Міністерство освіти і науки України

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

КАШТАН Сергій Степанович

УДК 519.63.001.57

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФІЛЬТРАЦІЙНИХ ДЕФОРМАЦІЙ В ҐРУНТАХ З УРАХУВАННЯМ ВЗАЄМОВПЛИВУ ХАРАКТЕРИСТИК СЕРЕДОВИЩА ТА ПРОЦЕСУ

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Тернопіль – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Рівненському державному гуманітарному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент

Бомба Андрій Ярославович,

Рівненський державний гуманітарний університет,

доцент кафедри інформатики та прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Бейко Іван Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри системного аналізу і теорії прийняття рішень;

кандидат технічних наук, старший науковий співробітник, доцент

Петрик Михайло Романович,

Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, відділ математичних систем в екології та енергетиці, м.Київ

Захист відбудеться 10.06.2004р. о 14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К58.052.01 в Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя, 46001, Тернопіль, вул. Білогірська, навч. корп. №10.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя, 46001, Тернопіль, вул. Руська, 56.

Автореферат розіслано 10.05.2004р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Б.Г. Шелестовський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Процес фільтрації в пористому середовищі залежить від багатьох факторів, які не завжди в повній мірі можна врахувати при дослідженні процесу на фізичних моделях. Так, натурне вивчення роботи дренажних систем показує, що біля третини дренажу не виконує проектних функцій, тобто недоосушує землі, а тому потребує додаткової реконструкції. Причини, що призводять до такого стану, залежать переважно від руху води в навколодренній зоні та гідродинамічної дії фільтраційного потоку на ґрунт. Відомі на даний час теоретичні розрахунки параметрів процесу фільтрації в пористому середовищі не враховують взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта фільтрації на гідродинамічні характеристики середовища. Явище, зумовлене виникненням фільтраційних деформацій (суфозія, кольматаж, переорієнтація частинок і ін.), супроводжується суттєвими змінами питомої витрати та коефіцієнта фільтрації ґрунту. Зокрема, при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту в навколодренному середовищі, відбувається втрата фільтраційної міцності ґрунту через переміщення дрібних його частинок (явище суфозії), що зумовлює зміну коефіцієнта фільтрації. Незважаючи на те, що розміри зони, де градієнти потенціалу перевищують критичні їх значення, в порівнянні із міждренними відстанями, досить малі, зміни, що відбуваються у цій зоні, впливають на опір середовища, фільтраційну витрату. При цьому характер і розвиток змін ґрунту досить складний і залежить не тільки від градієнтів потенціалу, а й від механічного складу, геометрії області тощо.

Залежності для коефіцієнтів фільтрації, які отримані на основі експериментальних досліджень на фізичних моделях, часто не відтворюють фільтраційних процесів в натурних умовах, а це призводить до значних прорахунків у проектуванні дренажних споруд та оптимізації інших гідросистем. Використання ж результатів математичного та комп’ютерного моделювання при дослідженні процесів фільтрації в пористих суфозійних середовищах дозволяє виявити зміни його фільтраційних параметрів. Тому, побудова робочих математичних моделей, що адекватно описують фізичні процеси фільтраційної деформації в середовищах складної геометрії (зокрема обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями) та розробка алгоритмів їх дослідження є на сьогодні однією із актуальних проблем. Аналогічні проблеми зворотного впливу градієнту потенціалу на характеристики середовища (опір, провідність) існують в електростатиці та в розрахунках інших ідеальних та квазіідеальних полів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у відповідності з планом науково-дослідної роботи “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (номер державної реєстрації 0100U004897) і пов’язана з науково-дослідними роботами “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів в ґрунтових греблях з врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища” (№2-62 від 17.05.03, УДУВГП) та “Дослідження контактної взаємодії циліндричних тіл з гладкими і ребристими поверхнями” (номер державної реєстрації 0102U005281).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягає у розвитку обчислювальних методів, створенні алгоритмів для побудови ефективних програмних засобів їх комп’ютерної реалізації стосовно вирішення важливої науково-технічної задачі математичного і комп’ютерного моделювання фільтраційних деформацій в криволінійних чотирикутних пористих середовищах, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу фільтрації.

Для досягнення поставленої мети, були визначені такі задачі дослідження:

1. Поширити використання відомих математичних моделей процесів осесиметричної фільтрації і застосування ідеї врахування взаємовпливу градієнтів потенціалу і фільтраційних характеристик та підходів нелінійних обернень при побудові гідродинамічних сіток на випадки областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями;

2. Розробити алгоритми розв’язування відповідних нелінійних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення в криволінійних чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіквазіпотенціальними лініями;

3. Отримати розв’язки відповідних нелінійних модельних задач у випадках, коли коефіцієнт фільтрації залежить і від координат точок області, і від шуканих функцій течії та потенціалу; для середовищ, схильних до деформацій, де компоненти тензора провідності (зокрема, фільтрації) залежні від координат точки фізичної області, функцій течії та потенціалу, а також від градієнту потенціалу;

4. Модифікувати загальний підхід поетапної параметризації характеристик процесу та середовища і метод сумарних зображень Г.Положія стосовно розв’язування відповідних модельних задач;

5. Отримати розв’язки нових модельних задач з післядією, що описують процеси зворотного впливу градієнтів потенціалу (зокрема, більших за їх критичні значення) на фільтраційні характеристики середовища та дослідити характер формування збурених зон середовища;

6. Отримати модельні співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку.

Об’єкт дослідження. Процеси та задачі теорії фільтрації.

Предмет дослідження. Процес фільтраційної деформації в криволінійних чотирикутних пористих середовищах.

Методи дослідження. При розв’язанні поставлених задач використано традиційні методи математичного моделювання, теорії функції комплексної змінної, метод сумарних зображень Г.Положія, відомі числові методи (методи блочної ітерації, скінчених різниць, послідовних наближень в різних їх модифікаціях, інші). В основу розробленого числового методу покладено ідею поетапної параметризації конформного інваріанту сіткової області, координат граничних та внутрішніх вузлів гідродинамічної сітки з використанням ідей методу блочної ітерації для обґрунтування його збіжності.

Наукова новизна отриманих результатів. Проведені теоретичні дослідження дали змогу отримати ряд нових результатів.

1. Модифіковано відомий загальний підхід поетапної параметризації характеристик процесу та середовища до розв’язування нових нелінійних крайових задач на конформні і квазіконформні відображення в криволінійних чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з метою покращення точності результатів обчислень та економії машинного часу.

2. Розроблено нові ефективні алгоритми числового розв’язування відповідних нелінійних крайових задач, які дозволяють провести розрахунки ряду фільтраційних характеристик у чотирикутних криволінійних областях складної геометрії.

3. Розроблені алгоритми перенесено на випадки кусково-гладких граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній, а також – на умови не ортогональності (не квазіортогональності для анізотропних середовищ) в точках перетину граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній.

4. На базі методів почергової параметризації та сумарних зображень Г.Положія розроблено комбінований алгоритм для розв’язування поставлених задач на конформні відображення з використанням відомих переваг останнього методу (запис розв’язку у вигляді аналітичних формул, локалізація нелінійності, можливість вибіркового рахунку та ін.).

5. Вперше побудовано розв’язки модельних нелінійних задач теорії фільтрації на квазіконформні відображення в неоднорідних та анізотропних середовищах, коли коефіцієнт та компоненти тензора фільтрації залежать і від координат фізичної області фільтрації, і від шуканих функцій течії, потенціалу та градієнту потенціалу.

6. Вперше для криволінійних чотирикутних областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, отримано числові розв’язки задач про фільтраційну деформацію середовища при врахуванні взаємовпливу градієнту квазіпотенціалу та фільтраційних характеристик середовища, встановлено зони збурення вихідного потоку змінним коефіцієнтом фільтрації.

7. Розраховано параметри процесу фільтрації (повна фільтраційна витрата, коефіцієнт фільтрації, модуль градієнту потенціалу, гідродинамічна сітка руху, збурена змінним коефіцієнтом фільтрації зона та зона збурення швидкості фільтрації) в системі горизонтального дренажу за умов суфозійно-фільтраційного взаємовпливу.

8. На основі результатів числових розрахунків встановлено співвідношення між характеристиками середовища і процесу до та після деформації (фільтраційна витрата, швидкість фільтрації, гідродинамічна сітка, коефіцієнт фільтрації, ін.).

Достовірність отриманих у роботі результатів забезпечується застосуванням до розв’язування крайових задач алгоритмів побудованих із використанням теоретично обґрунтованих методів, стійкістю розв’язків, фізичною несуперечністю отриманих числових результатів, а також достатнім співпаданням наближених розв’язків (отриманих двома способами: за алгоритмом побудованим на ідеї методу блочної ітерації та за алгоритмом із використанням модифікованих формул сумарних зображень Г.Положія) як між собою, так і з точним розв’язком тестового прикладу.

Практичне значення отриманих результатів. На основі виконаних досліджень знайдено залежності для розрахунку фільтраційної витрати в середовищах, що деформуються. Реалізація розрахункових алгоритмів дає змогу враховувати вплив суфозійних явищ на питому витрату. Також, зокрема, за відповідними алгоритмами пропонується розраховувати параметри (коефіцієнт фільтрації, витрати, швидкості), які найбільш доцільні при наявності фільтраційних деформацій середовища. Виявлені зміни фільтраційної витрати спонукають переглянути методики, що стосуються фільтраційних розрахунків, і таким чином досягнути їх більшої відповідності натурним даним (при проектуванні дренажних споруд та оптимізації інших гідросистем). Подані в роботі моделі та алгоритми розв’язування нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні відображення знайдуть застосування і при побудові моделей нелінійних процесів фільтрації в багатозв’язних областях, в областях з шаруватими середовищами, в областях з вільними ділянками їх границь. Отримані результати можуть стати основою для подальшого дослідження та моделювання різного роду нелінійних процесів фільтрації в еко- енергосистемах. Більшість результатів, отриманих в роботі, подано у вигляді формул, алгоритмів, таблиць і графіків, внаслідок чого вони можуть бути включені в різні посібники, довідники і використані в інженерній практиці.

Розроблені алгоритми використані у МКП “Рівневода” при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформаційних процесів навколо водозабірних свердловин (водозабір Гощанський, водозабірний майданчик “Новий Двір”, ін.) при зміні режимів їх експлуатації, зокрема для розрахунку впливу суфозійно-деформаційних явищ на дебіт свердловин (акт впровадження від 26.02.2004 р.). Викладені методи числового розв’язування нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні та квазіконформні відображення використовуються при читанні спецкурсів “Методи теорії функції комплексної змінної” і “Методи теорії збурень” на кафедрі інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи обговорювалися під час роботи школи-семінару “Прикладні проблеми математики та інформатики” (Рівне, 1996р.); на Всеукраїнській науковій конференції “Актуальні проблеми фізико-хімії гетерогенних систем” (Рівне, 1998р.); на звітній науково-практичній конференції викладачів та студентів Рівненського державного педагогічного інституту (Рівне, 1998р.); на V, VII, VIII Міжнародних наукових конференціях імені академіка М.Кравчука (Київ, 1996р., 1998р., 2000р.); на Міжнародній конференції “Сучасні проблеми теорії фільтрації” присвяченої пам’яті П.Ф.Фільчакова (Рівне, 1998р.); на ІІ, IV Всеукраїнських наукових конференціях з прикладної математики та інформатики (Львів, 1999 р., 2001р.); на науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів Рівненського державного технічного університету (Рівне, 1999р. – 2001р.); на X, XI, XII, XIII, XIV Наукових сесіях осередку Наукового товариства імені Т.Г.Шевченка (Львів – Рівне, 1999р. – 2003р.); на звітних науково-практичних конференціях професорсько-викладацького складу, аспірантів та студентів Рівненського державного гуманітарного університету (Рівне, 2001р. – 2003р.); на Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” присвяченої 65-річчю Бублика Б.М. (Київ, 2001р.); на Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (Дрогобич, 2001р.).

Дисертація вцілому доповідалася на розширеному семінарі кафедри інформатики та прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету (Рівне, 16 вересня 2003р.), на тематичному науковому семінарі №6 “Математичне моделювання та інформаційні технології” Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя (Тернопіль, 4 грудня 2003р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 11 наукових працях.

Особистий внесок здобувача полягає в безпосередній участі в проведенні теоретичних досліджень, розробці алгоритмів та самостійному проведенні числових експериментів, оформленні проміжних результатів роботи у вигляді кодограм, публікацій і доповідей, самостійному узагальненню окремих етапів досліджень, дисертаційної роботи в цілому. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно.

У дослідженнях, результати яких відбиті у публікаціях, написаних у співавторстві з науковим керівником, А.Я.Бомбою був запропонований загальний підхід до моделювання фільтраційних деформацій.

У публікаціях, написаних у співавторстві, здобувачеві належить: у роботах [1, 3, 5, 9, 10] – модифікація формул сумарних зображень Г.Положія, застосування їх до поставлених задач; [2, 4, 6, 7, 11] – побудова алгоритмів розв’язування задач, реалізація алгоритмів у вигляді пакету комп’ютерних програм, проведення числових розрахунків для модельних задач, обґрунтування збіжності за даними розрахунків, комп’ютерне опрацювання, аналіз та систематизація отриманих результатів.

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатків. Загальний обсяг дисертаційної роботи (172 сторінки) містить 154 сторінки основної частини, включає 137 рисунків, 51 таблицю та 121 джерело бібліографічних найменувань на 12 сторінках, а також 6 додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету та основні задачі дослідження, визначена її наукова новизна та зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Наводяться також основні результати, отримані в роботі, їх практичне значення, особистий внесок здобувача та дані про апробацію результатів.

У першому розділі міститься короткий огляд праць, що стосуються теми дисертації, висвітлено основні етапи та підходи у дослідженні проблеми, аналіз сучасного стану питання процесу нелінійної фільтрації в пористих середовищах з урахуванням деформацій, а також здійснено постановку задач досліджень процесів нелінійної фільтрації.

Відзначено, що одним з перших питання про закон руху рідин в пористих середовищах ставив і експериментально досліджував французький інженер А.Дарсі в 1852 – 1856 роках. Результати досліджень вилились в закон, що був опублікований в 1856 р. у вигляді , де – швидкість фільтрації; І – градієнт напору; – коефіцієнт пропорційності, що пізніше отримав назву коефіцієнта фільтрації. Даний закон і до цього часу дослідники вважають основним законом фільтрації в пористих середовищах. М.Є.Жуковський, М.М.Павловський, П.Я.Полубаринова-Кочина, В.І.Аравін, С.М.Нумєров, М.М.Герсеванов, П.Ф.Фільчаков, А.Я.Олійник, В.І.Лаврик, В.В.Скопецький, В.С.Дейнека, А.А.Глущенко та інші розробили основні положення теорії фільтрації. А процеси фільтраційних деформацій в пористих середовищах вивчали С.В.Ізбаш, С.О.Христианович, Д.М.Мінц, А.М.Патрашев, В.С.Істоміна, В.М.Кондратьєв, М.І.Хрисанов, С.Ф.Авер’янов, А.П.Вавілов, А.П.Власюк, М.М.Хлапук, А.Я.Бомба та ряд інших вчених.

Проведений аналіз наукових джерел показує, що на питому витрату впливають деформаційні процеси, які виникають в деяких зонах області фільтрації, що зумовлює перерозподіл потенціалів, їх градієнтів та зміну коефіцієнта фільтрації. Однак, на даний час, це враховується, як на практиці так і в теорії, певною залежністю коефіцієнта фільтрації від характеристик середовища і аж ніяким чином не від характеру збурення чи градієнту потенціалу. Так, за методикою і під керівництвом М.М.Хлапука були проведені експерименти на ґрунтових моделях, які показали, що складний характер роботи дрен осушувально-зволожувальних систем зумовлює значну зміну дренажного стоку і витрати з дрени в грунт. За результатами експериментів зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності ґрунтів (що пов’язано зі зміною коефіцієнта фільтрації) в навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту. З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів потенціалу та коефіцієнта фільтрації А.Я.Бомбою розроблено підхід до розв’язування відповідних нелінійних крайових задач з післядією. У випадку осесиметричної фільтрації такі задачі розв’язувались Б.П.Сидорчуком.

У даній роботі цей підхід узагальнено та розроблено методику розв’язування поставлених задач у випадку фільтрації в однозв’язних криволінійних чотирикутних областях – пористих середовищах – (), обмежених лініями течії , та еквіквазіпотенціальними лініями , . В основу досліджень покладено, за традицією, процес руху (зокрема, фільтрації в пористому пласті, руху заряджених частинок у провідній пластинці, і т.п.), який описується за допомогою закону Дарсі та рівняння нерозривності , де – швидкість фільтрації; – деяка обмежена неперервна в функція чи тензор функцій другого роду, що характеризує провідність середовища, його неоднорідність, анізотропію та схильність до деформації; – квазіпотенцiал поля, такий, що , , (у випадку ізотропного середовища), , – зовнішня нормаль до відповідної ділянки границі області.

Ввівши квазігармонічну функцію течії , квазікомплексно спряжену до функції квазіпотенцiалу та замінивши граничні умови на умови

, , , , (1)

де – невідомий параметр (повна фільтраційна витрата, ), дану задачу замінено більш загальною задачею на квазіконформне відображення області фільтрації на область квазікомплексного потенціалу при відповідності чотирьох кутових точок (див. рис. 1).

Зазначимо при цьому, що функції та у випадку ізотропного середовища () зв’язані співвідношеннями типу Коші-Рімана вигляду

(2)

а у випадку анізотропного середовища () –

(3)

де , .

Зауважимо, що у роботах А.П.Власюка та В.Г.Михальчука розроблено дещо інший підхід до розв’язування крайових задач в криволінійних чотирикутних областях, многозв’язних областях та областях з вільними межами шляхом числової побудови конформних і квазіконформних відображень даних областей на параметричні прямокутники.

Рис. 1. Фізична область та відповідна їй область комплексного потенціалу

У другому розділі перейшовши від прямої до оберненої задачі на конформне (квазіконформне) відображення та провівши повну її дискретизацію (диференціальні рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу апроксимовано дев’ятиточковою різницевою симетричною схемою з ваговими коефіцієнтами, крайові умови – точково-різницевими рівняннями, умови ортогональності – числово-аналітичними різницевими рівняннями за схемою типу ЧВЦП, а конформний інваріант апроксимовано використовуючи умови “конформної подібності в малому” відповідних чотирикутників областей та ), на основі ідей методу блочної ітерації шляхом поетапної параметризації величини конформного інваріанта області, граничних та внутрішніх вузлів сітки побудовано алгоритм (назвемо його АК алгоритмом) числового її розв’язування.

Під терміном “обернення” розумітимемо: а) перехід від конформного відображення фізичної області на відповідну область комплексного потенціалу до більш вигідного оберненого відображення ; б) задача на конформне відображення () є ще й оберненою задачею у традиційному розумінні (коли за додатковими відомостями про розв’язок задачі, знаходять ще й невідомі коефіцієнти, що входять у рівняння, граничні умови, ...), адже при постановці крайової (фізичної) задачі в області невідомими є її параметри (напр., повна фільтраційна витрата).

Використавши знайдені за розробленим алгоритмом координати вузлів області фільтрації, величину швидкості фільтрації знайдено за формулами

, , ,

.

Перевірку точності наближень значень шуканих функцій за алгоритмом АК проведено шляхом співставлення результатів отриманих за цим алгоритмом та за алгоритмом в якому ефективно використані переваги числово-аналітичного методу сумарних зображень (запис розв’язку у вигляді формули, можливість вибіркового рахунку та ін.) при розв’язанні крайових задач на обернені конформні відображення криволінійних чотирикутних областей. А саме, модифікувавши загальні формули сумарних зображень Г.Положія, загальний розв’язок рівнянь Лапласа у внутрішніх і граничних по вертикалі вузлах сіткового прямокутника записано у розгорнутій формі через значення в граничних вузлах по горизонталі

(4)

де , а невідомі , що входять у (4), визначаються в результаті розв’язання системи нелінійних рівнянь утвореної на основі різницевих аналогів крайових умов фізичної області та умов Коші-Рімана для граничних вузлів. Розв’язавши цю нелінійну систему алгебраїчних рівнянь при фіксованому значенні конформного інваріанту, за формулами (4) визначаємо координати вузлів області та знаходимо нове значення наближення невідомої величини конформного інваріанту і т.д.

Результати розрахунків, проведених даними двома способами, для областей обмежених двома дугами концентричних кіл та променями, що виходять з початку координат порівнювалися із точними результатами (при цьому знайдено відносну максимальну і відносну середню похибки значень координат вузлів та відносну похибку фільтраційної витрати).

Побудований АК алгоритм модифіковано до розв’язування нелінійних обернених крайових задач на квазіконформні відображення в анізотропних середовищах та розвинуто на випадки порушення умов конформності (квазіконформності для анізотропних середовищ), як точках перетину граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній, так і вздовж кусково-гладких граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній області.

Збіжність та стійкість розробленого алгоритму апробовано шляхом проведення багаточислових числових розрахунків гідродинамічних сіток руху у криволінійних чотирикутних областях складної геометрії при різних значеннях параметрів розбиття відповідних областей комплексного потенціалу. Результати обчислень подано у вигляді табличних значень, гідродинамічних сіток руху та поверхонь швидкості фільтрації, а збіжність максимального значення відхилення наближень координат граничних вузлів, невідомого значення фільтраційної витрати та відношення діагоналей криволінійного чотирикутника проілюстровано за допомогою графіків при різних параметрах розбиття.

У третьому розділі перейшовши від задачі (1), (2) до відповідної оберненої задачі

, (5)

(6)

побудований алгоритм розповсюджено на випадки розв’язування нелінійних крайових для еліптичних систем типу Коші-Рімана для неоднорідних середовищ, де коефіцієнт фільтрації залежить як від координат фізичної області фільтрації, так і від шуканих функції течії, потенціалу та його градієнту. Дана задача зводиться до розв’язування в області (із невідомим параметром ) рівнянь другого порядку

(7)

при заданих нелінійних крайових умовах (6) та умовах ортогональності граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній до відповідних ділянок границі фізичної області:

(8)

Різницевий аналог цієї задачі у відповідній рівномірній сітковій області , де – кроки сітки відповідно по та , записано у вигляді:

(9)

(10)

(11)

, (12)

.

Алгоритм розв’язку останньої задачі (9) – (12) в загальному випадку побудовано шляхом поетапної параметризації величини (або значення витрати Q), граничних та внутрішніх вузлів сітки (з використанням ідей методу блочної ітерації для аналітичного обґрунтування його збіжності). А саме, задавши кількість m та n вузлів розбиття сіткової області , параметр , що характеризує точність наближення розв’язку відповідної різницевої задачі, початкові наближення координат граничних вузлів (так, щоб виконувались (10)) та початкові наближення координат внутрішніх вузлів , , за (12) знаходимо початкове наближення квазіконформного інваріанта . Уточнення координат внутрішніх вузлів ( – номер кроку ітерації) проводимо з допомогою ітераційного методу Зейделя за формулами отриманими шляхом розв’язання (9) відносно та (з метою економії машинного часу і прискорення швидкості збіжності всього процесу та на основі ідей методу блочної ітерації використано лише перший ітераційний крок), а нові наближення величин та знаходимо за формулами (12) та . Далі, підправляємо координати граничних вузлів (розв’язуючи наближено систему рівнянь (10), (11)), та перевіряємо виконання умов їх стабілізації (згідно з принципом максимуму для систем рівнянь еліптичного типу), а також умов стабілізації фільтраційної витрати та квазіконформності сітки (що підсилює умови (11)) відносно кроку ітерації відповідно

(13)

де – усереднене значення відношення довжин діагоналей криволінійних чотирикутників (прямокутників) сіткової області .

Якщо умови (13) не справджуються, то повертаємось до уточнення координат внутрішніх вузлів за формулою (9) і т.д. У протилежному випадку обчислюємо нев’язку квазіконформності отриманої гідродинамічної сітки за формулою . Дана нев’язка характеризує ступінь відхилення отриманих криволінійних чотирикутників від відповідних прямокутників. Якщо ж потрібно збільшити ступінь точності наближеного розв’язку (зменшити нев’язку ), то збільшуємо параметри розбиття m і n та розв’язуємо різницеву задачу (9) – (12) заново. Оптимальність співвідношення між m і n досягається шляхом оптимізації аналогів функціоналів типу Рімана.

Алгоритми розв’язування таких нелінійних задач побудовано і для анізотропних середовищ. Особливістю розв’язування таких задач є те, що замість елементарних криволінійних чотирикутників фігуруватимуть відповідні криволінійні паралелограми, оскільки анізотропія відхиляє вектор швидкості від нормалі до відповідної еквіпотенціальної лінії (від дотичних до відповідних ліній течії). Результатом застосування одного із них для розв’язування оберненої до (3), (1) задачі в області обмеженій ортогональними дугами кіл при є розрахункова гідродинамічна сітка руху (рис. 2) та розрахункова величина швидкості фільтрації (рис. 3). Числові розрахунки проводилися при різних значеннях параметрів розбиття (див. табл. 1), де отримані розрахункові значення величини фільтраційної витрати є одного порядку, що підтверджує стійкість розробленого алгоритму. Збіжність ітераційного процесу розрахунку максимального значення відхилення наближень координат граничних вузлів , шуканого значення фільтраційної витрати та відношення діагоналей відносно кроку ітерації проілюстрована на рисунку 4.

Таблиця 1.

Значення параметрів розрахунку гідродинамічної сітки

№ | m n | Q

1 | 20 20 | 660 | 316 | 433 | 1,1731 | 1,8Е-2 | 5,4Е-3

2 | 24 24 | 866 | 400 | 567 | 1,1736 | 1,5Е-2 | 3,8Е-3

3 | 28 28 | 1090 | 486 | 712 | 1,1739 | 1,3Е-2 | 2,8Е-3

Застосування побудованих алгоритмів до розв’язання науково-технічних задач продемонстровано на прикладі такої моделі взаємозв’язку градієнтів потенціалу і коефіцієнта фільтрації:

(14)

де – параметр, що характеризує ступінь впливу градієнтів потенціалу на коефіцієнт фільтрації; коефіцієнт фільтрації недеформованого середовища; – величина діючого градієнту потенціалу; критичне його значення. На цій основі проведено числові розрахунки параметрів процесу фільтрації та деформівного середовища для системи горизонтального дренажу (див. рис.5) за умов суфозійно-фільтраційного взаємовпливу.

Гідродинамічну сітку руху та зони збурення при , , м/добу, , (, ), , , , зображено на рисунку 6. При цьому за ітерацій знайдена повна фільтраційна витрата на початковій стадії деформації () середовища – за максимальної нев’язки , що

Рис. 2. Гідродинамічна сітка руху при розбитті 24 24

Рис. 5. Схема області фільтрації

має місце в околах деяких граничних вузлів (де криволінійні елементарні чотирикутники найбільше відхиляються від прямокутників). Врахування ж взаємовпливу градієнту потенціалу та коефіцієнта фільтрації за вказаним вище законом викликало збільшення шуканої фільтраційної витрати на (до ).

Рис. 6. Збурена та незбурена зони у фізичній області та області комплексного потенціалу

На рисунку 7 пунктирними, штриховими та суцільними лініями зображено залежності та (на середній лінії течії ) відповідно при початкових ( та ) стадіях та на стадії стабілізації процесу (, ).

Рис. 7. Розподіл градієнту потенціалу та коефіцієнта фільтрації вздовж лінії

В результаті такого розрахунку параметрів процесу фільтрації в системі горизонтального дренажу встановлено ділянки збільшення () та зменшення () значення величини швидкості фільтрації за умов суфозійно-фільтраційного взаємовпливу (див. рис. 8).

Рис. 8. Зони збурення швидкості фільтрації у фізичній області

та відповідній області комплексного потенціалу

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вирішено нову науково-технічну задачу, а саме: розроблено нові ефективні алгоритми розв’язування нелінійних крайових задач для системи диференціальних рівнянь еліптичного типу, які реалізовані у вигляді пакету програм для ПК IBM PC/AT, і на їх основі досліджено математичні моделі стаціонарних процесів фільтраційної деформації в пористих середовищах складної геометрії, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями. На підставі проведених розрахунків встановлено, що врахування властивостей пористого середовища та залежності коефіцієнта фільтрації від градієнту потенціалу як у всій області фільтрації, так і лише у деяких її ділянках принципово змінює базові положення відомої у літературі методики оцінки фільтраційних характеристик ґрунтів.

Основні результати роботи полягають у наступному.

1. Методологія математичного моделювання нелінійних процесів фільтрації з урахуванням зворотного впливу градієнтів потенціалу на фільтраційні характеристики середовища, схильного до деформації, зокрема, ідея поетапної параметризації характеристик середовища і процесу, перенесена з відповідними доповненнями на випадки криволінійних чотирикутних областей складної геометрії, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями.

2. На основі ідеї обернення відповідних модельних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення в криволінійних чотирикутних областях розроблено нові ефективні алгоритми для числового наближення їх розв’язків.

3. Вперше отримано числові розв’язки таких нелінійних задач у випадку, коли і коефіцієнт, і компоненти тензора фільтрації залежать як від координат фізичної області фільтрації, так і від шуканих функцій течії та потенціалу, а також від градієнту потенціалу.

4. Розроблені алгоритми перенесено на випадки: а) кусково-гладких граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній, б) порушення умов ортогональності (квазіортогональності у випадку анізотропних середовищ) в точках перетину граничних ліній течії та еквіпотенціальних ліній.

5. Особливістю розробленого алгоритму є можливість зупинки процедури обчислень при виконанні лише деяких із умов закінчення процесу з автоматичним визначенням тих ділянок фізичної області фільтрації, де мають місце похибки більші заданої точності наближень відносно інших умов, що дає змогу економніше використовувати машинний час.

6. Вперше для криволінійних чотирикутних областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, побудовано розв’язки нових модельних задач, що описують процеси зворотного впливу градієнтів потенціалу (зокрема більших за їх критичні значення) на фільтраційні характеристики середовища; отримано підхід до прогнозування відповідних збурень зон окремих ділянок середовища.

7. Вперше отримані числові розв’язки задач про фільтраційну деформацію ґрунту при врахуванні взаємовпливу градієнту квазіпотенціалу та фільтраційних характеристик середовища. На цій основі проведено числові розрахунки на знаходження повної фільтраційної витрати, побудову гідродинамічної сітки, збурених змінним коефіцієнтом фільтрації зон та зон збурення швидкості фільтрації в системі горизонтального дренажу за умов суфозійно-фільтраційного взаємовпливу.

8. Отримані модельні розрахункові співвідношення фільтраційних характеристик середовища та процесу до та після деформації (фільтраційна витрата, швидкість фільтрації, гідродинамічна сітка, коефіцієнт фільтрації, ін.; проведено їх порівняльний аналіз) дають можливість пояснити невідповідність розрахункових (згідно з існуючими стандартами) параметрів різних гідроспоруд з реальним їх станом.

Результати проведених досліджень дають можливість переглянути методики, що стосуються фільтраційних розрахунків, з метою уточнення останніх (при проектуванні дренажних споруд та оптимізації інших гідросистем).

Подані в роботі моделі та алгоритми числового наближення розв’язків нелінійних обернених крайових задач теорії фільтрації на конформні відображення можуть бути використані і при побудові моделей нелінійних процесів фільтрації у багатозв’язних областях, в областях із шаруватими середовищами, в областях із вільними ділянками їх границь. Отримані в роботі результати для пористих середовищ складної геометрії мають загальний характер і можуть бути використані, наприклад, при моделюванні електричних полів у провідних середовищах. Найбільш важливою є ідея квазіконформного (конформного) переходу від криволінійної складної конфігурації фізичної області фільтрації до відповідної канонічної області квазікомплексного потенціалу при вивченні на цих фільтраційних полях (фонах) різних процесів і явищ конвекції, масообміну, дифузії та ін. розчинних речовин, що забруднюють область.

Методика і результати дослідження можуть бути рекомендовані до використання в інженерній практиці науково-дослідних та проектно-конструкторських установ та організацій, які проводять розрахунок і проектування дренажних споруд та інших гідросистем.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

АНОТАЦІЇ

Каштан С.С. Математичне моделювання фільтраційних деформацій в ґрунтах з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя, Тернопіль, 2004.

У дисертаційній роботі проведено дослідження фільтраційних деформацій в пористих середовищах – криволінійних чотирикутних складної геометрії областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу. Використовуючи ідею поетапної параметризації характеристик середовища та процесу, розроблені нові ефективні алгоритми розв’язування відповідних крайових задач на конформні та квазіконформні відображення криволінійних чотирикутників на прямокутники, що описують процеси зворотного впливу градієнтів квазіпотенціалу (більших за їх критичні значення) на фільтраційні характеристики середовища. На основі побудованих розв’язків таких нелінійних задач, коли коефіцієнт фільтрації та компоненти тензора фільтрації залежать як від координат фізичної області фільтрації, так і від шуканих функцій течії, потенціалу та його градієнту досліджено характер формування збурених зон середовища. Отримано модельні співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та середовища, що деформується під впливом гідродинамічної дії фільтраційного потоку.

На основі проведених розрахунків встановлено, що врахування властивостей пористого середовища та впливу градієнтів потенціалу на процес фільтрації принципово змінює базові положення відомої у літературі методики оцінки фільтраційних характеристик ґрунтів.

Ключові слова: математичне моделювання, нелінійні крайові задачі, метод блочної ітерації, метод сумарних зображень, фільтраційні деформації, коефіцієнт фільтрації, витрата, градієнт потенціалу, взаємовплив.

Каштан С.С. Математическое моделирование фильтрационных деформаций в почвах с учетом взаимовлияния характеристик среды и процесса. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. Тернопольский государственный технический университет имени Ивана Пулюя, Тернополь, 2004.

В диссертационной работе решена новая научно-техническая задача, а именно: разработаны новые эффективные алгоритмы решения нелинейных краевых задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа, которые реализованные в виде пакета программ для ПК IBM PC/AT, и на их основании исследованы математические модели стационарных процессов фильтрационной деформации в пористых средах – криволинейных четырехугольных сложной геометрии областях, ограниченных линиями тока и эквипотенциальными линиями.

Методология математического моделирования нелинейных процессов фильтрации с учетом взаимовлияния градиентов потенциала и фильтрационных характеристик среды, в частности, идея поэтапной параметризации характеристик среды и процесса, перенесена с соответствующими дополнениями на случаи криволинейных четырехугольных областей сложной геометрии, ограниченных линиями тока и эквипотенциальными линиями. На основании идеи обращения соответствующих модельных краевых задач на конформные и квазиконформные отображения в криволинейных четырехугольных областях разработаны новые эффективные алгоритмы для численного приближения их решений; создана соответствующая их программная реализация. Разработанный алгоритм развит на случаи нарушения условий конформности (квазиконформности для анизотропных сред), как в вершинах криволинейного четырехугольника, так и вдоль кусочно-гладких краевых линий тока и эквипотенциальных линий области. Преимуществами разработанного и апробированного многочисленными конкретными примерами числовых расчетов алгоритма решения обратных краевых задач на конформные и квазиконформные отображения криволинейных четырехугольных областей на прямоугольник (одновременное построение гидродинамической сетки движения, поверхности скорости фильтрации, вычисления расходов, др.) в сравнении с аналогичными численными методами есть простота в реализации; экономия машинного времени и увеличение скорости сходимости процесса в целом; автоматическое построение гидродинамической сетки; возможность его применения к решению новых нелинейных краевых задач.

На основании построенного решения таких нелинейных краевых задач в случае, когда и коэффициент, и компоненты тензора фильтрации зависят как от координат физической области фильтрации, так и от искомых функций течения, потенциала и его градиента, установлены соотношения между характеристиками недеформированной среды и среды, которая деформируется в зависимости от гидродинамического действия фильтрационного потока и формы области фильтрации. Полученные численные решения задач о фильтрационной деформации почвы при учете взаимовлияния градиента квазипотенциала и фильтрационных характеристик среды. На этом основании проведены числовые расчеты на нахождение полного фильтрационного расхода, построение гидродинамической сетки движения, возмущенных коэффициентом фильтрации зон и зон возмущения скорости фильтрации в системе горизонтального дренажа при условиях суффозионно-фильтрационного взаимовлияния.

На основании проведенных расчетов установлено, что учет свойств пористой среды и влияния градиентов потенциала на процесс фильтрации принципиально изменяет базовые положения известной в литературе методики оценки фильтрационных характеристик почв. Полученные в работе результаты исследований для пористых сред сложной геометрии имеют общий характер и могут быть использованы, например, при моделировании электрических полей в проводящих средах. Идея квазиконформного (конформного) перехода от сложной конфигурации криволинейной физической области