Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

Лавренюк Анатолій Сергійович

УДК 517.956.227

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ТЕОРІЇ

СИЛЬНО НЕОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

доцент Головатий Юрій Данилович,

Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

доцент Мельник Тарас Анатолійович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики,

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Чечкін Григорій Олександрович,

Московський державний університет імені Михайла Ломоносова, доцент кафедри диференціальних рівнянь.

4Провідна установа: Інститут прикладних проблем механіки та математики імені Я.С. Підстригача НАН України (м. Львів).

Захист відбудеться “25” березня 2004р. о 15.20 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському нацiональному унiверситетi iмені Івана Франка за адресою: 79002, м.Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “24 лютого 2004р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичні моделі теорії сильно неоднорідних середовищ пов'язані із сингулярно збуреними крайовими задачами для диференціальних операторів. Активне вивчення таких задач в останні десятиліття спричинене розвитком нових технологій, появою но--вих матеріалів, зокрема, композитних. Коливні системи, що складаються з матеріалів із суттєво різними фізичними характеристиками, часто володіють властивостями, які не притаманні жодній із компонент. При вивченні таких матеріалів виникають нові задачі, а їх дослідження ви-магає за-сто-сування доволі складного математичного апарату. Тому дослідження конкретних мате-ма-тичних моделей, що описують властивості неоднорідних матеріалів, є актуальною проб-лематикою як із теоретичного погляду, так і з погляду застосувань.

Історично тематика дисертації пов'язана з теорією диференціальних рівнянь з негладкими коефіцієнтами та коефіцієнтами, які є узагальненими функціями. У минулому столітті крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь другого та четвертого порядків, що описували коливання струн та стержнів із точковими масами, вивчалися у роботах А.Н.Крилова, М.Г.Крейна, Ф.Р.Гантмахера, І.С.Каца. Поведінка розв'язків задач для рівнянь із частинними похідними в областях із складною структурою досліджувалася В.О.Марченком, Є.Я.Хрусловим, І.В.Скрипни-ком. Сингулярно збурені задачі для диференціальних операторів з частинними по-хід-ни-ми та спо-рід-нені проблеми вивчали С.Альбеверіо, В.Д.Кошманенко.

У 1980-х рр. в роботах Е.Санчез-Паленсії та О.А.Олєйнік були запропоновані нові матема-тичні моделі коливних систем із локальними збуреннями характеристик середовища. У класичних

моделях із приєднаними та зосередженими масами (зарядами, ємностями і т. п.) та сингулярними потенціалами особливості середовища описувалися за допомогою -функцій або специфічних умов спряження на підмножинах нульової міри. Нові моделі враховують як повну міру області збурення, так і різний степінь концентрації особливостей. Відповідні крайові задачі залежать від двох параметрів: малого параметра та дійсного параметра концентрації m. Саме за допомогою та-ких моделей вдалося довести існування т.з. локальних (низькочастотних) та глобальних (висо-ко-частотних) власних коливань, гіпотезу про існування яких висунув E.Sanchez-Palencia. Проб-ле-ми локальних та глобальних коливань для одновимірних систем (струна, стержень) вивчалися С.А.Назаровим, О.А.Олєйнік, Ю.Д.Головатим, спектральні властивості мембрани та тривимірного

середовища із збуренням маси в околі скінченної дискретної множини досліджували C.Leal, J.Sanchez-Hubert. Моделі із збуренням густини в околі нескінченної як періодичної так і неперіодичної множини точок досліджувалися методами теорії усереднення в роботах M.Lobo, E.Perez, Г.А.Чечкіна. Перші результати для випадку збурення густини в околі многовиду більшої розмірності отримав H.Tchatat. Спектральні задачі в густих з'єднаннях із концентрованими масами досліджували Т.А.Мельник, С.А.Назаров. Поняття "жорстка задача" введене J.L.Lions стосувалося

крайових задач для диференціальних рівнянь, коефіцієнти яких значно відрізняються в різних частинах області задання. Такі моделі володіють двома типами коливань: низькочастотними та високочастотними. Асимптотичні дослідження низькочастотних коливань проводили Г.П.Пана-сенко, G.Geymonat, E.Sanchez-Palencia, W.M.Greenlee. Вивчення високочастотних коливань роз-по-ча-ли P.Gibert, E.Sanchez-Palencia, перші повні асимптотики з використанням ВКБ-методу отри-ма-ли Ю.Д.Головатий, Н.О.Бабич.

Проте, у цій тематиці залишається багато відкритих питань, оскільки характер асимптотик та методика дослідження суттєво залежать від співвідношення таких параметрів моделі як порядок

диференціального оператора, вимірність простору, вимірність та геометрія області збурення. Предметом дослідження у дисертаційній роботі є моделі коливних систем зі збуреннями окремих фізичних характеристик (густина, жорсткість) в околі одновимірних многовидів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертації отри-ма-ні в рамках виконання держбюджетної теми Львівського національного університету ім.І.Франка: "Розробка математичних методів дослідження прямих, обернених і спектральних за-дач для диференціальних рівнянь з частинними похідними" (номер держреєстрації N0197U018069).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження асимптотичних властивостей влас-них значень та власних функцій сингулярно збурених крайових задач для диференціальних опе-ра-то-рів 4-го порядку, що передбачає вирішення таких задач:–

побудувати асимптотику спектру крайової задачі для бігармонічного оператора у двовимірній обмеженій області із сингулярним коефіцієнтом коло спектрального параметра, яка моделює коливну систему із тонким важким включенням;–

побудувати асимптотику спектру крайової задачі для диференціального оператора з частин-ними похідними четвертого порядку із сингулярним коефіцієнтом при старших похідних, яка моделює коливну систему із тонким жорстким включенням;–

вивчити вплив локальних точкових збурень густини на спектр крайової задачі Неймана для бігармонічного оператора.

Об'єкт дослідження: математичні моделі теорії сильно неоднорідних середовищ, спектральні кра-йо-ві задачі із сингулярними збуреннями у коефіцієнтах диференціальних операторів.

Предмет дослідження: асимптотична поведінка власних значень та власних функцій у залежності від степеня концентрації особливості, явища локальних та глобальних власних коливань.

Методи дослідження: методи функціонального аналізу та спектральної теорії операторів, варіаційні та асимптотичні методи.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані у дисертації результати є новими. У дисертації вперше отримано такі результати.

1) Досліджені спектральні властивості коливної системи із тонким важким включенням для різних значень параметра концентрації. В усіх випадках вивчена асимптотична поведінка власних значень та власних функцій задачі для бігармонічного оператора із сингулярним коефіцієнтом біля спектрального параметра та доведені теореми збіжності. Побудовані та обґрунтовані асимптотичні розвинення простих власних значень та власних функцій. Описано ефект локальних власних коливань.

2) Досліджені спектральні властивості крайової задачі для еліптичного оператора 4-го порядку із сингулярним коефіцієнтом при старших похідних, яка моделює пластину з тонким жорстким включенням. Для різних значень відношення коефіцієнтів жорсткості пластини та включення побудовані та обґрунтовані асимптотичні розвинення простих власних значень.

3) Встановлено спектральні властивості задачі Неймана для бігармонічного оператора, що описує коливання незакріпленої пластини із збуренням густини в околі точки, доведено, що існує

скінченна кількість випадків граничної поведінки спектру, в усіх випадках доведені теореми збіжності для власних значень та власних функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний ха-рак-тер і є певним внеском у теорію сингулярних збурень. Вони можуть бути використані у подальших дослідженнях моделей теорії сильно неоднорідних середовищ.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. У спільних роботах [1,3] Ю.Д.Головатому належить формулювання задач та загальне керівництво, а у роботі [9] – побудова формальної асимптотики.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на: VII Міжнародній науковій конференції ім. М.Кравчука (Київ, 1998р.); Міжнародній науковій конференції "Сучасні проблеми математики" (Чернівці, 1998р.); Міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations", присвяченій Ю.Шаудеру (Львів, 1999р.); VIII Міжнародній науковій конференції ім. М.Кравчука (Київ, 2000р.); Міжнародній конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння" (Одеса, 2000р.); Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (1999-2001рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 10 роботах, з яких 6 [1,3,6-9] – у виданнях із переліку N1, затвердженого ВАК України, та 4 [2,4,5,10] – у тезах наукових мате-ма-тичних конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (128 найменувань, 16 сторінок), додатку (9 сторінок) та викладена на 181 сторінці машинописного тексту.

Автор висловлює щиру подяку Головатому Ю.Д. за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, вказується зв'язок із науковими програмами, наводиться наукова новизна отриманих результатів.

У першому розділі проаналізовано історію та сучасний стан теорії сингулярних збурень. Подано огляд літератури та стисло сформульовано основні результати дисертації.

У другому розділі вивчається модель коливань закріпленої на межі пластини, густина якої збу-рена в околі одновимірного многовиду. Нехай – обмежена область в з гладкою межею , а – гладка замкнена крива без самоперетинів, яка лежить в . Через позначимо -окіл кривої . Вважається, що для . Нехай в області задано функцію

де p i є гладкими і додатними в областях та відповідно, . Досліджується асимптот-тична поведінка при власних значень та власних функцій задачі

(1)

(2)

де – бігармонічний оператор, – вектор зовнішньої нормалі на . Нехай – локальні координати в , де n є орієнтованою відстанню до кривої вздовж нормалі, а – натуральний па-раметр кривої . Позначимо , де d – довжина , а також , . Вважаємо, що , де q - гладка додатна функція в P. Оскільки на функція зазнає розриву, то на власну функцію накладаємо умови:

(3)

Власні значення задачі (1)-(3) є неперервними обмеженими функціями параметра , a із відповідних власних функцій можна сфоpмувати оpтоноpмовану базу пpостоpу Соболєва . Поведінка власних значень при суттєво залежить від параметра m. А саме, є сім різних випадків: m<1, m=1, 1<m<3, m=3, 3<m<4, m=4, m>4.

У підрозділі 2.3 розглянуто випадки m<1 та m=1, коли вплив зосередженої маси на ко-ли-ва-н-ня системи є незначним. Нехай – власний підпростір, що відповідає власному значенню , а , де сумування поширюється на такі , які прямують до при .

Теорема 1. Нехай m<1, а – s-те власне значення задачі

(4)

Для кожного натурального s виконується оцінка

Якщо є власним значенням задачі (4) кратності r, то для малих підпростір є r-вимірний і , де – розхил між підпросторами.

Теорема 2. Нехай m=1, а – s-те власне значення задачі

(5)

Для кожного натурального s справджується оцінка . Якщо – кратне власне значення задачі (5), то .

При m>1 задача (1)-(3) стає сингулярно збуреною. Зокрема, для таких значень m спектр задачі розпадається на зліченні підмножини власних значень з різною поведінкою при . У підрозділі 2.4 вивчено серію нескінченно малих власних значень задачі порядку .

Теорема 3. Нехай m>1. Для кожного натурального s величина має скінченну границю , яка є власним значенням задачі

(6)

Крім того, , де . Якщо є кратним власним значенням задачі (6), то , де для таких , що .

У підрозділі 2.4 для простих власних значень побудовані повні асимптотичні розвинення власних значень та власних функцій, отримано оцінки залишкових членів. Відповідні власні коли-вання є асимптотично близькі до коливань важкого включення у невагомій пластині .

При існують також власні значення, які не прямують до нуля при .

Теорема 4. Нехай , – власне значення, а – відповідна нормована власна функція задачі (1)-(3).

(i) Якщо і слабко в при , то і є власним значенням та власною функцією задачі

(7)

(ii) Якщо – власне значення задачі (7), то існує власне значення задачі (1)-(3), для якого , де

Нехай – просте власне значення задачі (7) з власною функцією . Повні асимптотики шукаються у вигляді:

(8)

(9)

(10)

Скористаємося розвиненням оператора в околі кривої : , де, зокрема, , , а k – кривина кривої .

…

В И С Н О В К И

Дисертація присвячена вивченню спектральних властивостей сингулярно збурених ко-лив-них систем. Збурення породжується суттєвою відмінністю однієї з фізичних характеристик компо-нент таких систем. У таких системах виникають нові, раніше не досліджувані явища, як ефекти низькочастотних та високочастотних коливань, нестандартні граничні задачі.

У дисертації розглянуто три різні задачі на власні значення теорії сильно неоднорідних середовищ: задачі для диференціального оператора четвертого порядку із збуренням коефіцієнтів в околі одновимірного многовиду (збурення густини системи при подібних пружних властивостях, збурення пружності системи при однаковому за порядком розподілі маси), задача для бігармонічного оператора із локальним збуренням в околі точки.

Основні результати роботи такі:

· проведене повне дослідження асимптотичної поведінки спектру коливної системи четвертого порядку із тонким важким включенням; у випадку сильного сингулярного збурення m>4 побудована асимптотика локальних власних коливань;

· проведене повне дослідження асимптотичної поведінки спектру коливної системи чет-вер-то-го порядку із тонким жорстким або м'яким включенням, коли малий параметр присутній ко-ло старших похідних диференціального оператора на області, яка є -околом кривої;

· вивчені спектральні властивості незакріпленої пластини із концентрованою в околі точки масою; у ситуації сильного сингулярного збурення доведено існування явища локальних власних коливань.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про асимптотику власних значень пластини з локальним збуренням коефіцієнта жорсткості // Вісник Львівського ун-ту. Cер. мех.-матем. – 2000. – Вип.58. – C. 118-128.

2. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Пpо ефект локальних власних коливань для не-закpіпле-ної композитної пластини // Матеріали VII Міжнародної наукової конференції імені академіка М.Кравчука. – Київ. – 1998. – С. 115.

3. Головатий Ю.Д., Лавренюк А.С. Про локальні власні коливання Е. Санчез-Паленсії для пластини із збуренням густини в околі одновимірного многовиду // Вісник Львівського ун-ту. Cер. мех.-матем. – 1998. – Вип. 51. – C. 134-141.

4. Лавренюк А.С. Про власні коливання пластини із збуренням жорсткості в околі 1-ви-мір-но-го многовида // Тези доповідей Міжнародної конференції "Диференціальні та інтегральні рівняння". – Одеса. – 2000. – С. 166-167.

5. Лавренюк А.С. Про спектральну задачу для сингулярно збуреного диференціального рівня-н-ня четвертого порядку // Матеріали VIII Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. – Київ. – 2000. – С. 119.

6. Лавренюк А.С. Про ВКБ-асимптотику глобальних коливань пластини із збуреною в околі одновимірного многовиду густиною // Нелин. гр. задачи. – Сб. науч. трудов. – Вып. 11. – 2001. – С. 105-111.

7. Лавренюк А.С. Сингулярно збурена спектральна задача Неймана для бігармонічного опе-ра-тора // Матеріали Міжнародної наукової конференції "Сучасні проблеми математики". – Чернівці. – 1998. – С. 44-47.

8. Лавренюк А.С. Сингулярно збурена спектральна задача для бігармонічного оператора з умовами Неймана // УМЖ. – 1999. – Т. 51, N11. – C. 1467-1475.

9. Golovaty Y.D., Lavrenyuk A.S. Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold // Математичні Студії. – 2000. – Т. 13, N 1. – C. 51-62.

10. Lavrenyuk A.S. On WKB-asymptotic expansions of global vibrations of a plate with density perturbed in neighbourhood of 1-dimensional manifold // Book of abstracts "Nonlinear partial differential equations". – Lviv. – 1999. – P. 123.

АНОТАЦІЯ

Лавренюк А.С. Математичні моделі теорії сильно неоднорідних середовищ. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2004.

У дисертації досліджені 3 сингулярно збурені спектральні крайові задачі теорії сильно не-одно-рідних середовищ для диференціальних операторів 4-го порядку. Характерною особливістю перших двох задач є збурення коефіцієнтів диференціального оператора в околі одновимірного многовида. Збурення моделюється параметрами , m, при цьому враховується як степінь кон-центрації, так і розмір області неоднорідності. Вивчено асимптотичну поведінку спектру коливних систем із локальними збуреннями густини та жорсткості. На дійсній осі встановлено інтервали зміни величини m з якісно однаковою граничною поведінкою спектру. Для кожного інтервалу отримано явні формули для знаходження членів асимптотичних розвинень власних значень та власних функцій, отримані оцінки для залишкових членів.

Ключові слова: власне значення, власна функція, асимптотика, малий параметр, сингулярні збу-ре-н-ня, жорстка задача, зосереджена маса.

ABSTRACT

Lavrenyuk A.S. Mathematical models of theory of strong nonhomogeneous media. – Manuscript.

Thesis of obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), speciality 01.01.02 – Differential Equations. – Lviv National University named after Ivan Franko, Lviv, 2004.

Three singular perturbed spectral boundary value problems of theory of strong nonhomogeneous media for differential operators of the fourth order were investigated in this thesis. Two of them have feature of perturbation of coefficients of differential operator in the neighbourhood of 1-dimensional manifold. The perturbation is modeled by parameters , m. Power of concentration and size of domain of nongeneousness is taken into consideration. Asymptotic behaviour of the spectrum of vibrating system with local perturbation of density and stiffness was studied. Intervals of changes of value m with similar boundary behaviour of spectrum were received on the real axis. The formulas for finding terms of asymptotic expansions of eigenvalues and eigenfunctions were received for any interval and estimates for

remainder terms was obtained.

Key words: eigenvalue, eigenfunction, asymptotic, small parameter, singular perturbation, stiff problem,

concentrated mass.

АННОТАЦИЯ

Лавренюк А.С. Математические модели теории сильно неоднородных сред. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Львовский национальный университет

имени Ивана Франко, Львов, 2004.

В последнее время значительно возрос интерес к изучению задач теории сильно неодно-родных сред, в частности, в связи с развитием технологий композитых материалов. В диссерта-цион-ной работе изучены три математические модели сильно неоднородных сред. Отличительной особенностью первых двух является возмущение коеффициентов дифференциальных операторов в окрестности одномерного многообразия.

В первом разделе изучена спектральная задача для дифференциального оператора 4-го порядка с локальным возмущением коэффициентов при спектральном параметре. Эта модель описывает собственные колебания композитной системы, которая содержит тонкое тяжелое включение. Рассмотрен вопрос о влиянии такого возмущения на собственные частоты и формы собственных колебаний. Выделено 7 случаев различного граничного поведения колебательной системы, зависящих от параметра m. Рост последнего приводит к росту сингулярности задачи – от регулярного возмущения дискретного спектра до возмущения существенного спектра граничной задачи. Каждый из случаев сложен наличием нескольких серий собственных значений с различной асимптотикой. Построены граничные спектральные задачи и доказаны теоремы сходимости, для всех случаев получены полные асимптотические разложения простых собственных значений и собственных функций задачи. При m>4 (порядок концентрации больше порядка дифферен-циального оператора) построена асимптотика локальных собственных колебаний, а в приложении – формальная асимптотика глобальных колебаний. Структура главных членов асимптотики имеет прозрачное физическое толкование и согласовывается с физическими представлениями о по-ве-де-нии колебательных систем с тонким тяжелым включением.

Во втором разделе рассмотрена композитная колебательная система с тонким жестким или наооборот, очень мягким включением. Соответствующая краевая задача содержит малый пара-метр как в коеффициентах дифференциального оператора при старших производных, так и в гео-метрии области возмущения. Асимптотическое поведение при спектра и собственных функций задачи зависит от параметра , который определяет порядок коеффициента жесткости включения. Удалось построить граничные задачи во всех случаях и полные асимптотические разложения для каждого из 7-и качественно разных случаев.

В третьем разделе изучены спектральные свойства свободной пластины с кон-центри-рующейся в окрестности точки массой. В каждом из 5-и качественно разных случаев поведения собственных значений и собственных функций построены граничные спектральные задачи и доказаны теоремы сходимости. В ситуации сильного сингулярного возмущения (m>4) обосновано существование эффекта локальних колебаний.

Изученные модели важны как с математической точки зрения, так и для приложений, а представленные методы можно использовать в дальнейших исследованиях моделей теории сильно

неоднородных сред.

Ключевые слова: собственное значение, собственная функция, асимптотика, малый параметр, сингулярные возмущения, жесткая задача, сосредоточенная масса.

Підписано до друку 23.02.04 Формат 60х90/16.

Папір офсетний. Ум. друк. арк.. 0.9

Наклад 100 прим. Зам №362

Друк ТзОВ „Сплайн”

М.Львів, вул.. Коперніка, 11

Тел. (0322) 98-00-81