ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Матузко Юрій Олегович

УДК 539.3

ПРОСТОРОВІ КОНТАКТНІ ЗАДАЧІ

ДЛЯ ПРУЖНОЇ БАГАТОШАРОВОЇ ОСНОВИ

З ГЛАДКОЮ МЕЖЕЮ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Запорізькому державному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Приварников Аркадій Костянтинович

Запорізький державний університет,

завідувач кафедри алгебри та геометрії

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, Кузьменко Василь Іванович, Дніпропетровський національний університет, професор кафедри математичного моделювання;

кандидат фізико-математичних наук, Алтухов Євген Вікторович, Донецький національний університет, доцент кафедри теорії пружності.

Провідна установа Харківський інститут проблем машинобудування, відділ прикладної математики, НАН України, м. Харків.

Захист дисертації відбудеться 10.02. 2005 р. о 14-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.051.01 при Донецькому національному університеті за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Запорізького державного університету за адресою: 83055, м. Донецьк, вул. Університетська, 24

Автореферат розісланий 10.01. 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Мисовський Ю.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Контактні задачі є досить складними задачами механіки деформівного твердого тіла. У більшості випадків навантаження деформівного тіла відбувається при контакті його із сусідніми тілами. При цьому концентрація напружень у зоні контакту часто є причиною руйнування одного з тіл, які контактують. У зв'язку з цим важливе значення має розробка методів побудови розв'язків та дослідження контактних задач теорії пружності, зокрема таких задач для багатошарових основ.

Актуальність теми. Контактні задачі відносяться до числа найбільш складних задач теорії пружності. Точне розв'язання нових контактних задач зв'язано з розробкою нових математичних методів. Тому точні аналітичні розв'язки отримані тільки для дуже обмеженого класу контактних задач теорії пружності. Розробка наближених методів їхнього розв'язання завжди була актуальною як у прикладному, так і в теоретичному сенсах. До останнього часу при розробці способів розв'язання контактних задач для істотно багатошарових основ дослідники обмежувалися такими видами деформацій основ як плоска, осесиметрична, деформація скруту. Тому на наступний час виникла потреба в створенні методів наближеного розв'язання інтегральних рівнянь просторових контактних задач для пружних багатошарових основ з необхідною точністю.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження зв'язані з фундаментальною дослідницькою роботою "Розробка точних аналітичних методів розв'язку граничних задач теорії пружності для багатошарових середовищ" (№ держреєстрації 01034000718, 2003 – 2005 р.р. на основі рішення науково-експертної ради), яка фінансується Міністерством освіти і науки України. Більша частина результатів дисертації ввійшла в річний звіт по зазначеної НДР за 2003 рік.

Мета і задачі дослідження. Головною метою дисертаційної роботи є розробка способу визначення контактних напружень під штампом, а також напружень і переміщень у шарах істотно багатошарової основи. Для досягнення цієї мети необхідно було:

–

–

–

–

Об'єкт дослідження – проблема визначення напружено-деформівного стану (НДС) багатошарової основи, на яку діє штамп.

Предметом дослідження є розробка методів визначення НДС багатошарової основи при різних способах навантаження його поверхні.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі розвинено і використано ряд підходів. Розвинено спосіб розв'язку інтегрального рівняння просторової контактної задачі, що дозволяє визначити область контакту штампа з багатошаровою основою і закон розподілу контактних напружень у цій області. Розроблено спосіб визначення напружень і переміщень у шарах основи, на яку діє нормальне навантаження, що розподілене у довільній обмеженій області поверхні основи по заданому неперервному закону. Використання цих методів дає можливість визначити не тільки контактні напруження під штампом, але й НДС усіх шарів основи.

Наукова новизна отриманих результатів дослідження полягає в наступному:

–

–

–

–

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій забезпечується коректною математичною постановкою розглянутих задач; строгістю використаних методів; узгодженням наукових результатів для ряду окремих випадків з чисельними результатами, відомими в літературі.

Практичне значення отриманих результатів роботи складається в можли-

вості застосування розроблених методів і їхніх програмних реалізацій у розрахунках на міцність і жорсткість багатошарових конструкцій (дорожні одяги, аеродромні покриття, підлоги промислових будинків, різні захисні багатошарові покриття). Розроблений спосіб розв'язання контактних задач може бути використаний при розв'язанні родинних задач теорії пружності, електростатики, гідромеханіки, термопружності та ін.

Апробація результатів роботи. Основні положення роботи були повідомлені й обговорені на ряді наукових конференцій, у тому числі на:

–

–

–

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалася на:

–

–

–

Публікації й особистий внесок здобувача. Основні наукові результати дисертації опубліковані в шістьох наукових працях [1 – 6], три з них – у наукових виданнях, визнаних ВАКом України фаховими [1 – 3]. Основні результати отримані автором самостійно.

У роботах [1, 4], які написані у співавторстві з кандидатом фізико-математичних наук, доцентом Александровим О.І., дисертанту належить обгрунтування методу розв'язання просторової контактної задачі для багатошарових основ, розв'язання операторного рівняння контактної задачі, доведення теорем про збіжність ітераціоного процесу розв'язання контактної задачі чисельним методом верхньої релексації та отримання чисельних результатів. У спільних публікаціях із науковим керівником доктором фізико-математичних наук, професором Приварниковим А.К. [3, 5] дисертанту належить одержання інтегрального рівняння контактної

задачі, чисельна реалізація розв'язку рівняння, визначення області відокремлення штампу з підошвою в формі квадрат від поверхні багатошарової основи. Роботи [2, ] опубліковані дисертантом самостійно.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаної літератури, що містить 153 джерела, і додатка. Робота містить 6 таблиць і 11 малюнків. Загальний обсяг дисертації складає 150 сторінок, з яких 14 сторінок займає список використаної літератури, 10 сторінок – додаток.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовані актуальність та значимість теми дисертації. На підставі огляду літературних джерел і аналізу результатів розробки методів побудови розв'язків основних та контактних задач теорії пружності для істотно багатошарових основ сформульована мета дисертаційного дослідження та задачі, які необхідно розв'язати для її досягнення. Сформульовані основні результати, що виносяться на захист; наведена коротка анотація роботи та її зв'язок з науковими темами; охарактеризовані наукова новизна, достовірність та практична значимість отриманих результатів; особистий внесок автора в спільні публікації з теми дисертаційної роботи; наведені відомості про опублікування та апробацію результатів роботи.

В першому розділі дан огляд літератури по методам дослідження напружено-деформівного стану багатошарових пружних основ. Аналізом охоплені числені роботи вітчизняних і закордонних авторів.

Провідна роль в розробці наближених методів дослідження НДС
багатошарових середовищ належить В.А. Баженову, В.В. Болотіну, В.З. Власову, А.Н. Гузю, І.А. Гузю, С. Краучу, А.С. Кравчуку, В.І. Кузьменку, Н.Н. Леонт'єву, В.Л. Марченку, Л.В. Марчуку, Ю.Н. Новічкову, В.В. Парцевському, В.Г. Піскунову, Б.Є. Победрі, Р.М. Раппопорт, А.О. Рассказову та іншим дослідникам.

Точним методам розв'язання основних крайових задач теорії пружності (у квадратурах) для істотно багатошарових основ присвячені роботи І.Г. Альперіна, М.Д. Бурмістера, Ю. Я. Годеса, В. С. Нікішина, Ю. О. Наумова, В. І. Петрішина,

А.К. Приварникова, Р.М. Раппопорт, Г.С. Шапіро, Ю.А. Шевлякова та інших. Найбільшого спрощення в точному розв'язанні основних граничних задач теорії пружності для багатошарових основ вдалося досягти за методом функцій податливості. Розробка цього методу пов'язана з роботами Ю.О. Наумова, В.І. Петрішина, А.К. Приварникова, Ю.А. Шевлякова та їх послідовників І.Г. Величка, В.Д. Ламзюка, Ю.А. Годеса, В.А. Стулєя та інших. На методі функцій податливості грунтується ряд програм для ЕОМ, які використовуються в країнах СНД для розрахунків одеж автомобільних доріг на міцність і жорсткість.

Відомо багато методів розв'язання задач про взаємодію штампа з пружною основою. Аналітичним методам розв'язання контактних задач теорії пружності присвячені роботи Б.Л. Абрамяна, В.М. Александрова, А.Е. Андрейківа, І.І. Воровича, Л.А. Галіна, Д.В. Грилицького В.С. Губенка, Я.М. Кізими, В.І. Моссаковського, В.В. Панасюка, Ю.Н. Подільчука, В.Л. Рвачова, Я.С. Уфлянда, І.Я. Штаєрмана, Л.І. Цейтліна та інших. Асимптотичні методи застосовували в своїх роботах В.М. Александров, І.І. Ворович, Б.І. Сметанін, А.С. Соловйов, Ю.А. Устінов, М.І. Чебаков та інші. Метод ортогональних многочленів розвивався і використовувався в роботах В.М. Александрова, Н.Х. Ару-тюняна, П.І. Клубіна, С.М. Мхітаряна, Г.Я. Попова, Н.А. Ростовцева та інших. Метод колокацій застосовувався для розв'язання контактних задач в роботах В.М. Алек-сандрова, В.А. Бабешко, Л.В. Білоконя, І.І. Воровича, В.І. Моссаковського, А.Б. Ковури, Б.І. Сметаніна, Л.В. Соловйова. Розгляданню контактних задач для тіл складної форми присвячені методи, що розроблялися харківською та донецькою школами механіків. Це метод R-функцій (В.Л. Рвачов, В.С. Проценко, Е.С. Архіпова, Н.С. Сінекоп та інші) та метод потенційних функцій (С.А. Калоєров, А.С. Космодаміанський та їх учні).

Для істотно багатошарових основ контактні задачі розглядали Ю.А. Шевляков, А.К. Приварников, В.І. Петрішин, Ю.О. Наумов, Н.В. Пальцун, В.М. Ільман, В.Д. Ламзюк, А.В. Стулєй, В.С. Нікішин, Г.С. Шапіро.

Багатошарова основа, являє собою пакет з n 1 однорідних ізотропних невагомих шарів, який лежить на пружньому або абсолютно жорсткому півпросторі. Кожний шар пакету обмежен тільки двома паралельними площинами. Шар, який лежить на півпросторі назвемо нижнім. Шари основи нумеруються зверху, півпростору надається номер n + 1. Сусідні шари основи не відстають один від одного, а нижній шар – від півпростору. Вважається, що два сусідні шари можуть бути зчеплені, або ковзати без тертя один відносно іншого вздовж всієї спільної межі (гладкий контакт). Умови зчеплення шарів або їх гладкого контакту можуть довільно чергуватися в основі. Кожний шар віднесемо до місцевої декартової системи координат xk , yk , zk , k = 1, 2, … , n+1, із початком на верхній межі шару. Осі zk усіх систем координат збігаються і спрямовані униз. Усі осі xk(yk) паралельні. Кожний шар характеризується модулем Юнга Ek , коефіцієнтом Пуасона k і товщиною hk .

У другому розділі за допомогою метода функцій податливості точно розв'язується (в інтегралах Ханкеля) задача про дію на поверхню багатошарової основи нормальної зосередженої сили. Спираючись на розв'язок цієї допоміжної задачі і принцип незалежності дії сил в лінійній теорії пружності, побудовано (в квадратурах) розв'язок задачі про дію нормального навантаження на основу, яке розподілене в обмеженій області D по довільному неперервному закону. Подамо, як приклад, формулу для нормальних переміщень точок верхньої межі основи

, (1)

де: D – область навантаження основи;

q(s, t) – інтенсивність нормального навантаження у D (z1 (s, t, 0) = q(s, t), якщо (s, t) D, і z1 (s, t, 0) = 0, якщо (s, t) D); ,

J0(х) – функція Беселя першого роду, а1(р) – модифікована функция податливості основи, E1 , 1 – модулі пружності матеріалу першого шару основи, h1 – товщина цього шару.

Найбільші труднощі виникають на етапі одержання чисельних результатів розв'язку. До тепер їх вдалося подолати для таких областей навантаження як круг, многокутник, смуга у випадку простих законів розподілення навантаження. В дисертації пропонується наближений метод вирішення проблеми одержання чисельних результатів для просторової першої крайової задачі теорії пружності для багатошарової основи.

Аналіз підінтегральних функцій в одержаних формулах для напружень і переміщень шара з номерами k = 2, … , n+1 свідчить, що ці функції є неперервними функціями координат x, y, z, точок шарів і змінних s, t в області наванта-ження D. Завдяки цьому, не припускаючи великої похибки, можна інтеграли типу

(2)

в формулах для напружень і переміщень змінити на суми

. (3)

Тут mx , my – число частин, на які діляться сторони прямокутника, який містить в собі область D, si , tj – декартові координати центру елементарного прямокутника

(q(si , tj ) = 0, якщо точка (si , tj ) D). Для обчислення подвійних інтегралів по елементарним прямокутникам в правій частині рівності (3) використовувалась кубатурна формула сьомого алгебраїчного степеня точності.

Для першого шару основи при z = 0 підінтегральні функції в подвійних інтегралах для шуканих величин стають необмеженими, якщо точка (х, у) D. Здійснити обчислення інтегралів на ЕОМ вдалося завдяки вилученню з підінтег-ральних функцій необмежених достатньо простих доданків. Подвійні інтеграли від обмежених доданків обчислювалися на ЕОМ за описаною вище процедурою (3).

Ядра f(x–s, y–t) подвійних інтегралів (2) в формулах для напружень і переміщень в основі являють собою лінійну комбінацію особливих інтегралів

F0(r) = , F1(r) = , F2(r) = , (4)

де f(p) – гладка функція функція, швидко спадаюча при р ;

J0(х) , J1(х) – функції Беселя першого роду.

Підінтегральні функції в цих інтегралах є осцилюючими. Щоб обчислити невласні інтеграли на ЕОМ з малою похибкою, вони замінялися близькими визначеними інтегралами. Останні обчислювалися на ЕОМ за допомогою спеціального методу наближеного обчислення інтегралів Ханкеля. Цей метод дозволяє обчислювати з високою точністю інтеграли (4) як для малих так і для великих значень параметру осциляції r. Автором створена програма для ЕОМ, яка реалізує вказаний метод. Програма передана до Державного департаменту інтелектуальної власності Міністерства освіти і науки України (свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір № 10321). В роботі проілюстрована висока точність обчислення інтегралів (4) розробленою програмою для малих і великих значень параметра r осциляції.

Третій розділ присвячений розробці й обгрунтуванню чисельного методу розв'язання просторової контактної задачі для багатошарової основи з гладкою поверхнею (на поверхні відсутні дотичні напруження). Метод дозволяє у випадку одностороннього зв'язку між жорстким штампом й основою визначати область контакту і контактні напруження в цій області.

В математичному плані просторова контактна задача зведена до знаходження функції q(s) (контактного тиску) у фіксованій області , яка містить в собі невідому область контакту, з таких умов

Тут s – точка межі основи,

B(q)s = – , (6)

s , f(s) = F(s) + , z = F(s) – рівняння поверхні штампа (вісь z спрямована в сторону зовнішньої нормалі до поверхні основи), – – поступальне переміщення штампу від початкового положення (штамп торкається основи, не деформуючи її) вздовж внутрішньої нормалі к поверхні основи.

Перше з співвідношень (5) констатує відсутність взаємного проникання штампу й основи. Друге співвідношення стверджує, що контактні напруження z не можуть бути розтягуючими. Третє співвідношення визначає відсутність контактного тиску за межами області контакту. Показано, що система співвідношень (5) еквівалентна нелінійному рівнянню

q(s) = h(q(s) – ( B(q)s + f(s))) , s , (7)

де Е – довільне додатне число, , – довільне дійсне число.

Доведено, що задача знаходження розв'язку рівняння (7) в просторі L2() по відомому елементу f(s) L2() є некоректною по А.Н. Тихонову. Тому замість рівняння (7) розглядається його регуляризований аналог

q(s) = h(q(s) – (q(s) + B(q)s + f(s))) , s , (8)

де > 0 – параметр регуляризації. Доведено, що для будь якого фіксованого рів-няння (8) має єдиний розв'язок q(s) L2(), який неперервно (у метриці простору L2()) залежить від елементу f(s) L2(). Доведено також, що у випадку існування

розв'язку q(s) L2() рівняння (7) виконується співвідношення:

. (9)

Запропонована схема дискретизації регуляризованого рівняння (8). Очікувана область контакту D охоплена заздалегідь більшою прямокутною областю , яка розбита паралельними прямими на m однакових достатньо малих елементарних прямокутників. В кожному елементарному прямокутнику шукана функція q(s) замінена сталою qi , яка дорівнює значенню цієї функції в центрі відповідного елементарного прямокутника q(si) . Кусочно-постійну функцію, яка апроксимує шукану функцію q(s), підставлено в рівняння (8). Придаваючи змінним si значення координат центрів елементарних прямокутників, отримано нелінійну систему m рівнянь з m невідомими

, (10)

де А = – матриця коефіцієнтів, які виводяться з співвідношень (6). Дове-дена теорема, що для будь якого > 0 , якщо qm – це розв'язок системи (10), а q – розв'язок рівняння (8).

Для чисельного розв'язання системи (10) застосовано итераційний метод типу Зейделя. Доведено, що цей метод збігається в евклідовому просторі Rm до розв'язку системи (10), для будь якого початкового наближення, якщо довільне додатне число Е покласти , де max – найбільше власне значення матриці А.

Область контакту D є об'єднання тих елементарних прямокутників області , в яких q(si) > 0 .

Використання цього способу розв'язання просторових контактних задач дозволяє за допомогою ЕОМ знайти шуканий розв'язок з потрібною точністю. Для перевірки коректності запропонованого способу зіставлювались розв'язки конкретних контактних задач з відомими раніше розв'язками інших авторів. Встановлена добра відповідність чисельних результатів, яка проілюстрована в табл.1. Перший рядок таблиці 1 відповідає одержаному автором чисельному розв'язку, другий – розв'язку задачі Герца про дію на пружній півпростір (Е = 2 * 1011 Па, =0,3) жорсткої кулі радіусом 0,1 м. [Писаренко Г.С., Яковлев Л.П., Матвеев В. В. Справочник

по сопротивлению материалов. – Київ: Наукова думка, 1975. – 703 с.]

Таблиця 1 -

Розподіл контактних тисків при занурюванні кулі в пружній півпростір |

r*103 (м) | 0,0 | 0,06 | 0,12 | 0,18 | 0,24 | 0,30 | 0,33

дисертація | q*10-7 (Па) | 74,27 | 73,74 | 72,15 | 69,40 | 65,34 | 59,78 | 56,27

задача Герца | q*10-7 (Па) | 74,25 | 73,72 | 72,12 | 69,38 | 65,34 | 59,75 | 56,24

r*103 (м) | 0,36 | 0,39 | 0,42 | 0,45 | 0,48 | 0,51 | 0,54

дисертація | q*10-7 (Па) | 52,15 | 47,27 | 41,37 | 33,94 | 23,80 | 1,40 | 0,0

задача Герца | q*10-7 (Па) | 52,12 | 47,23 | 41,31 | 33,81 | 24,07 | 0,0 | 0,0

Квадратна область , яка містить в собі невідому область контакту була розбита на 1681 квадратних елементів однакової площі зі сторонами 2*10-4 м. Значення поступального переміщення кулі підбиралося таким, щоб значення сили, що діє на кулю, дорівнювало 400 Н. Знайдене значення радіусу області контакту – 5,11 * 10-4 м, узгоджується з результатом Герца – 5,05* 10-4 м. Розбіжність в значеннях радіусу узгоджується із кроком сітки, яка викорисовувалася.

У четвертому розділі на базі чисельних розв'язків плоских осесиметричних та просторових контактних задач для штампів з пло-скою підошвою, які занурюються в багатошарову основу, встановлено, що поверхня основи відокремлює-ться від підошви плоского штампа, якщо модуль Юнга матеріалу першого шару основи значно більше модуля Юнга матеріалу другого шару (). При цьому діаметр Рис. 1. Прямокутний штамп

підошви штампу повинен бути не меншим за товщину h1 першого шару основи (d h1), число шарів в основі не має суттєвого значення.

Розв'язані контактні задачі про неповний контакт штампу з квадратною підошвою, циліндричного штампу та штампу у формі довгого паралелепіпеда з багатошаровою основою.

На рис. 1 наведені графіки розподілу контактних напружень в задачі про дію на двошарову основу гладкого штампу з підошвою – а < х < а, – b < y < b, . Крива 1 відповідає односторонньому зв'язку штампа з пружною основою, а крива 2 – двосторонньому. Чисельні розрахунки були здійснені для основи (гладкий шар товщини h на півпросторі), що характеризується параметрами ,

.

Має сенс зауважити, що крива 1 практично співпадає (як слід було очікувати з фізичних міркувань) з аналогічною кривою у плоскій контактній задачі теорії пружності (Приварников А,К., Ламзюк В.Д. Упругие многослойные основания. – Днепропетровск. – 1985. – 162 с.) про неповний контакт плоского штампу з пружною шаровою основою, що описана вище.

На рис. 2 наведені графіки контактних напружень для циліндричного штампа з плоскою підошвою, що занурюється в пружну двошарову основу (шар на пружному півпросторі).

Рис. 2. Циліндричний штамп

Контакт між штампом й основою – односторонній. Крива 1 відповідає гладкому шару, а крива 2 – шару, який зчеплений з півпростором. В обох випадках (а – радіус циліндричної поверхні штампа), = 10. Як видно, умови сумісності деформації шара з півпростором суттєво впливають на розміри зони відокремлення поверхні основи від штампу: у випадку гладкого шару кільцева зона відокремлення значно ширше ніж у випадку шара, зчепленного з півпростором.

Для практичних потреб важливо визначити не тільки контактні напруження під штампом та область контакту, але й НДС всіх шарів багатошарової основи. Цю задачу дозволяє вирішити програма для ЕОМ, створена автором дисертації за розробленим в роботі методом. Результати застосування цієї програми до контактних задач про дію штампа з підошвою в формі квадрата на п'ятишарову основу відображені в табл. 2.

Таблиця 2 -

Значення напружень і переміщень на нижніх межах шарів

п'ятишарової основи зі зчепленними шарами

№

шару | х*102

(м) | x *10-5

(Па) | z *10-5

(Па) | ux *108

(м) | uz *107

(м) | Примітки

1 | 0

0,5

1,0

2,0 | 2,16

10,6

4,68

19,5 | -60,0

-61,8

-49,8

-10,8 | 0

5,74

12,3

9,97 | -11,41

-11,1

-9,59

-5,39 | Переміщення

штампа 10-5 м,

сила вдавлювання

Q = 2,208 * 104 Па,

h1= … =h4 =0,01м,

2 | 0

0,5

1,0

2,0 | -9,32

-9,02

-8,27

-5,97 | -39,7

-37,5

-30,9

-13,7 | 0

2,61

4,67

5,66 | -6,76

-6,57

-6,03

-4,44 | E1 = E3 = E5 =

= 2 ??1011 Па

E2 = E4 =

= 1010 Па,

4 | 0

0,5

1,0

2,0 | -3,36

-3,33

-3,24

-2,89 | -15,2

-14,8

-13,5

-9,63 | 0

1,08

2,04

3,235 | -3,42

-3,38

-3,26

-2,86 | 1 = … = 5 = = 0,3.

На прикладі задачі про занурення штампу з підошвою у формі квадрата в багатошарову основу встановлено, як змінюється область відокремлення підошви штампа від першого шару основи при зміні модулей пружності шарів та їх товщин. На рис. 3 представлені форми областей контакту штампу з квадратною підошвою з ребром а з двошаровою основою (шар товщини h на півпросторі) в залежності від параметра , при цьому значення параметра

= 10 .

Області контакту на рис. 3 – темний колір, області відокремлення – білий колір.

Рис. 3. Форми областей контакту штампа з квадратною підошвою

з основою.

Таблиця 3 -

Значення контактного тиску під штампом з квадратною підошвою | Примітки | Q = 1,680 * 104 Н

п'ятишарова основа з гладкими шарами

Е1 = Е3 = Е5, Е2 = Е4 ,

i = 0,3 | Q = 2,208 * 104 Н

п'ятишарова основа, шари зчеплені

Е1 = Е3 = Е5, Е2 = Е4 ,

i = 0,3 | Q = 1,682 * 104 Н

двосторонній зв'язок між штампом та п'ятишаровою основою з гладкими шарами | Q = 2,208 * 104 Н

двосторонній зв'язок між штампом та п'ятишаровою основою, шари зчеплені

9,5 | 6,346 | 8,168 | 6,512 | 8,193

9,0 | 4,067 | 5,535 | 4,245 | 5,560

8,5 | 2,710 | 4,022 | 2,921 | 4,051

8,0 | 1,848 | 3,096 | 2,116 | 3,130

7,5 | 1,108 | 2,372 | 1,478 | 2,411

7,0 | 0,320 | 1,796 | 0,974 | 1,844

6,5 | 0 | 1,316 | 0,555 | 1,379

6,0 | 0 | 0,906 | 0,207 | 0,922

5,5 | 0 | 0,591 | -0,037 | 0,722

5,0 | 0 | 0,173 | -0,282 | 0,441

… | … | … | … | …

0 | 0 | 0 | -1,343 | -0,714

х*103 (м)

В табл. 3 наведені значення контактного тиску в точках вісі симетрії х області контакту штампа з квадратною підошвою з п'ятишаровою основою а також значення Q головного вектора сил, що діють на штамп. Вісь х паралельна однієї із сторін квадрата. Сторона квадрата а = 0,02 м, Е1 = 2,1 * 1011 Па, Е2 = 2,1 * 1010 Па, 1 = 0,3 , 2 = 0,3 , h1 = h2 = ... = h4 = 0,01 м. Переміщення штампа = 10-5 м.

Для ілюстрації можливостей запропонованого в дисертації методу роз-в'язання контактних задач і визначення НДС шарів багатошарової основи за допо-могою ЕОМ знайдені не тільки контактні напруження під штампом з підошвою в формі квадрата, але і напруження і переміщення в шарах п'ятишарових основ.

ВИСНОВКИ

Основні наукові результати і висновки, отримані в роботі:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

НАУКОВІ ПРАЦІ, ОПУБЛІКОВАНІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

АНОТАЦІЇ

Матузко Ю.О. Просторові контактні задачі для пружної багатошарової основи з гладкою межею. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Запорізький державний університет, Запоріжжя, 2004.

Розроблено спосіб визначення за допомогою ЕОМ напружень і переміщень в шарах істотно багатошарової пружної основи, які виникають при дії на основу нормального навантаження, що неперервно розподілено в обмеженій області поверхні основи. Спосіб базується на використанні інтегрального перетворення Ханкеля і відомому методі функцій податливості точного розв'язання основних крайових задач теорії пружності для пружних багатошарових середовищ (в квадратурах). Обгрунтована достовірність чисельних результатів.

Розроблено наближений спосіб розв'язання контактних задач для пружної багатошарової основи, який дозволяє визначити з високою точністю як контактні напруження, так й область контакту гладкого штампу з основою у випадку односторонніх зв'язків між штампом й основою. Сформульовані умови, коли штамп з плоскою підошвою може мати неповний контакт з поверхнею основи, в яку він поступально занурюється. Розв'язані конкретні просторові контактні задачі про неповний контакт плоского штампа з основою. На прикладі штампа з підошвою в формі квадрата з'ясовано, як впливають параметри багатошарової основи (товщини шарів, модулі пружності їх матеріалів) на форму області відокремлення штампа від основи. Описана методіка визначення напружень і переміщень в шарах багатошарової основи, на яку діє штамп.

Ключові слова: просторові контактні задачі, багатошарова основа, перетворення Ханкеля, метод функцій податлівості, область контакту, відокремлення штампа від основи.

Matuzko Y.O. Spatial contact problems for the elastic multilayer foundation with smooth border. – Manuscript.

Thesis is for a candidate's degree of physical and mathematical sciences by a speciality 01.02.04 – Mechanics of a Deformabled Solid Body. – Zaporozhye state university, Zaporozhye, 2004.

The method of determination with the help of a computer of stresses and displacements in layers essentially of multilayer foundation is developed, which one arise at an operation on the foundation of a normal loading, which one continuously distributed in restricted domain of a surface of the foundation. The method bases on usage of integral transformation of the Hankel integral transformation and method of functions of pliability of the precise solution of the main boundary problems of a theory of elastic strength for elastic multilayer mediums (in quadratures). The certainty of numerical outcomes is justified.

The approximated method of the solution of contact problems for the elastic multilayer foundation is developed, which one allows to determine with a split-hair accuracy both contact stresses and domain of a contact of a smooth die with the foundation in case of one-way communications between a die and foundation. The conditions are formulated, when the die with a flat trough can have an incomplete contact to a surface of the foundation, he is bodily dented into which one. The concrete spatial contact problems about an incomplete contact of a flat die to the foundation are decided. On an example of a die with a square trough is made out, how arguments of the multilayer foundation (depth of layers, moduluses of elasticity of their stuffs) are influencing to the form of domain of backlog of a die from the basis. The procedure of determination of stresses and displacements in layers of the multilayer foundation is described, the die acts on which one.

Key words: spatial contact problems, multilayer foundation, Hankel transformation, method of functions of pliability, domain of a contact, phenomenon of backlog.

Матузко Ю.О. Пространственные контактные задачи для упругого многослойного основания с гладкой границей. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твёрдого тела. – Запорожский государственный университет, Запорожье, 2004.

Многослойное основание представляет собой пакет из конечного числа неограниченных в плане однородных упругих плоскопараллельных изотропных слоев, который покоится на упругом или абсолютно жестком полупространстве. Соседние слои не отстают друг от друга при деформации, а нижний слой от полупространства. Два соседних слоя основания могут быть спаяны либо без трения проскальзывать один относительно другого (гладкий контакт слоев). Условия сцепления и гладкого контакта могут произвольно чередоваться в основании.

В упругое многослойное основание с произвольным конечным числом слоев вдавливается штамп. Трение между штампом и основанием отсутствует.

Разработан способ определения при помощи ЭВМ напряжений и перемещений в слоях многослойного основания при действии на него нормальной нагрузки, непрерывно распределённой по любой конечной области его поверхности. В основу способа положены интегральные преобразования Ханкеля и известный метод функций податливости точного решения основных граничных задач для упругих многослойных оснований. Обоснована достоверность численной реализации полученного точного решения первой граничной задачи теории упругости для многослойного основания.

Разработан приближённый способ решения контактных задач для упругого многослойного основания о действии на него штампа с произвольной, не обязательно выпуклой, формой подошвы. Математическая модель поставленной задачи сведена к решению нелинейного интегрального операторного уравнения. Показана некорректность по А.Н. Тихонову пространственной контактной задачи. Предложен регуляризированный аналог интегрального уравнения контактной задачи. Доказана единственность его решения и сходимость этого решения к решению исходного интегрального уравнения при стремлении к нулю параметра регуляризации. Разработана схема дискретизации регуляризированного уравнения. Для решения полученной в результате дискретизации системы линейных алгебраических уравнений применен итерационный метод типа Зейделя, сходимость которого также доказана.

Предложенный способ позволяет определять с высокой точностью как контактные напряжения, так и область контакта гладкого штампа с основанием в случае односторонних связей между штампом и основанием.

Установлены условия, при которых штамп с плоской подошвой может иметь неполный контакт с основанием, в которое он поступательно вдавливается. Решены конкретные пространственные контактные задачи о неполном контакте плоского штампа с основанием. На примере штампа с подошвой в форме квадрата выяснено, как влияют параметры основания (толщины слоёв, модули упругости их материалов) на форму области отставания поверхности основания от подошвы штампа. Описана методика определения напряжений и перемещений в слоях многослойного основания, на которое действует штамп.

Ключевые слова: пространственные контактные задачи, многослойное основание, преобразование Ханкеля, метод функций податливости, область контакта, явление отставания.

Підписано до друку 13.12.2004 р. Формат 60х84х1/32. Папір офсетний.

Умовн. друк. арк. 1,1. Наклад 100 прим.

Замовлення №1285К.

Віддруковано друкарнею

Запорізької державної інженерної академії

з комп'ютерного оригінал-макету

69006, м. Запоріжжя, пр. Леніна, 226

РВВ ЗДІА, тел. 601-240