НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

КОЛЯДА Сергій Федорович

УДК 517.938

Т О П О Л О Г І Ч Н А Д И Н А М І К А:

МІНІМАЛЬНІСТЬ, ЕНТРОПІЯ та ХАОС

01.01.02 - диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ - 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант:

доктор фіз.--мат. наук, професор,

член-кореспондент НАН України

ШАРКОВСЬКИЙ Олександр Миколайович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу теорії динамічних систем.

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук, професор

ПАРАСЮК Ігор Остапович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

декан механіко-математичного факультету;

доктор фіз.-мат. наук, професор,

член-кореспондент НАН України

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу;

доктор фіз.-мат. наук, професор

ЧЕБАН Давид Миколайович,

Молдавський державний університет,

професор кафедри математичного аналізу

і диференціальних рівнянь.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк).

Захист відбудеться 15 березня 2005 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 11 лютого 2005 р.

Вчений секретар

пеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук ПЕЛЮХ Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія динамічних систем, що бере початок з книги Анрі Пуанкаре Нові методи небесної механіки кінця ХІХ століття, є сьогодні однією з важливих областей математики. З 2000 року динамічні системи виділені окремим заголовком в класифікації математичних дисциплін Американського математичного товариства. Завдяки своїй універсальності, теорія динамічних систем використовує методи різних областей математичної науки (алгебри, аналізу, топології, ...). Оскільки вона виникла зі спроби адекватно описати події навколишнього світу, то традиційно є теоретичним базисом для різноманітних моделей в фізиці, біології, економіці тощо. Разом з тим, на сьогоднішній день проблеми, поставлені в теорії динамічних систем, проникають в інші математичні дисципліни. Вони дають їм свіжий імпульс, зберігаються при цьому деяким інструментом для розв'язання складних проблем в цій теорії, а також відкривають зовсім інші нові проблеми. Поряд з класичними напрямками теорії динамічних систем (ергодичною теорією, топологічною динамікою, маловимірною, гладкою та комплексною динаміками) з'явились зовсім нові --- алгебраїчна та арифметична динаміки.

Дисертаційна робота присвячена одному з сучасних напрямків теорії динамічних систем --- топологічній динаміці (чи іншими словами, якісній теорії диференціальних та різницевих рівнянь), теоретичні основи якої заклали G. Birkhoff, В.В. Нємицкій, В.В. Стєпанов, W.H. Gottschalk, G.A.Hedlund,G.Birkhoff Dynamical systems, New York, 1927; В.В. Немыцкий, В.В. Степанов Качественная теория дифференциальных уравнений, ОГИЗ, Москва-Ленинград, 1947 та W.H. Gottschalk, G.A. Hedlund Topological dynamics, AMS, Providence, R.I., 1955

і зокрема вивчає динаміку неперервних відображень компактних топологічних (як правило метричних) просторів в себе. Істотний внесок в її становлення зробили також J. Auslander, І.У. Бронштейн, Ya.N.Dowker, К.І. Сібірскій, О.М. Шарковський, Б.А. Щербаков та інші.

Дослідження в дисертації проводяться у кількох взаємно пов'язаних напрямках: маловимірна динаміка, мінімальні динамічні системи, топологічна ентропія та теорія хаосу. Слід зауважити, що у роботі не досліджується топологія динамічних систем, а лише використовується багато понять та властивостей з топологічного аналізу чи загальної топології. Хоча у дисертації вивчаються лише дискретні динамічні системи, усі її результати можуть бути перенесені і на неперервні динамічні системи чи більш абстрактні динамічні системи (групові чи півгрупові дії).

Маловимірні відображення почали вивчати ще в часи А. Denjoy та P. Fatou, а інтенсивно досліджують --- з 60-70-х років минулого століття. Вагомий внесок зробили Д.В. Аносов, В.І. Арнольд, А.Б. Kаток, О.М.Шарковський, Л.П. Шільніков, R. Bowen, M. Herman, Z. Nitecki, S.Smale, J. Franks, H. Furstenberg, W. Parry, Ch. Pugh, M. Shub, та пізніше О.М. Блох, М.Ю. Любіч, М.І. Малкін, L. Alseda, L. Block, F. Hofbauer, J.Guckenheimer, E. Coven, J. Llibre, R. Mane, M. Misiurewicz, J. Milnor, W.Parry, M. Rees, J. Smital, L. Snoha, S. van Strien, W. Szlenk, D. Sullivan, J.-C. Yoccoz, L.-S. Young та інші.

Насправді, до початку 70-х років минулого століття необернені неперервні відображення майже не вивчались, тобто здебільшого вивчалась динаміка гомеоморфізмів (як правило, дифеоморфізмів).

Після роботи T. Li, J. Yorke Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82(1975), Р. 985-992, де було вперше вжито слово ``хаос'' для відображень, ситуація істотно змінилась. Так, основний ``математичний'' результат роботи T.Y. Li та J.A. Yorke, як виявилось, був тільки частковим випадком теореми про співіснування періодів періодичних траєкторій, яку довів більше ніж 10 років до цього О.М. Шарковський (зараз відомої як теорема Шарковського). Слід зазначити, що ця робота також стимулювала дослідження одновимірних відображень (не тільки відрізка прямої, а також кола, дерев, графів та інших одновимірних континуумів). На цей час їх теорія розвинута досить сильно у багатьох напрямках.L. Block and W. A. Coppel Dynamics in one dimension, Lecture Notes in Math., 1513, Springer, Berlin, 1992; L. Alsed, J. Llibre and M. Misiurewicz Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1993, (Second edition, 2000.); W. de Melo and S. J. van Strien One-dimensional dynamics, Springer, Berlin, 1993; [1, 2]

Звичайно, досить актуальним стає питання про можливість поширення знань з одновимірної динаміки на відображення просторів більшої розмірності.

Дослідження мінімальності та розширень мінімальних систем є центральними в теорії динамічних систем.И.У. Бронштейн Расширения минимальных групп преобразований, Штиинца, Кишинев, 1975; J. Auslander Minimal flows and their extensions, North-Holland Mathematics Studies, 153, North-Holland, Amsterdam, 1988; J. de Vries Elements of topological dynamics, Mathematics and its Applications, 257, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993.

Серед динамічних систем мінімальні --- це ті, що не мають нетривіальних власних підсистем. Будь-яка топологічна динамічна система на компактному просторі має мінімальну підсистему.

Будемо називати простір мінімальним, якщо він допускає існування мінімального відображення (мінімальної динамічної системи). Досить важливе і давнє питання --- які компактні хаусдорфові простори (компактні метричні простори, континууми, ...) допускають мінімальні відображення? Якщо деякий простір є мінімальним, то, як правило, доведення грунтується на деякому стандартному мінімальному відображенню на цьому просторі. Доведення немінімальності часто пов'язане з властивістю нерухомої точки. Наприклад, відомо, що довільний гомеоморфізм на компактному многовиді з ненульовою Ейлеровою характеристикою має періодичну точку. Таким чином, всі компактні поверхні, за виключенням тора та пляшки Клейна, не допускають мінімальних гомеоморфізмів.

У багатьох важливих прикладах мінімальними відображеннями є гомеоморфізми. В 60-х роках минулого століття J. Auslander сформулював проблему --- чи може неперервне відображення, яке не є взаємно однозначним, бути мінімальним? Сьогодні добре відомо, що це так, і є багато прикладів, зокрема, які належать саме J. Auslander. Але не було відомо жодного такого прикладу на поверхнях. З іншого боку, скажімо, на відрізку, очевидно, нема мінімальних відображень, а коло, як добре відомо, допускає мінімальний гомеоморфізм і (як показали в 1979 році J.Auslander та Y. Katznelson) не допускає мінімального необерненого відображення. Якщо це так, то постає природне питання про (топологічні) властивості мінімальних відображень.

Означень, асоційованих з терміном хаос, досить багато. Так, ідею чутливості D. Ruelle та F.TakensD.Ruelle, F.Takens On the nature of turbulence, Comm. Math. Phys.,20(1971), 167-192

в топологічну динаміку ввели J. Auslander та J.A. Yorke.J. Auslander, J.A. Yorke Interval maps, factors of maps, and chaos, Tohoku Math. Journ., 32(1980), 177-188.

Пізніше вона стала відомою для широкого загалу завдяки R.L. Devaney.R.L. DevaneyAn introduction to chaotic dynamical systems, 2nd ed., Addison Wesley, 1989.

Ідея чутливості полягає в існуванні такого додатного ? , що в орбіті пари точок (x,y) інколи точки мають бути хоча б на відстані ?. Вона була детально вивчена для транзитивних відображень в роботах J.Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis та P. Stacey; E. Glasner та B. Weiss; S. Silverman; E. Akin, J. Auslander та K. Berg.

При вивченні відображень відрізка T. Li та J.A. Yorke запропонували розглядати проксимальні пар (x,y), які не є асимптотичними. Для більш загальних динамічних систем це поняття фактично раніше не вивчалось. Ми розглянемо ці дві популярні ідеї, а також детально розглянемо нову концепцію, що зв'яже їх між собою.

Зараз одним з центральних об'єктів теорії динамічних систем є топологічна ентропія. Вона є кількісною мірою складності (хаотичності) динамічної системи, топологічним інваріантом, деяким топологічним варіантом метричної ентропії Колмогорова--Сіная і вперше з'явилась у роботі: R.L. Adler, A.G. Konheim and M.H. McAndrew Topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc., 114(1965), 309-319. Вагомий внесок в розвиток теорії (топологічної) ентропії зробили Е.І. Дінабург, Б.М. Гуревіч, М.Л. Громов, А.Б. Каток, І.Н. Іомдін, F. Blanchard, R. Bowen, T. Downarowicz, E.Glasner, L.W. Goodwyn, H. Furstenberg, M. Misiurewicz, F. Przytycki, D.Ruelle, B. Weiss та інші. Незважаючи на велику кількість результатів з цієї тематики, залишаються, зокрема, відкритими питання аксіоматичних означень та узагальнення властивостей топологічної ентропії.

Сьогодні динамічні системи вже відіграють важливу роль в прогресі математики в цілому. Так, з огляду на це, в одному з головних світових математичних центрів --- Ін-ті математики товариства Макса Планка (м. Бонн, Німеччина), вперше за всю історію інституту, цьогорічна активність була ``Алгебраїчна та Топологічна Динаміка'', травень--липень, 2004. Понад 70 математиків з усього світу були запрошені для участі. Членом Організаційного комітету, до якого входили А.М. Вершік (Росія), C. Deninger (Німеччина), Е. Glasner (Ізраїль), Ю.І. Манін (Німеччина/Росія/США), К. Schmidt (Австрія) та T. Ward (Великобританія), був і автор цієї роботи. Таким чином, розвиток теорії динамічних систем, зокрема топологічної динаміки, це досить актуальна задача.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основна частина результатів була отримана в ході виконання п'ятирічних тем відділу теорії динамічних систем Інституту математики НАН України ``Розвиток теорії динамічних систем та її застосування до вивчення еволюційних задач'' (номер держреєстрації 01.900014763), ``Теорія динамічних систем і дослідження процесів самоорганізації та детермінованого хаосу'' (номер держреєстрації 0198U003053), ``Топологічна динаміка і нескінченновимірні динамічні системи'' (номер держреєстрації 0101U000644). До підсумкових звітів за темами ввійшли відповідні розділи, написані автором дисертації.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання істотно нових результатів з теорії динамічних систем, насамперед з теорії (необернених) неперервних відображень компактних метричних просторів.

Об'єктом дослідження є маловимірні відображення, мінімальні відображення компактних хаусдорфових (метричних) просторів, теорія хаосу для неперевних відображень компактних метричних просторів та топологічна ентропія.

Предметом дослідження є властивості ? -граничних множини траєкторій, обчислення та (аксіоматичні) означення топологічної ентропії, топологічні властивості мінімальних відображень та існування мінімальних просторів, дослідження властивостей трикутних відображень, проксимальних властивостей та різних концепцій хаосу.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і основні з них полягають в наступному.

Одновимірні динамічні системи: Для динамічної системи, що задається неперервним відображенням T відрізка прямої, описано топологічну структуру всіх T-зв'язних множин.

Введено нові класи неавтономних кусково-монотонних динамічних систем та доведено аналог теореми Мішюревіча--Шлєнка для обчислення топологічної ентропії таких систем.

Маловимірні динамічні системи: Побудовано основи теорії трикутних неперервних відображень (квадрата в себе). В динаміці таких відображень знайдено істотну відмінність від неперервних відображень відрізка. Зокрема, на відміну від відображень відрізка, існують трикутні нескінченно гладкі відображення квадрата з додатною топологічною ентропією, будь-яка періодична траєкторія яких має період 2 ?, n=0,1,2, … .

Розв'язано відому проблему Ауслендера: встановлено існування необернених мінімальних відображень на торах розмірності ? 2.

Мінімальні динамічні системи: Для неперервних відображень компактних хаусдорфових просторів встановлено існування тісного зв'язку між їх мінімальністю, оберненістю та відкритістю. Зокрема показано, що мінімальне відображення є майже відкритим, а відкритим воно може бути лише тоді, коли воно є гомеоморфізмом. Доведено, що будь-яке мінімальне відображення на компактному метричному просторі є майже взаємно однозначним відображенням і ``істотною'' частиною його є мінімальний гомеоморфізм.

Встановлено існування компактних хаусдорфових просторів, що допускають існування мінімальних необернених неперервних відображень, але не допускають мінімальних гомеоморфізмів (більше того, мають властивість нерухомої точки для довільного гомеоморфізму).

Теорія хаосу та загальні проблеми топологічної динаміки: Концепцію хаосу за Лі--Йорком, що була детально вивчена в основному лише для одновимірної динаміки, досліджено для загальних динамічних систем на метричних компактних просторах. Зокрема, введено та вивчено новий клас динамічних систем, що певною мірою близький за властивостями до дистальних --- майже дистальні динамічні системи (системи, що не мають пар точок Лі--Йорка). Розв'язана досить відома давня проблема про існування проксимальних, але не асимптотичних пар точок (тобто пар Лі--Йорка) в системах з додатною ентропією. Насправді, отримано більш загальний результат --- системи з додатною топологічною ентропією є хаотичними за Лі--Йорком.

Знайдено ряд еквівалентних властивостей чутливої залежності (від початкових умов). Введено нову концепцію хаотичних систем, яка поєднує в собі терміни чутливої залежності від початкових умов та хаосу Лі--Йорка --- чутливість Лі--Йорка. Проведено аналіз властивостей таких систем в порівнянні з іншими. Зокрема, доведено, що слабко змішані системи є чутливими в сенсі Лі--Йорка.

Доведено, що для довільної слабко змішаної динамічної системи проксимальна клітка будь-якої точки фазового простору є скрізь щільною (резидуальною) в ньому. Таким чином, узагальнено відомі результати H.B.Keynes, J.B. Robertson та Benjamin Weiss.

Топологічна ентропія: Означення топологічної ентропії поширено на неавтономні динамічні системи, що задаються послідовністю неперервних відображень на компактному просторі. Проведено детальне вивчення основних властивостей топологічної ентропії таких систем. Зокрема, встановлено комутативну властивість топологічної ентропії (автономної) динамічної системи.

Знайдено точні нижні оцінки значень топологічної ентропії для транзитивних відображень кола, n-зірки при довільному n > 2 та певного класу транзитивних розширень, який містить в собі транзитивні трикутні відображення квадрата.

Запропоновано аксіоматичні означення топологічної ентропії та топологічного хаосу для неперервних відображень відрізка.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер і її результати знайдуть застосування в подальшому розвитку загальних напрямків топологічної динаміки, зокрема теорій мінімальності, ентропії та хаосу. Разом з тим, оскільки теорія динамічних систем традиційно грає роль теоретичного базису для різноманітних моделей в фізиці, біології, економіці тощо, реальне практичне значення можуть набути результати пов'язані з теорією хаосу та ентропією.

Дисертація може бути використана для читання спецкурсів з теорії динамічних систем на факультетах прикладної математики, механіко-математичних, фізичних та радіо-фізичних факультетах університетів.

Особистий внесок здобувача. Результати, викладені у підрозділах 4.1.1, 4.1.2, 4.5 отримані автором самостійно. Результати підрозділів 2.1, 4.1.3, 3.1, 5.1 одержані у співавторстві з L. Snoha, підрозділу 3.4 --- з E.Akin, підрозділів 2.2.1, 2.2.3 --- з L. Snoha та C.I. Трофімчуком, підрозділів 2.2.2, 2.2.3 --- H. Bruin та L. Snoha, підрозділу 5.2 --- з M.Misiurewicz та L. Snoha, підрозділів 4.2, 5.3 --- з L. Alseda, J. Llibre та L. Snoha, підрозділів 3.2, 3.3 --- з E. Glasner, F. Blanchard та A. Maass. Внесок співавторів є рівноцінним. Основні результати, які виносяться на захист, одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались: постійно на семінарі відділу теорії динамічних систем Ін-ту математики НАНУ (керівник: член-кор. НАНУ О.М. Шарковський)та семінарі з топологічної динаміки названого Ін-ту (керівник: автор цієї роботи); на Київському семінарі з функціонального аналізу (керівники: академік Ю.М. Березанський та член-кор. НАНУ М.Л. Горбачук); на об'єднаному семінарі відділу диференціальних рівнянь і нелінійних коливань та відділу теорії динамічних систем Ін-ту математики НАНУ (керівники: академік А.М. Самойленко та член-кор. НАНУ О.М. Шарковський); на Київському семінарі з нелінійного аналізу (керівник: академік І.В. Скрипник) та на загальноінститутському семінарі з експертизи докторських дисертацій Ін-ту математики НАНУ (керівник: академік А.М. Самойленко), та на наукових семінарах в низці закордонних університетів. Зокрема неодноразово на семінарах: з динамічних систем Автономного університету Барселони; з дискретних динамічних систем Ін-ту математики Люміні в м. Марсель; з ергодичної теорії та динамічних систем університетів м. Париж; з алгебри, геометрії та фізики Ін-ту математики товариства Макса Планка в м. Бонн.

Основні результати роботи доповідались на багатьох представницьких міжнародних наукових форумах, зокрема: Першому Європейському конгресі математиків (м. Париж, 1992); Міжнародному конгресі математиків (м. Цюріх, 1994); Європейських конференціях з теорії ітерацій (м. Батчунс, 1989,1992; м. Ла Манга, 2000; м. Евора, 2002); міжнародних конференціях: ``Low Dimensional Dynamics'' (с. Обервольфах, 1993); ``Thirty Years After Sharkovskii's Теорема. New Perspectives'' (м. Ла Манга, 1994); ``Ergodic Theory and Dynamical Systems'' (м. Варшава, 1995); ``Discrete Dynamical Systems'' (м. Барселона, 1997); ``Dynamical Systems and Ergodic Theory'' (с. Кацивелі, 2000); ``Ergodic Theory and Dynamical Systems'' (м. Париж, 2001); ``Symbolic Dynamics and Ergodic Theory'' та ``Geometric Aspects of Dynamical Systems'' (м. Уорвік, 2003); ``Algebraic and Topological Dynamics'' (м. Бонн, 2004).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані в 2-х монографіях [1,2], 18-ти працях [3--20], що опубліковані в провідних українських та закордонних наукових фахових виданнях та 2-х працях [21,22] у фахових книгах з теорії ітерацій (що також попередньо рецензувалися, а потім реферувалися Mathematical Review Американського математичного товариства та Zentralblatt Європейського математичного товариства). Крім того, деякі результати за темою дисертації анонсовані в 7-ми тезах [23-29] міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та бібліоґрафії, що містить 255 найменувань. Повний обсяг роботи складає 337 сторінок, з них бібіліоґрафія займає 24 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, висвітлюється питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій.

Перший розділ містить огляд літератури та стислий огляд основних результатів дисертації.

Другий розділ дисертації в цілому присвячений топологічно транзитивним та мінімальним динамічним системам. Такі системи, як правило, є первинними об'єктами дослідження будь-яких динамічних систем, зокрема, топологічних динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями компактних просторів в себе. Розділ містить 2 підрозділи.

Перший підрозділ, в основному, є оглядом з транзитивності. З одного боку --- це ознайомлення та огляд відомих результатів, з іншого --- огляд деяких найбільш важливих нових підходів та результатів. У цьому підрозділі наводяться основні властивості топологічно транзитивних динамічних систем, а також їх підкласів: таких, що мають властивості топологічної та топологічно слабкої змішуваності, специфікації, щільності множин мінімальних (зокрема періодичних) точок, так звані системи Фюрстенберга та Девані. Досліджуються множини транзитивних та нетранзитивних точок, наведено ряд еквівалентних означень топологічної транзитивності.

Нехай X --- метричний простір, а f: X > X --- неперервне відображення (коротко будемо писати f є C(X) ). Розглянемо такі дві властивості: (TT) для довільної пари непорожніх відкритих множин U та V в X , існує додатне число n таке, що f^n(U) n V ? 8; (DO) існує точка x є X така, що її орбіта є скрізь щільною в X . Як здебільшого і прийнято, адаптуємо властивість (TT) за означення топологічної транзитивності, хоча деякі автори замість неї беруть (DO). Довільну точку зі скрізь щільною орбітою будемо називати транзитивною точкою. Точку, що не є транзитивною назвемо нетранзитивною. Множину транзитивних та нетранзитивних точок (X,f) будемо позначати через tr (f) та intr (f) відповідно.

Взагалі ці дві властивості є незалежними. Проте, необхідно відмітити, що в довільних компактних просторах (TT) та (DO) є еквівалентними для сюр'єктивних відображень. Якщо f --- транзитивне (тобто задовольняє (TT)), то f є сюр'єктив-ним відображенням. Якщо компактний метричний простір допускає транзитивне відображення (тобто, якщо існує неперервне самовідображення f простору X , що задовольняє (TT)), то X не має ізольованих точок тоді і тільки тоді, коли він нескінченний. Ми вивчаємо також інші можливі еквівалентні означення.

Припустимо, що (X,f) не будь-яка нескінченна динамічна система, а стандартна, тобто коли простір X не має ізольованих точок. Тоді, у будь-якій стандартній динамічній системі (СДС) (X,f) існують такі можливості: {a} tr (f) = 8 , intr (f) = X ; {b} tr (f) є скрізь щільною G? : intr (f) = ? (мінімальність) або ж intr (f) є скрізь щільною.

Наступна теорема показує, що іншої можливості не існує.

Теорема 2.3. Нехай (X,f) є СДС. Тоді множина є tr (f) є або ж порожньою, або є скрізь щільною в X (еквівалентно: якщо tr (f) має порожню внутрішність, то система є мінімальною).

У другому підрозділі розглянуто динамічні системи (X; f) , що задаються хаусдорфовими топологічними просторами X та неперервними самовідображеннями f на X .

Нехай X --- хаусдорфів топологічний простір, а f: X X --- неперервне. Нагадаємо, що динамічна система (X; f) називається (топологічно) мінімальною, коли не існує власної підмножини M c X , яка є непорожньою, замкненою та f -інваріантною (тобто, f(M) c M ). У цьому випадку також говоримо, що відображення f є мінімальним. Зауважимо, що cистема (X,f) є мінімальною тоді і тільки тоді коли (додатна) орбіта кожної точки X є скрізь щільною в X .

При вивченні неперервних самовідображень компактних хаусдорфових просторів виявлено тісний зв'язок між мінімальністю, оберненістю та відкритістю. Насправді довільне мінімальне відображення є майже відкритим (тобто, відображає будь-яку непорожню відкриту множину у множину з непорожньою внутрішністю), а якщо відображення навіть і відкрите, то воно обернене і, будучи неперервною самобієкцією хаусдорфового простору, є гомеоморфізмом.

Теорема 2.5. Нехай X --- хаусдорфів компактний простір і f є C(X) .

1.

2.

Завдяки цій теоремі вдається показати, що якщо f --- мінімальне відображення, а A c X , то обидві множини f(A) і f^{-1}(A) мають деякі одинакові топологічні властивості з множиною A . Наприклад, якщо A --- резидуальна, то обидві f(A) і f^{-1}(A) є резидуальними; якщо A --- відкрита непорожня, то існує таке додатне ціле r , що виконується така властивість: ?_{k=0}^r f^{-k} (A) = ?_{k=0}^r f^k(A) =X (детальніше див. теорему 2.6).

Нагадаємо, що відображення f: X X називають майже взаємно однозначним, якщо для довільного x з деякої G_д -?ільної множини в X , card (f^{-1}(x))=1 . В означенні замість ``G_?-щільна'' можемо використовувати ``резидуальна'', тому що будь-яка G_? -щільна множина є резидуальною і довільна резидуальна множина (в деякому компактному метричному просторі) містить в собі G_? -щільну підмножину. Таким чином, відображення називають майже взаємно однозначним, якщо типово прообраз точки є одноелементною множиною.

Нехай f: X X , g: Y Y і ?: X\to Y --- неперервні, а ? до того ж сюр'єктивне. Нехай ? ? f = g ? ц , ?обто ? є півспряженість. Тоді говорять, що f є розширенням g , а g є фактором f . Це розширення g (фактор f ) називають майже взаємно однозначним, якщо півспряженість ? є майже взаємно однозначним відображенням, тобто якщо для довільної точки y з деякої резидуальної підмножини Y , card (ц^{-1}(y))=1 .

У топологічній динаміці майже взаємно однозначні відображення (розширення) відіграють дуже важливу роль. Доведено, що будь-яке мінімальне відображення на компактному метричному просторі є майже взаємно однозначним, і більше того, його обмеження на деяку ``істотну'' (інваріантну резидуальну) підмножину буде мінімальним гомеоморфізмом. Справді, маємо такий результат.

Теорема 2.7. Нехай (X, ?) --- компактний метричний простір, а fє C(X) --- мінімальне. Тоді множина A= \{xє X :\ \card f^{-1}(x)=1\} є G_{?} -щільною множиною в X , і відповідно f є майже взаємно однозначним.

\end{Теорема}

Ця теорема дає нам змогу показати, що ``істотна'' частина мінімального відображення є мінімальним гомеоморфізмом.

Теорема 2.8. Нехай (X, ?) --- компактний метричний простір, а f є C(X) --- мінімальне. Тоді існує резидуальна підмножина Y c X така, що f(Y)=Y і f|_Y є мінімальним гомеоморфізмом. Більше того, (f|_Y)^{-1} є також мінімальним гомеоморфізмом і f|_Y --- рівномірно неперервне, а (f|_Y)^{-1} --- рівномірно неперервне тоді, коли f є гомеоморфізмом (у цьому випадку можемо покласти Y=X ).

Жоден із раніше відомих нам прикладів необернених мінімальних відобра-жень не був прикладом відображення на многовиді. На відрізку не існує мінімального відображення взагалі, і добре відомо, що коло допускає мінімальний гомеоморфізм, але не допускає необерненого мінімального відображення.

На торах розмірності n = 2 ситуація є відмінною від випадку n = 1 , показано, що вони допускають мінімальні необернені відображення.

Теорема 2.11. Існує мінімальне (точково дистальне) необернене відображення на

2 -вимірному торі Т? таке, що деяке його розширення є мінімальним точково дистальним гомеоморфізмом косого добутку на Т? та деякий його фактор є мінімальним дистальним гомеоморфізмом на Т?.

Теорема 2.12. Будь-який ірраціональний поворот на 2 -вимірному торі Т? має майже взаємно однозначне розширення, яке є мінімальним необерненим відображенням на ТІ.

Підсумуємо: існують компактні простори, що не допускають ніяких мінімальних відображень (інтервал, квадрат, 2 -вимірна сфера), існують простори, що допускають мінімальні гомеоморфізми, але не допускають мінімальних необернених відображень (коло), і існують простори, що допускають обидві ситуації --- мінімальні гомеморфізми та мінімальні необернені відображення (канторова множина, n -вимірні тори, n ? 2 ).

Ми також даємо стверджувальну відповідь на питання: чи існують компактні хаусдорфові простори, що допускають мінімальні необернені відображення, але не допускають мінімальних гомеоморфізмів?

Теорема 2.13. Будь-який мінімальний гомеоморфізм косого добутку на 2 -торі Т? з асимптотичною парою точок має фактор, що є необерненим мінімальним відображенням на 2 -вимірному неоднорідному континуумі X (насправді X є фактор-простором Т? ) такому, що довільний гомеоморфізм на X має нерухому точку.

Ми також використовуємо гомеоморфізм на торі з блукаючими областями (аналог прикладу Данжуа на колі), щоб показати існування неоднорідних метричних континуумів (насправді підмножин тора, які схожі до кривих Сєрпінського на сфері, на яких, як відомо, мінімальних гомеоморфізмів немає), які допускають існування обох випадків, і мінімальних необернених відображень, і мінімальних гомеоморфізмів. Невеличка модифікація цієї конструкції також дає неоднорідний метричний континуум, що допускає мінімальне відображення, але не мінімальний гомеоморфізм (див. теорему 2.14).

Третій розділ присвячено дослідженню топологічних динамічних систем, що задаються неперервними відображеннями на топологічних компактних просторах. Це зроблено на основі нових концепцій означень хаотичної поведінки таких систем, або коротко --- хаосу. Протягом всього розділу (топологічна) динамічна система (X,T) є парою, де X --- нетривіальний компактний метричний простір з метрикою ? , а T: X X --- сюр'єктивне неперервне відображення.

Як ми вже відмічали, поняття хаосу по відношенню до відображення вперше було використане T. Li та J. Yorke, хоча і без формального означення. Сьогодні існує багато означень того, що значить для деякого відображення бути хаотичним (деякі з них працюють істотно лише на спеціальних просторах). Незважаючи на те, що хтось може сказати ``скільки авторів --- стільки і означень'', основою їх, як правило, є ідея непередбачуваності поведінки всіх чи багатьох траєкторій, чи хоча б однієї, коли позиція точки з траєкторії розглядається з певною похибкою (нестійкість точок чи чутлива залежність від початкових умов --- терміни, що, як правило, вживаються для опису цього феномену).

В першому підрозділі ми працюємо з одним із цих означень, точніше з хаосом Лі--Йорка. Наша головна мета: об'єднати це поняття з загальним скелетом топологічної динаміки; раніше це було зроблено в більшій мірі лише для відображень відрізка.

Означення хаосу Лі--Йорка базується на ідеях згаданої вище роботи. Пару точок {x,y} з X будемо називати парою Лі--Йорка (з модулем ? ), якщо \liminf_{n 8} с(T?(x),T?(y)) = 0, але \limsup_{ n 8} с(T?(x),T?(y)) > д > 0. ?инамічна система називається хаотичною в сенсі Лі--Йорка, якщо вона містить в собі незліченну скрамблену множину. Множина A \subset X є cкрамбленою, коли будь-яка пара різних точок в A задовольняє умову Лі--Йорка, тобто, якщо x,y є A та x ? y , то (x,y) --- пара Лі--Йорка.

Який зв'язок між Лі--Йорка та іншими концепціями хаосу? З яких топологічних властивостей системи випливає існування пар Лі--Йорка чи скрамбленої множини? З іншого боку не можна зрозуміти хаос Лі--Йорка, коли не знати протилежне --- властивості систем без пар Лі--Йорка. Це питання також розглядається у цьому підрозділі.

Перш за все, ми даємо стверджувальну відповідь на досить давно відому проблему --- чи є системи з додатною топологічною ентропією хаотичними в сенсі Лі--Йорка?

Теорема 3.3. Нехай (X,T) --- топологічна динамічна система.

2. Якщо (X,T) має додатну топологічну ентропію, то вона є хаотичною за Лі--Йорком.

Але не тільки пари Лі--Йорка завжди присутні у системах з додатною ентропією: там завжди є також асимптотичні пари, тобто пари (x,y) такі, що ?(Tn(x), Tn(y)) 0 , коли n ? (F. Blanchard, B. Host та S. Ruette). Більше того, очевидно, що коли система мінімальна, то там обов'язково є дистальні пари. Таким чином, мінімальні системи з додатною ентропією мають всі види пар точок: дистальні, асимптотичні та Лі--Йорка.

Досліджуються також системи без пар Лі--Йорка. Будемо їх називати майже дистальними. Дійсно, дистальні системи мають цю властивість, але як будемо бачити, клас таких систем набагато ширший. Системи без пар Лі--Йорка зберігають базисні властивості дистальних систем. Ми вже бачили, що ці системи також мають нульову ентропію; вони мінімальні, коли транзитивні (див. Теореми 3.8, 3.9).

Поняття несумісності у теорію динамічних систем ввів H. Furstenberg: дві несумісні системи не мають спільних факторів, але ця властивість більш строга. F. Blanchard, B. Host та A. Maass вдалось дещо узагальнити результат H. Furstenberg, а саме: мінімальні дистальні системи несумісні з усіма розсіюваними системами. Ми узагальнюємо і їх результат.

Теорема 3.10. Будь-яка транзитивна майже дистальна система є несумісною з будь-якою розсіюваною системою (зокрема з будь-якою слабко змішаною системою)

У другому підрозділі ми вводимо і вивчаємо нову концепцію означень хаотичних систем, що пов'язує версію Лі--Йорка хаосу з поняттям чутливої залежності від початкових умов, яке викликає велику зацікавленість з точки зору подальшого вивчення властивостей топологічних динамічних систем.

Ідею \emph{чутливості} у топологічну динаміку ввели J. Auslander та J.Yorke, і пізніше вона стала популярною завдяки R. Devaney. Систему (X,T) називають чутливою (чи чутливо залежною від початкових умов), якщо існує ? > 0 таке, що будь-яка x є X є границею точок y є X таких, що с(T?(x),T?(y)) > е ?ля деякого додатного n .

При вивченні неперервних відображень відрізка (як ми вже відмічали) T. Li та J. Yorke запропонували досліджувати пари (x,y), які є проксимальними, але не асимптотичними.

Точку x є X називають точкою одностайної неперервності (чи (X,T) є одностайно неперервною в x ), якщо для довільного ? > 0 існує ? > 0 таке, що як тільки y є X задовольняє с(x,y) < д , ?о ?(Tn(x),T?(y)) < е для всіх n ? 0 . Звичайно, якщо усі x є X є одностайно неперервними точками, то і система (X,T) є одностайно неперервною.

Коротко нагадаємо деякі відомі властивості чутливих систем. Нехай (X,T)

--- топологічно транзитивна динамічна система. Тоді має місце точно один з наступних випадків: (А) Припустимо, що існує точка одностайної неперервності для системи. Тоді множина точок одностайної неперервності співпадає з множиною транзитивних точок і система є майже одностайно неперервною. Відображення T є гомеоморфізмом і обернена система (X,T^{-1}) є також майже одностайно неперервною. Більше того, система є \emph{ рівномірно жорсткою}, що означає існування підпослідовності в { T? : n= 0,1,... } , яка збігається рівномірно до тотожного відображення. (В) Нехай система не має точок одностайної неперервності. Тоді система є чутливою.

Зокрема, як наслідок, додатково --- мінімальні системи є або чутливими, або одностайно неперервними.

Трохи пізніше ми дамо більш вишуканий результат, який має місце без умови транзитивності системи. Щоб його сформулювати, потрібні деякі означення.

Нагадаємо означення та деякі властивості проксимальних та асимптотичних пар для динамічної системи (X,T) . Позначимо через Prox(T) множину всіх проксимальних пар, тобто, Prox(T) = {(x,y): liminf_{ n 8} с(T?(x),T?(y)) = 0 }. ~ Для будь-якої підмножини R c X x X та довільної точки x є X позначимо R(x) = { y : (x,y) є R }. Множину Prox(T)(x) будемо називати проксимаьною кліткою точки x , вона складається з тих точок, які проксимальні до x . Точку x називають дистальною точкою, якщо Prox(T)(x) = {x} . Система (X,T) називається дистальною, коли всі точки з X дистальні.

Одна з основних теорем топологічної динаміки, теорема Ауслендера, стверджує, що будь-яка проксимальна клітка містить мінімальну точку. Звідси зокрема випливає, що дистальна точка завжди мінімальна, тобто є точкою з деякої мінімальної підмножини системи.

Пару точок (x,y) будемо називати е -асимптотичною, коли існує таке n є N , що с(T^{i}(x),T^{i}(y)) ? е ?ля всіх i ? n. Позначимо множину всіх ? -асимптотичних пар відображення T через Asym_?(T) . Очевидно, що деяка пара точок є асимптотичною тоді і тільки тоді, коли вона належить множині Asym_е(T) ?ля усіх додатних ? . Позначимо множину всіх асимптотичних пар через Asym(T) .

Теорема 3.13. Для динамічної системи (X,T) наступні умови є еквівалентними.

1.

2.

3.

4.

5.

Слід відмітити, що Asym_{?}(T) завжди містить не лише діагональні точки. Одна з класичних теорем Готшалка--Хедлунда (хоча просте доведення було знайдено зовсім недавно) стверджує: якщо (X,T) є оберненою системою з нескінченним простором X , то для довільного ? > 0 існує пара (x,y) різних точок таких, що с(T^{k}(x),T^{k}(y)) = е ?ля всіх додатних k .

Як наслідок теореми 3.13 маємо, зокрема, таке еквівалентне означення чутливості: систему (X,T) будемо називати \emph{чутливою (чи чутливо залежною від початкових умов),} якщо існує ? > 0 таке, що у будь-якій непорожній відкритій множині U можна знайти точки x, y є U такі, що \limsup_{ n 8} с(T?(x),T?(y)) > е .

Динамічну систему (X,T) будемо називати чутливою за Лі--Йорком, якщо існує додатне ? таке, що будь-яка точка x є X є границею точок з Prox(T)(x) \ Asym_е(T)(x) , ?обто, x є \overline{\Prox(T)(x) \setminus \Asym_?(T)(x)}. Ця умова є строго сильнішою ніж вимога чутливості. Наприклад, будь-яка мінімальна система, що є дистальною, але не одностайно неперервною, є чутливою, але не чутливою за Лі--Йорком.

Теорема 3.14. Нехай (X,T) --- динамічна система. Якщо (X,T) є чутливою за Лі--Йорком, то вона також чутлива. Якщо ж (X,T) є чутливою і для довільної x є X проксимальна клітка Prox(T)(x) скрізь щільна в X , то (X,T) також чутлива за Лі--Йорком.

Насправді в другій частині, умову, що Prox(T)(x) є скрізь щільною для всіх x є X , можна замінити більш слабкою --- для всіх x є X Prox(T)(x) є скрізь щільною в деякому околі x , чи еквівалентно, що кожна точка належить до внутрішності замикання її проксимальної клітки.

Слабко змішані системи є класом ефективного тестування для будь-якого топологічного означення хаосу. Нагадаємо, що систему (X,T) називають слабко змішаною, коли добуток системи (X x X, T x T) є транзитивною динамічною системою.

Теорема 3.15. Якщо (X,T) --- слабко змішана динамічна