ІНСТИТУТ МАГНЕТИЗМУ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК

ТА МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КОЛЕЖУК Олексій Костянтинович

УДК 537.622.5, 538.955

Елементарні збудження та квантові фазові переходи

у спінових системах низької розмірності

Спеціальність 01.04.11 – магнетизм

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті Магнетизму НАН та МОН України.

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Рябченко Сергій Михайлович,

завідувач відділу фізики магнітних явищ

Інституту фізики НАН України;

доктор фізико-математичних наук, професор

Журавльов Анатолій Хомич,

професор кафедри функціональних матеріалів Київського

національного університету ім. Тараса Шевченка;

доктор фізико-математичних наук, професор

Ковальов Олександр Семенович,

провідний науковий співробітник відділу теоретичної фізики

Фізико-технічного інституту низьких температур

ім. Б.І.Вєркіна НАН України.

Провідна установа:

Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН

України, відділ теорії неідеальних кристалів, м. Київ

Захист відбудеться “16” вересня 2004 р. о 1400 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.248.01 при Інституті магнетизму НАН та МОН України (03142, Київ, бульвар Вернадського, 36, конференц-зал Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України (03142, Київ, бульвар Вернадського, 36).

Автореферат розісланий “27” липня 2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої Ради Д 26.248.01

кандидат фізико-математичних наук Козлова Л.Є.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню квантових фазових переходів та особливостей спектрів елементарних збуджень, що виникають внаслідок конкуренції різних типів магнітних взаємодій у низьковимірних спінових системах.

Актуальність теми. Характерною особливістю сучасних досліджень у галузі фізики магнетизму є істотна роль квантових ефектів у явищах, які знаходяться в полі інтересів дослідників. Це зумовлено, зокрема, успіхами сучасної технології, що дозволяють створювати нові матеріали, фізичні властивості яких визначаються квантовими ефектами (наприклад, молекулярні магнетики, спінові ланцюжки та драбинки, нанотрубки, мезоскопічні магнітні структури тощо). Спінові системи низької розмірності привертають у цьому контексті особливу увагу, оскільки в них ефекти, пов’язані з квантовими флуктуаціями, виявляються набагато сильнішими, ніж у „звичайних” тривимірних системах. Під низьковимірними магнітними системами розуміють такі кристали, у яких взаємодія між магнітними іонами вздовж певної осі або у певній площині є набагато сильнішою, ніж у всіх інших просторових напрямках, таким чином, що можна вести мову про слабо зв’язані ланцюжки (ефективна розмірність ) або шари () магнітних іонів. Існує велика кількість матеріалів, що реалізують подібні структури, і дедалі більше нових сполук цього типу синтезується у останні роки, причому дедалі більшого розвитку набуває синтез матеріалів, що реалізують певну теоретичну модель „на замовлення” теоретиків.

Вирішальна роль квантових флуктуацій у формуванні основного стану спінових систем низької розмірності приводить до можливості утворення ряду екзотичних сильнокорельованих квантових магнітних станів, як показали у ряді робіт Bethe, Villain, Haldane, Affleck, Schulz, Нерсесян, Чубуков, Цвєлік та ін. Зокрема, важливою і практично мало розробленою [U1,U2] є проблема вивчення властивостей сильнокорельованих квантових магнітних станів, що виникають в модельних системах, де присутні додаткові магнітні взаємодії, що конкурують із звичайною феро- або антиферомагнітною гайзенбергівською обмінною взаємодією. Конкуренція між різними типами взаємодій може приводити до ряду нових фізичних явищ, таких, як квантові фазові переходи або перебудова структури спектру елементарних збуджень при зміні певних параметрів системи, що означає докорінну зміну фізичних властивостей матеріалу в залежності від зміни певних параметрів, які часто можна контролювати експериментально (зміною хімічного складу, прикладенням зовнішнього тиску або магнітного поля тощо). При вивченні таких явищ постає проблема розробки методу адекватного наближеного опису конкретної модельної системи, оскільки, за дуже малою кількістю винятків, такі моделі не допускають точного аналітичного розв’язку, а загальновживані методи типу теорії спінових хвиль або нелінійної сигма-моделі виявляються неефективними. Тому аналіз фізичних властивостей певної системи вимагає перш за все побудови так званої „ефективної” моделі, що правильно відображає динаміку низькоенергетичних мод.

На відміну від багатьох інших структур низької розмірності (наприклад, поверхневих структур, або двовимірного електронного газу в напівпровідниках), низьковимірні магнетики мають усі переваги об’ємних матеріалів, що забезпечує достатню інтенсивність сигналу при експериментальному вивченні термодинамічних властивостей (наприклад, питомої теплоємності) або особливостей динаміки (при дослідженні методом непружного розсіяння нейтронів тощо). Це, разом з перспективами можливого технологічного використання, обумовлює популярність низьковимірних магнетиків як об’єктів експериментального дослідження і робить актуальною задачу правильної інтерпретації таких експериментів на основі адекватних теоретичних моделей.

З іншого боку, завдяки існуванню специфічних потужних і дуже точних методів чисельного аналізу низьковимірних (насамперед одновимірних) спінових систем, таких, наприклад, як так званий метод DMRG (метод ренормгрупи матриці густини), абстрактні теоретичні моделі низьковимірних спінових структур є ідеальним полем для тестування різноманітних наближених методів і концепцій, результати застосування яких можуть бути прямим чином порівняні з даними комп’ютерних чисельних розрахунків.

Таким чином, проблема вивчення фізичних властивостей і розробки методів теоретичного опису модельних низьковимірних спінових систем з конкуруючими взаємодіями є актуальною як з точки зору фундаментальних досліджень, так і для з’ясування можливостей технологічного використання низьковимірних магнітних матеріалів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

В дисертаційну роботу увійшли результати, якi були отриманi автором за час роботи у відділі фізики магнітних матеріалів Інституту Магнетизму Національної Академії Наук України та Міністерства Науки та Освіти України в рамках державної бюджетної програми “Магнітні властивості низьковимiрних структур”, Державний реєстраційний №01974012148. Робота також фінансувалася грантами UB7000 та UB7200 Міжнародного Наукового Фонду, грантами 2/361 “Солітон”, 2.2/36 “Стінка”, 2.3/194 “Вихор” та 2.4/27 “Тунель” Державного Комітету України з питань науки і техніки, грантами 03MI4HAN8 та 03MI5HAN5 Міністерства Німеччини у справах освіти, науки і технології (BMBFT), а також грантом I/75895 Фольксваген-Фонду (Volkswagen-Stiftung).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи було з’ясування характеру нових фізичних явищ, зокрема квантових фазових переходів та особливостей спектру елементарних збуджень, що виникають у модельних спінових системах низької розмірності при наявності конкуруючих магнітних взаємодій. Прикла-дами таких взаємодій, які можуть конкурувати між собою або із стандартною гайзенбергівською обмінною взаємодією магнітних іонів, що знаходяться на сусідніх вузлах кристалічної ґратки, є анізотропія, фруструючі обмінні зв’язки, багатоспінова обмінна взаємодія, сильне магнітне поле тощо. Для досягнення поставленої мети у роботі було сформульовано і розв’язано такі наукові задачі:

·

·

·

·

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач у роботі було використано ряд аналітичних методів, зокрема варіаційний аналіз, зведення до ефективних польових теорій з використанням техніки функціонального інтегрування за когерентними станами, побудова ефективних гамільтоніанів у звуженому гільбертовому просторі, а також точні аналітичні розв’язки. Аналітичні результати, отримані з використанням наближень, порівнювалися з результатами комп’ютерного моделювання або експериментальними результатами.

Наукова новизна отриманих результатів. Усі задачі, перераховані вище, є оригінальними науковими проблемами, що були вперше сформульовані і вирішені в дисертації. Нижче наводиться перелік основних нових результатів, представлених у роботі:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечується тим, що результати отримані на основі аналітичного дослідження адекватно вибраних математичних моделей. Результати, що отримані із застосуванням варіаційного підходу та інших неконтрольованих наближень, перевірялися шляхом порівняння з даними прямого комп’ютерного моделювання. Достовірність передбачень феноменологічної моделі, запропонованої для опису S=1 холдейнівського анізотропного ланцюжка, перевірялася шляхом порівняння з експериментальними даними, отриманими для матеріалу NDMAP (що є найкращою відомою на сьогоднішній день реалізацією S=1 холдейнівського анізотропного ланцюжка) за допомогою двох різних методик (непружного розсіяння нейтронів та електронного спінового резонансу).

Наукова і практична цінність роботи. У роботі розкрито фізичні властивості квантових спінових моделей, що містять конкуруючі взаємодії, і дано детальний аналіз виникаючих при цьому квантових фазових переходів та особливостей динаміки. Основні результати роботи є теоретичними та методичними розробками, націленими на інтерпретацію даних експерименту або чисельного моделювання, що згадуються у дисертації. Тому основне практичне значення роботи полягає в успішній побудові адекватних теоретичних моделей для опису фізичних властивостей матеріалів, що містять квази-низьковимірні магнітні структури. Крім важливості отриманих результатів для фізики магнітних матеріалів, іншим аспектом практичного значення роботи є те, що відповідні методичні розробки можуть бути використані в навчальному процесі при викладанні спецкурсів з фізики магнетизму, фізики твердого тіла або застосування теоретико-польових методів у фізиці конденсованого стану.

Апробація результатів дисертації. Результати, які представлені в дисертацiйній роботі, багато разiв апробовувалися на мiжнародному науковому рiвнi як в Українi, так i за її межами: на міжнародній конференції „Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems” NEEDS'92 (Дубна, 1992) доповідалися результати про опис одновимірних антиферомагнетиків за межами нелінійної -моделі; на міжнародній конференції „Solid State Physics: Fundamentals & Applications” SSPFA'94 (Ужгород, 1994) доповідалися результати досліджень динаміки і термодинаміки солітонів з внутрішніми ступенями вільності; у рамках серії мiжнародних конференцiй „Miniworkshop on Strongly Correlated Electron Systems” (Iталiя, Трiєст) було представлено результати досліджень квантового тунелювання в магнітних солітонах (1995 р.), нове формулювання методу матричного добутку та його застосування до варіаційного та точного опису одновимірних спінових систем (1997 р.), а також результати дослідження властивостей одновимірних ферімагнетиків у сильних магнітних полях і деякі результати по точно розв'язуваним моделям спінових драбинок (1999 р.); на мiжнароднiй конференцiї STATPHYS 20 (Францiя, Париж, 1998 p.) було апробовано результати по моделям узагальнених спінових драбинок, точно розв'язних методом матричного добутку, а також по структурі елементарних збуджень у димеризованій фазі; на міжнародній конференції „Korrelationstage 2001” (Німеччина, Дрезден, 2001 р.) та на міжнародному симпозіумі пам'яті Юкави „16th Nishinomiya-Yukawa Memorial Symposium on Order and Disorder in Quantum Spin Systems” (Японія, Нішиномія, 2001 р.) доповідалися результати по квантовим фазовим переходам у фрустрованих спінових ланцюжках; результати по динаміці магнетиків із щілиною в спектрі при наявності сильного магнітного поля доповідалися на міжнародних конференціях з магнетизму „International Conference on Magnetism” ICM2003 (Італія, Рим, 2003 р.) та „Theoretical Trends in Low-Dimensional Magnetism” LDM2003 (Італія, Флоренція, 2003 р.), а також на відкритому симпозіумі „The 3rd Open Symposium on Research Project, Grant-in-Aid for Scientific Research on Priority Areas: Field-Induced New Quantum Phenomena in Magnetic Systems” (Японія, Нара, 2003 р.). Крім цього, результати дисертацiйної роботи доповiдалися автором на семiнарах і наукових зборах Iнститутiв магнетизму, металофiзики, теоретичної фiзики НАН України; на колоквіумах та семінарах інституту теоретичної фізики Університету м. Гановер, фізичного факультету Університету штата Канзас у м. Манхеттен, федеральної вищої технічної школи Цюріха, інституту П'єра та Марії Кюрі Університету Париж-VII, Інституту теоретичної фізики ім. Юкави, Кіото, та Інституту фізики твердого тіла RIKEN, Токіо.

Публікації. Основні результати дисертації, що виносяться на захист, опубліковані в 33 друкованих працях, у тому числі в 31 статті, опублікованій у міжнародних фахових журналах, і у 2 публікаціях в збірках праць конференцій.

Особистий внесок здобувача. У спільних публікаціях особисто авторові належать усі результати, включені до дисертації. Нижче наводиться конкретний перелік спільних праць із зазначенням особистого внеску автора:

В роботах [1,32] авторові належить формулювання проблеми, вибір анзацу для когерентних станів і виведення ефективної польової теорії. Теоретична частина робіт [35], так само як і аналітична (тобто крім результатів комп’ютерного моделювання) частина робіт [18–24] повністю належить авторові. У працях [6,7,10] автором запропоновано ідею виводу польових теорій і проведено аналіз фазових діаграм, а в [11–17,33] виведено ефективні лагранжіани і проведені аналітичні та чисельні розрахунки. В роботах [25–29,31] автору належить ідея та аналітичні розрахунки.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновку і переліку використаних джерел. Повний обсяг дисертації складає 365 сторінок машинописного тексту. Дисертація містить 72 ілюстрації і одну таблицю. Список використаних джерел складається з 366 найменувань і займає 42 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дослідження, сформульовані мета і задачі роботи, показана її наукова і практична цінність, новизна, викладені основні положення, що виносяться на захист.

У першому розділі вивчаються квантові фазові переходи і елементарні збудження в низьковимірних магнетиках на основі аналізу ефективних теоретико-польових моделей. Перші два підрозділи носять вступний характер. У першому підрозділі коротко викладено основи методу функціонального інтегралу за когерентними станами і його застосування для опису спінових систем; цей підхід проілюстровано на прикладі квазикласичного квантування руху окремого спіну в магнітному полі та на прикладі виведення ефективного рівняння руху намагніченості (рівняння Ландау-Ліфшица) для феромагнетиків. У другому підрозділі розглянуто виведення ефективної польової теорії (так званої нелінійної сигма-моделі) для антиферомагнетиків, описані особливості одновимірного випадку, пояснена роль топологічних ефектів, що приводять до різниці у поведінці антиферомагнітних ланцюжків цілого і напівцілого спіну (твердження Холдейна).

Третій підрозділ присвячено вивченню фазових діаграм спінових драбинок в рамках методу нелінійної сигма-моделі. Спершу розглянуто модель фрустрованої узагальненої спінової драбинки спіну з асиметричними діагональними обмінними зв’язками (див. Рис.1). Показано, що тривимірний фазовий простір моделі, що визначається відношеннями обмінних констант , , , містить площин, на яких щілина у спектрі обертається в нуль, причому рівняння цих площин при задаються формулою

(1)

де вжито позначення і вважається, що . Ці фазові границі існують в області, що визначається нерівностями , і відповідає класичній конфігурації (В) на Рис.1; вони відщеплюються від границі феромагнітної фази при ненульовому значенні .

У цьому ж підрозділі далі розглянуто модель спінової драбинки спіну , у якої вздовж ланцюжків обмінна взаємодія феромагнітна і має слабку анізотропну компоненту , , вздовж „щаблів” обмін є антиферомагнітним та ізотропним, а діагональні зв’язки відсутні. Визначено фазову діаграму основного стану моделі і показано, що рівняння фазових границь у наближенні даються рівнянням

Рис. 1. Узагальнена спінова драбинка з асиметричною діагональною взаємодією. А,В,С позначають класичні конфігурації основного стану.

. (2)

У випадку рівняння (2) відповідає фазовому переходу з невпорядкованої фази типу Холдейна до фази з антиферомагнітним дальнім порядком при збільшенні , а для це рівняння описує перехід від холдейнівської фази до так званої -фази типу Березінського-Костерліца-Таулесса (БКТ) з квазидальнім порядком і відсутністю щілини в спектрі елементарних збуджень.

В четвертому підрозділі досліджено виникнення хіральних фаз у фрустрованих антиферомагнітних ланцюжках спіну із легкоплощинною анізотропією, що описуються ґамільтоніаном виду

, (3)

де . Хіральні фази характеризуються ненульовим значенням специфічного параметру порядку – векторної хіральності . Виникнення хіральності пов’язане із спонтанним порушенням дискретної симетрії і тому не заборонено теоремою Коулмена. Побудовано польовий опис моделі і показано, що її можна ефективно звести до моделі планарного гелімагнетика. Показано, що для цілого фазова діаграма моделі у площині містить дві хіральні фази (див. Рис.2), одна з яких має щілину в спектрі, а інша є безщілинною; границя між цими фазами характеризується фазовим переходом типу БКТ, а перехід між щілинною хіральною і холдейнівською фазами належить до ізінгівського типу. Отримано наближені рівняння для фазових границь; зокрема, при і вони даються виразами

, (4а)

де для переходу між щілинною і безщілинною хіральними фазами, для переходу з щілинної хіральної до холдейнівської фази, і для переходу із холдейнівської фази до безщілинної -фази. При , але , де , рівняння фазових границь мають вигляд

. (4б)

Передбачена фазова діаграма (Рис.2) для цілого підтверджується результатами комп’ютерного моделювання Hikihara et al. [U3] для . Показано, що у випадку напівцілого топологічні ефекти придушують існування щілинної хіральної фази, що пояснює відсутність цієї фази в даних Hikihara et al. для .

У п’ятому підрозділі досліджена нелінійна динаміка так званої фази спінового нематика (фази з нетривіальнии квадрупольними кореляціями) в білінійно-біквадратичній моделі спіну 1, що описується гамільтоніаном

, (5)

де сума береться за всіма парами спінів, які знаходяться на сусідніх вузлах -вимірної кристалічної ґратки, і вважається, що . Показано, що низькоенергетична динаміка моделі ефективно описується в рамках нелінійної сигма-моделі для одиничного вектора-директора (тобто вектора довжини 1, протилежні напрямки якого фізично тотожні). Фізичний зміст має білінійна форма , що пов’язана з нематичним параметром порядку співвідношенням . В термінах матричного поля дія ефективної моделі в безрозмірних часово-просторових змінних має вигляд

A=, (6)

де безрозмірна константа взаємодії , а – координаційне число ґратки. Така сигма-модель багато в чому подібна до добре вивченої сигма-моделі, що дозволяє зробити ряд висновків про властивості нематичної фази. У розмірності основний стан моделі при нулі температур характеризується дальнім нематичним порядком. Для розмірності нематичний порядок є лише ближнім, і стан системи є формально подібним до холдейнівської фази у звичайному антиферомагнітному ланцюжку, причому щілина у спектрі елементарних збуджень відкривається експоненційно повільно поблизу границі феромагнітної фази:

. (7)

Цей результат підтверджує припущення Чубукова [U4], зроблене на основі аналізу флуктуацій на фоні нематично впорядкованого стану.

Рис.2. Запропонована фазова діаграма основного стану моделі фрустрованого ланцюжка (3) з цілим спіном , у наближенні . | В шостому підрозділі вивчено нелінійну динаміку і фазову діаграму димеризованого ланцюжка спіну 1/2 на основі побудови ефективної польової теорії, що базується на введенні спеціальних димерних когерентних станів , де і є відповідно синглетний і три триплетних стани пари (димеру) спінів 1/2. При певних припущеннях (слабкі анізотропія та зовнішнє магнітне поле тощо) векторне поле , що має фізичний сенс хіральності, , можна виключити з лагранжіана, і результуюча теорія виявляється теорією типу для дійсного трикомпонентного поля , що має сенс вектора антиферомагнетизму, . У квазикласичному наближенні проаналізовано фазову діаграму та елементарні збудження моделі. Показано, що у антиферомагнітно впорядкованій фазі збудженнями з найменшою енергією є кінкові пари, проведене квазикласичне квантування і показано, що єдиним стабільним солітонним збудженням є триплет кінків із –проекцією повного спіну .

Другий розділ присвячено вивченню квантової динаміки внутрішніх солітонних мод в одновимірних антиферомагнетиках з ромбічною анізотропією і з’ясуванню можливого прояву таких мод в експериментально спостережуваних величинах. У першому підрозділі розглянуто солітони у антиферомагнітному ланцюжку спіну з ромбічною анізотропією, при наявності зовнішнього магнітного поля , паралельного до легкої осі. Ця система описується гамільтоніаном

, , (8)

де параметр ромбічності (тобто ми маємо справу з „майже легкоосним” випадком) і . Проведене квазикласичне квантування солітонних розв’язків і проаналізовано внесок солітонної локальної моди у динамічний структурний фактор (ДСФ) . Побудовано ефективний гамільтоніан для локальної моди, що формально описує рух частинки на колі у двоямному потенціалі, з топологічним доданком, який залежить від . Показано, що динаміка цієї моди істотно залежить від значення параметру : при спектр локальної моди є осциляційним, за винятком слабкого ефекту тунельного розщеплення енергетичних рівнів, а при сильні квантові флуктуації приводять до динаміки прецесійного типу і спектру типу ротатора. Для аналізу статистичної механіки солітонного газу відомий метод солітонної феноменології узагальнено на випадок існування внутрішніх солітонних ступеней вільності і показано, що термодинамічні характеристики, такі як, наприклад, густина солітонного газу, теж істотно залежать від значення . При ДСФ є наближено аксіально симетричним, , і має вигляд

, (9)

де хвильовий вектор відраховується від антиферомагнітного Бреггівського значення , – константа гратки, відповідають енергетичним рівням солітона при збудженні локальної моди, є частоти переходів, а , де – середньоквадратична теплова швидкість солітона, – гранична швидкість магнітних збуджень, а – характерна магнонна енергія активації. Квантове число приймає значення при цілому і дорівнює , якщо напівціле. Формула (9) описує систему гаусівських піків на частотах з дисперсією кожний, з огинаючою приблизно гаусівської форми, що центрована на нульовій частоті і має дисперсію .

При ДСФ стає виражено асиметричним, його основна інтенсивність концентрується в -компоненті , а -компонента містить резонансний пік на частоті , що відповідає тунельному розщепленню в спектрі локальної моди,

, (10)

де і відповідно для цілого і напівцілого .

У другому підрозділі розглянуто випадок, що описується моделлю виду (9), але для „майже легкоплощинної” анізотропії і сильного поля, що лежить у легкій площині перпендикулярно до легкої осі, , і є близьким до характерного значення , так, що ефективний параметр ромбічності . Ця модель відповідає типовій експериментальній геометрії для матеріалу (CH3)4NMnCl3, відомого як ТММС. Показано, що у цьому випадку солітонна внутрішня мода є сильно зв’язаною з трансляційною модою руху солітону як цілого, що приводить до ряду тонких ефектів, пов’язаних із залежністю спектру локальної моди від імпульсу солітона . Для напівцілого (що реалізується в ТММС, де ), тунелювання між енергетично еквівалентними класичними станами солітона заборонено при , але стає можливим при . Показано, що мода, яка відповідає переходу між тунельно розщепленими рівнями, приводить до появи характерного піку у ДСФ, що може бути виявлений експериментально (див. Рис. 3).

Останній підрозділ присвячено тунелюванню між станами з різною хіральністю в мезоскопічній доменній стінці у тонкій полосці (дротинці) антиферомагнетика. Ця задача з математичної точки зору еквівалентна задачіі про локальну моду солітона в одновимірній моделі виду (8). Особливо цікавим є випадок немалої ромбічності , оскільки при цьому, на відміну від випадку , первинну польову задачу не можна ефективно звести до квантовомеханічної з одним ступенем вільності, і відповідно інстантон, який з’єднує класичні стани з різною хіральністю, є суттєво двовимірним. Показано, що у цьому випадку формула (10) для тунельного розщеплення змінюється на

, (11)

Рис. 3. Динамічний структурний фактор (що визначає інтенсивність сигналу електронного спінового резонансу) для моделі (8) при і різних значеннях ефективного параметру ромбічності : (a) ; (b) , де - характерна енергія солітона. Стрілки вказують нижній край магнонного континууму при .

при цьому для задачі про мезоскопічну доменну стінку треба замінити на , де – число магнітних іонів в перерізі стінки. Оскільки в реальному експерименті буде флуктуювати в залежності від положення стінки, а множник приймає два різні значення в залежності від того, чи є цілим або напівцілим, то для напівцілого мають спостерігатися резонанси на двох різних значеннях частоти .

У третьому розділі викладений метод побудови хвильових функцій у вигляді матричного добутку (МД) і на ряді конкретних прикладів (що є окремими фізично цікавими задачами і представляють самостійний інтерес) розглянуте його застосування для варіаційного опису одновимірних спінових систем. Метод МД-хвильових функцій вперше застосовано Klьmper et al [U5] і у подальшому розроблено і узагальнено автором. У першому підрозділі пояснюється вперше запропонований автором спосіб побудови МД-хвильових функцій з фіксованим значенням повного спіну та його проекції : Нехай є повний набір станів елементарної комірки певної одновимірної спінової системи, що класифіковані за їх повним спіном , його проекцією та довільними іншими квантовими числами . Визначимо елементарну матрицю таким чином:

, (12)

де – коефіцієнти Клебша-Гордана, – вільні параметри, а – незвідні тензорні оператори, що трансформуються згідно з представленням групи обертань і діють у деякому „допоміжному” просторі M. Простір M завжди можна вибрати у вигляді певного розбиття на мультиплети , тоді конкретне матричне представлення операторів диктується теоремою Вігнера-Екарта, . Таким чином будується елементарний „матричний стан” , що трансформується згідно з представленням групи обертань і містить вільні числові параметри і . Подальша побудова хвильових функцій з таких матричних станів проводиться так само, як і для звичайних спінових станів. Наприклад, для ферімагнетика з некомпенсованим спіном на елементарну комірку пробна хвильова функція основного стану, що має повний спін і його -проекцію рівними , де – число елементарних комірок, буде мати вигляд

, (13)

де шпур береться у допоміжному (матричному) просторі. Описано властивості МД-хвильових функцій, зокрема, самоподібність, ближній характер спінових кореляцій, наявність прихованого нелокального (так званого струнного) параметру порядку. Показано, що описаний вище спосіб дає відомі МД-представлення хвильових функцій так званих VBS (valence bond solid) станів ланцюжка спіну як частинний випадок. формули (13) для , і проілюстровано отримання нових МД-представлень на прикладі спінових драбинок, ферімагнітного ланцюжка спінів 1 і 1/2 і антиферомагнітного ланцюжка спіну 1.

У другому підрозділі МД-представлення застосовано для вивчення основного стану і елементарних збуджень ферімагнітного ланцюжка, що складається із спінів 1 і Ѕ і описується гамільтоніаном вигляду

, (14)

де і є відповідно оператори спінів 1 і Ѕ, що належать до -ї елементарної комірки. Показано, що пробна функція виду (13), де матриця має розмірність і відповідно , а співпадають з матрицями Паулі, дає значення енергії основного стану, що збігається з результатами комп’ютерного моделювання з точністю до 0.4%, а для кореляційних функцій в основному стані похибка не перевищує 5%. Закон дисперсії магнонів оптичної гілки відтворюється варіаційно з точністю у межах 0.5%, див. Рис.4.

Рис.4. Дисперсія оптичної гілки магнонів у моделі ферімагнітного ланцюжка (14), отримана варіаційно на основі МД-анзацу (крива), у порівнянні з чисельними даними, отриманими методом точної діагоналізації скінченних ланцюжків довжини елементарних комірок.

Рис.5. Схематичний вигляд основного стану фрустрованого ланцюжка спіну 1: (a) стан з однією струною, що відповідає холдейнівській фазі при ; (b)–(d) стани з двома струнами, що містяться у хвильовій функції „подвійної” холдейнівської фази при ;

Третій підрозділ демонструє застосування МД-методу для аналізу конфайнменту спінонів у зигзагоподібному антиферомагнітному ланцюжку спіну Ѕ, що описується гамільтоніаном вигляду (3) з , при наявності слабкої димеризації, яка відповідає . Побудована пробна хвильова функція, яка у граничному випадку , (так звана модель Маджумдара-Гоша) переходить у анзац, що відповідає двом вільним солітонам у димерному порядку, а при описує композитний об’єкт, що складається з двох зв’язаних частинок і як ціле є солітоном відносно специфічного нелокального, так званого струнного (string) порядку, але фізично є локалізованим збудженням (магноном), подібно до елементарного збудження у холдейнівському ланцюжку. Такий варіаційний анзац дозволяє вивчати деконфайнмент магнона у два спінони при . Показано, що результати цього підходу добре узгоджуються з чисельними даними, отриманими для скінченних систем методом точної діагоналізації. |

Рис.6. (a) cтандартний струнний параметр порядку і „подвійний” порядок як функції фрустрації ; (b) те саме для спектральної щілини . Криві відповідають розрахункам на основі ефективного гамільтоніану для солітонних станів, що виведений у даній роботі, а символи позначають чисельні дані, отримані методом ренормгрупи матриці густини (DMRG).

Четвертий підрозділ присвячено вивченню динаміки і фазової діаграми ізотропного фрустрованого ланцюжка спіну 1, який описується гамільтоніаном вигляду (3) з . Показано, що при деякому критичному значенні , близькому до ѕ, відбувається квантовий фазовий перехід першого роду від холдейнівського стану до нової фази, яку можна собі уявити як „подвійний” холдейнівський ланцюжок, де „струни”, що відповідають нелокальному струнному порядку в кожному з двох ланцюжків, довільно переплітаються, див. Рис. 5. Під „струною” тут мається на увазі лінія, вздовж якої має місце так званий „розбавлений” антиферомагнітний дальній порядок, що відповідає чередуванню станів і , причому між будь-якими сусідніми і може знаходитися довільна кількість станів . Мірою такого струнного порядку є корелятор , де і . Параметр порядку „подвійної холдейнівської” фази може бути записаний у вигляді , де ,

. (15)

Величина параметру є нулем у холдейнівській фазі при і з’являється стрибкоподібно при переході до „подвійної холдейнівської” фази при , а параметр так само стрибком падає до нуля (див. Рис. 6). Таким чином, цей перехід можна трактувати як топологічний, при якому зв’язність (кількість струн) стрибком змінюється з 1 на 2.

Рис. 7. Схематичне зображення моделі узагальненої спінової драбинки з чотирьохспіновою взаємодією.

Наочне уявлення про властивості основного стану холдейнівської фази може бути отримане за допомогою VBS-стану, який у МД-представленні має вигляд (13), де . Такий стан є точним основним станом так званої AKLT-моделі, яка містить на додаток до гайзенбергівської ще й біквадратичну взаємодію і описується гамільтоніаном

.

Хоча для холдейнівського ланцюжка цей VBS-стан є лише наближенням до справжньої хвильової функції основного стану, цінність його полягає в тому, що він правильно передає основні фізичні властивості моделі, такі, як струнний порядок, наявність лише ближніх антиферомагнітних кореляцій, тощо. Елементарне збудження в холдейнівській фазі є солітоном у струнному порядку, який можна апроксимувати МД-станом

,

де є повний спін збудження. Солітонні стани не є взаємно ортогональними, і замість них зручно ввести інші, ,що утворюють ортогональний базис, . Розглядаючи VBS-стан AKLT-моделі як вакуум і вводячи оператори народження солітонних станів , на основі цього МД-анзацу для солітонних станів побудовано ефективний гамільтоніан моделі і чисельно розраховано енергії елементарних збуджень і значення параметра порядку в залежності від (див. Рис. 6).

В четвертому розділі досліджені властивості модельних одновимірних спінових систем, для яких основний і/або збуджені стани можуть бути точно знайдені у МД-вигляді. Перший підрозділ носить вступний характер і описує метод побудови гамільтоніанів, що мають задану хвильову функцію МД-вигляду своїм основним станом. У другому підрозділі досліджені МД-розв’язні моделі узагальнених драбинок спіну Ѕ з чотирьохспіновою взаємодією, що схематично зображені на Рис. 7. Знайдені дві родини гамільтоніанів, які мають синглетний основний стан відповідно у вигляді однорідного і спонтанно димеризованого МД-анзацу

, , (16)

де , а і є відповідно синглетний і три компоненти триплетного стану пари спінів, які складають -й „щабель” драбинки. Для однорідного стану родина гамільтоніанів є шестипараметричною і задається формулами

,

,

,

, (17)

,

,

,

де використано позначення , , , . На параметри накладаються умови , , , . Випадок , який відповідає станові у вигляді добутку синглетних пар на „щаблях” драбинки (rung-dimer), є особливим і допускає більш широку множину гамільтоніанів, яка визначається рівнянням

(18)

Виявляється, що підмножина родини (18), яка задовольняє додаткові умови

, (19)

дозволяє побудувати точні хвильові функції триплету магнонних збуджень з повним спіном , закон дисперсії яких має вигляд

(20)

Побудова точних хвильових функцій збуджених станів виявляється можливою також для підмножини загальної родини моделей (17), що відповідає (так звані моделі AKLT-типу). У цьому випадку точна хвильова функція описує специфічне синглетне збудження, що має повний спін (такий самий, як і основний стан) і закон дисперсії

. (21)

Загальний розв’язок для п’ятипараметричної родини гамільтоніанів, що мають спонтанно димеризований основний стан , визначається наступними рівняннями:

,

,

, , (22)

, ,

,

де вжито позначення , , і вимагається, щоб . Рівняння задає критичну лінію у просторі параметрів моделі, на якій відбувається квантовий фазовий перехід другого роду між однорідною і спонтанно димеризованою фазами: на ній загальні розв’язки (22) і (17) можуть бути зшиті. Поверхня, де обертається в нуль параметр , відповідає переходу другого роду до феромагнітної фази, а визначає перехід першого роду між фазами з різними типами струнного порядку (прикладом фаз з різним струнним порядком є з одного боку моделі AKLT-типу, а з іншого – моделі типу rung-dimer).

Якщо декілька з власних значень локального гамільтоніану одночасно зануляються, то відповідний гамільтоніан описує мультикритичну модель. Наприклад, при розв’язок (17) не залежить від параметра хвильової функції . Це означає, що основний стан моделі є сильно виродженим, причому у скінченній системі виродження експоненційно зростає в залежності від її розмірів. Розв’язок (22) також містить мультикритичну підмножину, якій відповідає і .

Рис. 8. Фазова діаграма моделі узагальненої спінової драбинки (23). Лінії фазових переходів першого і другого роду позначено відповідно штриховими і суцільними лініями. Точки М1–М3 є мультикритичними. Поблизу фазових границь літери і позначають, що відповідно енергія синглетного збудження (21) або триплетного (20) обертається в нуль на границі.

Цікавим частинним випадком є двопараметрична модель драбинки, що відповідає

, , , ,

, . (23)

Для цієї моделі, що отримала умовну назву „узагальненої моделі Бозе-Гайена” (оригінальна модель Бозе-Гайена відповідає ) можна в рамках МД-підходу отримати повну