НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного

Манучарян Гаяне Валериківна

УДК 517.938:519.642.6:534.014.2

Розробка чисельно-аналітичного методу

дослідження переходу від регулярної до хаотичної

динаміки в нелінійних системах

01.05.02-математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті “Харківський політехнічний інститут” МОН України, м. Харків.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор Міхлін Юрій Володимирович,

Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”,

професор кафедри прикладної математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Хусаінов Денис Яхьєвич,

Київський національний університет ім. Т.Г.Шевченка, професор кафедри

моделювання складних систем

кандидат фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Краснопольська Тетяна Сігізмундівна,

Інститут гідромеханіки НАН України,

старший науковий співробітник.

Провідна установа: Дніпропетровський національний університет,

кафедра математичного моделювання,

Міністерство освіти і науки України,

м. Дніпропетровськ.

Захист відбудеться “27”  січня   року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .180.01 в Інституті проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм.Пожарського, 2/10.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного НАН України за адресою: 61046, м. Харків, вул. Дм.Пожарського, 2/10.

Автореферат розісланий 24.12.  р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради, к.т.н. Б.П.Зайцев

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В останні десятиліття пильну увагу дослідників привернула хаотична динаміка, що була виявлена в багатьох фізичних і технічних системах. Така динаміка реалізується в широкому діапазоні зміни значень параметрів нелінійних систем. Тому одним з головних питань, що виникають перед дослідниками, є питання про те, за яких значень параметрів системи можуть виникнути хаотичні коливання, коли передбачити поведінку системи на тривалих інтервалах часу стає неможливим. Пошук критичних параметрів виникнення хаосу в детермінованих системах є важливою проблемою як для теоретиків, так і для проектувальників та інженерів, що займаються експлуатацією цих систем. Досліджуючи динаміку систем, де подібна хаотична поведінка є можливою, доводиться переборювати значні математичні труднощі, пов’язані з відсутністю ефективних методів визначення хаосу. На цей час розроблено декілька критеріїв виявлення переходу від регулярної до хаотичної динаміки нелінійних систем. Однак вони або є занадто наближеними, або не забезпечують достатньої загальності. У зв'язку з цим розробка нових критеріїв переходу до хаотичної динаміки і нових чисельно-аналітичних методів дослідження цього переходу з використанням класичних методів нелінійної механіки і теорії збурень є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі прикладної математики Національного технічного університету “ХПІ” у період з 2000 по 2004 рр. і проводилась відповідно до

-

-

-

Мета та основні задачі дослідження. Метою даної роботи є побудова ефективних чисельно-аналітичних методів визначення переходу від регулярної до хаотичної динаміки в нелінійних системах з декількома положеннями рівноваги та дослідження цього переходу в різних моделях.

Реалізація цієї мети полягає у вирішенні таких задач:

1. Розробка чисельно-аналітичного методу побудови гомо- та гетероклінічних траєкторій, формування яких приймається як критерій визначення нижньої межі хаотичної поведінки нелінійних систем у випадку, коли дисипація систем є малою. Створення алгоритмів, що реалізують запропонований метод, з використання дробово-раціональних апроксимацій розв’язку.

2. Дослідження хаосу на базі критерію взаємної нестійкості фазових траєкторій в області хаотичної поведінки для випадку немалої дисипації.

3. Створення комплексів програм, що реалізують запропоновані методи та дозволяють визначити нижню межу області існування хаотичної динаміки у площині керуючих параметрів.

4. Дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки в механічних системах, що моделюються нелінійними рівняннями: неавтономної системи Дуффінга, маятника з коливальною точкою підвісу, автоколивальної системи Ван дер Поля-Дуффінга, ферми Мізеса, що має можливість проклацювання, та осцилятора з нелінійною характеристикою тертя під дією зовнішнього періодичного збудження.

Об'єктом дослідження є нелінійні динамічні системи з декількома положеннями рівноваги, що перебувають під дією періодичних збуджень, де є можливим перехід від регулярної до хаотичної динаміки.

Предметом дослідження є визначення межі переходу від регулярної до хаотичної динаміки у площині керуючих параметрів.

Методи дослідження. Дослідження проведене із застосуванням класичних асимптотичних методів, апроксимацій Паде та квазі-Паде, методів теорії стійкості руху та методів Ньютона, Сімпсона, Рунге-Кутта.

Наукова новизна отриманих результатів –

вперше розроблено ефективний чисельно-аналітичний метод, що дозволяє визначити параметри системи, за яких починається перехід від регулярної до хаотичної динаміки, для малих значень дисипації системи. Відмінною рисою запропонованого методу є те, що він базується на побудові гомо- та гетероклінічних траєкторій, формування яких приймається як критерій визначення нижньої межі області хаотичної поведінки нелінійної системи, та застосовує апроксимації Паде та квазі-Паде; –

запропоновано новий метод дослідження хаосу у випадку немалої дисипації, що базується на критерії взаємної нестійкості фазових траєкторій у області хаотичної поведінки;–

удосконалено метод визначення залежностей між керуючими параметрами, що відповідають початку хаосу в нелінійних системах з декількома положеннями рівноваги на основі запропонованих методів (визначені відповідні залежності для неавтономного рівнянням Дуффінга, рівнянь маятника з коливальною точкою підвісу, автоколивальної системи Ван-дер-Поля-Дуффінга, руху ферми Мізеса з можливістю проклацювання та рівнянням осцилятора з нелінійною характеристикою тертя під дією зовнішнього періодичного збудження).

Практична цінність роботи полягає у створенні математичного та програмного забезпечення для чисельного дослідження динамічної поведінки систем з гомо- та гетероклінічними структурами. Результати аналітичних досліджень та чисельного експерименту становлять практичний інтерес в нелінійній динаміці гнучких елементів конструкцій; для аналізу динаміки автоколивальних систем, у тому числі систем з нелінійним тертям; для аналізу систем віброгасіння з використанням гасників типу ферми Мізеса, що має можливість проклацювання.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, особистий внесок здобувача полягає в участі у формулюванні задач та здійсненні математичних викладок [1, 6, 10, 14, 15], розробці, програмній реалізації чисельних алгоритмів та аналізі отриманих результатів [2, 5, 8, 9, 11].

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи докладались та обговорювались на IX, XI міжнародних науково-практичних конференціях MicroCad’2001,2003 (Харків, Україна, травень 2001, 2003 рр.); міжнародній конференції “Differential Equations and Related Topics” (Москва, Росія, травень 2001 р.); Українському математичному конгресі (Київ, Україна, серпень 2001 р.); міжнародній конференції “Progress in nonlinear science” (Нижній Новгород, липень 2001 р.); VI міжнародній конференції “Dynamical Systems – Theory and Applications” (Лодзь, Польща, грудень 2001 р.); 1-й обласній конференції молодих вчених “Тобi, Харкiвщино, – пошук молодих” (Харків, Україна, квітень 2002 р.); міжнародній конференції “Dynamical System Modelling and Stability Investigation” (Київ, Україна, травень 2002 р.); 4-й міжнародній конференції “Tools for Mathematical Modelling” (Санкт-Петербург, Росія, червень 2003 р.); XXXI міжнародній школі-конференції “Advanced problems in mechanics” (Санкт-Петербург, Росія, червень 2003 р.); науковому семінарі відділу стійкості під керівництвом чл.-кор. НАНУ А.А.Мартинюка в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАНУ (Київ, Україна, жовтень 2003 р.); VII міжнародній конференції “Dynamical Systems – Theory and Applications” (Лодзь, Польща, грудень 2003 р.); міжнародній конференції “Computer Modelling of Dynamical Systems” (Санкт-Петербург, Росія, червень 2004 р.); “21st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics” (Варшава, Польща, серпень 2004 р.), міжнародній конференції “Nonlinear Dynamics” (Харків, Україна, вересень 2004 р.).

Публікації. Основні результати роботи опубліковано у 15 друкованих працях [1-15], із них 4 – у виданнях за спеціальністю, затверджених ВАК України, 5 – у наукових журналах та збірниках, 4 – у працях наукових конференцій, 2 – тези доповідей на наукових конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел із 177 найменувань на 16 сторінках та 2 додатків. Робота включає 142 сторінки основного тексту, 60 рисунків, 7 таблиць, всього 164 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ роботи

У вступі обґрунтована актуальність досліджуваної проблеми, сформульована мета, визначені наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі зроблено аналіз стану проблеми дослідження хаотичних коливань у нелінійних системах та відомих методів визначення хаотичної поведінки. Значний внесок у формування сучасної теорії хаотичних коливань внесли Пуанкаре А., Холмс Ф., Рюель Д., Текенс Ф., Ліхтенберг О., Ліберман М., Мельніков В.К., Шильніков Л.П., Чиріков Б.В., Ланда П.С., Неймарк Ю.І., Морозов О.Д., Мун Ф., Віджинс С., Шарковський О., Чуа Л. та ін.

Описано сценарії переходу до хаосу в нелінійних системах під час зміни значень керуючих параметрів, таких як послідовність біфуркацій подвоєння періоду, поява субгармонійних періодичних коливань, квазіперіодичний шлях до хаосу, переміжність. Зроблено огляд існуючих критеріїв виявлення переходу від регулярної до хаотичної динаміки, таких, як методи гомоклінічних траєкторій; Мельникова; Чирікова; Шильнікова; обчислення показників Ляпунова. Проаналізовано недоліки існуючих методів і сформульовані мета і задачі дослідження.

Метою роботи є створення нового чисельно-аналітичного методу дослідження нелінійних систем з декількома положеннями рівноваги. При цьому утворення замкнутих гомо- і гетероклінічних траєкторій (ГТ) є критерій початку хаосу.

В другому розділі описано ефективний математичний апарат для апроксимації функцій та продовження по параметру заданих локальних розвинень, а саме Паде та квазі-Паде апроксимації. Їх було застосовано для реалізації критерію гомо- і гетероклінічних траєкторій у розділі . Нехай у нас є розвинення деякої функції y за великих та малих значень деякого параметра c:

, . (1)

Визначення . Функція

() (2)

називається дробово-раціональною діагональною одноточковою апроксимацією Паде, що відповідає розвиненню , якщо

.

Визначення . Функція (2) називається дробово-раціональною діагональною двоточковою апроксимацією Паде, що відповідає розвиненням (1), якщо

.

Необхідною умовою збіжності послідовності Паде апроксимацій до функції є умова

, (3)

де – детермінант системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів Паде апроксимації , що утворюється шляхом порівняння розвинень та Паде апроксимацій і утримання потрібних згідно з визначенням степенів.

Ця умова узагальнюється і на випадок квазі-Паде апроксимацій, що містять експонентні функції параметра с. Доведено теореми, що стосуються необхідної умови збіжності апроксимацій Паде, що були використані для чисельної реалізації методу. Практичне значення доведених теорем продемонстровано на прикладах “зрощування” локальних розвинень функції та знаходження невідомих параметрів локальних розвинень. Вирішена задача побудови локалізованого розв’язку нелінійного рівняння Шредінгера

, , .

Отримана послідовність початкових значень амплітуди, що відповідають різним порядкам Паде апроксимацій:

яка збігається до значення амплітуди, що отримано чисельно: .

Наближення стоячої хвилі, що отримані чисельно за методом Рунге-Кутта, відображено на рис.1.

В третьому розділі описано метод побудови гомо- и гетероклінічних траєкторій.

У загальному вигляді рівняння коливань систем, що досліджуються, можуть бути зображені у вигляді

, (4)

де <<1, .

Припускається, що система є близькою до гамільтонової та що незбурена гамільтонова система має декілька положень рівноваги.

У випадку трьох положень рівноваги – одного нестійкого та двох стійких – у фазовій площині незбуреної системи є замкнута траєкторія у вигляді вісімки, що проходить через нестійке положення рівноваги та називається сепаратрисою незбуреної системи. У випадку збурювання гілки сепаратриси розриваються, утворюючи стійкий і нестійкий багатовиди сідлової точки. За подальшого збільшення форма багатовидів значно ускладнюється і відбувається торкання, а потім перетинання гілок. При цьому формується гомоклінічна траєкторія системи. У випадку торкання і перетинання стійкого і нестійкого багатовидів декількох сідлових точок утворюється гетероклінічна траєкторія. Під час перетинання стійкого і нестійкого багатовидів в околі точки перетинання утворюється фракталоподібна структура, що призводить до непередбачуваності та істотної залежності від початкових умов, що є відмінною ознакою хаосу.

Для побудови гомо- або гетероклінічної траєкторії необхідно визначити зв'язок між керуючими параметрами системи, що відповідають утворенню цієї траєкторії, а також координати зміщеного нестійкого положення рівноваги і початкову точку. Суть методу полягає в побудові системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, яким повинні задовольняти невідомі параметри системи. Зробимо два припущення. Перше – умова на нескінченності

,

де – зміщена сідлова точка системи (4).

Друге припущення полягає в тому, що розв’язок, що відповідає гомоклінічній траєкторії, є аналітична функція. Тоді існує розвинення розв’язку в ряд Тейлора в околі нуля. Дослідження проведене для типових моделей нелінійної динаміки, описуваних неавтономним рівнянням Дуффінга, рівняннями Ван дер Поля – Дуффінга, коливань ферми Мізеса, що має можливість проклацювання, змушеного осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного математичного маятника. Неавтономне рівняння Дуффінга має вигляд

. (5)

Локальне розвинення розв’язку в околі нуля має вигляд

(6)

Після інтегрування рівняння (5) в границях від 0 до ±? отримано

, (7)

де

.

Тоді локальне розвинення інтеграла в степеневий ряд набуде вигляд

(8)

Вираз (8) було подовжено на нескінченність, використовуючи Паде апроксимацію

. (9)

Тоді з (7) маємо

. (10)

Локальне розвинення (6) було подовжено на нескінченність наступним чином:

. (11)

З урахуванням (11) умова на нескінченності набуде вигляд:

(12)

Необхідні умови збіжності апроксимацій (9) та (11) утворюють систему двох нелінійних алгебраїчних рівнянь (індекси вказують порядки змінних, що входять до рівнянь)

; (13)

. (14)

Розв’язавши побудовану систему нелінійних алгебраїчних рівнянь (10), (12)-(14), отримано всі невідомі параметри рівняння, що відповідають виникненню гомоклінічної траєкторії.

Альтернативна система нелінійних рівнянь отримана під час інтегрування модифікованого рівняння Дуффінга, де введення невідомої фази ? дозволяє вимагати виконання початкової умови y'(0)=0,

. (15)

Обчислено інтеграл від (15) вздовж розв’язку автономного рівняння від -? до 0 та від 0 до +?:

(16)

(17)

Отримані залежності між параметрами, які відповідають виникненню гомоклінічних траєкторій, наведені на рис.2.

Рівняння Ван дер Поля-Дуффінга має вигляд

; , . (18)

Шуканий розв’язок має два локальні розвинення

, (19)

, (20)

де .

Результатом обчислення інтеграла від рівняння в границях від 0 до ±? є рівняння

.

Інтеграл подовжимо на нескінченність за допомогою Паде апроксимації

. (21)

Тоді маємо рівняння

. (22)

Для "зрощування" локальних розвинень (19)-(20) були використані квазі-Паде апроксимації

(23)

Рівняння (22), а також необхідні умови збіжності для апроксимацій (21), (23) створюють систему для визначення значень початкових амплітуд, а також параметрів, що відповідають шуканій траєкторії.

Вимушені коливання лінійного осцилятора (рис.3), зв’язаного з фермою Мізеса, що має можливість проклацювання, можуть бути описані системою рівнянь

(24)

Припускаючи, що маса М рухається за періодичним законом, після перетворення змінних та введення доданку, що відповідає за дисипацію, досліджуване рівняння коливань ферми Мізеса набуде вигляду

. (25)

Інтегруючи рівняння в границях від 0 до ±? та використовуючи Паде та квазі-Паде апроксимацію для "зрощування" та аналітичного подовження локальних розвинень , отримаємо таке:

, (26)

>, (26)

. (27)

Умови збіжності Паде та квазі-Паде апроксимацій з (26)-(27) утворюють нелінійні алгебраїчні рівняння

, (28)

. (29)

Рівняння (26), (28), (29) утворюють систему нелінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих параметрів, які відповідають утворенню гомоклінічної траєкторії.

Другий підхід до визначення невідомих параметрів полягає у наступному. Модифікуємо рівняння шляхом введення невизначеної фази ? (тут y'(0)=0)

та обчислюємо інтеграл від рівняння вздовж розв’язку автономного рівняння

. (30)

Рівняння (29), (30) утворюють необхідну систему нелінійних алгебраїчних рівнянь. На рис.4 наведені отримані залежності між параметрами, які відповідають утворенню гомоклінічної траєкторії у фазовому просторі.

Коливання вимушеного осцилятора з нелінійною характеристикою тертя (рис.5), який є системою “маса-пружина” у взаємодії з стрічкою, що рухається, описуються рівнянням

, . (31)

Обчисливши інтеграл від рівняння від 0 до ±? вздовж розв’язку автономного рівняння та подовживши локальне розвинення в околі нуля на нескінченність, отримано

, (32)

, (33)

. (34)

Необхідна умова збіжності квазі-Паде (34) утворює нелінійне алгебраїчне рівняння

. (35)

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь (32), (33), (35) дозволяє визначити невідомі параметри, які відповідають утворенню шуканої траєкторії. Рис.6 демонструє залежності між керуючими параметрами, що відповідають гомоклінічній траєкторії, тобто нижній межі хаосу в системі.

Рівняння коливань параметрично збудженого математичного маятника може бути записано таким чином:

. (36)

Маятник має нескінченне число нестійких положень рівноваги, отже і гетероклінічних траєкторій у фазовому просторі. Для визначення параметрів, які відповідають шуканим траєкторіям, побудуємо, згідно з алгоритмом, систему нелінійних рівнянь

, (37)

, (38)

, (39)

(необхідна умова збіжності (38)), (40)

(необхідна умова збіжності (39)). (41)

Отримані з систем (37), (40), (41) залежності наведені на рис.7.

Побудова гомо- та гетероклінічних траєкторій методом, що був описаний в розділі , вдається тільки за малих значень коефіцієнта дисипації. Це пов’язане з високими степенями рівнянь, що входять до алгебраїчних систем, а також з використанням при інтегруванні деяких інтегралів рівнянь сепаратрис, які відповідають системі у разі відсутності дисипації.

У зв’язку з цим для випадку, коли дисипація не є малою, в четвертому розділі пропонується метод дослідження взаємної нестійкості траєкторій в області хаотичної поведінки. Як зазначалось, під час утворення гомо- та гетероклінічних траєкторій в механічних системах з декількома положеннями рівноваги в точках перетину стійкого та нестійкого багатовидів породжується фракталоподібна структура, що призводить до непередбаченості та істотної залежності від початкових умов. Близькі в початковий момент у фазовому просторі траєкторії експоненційно розбігаються. Таким чином, аналіз взаємної нестійкості фазових траєкторій в околі сепаратриси системи дозволяє досліджувати процес появи та збільшення областей нестійкості у разі зміни значень керуючих параметрів.

Для дослідження взаємної стійкості/нестійкості розв’язків в роботі використовується чисельно-аналітична процедура, що базується на новому визначенні стійкості розв’язку.

Однак запропонований підхід не може бути застосований для дослідження областей взаємної нестійкості фазових траєкторій в механічних системах, близьких до консервативних, тому що траєкторії майже всіх консервативних систем є нестійкими за Ляпуновим. Таким чином, дослідження системи цим методом треба здійснювати у випадках, коли дисипація не є малою.

Розглянемо звичайне диференційне рівняння першого порядку

, (42)

та область фазового простору

, . (43)

Введемо в цій області сітку, використовуючи кроки сітки . Вузли сітки обираються як початкові точки для деяких рішень рівняння (42).

Візьмемо також інші початкові точки, що є близькими до визначених точок , а саме точки , де значення норми достатньо малі. Розглянемо відповідно інші розв’язки .

Тепер будемо порівнювати траєкторії, які виходять з близьких початкових точок (рис.8).

Будемо вважати, що ці траєкторії взаємно нестійкі, якщо

. (44)

Вибір констант відбувається таким чином. Тут значення ?-1 – це міра малості початкових варіацій по відношенню до максимально допустимих варіацій для будь-яких . Збільшення величини ? означає зменшення допустимих початкових значень. Маємо деяке свавілля у виборі величини ?, і це не є випадковим, тому що в області нестійкості з часом варіації вийдуть за границі ?-околу вихідного розв’язку за будь-якого вибору ?. Обговоримо тепер вибір величини . Аналіз стійкості проводиться із застосуванням комп’ютерного розрахунку на основі стандартної програми Рунге-Кутта. Розрахунок здійснюється у вузлах деякої сітки у вибраній області фазового простору. Обчислення продовжуються до тих пір, поки у вибраному масштабі сітки не стабілізуються границі областей стійкості та нестійкості. Це і є принциповий критерій для вибору часу обчислення T. Зрозуміло, що якщо крок сітки нескінченно спадає, то час розрахунку наближається до нескінченності.

Проведені чисельні розрахунки початку хаосу для механічних систем з декількома положеннями рівноваги, що описуються рівняннями Дуффінга, параметрично-збуреного математичного маятника, ферми Мізеса та вимушеного осцилятора з нелінійною характеристикою тертя.

Для перевірки отриманих в роботі результатів у п’ятому розділі проведений розрахунок стійких та нестійких відносно сідлової точки фазових багатовидів, дотик яких утворює замкнені гомо- або гетероклінічні траєкторії, які передують взаємоперетину цих багатовидів.

Розглянемо систему звичайних диференційних рівнянь першого порядку з гладкою правою частиною

(45)

Нехай – координати стаціонарної сідлової точки системи (45) з дійсними власними значеннями, а P – T-періодичне відображення системи:

, (46)

де – розв’язок системи (45) за .

Для побудови стійкого та нестійкого багатовидів сідлової точки з метою дослідження фазового портрету системи (45) у разі зміни керуючих параметрів використовується метод, який реалізується за два кроки.

Крок перший: Розглянемо розв’язок системи (45) в околі сідлової точки , яка відповідає локальним розвиненням стійкого та нестійкого багатовидів, у вигляді

, (47)

де індекс “+” відповідає нестійкому, а “–” стійкому багатовидам.

Крок другий: Обирається кінцева кількість точок в околі сідлової точки на нестійкому багатовиді з урахуванням локального розвинення (47) та за допомогою відображення (46) цих точок подовжується нестійка гілка. Аналогічна процедура застосовується для подовження стійкого багатовиду, але вже з використанням зворотного відображення (46).

Відмінність цього методу від стандартних схем побудови багатовидів, де точки для побудови останніх обираються на напрямках власних векторів сідлової точки лінеарізованної системи, полягає в тому, що в цьому методі використовується більш точна квадратична апроксимація багатовидів.

Коефіцієнти (47) обчислюються за формулами

, ,

де всі значення функцій та похідних обчислені за t=T.

Проведено чисельний аналіз стійких та нестійких відносно сідлової точки фазових багатовидів для рівняннь, що розглянуті в розділі 3 та мають гомо- та гетероклінічні траєкторії (рис.9- 12).

Відповідність наведених у розділі аналітичних результатів отриманим в цьому розділі чисельним результатам свідчить про вірогідність та достатньо високу ефективність запропонованого в розділі методу визначення початку хаотичної поведінки в нелінійних системах з кількома положеннями рівноваги.

ВИСНОВКИ

За дослідженнями, що виконано у дисертаційній роботі відповідно до її мети, створено ефективний метод дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки нелінійних систем з декількома положеннями рівноваги.

Основні наукові і практичні результати, отримані в роботі, полягають у такому:

1. Проведено дослідження стану однієї з актуальних проблем сучасної нелінійної динаміки – проблеми переходу від регулярної динаміки систем з декількома положеннями рівноваги до хаотичної. Зроблено аналіз та подано характеристику існуючих критеріїв та методів дослідження цієї проблеми. Обґрунтовано необхідність розробки нових методів та підходів, які поєднують в собі класичні методи, що базуються на теорії стійкості руху та асимптотичних методах, та сучасні підходи, що дозволяють застосовувати комп’ютерне моделювання.

2. Розроблено новий чисельно-аналітичний метод побудови гомо- та гетероклінічних траєкторій, утворення яких є початком хаотичної поведінки нелінійної системи, для випадку малої дисипації в системі. В основу методу покладено апроксимацію розв’язку за допомогою одноточкових та двоточкових Паде та квазі-Паде апроксимацій.

3. Доведено теореми щодо умов існування апроксимацій Паде, які використані для чисельної реалізації методу. Практичне значення доведених теорем продемонстровано на прикладах “зрощування” локальних розвинень функції і знаходження невідомих параметрів та побудови локалізованого розв’язку нелінійного рівняння Шредінгера.

4. Запропоновано новий чисельно-аналітичний метод дослідження початку хаотичної поведінки системи у випадку немалої дисипації. Метод ґрунтується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій, аналіз якої ведеться на основі запропонованого критерію нестійкості.

5. Розроблено комплекс програм, що реалізує запропоновані методи. З використанням комплексу проведено чисельне дослідження рівнянь, до яких зводиться розв’язання нелінійних задач динаміки, а саме неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля-Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Зокрема, для вказаних рівнянь розв’язані такі задачі:

а) досліджено перехід до хаосу за допомогою критерію гомо- та гетероклінічних траєкторій за малих значень дисипації в системах;

б) досліджено взаємну нестійкість фазових траєкторій систем для випадку, коли дисипація не є малою;

в) проведено чисельний розрахунок стійких та нестійких відносно сідлової точки фазових багатовидів систем.

6. Достовірність результатів, що отримані за чисельно-аналітичними методами, підтверджена узгодженістю з результатами чисельного експерименту, що полягав у дослідженні динаміки стійкого та нестійкого відносно сідлової точки багатовидів у разі зміни значень керуючих параметрів. Для неавтономного рівняння Дуффінга достовірність також підтверджено порівнянням з результатами дослідження з використанням методу Мельникова.

Наукові праці, опубліковані за темою дисертації

1. Mikhlin Yu.V., Manucharyan G.V. Construction of homoclinic and heteroclinic trajectories in mechanical systems with several equilibrium positions // J.Chaos, Solitons & Fractals. – 2003. – Vol.16. – P.299-309.

2. Михлин Ю.В., Шматко Т.В., Манучарян Г.В. Устойчивость регулярных и хаотических форм колебаний в упругих системах с несколькими положениями равновесия // Механика твёрдого тела. – 2003. – Вып.33. – С.138-145.

3. Манучарян Г.В. Построение гомо- и гетероклинических траекторий в нелинейных системах с несколькими положениями равновесия // Вісник Дніпропетровського університету. – 2003. – Вип.8. – с.54-64.

4. Манучарян Г.В. Взаимная неустойчивость фазовых траекторий и хаотическое поведение нелинейных механических систем // Физическая инженерия поверхности. – 2003. – Т.1, №3-4. – С.347-351.

5. Михлин Ю., Манучарян Г. Исследование перехода от регулярного к хаотическому поведению в некоторых нелинейных системах // Theoretical Foundations of Civil Engineering – XII. – 2004. – Vol.2. – P.769-778.

6. Манучарян Г.В., Михлин Ю.В. Построение гомо- и гетероклинических траекторий в нелинейных системах // Прикладная математика и механика. – 2004. – Том.68, вып.6. – С.958-968.

7. Манучарян Г.В. Исследование вынужденных колебаний фермы Мизеса, обладающей возможностью прощёлкивания // Вост-Европейский журнал передовых технологий. – 2004. – №4(10). – С.100-104.

8. Міхлін Ю.В., Манучарян Г.В. Дослідження хаотичної поведінки осцилятора з одним ступенем свободи з малим зовнішнім збуренням // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2004. – №3. – С.253-260.

9. Михлин Ю.В., Манучарян Г.В. Хаотические колебания параметрически возбуждаемого математического маятника // Физическая инженерия поверхности. – 2004. – Т.2, №1. – С.37-41.

10. Михлин Ю.В., Манучарян Г.В. Построение гомоклинических и гетероклинических траекторий в механических системах с несколькими положениями равновесия // Динамічні системи: Праці Українського математичного конгресу. – 2001. –Київ: Інститут математики НАН України, 2003. – С.46-58.

11. Mikhlin Yu.V., Manucharyan G.V., Savenkova S.N. Analysis of homoclinic trajectories in mechanical systems with several equilibrium positions // Proc. of the 6th Conference on Dynamical Systems. Theory and Applications. – Lodz, 2001. – P.309-316.

12. Manucharyan G.V. Construction of homoclinic trajectories in forced and parametrically excited nonlinear systems // Труды четвёртой международной конференции “Средства математического моделирования”. – Санкт-Петербург, 2003. – С.328-337.

13. Manucharyan G.V. Mutual instability of phase trajectories and chaos beginning in dynamical systems // Proc. of thе 7th Conference on Dynamical Systems – Theory and Applications. – Lodz, 2003. – P.361-366.

14. Mikhlin Yu.V., Manucharyan G.V., Savenkova S.N. Analytical construction of homoclinic orbits of two- and three-dimensional dynamical systems // Book of abstracts of the international conference “Differential Equations and Related Topics”. – Moscow, May 22-27, 2001. – P.270-271.

15. Mikhlin Yu.V., Manucharyan G.V. Analysis of Chaos Onset in Dynamical Systems // Abstracts of International conference dedicated to 100th Anniversary of A.A.Andronov "Progress in nonlinear science". – Nizhny Novgorod, Russia, July 2-6, 2001. – P.287-288.

АНотація

Манучарян Г.В. Розробка чисельно-аналітичного методу дослідження переходу від регулярної до хаотичної динаміки в нелінійних системах.  – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут проблем машинобудування ім.А.М.Підгорного НАН України, Харків, 2004.

Розроблено новий метод для побудови гомо- та гетеро клінічних траєкторій в нелінійних динамічних системах з двомірним фазовим простором у випадку малої дисипації. Для подання розв’язку використовуються Паде та квазі-Паде апроксимації. Необхідна умова існування аппроксимацій, а також умова у нескінченності дозволили вирішити крайову задачу, що сформульована для траєкторій, та обчислити початкові значення з припустимою точністю.

У випадку немалої дисипації пропонується метод задля визначення початку хаосу, що базується на дослідженні взаємної нестійкості фазових траєкторій в областях хаотичної поведінки в динамічних системах. Метод дозволяє дослідити процес появи і збільшення областей хаотичної поведінки у разі зміни керуючих параметрів динамічної системи.

За допомогою комплексу програм визначено нижні межі областей хаотичної поведінки в площинах параметрів для рівнянь, до яких зводиться розв’язання нелінійних задач динаміки, а саме для неавтономного рівняння Дуффінга, рівнянь Ван дер Поля-Дуффінга, коливань ферми Мізеса, осцилятора з нелінійною характеристикою тертя та параметрично збуреного маятника. Достовірність отриманих результатів перевірено чисельним експериментом.

Ключові слова: нелінійні системи, регулярні та хаотичні коливання, декілька положень рівноваги, гомо- та гетероклінічні траєкторії, Паде та квазі-Паде апроксимації, взаємна нестійкість фазових траєкторій, метод Ньютона, метод Рунге-Кутта.

АнНотацИя

Манучарян Г.В. Разработка численно-аналитического метода исследования перехода от регулярной к хаотической динамике в нелинейных системах.  – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Институт проблем машиностроения им.А.Н.Подгорного НАН Украины, Харьков, 2004.

Диссертационная работа посвящена исследованию перехода к хаотическому поведению в нелинейных неавтономных системах с несколькими положениями равновесия. Проведен критический обзор различных методов определения возможности перехода к хаотическому поведению в динамических системах. В качестве критерия такого перехода был принят критерий образования замкнутых гомо- или гетероклинических траекторий в нелинейной системе. Проблема эффективной аналитической аппроксимации этих траекторий в нелинейных неавтономных системах не решена к настоящему времени. Единственным аналитическим методом определения связи между параметрами системы, отвечающими образованию таких траекторий, является метод Мельникова, однако применение этого метода не позволяет определить значения всех управляющих параметров.

В диссертационной работе предложен новый метод построения гомо- и гетероклинических траекторий в нелинейных динамических системах с двумерным фазовым пространством в случае малой диссипации. Для представления решения используются Паде и квази-Паде аппроксимации, которые позволяют осуществить аналитическое продолжение локальных разложений, построенных для рассматриваемых уравнений. Получены необходимые условия сходимости и существования Паде и квази-Паде аппроксимаций. Эти условия, а также условия на бесконечности позволяют решить краевую задачу, сформулированную для гомо- и гетероклинических траекторий, и вычислить соответствующие начальные значения с допустимой точностью. В качестве примера использования Паде аппроксимаций решена задача о нахождении амплитуды уединенной волны в нелинейном уравнении Шредингера.

Известно, что области хаотического поведения характеризуются сильной взаимной неустойчивостью фазовых траекторий. Поэтому для случая немалой диссипации предложен метод определения начала хаоса, который базируется на исследовании такой взаимной неустойчивости. Сравниваются траектории, которые близки в начальный момент времени. Отклонения в последующие моменты времени сравниваются с начальными отклонениями. Метод позволяет обнаружить появление и быстрое расширение областей взаимной неустойчивости при изменении управляющих параметров динамической системы.

С помощью комплекса программ определены нижние границы областей хаотического поведения в плоскостях управляющих параметров для уравнений, к которым сводятся решения некоторых важных для теории и практических приложений нелинейных задач динамики, а именно, для неавтономного уравнения Дуффинга, уравнения Ван дер Поля-Дуффинга, уравнений, описывающих колебания фермы Мизеса, осциллятора с нелинейной характеристикой трения и параметрически возбуждаемого маятника. Достоверность полученных результатов подтверждается проведенным численным экспериментом, который заключался в исследовании динамики устойчивого и неустойчивого относительно седловой точки многообразий систем при изменении управляющих параметров с целью определить момент образования замкнутых гомо- или гетероклинических траекторий.

Ключевые слова: нелинейные системы, регулярные и хаотические колебания, несколько положений равновесий, гомо- и гетероклинические траектории, Паде и квази-Паде аппроксимации, взаимная неустойчивость фазовых траекторий, метод Ньютона, метод Рунге-Кутта.

Abstract

ManucharyanDevelopment of numerical-analytical method of investigation of transition from regular to chaotic dynamics in nonlinear systems.  – Manuscript.

Thesis for the candidates degree in physical and mathematical sciences on speciality 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – Institute for Problems in Machinery named after A.N.Podgorny, National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkov, 2004.

New method of homo- and heteroclinic trajectory construction in nonlinear systems with phase space of dimension equal to two in a case of small dissipation is developed. Padй and quasi-Padй approximants are used for the solution presentation. Necessary existence condition and a condition at infinity allowed to solve the boundary problem formulated for trajectories and calculate initial values with admissible accuracy.

In a case when a dissipation in system is not small a method of determination of chaos onset based on investigation of mutual instability of phase trajectories in regions of chaotic behavior in dynamical systems is proposed. Method permits to investigate the process of appearance and enlargement of chaotic behavior regions while parameters of dynamical system are varied.

Lower boundaries of chaotic behavior regions in planes of parameters for equations which are obtained from nonlinear problems in dynamics, namely for nonautonomous Duffing equation, Van der Pol-Duffing equation, equations of vibrations of Mises farm, oscillator with nonlinear characteristic of dissipation and parametrically excited pendulum, are determined by using a complex of programs. Reliability of obtained results are checked out by using the numerical experiment.

Key words: nonlinear systems, regular and chaotic vibrations, several equilibrium position, homo- and heteroclinic trajectories, Padй and quasi-Padй approximants, mutual instability of phase trajectories, Newton method , Runge-Kutta method.