МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Глущенко Юлія Анатоліївна

УДК 539.3

ДВОВИМІРНІ ЗАДАЧІ ЕЛЕКТРОПРУЖНОСТІ

ДЛЯ ПІВПРОСТОРУ ТА ШАРУ З ОТВОРАМИ

ТА ТРІЩИНАМИ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Донецькому національному університеті, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор

Калоєров Стефан Олексійович,

Донецький національний університет

Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Шульга Микола Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділу електропружності;

кандидат фізико-математичних наук,

ст. науковий співробітник

Ложкін Володимир Миколайович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

ст. науковий співробітник відділу аналітичних

методів механіки гірничих порід

Провідна установа – Інститут прикладних проблем механіки і

математики ім. Я. С. Підстригача НАН України,

відділ теорії фізико-механічних полів

Захист відбудеться 22.04. 2004 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.05 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, головний корпус, математичний факультет, ауд. 603.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Донецького національного університету (83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24).

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24, Донецький національний університет, вченому секретарю спеціалізованої ради К 11.051.05.

Автореферат розісланий 21.03.2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох галузях сучасного машинобудування, радіоелектроніки, електроакустики, ультразвукової й вимірювальної техніки та інших широко застосовуються конструкції, елементи яких виготовлені з п'єзоелектричних матеріалів, що мають з технічних міркувань отвори, а з технологічних або експлуатаційних причин – також додаткові концентратори напружень типу тріщин. Під дією зовнішніх силових і електричних полів біля цих концентраторів виникають високі рівні напружень і густини внутрішньої енергії, які можуть призвести до руйнування конструкцій; тому їх необхідно враховувати при розрахунку конструкцій на міцність і тріщиностійкість. Особливо висока концентрація напружень і густини внутрішньої енергії спостерігається, коли отвори або тріщини розміщуються поблизу зовнішнього краю тіла, який найчастіше розглядається плоским (прямолінійним), тобто у випадку півпростору (півплощини) з отворами та тріщинами. У багатьох реальних задачах інженерної практики відстані від концентраторів до двох протилежних границь невеликі, тобто тіло розглядається як шар або смуга з отворами та тріщинами. У зв'язку з цим необхідно мати досить надійні методи дослідження електропружного стану багатозв’язного півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами. Тому розробка таких методів є однією з актуальних задач механіки деформівного твердого тіла. Вирішенню деяких проблем у цій області й присвячена дана дисертаційна робота.

Метою дисертації є вивчення впливу геометричних характеристик і електропружних властивостей багатозв’язного анізотропного півпростору і шару, зокрема півплощини і смуги, з отворами та тріщинами і виду електромеханічного навантаження на їх електропружний стан (ЕПС), встановлення закономірностей якісних і кількісних змін. Для досягнення цієї мети необхідно було–

розробити та розвинути математичні методи розв’язання загальної двовимірної (плоскої) задачі електропружності для багатозв’язного півпростору і шару (півплощини і смуги);–

із застосуванням цих методів отримати теоретичні розв’язки конкретних задач з їх алгоритмізацією;–

скласти комплекси програм з чисельної реалізації розроблених алгоритмів на ЕОМ;–

провести чисельні дослідження з метою встановлення закономірностей, які стосуються електропружного стану розглянутих багатозв’язних півпростору та шару (півплощини та смуги).

Об'єктом дослідження є виникаюча при розрахунках на міцність проблема вивчення електропружного стану півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами.

Предметом дослідження є розробка методів визначення двовимірного електропружного стану півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами з урахуванням взаємодії цих концентраторів ЕПС між собою та з плоскими (прямолінійними) границями, способів зовнішніх навантажень і п'єзоелектричних властивостей матеріалів.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети у роботі набули розвитку ряд підходів. Зокрема, введено та досліджено узагальнені комплексні потенціали двовимірної задачі електропружності для багатозв’язного тіла і півпростору з отворами та тріщинами; показано ефективність їх використання при розв’язанні задач і обґрунтовано вірогідність отриманих результатів; розроблено методику, що дозволяє зводити задачі електропружності для півпростору з внутрішніми отворами та тріщинами до задач лінійного спряження для розрізів у багатозв’язній області, з розв’язку яких отримуються загальні вирази комплексних потенціалів з виділеними сингулярностями у кінцях тріщин, що точно задовольняють граничні умови на плоскій границі півпростору і наближено – на поверхнях отворів і тріщин; розроблено чисельно-аналітичний метод розв’язання задач електропружності для півпростору та шару з довільно розміщеними отворами та тріщинами, у тому числі й такими, що перерізають плоскі границі, який ґрунтується на використанні загальних властивостей комплексних потенціалів з виділеними сингулярностями у кінцях тріщин і наближеному задоволенні граничних умов як на поверхнях отворів і тріщин, так і на плоских границях; отримано формули для знаходження наближених значень коефіцієнтів інтенсивності напружень, індукції та напруженості поля (КІНІН) у кінцях тріщин.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов'язані з фундаментальною науково-дослідною роботою, що фінансувалась Міністерством освіти і науки України: “Розробка методів дослідження напруженого стану композиційних тіл з концентраторами напружень та їх застосування” (№ держреєстрації 0101U005377, 2001–2003 рр. на підставі рішення науково-експертної ради). Частина результатів дисертації використана в звітах по зазначеній НДР.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що– 

введено та досліджено комплексні потенціали двовимірної задачі електропружності для півпростору з отворами та тріщинами, які дозволяють визначати основні характеристики електропружного стану (напруження, деформації, індукцію, напруженість) і густину внутрішньої енергії у будь-яких точках тіла, а також КІНІН для вершин тріщин;– 

розроблено підхід до розв’язання задач електропружності для півпростору (півплощини) з внутрішніми отворами та тріщинами, що ґрунтується на зведенні цих задач до систем задач лінійного спряження, з розв’язку яких отримуються загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничні умови на плоскій (прямолінійній) границі та наближено – на поверхнях (контурах) отворів і тріщин;– 

розроблено методику розв’язання задач для півпростору і шару (півплощини і смуги), яка ґрунтується на наближеному задоволенні граничних умов на всіх границях тіл та дозволяє розв’язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але й для випадку, коли вони перерізають плоскі (прямолінійні) границі зазначених тіл;– 

розв’язано низку задач електропружності для півплощини (півпростору) і смуги з отворами та тріщинами за умов дії силових факторів і різниці електростатичних потенціалів;– 

встановлено нові закономірності впливу п'єзоелектричних характеристик матеріалу, геометричних розмірів отворів і тріщин, їх кількості, взаємного розміщення один відносно одного і відносно плоских (прямолінійних) границь на значення основних характеристик електропружного стану, густини внутрішньої енергії та КІНІН.

Вірогідність основних результатів і висновків роботи забезпечується строгістю постановки задач і використовуваних математичних методів; забезпеченням високого ступеня точності задоволення умов, що задаються в точках границь тіл; узгодженням результатів для окремих випадків з відомими в літературі, отриманими з використанням інших методів; узгодженням результатів, отриманих у розділах 3 і 4 при точному та наближеному задоволенні граничних умов на прямолінійній границі півплощини.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості застосування розроблених методик розв’язання задач і програмних засобів для їх чисельної реалізації при розрахунках, пов'язаних з проектуванням і визначенням робочих параметрів елементів конструкцій з п'єзоелектричних матеріалів, які містять отвори та тріщини поблизу однієї або двох протилежних границь; в отриманні результатів, які дозволяють оцінювати взаємовплив отворів, тріщин і зовнішніх границь тіла залежно від кількості отворів і тріщин, їх близькості один до одного, взаємного розміщення та комбінації, а також вплив п'єзоелектричних параметрів матеріалу тіла на розподіл основних характеристик електропружного стану і густини внутрішньої енергії.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені й обговорені на наукових конференціях і семінарах, у тому числі на науковій конференції Донецького національного університету за підсумками науково-дослідної роботи за період 1999-2000 рр. (м. Донецьк, 2001 р.), на I і II Міжнародних науково-практичних конференціях “Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела” (м. Донецьк, 2001 р., 2003 р.), Міжнародній науковій конференції “Актуальные проблемы механики сплошных сред” (м. Донецьк, 2002 р.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на науковому семінарі кафедр теорії пружності і обчислювальної математики, теоретичної і прикладної механіки Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід Інституту прикладної математики і механіки НАН України під керівництвом академіка НАН України О.С. Космодаміанського (м. Донецьк); об'єднаному науковому семінарі відділів електропружності та реології Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України під керівництвом члена-кореспондента НАН України М.О. Шульги та професора Ю.М. Подільчука (м. Київ); науковому семінарі відділу теорії фізико-механічних полів Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом професора О.Р. Гачкевича (м. Львів).

Публікації і особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковано у 8 наукових працях [1–8], з яких 7 статей – у наукових журналах, затверджених ВАК України фаховими виданнями [1–5, 7, 8], 6 тез і матеріалів наукових конференцій [1, 2, 5–8].

Основні результати були отримані автором самостійно. У роботах [2–8] співавтору С.О. Калоєрову належить участь у постановці розглянутих задач, виборі методу дослідження й обговоренні отриманих результатів. У роботах [2, 3] співавтору Г.І. Баєвій належить участь в отриманні диференціальних рівнянь для функцій напружень та індукції, у введенні комплексних потенціалів та отриманні через них виразів характеристик електропружного стану.

Особисто Ю.А. Глущенко належать такі, включені до дисертаційної роботи та публікацій, наукові результати:– 

побудова загальних виразів комплексних потенціалів двовимірної задачі електропружності для півпростору і півплощини з отворами та тріщинами [4, 5];– 

розробка підходу до розв’язання задач електропружності для півпростору з внутрішніми отворами та тріщинами з отриманням загальних виразів комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничні умови на плоскій границі і наближено – на поверхнях отворів і тріщин [1, 4, 5, 6];– 

розробка методу розв’язання задач для півпростору і шару (півплощини і смуги), який ґрунтується на наближеному задоволенні граничних умов на всіх границях тіл та дозволяє розв’язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але й для випадку, коли вони перерізають границі півпростору та шару (півплощини та смуги) [8];– 

побудова теоретичних розв’язків низки практично важливих задач з їх алгоритмізацією;– 

складання комплексів програм для чисельної реалізації алгоритмізованих розв’язків;– 

проведення чисельних досліджень електропружного стану півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами з виявленням нових електромеханічних закономірностей [1, 4, 6–8].

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 227 джерел, і двох додатків. У роботі 43 таблиці і 39 рисунків. Загальний обсяг дисертації складає 245 сторінок, з яких 20 сторінок займає список літератури, 82 сторінки – додатки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми; сформульовано мету роботи й основні наукові результати, що виносяться на захист; зазначено зв'язок роботи з науковими програмами, планами; охарактеризовано наукову новизну, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора в спільні публікації.

У першому розділі викладено аналітичний огляд відомих у літературі методів дослідження напружено-деформованого та електропружного станів багатозв’язних тіл, півпростору і шару, критеріїв руйнування та методів визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН), коефіцієнтів інтенсивності напружень, індукції та напруженості поля (КІНІН). Аналізом охоплено 227 робіт вітчизняних і зарубіжних авторів. Відзначено провідну роль у розвитку теорії та її застосуванні щодо розв’язування практичних задач робіт В.М. Алєксандрова, А.Е. Бабаєва, А.В. Бєлоконя, Я.Й. Бурака, О.О. Ватульяна, Й.І. Воровича, О.Р. Гачкевича, Я.М. Григоренка, Д.В. Грилицького, В.Т. Грінченка, О.М. Гузя, С.О. Калоєрова, А.О. Камінського, Г.С. Кіта, О.С. Космодаміанського, В.Д. Кубенка, Б.О. Кудряв-цева, С.Г. Лехницького, Є.М. Морозова, Н.Ф. Морозова, В.І. Моссаковського, М.І. Мусхелішвілі, В.А. Осадчука, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Ю.М. Поділь-чука, Я.С. Підстригача, Г.Я. Попова, А.К. Пріварнікова, В.Л. Рвачова, М.П. Сав-рука, І.К. Сєнченкова, В.І. Сторожева, А.Ф. Улітка, Ю.А. Устінова, Л.А. Філь-штинського, І.Ю. Хоми, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, М.О. Шульги, Ірвіна, Койтера, Орована, Сі, Ердогана, Ешелбі та багатьох інших вітчизняних і зарубіжних вчених. За допомогою аналізу літературних джерел виявлено області теорії та практики, які внаслідок наявності математичних труднощів до даного часу залишалися мало дослідженими. Встановлено, що для двовимірного електропружного півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами практично немає робіт з постановки задач, розробки методів їх розв’язання та розв’язків конкретних задач. У зв’язку з цим відзначено актуальність розробки чисельно-аналітичних методів дослідження електропружного стану та розв’язання крайових задач для багатозв’язного анізотропного півпростору та шару (півплощини та смуги).

У другому розділі отримано основну систему диференціальних рівнянь двовимірної задачі електропружності, введено та досліджено узагальнені комплексні потенціали; окреслено їх застосування до розв’язання задач. Як окремий, розглянуто випадок плоского електропружного стану півпростору, в кожній точці якого існує площина матеріальної симетрії, перпендикулярна до твірних циліндричних поверхонь порожнин.

Розглядається півпростір, ослаблений циліндричними порожнинами та плоскими тріщинами. У поперечному перерізі матимемо багатозв’язну нижню півплощину з прямолінійною границею L0 і контурами отворів Ll (). Під дією механічних та електричних навантажень на поверхнях порожнин і тріщин півпростір перебуває в умовах двовимірного електропружного стану, який не змінюється у напрямку твірних порожнин. На нескінченності задано однорідний електропружний стан. На смужках скінченної частини плоскої границі, яким у поперечному перерізі відповідають відрізки [cn, dn], задано зусилля та індукцію або переміщення та індукцію.

Для визначення ЕПС розглянутого півпростору використовуються узагальнені комплексні потенціали . Знайдено загальні вирази комплексних потенціалів та їх похідних, визначених у багатозв’язних нижніх півплощинах , які отримані з заданої півплощини афінними перетвореннями , де – комплексні параметри характеристичного рівняння 8-го порядку. Півплощини , як і , є багатозв’язними і мають загальну прямолінійну границю L0 та отвори з контурами Lkl, які відповідають Ll при зазначених афінних перетвореннях.

У другому розділі також наведено розв’язки задач електропружності для прямокутної пластинки, отримані при використанні поліноміальних виразів функцій напружень, індукції та потенціалу поля, а також – за допомогою комплексних потенціалів. При цьому на сторонах прямокутника задано силові або електричні навантаження. Розглянуто необхідні для подальших досліджень випадки, пов'язані з вивченням електропружного стану багатозв’язної півплощини та смуги, на прямолінійних границях яких індукція дорівнює нулю.

У третьому розділі розроблено методику розв’язання задач електропружності для півпростору (півплощини) з внутрішніми отворами та тріщинами, в якій точно задовольняються граничні умови на плоскій (прямолінійній) границі та наближено – на поверхнях (контурах) отворів і тріщин.

За допомогою методу аналітичного продовження граничні умови на плоскій границі зведено до системи чотирьох задач лінійного спряження для розрізів у багатозв’язній області, з розв’язку яких отримано загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють зазначені граничні умови. З використанням методів конформних відображень і розвинень у ряди Лорана отримано загальні вирази комплексних потенціалів з виділеними сингулярностями у вершинах тріщин, які вважаються “вузькими” еліпсами. Отримано формули для обчислення КІНІН. Розглянуто випадки, коли плоска (прямолінійна) границя півпростору (півплощини) непідкріплена або жорстко підкріплена та індукція на ній дорівнює нулю.

У випадку непідкріпленої плоскої границі похідні комплексних потенціалів подано у вигляді (1), де [1, 5] (2); (3); (4); (5); , , , , , , , Rkl, mkl – відомі сталі, які залежать від геометричних та п'єзоелектричних характеристик розглянутого півпростору і заданих зовнішніх навантажень; L’– сукупність відрізків cndn; hk(t) – функції, які залежать від навантаження L’’; ,  – змінні, які обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів Lkl нижніх півплощин і зовнішності уявних еліпсів верхніх півплощин, отриманих при аналітичному продовженні; akln – невідомі сталі, які визначаються з граничних умов на контурах отворів або тріщин за допомогою дискретного методу найменших квадратів.

Якщо плоска границя жорстко підкріплена і індукція на ній дорівнює нулю, то функції також подаються у вигляді (1), але в цьому випадку , hk(t)=0.

У третьому розділі наведено розв’язки низки задач для півплощини з отворами та тріщинами. Зокрема, розв’язано задачі для півплощини з одним отвором або однією тріщиною, з отвором і тріщиною, у тому числі такою, що виходить на контур отвору, зі скінченним або нескінченим рядом отворів чи тріщин уздовж границі. Розглянуто випадки розтягу півплощини, внутрішнього тиску на контурі отвору (тріщини), тиску на границі півплощини, дії потенціального поля з напруженістю . Для всіх задач проведено докладні чисельні дослідження з метою виявлення впливу анізотропії, жорсткості та проникності матеріалу, геометричних розмірів та кількості отворів і тріщин, їхнього розміщення один відносно одного та відносно прямолінійної границі півплощини на значення основних характеристик ЕПС, густини внутрішньої енергії та КІНІН. У результаті досліджень виявлено низку нових електромеханічних закономірностей. Нижче описані деякі з отриманих результатів для випадку дії потенціального поля з напруженістю .

На рис.1, для півплощини з матеріалів М1 (біфталат калію) і М3 (ніобат барію-натрію) з круговим отвором одиничного радіуса зображені графіки зміни проекції вектора індукції на дотичну до контуру отвору і нормальних напружень поблизу контуру отвору на площинах, перпендикулярних до нього, залежно від довжини перемички c між контуром отвору та границею півплощини. Як випливає з аналізу наведених графіків та інших отриманих результатів, при наближенні отвору до границі півплощини значення електропружних характеристик і густини внутрішньої енергії в зоні між отвором і прямолінійною границею збільшуються. Особливо великих значень ці величини досягають у точках перемички, близьких до контуру отвору. Так, наприклад, максимальні значення індукції для довжин перемичок c=1,0 і c=0,1 відрізняються більше ніж у 2 рази. Якщо довжина перемички більша ніж два радіуси отвору, то впливом границі на електропружний стан можна знехтувати. У випадку силових навантажень значення електричних характеристик (індукції, напруженості) значно менші порівняно зі значеннями силових характеристик (напружень). При електричному навантаженні електричні характеристики та густина внутрішньої енергії досягають дуже великих значень; напруження набувають менших значень, але ними не можна нехтувати. Густина внутрішньої енергії у випадку дії потенціального поля на декілька порядків вища, ніж у випадку силових навантажень. Для силових навантажень збільшення жорсткості матеріалу (коефіцієнтів деформації) спричинює збільшення значень напружень і зменшення густини внутрішньої енергії. У випадку дії потенціального поля з напруженістю вплив діелектричної проникності матеріалу (коефіцієнтів діелектричної проникності) на значення напружень, індукції та густини внутрішньої енергії є істотним, а на напруженість – нехтовним. Зі збільшенням діелектричної проникності значення напружень, індукції та густини внутрішньої енергії зростають. Так, для матеріалу М3 значення характеристик, особливо в зоні між отвором і прямолінійною границею, є значно вищими ніж для матеріалу М1, наприклад, індукція в точці найбільшої концентрації більша у 50-55 разів, а густина внутрішньої енергії – у 65-80 разів.

На рис.3, для півплощини з матеріалів М1, М3 з вертикальною тріщиною одиничної півдовжини, перпендикулярною до прямолінійної границі, наведено графіки зміни коефіцієнтів інтенсивності індукції і коефіцієнтів інтенсивності напружень для верхнього та нижнього кінців тріщини. На рис.5 для М3 показано поверхні розподілу густини внутрішньої енергії при c=1,0 (рисунки з правого боку) та при c=0,1 (рисунки з лівого боку). Як випливає з рис.3–5, при наближенні тріщини до границі півплощини значення характеристик, КІНІН і густини внутрішньої енергії збільшуються. Так, наприклад, коефіцієнт інтенсивності індукції для верхньої вершини тріщини при c=0,01 у 3 рази більший, ніж при c=1,0, а густина внутрішньої енергії всередині перемички – в сотні разів більша. При цьому на берегах тріщини напруження, індукція та напруженість змінюються несуттєво. Для силових навантажень анізотропія та жорсткість матеріалу неістотно впливає на значення напружень і КІН. У випадку дії потенціального поля збільшення діелектричної проникності матеріалу спричинює суттєве збільшення густини внутрішньої енергії та коефіцієнта інтенсивності kD (для М3 він у 40 разів більший, ніж для М1).

У четвертому розділі запропоновано наближений метод розв’язання двовимірних задач електропружності для багатозв’язного півпростору і шару (півплощини і смуги) з довільно розміщеними відносно плоских (прямолінійних) границь отворами та тріщинами, у тому числі й для випадку, коли вони перерізають плоскі (прямолінійні) границі. Цей метод полягає в наближеному (з використанням методу найменших квадратів) задоволенні граничних умов і на контурах отворів та тріщин, і на плоских (прямолінійних) границях.

Для побудови загальних виразів комплексних потенціалів спочатку розглядається півпростір з внутрішніми отворами та тріщинами, а з граничних умов на плоскій границі на основі методу інтегралів типу Коші отримуються загальні вирази комплексних потенціалів, які точно задовольняють граничні умови на плоскій границі. На основі цього розв’язку похідні комплексних потенціалів подаються у вигляді [8] (6), де , , , , , , – величини, зазначені вище; akln, bkln – невідомі сталі, для визначення яких використовується метод найменших квадратів. При цьому точки, для яких складаються квадрати нев'язок, розміщуються не лише на контурах отворів, але й на “колокаційному відрізку” прямолінійної границі, який вибирається там, де вплив отворів і тріщин значний і знехтувати ним не можна (на іншій частині прямолінійної границі впливом отворів і тріщин можна знехтувати і граничні умови задовольняються так само, як для суцільної півплощини).

Досліджено вірогідність і точність результатів, які отримуються з використанням даного методу. При цьому розглядалась півплощина з різними внутрішніми отворами та тріщинами, а результати було порівняно з аналогічними, що отримуються при точному задоволенні граничних умов на прямолінійній границі. Дослідженнями встановлено, що довжину “колокаційного відрізка” треба брати від 3 до 5 діаметрів отвору або тріщини. І якщо на цьому відрізку вибирати від 100 до 200 колокаційних точок, то результати, отримані за допомогою цих двох методів, виявляються практично однаковими, хоча, природно, що другий, наближений метод, є загальнішим, бо дозволяє розв’язувати задачу як для внутрішніх, так і для крайових отворів і тріщин, які виходять на прямолінійну границю.

Далі в цьому розділі дано розв’язки низки задач з чисельними дослідженнями зміни основних характеристик ЕПС, густини внутрішньої енергії і КІНІН для півплощини з отворами або тріщинами, що виходять на прямолінійну границю. Зокрема, розв’язано задачі для півплощини з круговою виїмкою, з крайовою нормальною тріщиною, з круговим отвором і тріщиною, що виходить або на прямолінійну границю, або на контур отвору, а також задачі для півплощини з круговим отвором і вузькою щілиною, що з'єднує отвір з прямолінійною границею. Було розглянуто різні зовнішні навантаження. Зупинимось коротко на випадках, коли у півплощині діє поле з напруженістю , яке створюється різницею потенціалів.

На рис.6 для півплощини з матеріалу М3 з круговою виїмкою одиничного радіуса показано поверхні розподілу густини внутрішньої енергії, а на рис.7 для різних матеріалів наведено графіки зміни для нижнього кінця крайової тріщини залежно від її довжини.

На рис.8 і 9 для півплощини з круговим отвором одиничного радіуса та крайовою тріщиною проілюстровано відповідно зміни коефіцієнтів kD і густини внутрішньої енергії U всередині перемички залежно від довжини тріщини. Крива 1 стосується випадку півплощини з круговим отвором і тріщиною, що виходить на прямолінійну границю, крива 2 – півплощини з круговим отвором і крайовою тріщиною, що виходить на контур отвору. На рис.10 подано поверхні розподілу густини внутрішньої енергії для півплощини з матеріалу М3 з отвором і розрізом, який з'єднує між собою контур отвору та границю півплощини.

Наведені графіки та інші отримані результати досліджень свідчать, що вихід отвору або тріщини на прямолінійну границю півплощини спричинює суттєве зменшення значень основних характеристик електропружного стану і густини внутрішньої енергії біля точки виходу з одночасним зростанням цих величин для віддаленіших ділянок контуру виїмки та вершини тріщини. Зі збільшенням довжини тріщини, що виходить з границі півплощини, КІНІН зростають. Порівнюючи результати для півплощини з отвором і тріщиною, що виходить на прямолінійну границю, з результатами для півплощини з отвором і тріщиною, що виходить на його контур, отримуємо, що для випадку крайової тріщини з контуру отвору КІНІН більші, а густина внутрішньої енергії в точках перемички менша.

Запропонована для півпростору методика наближеного розв’язання задач поширена на випадок шару, у поперечному перерізі якого отримуємо смугу з верхньою прямолінійною границею і нижньою – . Похідні комплексних потенціалів у цьому випадку подано у вигляді (7), де , , , , , – величини, зазначені вище;  – змінні, що визначаються за формулами (5), до того ж верхній індекс “+” відповідає функціям, які визначаються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів верхніх півплощин з границею , а знак “–” – функціям, які визначаються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів нижніх півплощин з границею ; akln, bkln, ckln – невідомі сталі, які визначаються за допомогою методу найменших квадратів на всіх границях, у тому числі й на плоских.

Наведено розв’язки низки задач. Зокрема, досліджено електропружний стан смуги з одним круговим отвором; з однією вертикальною тріщиною; з двома крайовими тріщинами, що виходять з прямолінійних границь; з двома крайовими тріщинами, що виходять з прямолінійних границь, при наявності отвору між ними; смуги з отвором і крайовими поперечними тріщинами, що виходять з його контуру. Нижче наведено деякі з отриманих результатів для випадку дії потенціального поля з напруженістю .

На рис.11 для смуги з різних матеріалів з центральним круговим отвором одиничного радіуса показано зміну проекції Ds вектора індукції на дотичну до контуру отвору залежно від довжини перемички c між отвором і прямолінійними границями, а на рис.12, для смуги з центральною вертикальною тріщиною одиничної довжини – графіки зміни коефіцієнтів і . З цих рисунків та інших результатів досліджень випливає, що при зменшенні ширини смуги значення основних характеристик, КІНІН і густини внутрішньої енергії збільшуються. Так, наприклад, коефіцієнт інтенсивності індукції для верхньої вершини тріщини при c=0,1 в півтора рази більший, ніж при c=1,0. Взаємним розміщенням прямолінійних границь і внутрішнього отвору або тріщини можна знехтувати, якщо ширина смуги більша, ніж три діаметри. Як і у випадку півплощини, для матеріалу М3 коефіцієнт kD та індукція поблизу прямолінійних границь і в точках перемички досягають особливо великих значень.

На рис.14 і 15 наведено графіки зміни kD відповідно для смуги постійної ширини h=2 з двома симетричними крайовими тріщинами і для смуги з отвором одиничного діаметру та крайовими тріщинами залежно від довжин тріщин. Отримані результати свідчать, що закономірності зміни максимальних значень основних характеристик ЕПС, КІНІН і густини внутрішньої енергії для смуги та півплощини з круговим отвором і крайовими тріщинами аналогічні, проте для смуги відповідні значення величин більші.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Внаслідок проведених у роботі досліджень отримали подальший розвиток методи розв’язання задач електропружності та їх застосування до проблеми вивчення електропружного стану багатозв’язного півпростору і шару (півплощини і смуги) з отворами та тріщинами.

Основні наукові результати та висновки, отримані в роботі:

1. Введено та досліджено комплексні потенціали електропружності для двовимірного півпростору і півплощини з отворами та тріщинами, що дозволяють визначати основні характеристики ЕПС і густини внутрішньої енергії в будь-яких точках тіла, а також визначати КІНІН для вершин тріщин.

2. Розроблено підхід до розв’язання задач електропружності для півпростору (півплощини) з внутрішніми отворами та тріщинами, що ґрунтується на зведенні цих задач до систем задач лінійного спряження, з розв’язку яких отримуються загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничні умови на плоскій (прямолінійної) границі та наближено – на поверхнях (контурах) отворів.

3. Розроблено методику розв’язання задач для півпростору та шару (півплощини та смуги) з довільно розміщеними один відносно одного і відносно плоских (прямолінійних) границь отворами та тріщинами, що ґрунтується на наближеному задоволенні граничних умов як на поверхнях (контурах) отворів і тріщин, так і на плоских (прямолінійних) границях і дозволяє розв’язувати задачі не лише для випадку внутрішніх отворів і тріщин, але й у випадку перерізу ними границі півпростору (півплощини).

4. З використанням алгоритмічної мови розроблено програмні комплекси для чисельної реалізації отриманих теоретичних розв’язків.

5. Чисельними дослідженнями встановлено ефективність розроблених методик розв’язання задач для багатозв’язних середовищ і стійкість отриманих результатів.

6. Розв’язано низку нових задач з визначення електропружного стану півплощини, півпростору і смуги з отворами та тріщинами, що дозволило на основі чисельного аналізу виявити та оцінити вплив п'єзоелектричних характеристик матеріалу, геометричних розмірів отворів і тріщин, їх кількості, взаємного розміщення один відносно одного і відносно плоских (прямолінійних) границь на значення основних характеристик електропружного стану, густини внутрішньої енергії та КІНІН. Виявлено низку нових електромеханічних закономірностей.

7. Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень мають як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть використовуватися при розв’язанні окремих інженерних задач.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено в публікаціях:

1. Глущенко Ю.А. Электроупругое состояние многосвязного анизотропного полупространства с жестко подкрепленной плоской границей // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки.– 2002.– № .– С. –47.

2. Калоеров С.А., Баева А.И., Глущенко Ю.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела с полостями и плоскими трещинами // Теорет. и прикладная механика.– 2001.– Вып. .– С. –79.

3. Калоеров С.А., Баева А.И., Глущенко Ю.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного пьезоэлектрического тела // Прикладная механика.– 2003.– Т. , № .– С. –91.

4. Калоеров С.А., Глущенко Ю.А. Электроупругое состояние многосвязной пьезоэлектрической полуплоскости с отверстиями и трещинами // Динамические системы.– 2000.– Вып. .– С. –116.

5. Калоеров С.А., Глущенко Ю.А. Двумерная задача электроупругости для многосвязного полупространства Теорет. и прикладная механика.– 2001.– Вып. .– С. –90.

6. Калоеров С.А., Глущенко Ю.А. Задача электроупругости для многосвязного полупространства // Тр. науч. конф. Донец. нац. ун-та.– Донецк.– 2001.– С. 

7. Калоеров С.А., Глущенко Ю.А. Исследование электроупругого состояния анизотропного полупространства с отверстиями и трещинами // Теорет. и прикладная механика.– 2002.– Вып. .– С. –83.

8. Калоеров С.А., Глущенко Ю.А. Приближенный метод определения электроупругого состояния анизотропного полупространства с полостями и трещинами // Вісн. Донец. ун-ту. Сер. А. Природничі науки.– 2003.– Вип. .– С. –65.

АНОТАЦІЇ

Глущенко Ю.А.: Двовимірні задачі електропружності для півпростору та шару з отворами та тріщинами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла, Донецький національний університет, Донецьк, 2004.

У роботі з використанням узагальнених комплексних потенціалів набули подальшого розвитку методи розв’язання задач електропружності для півпростору (півплощини) і шару (смуги) з отворами та тріщинами. Запропоновано два підходи: перший – для випадку внутрішніх отворів і тріщин у півпросторі (півплощині), другий – для півпростору і шару (півплощини і смуги) з довільно розміщеними отворами та тріщинами, у тому числі, коли вони перерізають плоскі (прямолінійні) границі.

У випадку півпростору (півплощини) з внутрішніми отворами та тріщинами за допомогою аналітичного продовження розглянуті задачі зведено до систем задач лінійного спряження, з розв’язку яких отримано загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничні умови на плоскій (прямолінійній) границі і наближено – на поверхнях (контурах) отворів (для задоволення яких використано дискретний метод найменших квадратів).

Для випадку півпростору (півплощини) з отворами та тріщинами, зокрема, такими, що перерізають плоску (прямолінійну) границю, запропоновано (з використанням методу найменших квадратів) методику наближеного задоволення граничних умов як на поверхнях (контурах) отворів, так і на плоских (прямолінійних) границях. Для цього випадку отримано загальні вирази комплексних потенціалів і систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих сталих, які входять у ці вирази. Такий підхід перенесено й на багатозв’язний шар (смугу) з довільно розміщеними один відносно одного і відносно плоских (прямолінійних) границь отворами та тріщинами.

За допомогою чисельних досліджень показано ефективність зазначених методик, стійкість отриманих результатів та їх узгодження з відомими у літературі для деяких окремих задач.

Наведено розв’язки нових задач електропружності для випадку півплощини (півпростору) як з внутрішніми, так і з крайовими отворами та тріщинами, а також для смуги з довільно розміщеними отворами та тріщинами. Виявлено низку закономірностей впливу п'єзоелектричних характеристик матеріалу, геометричних розмірів отворів і тріщин, їх кількості, взаємного розміщення один відносно одного і відносно плоских (прямолінійних) границь на ЕПС.

Результати наведених у дисертаційній роботі досліджень представляють як теоретичний, так і практичний інтерес. Запропоновані методики можуть використовуватися при розв’язанні окремих інженерних задач.

Ключові слова: п'єзоелектричний півпростір, шар, тріщина, багатозв’язна півплощина, смуга, електропружний стан, густина внутрішньої енергії, концентрація напружень, коефіцієнти інтенсивності, комплексні потенціали, задача лінійного спряження, метод найменших квадратів.

Глущенко Ю.А.: Двумерные задачи электроупругости для полупространства и слоя с отверстиями и трещинами.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2004.

Рассматриваемая в диссертации проблема исследования электроупругого состояния многосвязного анизотропного полупространства и слоя, в частности полуплоскости и полосы, с отверстиями и трещинами под действием различных силовых и электрических воздействий является актуальной фундаментальной и практической задачей механики деформируемого твердого тела.

В работе с использованием обобщенных комплексных потенциалов дано дальнейшее развитие методов решения задач электроупругости для полупространства (полуплоскости) и слоя (полосы) с отверстиями и трещинами. Предложены два подхода: первый для случая внутренних отверстий и трещин в полупространстве (полуплоскости), второй для полупространства и слоя (полуплоскости и полосы) с произвольно распложенными отверстиями и трещинами, в том числе пересекающими плоские (прямолинейные) границы.

В случае полупространства (полуплоскости) с внутренними отверстиями и трещинами с помощью аналитического продолжения искомые задачи сведены к системам задач линейного сопряжения, решением которых получены общие представления комплексных потенциалов, точно удовлетворяющих граничным условиям на плоской (прямолинейной) границе и приближенно на поверхностях (контурах) отверстий. Для удовлетворения последним граничным условиям использован дискретный метод наименьших квадратов.

Для случая полупространства (полуплоскости) с отверстиями и трещинами, которые могут пересекать плоскую (прямолинейную) границу предложена методика приближенного удовлетворения граничным условиям как на поверхностях (контурах) отверстий, так и на плоских (прямолинейных) границах методом наименьших квадратов. Для этого случая получены общие представления комплексных потенциалов, система линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных, входящих в комплексные потенциалы. Этот подход распространен и на многосвязный слой (полосу) с произвольно расположенными относительно друг друга и плоских (прямолинейных) границ отверстиями и трещинами.

Для обеих методик численными исследованиями продемонстрирована их высокая эффективность, устойчивость получаемых результатов и их согласование с известными в литературе для некоторых частных задач.

Дано решение различных задач в случае полуплоскости (полупространства) как с внутренними, так и краевыми отверстиями и трещинами, а также для полосы с произвольно расположенными отверстиями и трещинами. Выявлен ряд новых закономерностей влияния на ЭУС пьезоэлектрических характеристик материала, геометрических размеров отверстий и трещин, их количества, взаимного расположения относительно друг друга и плоских (прямолинейных) границ.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: пьезоэлектрическое полупространство, слой, трещина, многосвязная полуплоскость, полоса, электроупругое состояние, плотность внутренней энергии, концентрация напряжений, коэффициенты интенсивности, комплексные потенциалы, задача линейного сопряжения, метод наименьших квадратов.

Glushchenko Y.A.: Тwo-dimensional problems of electroelastisity for half-space and layer with holes and cracks.– The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 – mechanics of a deformable solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2004.

Using the generalized complex potentials the methods of the solution electroelasticity problems for a half-space (half-plane) and layer (strip) with holes and cracks are developed more in this work. Two approaches are proposed: the first one is for a case of internal holes and cracks in the half-space (half-plane), the second – for the half-space and layer (half-plane and strips) with arbitrary placed holes and cracks, which can cross flat (rectilinear) borders.

With help of analytical continuation required problems in a case of the half-space (half-plane) with internal holes and cracks have come to the systems of the problems of linear conjugating, by solving of which the general presentations of the complex potentials are got, which satisfy the boundary conditions on the flat (rectilinear) border exactly and on the surfaces (contours) of the holes approximately. The discrete least squares method of satisfaction to last boundary conditions is used.

The method of the approximated satisfaction of boundary conditions both on the surfaces (contours) of the holes and on the flat (rectilinear) borders with least squares method for a case of half-space (half-plane) with holes and cracks, which can cross flat (rectilinear) border, is offered. The general presentations of complex potentials, system of the