НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ЮЖАКОВА Ганна Олексіївна

УДК .968

НОВІ ТИПИ СИСТЕМ N-АРНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ — 1998

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики №1 Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Вірченко Ніна Опанасівна, Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, професор кафедри вищої математики №1.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Глущенко Андрій Арсенович, Національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук Гамалея Ростислав Віталійович, Інститут газу НАН України, науковий співробітник.

Провідна установа:

Харківський державний університет, кафедра математичної фізики та обчислювальної математики, м. Харків.

Захист дисертації відбудеться “ 26 ”. січня 1999 року о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою:

252601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту математики НАН України (252601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3).

Автореферат розісланий “ 23 ” грудня 1998р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У багатьох розділах механіки, зокрема, в теорії контактних задач, теорії тріщин, а також — у математичній фізиці, в теорії теплопровідності, в теорії електростатики, в теорії дифракції та ін. застосовуються так звані власне змішані крайові задачі, які являють собою широкий клас граничних задач. Це задачі, в яких вигляд граничної умови змінюється в межах однієї й тієї ж грані границі області.

Можна виділити такі основні методи розв'язання власне змішаних крайових задач: методи теорії функцій комплексної змінної, метод інтегральних перетворень, метод N-арних (інтегральних або суматорних) рівнянь, метод ортогональних многочленів, асимптотичні методи, метод дробового інтегро-диференціювання, варіаційні методи, чисельні методи та ін.

Зазначимо, що метод N-арних інтегральних (суматорних) рівнянь виявився найефективнішим із сучасних аналітичних методів розв’язання власне змішаних крайових задач. Цей метод успішно розвивався в працях Б.Л. Абрамяна, В.М. Александрова, А.Е. Андрійкова, В.А. Бабешка, Н.О. Вірченко, Ю.В. Ганделя, Д.В. Грилицького, В.Т. Грінченка, В.І. Моссаковського, В.В. Панасюка, О.С. Парасюка, Г.Я. Попова, В.С. Проценка, А.Т. Улітка, Я.С. Уфлянда, E. Beltrami, W. Collins, J. Cooke, A. Erdelyi, S. Kalla, E. Love, B. Noble, M. Saigo, I. Sneddon, K. Srivastava, C. Tranter та ін.

При розв’язанні досить широкого класу змішаних граничних задач, в яких вигляд граничної умови змінюється водночас на кількох (двох, трьох чи більше) гранях границі області виникають системи парних, потрійних, N-арних інтегральних рівнянь.

Загальної теорії систем N-арних інтегральних рівнянь поки що не існує, якоюсь мірою вивчені лише системи N-арних інтегральних рівнянь з тригонометричними функціями та функціями Бесселя в ядрах, приміром, в роботах А.Н. Руховця, Ю.Н. Кузь-міна, Я.С. Уфлянда, G. Szefer, I. Lowndes, R. Westmann та ін. Це можна пояснити тим, що побудова загальної теорії пов'язана з подоланням значних математичних труднощів, а окрім того, ці дослідження в основному проводились прикладниками, яких біль-ше цікавила конструктивна форма побудови розв'язків.

Через велику прикладну вагомість та ефективність методу N-арних інтегральних рівнянь та їх систем розв'язання саме нових типів такого роду систем та дослідження їх розв'язків є теж важливою й актуальною задачею успішного використання цієї галузі теорії інтегральних рівнянь.

Дана дисертація якраз продовжує вказаний напрямок досліджень і присвячена розв’язанню та дослідженню нових типів систем N-арних інтегральних рівнянь.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконувалась на кафедрі вищої математики №1 НТУУ “КПІ” згідно з координаційним планом пріоритетних напрямків розвитку науки і техніки Міністерства освіти України по темі “Асимптотичний аналіз лінійних систем та їх застосування” (№2858, 1995-1996 рр.).

Мета роботи — побудова розв’язків та дослідження умов їх існування для нових типів систем N-арних інтегральних рівнянь складніших конструкцій.

Методика досліджень. В роботі використані апарат спеціальних функцій, теорія інтегральних перетворень, теорія операторів дробового інтегрування, теорія інтегральних рівнянь, елементи теорії матриць.

Наукова новизна одержаних результатів:

- методом дробового інтегрування розв'язано нові типи двовимірних систем парних та потрійних інтегральних рівнянь з функціями Бесселя, систем потрійних інтегральних рівнянь з функціями Ватсона, парних інтегральних рівнянь з приєднаними функціями Лежандра та з H-функціями Фокса;

- методом довизначення одержано розв'язки нових типів систем парних та потрійних інтегральних рівнянь з узагальненими приєднаними функціями Лежандра;

- методом інтегральних перетворень розв'язано новий тип систем парних інтегральних рівнянь з функціями Віттекера;

- методом підстановки розв'язано новий тип систем парних інтегральних рівнянь, пов'язаних з узагальненим інтегральним перетворенням Вебера;

- досліджено основні властивості композиційних співвідношень для використаних операторів дробового інтегрування;

- доведено низку теорем про умови існування розв'язків вищезазначених систем;

- подано приклади практичного застосування систем N-арних інтегральних рівнянь.

Теоретична та практична цінність роботи. Дисертація має теоретичний характер і вносить вклад в загальну теорію систем парних, потрійних, N-арних інтегральних рівнянь. Її результати можуть знайти застосування при розв'язанні конкретних прикладних задач математичної фізики, механіки суцільних середовищ, теорії фільтрації та ін.

Апробація роботи. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на 4-й, 5-й та 7-й Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 1995, 1996, 1998 рр.), Міжнародній конференції "Boundary value problems, special functions and fractional calculus" (Мінськ, 1996 р.), Українській конференції "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Київ, 1996 р.), 7-й науковій Міжвузівській конференції "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1997 р.), Міжнародній конференції "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань" (Київ, 1997 р.), Міжвузівському об'єднаному науковому семінарі "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 1997 р.), в школі-семінарі "Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування" (Кам'янець-Подільський, 1996 р.), на засіданнях кафедри вищої математики N 1 Національного технічного університету України "КПІ" (1995-1997 рр.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1]-[13]. У роботах [4], [5] і [11], написаних у співавторстві з Н. О. Вірченко, постановка задач та наукове керівництво належать доктору ф.-м. наук професору Н. О. Вірченко, а одержання конкретних результатів та їх дослідження виконані особисто дисертанткою. Список цих робіт подано в кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 135 сторінок складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку літератури з 78 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано вибір теми дисертації на основі аналізу сучасного стану проблеми, зазначено актуальність і важливість дослідження нових типів систем N-арних інтегральних рівнянь, коротко викладено зміст роботи, подано загальну характеристику новизни та теоретичної цінності одержаних результатів.

У першому розділі дано огляд наукових досліджень, близьких за напрямком до теми дисертації.

У другому розділі розв'язано двовимірні системи парних та потрійних інтегральних рівнянь з функціями Бесселя, системи потрійних інтегральних рівнянь з функціями Ватсона, парних інтегральних рівнянь з функціями Віттекера, з'ясовано умови існування розв'язків.

Система з n N-арних інтегральних рівнянь має такий загальний вигляд:

(1)

Тут — відомі функції, визначені у відповідних областях , — шукані функції, — -е ядро -го рівняння, — відомі функції, задані у відповідних інтервалах . У ролі ядер інтегральних рівнянь можуть виступати тригонометричні функції, функції Бесселя та інші спеціальні функції. Задача системи N-арних інтегральних рівнянь полягає у визначенні невідомих функцій, якщо результат застосування до них -го інтегрального оператора в -му рівнянні відомий на -й частині деякого -го інтервалу,

Варто відзначити, що методи розв'язання та дослідження систем N-арних інтегральних рівнянь суттєво залежать від складу спеціальних функцій, що входять до складу ядер цих рівнянь. Серед широковідомих методів розв'язання таких систем слід назвати методи підстановки, довизначення, операторів дробового інтегрування, інтегральних перетворень та ін. Найчастіше на практиці застосовуються системи парних (N=2) або потрійних (N=3) інтегральних рівнянь.

Якщо , то систему (1) можна записати в такому матричному вигляді:

(2)

де — невідомий вектор з компонентами — ядро відповідного інтегрального рівняння; — відомі функціональні матриці розмірності , елементи яких визначені у відповідних областях — вектори відомих функцій з компонентами , що визначені у відповідних областях .

Нехай в (2) N=2, , , , ,

( — дійсні додатні числа), (невідомі функції залежать від двох незалежних змінних), , ,

, , , , , де — відомі діагональні матриці розмірності , елементи яких мають відповідно вигляд:

(3)

всі числа — дійсні, A та B — відомі невироджені матриці розмірності з елементами та , визначеними в області .

Для розв'язання одержаних двовимірних систем парних інтегральних рівнянь з функціями Бесселя в ядрах застосовано відомі узагальнені оператори дробового інтегро-диференціювання:

узагальнений оператор Ганкеля

та композиційні співвідношення між ними, при цьому детально досліджено основні властивості цих співвідношень.

Теорема 2.1. Двовимірна система парних інтегральних рівнянь вигляду

(4) має розв'язок

де

(зауважім, що вектори та мають відповідно компоненти та , а символи тут і нижче означають, що у відповідних інтегралах інтегрування проводиться лише по області замість , та відповідно ), , , та — діагональні матриці, елементи яких задані співвідношеннями

при умовах на параметри

, .

(5)

Система двовимірних потрійних інтегральних рівнянь

(6)

де , ,

, ,

, ( — дійсні числа ), на перший погляд, мало відрізняється від системи (4), але насправді задача набагато ускладнилась і одержати розв'язок в замкненому вигляді не вдається. Справедлива

Теорема 2.2. Розв'язання двовимірної системи потрійних інтегральних рівнянь (6) зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду при умовах

,

,

, .

Далі в цьому ж розділі розглянуто такі системи парних інтегральних рівнянь:

(7)

Тут — відома невироджена функціональна матриця, елементи якої визначені в області , та — відомі вектори, компоненти яких задані відповідно в інтервалах та , — дійсний параметр, — функція Віттекера, задане співвідношенням

— вектор невідомих функцій, — гама-функція.

Теорема 2.3. Розв'язок системи парних інтегральних рівнянь (7) має вигляд

(8)

де — дробовий інтеграл Вейля, при умовах, що компоненти вектора абсолютно інтегровні на інтервалі з вагою , а для компонент вектора на інтервалі при деякому справедлива оцінка

У кінці другого розділу розглянуто системи потрійних інтегральних рівнянь з функціями Ватсона в ядрі:

(9)

де — шуканий вектор з компонентами — відомі невироджені матриці розмірності , компоненти вектора визначені в області , компоненти вектора — в області , компоненти вектора — в області , вектори , та відомі, — дійсні числа, , — узагальнені інтегральні оператори Ганкеля:

(10)

У (10) — функція Ватсона, яка, як відомо, при визначається інтегралом

де — функція Бесселя 1-го роду.

Теорема 2.4. Розв'язок системи потрійних інтегральних рівнянь (9) зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду при умовах

, ,

При розв'язанні системи (9) застосовано метод операторів дробового інтегро-диференціювання з детальним дослідженням основних властивостей композицій використаних операторів.

У третьому розділі розв'язано системи N-арних інтегральних рівнянь зі складнішими спеціальними функціями в ядрах, а саме системи парних інтегральних рівнянь з приєднаними функціями Лежандра 1-ого роду , парних та потрійних інтегральних рівнянь з узагальненими приєднаними функціями Лежандра 1-ого роду , парних інтегральних рівнянь з H-функціями Фокса та парних інтегральних рівнянь, пов'язаних з узагальненим інтегральним перетворенням Вебера.

Нехай в (2) N=2, , , — задані дійсні додатні числа, , причому матриця є діагональною. Тоді дістаємо систему парних інтегральних рівнянь з приєднаними функціями Лежандра в ядрах такого вигляду:

(11)

де

(12)—

оператор узагальненого інтегрального перетворення Мелера-Фока. Справедлива

Теорема 3.1. Система парних інтегральних рівнянь (11) зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду при умові, що для всіх елементів матриці ( — одинична матриця розмірності ) при деякому справедлива оцінка

.

Нехай в (2) N=2, ( — дійсний параметр ), — узагальнена приєднана функція Лежандра, де — задана невироджена функціональна матриця, задане співвідношенням

(13)

У результаті одержуємо систему парних інтегральних рівнянь з узагальненими приєднаними функціями Лежандра 1-ого роду в ядрах:

(14)

де — оператор узагальненого інтегрального перетворення Мелера-Фока:

(15)

Зауважім, що узагальнена приєднана функція Лежандра 1-ого роду є одним із розв’язків такого узагальненого диференціального рівняння Лежандра:

. (16)

Справедливі

Теорема 3.2. Система парних інтегральних рівнянь вигляду (14) має єдиний розв'язок, якщо , а компоненти та векторів та справджують такі умови:

Теорема 3.3. Розв'язок системи потрійних інтегральних рівнянь вигляду

(17)

з узагальненими приєднаними функціями Лежандра 1-ого роду зводиться до системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду, якщо компоненти та векторів та відповідно справджують умови

(18)

Системи (14) і (17) розв'язано методом довизначення.

Покладім тепер в (2) N=2, , , ,де — відома невироджена функціональна матриця, та — H-функції Фокса, визначені нижчеподаними виразами:

Одержимо систему парних інтегральних рівнянь з H-функціями Фокса:

(19)

При цьому виконуються такі умови:

- ;

- всі — комплексні числа;

- всі — додатні числа;

- ;

- якщо , де , то контур C буде прямою, паралельною уявній осі в комплексній площині, з рівнянням ;

- всі полюси функцій та прості;

- контур C такий, що всі полюси функцій , та лежать зліва від нього, а всі полюси функцій , і — справа;

- ;

- .

(20)

Теорема 3.4. Система парних інтегральних рівнянь (19) з H-функціями Фокса при умовах (20) має розв'язок вигляду

(21)

де — узагальнені оператори дробового інтегро-диференціювання, які містять гіпергеометричну функцію Гаусса .

Останніми в цьому розділі розглянуто системи парних інтегральних рівнянь, пов'язаних з узагальненим інтегральним перетворенням Вебера:

де — функції Бесселя порядку відповідно 1-го і 2-го роду, — функція, сумовна в інтервалі — функція обмеженої варіації в околі т. , або — узагальнена функція Вебера:

. (22)

У системі

(23)

де визначається формулою (14) при , , відомі функції та визначені відповідно в інтервалах та , , функції — шукані.

Теорема 3.5. Розв'язок системи парних інтегральних рівнянь (23) зводиться до розв'язання системи інтегральних рівнянь Фредгольма 2-го роду.

У заключному четвертому розділі дисертації подано приклади практичного застосування систем N-арних інтегральних рівнянь ( задачі про електростатичне поле непаралельних кругових дисків і про електростатичне поле системи тонких сферичних сегментів, змішана гранична задача для області, утвореної двома сферичними сегментами, приклад систем парних інтегральних рівнянь, які використовуються в теорії дифракції). Наведемо, наприклад, постановку змішаної граничної задачі для області, утвореної двома сферичними сегментами , і , у тороїдальній системі координат :

Знайти функції такі, що справджує рівняння

(24)

в області

,

а справджує рівняння (24) в області

,

при цьому і справджують нижченаведені крайові умови:

Розділивши змінні в рівнянні (24) і використавши асимптотику узагальнених приєднаних функцій Лежандра, зводимо поставлену задачу до розв’язання системи парних інтегральних рівнянь вигляду (14).

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі, використовуючи методи дробового інтегро-диферен-ціювання, довизначення, інтегральних перетворень, підстановки, розв’язано та досліджено нові типи систем N-арних інтегральних рівнянь з ядрами складніших конструкцій, а саме: з ядрами, що містять функції Бесселя, функції Ватсона, приєднані функції Лежандра 1-ого роду, узагальнені приєднані функції Лежандра 1-ого роду, функції Віттекера, H-функції Фокса, з ядрами, що пов’язані з узагальненим перетворенням Вебера. Встановлено теореми про умови існування розв’язків цих систем. Для деяких типів систем N-арних інтегральних рівнянь розглянено двовимірний випадок, що вказує на перспективність одержаних результатів з метою розширення сфер їх практичного застосування.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Южакова Г.О. Операторний метод розв'язання двовимірної системи потрійних інтегральних рівнянь // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. научн. тр. - Киев: Ин-т математики НАН Украины.- 1996. - С. 287-289.

2. Южакова Г.О. Про одну двовимірну систему парних інтегральних рівнянь // Інтегр. перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. — Київ: Ін-т математики НАН України. — 1996. — Вип. 11. — С. 226-234.

3. Yuzhakova G.O. A system of the dual integral equations with the generalized Legenlre's functions // Інтегр. перетворення та їх застосування до крайових задач: Зб. наук. пр. — Київ: Ін-т математики НАН України. — 1996.— Вип. 13.— С. 214-219.

4. Вірченко Н.О., Южакова Г.О. Системи N-арних інтегральних рівнянь з узагальненою функцією Лежандра // Доповіді НАН України.— 1997. — №8. — С. 20-25.

5. Южакова Г.О. Про системи парних інтегральних рівнянь, пов'язаних з узагальненим інтегральним перетворенням Вебера // Доповіді НАН України.— 1998.—№11.— С. 52-55.

6. Вірченко Н.О., Южакова Г.О. Про деякі типи систем парних інтегральних рівнянь та їх практичне застосування в теорії електростатики // Наукові вісті НТУУ "КПІ". — Київ. — 1998.— №1. — С 92- 95.

7. Южакова А.А. Об одном приложении обобщенных операторов дробного интегрирования к решению систем парных интегральных уравнений // Труды Седьмой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи".— Самара.— 1997. — С. 91-94.

8. Южакова Г.О. Про деяку двовимірну систему парних інтегральних рівнянь // Тези доповідей Четвертої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. — Київ. — 1995. — С. 260.

9. Южакова Г.О. Системи парних інтегральних рівнянь з узагальненою функцією Ватсона // Тези доповідей П'ятої Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука. — Київ. — 1996.— С. 504.

10. Yuzhakova A.A. On the system of the triple integral equations // Internat. Conference "Boundary value problems, special functions and fractional calculus".— Minsk. — 1996. — P. 168.

11. Yuzhakova G.O. On some applications of the generalized Mehler-Fock integral transformation to solving of the system of the dual integral equations // Тезисы докладов Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем".— Киев. — 1996. — С. 150.

12. Virchenko N.O., Yuzhakova G.O. On one of the effective methods of solving mixed problems of mathematical physics // "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань". Міжнародна конференція. Треті Боголюбівські читання. Тези доповідей. — Київ: Ін-т математики НАН України. — 1997. — С. 192-193.

13. Южакова Г.О. Про властивості деяких операторів дробового інтегрування та їх застосування при дослідженні розв'язків систем N-арних інтегральних рівнянь // Сьома Міжнародна наукова конференція ім. академіка М. Кравчука. Матеріали конференції.— Київ. — 1998. — С.540.

Южакова Г.О. Нові типи систем N-арних інтегральних рівнянь.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю: 01.01.02 - диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 1998.

Захищаються результати теоретичних досліджень, викладені в дисертації і опубліковані в 13 роботах.

Побудовано та досліджено розв’язки нових типів систем N-арних інтегральних рівнянь зі складними спеціальними функціями (Ватсона, Віттекера, приєднаними та узагальненими приєднаними Лежандра 1-ого роду, H-функціями Фокса та ін.), встановлено достатні умови існування одержаних розв'язків. Вивчено основні властивості композицій використаних операторів дробового інтегро-диференціювання. Подано приклади практичного застосування розглянутих систем N-арних інтегральних рівнянь.

Ключові слова: система N-арних інтегральних рівнянь, спеціальні функції, оператори дробового інтегрування, змішана крайова задача.

Южакова А.А. Новые типы систем N-арных интегральных уравнений.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности: 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

Защищаются результаты теоретических исследований, изложенные в диссертации и опубликованные в 13 работах.

Построены и исследованы решения новых типов систем N-арных интегральных уравнений со сложными специальными функциями ( Ватсона, Уиттекера, присоединенными и обобщенными присоединенными Лежандра 1-ого рода, H-функциями Фокса и др. ). Установлены достаточные условия существования полученных решений. Изучены основные свойства композиций использованных операторов дробного интегро-дифференцирования. Приведены примеры практического применения рассмотренных систем N-арных интегральных уравнений.

Ключевые слова: система N-арных интегральных уравнений, специальные функции, операторы дробного интегрирования, смешанная краевая задача.

Yuzhakova G.O. New types of the systems of N-ary integral equations.

Thesis for Ph. D. degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

The results of defended thesis were published in 13 papers.

Solutions of the different new types of the systems of N-ary integral equations with the complex special functions (Watson’s, Whittaker’s, associated and generalized associated Legendre’s of the 1-st kind, Fox’s H-functions and others ) are constructed and investigated. The sufficient conditions of the existence of obtained solutions are stated. The main compositions properties of the used fractional integration operators are studied. The examples of considered systems applying are demonstrated.

Key words: system of N-ary integral equations, special functions, fractional integration operators, mixed boundary value problem.