Національна Академія наук України
Інститут математики

Островський Василь Львович

УДК 517.98

ЗОБРАЖЕННЯ ОПЕРАТОРНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ

01.01.01 -- математичний аналіз

А в т о р е ф е р а т
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук

Київ -- 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий консультант: доктор фіз.-мат. наук, професор

член-кор. НАН України

Самойленко Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фіз.-мат. наук, професор

Антоневич Анатолій Борисович,

Білоруський державний університет

(м. Мінськ),

професор кафедри функціонального аналізу;

доктор фіз.-мат. наук, доцент

Богданський Юрій Вікторович,

Навчально-науковий комплекс

``Інститут прикладного системного аналізу''

при НТУУ ``КПІ'', професор;

доктор фіз.-мат. наук, професор

Клімик Анатолій Улянович,

Інститут теоретичної фізики

ім. М.М.Боголюбова НАН України,

завідувач відділу математичних методів

в теоретичній фізиці.

Провідна установа: Фізико-технічний інститут низьких температур

ім.Б.І.Вєркіна НАН України (м. Харків),

математичне відділення.

Захист відбудеться “28” грудня 2004 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .206.01 Інституту математики НАН України за адресою 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці інституту.

Автореферат розісланий “29 жовтня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нехай -- сепарабельний комплексний гільбертів простір (скінченновимірний або нескінченновимірний), -- самоспряжений оператор в . Класична спектральна теорема дає опис структури з точністю до унітарної еквівалентності: у випадку дискретного спектра оператор є прямою сумою операторів множення на дійсні числа в одновимірному просторі, у випадку неперервного спектра аналогічний опис має форму спектрального інтеграла.

Проте вже для пари самоспряжених операторів подібний опис відсутній. Більш того, задача унітарної класифікації пар обмежених самоспряжених операторів використовується як еталон складності (є -дикою). У випадку трьох та більшої кількості операторів задача унітарного опису набору є не менш складною.

Разом з тим, пара (або набір) комутуючих самоспряжених операторів може бути описаний за допомогою спектральної теореми, аналогічної випадку одного оператора. Основні результати про спектральні розклади самоспряжених операторів одержані в 30-60-х роках минулого сторіччя та пов'язані з іменами Дж. фон Неймана, М. Г. Крейна, І. М. Гельфанда, Ю. М. Березанського, А. Г. Костюченка та ін.

Вивчення симетрій при дослідженні моделей математичної фізики стимулювало детальне вивчення в 40-70-х роках наборів обмежених та необмежених самоспряжених операторів, що утворюють зображення базисів дійсних алгебр Лі та унітарні зображення відповідних груп Лі (Г. Вейль, Дж. фон Нейман, І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, Е. Картан та ін.)

Починаючи з 70-х років минулого сторіччя почали активно досліджувати алгебраїчні об'єкти, які узагальнюють алгебри Лі -- нескінченновимірні, квантові, деформовані алгебри Лі, -алгебри з віківським впорядкуванням тощо, та їх зображення обмеженими та необмеженими операторами (Г. І. Кац, А. М. Вершик, С. Л. Воронович, В. Г. Дрінфельд та ін.). При цьому зручно користуватись поняттями та методами теорії зображень: виділення та опис найпростіших (незвідних) наборів, та опис загальних наборів у вигляді прямих сум або прямих інтегралів незвідних.

Природною є задача опису наборів операторів, які пов'язані співвідношеннями того чи іншого вигляду, і виділення класів алгебраїчних співвідношень, для яких можливе отримання структурних теорем. Набори самоспряжених операторів, які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями, виникають в різних галузях аналізу, алгебри, в моделях теоретичної фізики тощо.

Дисертаційна робота присвячена вивченню наборів самоспряжених операторів, які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями. Зокрема, вивчаються класи операторних співвідношень, пов'язаних з дією динамічної системи на спектрі певної комутативної сім'ї самоспряжених операторів, та розроблено техніку опису їх зображень. Ця техніка надалі застосовується для опису прикладів та класів прикладів операторних співвідношень, які важливі з точки зору застосувань.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що складають основу дисертації, проводились у відділі функціонального аналізу Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідної теми ``Спектральна теорія операторів та її застосування'', номер державної реєстрації 0101U000321.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів вивчення структури наборів операторів у сепарабельному гільбертовому просторі, які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями та застосування одержаних методів до опису структури конкретних прикладів та класів сімей операторів.

Об'єктом дослідження є набори операторів, які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями.

Предметом дослідження є класи операторних співвідношень, які пов'язані з динамічними системами, а також важливі з точки зору застосувань приклади таких операторних співвідношень та зображення відповідних -алгебр обмеженими та необмеженими операторами.

При вивченні структури наборів самоспряжених операторів використовуються поняття та методи теорії зображень -алгебр. Для вивчення певних класів таких наборів розроблено техніку досліджень, що узагальнює розроблену Дж.Макі техніку вивчення зображень напівпрямих добутків груп, та -алгебр, які мають структуру схрещеного добутку. Ця техніка створена на основі розкладів за узагальненими власними векторами наборів комутуючих самоспряжених операторів та спектральної теорії. При дослідженні носіїв спектральних мір комутуючих наборів використовуються поняття та факти з теорії динамічних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації одержані наступні нові результати:

-- наведено класифікацію квадратичних -алгебр з двома твірними та описано структуру пар самоспряжених операторів, що пов'язані невиродженим квадратичним співвідношенням;

-- для класу співвідношень, які пов'язані з дією динамічної системи на спектрі самоспряженого оператора, доведено теореми, що дозволяють одержувати опис незвідних зображень таких співвідношень;

-- доведено теореми, які дають опис незвідних зображень для класів операторних співвідношень, що пов'язані з дією багатовимірної динамічної системи на сумісному спектрі комутативної сім'ї самоспряжених операторів; одержані теореми застосовано до опису зображень конкретних прикладів інволютивних алгебр: класу квадратичних алгебр з трьома твірними, градуйованих аналогів алгебри , зображень нестандартної тривимірної сфери, зображень Гейзенберга для квантової групи тощо;

-- виділено клас інтегровних зображень співвідношення та побудовано для них комутативну модель;

-- введено клас центрованих однопараметричних напівгруп та вивчено їх властивості, встановлено зв'язок між центрованими однопараметричними напівгрупами та зображеннями подвійних комутаторів;

-- доведено загальні теореми про вигляд та властивості комутативних моделей для широкого класу операторних співвідношень;

-- побудовано явний вигляд комутативної моделі для зображень алгебр Кунца та застосовано її до побудови і вивченння конкретних прикладів та класів зображень алгебр Кунца, зокрема, наведено явні формули для зображень типу ІІІ, які пов'язані з КМШ-станом на алгебрі Кунца.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи мають теоретичний характер. Вони можуть застосовуватись для вивчення структури наборів операторів, які виникають при вивченні зображень -алгебр, математичних моделей теоретичної фізики тощо.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором особисто та самостійно. З результатів робіт, виконаних у співавторстві, на захист виносяться лише положення, які одержані автором дисертації особисто.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідались на наукових семінарах в Інституті математики НАН України, Інституті теоретичної фізики НАН України, Київському Національному університеті ім. Т.Шевченка, університетах м. Лейпціг (Німеччина), Гетеборг (Швеція), Осло (Норвегія), Лодзь (Польща), багатьох міжнародних конференціях та школах (NATO ASI on Operator Algebras and Applications (Греція, 1996), Great Plains Operator Theory Symposium (США, 1998), Український математичний конгрес (Київ, 2001), -algebras, Lie algebras and related topics (Київ, 2003), Representation theory and its applications (Швеція, 2004), Кримські осінні математичні школи зі спектральних та еволюційних задач, та ін.), відомі фахівцям з функціонального аналізу, спектральної теорії операторів, теорії зображень та її застосувань.

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 1 монографії [1], 19 статтях [2-20], які опубліковані в фахових виданнях, серед них 4 роботи без співавторів, а також у роботах [21-24]. На захист виносяться лише ті результати спільних робіт, що отримані автором особисто і самостійно.

Структура та обсяг роботи. Робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку цитованої літератури (122 назви), основний зміст викладено на 275 стор., повний обсяг дисертації складає 290 стор. тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Дисертаційна робота присвячена вивченню наборів самоспряжених операторів, які пов'язані алгебраїчними співвідношеннями.

В першому розділі розглянуті пари і самоспряжених операторів (обмежених або необмежених), що є розв'язками рівняння

()

де , , , , , а -- комутатор, -- антикомутатор операторів і .

Твердження 1 (1.1.2)  За допомогою невироджених афінних замін змінних з дійсними коефіцієнтами рівняння () може бути зведене до однієї з наступних форм, поданих в таблиці 

Надалі всі співвідношення розбиваються на вироджені , , , , , , (для яких або не існує розв'язків, або вони тривіальні, або можуть бути одержані зі спектральної теореми для одного самоспряженого оператора), дикі співвідношення , (структура розв'язків надзвичайно складна), -співвідношення , , (для них існують тільки одно- та двовимірні незвідні зображення), алгебри Лі та їх нелінійні перетворення , , , , , , , та -співвідношення , , , (ці співвідношення залежать від дійсного параметра ). Для кожної з цих груп співвідношень досліджуються структурні питання.

У розділі 1.2 наведені відомі означення дикості та факти про комутуючі та антикомутуючі пари самоспряжених операторів, на яких продемонстрована схема дослідження інших співвідношень.

У розділі 1.3 розглянута структура пар самоспряжених операторів, які пов'язані співвідношенням (некомутативне коло) або (некомутативна гіпербола). Зауважимо, що зображення співвідношення містять як частковий приклад співвідношення канонічних антикомутаційних співвідношень. В -алгебрах, породжених співвідношенням або виконується стандартна поліноміальна тотожність , тобто для довільних елементів , , , алгебри виконується тотожність

Структура розв'язків таких співвідношень описується наступними теоремами.

Теорема 1 (1.3.3)  Незвідні пари самоспряжених операторів, пов'язаних співвідношенням з точністю до унітарної еквівалентності мають вигляд:

1) коло операторів в одновимірному просторі: , , .

2) двовимірні пари: , що параметризуються числами та .

Теорема 2 (1.3.4)  Незвідні пари обмежених самоспряжених операторів , , що задовольняють співвідношення , з точністю до унітарної еквівалентності мають вигляд:

1)

одновимірні , ( ), де ;

2)

двовимірні:

де .

Для необмежених операторів, що задовольняють , приймемо таке означення.

Означення 1 (1.3.6)  Необмежені самоспряжені оператори , задовольняють співвідношення , якщо існує щільна в інваріантна відносно , лінійна множина така, що для всіх .

Теорема 3 (1.3.7)  Для того, щоб оператори , задовольняли співвідношення , необхідно і достатньо, щоб існували й антикомутували самоспряжені оператори , .

З теореми Клейнеке-Широкова випливає, що обмежені оператори, що задовольняють одному зі співвідношень -, комутують.

Співвідношення можна переписати в термінах співвідношень для однопараметричних груп в формі Г.Вейля .

Теорема Дж. фон Неймана стверджує, що зображення Гейзенберга -- це єдине незвідне інтегровне зображення CCR.

Зображення співвідношень -- це не що інше, як зображення алгебри Лі групи Лі афінних перетворень прямої. Клас інтегровних зображень співпадає з класом інфінітезимальних зображень, які породжені унітарними зображеннями групи Лі афінних перетворень прямої. Незвідні унітарні зображення цієї групи описані І.М.Гельфандом та М.А.Наймарком.

Співвідношення , , (так само, як і ліївські співвідношення , , ) є окремими випадками співвідношення вигляду

()

де -- дійсний квадратичний поліном.

Означення 2 (1.4.13)  Назвемо інтегровними пари самоспряжених необмежених операторів, які задовольняють (), і для яких виконані співвідношення

де визначається формулою

()

-- така гілка оберненої функції, для якої і -- група взаємно однозначних відображень розширеної прямої .

Нижче наведений список незвідних інтегровних пар операторів , , які задовольняють кожне зі співвідношень , , .

. Динамічна система, породжена відображенням ,
, має дві орбіти: одноточкова орбіта і . Одноточковій орбіті відповідає сім'я одновимірних незвідних пар: , . На група діє вільно, орбіті відповідає єдина незвідна інтегровна пара самоспряжених операторів у просторі : , (оператори визначені на звичних областях).

. Динамічна система, породжена відображенням , , не має нерухомих точок (поліном не має дійсних коренів). Періодичній орбіті відповідає сім'я незвідних інтегровних пар самоспряжених операторів у просторі , які параметризовані числом : , , де оператор визначений на звичній області, а містить абсолютно неперервні функції, що задовольняють крайову умову . Тут різним значенням відповідають різні самоспряжені розширення симетричного оператора з областю визначення .

. Динамічна система , , має дві нерухомі точки і (корені полінома ), яким відповідають одновимірні незвідні інтегровні пари , , а також має ще дві орбіти: і , на яких вільно діє і яким відповідають пари необмежених самоспряжених операторів у : , (відповідає орбіті ) і , (відповідає орбіті ). Оператори задані на звичних областях.

Твердження 2 (1.5.1)  Якщо обмежені самоспряжені оператори і зв'язані співвідношенням , то .

При вивченні необмежених пар операторів, що задовольняють () ми вважатимемо інтегровними такі пари , , що для операторів полярного розкладу виконуються співвідношення

()

Наведемо опис незвідних зображень. Оскільки , при не існує нетривіальних зображень. Нехай ( ).

Твердження 3 (1.5.2)  Довільне нетривіальне незвідне зображення () з точністю до унітарної еквівалентності реалізується у і має вигляд , , для деякого .

Аналогічно, співвідношення (-осцилятор) перепишемо у вигляді

()

і визначимо клас інтегровних зображень наступним чином.

Означення 3 (1.5.4)  Будемо казати, що пара , , пов'язана співвідношенням (), інтегровна, якщо , де -- полярний розклад оператора , -- розклад одиниці оператора .

Твердження 4 (1.5.5)  Нехай . Незвідне інтегровне зображення співвідношення () унітарно еквівалентне одному з наступних зображень

1. Одновимірні зображення , що залежать від параметра ;

2. Нескінченновимірне зображення у просторі (фоківське зображення), що має вигляд , ;

3. Серія нескінченновимірних зображень у просторі , що мають вигляд , , які залежать від параметра .

Співвідношення , за своїм виглядом нагадують та , проте істотно відрізняються від них за структурою.

Для обмежених самоспряжених операторів, що задовольняють співвідношення , незвідні пари одновимірні: , , .

Аналогічно, для обмежених самоспряжених операторів, що задовольняють , незвідні зображення одновимірні.

Для необмежених самоспряжених операторів клас нетривіальних інтегровних зображень співвідношень , введений та описаний К.Шмюдгеном.

Другий розділ присвячений вивченню пар (взагалі кажучи, необмежених) операторів , , які задовольняють співвідношення вигляду

()

де -- самоспряжений, а -- обмежений або замкнений необмежений оператор, -- вимірне відображення.

Клас інтегровних зображень співвідношення () виділяється наступним чином.

Означення 4 ()  Будемо казати, що пара необмежених операторів , , де самоспряжений, -- замкнутий, є інтегровним зображенням співвідношення () (або інтегровною парою, що задовольняє ()), якщо виконується співвідношення для всіх , де -- щільна множина, що входить до областей визначення операторів , , , , та

(i) інваріантна відносно дії , , , ;

(ii) є базою операторів , ;

(iii) складається з аналітичних векторів операторів , .

Теорема 4 (2.1.2)  Нехай для щільної множини виконуються умови (i), (ii), (iii). Наступні умови еквівалентні:

1. для всіх ;

2. для всіх , ;

3. для всіх , .

Розглянемо полярний розклад та позначимо через проектор на початковий простір часткової ізометрії , .

Теорема 5 (2.1.3)  Співвідношення () для операторів , еквівалентні співвідношенням

()

Задача опису пар операторів , , що задовольняють умову (), у загальному випадку може виявитись надто складною. Проте у випадку, коли оператори , самоспряжені, в роботі описано всі незвідні пари таких операторів та подано довільну пару у вигляді спектрального інтеграла незвідних.

Властивості зображень співвідношення

()

між самоспряженим оператором та унітарним оператором залежать від властивостей динамічної системи на спектрі оператора .

Теорема 6 ()  Якщо взаємно однозначна динамічна система має вимірний переріз, то кожне нескінченновимірне незвідне зображення співвідношення () унітарно еквівалентне зображенню: , , , де , , -- довільна послідовність чисел, для якої , . Два зображення такого вигляду унітарно еквівалентні тоді і лише тоді, коли множини співпадають.

Наступна теорема підкреслює важливість умови центрованості оператора при вивченні зображень співвідношення ().

Теорема 7 (2.4.2)  Якщо оператор центрований і динамічна система
є взаємно однозначною і простою, причому діє вільно, то спектр оператора в незвідному зображенні простий. Пара , унітарно еквівалентна парі вигляду

де для останньої пари -- деяке число, а -- довільна послідовність дійсних чисел така, що для всіх , ; -- довільні додатні числа.

Теорема 8 ()  Нехай пара , де оператор самоспряжений, а центрований, задовольняє () і є незвідною. Якщо один з операторів , має ненульове ядро, то пара незвідна, тобто довільний обмежений оператор, що комутує як з так і з , кратний одиничному.

У випадку виродженого оператора всі незвідні зображення можуть бути описані з точністю до унітарної еквівалентності незалежно від структури динамічної системи за формулами ().

Теорема 9 ()  Нехай оператори та , де самоспряжений, а центрований, утворюють незвідне зображення співвідношення (). Якщо хоч один з операторів , має ненульове ядро, то пара , унітарно еквівалентна одній з пар вигляду:

(i) зображення в просторі : , , , що відповідають випадку , ;

(ii) зображення в просторі : , , , що відповідають випадку , ;

(iii) скінченновимірні зображення: , , , , що відповідають випадку , ;

Тут -- довільна послідовність дійсних чисел така, що для всіх , ; -- довільні додатні числа. Набір та область зміни однозначно визначають незвідне зображення з точністю до еквівалентності.

Доведені результати застосовуються до дослідження структури операторів , для яких

()

де -- вимірне відносно борелівської -алгебри відображення.

Означення 5 ()  Будемо казати, що необмежений замкнений оператор задовольняє співвідношення (), якщо для компонент полярного розкладу , , виконується співвідношення для всіх борелівських множин . Тут -- розклад одиниці оператора і позначає повний прообраз (більш точно, повний прообраз ).

Твердження 5 ()  Обмежений оператор , що задовольняє () центрований. Якщо пара операторів, самоспряжений оператор та часткова ізометрія , для яких , , задовольняють співвідношення (), то -- центрована часткова ізометрія.

Структура незвідних пар , операторів в скінченновимірному просторі, що пов'язані співвідношеннями () з точністю до унітарної еквівалентності, описана наступною теоремою.

Теорема 10 ()  Кожен цикл періоду , для якого та для всіх інших точок , визначає сім'ю -вимірних зображень співвідношення):

()

де , при або ж єдине зображення при .

Такий вигляд мають всі, з точністю до унітарної еквівалентності, різні незвідні зображення співвідношення () в скінченновимірному просторі.

Для нескінченновимірних зображень маємо наступні факти.

Теорема 11 ()  Кожне незвідне нескінченновимірне зображення співвідношення), для якого , є одним із наступних:

(i)

нескінченновимірне зображення в просторі за формулами: , , , ,..., , (фоківське зображення),

(ii)

нескінченновимірне зображення в просторі  за формулами: , , ,..., , , (антифоківське зображення).

Теорема 12 (2.5.13)  Нехай оператор оборотний, і нехай динамічна система має вимірний переріз. Довільне нескінченновимірне зображення співвідношення () унітарно еквівалентне зображенню , , де , , -- довільна послідовність додатних чисел така, що , . Два зображення такого вигляду унітарно еквівалентні тоді і тільки тоді, коли співпадають відповідні послідовності.

У випадку, коли відображення не є взаємно однозначним, структура зображень визначаються властивостями оператора в полярному розкладі оператора .

Випадок унітарного оператора зводиться до випадку операторних співвідношень із взаємно однозначною динамічною системою, але вже не на прямій, а на спільному спектрі комутативної сім'ї операторів , .

Для неунітарного випадку маємо такі результати.

Теорема 13 (2.6.3)  Нехай у відображення існує точка , для якої множина містить принаймні три точки. Тоді задача опису зображень співвідношення з самоспряженим оператором та центрованою ізометрією дика.

Наведемо додаткові умови, які дають можливість одержати опис незвідних зображень, аналогічний наведеному в теоремі .

Теорема 14 ()  Нехай , -- незвідне зображення співвідношення), де -- неунітарна центрована часткова ізометрія, і нехай -- власний підпростір оператора . Тоді довільне незвідне зображення має вигляд, описаний в теоремі .

Умова теореми виконується, зокрема, якщо . Цей випадок містить клас співвідношень .

Далі одержані результати застосовуються до вивчення зображень прикладів більш складних співвідношень.

Розглянуто алгебру з трьома твірними , , , які пов'язані співвідношеннями , , , де , , , , а -- поліном другого порядку від з інволюцією , .

Вивчення незвідних зображень введених алгебр зводиться до опису операторів , , які задовольняють співвідношення

()

Динамічна система, яка виникає при вивченні цих співвідношень, має вимірний переріз

Теорема 15 (2.7.1)  Незвідні зображення операторів , , пов'язаних співвідношенням (), що відповідають орбіті , , задаються однією з послідовностей:

(a)

нескінченними послідовностями , , для яких виконується рекурсивне співвідношення

()

для всіх (як правило, зображення такого вигляду залежать від неперервного параметра );

(b)

нескінченними послідовностями , , для деякого , для яких і , , при виконанні співвідношення () для всіх (зображення з молодшою вагою);

(c)

нескінченними послідовностями , для деякого , для яких і , , при виконанні співвідношення () для всіх (зображення зі старшою вагою);

(d)

скінченними послідовностями , для деяких та , для яких і при , при виконанні співвідношення () для всіх (скінченновимірні зображення).

В серії (a) зображення необмежені. В серіях (b) та (c) вони можуть бути обмеженими або необмеженими. Крім перелічених, можуть також виникати одновимірні зображення , , та зображення, що відповідають нульовій орбіті.

Вивчаються зображення дійсних структур в -градуйованому аналозі алгебри Лі . Показано, що існує три дійсні форми, і описано їх незвідні зображення. Показано, що у ``компактної'' дійсної форми (аналог алгебри Лі ) існують лише скінченновимірні незвідні зображення, у алгебри (аналог алгебри Лі ) зображення необмежені і залежать від неперервних параметрів, а дійсна форма має лише одновимірні зображення.

Розглянемо асоціативну алгебру з трьома твірними , , та співвідношеннями , , .

Твердження 6 (2.8.1)  В алгебрі існують три нееквівалентні дійсні структури: 1. , , , ; 2. , , ; 3. , .

Квадратичну асоціативну алгебру з -ю інволюцією надалі позначатимемо , , , .

В алгебрах виберемо самоспряжені твірні таким чином: у всіх , -- в та і -- в , нарешті, -- в і -- в та .

Теорема 16 (2.8.10)  Незвідні зображення алгебри скінченновимірні.
У власному базисі вони реалізуються за формулами

де , , а для та можливі такі ситуації:

1. , , , ,...; , ,..., ;

2. , , ,...; , ,..., ; ;

3. , , ,...; , ,..., ; .

Теорема 17 (2.8.11)  Алгебра має нетривіальні незвідні зображення лише необмеженими операторами. Незвідні -зображення визначаються параметрами та , причому при або при , або при , , , парі відповідає два нееквівалентні незвідні зображення, при інших вказаних значеннях параметрів парі відповідає єдине незвідне зображення. Оператори зображення діють за формулами

де , , і

1) при для , для , , для , ;

2) при для або , для або , для або , при цьому в просторі, натягнутому на діє тривіальне зображення;

3) при , , , або , при , обидві ситуації реалізуються одночасно.

Теорема 18 (2.8.12)  Незвідні зображення алгебри одновимірні та мають вигляд: , , або ж .

Другий розділ закінчується вивченням зображень -алгебри з самоспряженими твірними , , та співвідношеннями , , , , що еквівалентно вивченню структури пар самоспряжених операторів , , спектр яких міститься в і для яких .

Теорема 19 (2.9.4)  Наступні пари операторів утворюють зображення алгебри :     

де , , , .

При зображення розкладається в пряму суму чотирьох одновимірних зображень, , та , .

При , зображення розкладається в пряму суму двох одновимірних зображень та одного двовимірного зображення , , для якого .

При зображення розкладається в пряму суму двох незвідних двовимірних зображень, , , для нього , , та , , з , .

Для всіх інших значень параметрів , , зображення незвідне, причому .

Довільне незвідне зображення алгебри унітарно еквівалентне одному з наведених вище.

В третьому розділі теореми із другого розділу узагальнюються на випадок наборів операторів, співвідношення між якими породжують дію багатовимірної динамічної системи на спектрі деякої комутативної сім'ї самоспряжених операторів.

Розглянемо комутативну сім'ю самоспряжених операторів та сім'ю центрованих часткових ізометрій, які пов'язані співвідношеннями вигляду   

()  

де -- вимірні функції, а -- функція від комутативної сім'ї операторів . Будемо казати, що необмежені оператори пов'язані з операторами співвідношеннями (), якщо для будь-якого , де -- спільний розклад одиниці комутативної сім'ї самоспряжених операторів , і , , -- вимірні відображення , взаємно однозначні на спільному спектрі сім'ї .

Надалі істотну роль гратиме динамічна система, породжена набором відображень , . Надалі будемо вважати, що жодне з відображень не має циклів.

Теорема 20 ()  Нехай динамічна система на , породжена набором відображень , , має вимірний переріз (``проста''). Тоді для кожного незвідного набору операторів

існує (єдина) орбіта динамічної системи повної спектральної міри:

якщо , то спектральна міра сім'ї квазіінваріантна відносно перетворень , у випадку унітарного оператора має місце також квазіінваріантність відносно відображення

спільний спектр сім'ї простий.

Теорема 21 ()  Незвідний набір операторів може бути реалізований в просторі , -- деяка підмножина орбіти (у випадку унітарних операторів ) за формулами

()

де -- набір констант, що визначають дію операторів . Якщо для деякого і всіх для будь-якого , такого, що , та для кожного такого, що , то -- інваріантний підпростір в . Якщо ж додатково для всіх , то в набір операторів незвідний.

Наступний клас співвідношень є багатовимірним узагальненням співвідношення . Розглянемо клас інволютивних алгебр, заданих твірними для яких виконуються співвідношення вигляду

()

де -- вимірне взаємно однозначне відображення простору , , , .

Нехай , , -- полярний розклад (замкненого) оператора .

Лема 1 ()  Нехай оператори , , обмежені. Тоді для операторів співвідношення () еквівалентні співвідношенням   

()

де

Крім цього, і для всіх , .

Співвідношення () (включаючи комутацію операторів ), що є окремим випадком співвідношень (), приймемо за означення співвідношень при розгляді необмежених операторів.

Динамічна система на просторі породжується відображеннями

Теорема 22 ()  Довільне незвідне зображення співвідношень) може бути реалізоване у просторі . Для кожного можлива одна з ситуацій:

а) у відображення існує нерухома точка (у цьому випадку всі інші точки орбіти теж нерухомі для цього відображення). При ; в протилежному випадку оператор має вигляд , де -- параметр, модуль якого дорівнює одиниці;

б) у відображення відсутні нерухомі точки. У цьому випадку оператор має вигляд При цьому ядро оператора породжується векторами такими, що ; ядро породжується векторами , для яких .

Далі одержані результати застосовані до опису конкретних прикладів -алгебр.

Алгеброю функцій на нестандартній тривимірній дійсній квантовій сфері називається асоціативна -алгебра над полем комплексних чисел, породжена твірними , , , , та , для яких виконуються співвідношення   

()  

елемент належить центру, а інволюція має вигляд , , , .

В дисертації наведено перелік орбіт, відповідних множин та відповідних незвідних зображень.

Інший приклад співвідношень, які пов'язані з багатовимірною динамічною системою, -- -зображення інволютивної алгебри , породженої співвідношеннями Гейзенберга для квантового аналога групи рухів площини. Ці співвідношення мають вигляд: , , , , .

У просторі введемо оператори: , , , .

Теорема 23 ()  Незвідні інтегровні -зображення алгебри з точністю до унітарної еквівалентності мають вигляд:

зображення в просторі : , , , ;

зображення в : , , , , де , , .

У четвертому розділі досліджуються приклади операторних співвідношень, пов'язаних з неперервними динамічними системами.

Розглянемо зображення -алгебри, породженої парою самоспряжених твірних , , пов'язаних співвідношенням

()

За теоремою Клейнеке-Широкова для обмеженого оператора ми завжди матимемо .

Означення 6 ()  Будемо казати, що пара операторів , є зображенням співвідношення (), якщо самоспряжений і виконуються такі співвідношення між обмеженими операторами: ,
для всіх , , . Тут та далі -- розклад одиниці оператора , -- сильно неперервна напівгрупа часткових ізометрій.

Для зображень співвідношення () має місце аналог розкладу Вольда.

Твердження 7 ()  Простір можна розкласти в пряму суму інваріантних підпросторів

так, що в оператори , , унітарні, в вони є цілком неунітарними ізометріями, в вони є спряженими до цілком неунітарних ізометрій, а в виконуються умови , , сильно.

Спочатку розглянемо випадок унітарних операторів (підпростір ).

Теорема 24 ()  Нехай , -- незвідна пара самоспряжених операторів, пов'язаних співвідношенням (). Тоді вона унітарно еквівалентна парі в гільбертовому просторі яка визначається формулами , , де -- деякий гільбертів простір, -- множина всіх функцій на , -- ймовірнісна міра на -алгебрі циліндричних множин, квазіінваріантна та ергодична відносно перетворень , ; , -- вимірна унітарна операторнозначна функція.

Кожній орбіті дії в відповідає єдина, з точністю до еквівалентності, (квазі)інваріантна міра, зосереджена на орбіті. Розглянемо клас таких мір та відповідних незвідних зображень.

Теорема 25 ()  Довільне зображення в , що відповідає орбіті, унітарно еквівалентне одному з наступних:

(i) зображення в просторі (відповідають вільній дії): , ; тут -- вимірна майже скрізь скінченна неперіодична функція; оператори означені на звичних областях;

(ii) Зображення в просторі (відповідають періодичній дії): , ; тут -- вимірна майже скрізь скінченна функція ; оператор означений на звичній області, а область означення оператора складається з абсолютно неперервних функцій на , що задовольняють граничним умовам , ; зауважимо, що у цьому випадку виникає однопараметрична сім'я незвідних зображень, що відповідають функції , параметризованих ;

(iii) зображення в (відповідають нерухомій точці): , , де , -- дійсні числа.

Зауважимо, що крім вказаних зображень, існує велика кількість незвідних зображень, що відповідають ергодичним мірам на , які не зосереджені на жодній орбіті. Задача опису таких зображень є дуже складною.

У випадках , або , виникають лише незвідні зображення, подібні до зображень (i) в теоремі .

Теорема 26 ()  Кожне незвідне зображення співвідношення () в , або діє в просторі , , з деяким відповідно за формулами , , де -- вимірна майже скрізь скінченна функція, оператор означений на звичній області, а область означення оператора складається з абсолютно неперервних функцій , похідна яких лежить в , і для них виконуються граничні умови: для , граничні умови відсутні для , та і відсутність умови в точці для .

Спроба узагальнити операторне співвідношення або більш загального поняття центрованого оператора на неперервний випадок приводить до поняття центрованої однопараметричної напівгрупи.

Означення 7 ()  Нехай , , -- сильно неперервна напівгрупа операторів в гільбертовому просторі . Будемо казати, що напівгрупа центрована, якщо оператори , , , утворюють комутативну сім'ю.

Нехай , , -- сильно неперервна однопараметрична напівгрупа в гільбертовому просторі . Для довільного розглянемо полярний розклад , де -- невід'ємний самоспряжений оператор, -- часткова ізометрія, причому .

Теорема 27 ()  Нехай , , -- сильно неперервна напівгрупа, -- полярний розклад. Напівгрупа центрована тоді і лише тоді, коли , , є напівгрупою.

Лема 2 ()  Будь-яка однопараметрична напівгрупа часткових ізометрій центрована.

Для довільної однопараметричної напівгрупи часткових ізометрій існує розклад на стандартні компоненти (розклад Вольда).

Твердження 8 ()  Нехай -- сильно неперервна напівгрупа часткових ізометрій в гільбертовому просторі . Тоді можна розкласти в ортогональну пряму суму інваріантних відносно , , , підпросторів, таким чином, що:

в підпросторі напівгрупа , , унітарна, тобто всі оператори унітарні;

в підпросторі напівгрупа , , є напівгрупою цілком неунітарних ізометрій;

в підпросторі напівгрупа , , є напівгрупою цілком неунітарних ізометрій;

в підпросторі напівгрупа , , є напівгрупою часткових ізометрій, для якої , , в сильному сенсі.

Структура однопараметричних напівгруп часткових ізометрій в описується наступними твердженнями.

Теорема 28 ()  Довільна незвідна сильно неперервна однопараметрична напівгрупа часткових ізометрій в унітарно еквівалентна напівгрупі в з деяким : .

Теорема 29 ()  Нехай , , -- сильно неперервна напівгрупа цілком неізометричних часткових ізометрій. Напівгрупа унітарно еквівалентна прямому інтегралу

Розглянемо центровані напівгрупи в .

Теорема 30 ()  Для довільної сильно неперервної центрованої однопараметричної напівгрупи в існує розклад простору в прямий інтеграл де такий, що

де . Спектральна міра квазіінваріантна відносно перетворень , , -- нормуючий множник, -- сильно неперервна за унітарна операторнозначна функція, що задовольняє умови . Для довільного для -майже всіх .

Тепер розглянемо структуру центрованих напівгруп у просторах , , .

Теорема 31 ()  Довільна центрована напівгрупа в , або унітарно еквівалентна до однієї з напівгруп       

відповідно в просторі , , , де  обмежена вимірна функція така, що , .

Властивості центрованих напівгруп дуже подібні до властивостей зображень подвійного комутатора. Між цими об'єктами встановлено безпосередній зв'язок, який дозволяє розглядати зображення подвійного комутатора як інфінітезимальну версію центрованої напівгрупи.

П'ятий розділ присвячений побудові та вивченню властивостей комутативних моделей для операторів, що діють на спектрі деякої комутативної сім'ї.

Комутативні моделі побудовані для комутативної сім'ї (обмежених або необмежених) самоспряжених операторів, що пов'язані з (взагалі кажучи, необмеженим замкнутим) оператором співвідношеннями вигляду

()

Тут , , -- вимірні відносно циліндричної -алгебри на відображення, які визначають відображення , вимірне відносно циліндричної -алгебри .

Означення 8 ()  Будемо казати, що оператори , , та пов'язані співвідношеннями (), якщо на деякій щільній в області , інваріантній відносно , , , , виконуються співвідношення для всіх , .

Спочатку розглянемо випадок унітарного оператора та сім'ї самоспряжених операторів , для яких виконуються співвідношення , де відображення вимірне та взаємно однозначне на спектрі .

Теорема 32 ()  Нехай комутативна сім'я самоспряжених операторів та унітарний оператор пов'язані співвідношеннями з вимірним відносно циліндричної -алгебри відображенням взаємно однозначним на спільному спектрі . Простір однозначно розкладається в пряму суму інваріантних підпросторів; кожен простір унітарно еквівалентний таким чином, що -- ймовірнісна -квазіінваріантна міра, , ..., , і оператори в діють за формулами:   

()

де -- вектор-функція в , функції -- похідні Радона-Нікодима, -- слабко вимірні відображення зі значеннями в унітарних операторах в .

У загальному випадку для побудови комутативної моделі використовується техніка розкладів за узагальненими власними векторами комутативних сімей самоспряжених операторів.

Теорема 33 ()  Нехай існує ядерне оснащення , стандартно пов'язане з операторами , , , , . Нехай для операторів , виконується співвідношення у сенсі означення . Тоді в просторі Фур'є-образів комутативної сім'ї для оператор має вигляд   

()

Тут , міра абсолютно неперервна відносно міри , -- слабко вимірна операторнозначна функція .

Якщо оператор оборотний як оператор , то для -майже всіх функція розмірності інваріантна, . Якщо оператор обмежений, зображення () має місце для всіх , при цьому оператор-функція істотно обмежена. Якщо оператор унітарний, то значення при -майже всіх унітарні оператори.

Твердження 9 ()  Якщо зображення () незвідне, то міра ергодична, а функція розмірності є сталою -майже скрізь. Якщо оператор оборотний, міра ергодична і -майже скрізь, (тобто ), то зображення незвідне.

Два зображення, що відповідають мірі , функції кратності та мультиплікатору , і відповідній трійці , , та унітарно еквівалентні тоді і лише тоді, коли міри та еквівалентні (мають ті ж множини нульової міри), функції кратності співпадають -майже скрізь, і мультиплікатори еквівалентні в такому сенсі: існує вимірна унітарна операторнозначна функція така, що для -майже всіх .

Теорема про комутативні моделі застосована до вивчення структури центрованих операторів.

Твердження 10 ()  Нехай -- центрований оператор в гільбертовому просторі . Простір однозначно розкладається в пряму суму двох інваріантних відносно та підпросторів таких, що
в , та породжується .

Вироджені зображення з простору можуть бути описані з точністю до унітарної еквівалентності. Структура зображень в більш складна і для них ми побудуємо комутативну модель.

Теорема 34 ()  Нехай -- центрований оператор в . Тоді його можна реалізувати в просторі за формулою

()

де відображення має вигляд     

-- -квазіінваріантна ймовірнісна міра, розмірність просторів інваріантна відносно і -- слабко вимірна унітарна операторнозначна функція.

Навпаки, кожен набір , , та зі вказаними властивостями визначає за формулою () центрований оператор.

Центровані оператори з ненульовим ядром або можуть бути описані з точністю до унітарної еквівалентності.

Теорема 35 ()  Довільний незвідний центрований оператор, для якого має один з таких виглядів:

скінченновимірний оператор в : , ,..., , , ;

нескінченновимірний оператор в : , , ,...; ;

нескінченновимірний оператор в : , , , ,...; .

Теорема 36 ()  Довільне незвідне скінченновимірне зображення співвідношення () -- або скінченновимірне зображення, описане в п. теореми , або зображення вигляду: , ,..., , , , для , .

У розділі 5.3 теорема про комутативні моделі застосована до вивчення зображень алгебри Кунца .

Теорема 37 ()  Для довільного зображення алгебри Кунца оператори , ..., можна подати в наступному вигляді:         

()

Тут -- ймовірнісна міра на циліндричній -алгебрі підмножин нескінченного добутку , квазіінваріантна відносно перетворень , , ,; -- вимірне поле гільбертових просторів таких, що функція розмірності інваріантна -майже скрізь відносно перетворень ; , ..., -- вимірні унітарні операторнозначні функції.

Ергодичність міри є необхідною умовою того, щоб зображення було