Національна академія наук України

Національне космічне агентство України

Інститут космічних досліджень

Городецький Віктор Георгійович

УДК 517.922.51

ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА, ІНТЕГРАЛЬНИХ ТА ВЕКТОРНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ

01.05.04 – “Системний аналіз і теорія оптимальних рішень”

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Інституті космічних досліджень НАНУ та НКАУ

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

Личак Михайло Михайлович,

Інститут космічних досліджень НАНУ та НКАУ,

завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник

Науменко Костянтин Іванович,

Інститут математики НАНУ, провідний науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Оболенський Анатолій Юрійович

Інститут механіки НАНУ, старший науковий співробітник

Провідна установа: Київський національний університет ім.Тараса Шевченка,

кафедра моделювання складних систем

Захист відбудеться “26” лютого 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджень НАНУ та НКАУ за адресою: 03187, м. Київ-187, просп. академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в архіві Інституту космічних досліджень НАНУ та НКАУ

Автореферат розіслано “24” січня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

д.т.н., с.н.с. Куссуль Н.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У роботі розглядаються нелінійні динамічні системи, математичними моделями яких є системи звичайних диферен- ціальних та різницевих рівнянь, і які, за визначенням В.М. Глушкова, є традиційним об’єктом системного аналізу. Якісне дослідження таких систем включає вивчення, наряду з іншими, питань про стійкість або нестійкість їх станів рівноваги, обмеженість їх рухів, наявність або від- сутність періодичних процесів.

На сьогодні метод функцій Ляпунова є одним з найбільш ефективних методів дослідження таких систем. У той же час його застосування обмежене через відсутність загального алгоритму вибору функцій Ляпунова. Можливим напрямком, у якому йде розвиток методу, є розширення класу таких функцій для різних задач. Одними з перших до цієї проблеми звернулися Барбашин та Красовський, які довели теорему про асимптотичну стійкість в цілому положень рівноваги нелінійних автономних систем, яка використовує функцію Ляпунова, що має від’ємну похідну за часом і не потребує її від’ємної визначеності. Подальший розвиток цих результатів отримано в працях Кордуняну, Матросова та їх послідовників на основі метода порівняння. Значні здобутки в цьому напрямку були одержані при розв’язанні проблеми обмеженості рухів динамічних систем та їх дисипативності. Насамперед, це результати Іошизави, Демидовича, Кордуняну.

Метод cекторів Персидського - один з найбільш ефективних методів по дослідженню нестійкості, що не одержав належного поширення через складність вибору функцій Ляпунова.

Одна з традиційних задач при дослідженні динамічних систем - задача про існування періодичних рухів – на сьогодні вирішується за допомогою критерія Бендіксона або його узагальнень, які мають обмежене застосування.

З викладеного випливає актуальність досліджень, пов’язаних з подальшим узагальненням прямого методу Ляпунова, з розробкою нових методів конструювання функцій Ляпунова, а також створенням апарату для аналізу динамічних систем, який не потребує пошуку таких функцій.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті космічних досліджень НАНУ та НКАУ у відділі “Системного аналізу та керування” відповідно до Угоди про спільну участь у науковій та освітній діяльності між навчально-науковим комплексом ”Центр інформатики і управління” Національного технічного університету України ”Київський політехнічний інститут” та Кібернетичним центром Національної академії наук України.

Мета і задачі досліджень. Мета дисертаційної роботи – узагальнення методу Ляпунова за рахунок розширення класу функцій, які застосовуються для вивчення динамічних систем, а також розробка методів їх дослідження на основі інтегральних та векторних співвід-ношень.

Для досягнення поставленої мети вирішуються такі задачі:

- визначення умов використання знакозмінних функцій Ляпунова для дослідження обмеженості рухів динамічних систем;

- визначення можливості застосування знакозмінних функцій Ляпунова при дослідженні асимптотичної стійкості незбурених рухів для двовимірних систем;

- розробка нової конструкції секторів і методу їхньої побудови;

- розробка алгебраїчного критерія для дослідження нестійкості на основі векторних співвідношень;

- визначення умови відсутності періодичних процесів в динамічних системах з використанням теорії криволінійних інтегралів.

Наукова новизна.

- Вперше для дослідження обмеженості процесів в динамічних системах та асимптотичної стійкості їх станів рівноваги запропоновано знакозмінні функції Ляпунова, які мають знакозмінні похідні в силу рівнянь досліджуваних систем.

- Вперше запропоновано апарат "лінійних секторів" для досліджен- ня нестійкості і y-нестійкості.

- Вперше запропоновано метод виявлення відсутності періодичних рухів двовимірних динамічних систем, який, на відміну від критерія Бендіксона, не потребує знаковизначеності дивергенції системи.

- Доведено новий алгебраїчний критерій, який дозволяє вирішувати задачу про нестійкість в секторі для нелінійних систем без пошуку функцій Ляпунова.

- Вперше розроблено математичну модель двоконтурної системи біоло- гічного очищення стічних вод.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані для аналізу та синтезу систем автоматичного керування, дослідження та прогнозування процесів в екологічних системах та економіці, вивчення фізичних об’єктів різної природи, тобто, для дослідження будь-яких динамічних систем, математичними моделями яких є системи звичайних диференціальних і різницевих рівнянь.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, наведені в дисертаційній роботі, отримані самостійно та опубліковані без співавторів.

Апробація результатів роботи. Результати роботи доповідалися на Українській конференції "Моделювання і дослідження стійкості систем" (1993, 1995рр.) у Київському державному університеті ім. Т.Г. Шевченка, на 9-й Міжнародної Наукової Конференції імені академіка М. Кравчука в Київському політехнічному інституті (2002р.), на Міжнародній конференції "5-і Боголюбовські читання" у Кам'янець-Подільському державному педагогічному університеті (2002р.), на 6-й Кримській Міжнародній Математичній школі "Метод функцій Ляпунова і його застосування" у Таврійському національному університеті (2002р.), на семінарі “Дискретні системи керування” в Інституті космічних досліджень НАНУ (2003р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 8-ми друкованих працях, в тому числі 3 – в фахових журналах та 5 – в збірках матеріалів конференцій або шкіл.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів основної частини, загальних висновків, списку використаної літератури та додатків. Обсяг основного змісту роботи - 125 сторінок, які містять 21 рисунок. Список використаної літератури складається з 120 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету та задачі дослідження, сформульовано наукову новизну результатів, висвітлено їх практичне значення та наведені дані про апробацію роботи.

В першому розділі виконано огляд наукових праць, пов’язаних з темою дисертації, наведено результати інших авторів, які розв’язували аналогічні проблеми або проблеми, наближені до задач, що розглядаються в роботі. Сформульовано місце та поставлені задачі дисертаційних досліджень в цій області.

В другому розділі доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які мають знакозмінну похідну, можуть бути використані для дослідження обмеженості рухів та асимптотичної стійкості нелінійних динамічних систем. Крім цього, запропоновано новий критерій відсутності періодичних процесів у динамічних системах з двома змінними.

Розглядається система виду

, (1)

або в векторній формі де x - точка євклидова простору У системі (1) функції відповідають умові Ліпшищя, та

Розв’язки системи (1) називаються обмеженими, якщо для кожного існує сфера кінцевого радіуса, у середині якої буде залишатися траєкторія при будь-якому де - час початку руху.

Функція W(x) називається нескінченно великою, якщо

(2)

Будемо говорити, що функція допускає нескінченно велику додатню (від’ємну) нижчу межу, якщо існує та нескінченно велика функція W(x) такі, що виконується умова:.

Для аналізу обмеженості в цілому рухів динамічних систем в ро- боті пропонується зручне в користуванні твердження, яке є очевидним узагальненням ідей прямого методу Ляпунова.

Теорема 2.1. Для того, щоб розв’язки системи (1) були обмежені при будь-яких початкових збуреннях, достатньо, щоб існувала додатньо визначена функція V(x,t), така, що допускає нескінченно велику нижчу межу, та така, що її повна похідна за часом (x,t) на k має довільний знак, а поза k має місце співвідношення

, (3)

де k – обмежена множина значень змінних хi.

На відміну від усіх існуючих теорем прямого метода Ляпунова, згідно наступному твердженню можливе використання знакозмінних функцій Ляпунова із знакозмінною похідною.

Теорема 2.3. Якщо існує функція V(x,t), яка допускає нескінченно велику додатню нижчу межу, і при цьому її повна похідна за часом у силу системи (1) допускає нескінченно велику від’ємну нижчу межу, то рухи цієї системи обмежені при будь-яких початкових збуреннях.

Наведені вище класи функцій Ляпунова можуть бути використані і для дослідження асимптотичної стійкості в деяких випадках.

Розглядається окремий випадок системи (1) - система:

(4)

Теорема 2.4. Якщо для системи (4) виконуються умови теореми 2.3, а також на всій фазовій площині відсутні періодичні рухи, і початок координат – єдине положення рівноваги, то це положення рівноваги асимптотично стійке при будь-яких початкових збуреннях.

Як альтернатива до відомого критерія Бендіксона, який дає умови відсутності періодичних рухів на площині, доведено таке твердження.

Теорема 2.5. Для того, щоб в деякій однозв'язній області Н, яка включає положення рівноваги, були відсутні періодичні рухи, достатньо, щоб для усіх точок області виконувалась будь-яка з двох груп умов:

1)

2) при y=0 и x>0 (або при x=0 та y>0).

В третьому розділі пропонується для виявлення нестійкості використання "лінійних секторів", а також нового алгебраїчного критерія.

Розглянуто систему:

(9)

де - функції, що задовольняють умові Ліпшиця, Xi(0) = 0. При дослідженні нестійкості положень рівноваги системи (9) широко використовується метод секторів Персидського К.П.

Нехай - замкнена область у -околі нуля , обмежена деякою поверхнею , що включає початок координат (будемо називати її бічною поверхнею), і сферичною поверхнею.

Будемо казати, що траєкторії системи (9) перетинають бічну поверхню області строго в одному напрямку, якщо виконується одна з таких умов:

1.

де, усі точки траєкторії системи (9), що проходить через точку М, будуть зовнішніми точками області, а - внутрішніми.

2. Для будь-якого моменту часу t0 і будь-якої точки

всі точки траєкторії системи (9), що проходить через точку М, будуть внутрішніми точками області , а - зовнішніми.

Якщо в силу системи (9) траєкторії перетинають бічну поверхню області строго в одному напрямку, то є сектор для системи (9).

Розглядаються неперервні функції, у яких також неперервні часткові похідні. Нехай крім цього, і в деякій області виконується одна з умов: або. Персидським К.П. доведена така теорема.

Теорема 3.1. Якщо для системи (9) існує сектор і функція V, для якої в цьому секторі в силу рівнянь (9) виконується умова, то нульовий розв’язок системи (9) - нестійкий.

Розглянуто окремі випадки системи (9) - системи (10) і (11):

(10)

(11)

де - найнижчий степінь одночленів у системі (10), - степінь одночленів порядку вище; індекси при показниках степеня означають: 1-й індекс - номер рівняння системи, 2-й - номер змінної з даним показником степеня, 3-й - номер одночлена степеня k (індекс р) або степеня riq (індекс q) у даному рівнянні.

Система (11) називається визначальною відносно системи (10), яка, в свою чергу, називається повною. Або система (11) називається системою наближення степеня k для системи (10).

Для конструювання секторів використовуються поверхні виду

(12)

де Вi = const, тобто n-вимірні площини, що проходять через початок координат.

Запропоновані нижче теореми дозволяють робити висновки про нестійкість системи (10) по її наближенню степеня k (система (11)). Область називається центральною лінійною (надалі - "лінійною"), якщо її бічна поверхня утворена перетинанням площин типу (12).

Теорема 3.2. Якщо лінійна область є сектор для визначальної системи (11), то вона ж є сектором і для повної системи (10).

Розглядається лінійна форма типу:

(13)

Теорема 3.3. Якщо в деякій лінійній області для функції (13) у силу визначальної системи (11) виконується умова, то ця ж умова буде виконуватися в цій області і для повної системи (10).

Пропонується більш зручне формулювання теореми 3.1.

Теорема 3.1,а. Якщо існує деяка функція V, для якої в силу системи (9) в області маємо , а в області в силу системи (9) існує сектор, то початок координат для системи (9) – нестійкий.

Наслідок 3.1.1 Якщо існує область , у якій хоча б для однієї з координат хі в силу системи (9) виконується умова

(14)

а в деякій області в силу системи (9) існує сектор, то положення рівноваги системи (9) – нестійке.

Співвідношення (14) означає, що для виявлення нестійкості узята найпростіша функція:

(15)

Крім того очевидно, що воно відбиває зростання з часом.

Очевидно, також, що існування хоча б однієї координати, для якої виконується (14), є необхідною умовою нестійкості. Отже, при нестійкості завжди існує хоча б одна область, у якій існує хоча б одна функція виду (15).

На підставі вищесказаного пропонується схема дослідження нестійкості системи (10) у просторі. Нехай, наприклад, координатою, яка зростає за абсолютною величиною, для системи (11) є. Нехай також площинами, що утворять сектор, є поверхні виду:

(16)

Очевидно, що ортогональними проекціями цих площин на координатні площини x10 xi є прямі

(17)

які утворюють плоскі сектори. Очевидно також, що, якщо траєкторії системи (11) будуть перетинати в грані (16) сектора в одному напрямку (тільки усередину або тільки назовні), то проекції цих траєкторій будуть перетинати в тому ж напрямку бічні грані (17) плоских секторів.

З урахуванням цього алгоритм дослідження системи (10) може мати таку послідовність.

1. Виділяється визначальна система (11).

2. Визначаються координата, що зростає за абсолютною величиною, та область, де має місце цей ріст.

3. Будуються проекції області на координатні площини. Якщо, наприклад, координатою, що зростає за абсолютною величиною, є, то такими площинами доцільно взяти Досліджується система (11) на наявність секторів в областях – про-

екціях області на координатні площини.

5. При наявності сектора в області робиться висновок про нестій- кість положення рівноваги систем (11) і (10), при неможливості його побудови в даній області проводиться аналіз на наявність сектора в ін- ших областях, де має місце ріст координати за абсолютною величиною.

Очевидно, що запропонована схема дозволяє також досліджувати нестійкість по відношенню до частини змінних методом секторів.

Для отримання алгебраїчного критерія нестійкості розглядається поведінка траєкторій системи (9) поблизу нуля. Якщо при цьому напрямки векторів и співпадають, тобто

,

то будемо казати, що для системи (9) існує власний напрямок або власний вектор.

Якщо рух зображуючої точки відбувається уздовж власного напрямку, то траєкторію цього руху будемо називати власною. В свою чергу, власну траєкторію будемо називати траєкторією входу або виходу в залежності від того, наближається зображуюча точка до початку координат, чи віддаляється від нього.

Теорема 3.4. Для того, щоб нульове положення рівноваги системи (9) було нестійким, достатньо, щоб вона мала хоча б одну траєкторію виходу.

Для знаходження траєкторій виходу використовується система рівнянь напрямків, яка для системи (9) має такий вигляд:

де:

Наслідок 3.4. Для того, щоб нульовий розв'язок системи (9) був нестійкий, достатньо, щоб її система рівнянь напрямків мала хоча б один дійсний корінь, і щоб відповідна йому власна траєкторія була траєкторією виходу.

В четвертому розділі йдеться про застосування отриманих результатів для дослідження реальних динамічних систем.

Вивчаються процеси в установці вольтової дуги з нелінійною характеристикою , еквівалентна схема якої наведена на рис.1.

Рис. 1. Електрична схема установки вольтової дуги

З практичної точки зору важливим окремим випадком задачі, що розглядається, є ситуація, коли джерело напруги має необмежену потужність, і малий, прагнучий до 0, внутрішній опір. Цей випадок реальний при живленні дуги від мережі електропостачання, потужність якої велика, а внутрішній опір малий.

В роботі виведено умови обмеженості процесів в установці з використанням знакозмінних функцій Ляпунова.

Розглянуто приклад застосування методики виявлення нестійкості, яка запропонована в розділі 3. Досліджується система:

(18)

Виділяється з неї визначальна система

(19)

для якої координатою, що зростає за абсолютною величиною, буде x1. Причому це має місце при будь-яких x3 в областях, які показані на рис.2.

Проекція лінійного сектора в просторі на координатну площину може мати вигляд, що наведено на рис. 3. Тут прямі

(20)

- верхня та нижня грані сектора, що будується, функції та

Рис. 2. Області зростання за абсолютною величиною

U2Н=х2 - k2Нх1 – функції Ляпунова, що відповідають цим прямим. Для визначення напрямку руху траєкторій на гранях використовуються похідні 2В та 2Н.

Рис. 3. Проекція лінійного сектора в на площину x10x2

Cкладаємо умови перетину бічних поверхонь сектора всередину:. З урахуванням (20) після перетворень отримаємо: (де - будь-яке можливе значення кутового коефіцієнту проекції сектора на площину x10x3), звідки при отримаємо:.

Для нижньої бічної грані сектора на площині x10x2 умови перетину всередину після перетворень мають вигляд:

Аналогічно отримані умови перетину всередину проекції сектора в просторі на площину x10x3. Зводимо всі нерівності – умови існування сектора, що перетинається всередину, в систему:

Аналіз нерівностей показує, що ця система сумісна. Отже, шуканий сектор існує в області зростання x1 за абсолютною величиною (рис.2). Тоді положення рівноваги систем (18) та (19) – нестійке.

Досліджено процеси в системі біологічного очищення стічних вод. Установка для переробки стічних вод (рис. 4) містить дві основні частини: аератор і пристрій осадження. Аератор уявляє собою біологічний реактор, що містить

Рис 4. Система біологічного очищення стічних вод

мікроорганізми, в якому відбувається реакція зі стічними водами і киснем повітря. Процеси в установці описуються системою рівнянь:

, (21)

де: - вхідна концентрація забруднень, - концентрація забруднень в аераторі, - концентрація мікроорганізмів в аераторі, - концентрація мікроорганізмів при поверненні з відстійника, - об’єм суміші в аераторі, , d, g і К – постійні параметри.

Позначивши та , після перетворень отримуємо:

(22)

де

(23)

Аналіз системи (22) проведено за допомогою функції . Її повна похідна згідно із системою (22):

(24)

Умова, при якій допускає нескінченно велику від’ємну нижчу межу (тобто, при якій рухи системи обмежені в цілому), має вигляд:

. (25)

Виявлено, що в цій області система має єдине положення рівно- ваги, і траєкторії системи входять в обмежену область (до якої належить положення рівноваги) та залишаються в ній. Згідно з теоремою 2.4, для того, щоб це положення рівноваги було асимптотично стій- ким, достатньо показати, що в розглянутій області відсутні періодичні рухи. Це підтверджується за допомогою критерія Бендіксона.

На основі алгебраїчного критерію (розділ 3) виведено умови існування власного вектора та умови нестійкості стану рівноваги системи (22).

В роботі також проведено дослідження системи очищення з додатковим контуром, який регулює концентрацію кисню. Розроблена в дисертації математична модель такої системи має три змінних і складається з трьох рівнянь. Її аналіз проводився відносно частини змінних: концентрації забруднень, або концентрації забруднень та концентрації розчиненого кисню. Показано, що в обох випадках при будь-яких значеннях коефіцієнтів рівнянь процеси в системі обмежені стосовно концентрації забруднень або концентрації забруднеь та концентрації розчиненого кисню.

У висновках проаналізовано основні результати, отримані в дисертації. В додатках А і Б наведені фазові траєкторії систем, які розглянуті як приклади, що ілюструють критерій відсутності періо- дичних рухів (розділ 2) та алгебраїчний критерій нестійкості (розділ 3). Розрахунок траєкторій виконано методом Рунге-Кутта в середовищі Mathcad 2001 Professional.

ВИСНОВКИ

В дисертації запропоновано узагальнення прямого методу Ляпунова за рахунок послаблення умов, що накладаються на функції Ляпунова, а також розроблені метод дослідження нестійкості на базі співвідношень векторного аналізу та критерій відсутності періодичних рухів, який використовує теорію криволінійних інтегралів.

1. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження обмеженості рухів багатовимірних динамічних систем.

2. Доведено, що знакозмінні функції Ляпунова, які допускають внаслідок рівнянь системи, що аналізується, знакозмінну похідну за часом, можуть бути використані для дослідження асимптотичної стійкості станів рівноваги двовимірних динамічних систем.

3.

який може застосовуватись для дослідження систем із незнаковизначеною дивергенцією.

4.

існування сектора зводиться до аналізу системи алгебраїчних не- рівностей. Спільне використання наближення степеня k системи, що досліджується, з апаратом лінійних секторів спрощує аналіз.

5. Розроблений в роботі алгебраїчний метод дослідження нестійкос- ті не потребує, на відміну від прямого метода Ляпунова, пошуку функ- цій Ляпунова.

6. Вдосконалені в роботі математичні моделі реальних динамічних систем більш точно відображують процеси в цих системах і, як наслі- док, дозволяють отримати більш вірогідні практичні результати.

ПЕРЕЛІК ПРАЦЬ ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ

ДИСЕРТАЦІЇ

1. Городецкий В.Г. Об ограниченности решений и асимптотических свойствах некоторых систем дифференциальных уравнений. // Украинский математический журнал. - 1994. - Т. 46, №7. - С.944- 946.

2. Городецкий В.Г. Об исследовании нелинейных неавтономных систем прямым методом Ляпунова. // Кибернетика и системный анализ. - 1996, №4. - С. 166-169.

3. Городецкий В.Г. О выявлении неустойчивости нелинейных систем методом секторов. // Проблемы управления и информатики. – 2001, №2. - С. 22-32.

4. Городецкий В.Г. Некоторые обобщения 2-го метода Ляпунова. // Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев, 1994. - С.30.

5. Городецкий В.Г. Об ограниченности решений неавтономных систем // Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев, 1995. - С.29.

6. Городецкий В.Г. Об исследовании неустойчивости решений некоторых систем методом секторов Персидского. // Матеріали 9-ї міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. 16-19 травня 2002р., Київ. - С. 252.

7. Городецкий В.Г. Об одной разновидности секторов Персидского. // Теорія еволюційних рівнянь: міжнародна конференція. П'яті Боголюбовські читання. - Кам'янець-Подільський, 22-24 травня 2002р. - С. 49.

8. Городецкий В.Г. Применение метода секторов Персидского для исследования систем одного класса. // 6-я Крымская Международная математическая школа "Метод функций Ляпунова и его приложения". Тезисы докладов. Алушта, 8-15 сентября 2002г. - С. 51.

АНОТАЦІЇ

Городецький В.Г. Дослідження динамічних характеристик нелінійних систем за допомогою функцій Ляпунова, інтегральних та векторних співвідношень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук по спеціальності 01.05.04 - Системний аналіз та теорія оптимальних рішень. - Інститут космічних досліджень НАНУ і НКАУ, Київ, 2004.

У роботі розглядаються динамічні системи, математичними моделями яких є системи нелінійних звичайних диференціальних і різницевих рівнянь. Пропонуються узагальнення прямого методу Ляпунова для вивчення таких характеристик динамічних систем, як обмеженість в цілому їх рухів, асимптотична стійкість положень рівноваги, їх нестійкість, обмеженість в цілому рухів і нестійкість положень рівноваги динамічних систем по відношенню до частини змінних, існування періодичних рухів.

В роботі доведені теореми, які дозволяють досліджувати нелінійні динамічні системи за допомогою знакозмінних функцій Ляпунова, а також запропоновано нову конструкцію для виявлення нестійкості – ”лінійний сектор“, завдяки якій питання про нестійкість вирішується на основі аналізу системи алгебраїчних нерівностей. Запропоновано нові алгебраїчні критерії нестійкості та відсутності періодичних рухів.

Ключові слова: динамічна система, обмеженість, нестійкість, функція Ляпунова, сектор, періодичний рух.

Gorodetskii V.G. The investigation of the dynamical characteristics of nonlinear systems by the use of Lyapunov functions, integral and vector relations. - Manuscript.

Thesis for the Candidate degree in Physics and Mathematics by speciality 01.05.04 - System analysis and theory of optimal decisions. – Space

Research Institute of NAS and NSA of Ukraine, Kyiv, 2004.

The dynamical systems, which mathematical models there are the systems of nonlinear ordinary differential and difference equations, are considered in dissertation. The generalizations of the direct Lyapunov method are offered to study such charakteristics of the dynamical systems, as boundedness on the whole of their motions, asymptotic stability of equilibrium points and their instability, boundedness on the whole of motions and equilibrium points instability of the dynamical systems with the respect to part of the variables.

There are proved theorems in the dissertation, which allow to investigate the nonlinear dynamical systems by the use of Lyapunov functions with alternating sign, and new construction for discovering of instability - "linear sector“ - is also offered, due to which the problem of instability detection is solved by the analysis of the system of algebraic inequalities. The new criteria of instability and of the absence of periodical movement are proposed.

Key words: dynamical system, boundedness, instability, Lyapunov function, sector, periodical movement.

Городецкий В.Г. Исследование динамических характеристик нелинейных систем при помощи функций Ляпунова, интегральных и векторных соотношений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.04 – Системный анализ и теория оптимальных решений. – Институт космических исследований НАНУ и НКАУ, Киев, 2004.

В работе рассматриваются динамические системы, математическими моделями которых являются системы нелинейных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Предлагаются обобщения прямого метода Ляпунова для изучения таких характеристик динамических систем, как ограниченность в целом их движений, асимптотическая устойчивость положений равновесия и их неустойчивость, ограниченность в целом движений и неустойчивость положений равновесия динамических систем по отношению к части переменных, наличие периодических движений.

В первом разделе дается обзор научных трудов, связанных с темой диссертации, определено место исследований в данной области.

Во втором разделе доказываются теоремы, позволяющие получить условия ограниченности в целом движений динамических систем, в том числе, - с использованием знакопеременных функций Ляпунова, имеющих в силу исследуемой системы знакопеременную производную. Аналогичные теоремы доказаны для ограниченности в целом по отношению к части переменных и для дискретных систем. Для нелинейных систем на плоскости доказана возможность применения знакопеременных функций Ляпунова при исследовании асимптотической устойчивости. Доказан новый критерий отсутствия периодических движений на плоскости.

В третьем разделе предлагается конструкция “линейный сектор”, которая позволяет существенно упростить исследование неустойчивости положений равновесия динамических систем, не допускающих линеаризацию. При этом отпадает необходимость выбора типа функции Ляпунова, и исследование сводится к анализу системы алгебраических неравенств. Аналогичный подход справедлив и для решения задачи о неустойчивости по отношению к части переменных. Предложен новый алгебраический критерий неустойчивости.

В четвертом разделе рассмотрены различные приложения приведенных выше теоретических положений. В частности проведено исследование процессов вольтовой дуги в условиях питания от системы электроснабжения большой мощности с малым внутренним сопротивлением.

Проведено исследование неустойчивости для системы трех уравнений, не допускающих линеаризацию. Применение аппарата линейных секторов в сочетании с приближением степени k позволило свести решение вопроса о неустойчивости к анализу системы алгебраических неравенств.

Исследованы процессы в системе биологической очистки для одно- и двухконтурной систем. В первом случае определены условия, при которых процессы в системе ограничены в целом, и имеет место асимптотическая устойчивость единственного состояния равновесия системы, а также его неустойчивость. Для вновь разработанной модели двухконтурной системы исследовалась ограниченность в целом по отношению к концентрации загрязнений, а также по отношению концентрации загрязнений и расходу кислорода, нагнетаемого компрессором. И в том, и другом случае оказалось, что процессы ограничены при любых допустимых значениях коэффициентов уравнений.

Ключевые слова: динамическая система, ограниченность, неустойчивость, функция Ляпунова, сектор, периодическое движение.