МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ УКРАIНИ

КИIВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНIЧНИЙ УНIВЕРСИТЕТ

БУДIВНИЦТВА I АРХIТЕКТУРИ

УДК 515.2

Сівальньов Олександр Миколайович

ГЕОМЕТРИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

ТА ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАЛЕЛЬНИХ МНОЖИН

Спеціальність 05.01.01 -

Прикладна геометрiя, інженерна графiка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата технiчних наук

Київ - 1998

Дисертацiєю є рукопис.

Роботу виконано в Харкiвському державному політехнічному університеті

Наукові керівники: - доктор технічних наук, професор

Куценко Леонiд Миколайович,

ХІПБ МВС України, заступник начальника

кафедри пожежної техніки;

- кандидат технiчних наук, доцент

Бобов Сергiй Володимирович,

ХІПБ МВС України, професор

кафедри пожежної техніки;

Офiцiйнi опоненти: - доктор технiчних наук, професор

Скидан Іван Андрійович,

ДДТУ, завідувач кафедри нарисної

геометрії та інженерної графіки;

- кандидат технiчних наук, професор

Седлецька Наталя Iванiвна

КДТУБА, професор кафедри нарисної

геометрії, інженерної та машинної графіки

Провiдна установа: Харківський державний технічний університет

радіоелектроніки, кафедра прикладної геометрії

і комп’ютерної графіки

Захист вiдбудеться 11 листопада 1998 р. о 13 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 26.056.06 у Київському державному технiчному унiверситетi будiвництва i архiтектури за адресою:

252037 Київ - 37, Повiтрофлотський просп., 31, ауд. 319

З дисертацiю можна ознайомитися в бiблiотецi Київського державного технiчного унiверситету будiвництва i архiтектури за адресою: 252037 Київ - 37, Повiтрофлотський просп., 31.

Автореферат розiслано 11 вересня 1998 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої ради Д 26.056.06

кандидат технiчних наук, доцент В.О.Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність те-ми. Розвиток техніки і технології стимулює дослідження в галузі гетерогенних систем речовин. Нагадаємо, що гетерогенною називається макроскопічно - неоднорідна фізико-хімічна система, що складається з двох різних за властивостями речовин, які розмежовані розподільчою поверхнею. Геометрична форма розподільчої поверхні змінюється у просторі внаслідок зміни у часі фізико-хімічних властивостей складових речовин на кромки їх розподілу. Далі буде розглянуто лише гетерогенні системи, графічним проявом реакцій яких є сім’я паралельних (еквідистантних) розподільчих поверхонь. Саме за допомогою сім’ї паралельних поверхонь (у загальному випадку - паралельних множин) доцільно вивчати динаміку розвитку гетерогенних систем з позицій прикладної геометрії. По-тре-ба у роз-ра-хун-ках паралельних множин ви-ни-кає під час дослідження певного класу за-дач у га-лузі техніки та тех-но-логії. Розв’язання цих задач має важ-ли-ве зна-чен-ня для ста-нов-лен-ня еко-номіки Ук-раїни як молодої незалежної держави.

Серед прикладів гетерогенних систем назвемо проектування твердопаливних ракетних двигунів, розрахунок поверхневої реакції (окислення, переносу, розчинення тощо) твердого тіла, моделювання розповсюдження вогню під час лісових пожеж тощо. У першому прикладі реакція гетерогенного типу корисна - вона звільняє енергію, яка залежатиме від величини моментальної площі розподільчої поверхні. Тому в даний момент часу величина тяги твердопаливного ракетного двигуна залежатиме від значення моментальної площі горіння заряду. Шляхом вибору початкової геометричної форми розподільчої поверхні слушно регулювати закон зміни в часі величини енергії, яка звільняється. У останньому з названих прикладів реакція гетерогенного типу шкідлива, адже вона звільняє енергію під час лісової пожежі. Величина енергії залежатиме від периметру розподільчої кромки моментальної площі пожежі. Ресурси, які необхідні для гасіння пожежі в даний момент часу, залежатимуть від величини моментального периметра кромки горіння.

Наведені впровадження вказують на те, що при вивченні гетерогенних систем речовин актуальними питаннями будуть: i) передбачення геометричної форми розподільчої поверхні в наперед позначені моменти часу; та ii) обчислення величини її площі в ті ж самі моменти часу. У випадку на площині актуальними питаннями будуть: i) розробка методу передбачення геометричної форми розподільчої кромки в наперед позначені моменти часу, а також ii) обчислення величини ії периметра в ті ж самі моменти часу.

Як показує досвід, на практиці такий опис одержати важко, тому що розподільча поверхня (а на площині - розподільча кромка) може набувати надто “примхливої” геометричної форми. Тому в роботі використовується метод одержання функції зміни значень площі розподільчої поверхні за допомогою іншої характеристики гетерогенної системи речовин - закону зміни значень об’єму речовини, що обмежена зазначеною розподільчою поверхнею. На площині опис зміни периметра кромки доцільно здійснювати за допомогою функції зміни значень площі, яка обмежена відповідною кромкою.

Зв’язок ро-бо-ти з нау-ко-ви-ми про-гра-ма-ми, пла-на-ми, те-ма-ми. Ди-сер-таційна ро-бо-та ви-ко-на-на в рам-ках нау-ко-во-дослідної програми “Геометричне моделювання на екрані персонального комп”ютера топографічної схеми вигоряння лісової ділянки” ка-фед-ри пожежної техніки ХІПБ МВС України згідно завданню Управління державної пожежної охорони МВС України.

Мета роботи і задачі дослідження. Мета роботи полягає у створенні теоретичної основи та алгоритмічної бази для комп’ютерних програм визначення геометричної форми паралельних множин та обчислення їх інтегральних характеристик, в залежності від початкової фігури і додаткових умов формоутворення сім’ї паралельних ліній.

Для досягнення головно мети досліджень у дисертації поставлені такі основні задачi:

- обгрунтувати можливість геометричного моделювання гетерогенних систем на основі паралельних множин;

- проаналізувати можливі методи опису сім’ї паралельних множин;

- розробити метод опису сім’ї паралельних множин за допомогою рівняння у неявному вигляді;

- дослідити залежності між інтегральними характеристиками деяких конкретних паралельних множин;

- скласти алгоритм обчислення периметру та площі елементів сім’ї паралельних множин;

- для перевірки алгоритму розв’язати тестові приклади;

- розробити придатний для практичного застосування метод графічної інтерпретації наслідків лісової пожежі на прикладі побудови топографічної схеми кромки вигоряння ділянки лісного масиву у наперед зазначені моменти часу.

Методика досліджень. В роботі використовується математичний апарат R-функцій, що дає змогу описувати елементи паралельних множин у неявному вигляді. Застосовуються положення прикладної геометрії, чисельних методів, диференціальних рівнянь.

Теоретичною базою досліджень послужили роботи вчених:

- в галузі геометричного моделювання об’єктів та процесів В.Є. Михайлен-ка, А.В.Павлова, В.М.Найдиша, О.Л.Пiдгорного, І.А.Скидана, С.М.Ковальова, Н.І.Седлецької, К.О.Сазонова, А.М.Пiдкоритова;

- в галузі опису паралельних множин В.Л.Рвачова, Ю.Г.Стояна, I.Б.Сiроджи, Ю.I.Бадаєва, Л.М.Куценка, Д.В.Бондаря.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в створенні теоретичної основи та алгоритмічної бази для комп’ютерних програм передбачення геометричної форми елементів сім’ї паралельних множин у наперед зазначені моменти часу, складовими чого є нові:

- метод побудови функції, графіком якої є поверхня рівного схилу, що дозволяє одержати на картинній площині сім’ю проекцій ліній рівня, які збігатимуться з елементами сім’ї паралельних множин;

- геометричне тлумачення впливу перешкод на формоутворення елементів сім’ї паралельних ліній ;

- алгоритми обчислення інтегральних характеристик сім’ї паралельних множин (периметру лінії та площі, яку та обмежує).

Вірогідність та обгрунтованість одержаних результатiв підтверджується шляхом доведення тверджень, а також геометричного моделювання на екрані комп’ютера елементів конкретних паралельних множин стосовно кромок вигорання лісових пожеж.

Практичне значення одержаних результатів дисертації полягає в спроможності на iї теоретичній базі впроваджувати в реальну практику метод комп'ютерного передбачення геометричної форми та інтегральних характеристик топографічної схеми контуру вигоряння ділянки лісового масиву у наперед зазначені моменти часу. Ця оперативна графічна інформація допоможе приймати обгрунтовані рішення при розподілі сил та ресурсів щодо гасіння пожежі, а також моделювати віртуальні ситуації на випадок виникнення пожеж. Реалізація виконана в УМВС Харківської області, що підтверджується довідкою про використання запропонованої у роботі методики.

Особистий внесок здобувача. Особисто автором роз-роблена тео-ре-тич-на основа та складено ал-го-ритми побудови сім’ї паралельних ліній на прикладі геометричного моделювання кромок вигоряння для роз-ра-хунку інтегральних характеристик процесу лісової пожежі

Апробація результатів дисертації. Основні по-ло-жен-ня дисертаційної ро-бо-ти доповідалися та обговорювалися на 4 й Міжнародній нау-ко-во-прак-тич-ній конференції "Сучасні про-бле-ми гео-мет-рич-но-го мо-де-лю-ван-ня" (м.Мелiтополь; 1997 р.), на Міжнародній нау-ко-во-прак-тичній конференції "Сучасні про-бле-ми гео-мет-рич-но-го мо-де-лю-ван-ня" (м. Харків; 1998 р.), а та-кож на семінарах провідних ка-федр графічного профілю ви-щих технічних нав-чаль-них закладів Ук-раїни та у організаціях пожежної безпеки МВС України.

Кількість публікацій за те-мою ро-бо-ти скла-дає 5 най-ме-ну-вань.

Структура i обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку літератури із 143 найменувань та додатку. Робота містить 85 сторінок машинописного тексту та 46 рисунків, побудованих за допомогою комп’ютера.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та ії значущість, обгрунтовується актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, відбиті наукова новизна і практичне значення одержаних результатів, зазначено конкретний особистий внесок здобувача, наведено перелік основних наукових результатів, що виносяться на захист.

В першому розділі дисертації формулюється геометрична задача досліджень у галузі гетерогенних систем речовин. Вказується на можливість ії розв’язання шляхом вивчення властивостей сім’ї паралельних множин точок. Зроблено критичний огляд можливих методів опису сім’ї паралельних множин та обчислення інтегральних характеристик ії елементів.

Нехай у декартовій системі координат на площині z=0 задана крива лінія , яка обмежує фігуру і складається з відрізків прямих ліній та дуг кіл.

Означення. Фігура називається паралельною відносно фігури на відстані t, якщо складається з об’єднання усіх кругів радіуса t, центрами яких є точки . Контури і паралельних фігур і називаються паралельними кривими, які відстоять між собою на відстані t.

Позначимо через L(t) довжину контуру , а через U(t) - площу фігури , яка обмежена цим контуром. Інтегральними характеристиками елементів сім’ї паралельних фігур {} будемо називати значення величин L(t) і U(t), які обчислені для деякого фіксованого значення t.

Наведено огляд описів паралельних фігур за допомогою:

- методу поточкового перенесення (рис.1)

x = + t cos ; y = + t sin ;

- методу “еволюти - евольвенти” (рис. 2);

- обвідної параметричної сім’ї кругів (рис. 3) - як розв’язок системи нелінійних рівнянь t2 - (x - )2 - [y - f()]2 = 0; (x - ) + [y - f()] f () = 0, де y = f(x) - рівняння ;

- тангенціального рівняння (рис. 4)

x cos +y sin - () + t = 0;

- суми Мінковського (рис.5).

Рис.1. |

Рис.2

Рис.3 |

Рис.4

Рис.5

Недоліки згаданих методів опису полягають у складності алгоритмічної реалізації у випадку, якщо за умовою конкретної задачі початкову фігуру необхідно редагувати. Більш перспективним у цьому відношенні є метод опису, оснований на понятті нормальної функції. Для пояснення розглянемо дійсну функцію f(x,y) і точку . Згідно означення В.Л.Рвачова, кресленням функції f(x,y) називається геометричний об’єкт L, який складається з точок площини z=0, для яких f(x,y)=0. Нехай (L,A) означає найкоротшу відстань між кресленням L і точкою А. Вважають, що функція f(x,y) задана у нормальному вигляді тоді, коли виконується тотожність .

У роботі наведено зображення графіків деяких нормальних функцій z=f(x,y), які мають вигляд поверхонь рівного схилу з кутом нахилу твірних 45. Наголошено, що для визначення паралельних фігур доцільно застосовувати нормальні функції. У цьому випадку паралельні криві на координатній площині можна розглядати як суміщені проекції перетину графіку нормальної функції сім’єю паралельних площин рівня. Але відомі аналітичні методи побудови нормальної функції для даного креслення не є універсальними. У роботі причина цього показана за допомогою графічних побудов.

Теорема В.Л.Рвачова. Нехай задані нормальні функції і з кресленнями і . Тоді R - кон’юнкція буде нормальною функцією для креслення .

В роботі це твердження пояснюється на рівні графічних побудов. З геометричною очевидністю доведено, що не існує твердження, яке є двоїстим теоремі В.Л.Рвачова. Бо R - диз’юнкція не буде нормальною функцією для креслення . Відсутність двоїстого твердження не дозволяє створювати загальні алгоритми побудови нормальної функції для даного креслення. Тому на практиці використовують штучні способи побудови.

В роботі наведено огляд методів побудови нормальних функцій для геометричних об’єктів, що складаються з відрізків та дуг кіл.

Зазначено, що методи побудови нормальних функцій можуть базуватися на розв’язанні диференціального рівняння. Дійсно, згідно теореми Г. Монжа (див. Монж Г. Приложение анализа к геометрии.- М.-Л.: ОНТИ, 1936) функція z = z(x,y), графік якої є поверхня рівного схилу з кутом нахилу 45 і спирається на лінію L, задовольняє диференціальному рівнянню ейконала

з граничною умовою z(x,y)L = 0. Тобто нормальна функція задовольняє рівнянню ейконала. Звідси маємо, що нормальну функцію можна одержати як розв”язок диференціального рівняння ейконала.

В другому розділі наведено теоретичні основи опису паралельних множин точок.

Спочатку розглянуто алгорим побудови паралельних кривих, які задано в параметричному вигляді. Нехай замкнена крива G0 задана параметричними рівняннями x = x(), y = y(). Позначимо через L повну довжину кривої G0, через, через U - площу фігури, що обмежена кривою G0. Розглянемо криву Gt, яка буде паралельною початковій кривій G0. Тоді параметричне рівняння кривої Gt має вигляд

; , (1)

Алгоритм складено для програмного процесора Maple V. В роботі показані недоліки опису паралельних ліній за допомогою параметричних рівнянь. Наголошено, що в деяких випадках паралельні криві зручно описувати рівняннями у неявному вигляді. Зокрема - у вигляді нормальних рівнянь.

Твердження. Нормальне рівняння відрізка прямої, що сполучає точки з координатами A(xa,ya,za) і B(xb,yb,zb), має вигляд

, (2)

де - знак R1 - кон”юнкції, - знак R1 - диз”юнкції,

; (3)

; (4)

; . (5)

Далі розглянуто метод опису кривої, яка є паралельною простому многокутнику. Многокутник є простим, якщо і) з кожної його вершини виходять тільки дві сторони; іі) сторони не мають спільних точок; ііі) вершини не лежать на його сторонах.

З теореми В.Л.Рвачова слідує таке твердження.

Твердження. Нормальне рівняння простого многокутника , який обмежено N відрізками {i} прямих, має вигляд

, (6)

де fi (x,y) - нормальні функції відрізків прямих вигляду (2).

На рис.6 зображено приклади кривих, паралельних простому многокутнику, а також графіки нормальних функцій. Тут паралельні криві збігаються з проекціями перетину графіка сім”єю площин рівня.

Рис.6.

Далі розглянуто метод визначення на площині геометричного центра многокутника - тобто центра кола мінімального радіуса, яке повністю охоплює цей многокутник.

Твердження. Координати геометричного центра N-кутника збігаються з координатами точки, в якій функція

(8)

досягає мінімума. Тут - знак R1 -диз”юнкції, а через fi (x,y) (i=1...N-1) позначено нормальні функції його вершин. Зокрема, нормальна функція вершини P(xP,yP) має вигляд

. (9)

Для деяких простих многокутників на рис. 6а зображено графіки та лінії рівня відповідних функцій вигляду (8). При цьому геометричний центр многокутника знаходиться у межах лінії рівня мінімальної довжини.

Складені алгоритми побудови кривих, які паралельні многокутнику, та знаходження геометричного центра цього многокутника можна вважати універсальними. Адже у них відсутні недоліки, пов”язані з попереднім графічним зображенням сім”ї паралельних кривих.

Наголошено, що традиційним описом сім’ї кривих є неявний вигляд F(x,y,t)=0. Запропоновані алгоритми базуються на опису паралельних кривих у вигляді t=Ф(х,у), які збігаються з нормальними функціями. Зазначену задачу можна також розв”язати, якщо паралельні криві вважати розв’язком диференціального рівняння ейконала.

Рис.6а

Нехай на інтервалі a x b маємо криву y = f(x). Необхідно описати сім”ю кривих, елементи якої були б паралельними даній кривій.

Твердження. Послідовність функцій

, (10)

де xi = [(N-i)a + bi] / N, при n збігається до фунції z = u(x,y), що є точним розв”язком диференціального рівняння ейконала

Рис.7

(11)

з граничною умовою uy = f(x) =0.

На рис. 7 зображено графік і лініі рівня функції - наближеного розвязку рівняння (11) з граничною кривою - параболою y = x2 на інтервалі 0.. 1,8. Для порівняння на рис. 7а зображено графік і лініі рівня точного розв”язку для параболи на інтервалі -3...3

Рис.7а

Третій розділ присвячено методу обчислення периметрів елементів сім’ї паралельних кривих. Ідею методу пояснимо на прикладі. Нехай маємо круг радіуса R, який “загорівся” по кромці кола. Тоді в момент часу t = t0 R кромку горіння, а також площу, яка ще не “згоріла”, можна оцінити за формулами L(t)=2t та U(t)=t2. При цьому має місце фундаментальне співвідношення L(t) = dU(t)/dt.

З іншого боку, наближений розв”язок цієї задачі одержимо, якщо використаємо нормальну функцію для кола . За ії допомогою побудуємо растрові зображення сім”ї фігур в для дискретного ряду проміжків часу. Підрахунком числа пікселів оцінимо площі кожної з фігур сім”ї. В результаті одержимо відліки функціі U(t). Співвідношення L(t) = dU(t)/dt дозволяє знайти значення функції L(t) за формулами чисельного диференціювання відносно цих відліків.

Твердження. Якщо лінії рівня функції f(x,y) є простими замкненими кривими і область S(u,v) обмежена лініями f(x,y) = u і f(x,y) = v, то

(12)

де F(z) - площа, яка обмежена кривими f(x,y) = u і f(x,y) = v.

Це твердження дає пояснення диференціальному співвідношенню для функцій, що описують зміну площ і периметрів сім’ї паралельних фігур .

Твердження. Нехай в момент часу t значення функцій U(t) й L(t) співпадають зі значеннями площі фігури Gt і довжиною контуру St, відповідно. Тоді має місце співвідношення

U(t)/t = L(t). (13)

В роботі одержано функцію, яка дозволяє описати закон зміни площ, що обмежені елементами сім’ї паралельних ліній

. (14)

Тут L0 - довжина кривої S, U0- площа, що обмежена кривою S0. Крім того, показано, що

. (15)

Функція L в роботі знаходиться шляхом чисельного диференціювання.

Далі розглянуто наближений метод обчислення периметру фігури, який оснований на одному з положень теорії геометричних імовірностей (задачі Ж.Бюфона). Нехай для фігури G, яка задана на площині, засобами телевізійної техніки одержано її растрове зображення. Використовуючи інформацію, яка надана зображенням, необхідно обчислити довжину L периметра фігури G.

Згідно методу розв’язання задачі Бюфона на площині необхідно задати множину паралельних прямих з кроком а. Тоді значення виразу p=2d/a дорівнює імовірності того, що розміщений на площині випадковим чином відрізок довжини d<a перетне одну з прямих. В інтегральній геометрії доводиться, що ця модель дозволяє обчислити наближене значення числа шляхом випадкового “кидання” N разів відрізка на площину, яка розлінована паралельними прямими. Якщо в n з цих кидань відрізок перетне одну паралельну лінію, то p*=n/N буде оцінкою імовірності p, a *=2d/ap* буде наближеним значенням числа У випадку d=a=1 маємо *=2N/n.

Але значення числа відоме. Тому на підставі формули імовірності p=2d/a можна обчислити наближене значення довжини L кривої. Якщо на площині задана замкнена крива довжини L і k дорівнює кількості точок перетину паралельних прямих і кривої, то буде виконуватися тотожність k=2L/а.

З цієї тотожності маємо формулу для наближеного обчислення довжини кривої L=ka/2. В роботі досліджена похибка, яка виникає під час цього; показано, що для підвищення точності обчислень значення а повинно бути мінімальним.

Нехай а - величина кроку растра, за допомогою якого побудоване зображення фігури на площині. В роботі складено алгоритм обчислення ії периметра.

1. Розташувати лінії растра під кутом до якогось фіксованого напряму (наприклад, до горизонталі).

2. Визначити кількість точок растра на контурі зображення.

3. Відшукати наближену довжину периметра .

4. Змінюючи кут , обрати другу орієнтацію растра.

5. Обчислення повторити, починаючи з п.2. У результаті одержати декілька значень довжин периметра, які відповідають різним орієнтаціям растра.

Рис. 8

6. Як довжину L периметра фігури G обрати усереднене значення довжин периметрів, що обчислені.

Приклад. Обчислимо периметр фігури, яка зображена на рис. 8. (сторони квад-ратів координат-ної сітки дорівнюють одиниці). В даному випадку маємо точне значення L=47.88. Обчислення периметра будемо здійснювати, в залежності від значень кута (кут відраховується від гори-зон-талі ри-сун-ка).

На рис. 9 наве-дені результати розрахунків. Було обчислено 12 значень перимет-рів, які відповідають куту з кроком 15. В резуль-таті одержано усереднене значення пе-риметра 48,94. Порівнюючи з точним значенням, маємо відносну похибку одержаного результату 3 %.

Рис. 9 |

Рис. 10

У четвертому розділі розглянуто опис кромок вигоряння рослинного матеріалу при лісовій пожежі. Ця задача є актуальною для пожежної безпеки лісових угідь, адже вона спрямована на передбачення розповсюдження вогню. Мається на увазі, що за процесом лісової пожежі спостереження ведеться з достатньо великої відстані, наприклад, з борту літака чи штучного супутника Землі. Тоді лісовий масив можна сприймати у “інтегральному” розумінні та ототожнювати з геометричною фігурою на площині. Необхідно скласти алгоритм візуалізації на екрані комп’ютера сім’ї паралельних кривих - тобто топографічної схеми миттєвих кромок горіння.

На даній стадії досліджень має місце припущення, що горіння лісу відбувається з однаковою лінійною швидкістю в усіх напрямах, тобто що лісовий масив горить паралельними (інше, еквідистантними) смугами. Існуючі методи дослідження лісової пожежі як процесу тепломасообміну у кромці вигоряння пов'язані з побудовою певної теорії горiння рослинних матеріалів, що базується на фундаментальних законах переносу речовини та енергії. Математичне моделювання картини лісової пожежі у цьому випадку здійснюється за допомогою систем нелінейних інтегро-диференціальних рівнянь. В роботі наголошено, що такий підхід не сприяє обчисленню периметрів миттєвих кромок горіння.

Як приклад розглянемо алгоритм опису сім’ї паралельних кривих для “точкового” загоряння з урахуванням перешкоди вогню у вигляді відрізка. Припустимо, що відрізок заданий координатами своїх кінців і , і що точка загоряння співпадає з початком координат О. Означимо через і довжини відрізків ОА і ОВ відповідно. З цих двох довжин через і позначимо мінімальну і максимальну величину.

Для опису компонентів елементів сім’ї паралельних кривих будуть потрібні функції:

;

;

;

;

;

;

;

Рис. 11. |

Рис. 12.

Опис сім’ї паралельних кривих складається з трьох частин.

1) Параметр фронту горіння задовольняє нерівності t<=tmin. У цьому випадку ряд паралельних кривих є системою концентричних околів, які не перетинають відрізок. Описати цей ряд можна виразом .

2) Параметр фронту горіння задовольняє системі нерівностей . У цьому випадку (рис. 11) описати ряд паралельних кривих слід за допомогою рівняння

3) Параметр фронту горіння задовольняє нерівності . У цьому випадку (рис. 12) описати ряд паралельних кривих можна за допомогою рівняння

Рис. 13. |

Рис. 14

На рис. 13,14 зображена сім’я кромок вигоряння лісного масиву у наперед зазначені моменти часу з урахуванням умови перешкоди вогню у вигляді відрізка. Подібна оперативна інформація допоможе приймати науково обгрунтовані рішення при евакуації людей та матеріальних цінностей і розподілі сил та ресурсів під час гасіння пожежі.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена методу опису сім’ї паралельних фігур на площині та обчисленню периметрів ії елементів. Розроблено теоретичні основи та алгоритмічну базу для комп’ютерних програм визначення геометричної форми паралельних множин та обчислення їх інтегральних характеристик, в залежності від початкової форми фігури і додаткових умов щодо формоутворення сім’ї паралельних ліній. При цьому одержано такі результати, що мають наукову та практичну цінність.

1. Обгрунтовано можливість геометричного моделювання гетерогенних систем на основі паралельних множин точок.

2. Піддані критичному аналізу можливі методи опису сім’ї паралельних множин.

3. Запропоновано метод побудови функції, графіком якої є поверхня рівного схилу, що дозволяє одержати на картинній площині сім’ю проекцій ліній рівня, які співпадатимуть з елементами сім’ї паралельних множин;

4. Надано геометричне тлумачення впливу перешкод на формоутворення елементів сім’ї паралельних ліній ;

5. Розроблено метод опису сім’ї паралельних множин за допомогою рівняння у неявному вигляді.

6. Досліджено залежності між інтегральними характеристиками деяких конкретних паралельних множин.

7. Складено універсальний алгоритм для обчислення периметру та площі елементів сім’ї паралельних множин.

8. Для перевірки алгоритму розв’язані тестові приклади.

9. Розроблено придатний для практичного застосування метод графічної інтерпретації наслідків лісової пожежі на прикладі побудови топографічної схеми кромки вигоряння ділянки лісового масиву у наперед зазначені моменти часу.

10. Результати роботи впроваджено в УДПО Харківської області для передбачення на основі моделювання за допомогою комп'ютера геометричної форми та інтегральних характеристик топографічної схеми контуру вигоряння ділянки лісового масиву у наперед зазначені моменти часу. Ця оперативна графічна інформація допоможе приймати обгрунтовані рішення при розподілі сил та ресурсів щодо гасіння пожежі, а також моделювати віртуальні ситуації на випадок виникнення пожеж.

Основні положення дисертації опубліковані у таких роботах.

1. Сивальнев А.Н. Приближенный метод расчета топографиче-ской схемы выгорания лесного участка (часть 1). Под ред. проф. Л.Н.Куценко.- Харьков: МВД Украины, 1996.-15 с.

2. Сивальнев А.Н. Приближенный метод расчета топографиче-ской схемы выгорания лесного участка (часть 2). Под ред. проф. Л.Н.Куценко.- Харьков: МВД Украины, 1996.-16 с.

3. Сивальнев А.Н. Вычисление длины периметра фигуры произвольной формы на плоскости. - В зб. “При-клад-на гео-мет-рія та ін-же-нер-на гра-фі-ка”. Вип. 60 - Київ: КДТУБА, 1996.- с.208-210

4. Куценко Л.М., Сівальньов О.М. Геометричне моделювання контуру вигоряння лісової ділянки. - В зб. “При-клад-на гео-мет-рія та ін-же-нер-на гра-фі-ка”. Вип. 61 - Київ: КДТУБА, 1997.- с.27-30

5. Куценко Л.М., Сівальньов О.М. Як передбачити геометричну форму контурів вигоряння ділянки лісу. - В зб. “При-клад-на гео-мет-рія та ін-же-нер-на гра-фі-ка”. Вип. 62 - Київ: КДТУБА, 1997.- с.29-32

Сівальньов О.М. Геометричне моделювання та обчислення інтегральних характеристик паралельних множин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Київський державний технічний університет будівництва і архітектури, Україна, Київ, 1998.

Дисертацію присвячено розробці методу опису сім’ї паралельних фігур на площині та обчисленню периметрів ії елементів. Розроблено комп’ютерні програми визначення геометричної форми паралельних множин та обчислення їх інтегральних характеристик, в залежності від початкової форми фігури і додаткових умов щодо формоутворення сім’ї паралельних ліній. Досліджено залежності між інтегральними характеристиками деяких конкретних паралельних множин. Розроблено придатний для практичного застосування метод графічної інтерпретації наслідків лісової пожежі на прикладі побудови топографічної схеми кромки вигоряння ділянки лісного масиву у наперед зазначені моменти часу..

Ключові слова: геометричне моделювання, сім’я паралельних ліній, інтегральні характеристики паралельних множин, кромка вигоряння лісової пожежі.

Сивальнев А.Н. Геометрическое моделирование и вычисление интегральных характеристик параллельных множеств. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Киевский государственный технический университет строительства и архитектуры, Украина, Киев, 1998.

Диссертация посвящена разработке метода описания семейства параллельных фигур на плоскости и вычислению периметров ее элементов. Разработаны компьютерные программы определения геометрической формы параллельных множеств и вычисления их интегральных характеристик, в зависимости от начальной формы фигуры и дополнительных условий формообразования семейства параллельных линий. Исследованы зависимости между интегральными характеристиками некоторых конкретных параллельных множеств. Разработан предназначенный для практического применения метод графической интерпретации последствий лесного пожара на примере построения топографической схемы кромки выгорания участка лесного массива у наперед указанные моменты времени.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, семейство параллельных линий, интегральные характеристики параллельных множеств, кромка выгорания лесного пожара.

Sivalniov O.M. Geometrical modeling and calculating integral characteristics of equidistant sets. ---– Manuscript.

A dissertation for the degree of candidate of technical sciences on speciality 05.01.01 – applied geometry, engineering graphics. – Kyiv State Technical University of Building and Architecture, Ukraine, Kyiv, 1998.

The dissertation deals with developing a description method of an equidistant figure family on a plane and calculating the perimeters of its elements. Computer programs determining geometrical shape of equidistant sets and calculating their integral characteristics depending upon the initial shape of a figure and additional conditions for shape making of an equidistant line family were designed. The dependencies among integral characteristics of certain equidistant sets were studied. A method of graphical interpreting the consequences of a forest fire upon building a topographical patch edge at predetermined time suitable for practical implementation was developed.

Keywords: geometrical modeling, equidistant set family, equidistant set integral characteristics, forest fire burning edge.