враховуючи симетрію області та парність ядра інтегрального рівняння (7), шукаємо функцію у вигляді

(8)

де  – невідомі коефіцієнти.

Після підстановки (8) у рівняння (7) і проведення алгебраізації отриманого співвідношення приходимо до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(9)

де  – символ Кронекера, а коефіцієнти матриці мають вид

(10)

Функції мають вигляд

, ; , ;

, (11)

Система (9) має складну структуру: сумування ведеться по двох індексах, коефіцієнти матриці залежать від чотирьох індексів. Проаналізувавши вирази (11) для функцій , можна зробити деякі загальні зауваження, що до структури матриці системи (9): ця матриця є симетричною і складається з блоків, які у свою чергу, є також симетричними. Індекси , відповідають за розташування блоку у самій матриці, а індекси , за розташування елементів у блоці. Це дозволяє записати співвідношення

(12)

Завдяки цим властивостям при чисельному обрахунку коефіцієнтів була розроблена схема, яка дозволяє обчислювати лише діагональні елементи матриці.

Традиційним шляхом розв’язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь є метод простої редукції. В той же час, інформація про характер локальних особливостей поведінки розв’язків граничних задач дозволяє суттєво підвищити ефективність чисельного алгоритму і дає можливість застосувати метод покращеної редукції.

Розв’язок осесиметричної задачі про обтікання круглої пластинки, показує, що тиск на пластинці при наближенні до її границі має кореневу особливість. Такий самий висновок випливає з аналізу розв’язку задачі Діріхле для рівняння Лапласа у зовнішній частині кругової області. Оскільки поведінка розв’язку рівняння еліптичного типу в околі границі області, що розглядається, визначається локальними особливостями самої границі і потенціалу (6), то у випадку прямокутної пластинки для тиску справедливі співвідношення аналогічні до того що ми маємо на круглій пластинці. Таким чином для фіксованих і , відповідно, тиск має вид

(13)

(14)

З іншого боку враховуючи представлення для тиску (4), граничні властивості нормальної похідної потенціалу простого шару і поєднуючи їх з виписаними формулами для тиску, отримані вирази для густин потенціалу

(15)

Вирази (15) дозволяють визначити асимптотичну поведінку коефіцієнтів при (для фіксованого ) або при (для фіксованого ). Підставляючи у ліву частину вираз для густини потенціалу і провівши процедуру ортогоналізації, з урахуванням асимптотики для функції Беселя нульового порядку маємо формули

(16)

З проведеного аналізу випливає, що асимптотична поведінка невідомих по одному з прямуючих до нескінченності індексів, визначається поведінкою тиску при підході до краю пластинки за виключенням кутових точок. При використанні методу покращеної редукції обмежимось використанням асимптотичних формул для індексів і у формулі (16)

(17)

Нескінченна система лінійних рівнянь набуває вигляду

(18)

Два останні рівняння замикають систему оскільки при застосуванні формул (17) з’явились дві нові змінні , .

Чисельні розрахунки проводились для значень і . При обчисленні коефіцієнтів матриці використовувались квадратурні формули Гауса з автоматичним поділом інтервалу інтегрування на підінтервали. Очевидно, що параметри і виступають критеріями точності отриманих розв’язків. Ці величини підбирались таким чином, щоб отримані в результаті граничні значення компонент швидкості відрізнялись від реальних значень не більше ніж на 1 – 2 Ефективність запропонованої схеми розв’язання задачі підтверджується тим, що для обчислення, наприклад, сили опору прямокутної пластинки, з наперед заданою точністю, у випадку використання асимптотичних властивостей поведінки невідомих системи є можливість зменшити порядок скінченої системи в чотири рази.

Проведено порівняння швидкостей обчислених за двома схемами, які базуються на методах простої та покращеної редукції. Оскільки проведений в роботі асимптотичний аналіз дозволяє підвищити точність поля в околі ребра пластинки, то для порівняння було проведено обчислення швидкості на вісі Ох1 () при віддаленні від ребра. Отримані дані показують (рис. ), що на відстані до 0.01 лінійного розміру компоненти відрізняються досить відчутно – відносна різниця цих величин складає 10 – 15 При віддаленні від ребра пластинки ця величина дуже швидко зменшується і вже на відстані 0.1 – 0.2 довжини лінійного розміру вона складає 1 – 2 Таким чином, віддалене поле із задовільною точністю може бути визначено за результатами розв’язку нескінченної системи (9) методом простої редукції.

За знайденим полем швидкості визначення ліній течії зводиться до інтегрування системи Коші

(19)

Система розв’язувалась методом Рунге-Кута шостого порядку точності з автома -

тичним вибором кроку інтегрування. На рис.  приведено лінії течії для різних початкових умов, як у просторі так і в основних площинах симетрії. Лінії течії є симетричними відносно площини пластинки, що є наслідком лінійності рівнянь Стокса. Слід зауважити , що збурення, зумовлені присутністю твердої пластинки розповсюджується на далекі відстані від пластинки. Наявність зовнішньої твердої границі, наприклад у вигляді циліндра, твірні якого паралельні вектору швидкості, буде значно змінювати рух рідини, навіть якщо границі будуть знаходитись на великих відстанях від пластинки.

Поряд з вектором швидкості значну роль відіграє вектор вихору швидкості . У випадку нормального обтікання компоненти вектора вихору швидкості можна виразити через введену в (4) гармонічну функцію

(20)

тобто у випадку нормального обтікання, незалежно від форми пластинки, вектор вихору швидкості буде лежати в площинах, які є паралельними до площини пластинки. У підрозділі 2.5.2. побудовані лінії завихреності. Диференціальне рівняння лінії завихреності у векторній формі має вид , де  – коефіцієнт пропорційності. Враховуючи вид компонент поля вихору швидкості (20), показано, що це рівняння зводиться до звичайного диференціального рівняння у повних диференціалах від функції , інтегруючи яке маємо

, . (21)

Лінії завихреності отримано в результаті перетину цих поверхонь площинами . На рис. наведено лінії завихреності для квадратної пластинки.

В околі поверхні вони набувають форму пластинки, а при віддаленні від поверхні відтворюють симетрію пластинки: для квадратної пластинки – концентричні кола.

Одним із найбільш ефективних способів виявлення характеру розподілу у просторі чи у площині фізичної величини є побудова ізоліній, тобто ліній вздовж яких ця величина приймає постійне значення. На рис. приведені лінії постійної завихреності. Концентрація ліній постійної завихреності в околі границі області вказує на необмежене зростання вихору швидкості при наближенні до цих точок. Лінії постійної завихреності вказують на області інтенсивності перемішування рідини. По аналогії з вихором швидкості були побудовані (рис. ) лінії постійного тиску (ізобари). Концентрація напружень збільшується при підході до граничних областей, про що свідчить густина ліній сталого тиску.

При аналізі течій Стокса важливим є питання про силову взаємодію потоку і пластинки. При нормальному обтіканні головний вектор сил опору має єдину компоненту .

З урахуванням представлень (4), (8), а також властивостей похідної по нормалі від потенціалу простого шару компонента має вид

(22)

Для порівняння обчислено значення сили опору для еліптичних пластинок, які є вписаними та описаними відносно прямокутної пластинки, а також рівновеликих з прямокутною пластинкою еліпсів

(23)

де  – повний еліптичний інтеграл першого роду, e – ексцентриситет еліпса.

Обчислені значення цих величин зведено в табл. 1. Відмітимо, що у випадку довгих пластинок опір прямокутної пластинки може бути апроксимований опором вписаного чи описаного еліпса. І, оскільки при , цей опір прямує до величини . Аналіз табл. показує, що опори рівновеликих прямокутників та еліпсів відрізняються не більше ніж на 2

Функцію , яка є розв’язком задачі (5), можна інтерпретувати як електричний потенціал зарядженої пластинки. У цьому разі рівняння є рівнянням еквіпотенціальних поверхонь.

Однією з важливих електростатичних характеристик зарядженої поверхні є її електрична ємність , де  – електричний заряд пластинки. Враховуючи представлення (6), (8) отримано вираз для електроємності прямокутної пластинки

(24)

Проведені в роботі розрахунки (табл. ) за формулою (24) добре узгоджуються з результатами отриманими іншими методами.

Таблиця 2

Електрична ємність прямокутної пластинки

Метод | a

1 | 2 | 4 | 8

Варіаційний

(Б. Нобл) | 0.734 | 1.065 | 1.619 | 2.570

Колокації

(Б. Нобл) | 0.7337 | 1.0640 | 1.6189 | 2.5698

Запропонований | 0.7334 | 1.0640 | 1.6183 | 2.5688

У третьому розділі розглянуто задачу про похиле обтікання прямокутної пластинки, коли вектор швидкості потоку на нескінченності утворює довільний кут атаки з площиною пластинки рис. . Гранична задача Стокса складається з системи рівнянь Стокса (1), граничних умов (2) і умов поведінки поля швидкості на нескінченності

(25)

Представлення поля швидкості через компоненти гідродинамічного потенціалу простого шару має вид

(26)

де ,  –невідомі густини потенціалів.

Після виконання граничних умов (25), отримуємо систему інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду відносно невідомих густин

(27)

(28)

(29)

Очевидно, що рівняння (29) є незалежним від системи рівнянь (27), (28) і з точністю до коефіцієнта є аналогічним до рівняння (7). Тому основна увага в третьому розділі приділяється системі інтегральних рівнянь (27), (28). З аналізу геометрії задачі (симетрія відносно координатних осей) та граничних умов випливає, що невідомі густини потенціалів можна шукати у вигляді

(30)

де  – невідомі коефіцієнти.

Після підстановки виразів (30) у рівняння (27), (28) і проведення стандартної процедури алгебраїзації отриманих співвідношень отримано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(31)

Коефіцієнти матриці системи (31) після ряду перетворень подаються у вигляді аналогічного до (10). Як і у випадку нормального обтікання такі співвідношення дозволяють виявити наступні властивості коефіцієнтів

(32)

Зі співвідношень (32) випливає, що матриця системи є блочно-симетричною. Оскільки структурні властивості матриці повністю аналогічні до тих, які виявлено при розв’язанні задачі про нормальне обтікання пластинки, то використано апробовану у другому розділі методику для побудови алгоритму обрахунку коефіцієнтів матриці системи і її розв’язання. Точність отриманих в результаті чисельного розв’язання характеристик перевірялась якістю виконання граничних умов і утримувалась на межі 1 – 2% від реальних значень на поверхні пластинки.

Лінії течії в основних площинах симетрії та просторі отримано після інтегрування системи Коші (19) для різних значень початкових умов рис.  –10.

Для похилого обтікання вектор вихору має три ненульові компоненти

що приводить до складного характеру ліній вихору швидкості. В той же час в основних площинах симетрії ( або ) вектор вихору має лише одну ненульову компоненту. Наприклад, у площині вектор вихору швидкості має вид

що дає можливість легко побудувати лінії постійної завихреності. На рис.  – 12 наведені результати розрахунків – лінії постійної завихреності та тиску для різних параметрів потоку. Як випливає з наведених рисунків при похилому обтіканні лінії постійної завихреності і тиску деформуються вздовж пластинки у напрямку руху рідини. Концентрація вихору і тиску відбувається в околі особливих точок поверхні пластинки.

У випадку граничних умов (25) сила опору буде мати дві ненульові компоненти

, , (33)

Як добре відомо, у випадку повздовжнього обтікання диску сила опору обчислюється за формулою

, (34)

де a – радіус диску. Числові дані для безрозмірної сили опору при повздовжньому обтіканні квадратної пластинки () та вписаного () і описаного () навколо неї дисків наведено у табл. .

По аналогії з випадком нормального обтікання, можна обчислити  – силу опору для диску радіусу, , який є рівновеликим по відношенню до квадратної пластинки, тобто при .

Тоді, враховуючи (34), обчислено, (табл. ). З таблиці видно, що відносна різниця і складає приблизно 2% – це співпадає з результатами, отриманими у другому розділі.

При повздовжньому обтіканні обчислено сили опору в залежності від орієнтації прямокутної пластинки по відношенню до потоку. Встановлено, що для видовжених вздовж потоку пластинок сила опору менша ніж для таких же пластинок, розташованих поперек потоку: чим більше довжина пластинки, тим більша відносна різниця між силами опору.

Для випадку неосесиметричного обтікання тіл різної форми поряд з обчисленням сили опору важливим також є питання про момент опору. Прямокутна пластинка належить до так званих „некосих” тіл і тому момент опору буде дорівнювати нулеві.

У четвертому розділі на основі методики розробленій у третьому розділі розглянуто задачу про повздовжнє обтікання системи прямокутних пластинок. Розглянуто дві однакові за геометричними розмірами прямокутні пластинки нескінченно малої товщини, розміщеної таким чином, що їх ребра утворюють прямий кут. Геометричні розміри та вибір системи координат зображені на рис.13. Вибір такої геометрії є не випадковим. Так у промисловості, наприклад у хімічній індустрії, при виготовленні полімерів, для перемішування в’язких рідин використовуються різні моделі міксерів. Одною з найбільш поширених моделей є, так званий PPM – міксер (partitioned pipe mixer), який представляє собою циліндричну порожнину з жорстко закріпленою у середині системою прямокутних пластинок.

Постановка задачі складається з системи рівнянь Стокса (1), умов відсутності проковзування рідини по твердій поверхні

(35)

і умови на нескінченності

(36)

Враховуючи лінійність рівнянь Стокса, розв’язок поставленої задачі доцільно будувати за допомогою методу суперпозиції. Головна ідея полягає у представленні поля швидкості потоку рідини навколо системи пластинок у вигляді двох складових, кожна з яких відповідає полю швидкості навколо відповідної пластинки у відсутності іншої. Другим кроком при побудові розв’язку задачі є застосування теорії гідродинамічних потенціалів і, зокрема, представлення поля швидкості потоку у вигляді відповідних компонент потенціалу простого шару

(37)

де , , , , , ; ,  – невідомі густини потенціалів.

У представлені (37) другий (третій) доданок відповідає полю швидкості яке утворюється навколо прямокутної пластинки () при відсутності пластинки ().

Проаналізувавши геометричні особливості (симетричність області), вид граничних умов, а також представлення (37), можна зробити висновок, що функції і можна шукати у вигляді

,

,

,

,

,

, (38)

де ,  – невідомі коефіцієнти і , ,

Після виконання граничних умов (36) і урахування виразів для густин потенціалів (38) задача зводиться до системи з чотирьох інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду відносно функцій , .

Підставивши вирази (38) в отриману систему інтегральних рівнянь, зводимо її до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Показано, що з восьми груп невідомих коефіцієнтів , незалежними є тільки чотири, оскільки мають місце співвідношення

, , , . (39)

В результаті отримано таку систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів густин потенціалів

(40)

де .

Матриця системи (40) є симетричною і блочною, а її елементи виражаються через двократні і трикратні інтеграли. Структура і властивість блоків є подібними до блоків матриць, які розглядались у другому та третьому розділах.

При чисельному розв’язанні системи (40) використовувався метод редукції. Для обчислення ліній течії, інтегрували задачу Коши (19). Обчислені лінії течії зображені на рис.  – рис. 6

Рис. Повздовжнє обтікання системи прямокутних пластинок – лінії течії |

Рис. 15 Повздовжнє обтікання системи прямокутних пластинок – трубка течії

Рис. Повздовжнє обтікання системи прямокутних пластинок – лінії течії

Основним кінематичним механізмом перемішування рідини у стоксових течіях є видовження плям пасивних домішок та їх складання, або так званий алгоритм „пекаря”. Побудовані лінії току дозволяють зробити висновок, що наявність нерухомих перешкод у вигляді саме системи прямокутних пластинок у потоці рідини сприяє ефективному перемішуванню рідини, оскільки при переході через першу пластинку уже на половині її довжини потік „відчуває” присутність другої пластинки, що приводить до накладання одного шару рідини на інший.

У випадку умов (36) вектор сили опору має єдину ненульову компоненту , напрямлену вздовж вісі , тобто

(41)

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі в рамках моделі Стокса розв’язані просторові задачі обтікання таких тіл як прямокутна пластинка та система прямокутних пластинок.

При цьому до основних результатів проведених досліджень відносяться наступні положення.

1)

2)

Проведено порівняльний аналіз ефективності двох підходів до розв’язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Встановлено, що віддалене поле із задовільною точністю може бути визначено за результатами розв’язку нескінченної системи методом простої редукції. Показано, що для обчислення сили опору прямокутної пластинки, у випадку використання асимптотичних властивостей невідомих в нескінченних системах є можливість зменшити порядок скінченої системи в чотири рази при незмінній точності розв’язання задачі.

3) На основі отриманих чисельно-аналітичних розв’язків граничних задач проведено аналіз кінематичних та динамічних характеристик потоку. Побудовані трубки течії та лінії течії в основних площинах симетрії, лінії завихреності, лінії постійної завихреності та тиску.

З проведених у дисертаційній роботі досліджень ліній течії випливає, що збурення потоку, які зумовлені присутністю твердих пластинок, розповсюджуються на далекі відстані (більше трьох характерних лінійних розмірів) від поверхні об’єкта обтікання. Лінії завихреності у випадку нормального обтікання суттєво змінюють свою форму в залежності від відстані до поверхні пластинки. На відстанях менших 0.1 лінійного розміру від поверхні пластинки вони набувають форму пластинки, а при віддаленні від поверхні відтворюють симетрію області. Лінії постійної завихреності вказують на області перемішування рідини – найінтенсивніше ці процеси відбуваються в околі границі області.

4) Проведено розрахунки сили опору прямокутних пластинок в залежності від швидкості потоку, геометричних розмірів пластинок та їх орієнтації відносно потоку рідини. Для випадку нормального і повздовжнього обтікання пластинки сили опору порівняно з аналогічними величинами для рівновеликих еліптичних пластинок.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

АНОТАЦІЯ

Горовий  О.М. Течія Стокса навколо системи прямокутних пластинок. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – механіка рідини, газу та плазми. – Інститут гідромеханіки НАН України, Київ, 2004.

Дисертацію присвячено дослідженню просторових задач Стокса про обтікання прямокутної пластинки та системи прямокутних пластинок стаціонарним потоком в’язкої рідини при малих числах Рейнольдса.

На основі теорії гідродинамічних потенціалів та методу суперпозиції запропоновано і реалізовано ефективну чисельно-аналітичну методику, яка враховує особливості поведінки потоку в околі границі області. Отримані розв’язки використовуються для аналізу основних характеристик потоку. В залежності від геометричних параметрів задач та граничних умов побудовані лінії течії, лінії завихреності, лінії постійного тиску та постійної завихреності. Обчислено сили опору прямокутних пластинок в залежності від швидкості потоку, геометричних розмірів пластинок.

Ключові слова: задача Стокса, прямокутна пластинка, система прямокутних пластинок, метод суперпозиції, гідродинамічні потенціали, лінії течії, лінії завихреності, лінії постійного тиску, сила опору.

АННОТАЦИЯ

Горовой  А.Н. Течение Стокса около системы прямоугольных пластинок. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 – механика жидкости, газа и плазмы. Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена исследованию пространственных задач Стокса об обтекании прямоугольной пластинки и системы прямоугольных пластинок стационарным потоком вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса.

Задача о нормальном обтекании прямоугольной пластинки (вектор скорости потока на бесконечности направлен по нормали к поверхности пластинки) при помощи представления поля скорости и давления через произвольную гармоническую функцию сводится к решению уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле. Представление неизвестной гармонической функции в виде классического потенциала простого слоя приводит к рассмотрению интегрального уравнения Фредгольма первого рода с дальнейшим сведением его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

Показано, что элементы матрицы системы могут быть приведены к однократному численному интегрированию. Анализ полученных выражений, позволяет выделить важные, с точки зрения построения численного алгоритма, свойства матрицы системы – матрица системы является блочно-симметричной. На основании этих свойств установлены рекуррентные соотношения между элементами матрицы системы, позволяющие при ее определении ограничиться вычислением диагональных коэффициентов.

Используя классические результаты для давления на пластинке в задаче о нормальном обтекании круглого диска, получены асимптотические формулы для неизвестных в системе линейных уравнений. Показано, что поведение неизвестных в системе при стремлении одного из индексов к бесконечности определяется поведением давления при подходе к краю пластинки, за исключением угловых точек. Полученные асимптотические формулы дают возможность применить метод улучшенной редукции для численного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений.

Сравнение полей скорости, полученных на основании решения системы уравнений методами простой и улучшенной редукции показало, что на расстояниях 0.1 – 0.2 введенного масштаба длины, поле скорости, с удовлетворительной точностью, может быть определено при помощи метода простой редукции. В тоже время, в ближнем поле, менее 0.01 длины линейного масштаба, более эффективным является метод улучшенной редукции (относительная разность вычисленных скоростей в ближнем поле составляет 10 –15%).

На основе теории гидродинамических потенциалов и метода суперпозиции предложена и реализована эффективная численно-аналитическая методика, которая позволяет получить выражения компонент поля скорости для анализа кинематики потока течения Стокса при наклонном обтекании пластинки и продольном обтекании системы прямоугольных пластинок. Решение соответствующих граничных задач, как и в случае нормального обтекания, сводится к рассмотрению бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с блочно-симметричной структурой.

На основании полученных численно-аналитических решений граничных задач проанализированы кинематические и динамические характеристики потока. В зависимости от геометрических параметров задач и граничных условий построены линии тока (в пространстве и в плоскостях симметрии), линии завихрености, линии постоянного давления и постоянной завихрености, вычислены силы сопротивления. В случае нормального обтекания показано, что линии завихрености в окрестности прямоугольной пластинки (на расстояниях меньше 0.1 линейного размера от поверхности пластинки) приобретают форму самой области, а при удалении от границы воссоздают ее симметрию. Линии постоянного давления и завихрености концентрируются в особенных точках области – углах и ребрах пластинки. Проведено сравнение сил сопротивления с аналогичными величинами для вписанных и описанных эллипсов для рассматриваемых пластинок. Установлено, что в случае длинных пластинок значение силы сопротивления для прямоугольной пластинки может быть аппроксимировано значением силы сопротивления для соответствующей эллиптической пластинки.

Ключевые слова: задача Стокса, прямоугольная пластинка, система прямоугольных пластинок, метод суперпозиции, гидродинамические потенциалы, линии тока, линии завихрености, сила сопротивления.

SUMMARY

Gorovyy O.M. Stokes flow past a system of rectangular plates. – Manuscript.

Thesis for a Candidate Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.05 –mechanics of fluid, gas and plasma. Institute of Hydromechanics of National Academy of Science, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to the research of spatial Stokes problems of steady flow of viscous fluid over a rectangular plate and systems of rectangular plates at small Reynolds numbers.

Based on the theory of hydrodynamic potentials and the method of superposition numerical and analytical technique which takes into account particular features of the flow behavior near boundary is suggested and realized.

Results obtained are applied to analyse the major features of the flow. Streamlines, vorticity lines, isobars are calculated depending on boundary conditions and geometry of problems. The formulas are derived for determining drag force on obstacles.

Key words: Stokes problem, rectangular plate, system of rectangular plates, method of superposition, hydrodynamic potentials, streamline, vorticity line, drag force.

Підписано до друку 25.03.04 р.

Формат 60*80/4. Папір офсетний. Умовн. арк. 0,9.

Друк трафаретний (різографія). Наклад 100 прим.

Надруковано в Інституті гідромеханіки НАН України.

03680, МСП, м. Київ, вул. Желябова, 8/4.