МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ЮРІЯ ФЕДЬКОВИЧА

МАРЧУК НАТАЛІЯ АНАТОЛІЇВНА

УДК 517.949

ІНВАРІАНТНІ ТОРИ

ЗЛІЧЕННИХ СИСТЕМ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ,

ЩО МІСТЯТЬ ВІДХИЛЕННЯ ДИСКРЕТНОГО

АРГУМЕНТУ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Чернівці — 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Камянець–Подільському державному університеті, Міністерство освіти і

науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович, Кам’янець –Подільський державний університет, завідувач кафедри диференціальних рівнянь і геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ПЕЛЮХ

Григорій Петрович, Інститут математики НАН

України, провідний науковий співробітник відділу

диференціальних рівнянь і теорії коливань;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ЧЕРЕВКО Ігор Михайлович, Чернівецький

національний університет імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри математичного моделювання.

Провідна установа – Київський національний університет імені Тараса

Шевченка, кафедра інтегральних і диференціальних

рівнянь.

Захист відбудеться “ 25 ” лютого 2005 року о 1400 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 у Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці, вул. Університетська, 28, аудиторія 8.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м. Чернівці, вул. Л. Українки, 23).

Автореферат розісланий “19” січня 2004 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бігун Я. Й.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Добре відомо, що перші глибокі результати про інваріантні тороїдальні многовиди систем нелінійної механіки були одержані в роботах М.М. Боголюбова і М.М. Крилова. Пізніше ці результати були розвинуті в роботах Ю.О. Митропольського, що привело до створення методу інтегральних многовидів нелінійної механіки. Значний внесок у теорію збурення інваріантних тороїдальних многовидів внесли Я. Курцвейль, S.P. Diliberto, J.K. Hale, I. Kupka, J.H.Kyner. В 1960 — 1970 роках J. Moser і R.J. Sacker опублікували серію робіт, які практично завершили створення цієї теорії.

Роботи Ю.О. Митропольського, А.Г. Ілюхіна та інших математиків показали, що до розв’язування багатьох задач, в яких розглядаються коливання систем з розподіленими параметрами, зручно використовувати апарат зліченних систем звичайних диференціальних рівнянь. Прикладом такої задачі є задача про поперечні коливання стержня, навантаженого осьовою періодичною змінною силою. До таких систем приводять також і задачі з різних розділів теоретичної фізики. На той час уже були відомі результати А.Н. Тихонова, К.П. Персидського, Ю.Л. Дилецького і М.Г. Крейна, О.А. Жаутикова та інших авторів, які створили основу теорії зліченних систем диференціальних рівнянь.

В 1970 році А.М. Самойленко запропонував новий метод побудови і дослідження інваріантних тороїдальних многовидів систем звичайних диференціальних рівнянь, визначених на m-вимірних торах. Тепер цей метод називають методом функції Гріна-Самойленка (ФГС) задачі про інваріантні тори. Він виявився винятково продуктивним, особливо стосовно теорії нелінійних коливань. За останні 30 років методу ФГС та його застосуванню було присвячено надзвичайно багато наукових праць, зокрема представників Київської математичної школи з теорії нелінійних коливань, серед яких слід особливо відмітити фундаментальні роботи Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка, Д.І. Мартинюка та В.Л. Кулика. До одержаних ними результатів тісно примикають результати Г.П. Пелюха та В.Я. Данилова, що стосуються дослідження коливних розв’язків різницевих рівнянь, а також результати Р.І. Петришина та І.М. Черевка в галузі багаточастотних коливань та інтегральних многовидів сингулярно збурених систем із запізненням. У роботах А.М. Самойленка та Ю.В. Теплінського вказаний метод застосовано до дослідження інваріантних торів зліченних систем диференціальних рівнянь, визначених на торах.

Протягом останнього десятиріччя опубліковано декілька наукових праць, в яких метод ФГС застосовано до дослідження інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих та різницевих рівнянь. Проте цих праць зовсім мало і вони далеко не вирішують проблему побудови теорії інваріантних тороїдальних многовидів для систем вказаного виду. Оскільки

різницеві рівняння є дискретними аналогами диференціальних, то стає зрозумілою доцільність розвинення теорії інваріантних торів для зліченних систем різницевих рівнянь, чому і присвячена ця дисертаційна робота.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано в рамках державної бюджетної наукової теми “Аналітичні та якісні методи дослідження крайових задач для диференціальних і різницевих рівнянь” (категорія — фундаментальні науки), яка розроблялась на фізико-математичному факультеті Кам’янець-Подільського державного університету з 2001 по 2003 роки. Номер державної реєстрації — 0101U002155.

Мета і задачі дослідження. Мета цієї роботи — створити основу теорії інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних та нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах і містять незалежні відхилення дискретного аргументу. Основною задачею є дослідження питань існування та властивостей гладкості цих многовидів.

Методи дослідження. В роботі застосовано метод функції Гріна-Самойленка задачі про інваріантні тори лінійних розширень динамічних систем на торах та основну ідею методу укорочення К.П. Персидського.

Наукова новизна одержаних результатів. Для зліченних систем різницевих рівнянь, які містять відхилення дискретного аргументу, одержано наступні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист:—

запропоновано різні достатні умови неперервності та неперервної диференційованості інваріантного тору лінійної системи рівнянь, визначеної на скінченновимірному торі, за кутовою змінною та дійсним параметром ;—

методом укорочення знайдено достатні умови неперервної диференційованості за кутовою змінною та параметром до порядку інваріантного тору системи лінійних рівнянь, що визначена на скінченновимірному торі; —

наведено достатні умови існування та неперервної диференційованості за Фреше відносно інваріантних торів лінійних, квазілінійних і нелінійних систем, що визначені на нескінченновимірних торах, містять параметр , який належить простору обмежених числових послідовностей, та незалежні відхилення дискретного аргументу.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів. Дисертація в першу чергу є теоретичним дослідженням. Доведені в ній теореми, що стосуються диференційовності інваріантних торів різницевих систем, визначених на нескінченновимірних торах, не мають аналогу у створеній на цей час теорії інваріантних торів аналогічних систем диференціальних та диференціально-різницевих рівнянь. Оскільки різницеві рівняння становлять дискретний аналог диференціальних, то результати, одержані в дисертаційній роботі, можуть знайти практичне застосування в розв’язуванні різноманітних задач з теорії нелінійних коливань, математичної та теоретичної фізики.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на VІІІ Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (11 – 14 травня 2000 р., м. Київ); на Міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (12 – 14 вересня 2000 р., м. Одеса); на Х Міжнародному симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики” (29 травня – 5 червня 2001 р., м. Херсон); на супутній Українському математичному конгресу Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (27 – 29 серпня 2001 р., м. Чернівці); на Міжнародній конференції “Теорія еволюційних рівнянь (п’яті Боголюбівські читання)” (22 – 24 травня 2002 р., м. Кам’янець-Подільський); на Міжнародній конференції “Шості Боголюбівські читання” (26 – 30 серпня 2003 р., м. Чернівці); неодноразово на семінарі з диференціальних рівнянь фізико-математичного факультету Кам’янець-Подільського державного університету (керівник семінару професор Ю.В. Теплінський); на науковому семінарі математичного факультету Чернівецького національного університету ім. Ю. Федьковича (2004 р., керівник семінару професор Р.І. Петришин); на семінарі з диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (2004 р., керівник семінару член – кор. НАН України М.О. Перестюк).

Публікації. За темою дисертації здійснено 16 публікацій: 10 — наукові статті [1 – 10], 6 — тези доповідей на міжнародних наукових конференціях [11 – 16]. З них 6 робіт опубліковано в центральних фахових журналах.

Особистий внесок здобувача. Усі основні результати одержано дисертанткою самостійно. У статтях [2 – 6, 8], написаних у співавторстві з науковим керівником професором Ю.В. Теплінським, останньому належить загальна постановка задач і обговорення одержаних результатів, дисертантці — доведення теорем, лем та інших тверджень.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, трьох розділів основного тексту, висновків та списку використаних джерел, що містить 102 найменування. Обсяг роботи становить 147 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, дається короткий аналіз сучасного стану проблем, які вивчаються в дисертації, та наводиться анотація одержаних результатів. Основний текст дисертації розбито на три розділи. На початку кожного розділу аналізуються відомі результати, що ідейно близькі до доведених у ньому тверджень. Для зручності в авторефераті збережено нумерацію тверджень та формул з тексту дисертації. З технічних причин тори та простір числових послідовностей тут позначено іншими літерами, ніж у дисертації.

У першому розділі дисертаційної роботи, який складається з двох підрозділів, методом ФГС доведено чотири теореми, в яких сформульовано результати дослідження властивостей неперервності та гладкості

інваріантних торів зліченних систем різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних торах та містять відхилення дискретного аргументу. Тут розглянуто систему рівнянь

(1.1)

в якій m, де m — простір обмежених числових послідовностей з нормою ; функції

і нескінченна матриця дійсні та періодичні відносно з періодом — множина цілих чисел; — цілочислові параметри, які зумовлюють відхилення аргументу; — дійсний параметр.

Інтерпретуючи як кутові координати, вважатимемо, що система рівнянь (1.1) визначена на - вимірному торі .

Надалі вважатимемо також, що відображення оборотне при кожному ,

причому — додатні сталі, що не залежать від

Через позначимо розв’язок першого рівняння (1.1), такий, що при кожному .

Інваріантним тором T системи рівнянь (1.1) називають множину точок m: ,

якщо функція визначена при будь-яких

- періодична відносно обмежена за нормою і при будь-яких , задовольняє рівність

.

Цей тор називають неперервним або гладким відносно якщо відповідну властивість має породжуюча його функція

Скажемо, що однорідне рівняння

(1.2)

(або рівняння (1.1)) має ФГС, якщо існують матрицант рівняння (1.2) і 2- періодична відносно обмежена за нормою нескінченна матриця така, що функція

задовольняє нерівність для всіх , де і — додатні сталі, що не залежать від — нескінченна одинична матриця.

У підрозділі 1.1 розглянуто питання неперервності інваріантного тору системи рівнянь (1.1). Спочатку розглянуто систему рівнянь виду (1.1), яка не залежить від параметра :

(1.4)

Через (Tm) позначимо множину ліпшіцевих відображень , визначених на . . Додатну сталу К, яка забезпечує нерівність , назвемо коефіцієнтом, з яким входить у цю множину.

Для системи (1.4) доведено наступне твердження, яке навіть у випадку, коли відхилення дискретного аргументу відсутні, суттєво розширює множину систем лінійних рівнянь, для яких існує інваріантний тор, що розглядалися в роботах Д.І. Мартинюка та Г.В. Верьовкіної.

Теорема 1.1. Нехай при існує ФГС рівняння і виконуються умови:

1) при будь-яких і р = 0 це рівняння має єдиний обмежений на множині Z розв’язок

2) () з коефіцієнтами відповідно.

Тоді існує інваріантний тор системи рівнянь (1.4), породжуюча функція якого задовольняє умову Гельдера

,

де — стала, що не залежить від , — довільне додатне число, яке задовольняє нерівність при і нерівність при

При цьому побудовано алгоритм відшукання сталої і для прикладу знайдено її значення у випадку, коли

Через позначимо деяку неперервну неспадну на відрізку скалярну функцію таку, що Справджується наступне твердження.

Теорема 1.2. Нехай при р = 0 існує ФГС рівняння (1.2) і при всіх , :

1)

де — додатні сталі, що не залежать від

2) при р = 0 рівняння (1.2) має єдиний обмежений на Z розв’язок

3)

Тоді функція , породжуюча інваріантний тор системи рівнянь (1.1), неперервна за сукупністю змінних , причому стверджується нерівність

+

де — додатна стала, яка не залежить від .

Наступне твердження дозволяє опустити третю умову у формулюванні теореми 1.2.

Наслідок 1.1. Нехай виконуються всі умови теореми 1.2, крім третьої. Тоді функція неперервна за сукупністю змінних , причому з деякого моменту в процесі справджується нерівність , де додатна стала, що не залежить від , , а — довільне додатне число, яке задовольняє умову

Якщо функція не залежить від , то умови неперервності функції відносно параметра значно спрощуються, що продемонстровано на прикладі.

Зауважимо, що результати, одержані в підрозділі 1.1, зберігаються у випадку, коли тор, на якому розглядається система рівнянь (1.1), є нескінченновимірним, тобто

У підрозділі 1.2 вивчено питання диференційовності інваріантного тору системи рівнянь (1.1) за параметром та кутовою змінною . При цьому вважається, що матриця диференціюється поелементно, а вектор-функція — покоординатно.

Спочатку розглянуто випадок, коли існує матрицант рівняння (1.2), який задовольняє нерівність

(1.31)

де — сталі, які не залежать від .

Через позначимо множини періодичних відносно з періодом 2 вектор-функцій і матриць, що залежать від координати та елементи яких неперервно диференційовані відносно , та відповідно. Вирази та позначимо відповідно через та . Справджується наступне твердження.

Теорема 1.3. Нехай існує обмежена за нормою обернена до матриця і справджуються наступні умови:

1) матрицант рівняння (1.2) задовольняє нерівність (1.31), в якій норму замінено нормою ;

2),причому

де — додатні сталі, що не залежать від та

3) .

Тоді при будь-яких функція .

Наслідок 1.3. Нехай існує обмежена за нормою обернена до матриця, виконується умова 1 теореми 1.3, де — сталий вектор, і , причому

де С — додатна стала, що не залежить від та .

Тоді при будь-яких функція .

І, нарешті, доведено наступний загальний результат.

Теорема 1.4. Нехай справджуються наступні умови:

1) при рівняння (1.2) має єдиний обмежений на множині розв’язок та ФГС таку, що

2) , причому

;

де — додатні сталі, що не залежать від та ;

3) .

Тоді при будь-яких функція .

Зауважимо, що при заміні нерівності (1.31) нерівністю ситуація спрощується і не потребує оборотності матриці , тому цей випадок у дисертаційну роботу не включено, але запропоновано приклад 1.3, що стосується саме цієї ситуації. Розглянуто систему виду (1.4), визначену на двовимірному торі, в якій ,

де

Показано, що ця система має диференційований відносно інваріантний тор.

У другому розділі доведено дві теореми. Основною з них є теорема 2.2, яка встановлює достатні умови неперервної диференційованості інваріантного тору системи рівнянь (1.4) за кутовою змінною до порядку . Цю теорему доведено методом повної математичної індукції відносно за допомогою укорочення системи (1.4) відносно х.

Розглянуто укорочену систему рівнянь

що відповідає системі (1.4). Тут

Через позначимо матрицант рівняння .

Домовимось через позначати довільну похідну-го порядку від функції відносно і нагадаємо, що вектор-функції диференціюються покоординатно, а матриці — поелементно. Скажемо, що з коефіцієнтом , якщо для всіх справджується нерівність, де—додатна стала, що не залежить від та .

Теорема 2.2. Нехай для всіх натуральних виконуються умови:

1) причому — з коефіцієнтом ;

2)

де та додатні сталі не залежать від ;

3) матриця невироджена;

4) при всіх цілих справджується нерівність де сталі не залежать від

5) послідовність обернених до матриць правильна і , де додатна стала не залежить від .

Якщо при цьому , то для будь-яких цілих породжуюча інваріантний тор системи рівнянь (1.4) функція належить

Якщо в системі рівнянь (1.4) , де — сталий вектор, то твердження теореми 2.2 справджується при всіх цілих .

Зрозуміло, що для використання методу повної математичної індукції необхідно було спочатку довести цю теорему для випадку . Це зроблено у теоремі 2.1, в якій потрібне твердження доведене для системи рівнянь (1.1), частковим випадком якої є система (1.4). Отже, теорема 2.1 має не лише допоміжне значення. Як приклад застосування побудованої теорії одержано достатні умови диференційованості інваріантного тору системи рівнянь (1.1) за параметром до порядку у випадку, коли функція не залежить від .

У третьому розділі, що складається з трьох підрозділів, пропонуються достатні умови існування та диференційованості за Фреше інваріантних торів зліченних систем різницевих рівнянь різних типів, визначених на нескінченновимірному торі. Одержані тут результати, які сформульовано у вигляді шести теорем 3.1 — 3.6, є новими і для скінченновимірних систем різницевих рівнянь.

У підрозділі 3.1 розглянуто лінійну та квазілінійну системи рівнянь

(3.1)

(3.10)

в яких m, m, m, де — відкрита куля в m, функція визначена на множині mxm} і на цій множині Декартовий добуток m позначимо через , нескінченновимірний тор — через Т, а множину відображень, визначених та неперервно диференційованих за Фреше відносно на — через .

Вважатимемо, що відображення m m оборотне при кожному причому — додатні сталі, що не залежать від

Теорема 3.1. Нехай та існує матриця і справджуються умови:

1) , причому

де — додатні сталі, що не залежать від

2)

Тоді при всіх система рівнянь (3.1) має інваріантний тор, диференційований за Фреше відносно на множині .

Зауважимо, що при невід’ємних і не потрібно вимагати диференційованості відображення на .

Наступне твердження корисне у випадку, коли матриця або не є оборотною на , або умова 2 теореми 3.1 не виконується.

Наслідок 3.2. Нехай справджується умова 1 теореми 3.1, в якій матрицю замінено матрицею Тоді при всіх система рівнянь (3.1) має інваріантний тор, диференційований за Фреше відносно на множині .

Наступне твердження стосується випадку, коли умови теореми 3.1 та наслідку 3.2 не виконуються, але ФГС системи рівнянь (3.1) існує.

Наслідок 3.3. Нехай справджуються наступні умови:

1) при існує ФГС системи рівнянь (3.1);

2) , причому

де — додатні сталі, що не залежать від

3)

4) ряд збігається рівномірно відносно

Тоді при всіх система рівнянь (3.1) має інваріантний тор, диференційований за Фреше відносно на множині .

Позначимо через і множини {xm} і m відповідно. Тут — як завгодно мала додатна стала. Наступне твердження наводить достатні умови диференційованості інваріантного тору системи рівнянь (3.10) у сенсі Фреше.

Теорема 3.2. Нехай справджуються наступні умови:

1) при існує ФГС системи рівнянь (3.1);

2) ,

причому

де — додатні сталі, що не залежать від і не залежить від ;

3)

Тоді система рівнянь (3.10) має інваріантний тор, породжуюча функція якого при всіх .

У підрозділі 3.2 одержано достатні умови існування інваріантного тору нелінійної системи рівнянь

(3.18)

для якої виконуються вимоги, накладені на систему (3.1), — цілочисловий параметр,для всіх

Теорема 3.3. Нехай на множині матриця оборотна, і справджуються наступні умови:

1) матриця є ліпшіцевою відносно змінної х з коефіцієнтом, що не залежить від

2) для всіх , виконується нерівність

де — додатна стала, що не залежить від

3) справджуються оцінки:

Тоді при всіх система рівнянь (3.18) має інваріантний тор.

Припустимо тепер, що матриця не є оборотною на , або умова не виконується, але У цьому разі сформулюємо наступне твердження.

Теорема 3. 4. Нехай на множині справджуються умови:

1) для всіх де — додатна стала, що не залежить від

2) виконуються нерівності

Тоді при всіх система рівнянь (3.18) має інваріантний тор.

Теорема 3. 5. Нехай на множині виконуються умови:

1) при р = 0 існує ФГС рівняння

2) для всіх де — додатна стала, що не залежить від

3) справджуються нерівності

де — сума збіжного ряду

Тоді при будь-яких існує інваріантний тор системи рівнянь (3.18).

На закінчення підрозділу розглянуто систему рівнянь

, (3.29)

в якій , функція така, що на множині справджуються оцінки де — додатна стала.

Наслідок 3. 4 (з теорем 3. 3 — 3. 5). Умови кожної з теорем 3.3 — 3.5 достатні для існування інваріантного тору системи рівнянь (3.29), якщо оцінки що в них фігурують, замінити оцінками відповідно.

У підрозділі 3.3 вивчено питання диференційованості за Фреше інваріантного тору системи рівнянь (3.18) і доведено наступне твердження.

Теорема 3. 6. Нехай на множині ліпшіцева відносно х матриця оборотна , і справджуються наступні умови:

1) ,

причому

де — додатні сталі;

2) виконуються нерівності:

Тоді і таких при яких

функція породжуюча інваріантний тор системи (3.18), належить

Якщо матриця не є оборотною, або умова не виконується, то теорема 3.6 не має місця. Але може статися, що при цьому У цьому випадку доведено наступне важливе твердження.

Наслідок 3. 5. Нехай на множині справджуються умови:

1) ,

причому

де — додатні сталі;

2) виконуються нерівності:

Тоді і таких , при яких

функція породжуюча інваріантний тор системи (3.18), належить

На закінчення, як приклад застосування теореми 3.6 та наслідку 3.4, знайдено достатні умови диференційованості в сенсі Фреше інваріантного тору системи (3.29) при невід’ємних відхиленнях

ВИСНОВКИ

Для зліченних систем різницевих рівнянь, визначених на торах, одержано наступні основні результати :—

за допомогою методу ФГС запропоновано різні достатні умови неперервності інваріантного тору лінійної системи рівнянь, визначеної на торі, за кутовою змінною та сукупністю змінних де — дійсний параметр;—

запропоновано різні достатні умови неперервної диференційованості інваріантного тору лінійної системи, визначеної на скінченновимірному торі, в залежності від обмежень, що накладаються на неї і, зокрема, на задані відхилення ;—

методом укорочення знайдено достатні умови неперервної диференційованості за кутовою змінною та параметром до порядку інваріантного тору системи лінійних рівнянь, що визначена на скінченновимірному торі, містить відхилення дискретного аргументу і залежить від дійсного числового параметру;—

наведено достатні умови існування та неперервної диференційованості за Фреше відносно інваріантних торів лінійних, квазілінійних і нелінійних систем, визначених на нескінченновимірних торах, з параметром , який належить простору обмежених послідовностей дійсних чисел, та незалежними відхиленнями дискретного аргументу. Зокрема розглянуто випадки, коли ФГС заданої системи рівнянь безпосередньо виписується ;—

побудовано п’ять нетривіальних ілюстративних прикладів.

Більшість з одержаних результатів можна без особливих ускладнень перенести на випадок різницевих рівнянь, визначених у абстрактному банаховому просторі.

Публікації за темою дисертації

1. Marchuk N. A. On continuity of the invariant torus for countable system of difference equations dependent on parameters // Nonlinear oscillations.— 2001. — 4, №3.— P. 316-325.

2. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами // Укр. мат. журн. —2001.— 53, № 9. – С. 1241-1250.

3. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь // Доп. НАН України. — 2002.— №2.— С.33-37.

4. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про - гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь, визначеної на m – вимірному торі // Нелінійні коливання.— 2002.— 5, №2.— С.251-265.

5. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про диференційованість в сенсі Фреше інваріантних торів зчисленних систем різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах // Укр. мат. журн.—2003.— 55, №1.—С.75-90.

6. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про диференційованість у сенсі Фреше інваріантного тора нелінійної зліченної системи різницевих рівнянь, що визначена на нескінченновимірному торі і містить відхилення дискретного аргументу // Нелінійні коливання.— 2003.— 6, №2.— С.260-278.

7. Марчук Н.А. Про існування інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь зі зсувом // Зб. Наук. пр. Кам’янець- Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.2000.Вип.5.С.86-92.

8. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Метод укорочення в дослідженні гладкості інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами // Зб. Наук .пр. Камянець-Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.— 2000.—Вип.5.—С.117-126.

9. Марчук Н.А. Про гладкість Z - дихотомічного інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами, визначеної на скінченновимірному торі // Зб. Наук. пр. Кам”янець-Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.— 2002.—Вип.6.—С.86-92.

10. Марчук Н.А. Про існування інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь, що визначена на нескінченновимірному торі і містить відхилення дискретного аргументу // Крайові задачі для диференціальних рівнянь.-—Чернівці: Прут, 2002.— Вип.7.— С.160-170.

11. Марчук Н.А. О существовании непрерывного инвариантного тора счетной системы разностных уравнений с параметрами // УШ Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. –Київ.—2000.—С.150.

12. Теплинский Ю.В.,Марчук Н.А. О гладкости инвариантных торов счетных систем разностных уравнений с параметрами.Тези доповідей міжнародної конференції “ Диференціальні та інтегральні рівняння”.— Одеса.—2000.—С.265-266.

13. Марчук Н.А. Метод укорочення в дослідженні гладкості інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь // Труды Х Международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики.”.—Харьков.—2001.— С.212-216.

14. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантних торів зчисленних систем різницевих рівнянь, визначених на торах // Тези доповідей Міжнародної конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. – Київ.— 2001.—С.157.

15. Марчук Н.А. Про існування та диференційованість за Фреше інваріантного тора нелінійної зчисленної системи різницевих рівнянь, визначеної на нескінченновимірному торі // Міжнародна наукова конференція “Теорія еволюційних рівнянь (П’яті Боголюбовські читання)”. Тези .— Кам’янець-Подільський.—2002.— С.116.

16. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Інваріантні тори зліченних систем різницевих рівнянь, що містять відхилення дискретного аргументу // Тези доповідей Міжнародної конференції “Шості Боголюбівські читання”.— Чернівці.— 2003.—С.222.

Анотації

Марчук Н.А. ІНВАРІАНТНІ ТОРИ ЗЛІЧЕННИХ СИСТЕМ РІЗНИЦЕВИХ РІВНЯНЬ, ЩО МІСТЯТЬ ВІДХИЛЕННЯ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТУ. – Рукопис. – Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, 2004.

Дисертацію присвячено створенню основи теорії інваріантних тороїдальних многовидів для зліченних систем лінійних та нелінійних різницевих рівнянь, що визначені на скінченновимірних та нескінченновимірних торах і містять незалежні відхилення дискретного аргументу. Основною задачею є дослідження питань існування та властивостей гладкості цих многовидів. Запропоновано різні достатні умови неперервності та неперервної диференційованості інваріантного тору лінійної системи рівнянь, визначеної на скінченновимірному торі, за кутовою змінною та дійсним параметром; методом укорочення знайдено достатні умови неперервної диференційованості за кутовою змінною та параметром до порядку інваріантного тору системи лінійних рівнянь, що визначена на скінченновимірному торі; наведено достатні умови існування та неперервної диференційованості за Фреше відносно інваріантних торів лінійних, квазілінійних і нелінійних систем, що визначені на нескінченновимірних торах, містять параметр , який належить простору обмежених числових послідовностей, та незалежні відхилення дискретного аргументу.

Ключові слова. Різницеві рівняння, зліченна система, інваріантний тор, функція Гріна-Самойленка, диференційованість за Фреше, укорочена система рівнянь.

Marchuk N. A. THE INVARIANT TORI FOR COUNTABLE SYSTEMS OF DIFFERENCE EQUATIONS WITH DEVIATIONS OF THE DISCRETE ARGUMENT.— Manuscript. — Thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree by 01.01.02 speciality – differential equations. Chernivtsi National University named after Yu. Fedkovich, Chernivtsi, 2004.

This thesis is dedicated to creation of the basis for the theory of invariant toroidal manifolds for countable systems of linear and non-linear difference equations which are defined on finite-dimensional or infinite- dimensional tori and contain independent deviations of discrete argument. The principal problem here is the study of questions of the existence and smoothness of those manifolds. Different sufficient conditions are proposed for the continuity and continuous differentiability with respect to the angular variable and the real parameter of the invariant torus for a linear system of equations defined on a finite-dimensional torus; by the reduction method, sufficient conditions are found for the continuous differentiability until the order with respect to the angular variable and parameter of the invariant torus for a linear system of equations defined on a finite-dimensional torus; sufficient conditions are presented for the existence and continuous differentiability by Freche with respect to of the invariant tori for linear, quasi-linear and non-linear systems which are defined on infinite-dimensional tori and contain the parameter from the space of bounded number sequences and independent deviations of the discrete argument.

Key words. Difference equations, countable system, invariant torus, Green-Samoilenko function, differentiability by Freche, reduced system of equations.

Марчук Н.А. ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ СЧЕТНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЕНИЯМИ ДИСКРЕТНОГО АРГУМЕНТА. — Рукопись. — Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича, 2004.

В 1970 году А.М. Самойленко разработал метод построения и исследования инвариантных тороидальных многообразий систем обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на m – мерных торах, который теперь называют методом функции Грина-Самойленко задачи об инвариантных торах. За последние 30 лет развитию и применению этого метода было посвящено чрезвычайно много научных работ. Особенно интенсивно это направление развивается сейчас представителями Киевской математической школы теории нелинейных колебаний. В работах А.М. Самойленко и Ю.В. Теплинского указанный метод был применен к исследованию инвариантных торов счетных систем дифференциальных уравнений, определенных как на m – мерных, так и на бесконечномерных торах. За последние 10 лет опубликован ряд научных работ, в которых этот метод применен к исследованию инвариантных торов счетных систем дифференциально-разностных и разностных уравнений. Однако число этих работ невелико и они далеко не решают проблему построения теории инвариантных торов для систем указанного вида. Поскольку разностные уравнения являются дискретными аналогами дифференциальных, то становится понятной целесообразность построения теории инвариантных торов для счетных систем разностных уравнений.

Диссертация посвящена исследованию инвариантных тороидальных многообразий счетных систем линейных и нелинейных разностных уравнений, которые определены на конечномерных и бесконечномерных торах и содержат независимые отклонения дискретного аргумента. Основной задачей является исследование вопросов существования и свойств гладкости этих многообразий. Найдены различные достаточные условия непрерывности

и непрерывной дифференцируемости инвариантного тора линейной системы, определенной на конечномерном торе, относительно угловой переменной и действительного параметра ; методом укорочения найдены достаточные условия непрерывной дифференцируемости по угловой переменной и параметру до порядка инвариантного тора системы линейных уравнений, определенной на конечномерном торе; приведены достаточные условия существования и непрерывной дифференцируемости по Фреше относительно инвариантных торов линейных, квазилинейных и нелинейных систем, которые определены на бесконечномерных торах, содержат параметр , принадлежащий пространству ограниченных числовых последовательностей, и независимые отклонения дискретного аргумента.

Ключевые слова. Разностные уравнения, счетная система, инвариантный тор, функция Грина-Самойленко, дифференцируемость по Фреше, укороченная система уравнений.