НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Краснитський Сергій Михайлович

УДК 519.21

УМОВИ ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ ТА ОРТОГОНАЛЬНОСТІ ЙМОВІРНІСНИХ МІР, ЩО ВІДПОВІДАЮТЬ

ГАУССІВСЬКИМ УЗАГАЛЬНЕНИМ ОДНОРІДНИМ ВИПАДКОВИМ ПОЛЯМ

01.01.05 – Теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Київському національному університеті технологій та дизайну МОН України.

Науковий консультант:

доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Скороход Анатолій Володимирович,

Університет штату Мічиган, м. Лансінг, США,

професор відділення статистики і ймовірності;

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Булдигін Валерій Володимирович,

Національний технічний університет України “КПІ”,

завідувач кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей;

доктор фізико-математичних наук, професор

Іванов Олександр Володимирович,

Міжнародний християнський університет – Київ,

Завідувач кафедри загально-економічних дисциплін;

доктор фізико-математичних наук, професор

Майборода Ростислав Євгенович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики.

Провідна установа: Інститут кібернетики ім.В.М.Глушкова НАН України.

Захист відбудеться “ 28 ” грудня 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою:

01601, м. Київ-4, вул Терещенківська, 3,

Інститут математики НАН України.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул Терещенківська, 3.

Автореферат розіслано “ 26 ” грудня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

В авторефераті використовуєтьсч та ж сама нумерація формул, тверд-

жень і літературних джерел, що й в основному тексті дисертації. Спи -

сок наукових праць автора, вміщений в авторефераті, починається з

того ж номеру, що і в списку використаних джерел у дисертації.

Актуальність теми. Розв’язання багатьох задач, що виникають при ймовірнісному аналізі випадкових процесів і полів, потребує відповіді на питання, чи є ймовірнісні міри, котрі відповідають досліджуваним об’єктам (процесам або полям), еквівалентними або ортогональними (інакше, сингулярними) або, можливо, знаходяться у більш загальному відношенні (відповідно до теореми Лебега про розклад міри на абсолютно неперервну та сингулярну складові). Зазначені питання виникають при інтегруванні по ймовірнісним мірам у функціональних просторах (наприклад, в задачах обчислення ймовірностей перебування процесу в тій чи іншій області, розрахунках теорії інформації), розв’язанні задач статистичної перевірки гіпотез для випадкових процесів та полів (при описі критичних множин та множин прийняття гіпотез), статистичному оцінюванні (наприклад, при пошуку обгрунтованих оцінок невідомих параметрів – попарна ортогональність мір з досліджуваної сім’ї мір є необхідною умовою існування таких оцінок), прогнозуванні випадкових процесів та полів, при дослідженні структури ймовірнісних розподілів в топологічних просторах (опис простору Камерона – Мартіна або відтворюючого ядра гауссівської міри), у ряді інших задач.

З точки зору теорії ймовірностей та її застосувань суттєвою є можливість формулювання відповіді на зазначене питання в термінах характеристик, що визначають ймовірнісну поведінку стохастичних об’єктів, індукуючих відповідні їм міри в вимірних просторах. Як один з прикладів відповіді у вказаних термінах можна згадати відому умову еквівалентності мір, що відповідають гауссівським стаціонарним процесам з дробово-раціональним спектром та нульовими середніми значеннями, полягаючу у прямуванні відношення їх спектральних щільностей до одиниці на нескінченності. (Тут простежується певна відмінність від приоритетів загальної теорії міри, де акценти в розв’язанні вищезазначених задач робляться на результатах в термінах тих характеристик мір, що пов’язані із структурою самого вимірного простору – абстрактного або топологічного).

Одним з перших загальних класів випадкових функцій, для яких вдалося повністю дослідити питання у вищевказаних (ймовірнісних) термінах, був клас вже згаданих гауссівських стаціонарних процесів. Вирішальну роль у даному питанні зіграли роботи І.І. Гіхмана та А.В. Скорохода [22], Ю.А. Розанова [109-114], Дж. Фелдмана [139]. Відзначимо також, що значна кількість конструктивних критеріїв еквівалентності та ортогональності ймовірнісних мір, що відповідають стаціонарним гауссівським процесам, суттєво доповнюючих вказані труди, міститься в роботах В.Г. Алексєєва [1,2], Д.С. Апокоріна [3], Є.Г. Гладишева [25], Г.М. Молчана і А.В. Голосова [95], Ю.М. Рижова [117,118], Д. Слепяна [129] та в деяких інших.

Наприкінці 60-х – на початку 70-х років були опубліковані роботи, в яких розв’язувалися питання про еквівалентність (ортогональність) ймовірнісних мір для гауссівських однорідних випадкових полів (звичайних) на евклідовому просторі . В ряді згаданих праць були одержані аналоги вищевказаних результатів І.І. Гіхмана – А.В. Скорохода, Ю.А. Розанова, Дж. Фелдмана. З приводу зазначених досліджень вкажемо на праці З.С Зеракідзе [32-35], А.В. Скорохода та М.Й. Ядренка [127], М.Й. Ядренка [152-156], автора розглядуваної дисертації [49-55]. Вкажемо також на більш пізні роботи С.Г. Каландарішвілі [41], А.А. Курченка [86,87], С.Д. Соколової [130], К. Інойє [38], що містять суттєві результати з даного приводу. Сукупність названих робіт містить важливі та конструктивні, а подекуди, і остаточні результати щодо еквівалентності розглядуваних ймовірнісних мір. З іншого боку, поява згаданих робіт викликала велику кількість нових нерозв’язаних питань. На останню обставину, зокрема, зверталася увага у монографії М.Й. Ядренка [157] та у роботі автора [58]. Наприклад, як виявилося пізніше, на основі сформульованих у згаданих роботах результатів, неможливо було безпосередньо у достатній загальності знайти необхідні та достатні умови еквівалентності для основних типів спектру випадкових полів, що є широко вживаними у статистичних дослідженнях.

Так, важлива з практичної і теоретичної точки зору ситуація існування дробово-раціонального спектру у багатовимірному випадку зазначеними дослідженнями виявилась охопленою лише вельми частково [58]. Зауважимо, що випадкові поля з дробово-раціональним спектром (тобто, спектральною мірою, яка має щільність типу дробово-раціональної функції від координат вектору частот) зустрічаються і в розділах самої теорії випадкових полів (як такі, що народжуються певними теоретико-ймовірнісними схемами [115,157]), і в її практичних застосуваннях (в якості більш-менш простих апроксимацій реально спостережуваних полів [10,97,151]). Сказане про поля із дробово-раціональним спектром з не меншою підставою можна віднести і до більш загальних і також часто вживаних класів випадкових полів, що мають спектральні щільності типу дробово-раціональних функцій від і від дійсних степенів модулів вказаних змінних або тригонометричних поліномів від них. (Надалі три зазначені класи спектральних щільностей позначаються , , відповідно.)

Відзначимо, що питання про еквівалентність розглядуваних ймовірнісних мір, бувши поставленим у належній повноті, цілком природньо веде до переходу від розглядання звичайних однорідних полів до полів узагальнених. Очевидне міркування з вказаного приводу полягає в тому, що найпростіший випадок дробово-раціональної спектральної щільності, – тотожня стала, – за означенням, не може відповідати звичайному полю, оскільки спектральні щільності таких полів повинні бути інтегровними в . Інші аргументи з приводу залучення до розгляду саме узагальнених полів наведені у вступі до даної дисертації – с. 40-44.

Узагальнені випадкові поля стали об’єктом теорії ймовірностей завдяки роботам 50-х років таких видатних математиків як І.М. Гельфанд, К. Іто, А.М. Яглом. Введення узагальнених випадкових та детермінованих функцій значно поширило можливості аналізу математичних об’єктів дослідження. Зокрема, в рамках теорії узагальнених однорідних полів з’явилася можливість розглядати спектральні розклади випадкових полів з нескінченними спектральними мірами (структурними функціями), що є суттєвою обставиною, наприклад, з точки зору застосувань і що не є можливим в рамках теорії звичайних полів.

З іншого боку, узагальнені випадкові поля, бувши дуже важливим математичним поняттям, значно розширюючим можливості адекватного опису реальних явищ та процесів, з багатьох питань досліджені недостатньо. Одним з таких питань є проблема встановлення умов щодо ймовірнісних характеристик розглядуваних полів, за виконанням яких ймовірнісні міри, які їм відповідають, будуть еквівалентними (або ортогональними).

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках наукового напрямку 3-03-2/04 “Математичне моделювання систем в легкій промисловості” кафедри інформаційних технологій проектування Київського національного університету технологій та дизайну.

Мета дослідження. Метою пропонованого дослідження є розробка системи критеріїв еквівалентності (ортогональності) ймовірнісних мір, котрі відповідають однорідним гауссівським випадковим полям і розвивають попередні результати в двох основних напрямках. Перший: охопити вказаними критеріями клас узагальнених випадкових полів. Другий: розширити множину типів спектру випадкових полів (порівняно із вищезгаданими результатами для звичайних полів), для яких критерії еквівалентності припускають ефективне формулювання. При цьому до зазначеної множини типів спектру, як мінімум, віднести спектральні міри із спектральними щільностями типу , , .

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації отримано наступні основні результати.

1)

2)

3)

,

в якій – перетворення Фур’є узагальненої функції з компактним носієм, яка не є тотожнім нулем. Показано, що основна частина розглядуваних в статистичній літературі спектральних мір належить даному типові. Доведено, що умови еквівалентності досліджуваних мір, у даному випадку припускають деяке спрощення.

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Результати роботи можуть бути використані в наукових дослідженнях із статистики випадкових полів, теорії узагальнених випадкових полів, теорії гауссівських мір, а також як матеріал для лекцій і семінарів в Інституті математики НАН України, Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка, Київському національному університеті “Київський політехнічний інститут”, Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Донецькому національному університеті, Київському національному університеті технологій та дизайну.

Особистий внесок здобувача. Всі результати роботи отримані автором самостійно. В роботі [75], опублікованій сумісно з д.ф.-м.н. Кривим С.Л., Кривому С.Л. належать деякі спрощення у попередніх доказах здобувача.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідались на Четвертій Вільнюській міжнародній конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1985), Міжнародній конференції пам’яті Г. Гана (Чернівці, 1994), Першій Українсько-Скандинавській конференції “Стохастичні динамічні системи” (Ужгород, 1995), Другій Скандинавсько-Українській конференції з математичної статистики (Умеа, Швеція, 1997), Третій Українсько- Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (Київ, 1999), Першому Українському математичному конгресі (Київ, 2001), а також на семінарах з теорії ймовірностей та математичної статистики при Київському національному університеті ім.Тараса Шевченка, Інституті математики НАН України, Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут”, інституті кібернетики НАН України, Київському національному університеті технологій та дизайну.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 20 статтях у фахових журналах та у 8 тезах доповідей семінарів і конференцій. Список наведено в кінці автореферату.

Структура дисертації. Дисертація складається з вступу, основної частини, що містить п’ять розділів, частини “висновки”, списку використаних джерел (157 назв) та чотирьох додатків. Повний обсяг дисертації становить 387 сторінок, з яких додатки займають 27 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано історико-аналітичний огляд попередніх досліджень за темою дисертації, розкрито сучасний стан проблеми, обгрунтовано актуальність та сформульовано мету дисертаційної роботи, наведено огляд її основних результатів.

Розділ 1. Подано загальні результати щодо еквівалентності ймовірнісних мір, відповідаючих гауссівським випадковим функціям. Вказані результати наведені для використання в дисертації. Основна частина їх є добре відомою. З іншого боку, деякі положення даного розділу, хоча й мають значну сферу безпосередніх застосувань, але в знаній литературі відсутні. До зазначених положень відносяться: а) критерії еквівалентності скінченновимірних гауссівських розподілів в термінах середніх значень і коваріаційних матриць даних розподілів (положення 1.2.1, 1.2.2); б) критерії еквівалентності ймовірнісних мір, що відповідають індексованим сукупностям гауссівських випадкових величин, поданих у вигляді интегралів за ортогональною стохастичною мірою (теореми 1.3.1, 1.3.2).

Розділ 2. Одержано загальні необхідні і достатні умови еквівалентності мір, що відповідають гауссівським узагальненим однорідним випадковим полям. Введено важливий для подальшого тип спектру однорідних випадкових полів і

досліджено його властивості.

2.1. Вводяться наступні п о з н а ч е н н я т а о з н а ч е н н я:

та – дійсний і комплексний N-вимірний простори відповідно. Для відкритої

множини T позначаємо (T множину функцій на T, приймаючих значення у та маючих похідні всіх порядків. T– підмножина простору функцій, що мають компактні носії в T Літерою або () чи будемо позначати підмножину ) швидко спадаючих на функцій [15,19]. У тих випадках, коли це потрібно, вважається, що простори (T), T та наділені збіжностями, що прийняті у теорії узагальнених функцій. Перші два з вказаних трьох просторів позначаються, відповідно, (T), (T); для простору зберігається те ж саме позначення (а ще () або N). Відповідні простори узагальнених функцій будуть мати позначення (T), (T) та (або чи). Взагалі, якщо деякий простір основних функцій має позначення , то відповідний простір узагальнених функцій –. При T пишемо ще або і т. д.. Для використовується його стандартна назва – простір узагальнених функцій з компактними носіями. Сукупність звужень функціоналів з підмножини довільного простору узагальнених функцій A на підмножину простору основних функцій A позначатиметься ) Для вимірного простору з мірою m через позначається простір функцій, інтегровних у степені р за мірою m. Міра Лебега в позначається, хоча, як правило, пишеться замість. Якщо говориться, що деяка властивість має місце м. в. (майже всюди) без вказівок відносно міри m, то мається на увазі саме міра. Простір при m =, V = позначається, а при T–часто просто. Символ без вказівки щодо області інтегрування позначає інтегрування по простору , а – по . Перетворення Фур‘є звичайної чи узагальненої функції a позначається або (a). Для зворотнього перетворення Фур‘є аналогічним чином використовується позначка Дія функціоналу (узагальненої функції) f на основну функцію позначається f або f . Останнє позначення має ще й скалярний добуток елементів f гільбертового простору. У конкретних ситуаціях зміст даного позначення остаточно визначається контекстом. Для функціоналів типу функцій вираз f, за означенням, дорівнює, де знак позначає комплексне спряження. Якщо А – оператор з множиною означення , – підмножина , то, за означенням, Якщо невід’ємні змінні (), () є такими, що для деякої сталої (0 < < +) при всіх значеннях параметру виконується нерівність, то пишеться; запис означає, що, а.=. – що.

Означення 2.1.1. Нехай A — деяка множина функцій,— ймовірнісний простір, – дійсна або комплекснозначна функція на , -вимірна для кожного . Така функція буде називатися узагальненим випадковим полем, визначеним на .

Означення 2.1.2. Нехай у попередньому означенні – лінійний простір. Узагальнене випадкове поле буде називатися лінійним і дійсним, якщо будуть виконані наступні вимоги:

1)

2)

Лінійне дійсне узагальнене поле називається однорідним, якщо його середнє значення a і кореляційний функціонал

інваріантні відносно довільного зсуву їх функціональних аргументів, тобто для довільного h має місце:, , де, .

Відомо [20,150], що при достатньо широких умовах однорідне випадкове поле на або на припускає зображення у вигляді стохастичного інтегралу

(2.1.1)

де ортогональна стохастична міра є такою, що її структурна функція (спектральна міра поля ) задовольняє умові

(2.1.2)

для деякого рВ даній роботі завжди припускається, що (2.1.1), (2.1.2) мають місце.

Означення 2.1.3. Лінійне дійсне узагальнене поле на буде називатися гауссівським, якщо для довільних з дійсними, , сумісний розподіл величин є гауссівським.

Нехай У подальшому завжди будемо вважати, що. Згідно з раніше введеними позначеннями нехай,–-алгебри, народжені значеннями на та відповідно;, звуження мір на відповідно.

Зауваження 2.1.1. Для лінійного дійсного випадкового поля, отже тоді і тільки тоді, коли

2.2. Нехай статистична структура [9,131] є такою, що відносно поле є гауссівским однорідним узагальненим полем з нульовим середнім значенням. Припустимо, що відносно поле також є лінійним, дійсним та має середнє a і такий самий кореляційний функціонал, що й відносно .

Теорема 2.2.1. При довільному для еквівалентності та необхідно і

достатньо, щоб функція припускала зображення вигляду

221

де– спектральна міра поля –деяка функція з простору.

Зауваження 2.2.2. При виконанні природньої умови

(2.2.3)

вимогу у (2.2.1) можна замінити вимогою.

У випадку скінченності множини доцільно використовувати відповідні положення підрозділу 1.2, які пристосовані саме для даної ситуації.

Положення 2.2.1. Нехай множина є скінченною. Тоді для еквівалентності та необхідно і достатньо, щоб для кожної системи функцій з та дійсних коефіцієнтів, для яких

= 0 (mod m),

виконувалась рівність

= 0.

Зауваження 2.2.4. Якщо множина є скінченною, міра не є сингулярною відносно міри і всі функції з мають компактні носії, то виконуються всі вимоги щойнонаведеного твердження. Отже, у зазначених умовах при довільному (лінійному)

2.3. Нехай середнє значення поля відносно обох мір дорівнює 0, причому мають місце наступні стохастичні нтегральні зображення:

(2.3.1)

(2.3.1)'

в яких ортогональні стохастичні міри мають структурні функції (спектральні міри поля) відповідно. Для позначимо множину функцій вигляду скінченних сум,. Має місце наступне твердження:

Теорема 2.3.1. Для еквівалентності, необхідно і достатньо, щоб:

а) різниця кореляційних функціоналів припускала інтегральне зображення

(2.3.3)

в якому , а функція: задовольняє умові

(2.3.4)

б) для довільної послідовності функцій , фундаментальної у та збіжної до 0 у,має місце збіжність до 0 і в.

Як і для різних середніх значень, у випадку скінченної множини є доцільним користуватися спеціальною формою теореми 2.3.2:

Положення 2.3.1. У випадку скінченного для еквівалентності необхідно і достатньо, щоб для довільної системи функцій з, для якої має місце рівність

, (2.3.6)

в якій – дійсні коефіцієнти, виконувалось

(2.3.7)

і, навпаки, для довільних з, для яких виконується (2.3.7), мало б місце (2.3.6).

Наслідок 2.3.1. Нехай множина є скінченною, всі функції з мають компактні носії і обидві міри не сингулярні відносно Тоді та еквівалентні.

Зауваження 2.3.3. При виконанні (2.2.3) у формулюваннях теореми 2.3.1 та положення 2.3.1 множину можна замінити на множину .

2.4. Через буде позначатися похідна Радона – Никодима абсолютно неперервної складової міри відносно лебегової міри . У випадку абсолютної неперервності відносно функція зветься спектральною щільністю поля .

2.4.А. В даному підрозділі визначається клас спектральних щільностей, для якого, з одного боку, є справедливим ряд результатів з досліджуваного питання, що в загальному випадку не має місця, а з другого – даний клас містить в собі значну частину типів спектральних щільностей, котрі реально використовуються у теоретичних та прикладних дослідженнях статистичної направленості (див. далі приклади 2.4.1 – 2.4.5). Даний клас характеризується тим, що для кожного його елемента знайдеться узагальнена функція з компактним непустим носієм, для якої виконується нерівність

(2.4.1)

Приклад 2.4.1. Якщо функція є цілою експоненційного типу, що належить для довільного за виконанням нерівності виконується і (2.4.1).

Означення 2.4.1. Класом Хьормандера (повільно зростаючих вагових функцій) [142,143] зветься множина додатніх функцій на , для кожної з яких існують додатні сталі c, d, такі, що

.

Лема 2.4.1. Для довільної функції та довільного знайдеться узагальнена функція, що має носій в множині та задовольняє нерівності

, (2.4.3)

в якій – деякі додатні скінченні сталі.

Враховуючи лему 2.4.1 і деякі додаткові властивості дробово-раціональних та правильно мінливих функцій багатьох змінних, одержуємо наступні приклади функцій, задовольняючих умові (2.4.1).

Приклад 2.4.2. Нехай .Тоді f задовольняє (2.4.1).

Приклад 2.4.3. Нехай – поліноми від відношення яких є невід’ємним,. Тоді задовольняє (2.4.1).

Приклад 2.4.4. Нехай f – додатня неперервна функція, мажорована знизу правильно мінливою за Карамата [121] функцією від . Тоді f задовольняє (2.4.1).

Приклад 2.4.5. Нехай має місце нерівність

,

де, невід’ємна раціональна функція 3N дійсних змінних. Тоді має місце нерівність (2.4.1).

2.4.Б. В даному підрозділі встановлюються умови, за якими для еквівалентності, необхідно і достатньо виконання пункту а) теореми 2.3.1; іншими словами, за якими п.б) вказаної теореми можна опустити.

Наступна теорема, що одержана в даній роботі, далі використовується як основна з даного приводу.

Теорема 2.4.1. Нехай всі функції з зосереджені в обмеженій підмножині та існує спектральна щільність, що задовольняє нерівності (2.4.1). Припустимо, що міра не є сингулярною (відносно). Тоді умова а) теореми 2.3.1 є необхідною і достатньою умовою еквівалентності та.

. Тут звертається увага на доцільність використання узагальнених полів для дослідження питань еквівалентності ймовірносних мір, котрі відповідають звичайним випадковим полям у просторі (T).

2.6. Досліджено взаємозв’язок між умовами еквівалентності ймовірносних мір, що відповідають узагальненим та звичайним однорідним гауссівьким полям, пов’язаним певними лінійними перетвореннями, зокрема, операцією диференціювання.

Подальші основні результати містяться у розділах 4, 5. В р о з д і л і 3, що використовується у вказаних частинах роботи, досліджуються питання можливості представлення функціоналу (), визначеному на підмножині простору основних функцій , у вигляді

(3.1.2)

де – дійсно- або комплекснозначна функція на , що задовольняє умові

. (3.1.3)

За припущенням, простори мають достатній запас основних функцій [19]. Результати формулюються в термінах можливості розширити функціонал, визначений на множині , на той чи інший простір основних функцій до функціоналу з відповідного простору узагальнених функцій .

Зауважимо, що коли для деякої відкритої множини T множина

співпадає з, а функціонал є функціоналом типу звичайної функції (t), tT, то можливість представити у вигляді (3.1.3) є рівносильною можливості представити функцію (t) у вигляді

, (3.1.6)

де функція () також задовольняє умові (3.1.3). (У питаннях еквівалентності ймовірнісних мір, що відповідають звичайним однорідним полям представлення (3.1.6) грає роль, повністю аналогічну ролі представлення (3.1.2)).

В роботах Ю.А. Розанова та В.Ф. Писаренка і Ю.А. Розанова [104, 112, 113] для випадку =1 досліджені питання про існування розв’язку задачі (3.1.6), (3.1.2) в термінах властивостей функції при певних припущеннях щодо функції f, а також подані відомості про інші ймовірносні та статистичні питання, пов’язані із зазначеним рівнянням. Вказана задача (3.1.6), (3.1.2) при довільному розглядалася в роботах автора дисертації [56,57]; ізотропний випадок дослідив М.Й.Ядренко [156]. Відомості щодо існування розв’язку узагальненої задачі (3.1.2), (3.1.3) містяться в роботах автора [70,71,78,81].

Означення 3.2.1. Простором буде називатися сукупність функцій {} що дорівнюють 0 на множині нулів функції і таких, що

. (3.2.1)

(При цьому дві функції з вважаються рівними, якщо вони відрізняються одна від одної не більш ніж на множині лебегової міри 0, так що у випадку вимога обертання в 0 на множині нулів функції не має значення).

Оскільки надалі перетворення Фур‘є функціоналів та функцій можуть відноситися до різних двоїстих пар просторів основних функцій (тут =, тобто =), то використовуються позначення типу . При цьому вживаються і скорочення вигляду замість. Зокрема, завжди при = пишемо. Якщо ситуація є очевидною, то відповідний індекс може зовсім опускатися. Для, за означенням, .

Позначимо для простору основних функцій на через множину звичайних функцій l, кожна з яких визначає узагальнену функцію l згідно з рівністю .

Означення 3.2.2. Простір має -властивість (коротше, -властивість), якщо має місце співвідношення

Означення 3.2.3. Нехай – пара спряжених просторів основних функцій, . Припустимо, що є звичайною функцією, що належить (окрім). Тоді функціонал , рівний, за означенням, буде називатися розширенням функціоналу.

Означення 3.3.1. Нехай () – м.в. скінченна вимірна функція на,– пара спряжених просторів основних функцій,. Складемо звичайний (визначений м.в.) добуток. Множину функціоналів , для яких та, позначимо. На визначимо операцію:

. (3.3.18)

Зауваження 3.3.3. Нехай = а функція зростає на нескінченності не більше ніж із степеневою швидкістю, тобто для деякого. Тоді для довільного кожна узагальнена функція , для якої, належить. Зокрема,.

Означення 3.3.1'. Для пари функцій, визначених на, введемо клас або, коротше, , як множину елементів, для кожного з яких знайдеться (своя) функція b так, що виконується рівність

. (3.3.20)

Для скінченної множини функціональних класів із спільною множиною визначення через позначається функціональний клас, кожний елемент якого припускає зображення вигляду.

Означення 3.3.1''. Нехай, – скінченні множини функцій на . Клас узагальнених функцій ) або, коротше, , визначається за допомогою рівності

.

Для множини , що складається з однієї-єдиної функції , буде застосовуватися позначення:

.

Зокрема, якщо u 1, то відповідним позначенням буде. Множина звужень на

класу буде позначатися ().

Таким чином, простір є множиною узагальнених функцій з простору, що припускають представлення

в якому кожна узагальнена функція належить класу, тобто задовольняє системі рівностей

в якій кожна функція належить простору (). Зокрема, простір складається з таких елементів , для яких, . Нагадаємо також, що, у відповідності з вищезробленими позначеннями, вираз означає множину елементів ', кожний з яких є результатом дії оператора на елемент з. Відповідно,– множина сум зазначених елементів.

Розділ 4. Одержано критерії еквівалентності гауссівських мір, що відповідають узагальненим випадковим полям, маючим спектральні щільності. В підрозділі 4.1 це робиться в термінах різниці середніх значень, а в 4.2 – в термінах різниці кореляційних функціоналів.

4.1. Нехай статистична структура є такою, що випадкове поле, відносно є гауссівським однорідним полем з нульовим середнім значенням, а відносно – має ту ж кореляційну функцію, що і відносно, і середнє . Постулюється існування у поля спектральної щільності.

В подальшому фіксується множина основних функцій , на якій спостерігається поле (множина спостережень). Звуження функціоналу на множину позначається, а на –. При виконанні умови зауваження 2.2.2 немає значення, який саме з цих функціоналів використовувати, тому для конкретності мова далі йде про .

Теорема 4.1.1. Для еквівалентності необхідно і достатньо, щоб функціонал припускав зображення вигляду:

, (4.1.1)

в якому – (взагалі, комплекснозначна) функція на , що задовольняє умові

<+. (4.1.2)

Теорема 4.1.2. Нехай (,) – спряжена пара просторів основних функцій на, . Тоді існування узагальненої функції ', для якої перетворення Фур’є задовольняє умові

(4.1.4)

і звуження якої на множину співпадає з, є достатньою умовою еквівалентності,. Якщо простір має - властивість, то існування функціоналу, що задовольняє вказаним вимогам, є і необхідною умовою еквівалентності,.

Поклавши в теоремі 4.1.2, одержимо

Твердження 4.1.1. Для еквівалентності, необхідно і достатньо, щоб функціонал припускав продовження до узагальненої функції ', перетворення Фур’є якої належить.

У випадку обмеженої та інтегровної на спектральної щільності дане

твердження переходить в умову еквівалентності, що раніше була встановлена Ю.А. Розановим) [114] та М.Й. Ядренко (довільне ) [152].

Наступне твердження застосовується у випадках, коли простір основних функцій, в який вкладається, не дає можливості ефективним чином інтерпретувати функціонали з , в той час як для деяких інших просторів основних функцій така інтерпретація виконується без зайвих ускладнень.

Твердження 4.1.2'. Нехай, топологія не слабкіша за індуковану в простором . Тоді для еквівалентності, необхідно і досить, щоб функціонал був звуженням (на) - розширення деякого функціоналу для якого (інакше: належить класу).

При конкретних застосуваннях наведеного твердження в даній роботі простір інколи має додаткову властивість щільності по метриці у просторі, у зв’язку з чим наводиться наступне

Твердження 4.1.2''. Нехай в умовах твердження 4.1.2' простір є щільним в по метриці, а спектральна щільність обмежена в. Тоді для еквівалентності, необхідно і досить, щоб функціонал був звуженням деякої функції з, котра як функціонал типу функції на належить класу. Еквівалентне формулювання: існує функціонал , для якого при довільному і довільній послідовності що збігається до в, має місце рівність.

Надалі інколи використовується наступне положення, відоме як 17-та проблема Гільберта [5,106]:

Кожна невід’ємна в раціональна функція змінних з дійсними коефіцієнтами може бути представленою у вигляді скінченної суми квадратів раціональних функцій змінних з дійсними ж коефіцієнтами. Друге (еквівалентне) формулювання: кожна функція зазначеного вигляду може бути представленою у вигляді відношення скінченних сум квадратів поліномів від змінних з дійсними коеффіцієнтами.

Маючи на увазі узагальнення представлень з наведеного положення, а також застосування до конкретних типів спектру, в розділі 4 розглядаються спектральні щільності, що припускають оцінки вигляду

, (4.1.6)

або

, (4.1.20)

де функції є майже всюди скінченними і міра множини дійсних коренів кожної функції дорівнює 0.

Далі наводяться результати для випадку спектральної щільності типу (4.1.20).

Теорема 4.1.4. Нехай – спряжена пара просторів основних функцій на, має місце ()-властивість, спектральна щільність заловольняє нерівності (4.1.20). Покладемо Тоді

а) для еквівалентності, достатньо, щоб функціонал задовольняв співвідношенню;

якщо при цьому для всіх має місце включення , то вказане співвідношення є і необхідним для еквівалентності,;

б) якщо, то; якщо для деякого має місце включення

(4.1.30)

то зазначене відношення є і необхідним для еквівалентності,.

Якщо функція є мультиплікатором в , то має місце рівність, – знак операції згортки) [19]. Тому коли множини, складаються з мультиплікаторів у відповідних просторах, замість вживається спеціальне позначення.

Наслідок 4.1.3. Нехай в умовах теореми 4.1.4 всі функції, є мультиплікаторами в. Тоді належав простору;

б) належність є достатньою для еквівалентності,; якщо в

даних умовах для деякого виконується співвдношення (4.1.30), то вказана належність є і необхідною для еквівалентності,.

Зауваження 4.1.6. Нехай в умовах наслідку 4.1.3 для деякого функція також є мультиплікатором в. Тоді наслідок 4.1.3 може бути сформульованим у дещо слабкішій формі, згідно з якою можна не перевіряти належність множині фігуруючих у даному зауваженні функціоналів. Точніше, в умовах даного наслідку пункт а) можна замінити вимогою, щоб функціонал був звуженням суми узагальнених функцій, , кожна з яких задовольняє системі рівнянь у згортках:

,

з функціями (); пункт б) за даної умови полягає в тому, щоб функціонал був звуженням суми вигляду, в якій узагальнені функції є такими, що для всіх виконується крім того, в твердження щодо необхідності обговорюваної умови немає потреби включати піввідношення (4.1.30) (воно виконується автоматично).

Наведемо деякі приклади застосування одержаних результатів.

Приклад 4.1.5 (спектральна щільність типу). Нехай– спряжена пара просторів основних функцій, причому поліноми є мультиплікаторами в (наприклад, ., – довільна дробово-раціональна спектральна щільність. Згідно з 17-ю проблемою Гільберта функція припускає оцінку вигляду

,

де – поліноми від.

Критерій: для еквівалентності необхідно і достатньо, щоб функціонал був звуженням (на) узагальненої функції вигляду, де кожний доданок є таким, що при всіх існують функціонали, для яких виконуються співвідношення

.

Якщо для деякого, функція є мультиплікатором в (наприклад, не має дійсних коренів, ?), то для еквівалентності, необхідно і достатньо, щоб припускав продовження до функціоналу що може бути представленим у вигляді суми

,

в якій кожний функціонал задовольняє співвідношенням

.

У наступному прикладі вживаються поняття просторів П.І.Лізоркіна основних і узагальнених функцій та дробової диференційовності узагальнених функцій за П.І.Лізоркіним [90,120].

Приклад 4.1.7 (спектральна щільність типу ). Нехай, спектральна щільність задовольняє нерівності

де (як і вище)– раціональна функція,– дійсні невід’ємні числа. (Змінні не вказуються для спрощення запису)

Використовуючи розклад Гільберта – Артіна функції, маємо оцінку

, (4.1.35)

де ; – деякі поліноми. Для (1) при довільному має місце рівність , де– оператор диференціювання Лізоркіна по змінній порядку , а оператор визначається рівностями, ,. Позначимо оператор, одержаний з функції заміною кожного на .

Критерій: для еквівалентності, необхідно і досить, щоб функціонал припускав розширення до функціоналу, котрий може бути представленим у вигляді суми

,

в якій кожний доданок задовольняє системі рівнянь (в дробових диференціалах)

, ,

де – поліноми з (4.1.35) і деякими функціями .

Якщо хоч один многочлен не має дійсних коренів поза координатних площин, то складові для можна охарактеризувати наступним чином: для кожного існує функціонал , такий, що

,

причому

,

У випадку, коли не є підмножиною, необхідна і достатня умова еквівалентгності, полягає в тому, що функціонал повинен співпадати зі звуженням на деякого -розширення функціоналу з ', що має перелічені у критерії прикладу 4.1.7 властивості. Зокрема, простір є щільним в по метриці, тому за додаткової умови обмежености f можна використовувати твердження 4.2.1' і 4.2.1''.

Для досить багатьох часткових випадків спектральних щільностей останнього прикладу можна сформулювати умови еквівалентності, не застосовуючи поняття -розширення і не використовуючи простори (які не містять жодної фінітної нескінченно-диференційовної функції, що не була б тотожнім нулем, в той час як функціонали саме від таких функцій є більш природним об’єктом статистичних спостережень). Для наведення відповідних формулювань введемо допоміжні позначення.

Для дійсного символ позначає оператор зсуву узагальненої або звичайної функції по i-му аргументу, 1 i , так що у випадку звичайної функції та у випадку узагальненої функції. Різницевий оператор визначається наступним чином:. Нехай, – впорядкована за зростанням M-підмножина множини (для M 1 =,; для ,– дійсний M - вимірний вектор (M 1). За визначенням, оператор діє на ' наступним чином:

Для невід’ємного вектора позначається кількість його нецілих координат та вводиться функція = :

, (3.3.61)

де [] та {}– ціла і дробова частини дійсного числа, відповідно.

Для довільного функціоналу з множини та довільного має місце рівність:

,

в якій при 0

а при = 0 права частина передостанньої рівності вважається рівною

.

Далі для скінченних множин невід’ємних - вимірних векторів позначається введений вище клас при, з функціями вигляду (3.3.61).

Приклад 4.1.10. Нехай ,– скінченні множини невід’ємних вимірних векторів, спектральна щільність f задовольняє нерівності

де, – координати векторів m M, l L відповідно.

Критерій: для еквівалентності, необхідно і досить, щоб функціонал співпадав із звуженням на множину узагальненої функції класу

.

4.2. Нехай статистична структура (, , ,) є такою, що (), відносно міри є гауссівським однорідним полем з нульовим середнім значенням та спектральною щільністю (), а відносно – таким самим полем, але з спектральною щільністю), . Далі позначається: для двох функцій, на просторі –

їх тензорний добуток: ()(,) = () ( ); для двох множин, функцій на – множина функцій на вигляду.

Завжди можна вказати узагальнені функції, для яких кореляційні функціонали, i = 1,2, можуть бути представлені у вигляді

де. Нехай, – звуження r на множину (або на