??????????? ???????? ???? ???????
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧНОЇ ФІЗИКИ ім. М.М.БОГОЛЮБОВА
ЛІСОВИЙ ОЛЕГ ОЛЕГОВИЧ
УДК 530.145, 537.611.2
КОРЕЛЯЦІЇ У СКІНЧЕННИХ ГРАТКОВИХ
СПІНОВИХ СИСТЕМАХ
01.04.02 — теоретична фізика
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
КИЇВ — 2004
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України.
Науковий керівник:
кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Бугрій Анатолій Іванович Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (м. Київ), старший науковий співробітник.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор Скрипник Володимир Іванович,
Інститут математики НАН України (м. Київ), провідний науковий співробітник.
доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Ситенко Юрій Олексійович,
Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України (м. Київ), завідувач відділу теорії ядра та квантової теорії поля.
Провідна установа:
Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут” НАН України, Інститут теоретичної фізики ім. О.І.Ахієзера.
Захист відбудеться 20.01. 2005 р. о 15 год.____ хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .191.01 при Інституті теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 03143, м. Київ, вул. Метрологічна 14-б, аудиторія 322.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України за адресою: 03143, м. Київ, вул. Метрологічна 14-б.
Автореферат розісланий 08.12. 2004 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
доктор фізико-математичних наук Кузьмичев В.Є.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Найбільш цікаві, важливі та складні задачі статистичної фізики та квантової теорії поля виникають при розгляді систем із сильною взаємодією. Їх не можна розв’язувати стандартними методами, побудованими на використанні теорії збурень. Основним джерелом нових теоретичних ідей та понять при вивченні непертурбативних ефектів є двовимірні інтегровні моделі. Серед таких систем найвідомішою та найбільш дослідженою є модель Ізінга у нульовому зовнішньому магнітному полі.
Спостережувані величини квантової теорії поля виражаються через різноманітні кореляційні функції. Їхню поведінку на великих відстанях між корелюючими операторами зручно вивчати через представлення Каллена-Лемана, що має вигляд розкладу по багаточастинкових проміжних станах. Для задання цього представлення необхідно знайти спектр гамільтоніана квантовопольової системи і формфактори — матричні елементи локальних операторів на відповідних власних станах. Формфактори вдається знайти точно лише в інтегровній двовимірній теорії поля, де матриця розсіяння, крім кроссінг-симетрії та унітарності, має ще додаткову властивість факторизації.
В багатьох застосуваннях квантової теорії поля, особливо у фізиці конденсованого стану, необхідно обчислювати кореляційні функції при ненульовій температурі. В мацубарівському формалізмі уявного часу це означає, що двовимірні теорії треба розглядати в геометрії нескінченного циліндра. Еволюція здійснюється вздовж осі циліндра, а гільбертовий простір станів відповідає скінченному об’ємові.
Між статистичною фізикою та квантовою теорією поля існують глибокі аналогії. Роль оператора еволюції для граткових систем відіграє трансферматриця, а розклад кореляційних функцій по її власних значеннях відповідає представленню Каллена-Лемана. Квантовопольовому скінченному об’єму або ненульовій температурі відповідає скінченний розмір граткової системи. При наближенні до критичної точки, у так званій скейлінговій границі, граткові моделі стають еквівалентними неперервним польовим теоріям і представляють собою один зі способів їхньої регуляризації.
В інтегровній теорії поля існує два методи обчислення формфакторів у нескінченному об'ємі: бутстрап та кутове квантування. З їх допомогою були знайдені точні формфактори для цілого ряду двовимірних квантовопольових систем, зокрема, для моделі sin-Гордон, SU(N)-інваріантної моделі Тіррінга, O(3) нелінійної -моделі. На жаль, у скінченному об'ємі обидва методи перестають працювати. Введення додаткового масштабу настільки ускладнює задачу, що навіть для інтегровних систем знайти формфактори у скінченному об’ємі поки що не вдалося.
Певного прогресу в обчисленні формфакторів у скінченному об'ємі було досягнуто за допомогою квазікласичного наближення. Крім того, в моделі sinh-Гордон за допомогою континуального інтегрування були знайдені одноточкові кореляційні функції при ненульовій температурі, які виражаються через найпростіші формфактори — вакуумні середні значення локальних полів. Перше точне обчислення формфакторів більш загального вигляду належить А. І. Бугрію. Ним була знайдена парна кореляційна функція ізотропної моделі Ізінга на циліндрі, що еквівалентно обчисленню граткових формфакторів типу “вакуум-багаточастинковий стан”. Перехід до скейлінгової границі дає відповідні формфактори в ізінгівській теорії поля у скінченному об'ємі. Пізніше такі ж результати були отримані іншим методом, що не використовує граткову регуляризацію.
Для обчислення n-точкових кореляційних функцій моделі Ізінга при n>2 потрібно знайти граткові формфактори найбільш загального вигляду, тобто спінові матричні елементи між двома довільними багаточастинковими станами. (В ізінгівській теорії поля в нескінченному об'ємі ця проблема розв'язується майже автоматично за допомогою співвідношень кроссінгу).
Можна припустити, що результати А. І. Бугрія узагальнюються на більш широкий клас граткових і неперервних моделей. Зокрема, можна спробувати обчислити спінові кореляційні функції в анізотропній моделі Ізінга на циліндрі і кореляційні функції твістованих полів (-функції) в моделі Дірака у скінченному об'ємі.
Окремий інтерес становить обчислення магнітної сприйнятливості моделі Ізінга на циліндрі. Ця задача виникла у зв’язку з недавнім припущенням про те, що сингулярності сприйнятливості моделі Ізінга в термодинамічній границі утворюють в комплексній площині температури щільну множину. Ще одна проблема пов'язана з дослідженням поведінки кореляторів ізінгівської теорії поля на малих відстанях. На площині для цього використовувалися нелінійні диференціальні рівняння, яким задовольняють кореляційні функції. Щоб провести подібний аналіз у скінченному об'ємі, потрібно знайти рівняння на корелятори і в цьому випадку.
Розв'язання вказаних завдань становить зміст цієї дисертаційної роботи.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України за підтримки ДФФД Міністерства освіти і науки України (проект 02.07/00152) та у відповідності з наступними державними науково-дослідними програмами:
1. Квантові поля, порушені симетрії та ефективні взаємодії – розробка теорії та її застосування у фізиці частинок і астрофізиці. Реєстр. номер 0100U000211.
2. Розробка та застосування квантовопольових і симетрійних методів у фізиці макросвіту, квантовій космології і астрофізиці. Реєстр. номер 0102U002331.
3. Фундаментальні взаємодії і непертурбативна динаміка кварків і лептонів та кооперативні процеси в макрофізичних і астрофізичних системах. Реєстр. номер 0103U000103.
Мета і задачі дослідження. Метою досліджень, проведених у дисертації, є отримання формул для магнітної сприйнятливості, кореляційних функцій і формфакторів у двовимірній моделі Ізінга на скінченній гратці. Об’єктом дослідження є спінові системи на скінченній гратці, а предметом дослідження – кореляційні функції та формфактори для таких систем. Методи дослідження включають в себе аналіз детермінантів матриць Тепліца, трансферматричні розрахунки для скінченнорядних ізінгівських ланцюжків, техніку підсумовування формфакторних розвинень і теорію ізомонодромних деформацій для рівняння Дірака.
Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі дістав подальший розвиток метод точного обчислення кореляційних функцій моделі Ізінга на скінченній гратці, запропонований А.І.Бугрієм. За допомогою аналізу детермінантів матриць Тепліца вперше були отримані формфакторні розклади для парної кореляційної функції анізотропної моделі Ізінга на циліндрі.
Вперше обчислено магнітну сприйнятливість двовимірної моделі Ізінга на циліндрі та досліджено структуру її сингулярностей у комплексній площині температури.
Вперше знайдені точні формули для довільних формфакторів моделі Ізінга на періодичній гратці, що еквівалентно обчисленню всіх n-точкових кореляційних функцій.
Вперше отримана замкнена система нелінійних диференціальних рівнянь для двохточкових кореляторів ізінгівської теорії поля у скінченному об'ємі.
У дисертації вперше була введена і обчислена тау-функція оператора Дірака на циліндрі, яка відповідає кореляційним функціям твістованих полів у моделі Дірака в скінченному об'ємі. Отримано диференціальні рівняння на тау-функцію, а в двохточковому випадку знайдено її явне детермінантне представлення.
Практичне значення одержаних результатів. Проведені в дисертації розрахунки сприяють глибшому розумінню фізичних властивостей сильно взаємодіючих квантовопольових систем у скінченному об'ємі та при скінченній температурі. Зокрема, вони можуть застосовуватись при розв'язанні таких задач:
ѕ
Перевірка формалізмів Дельфіно (G. Delfino, J. Phys. A34, (2001), 161–168) та Леклера-Муссардо (A. Leclair, G. Mussardo, Nucl. Phys. B552, (1999), 624–642), запропонованих для обчислення кореляційних функцій у двовимірних інтегровних моделях квантової теорії поля при скінченній температурі.
ѕ
Вивчення “збурених” інтегровних моделей; одна із таких систем, а саме модель Ізінга в ненульовому магнітному полі в скейлінговій границі, розглядалася в (P. Fonseca, A., J. Stat. Phys. 110, (2003), 527–590).
ѕ
Дослідження асимптотики кореляційних функцій при високих температурах повинно дати якісне уявлення про деякі особливості квантових критичних явищ (S. Sachdev, preprint cond-mat/9508080).
ѕ
Диференціальні рівняння для кореляційних функцій, отримані у п’ятому розділі, можна застосувати при дослідженні ультрафіолетової асимптотики кореляторів; на площині такий аналіз було проведено в роботах (J. Palmer, preprint solv-int/0107013; J Palmer, preprint solv-int/0107014).
Модель Ізінга на скінченній гратці має і самостійну цінність. Результати, отримані в даній роботі при дослідженні магнітної сприйнятливості, необхідні для прояснення механізму формування критичних сингулярностей із нулів Лі-Янга, зокрема, для обгрунтування припущення (B. Nickel, J.Phys.:.. 33, (2000), 3889–3906) про появу у термодинамічній границі для сприйнятливості сингулярності типу природної границі. Аналітичні вирази для термодинамічних величин, що містять залежність від розмірів гратки, дають орієнтири в задачах комп'ютерного моделювання термодинамічних та квантовопольових систем для кількісної оцінки числа ступенів свободи, при якому дискретну чисельну модель можна вважати адекватною вихідній неперервній та нескінченній системі. Нарешті, подібні результати потрібні і для теоретичного аналізу проблем у сучасних експериментах і технологіях, де тепер вже мають справу з явно не нескінченним числом частинок.
Особистий внесок здобувача. У роботах, виконаних зі співавторами, здобувачу належить:
ѕ
узагальнення формфакторного розкладу двохточкової кореляційної функції ізотропної двовимірної моделі Ізінга на циліндрі на випадок довільного розміщення корелюючих спінів [1,2]; аналітична та чисельна перевірка цього узагальнення [2];
ѕ
отримання формфакторних представлень для парної кореляційної функції та магнітної сприйнятливості анізотропної моделі Ізінга на циліндрі, а також їх аналіз при переході до скейлінгової границі [3];
ѕ
обчислення магнітної сприйнятливості в ізотропній моделі Ізінга на циліндрі та дослідження структури її сингулярностей у комплексній площині температури [1];
ѕ
отримання формул для довільних ізінгівських формфакторів на циліндрі [4] і порівняння результатів із трансферматричними розрахунками.
Апробація результатів дисертації. Результати досліджень, включені до дисертації, були представлені і обговорені на таких конференціях та семінарах:
ѕ
Міжнародна школа-семінар із сучасних проблем теоретичної та математичної фізики “Волга-XI” (Казань, Росія, 1999);
ѕ
Перша міжнародна школа ІТФ–ІТЕФ з теоретичної та математичної фізики (Київ, 2001);
ѕ
“6th International workshop on CFT and integrable models” (Чорноголовка, Росія, 2002);
ѕ
Rencontres “Systemes integrables et theorie quantique des champs a Peyresq II” (Peyresq, France, 2002);
ѕ
“Theories asymptotiques et equations de Painleve” (Angers, France, 2004);
ѕ
семінари в LPTHE-Jussieu (Paris, France, 2003), IGD Universite Lyon-I (France, 2003), Universite d'Angers (France, 2003).
Подані у роботі результати також неодноразово доповідалися на наукових семінарах Інституту теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України.
Публікації. Матеріали дисертації опубліковані у 8 журнальних статтях.
Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається з вступу, п’яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 111 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 100 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі викладено обгрунтування актуальності досліджень, що становлять зміст дисертації, висвітлено новизну отриманих результатів, подано зв’язок досліджень із науковими програмами, у роботі над якими приймав участь автор, окреслено мету роботи.
У першому розділі дисертації проаналізовані наявні літературні джерела та сучасний стан дослідженості проблематики дисертації. Висвітлено місце та роль результатів, отриманих у дисертації, в контексті досліджень, виконаних іншими авторами.
У другому розділі розглянуто задачу про обчислення парної кореляційної функції анізотропної моделі Ізінга на циліндрі, тобто на гратці, один із розмірів якої є нескінченним, а по іншому накладені періодичні граничні умови. Нагадаємо, що гамільтоніан моделі визначається як
де координати , пробігають усі можливі значення ( =…–1, 0, 1, …; =0, 1, …N – 1), спіни приймають значення 1, і позначають константи взаємодії в різних напрямках, і . Вихідним пунктом обчислення парної кореляційної функції
(1)
є її представлення через детермінант матриці Тепліца у випадку, коли корелюючі спіни знаходяться на лінії, паралельній осі циліндра (Рис. 1а):
(2) ,
(3) .
Тут і надалі індекси (NS) і (R) в сумах і добутках означають, що відповідні операції потрібно проводити по квазіімпульсах Нев’є-Шварца (, ) або Рамона (, ) відповідно. Введені позначення
, , , .
Розмірність матриці А визначається відстанню між корелюючими спінами, а її елементи на всіх діагоналях, паралельних головній, співпадають. Задача полягає в тому, щоб виділити залежність від відстані в явному вигляді і переписати (1)–(3) у вигляді граткових формфакторних розвинень.
Рис. 1. Варіанти розміщення корелюючих спінів на гратці.
Обчислення визначника |A| проводиться за допомогою методу інтегральних рівнянь Вінера-Хопфа (А. И. Бугрий, ТМФ 127, (2001), 143–167). Результати відрізняються в ферромагнітній () та парамагнітній () областях параметрів моделі, які ми будемо позначати знаками “+” та “–” відповідно. Для їх запису зручно ввести функцію , визначену як додатній корінь рівняння
,
що є гратковим аналогом релятивістського закону дисперсії. Отже, наведемо вирази для парної кореляційної функції анізотропної моделі Ізінга, отримані в дисертаційній роботі:
(4) ,
(5) .
Парціальні вклади визначаються як
(6) ,
а формфактор , квадрат спонтанної намагніченості на нескінченній гратці , і циліндричні параметри , і задаються формулами
, ,
(7) ,
(8) ,
(9) .
Співставивши ці формули з гратковим представленням Лемана, тобто з розкладом кореляційних функцій по власних значеннях трансферматриці, можна знайти вираз для парного корелятора і при довільному розміщенні корелюючих спінів (Рис. 1б). Для цього достатньо здійснити заміну
(10)
у формулі (6).
Особливий інтерес модель Ізінга становить у скейлінговій границі, де вона є еквівалентною деякій моделі квантової теорії поля з взаємодією. У порівнянні з площиною на циліндрі з’являється новий ефект циліндричні параметри , і , які перетворюються в нуль при фіксованому віддалені від критичної точки (, ), у скейлінговій границі на циліндрі не зникають. Незважаючи на очевидне ускладнення кореляційних функцій, ряд результатів, отриманих на площині, можна узагальнити і на випадок анізотропної моделі Ізінга на циліндрі, якщо взяти до уваги деякі тонкощі скейлінгових змінних, зумовлені анізотропією. В цьому випадку є два параметри і , і замість критичної точки виникає критична лінія . Існує певна свобода у визначенні параметра віддалення від критичної лінії, якою можна розпорядитись так, щоб у скейлінговій границі результати, отримані для анізотропного випадку, співпали з результатами, отриманими в ізотропній () моделі. Такій умові задовольняє наступний вибір скейлінгових змінних:
, , , ,
(11) , ,
.
Для переходу до скейлінгової границі для циліндричних параметрів , і зручно користуватись не формулами (7)–(9), а еквівалентними їм інтегральними представленнями
,
,
,
в яких функція позначає додатній корінь рівняння
З урахуванням перелічених зауважень для парної кореляційної функції анізотропної моделі Ізінга на циліндрі у скейлінговій границі маємо:
,
,
,
де квазіімпульси приймають бозонні значення (, Z), а циліндричні параметри і формфактор визначені наступними виразами:
,
,
,
.
Отже, у скейлінговому режимі, визначеному формулами (11), спіновий корелятор на циліндрі виражається через такі ж функції перенормованих координат, що й в ізотропній моделі.
У третьому розділі дисертаційної роботи обчислена магнітна сприйнятливість моделі Ізінга на циліндрі. Cприйнятливість виражається через похідні по полю від статистичної суми, однак у випадку нульового магнітного поля її можна записати через суму усіх можливих кореляційних функцій,
Представляючи її у вигляді суми парціальних вкладів, із формул (4)–(6) і (10) отримаємо
(12) , ,
(13) ,
.
В парамагнітній області вираз (13) допускає границю і, завдяки відсутності спонтанної намагніченості в парамагнітній фазі, переходить у сприйнятливість на нескінченній гратці. В ферромагнітній області можна перейти до границі тільки для величини
,
яка відтворює те, що прийнято вважати магнітною сприйнятливістю моделі Ізінга в нульовому полі в термодинамічній границі.
Структура сингулярностей сприйнятливості в комплексній площині температури досліджувалася в ізотропному випадку. На скінченній по обох розмірах гратці (, ) сприйнятливість є відношенням двох поліномів по змінній , а її сингулярності вичерпуються скінченним числом полюсів на колі . В дисертаційній роботі показано, що при переході до границі , ці полюси згущуються, перетворюючись в 4N – 2 точок галуження кореневого типу. Якщо позначити їх через , то
,
де q пробігає всі значення квазіімпульсів із бозонного та ферміонного спектрів, за виключенням 0 та . Для N = 3 відповідна картинка представлена на Рис. 2.
Рис. 2. Положення сингулярностей у комплексній площині s
для магнітної сприйнятливості у частинному випадку N = 3.
Остання частина третього розділу присвячена знаходженню загальної формули для спінового матричного елемента на скінченній гратці, що еквівалентно обчисленню всіх n-точкових кореляційних функцій на циліндрі і торі. Як відомо, множина власних векторів ізінгівської трансферматриці з розміром розбивається на дві частини сектори Нев’є-Шварца і Рамона. Відповідні власні значення в ізотропному випадку мають вигляд
,
.
В ферромагнітній () і парамагнітній () фазах діють різні правила відбору: в NS-секторі число мінусів парне в обох фазах, а в R-секторі воно парне при і непарне при . Власні вектори трансферматриці моделі Ізінга природно інтерпретуються в термінах частинок двох типів. Квазіімпульси R-частинок можуть дорівнювати (j = 0, 1,…, N – 1), а для NS-частинок вони пробігають значення (j=0, 1,…, N – 1). Кожен власний стан складається з частинок лише одного типу, причому їхні квазіімпульси повинні бути різними.
Позначимо через нормований власний стан, що містить частинки з імпульсами . Матричні елементи типу NS–NS та R–R зануляються внаслідок Z2-симетрії моделі. В дисертації знайдено загальну формулу для всіх інших матричних елементів:
.
Вона була перевірена за допомогою явних трансферматричних розрахунків, проведених для скінченнорядних ізінгівських ланцюжків, і в різних граничних випадках співпадає з даними теоретичних досліджень інших авторів.
В четвертому розділі отримано систему нелінійних диференціальних рівнянь, яким задовольняють парні кореляційні функції моделі Ізінга на циліндрі у скейлінговій границі. Цей результат узагальнює відомий зв’язок між кореляторами ізінгівської теорії поля в нескінченному об’ємі та трансцендентами Пенлеве. Він незвичайний тим, що згадана система, на відміну від рівнянь Дайсона, є замкнутою, тобто знаходження з неї пропагатора не вимагає попереднього пертурбативного обчислення вершини. Виведення рівнянь на корелятори значно спрощується завдяки знайденим у дисертації детермінантним представленням. Якщо позначити
,
то
,
де введено позначення , та . Ввівши функції , , ми отримали наступні диференціальні рівняння:
, ,
, .
Були виведені також рівняння на самі кореляційні функції. Вони співпадають в обох фазах і мають вигляд
У п’ятому розділі введена і обчислена тау-функція (регуляризований детермінант) оператора Дірака на циліндрі з n виколотими точками. Вона виражається через коефіцієнти розкладу в ряд Фур’є канонічного базису розв’язків рівняння Дірака. Ці розв’язки однозначно характеризуються своєю сингулярною поведінкою в околі точок галуження. Означено функцію Гріна сингулярного оператора Дірака на циліндрі і одержано представлення для її похідних по координатах точок галуження в термінах елементів канонічного базису. Явні формули для функції Гріна та канонічного базису знайдені у випадку n = 1. На підставі цих виразів отримано явне детермінантне представлення для двохточкової тау-функції. З використанням теорії ізомонодромних деформацій виведена система нелінійних диференціальних рівнянь на коефіцієнти розкладу канонічного базису розв’язків.
ВИСНОВКИ
Метою дисертаційної роботи було обчислення кореляційних функцій та формфакторів в інтегровних двовимірних моделях статистичної фізики та квантової теорії поля у скінченному об’ємі. Головними об’єктами дослідження були вибрані модель Ізінга, її анізотропне узагальнення та модель твістованих полів.
Основні результати та висновки дисертації можна викласти у вигляді таких тверджень:
1.
На основі аналізу детермінантів матриць Тепліца спеціального вигляду знайдено формфакторні розклади парної кореляційної функції анізотропної двовимірної моделі Ізінга на циліндрі. Проаналізовано перехід до скейлінгової границі у відповідних розвиненнях.
2.
Одержано точні вирази для магнітної сприйнятливості ізотропної моделі Ізінга на циліндрі. Досліджено структуру сингулярностей сприйнятливості в комплексній площині температури. Отримано точні формули для довільних ізінгівських формфакторів на періодичній гратці. Результати порівняно з виразами, знайденими для скінченнорядних ізінгівських ланцюжків трансферматричним методом.
3.
Знайдено детермінантні представлення та нелінійні диференціальні рівняння для двохточкових спінових кореляторів в моделі Ізінга на циліндрі у скейлінговій границі.
4.
Введено поняття тау-функції оператора Дірака на циліндрі. Тау-функцію виражено через коефіцієнти розкладу канонічного базису розв'язків рівняння Дірака на циліндрі з n виколотими точками. Отримано систему нелінійних диференціальних рівнянь, яким задовольняють вказані коефіцієнти. На основі явних формул для канонічного базису та для функції Гріна сингулярного оператора Дірака при n=1 знайдено детермінантне представлення двохточкової тау-функції.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1.
Бугрий А. И., Лисовой О. Магнитная восприимчивость двумерной модели Изинга на решетке конечных размеров // ЖЭТФ. 2002. т.121, №6. C. 1328–1338; Preprint / hep-th/0106270. 2001.
2.
А. І. Бугрій, О. Лісовий, Кореляційна функція 2D-моделі Ізінга на циліндрі // УФЖ. 2002. т.47, №2. C. 179–196.
3.
А. И. Бугрий, О. Лисовой, Корреляционная функция двумерной модели Изинга на решетке конечных размеров.// ТМФ. 2004. т.140, №1. С. 113–127.
4.
A. I. Bugrij, O. Lisovyy, Spin matrix elements in 2D Ising model on the finite lattice // Phys. A. 2003. V.319, No.3–4. P. 390–394.
5.
О. Лісовий, Аналітичні властивості пропагатора в точно розв'язуваній теорії поля // ЖФД. 2000. т.4, №4. C. 409–414.
6.
O. Lisovyy, Nonlinear differential equations for the correlation functions of the 2D Ising model on the cylinder // Adv. Theor. Math. Phys. 2002. V.5, No.5. P. 909–922; Preprint / hep-th/0108015. 2001.
7.
O. Lisovyy, PDEs for Ising correlation functions on the cylinder // Int. J. Mod. Phys. A Suppl. 2004. V.19. P. 267–275.
8.
O. Lisovyy, Tau functions for the Dirac operator on the cylinder // Comm. Math. Phys. 2004. V.251, No.3. P. 430–462; Preprint / hep-th/0312277.
Лісовий О. О. Кореляції у скінченних граткових спінових системах. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 теоретична фізика. Інститут теоретичної фізики ім. М.М.Боголюбова НАН України, Київ, 2004.
У дисертаційній роботі розвинуто декілька підходів до обчислення кореляційних функцій та формфакторів в інтегровних двовимірних моделях статистичної фізики та квантової теорії поля у скінченному об’ємі. За допомогою аналізу детермінантів матриць Тепліца знайдено точні вирази для парної кореляційної функції анізотропної моделі Ізінга на циліндричній гратці. Обчислено магнітну сприйнятливість моделі Ізінга на циліндрі та досліджено структуру її сингулярностей в комплексній площині температури. Отримано вирази для довільних спінових матричних елементів на власних векторах ізінгівської трансферматриці. Одержані представлення двохточкових кореляторів ізінгівської теорії поля через визначники нескінченновимірних матриць, і з їх допомогою виведена замкнута система нелінійних диференціальних рівнянь на корелятори. Розвинуто теорію ізомонодромних деформацій для рівняння Дірака на циліндрі з n виколотими точками. Означено та обчислено тау-функцію сингулярного оператора Дірака на циліндрі.
Ключові слова: кореляційні функції, формфакторні розвинення, модель Ізінга, магнітна сприйнятливість, теорія ізомонодромних деформацій, тау-функція.
Лисовой О. О. Корреляции в конечных решеточных спиновых системах. Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 теоретическая физика. Институт теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова НАН Украины, Киев, 2004.
В диссертации развито несколько подходов к вычислению корреляционных функций и формфакторов в интегрируемых двумерных моделях статистической физики и квантовой теории поля в конечном объеме. С помощью анализа детерминантов матриц Теплица найдены точные выражения для парной корреляционной функции анизотропной модели Изинга на цилиндрической решетке. Вычислена магнитная восприимчивость модели Изинга на цилиндре и исследована структура ее сингулярностей в комплексной плоскости температуры. Получены выражения для произвольных спиновых матричных элементов на собственных векторах изинговской трансферматрицы. Получены представления для парных корреляторов изинговской теории поля через определители бесконечномерных матриц, и с их помощью выведена замкнутая система нелинейных дифференциальных уравнений на корреляторы. Построена теория изомонодромных деформаций для уравнения Дирака на цилиндре с n выколотыми точками. Определена и вычислена тау-функция сингулярного оператора Дирака на цилиндре.
Ключевые слова: корреляционные функции, формфакторные разложения, модель Изинга, магнитная восприимчивость, теория изомонодромных деформаций, тау-функция.
Lisovyy O. O. Correlations in finite lattice spin systems. Manuscript.
Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.04.02 theoretical physics. Bogolyubov Institute for theoretical physics of NAS of Ukraine, Kiev, 2004.
The thesis is devoted to the study of correlation functions and form factors in two-dimensional integrable models of statistical physics and quantum field theory in the finite volume. The main objects of investigation are the Ising model, its anisotropic generalization and the model of twisted fields in the Dirac theory.
Two-point correlation function in the anisotropic Ising model on the cylindrical lattice is exactly calculated [3]. Starting from the representation of pair correlation function in terms of Toeplitz determinants, its form factor expansions are found in both paramagnetic and ferromagnetic region of parameters of the model. On the basis of obtained explicit formulae the transition to the scaling limit is analyzed. It is shown that the scaling variables can be chosen in such a way that the scaled spin correlator is given by the same function of renormalized coordinates as in the isotropic case. Obtained results admit a number of independent verifications. In particular, they can be checked using transfermatrix calculations for the finite-row spin chains, and in the thermodynamic limit they reduce to well-known formulae on the infinite lattice.
We have computed form factor expansions of magnetic susceptibility of the Ising model on the cylinder in ferromagnetic and paramagnetic phase and we have also investigated its singularity structure in the complex temperature plane [1]. It is shown that the singularities are exhausted by a finite number of branchpoints of square root type on the unit circle |s| , where s denotes a uniformized temperature parameter.
A general formula for spin matrix element on the eigenvectors of Ising transfermatrix, corresponding to finite periodic lattice, is found]. This is equivalent to the calculation of all multipoint correlation functions on the cylinder and torus. The results are checked analytically (up to N=6) and numerically (up to N=10) against direct transfermatrix computations performed for the N-row Ising chains [2]. In the scaling limit our general formula coincides with the conjecture of Fonseca and Zamolodchikov.
A representation of the two-point correlation functions of Ising field theory via the determinants of some infinite-dimensional matrices is obtained [6]. Using this representation, we have derived a system of nonlinear differential equations [6,7] satisfied by particular combinations of correlators of order and disorder parameters. One of these equations represents integrable sinh-Gordon equation. Our system is a generalization of the well-known connection between scaled infinite-volume Ising correlators and Painleve transcendents. In contrast to Dyson equations, this system is closed, i.e. to find the propagator from it, one need not first perturbatively calculate the vertex. We have also obtained one trilinear and two quadrilinear equations, satisfied by the correlation functions themselves. A remarkable feature of these equations is that they coincide in both phases.
We define and compute the tau function (regularized determinant) of the Dirac operator on the cylinder with n marked points [8]. It is expressed through the Fourier expansion coefficients of the so-called canonical basis of solutions to Dirac equation. These solutions are uniquely determined by their singular behaviour in the neighbourhood of the branchpoints. We define the Green function of the singular Dirac operator on the cylinder and find a representation for its derivatives with respect to branchpoint positions in terms of the elements of canonical basis. An infinite-dimensional grassmannian, composed of the boundary spaces of some local solutions to Dirac equation, is introduced. We define the determinant bundle over this grassmannian and its canonical section. Using the one-point Green function, a trivializing section of the determinant bundle is constructed. The comparison of canonical and trivializing section allows to compute the tau-function of the Dirac operator. The explicit formulae for the Green function and canonical basis are obtained in the case of a one-punctured cylinder. On the basis of these expressions an explicit determinant representation of the two-point tau-function is found. Using monodromy preserving deformation theory, a system of nonlinear partial differential equations satisfied by the expansion coefficients of canonical basis is derived.
Keywords: correlation functions, form factor expansions, Ising model, magnetic susceptibility, monodromy preserving deformation theory, tau function.
