Онуфрієнко Володимир Михайлович

УДК 537.87.+517.98

Електромагнітні поля диферінтегральних розподілів зарядів і струмів

на топології фрактального середовища

01.04.03 – радіофізика

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Запорізькому національному технічному університеті

Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор,

Чумаченко Віталій Павлович,

Запорізький національний технічний університет

Міністерства освіти і науки України, м. Запоріжжя,

завідувач кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України Назарчук Зіновій Теодорович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка

НАН України, м. Львів,

заступник директора

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник,

Сіренко Юрій Костянтинович,

Інститут радіофізики та електроніки

ім. О.Я.Усикова НАН України, м. Харків,

завідувач відділу “Математичної фізики”

доктор фізико-математичних наук, професор, Дробахін Олег Олегович,

Дніпропетровський національний університет

Міністерства освіти і науки України, м. Дніпропетровськ,

завідувач кафедри фізики надвисоких частот

Провідна установа: Харківський національний університет ім. В.Н.Каразіна

Міністерства освіти і науки України, м. Харків

Захист відбудеться “18 ” лютого 2005 року о 1415 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д08.051.02 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 13, корп. 11, ауд. 300.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету (49050, м. Дніпропетровськ, вул.Казакова, 8).

Автореферат розісланий “11” січня 2005 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Д.08.051.02,

професор І. М. Спиридонова

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації. Теорія випромінювання та поширення електромагнітних хвиль із часів відкриття електромагнітних хвиль та формулювання рівнянь Максвелла стала одним з найважливіших розділів електродинамічної науки, на засадах якого формується сучасний пріоритетний для української держави науковий напрям, пов‘язаний з вивченням фізичної природи та прогностики закономірностей взаємодії поля з фрактально структурованим середовищем. Активізується сучасний науковий інтерес до створення адекватних фізико-математичних моделей, придатних для вивчення фізичної природи та закономірностей протікання різноманітних (у тому числі – аномальних) явищ, що проявляються в дослідженнях властивостей полів у поширенні, випромінюванні та дифракції електромагнітних хвиль у штучних неоднорідних середовищах.

Успішно розвивається сучасний напрям вивчення властивостей високочастотних електромагнітних хвиль у взаємодіях зі штучним комплексним середовищем. Новими конкретними реалізаціями є біанізотропне середовище у вигляді кірального середовища та ?-середовища, які використовуються в сучасній надвисокочастотній техніці у вигляді покриттів із поглинальними, відбивальними та іншими спеціальними властивостями. Поширюється застосування в електродинамічних пристроях фізично реалізовних властивостей аномалій поверхневого ефекту, мікро- та нанотехнологічних комплексних середовищ та інших нових неоднорідно розподілених на поверхні штучних матеріалів, що допускають можливість управління електродинамічними параметрами.

Вибір адекватної фізико-математичної моделі фрактальної будови середовища дозволить розглянути взаємодію структурованої речовини з електромагнітним полем, взаємодію з контурами, поверхнями і тілами штучно сконструйованих джерел поля , що створює умови формування елементної бази нового сучасного напряму - фрактальної електродинаміки, що реалізується у постановках задач випромінювання, поширення і дифракції електромагнітних хвиль у середовищах із фрактальною геометрією.

Розробка математичних методів розрахунків інтегродиференціальних моделей електромагнітних полів у фрактальному середовищі виступає визначальним фактором у розвитку нових методів аналізу існуючих і створення нових зразків штучного середовища та елементів випромінювання енергії, що успішно використовуються в сучасних конструкціях фрактальних антен. Одержані у цьому напрямку результати важливі як для поглиблення та

вдосконалення теоретичних уявлень про процеси взаємодії і випромінювання електромагнітного поля відповідними структурами, так і для правильного вибору адекватних принципів функціонування та способів технічної реалізації нових створюваних геометрично фрактальних елементів.

У зв‘язку з викладеною сучасною радіофізичною проблематикою актуалізується проблема побудови строгих фізико-математичних моделей опису електромагнітних процесів поблизу фрактально структурованих контурів і поверхонь, з урахуванням дії вторинного поля, збуджуваного фрактально конфігурованими металевими вібраторами у комплексних середовищах. Розв‘язання цієї проблеми надасть змогу визначити фізичні особливості електромагнітного поля, збуджуваного розподілами зарядів і струмів поблизу та всередині несуцільних фрактально структурованих штучних метаматеріалів. Актуальність побудови такої теорії визначає перспективи практичного використання моделей спеціального керування властивостями електромагнітного поля.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась автором у межах планів науково-дослідної роботи Запорізького національного технічного університету на замовлення Міністерства освіти і науки України: “Математичне моделювання стаціонарних процесів хвиль в поперечно-неоднорідних структурах з многокутними межовими поверхнями” (номер державної реєстрації 0196U014312, ст.н.с. роботи у 1996-1998 рр.); фундаментальної науково-дослідної роботи “Математичне моделювання процесів хвиль над фрактальними структурами” (номер державної реєстрації 0199U000649, пров.н.с. і керівник роботи у 1999-2001 рр.) за програмою пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки в Україні “Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації, системи зв‘язку”; науково-дослідної роботи в межах проекту NATO SfP 974109 “Розробка і виробництво високоефективних детекторів на засадах нового фізичного принципу їх радіаційної чутливості для екологічного моніторингу” (ст.н.с., договір № 2М/234-2000). Матеріали дисертаційної роботи є теоретичним узагальненням результатів досліджень, проведених автором впродовж 1989-2004 рр. на кафедрі вищої математики Запорізького національного технічного університету за тематикою держбюджетних НДР “Математичні методи теорії дифракції і прикладної електродинаміки” (шифр 06815.1, 1995-2000 рр.), “Математичне моделювання фізичних процесів в радіотехнічних та механічних пристроях та їх елементах” (шифр 06810, 2000-2003 рр.), “Рівняння математичної фізики”(з 2004 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є теоретичне узагальнення фізичних властивостей диферінтегральних розподілів зарядів і струмів у фрактальному середовищі, чим формуються основи нової парадигми фрактальної електродинаміки.

Для досягнення зазначеної мети необхідно вирішити наступні наукові завдання:

створити строгу математично обґрунтовану модель опису фізичних властивостей зарядів і струмів та збуджуваного ними електромагнітного поля поблизу фрактально структурованих контурів і поверхонь та у штучному середовищі з геометричними неоднорідними фрактальними включеннями різної фізичної природи;

довести адекватність застосування апарату дробових похідних та інтегралів для опису властивостей самоподібних та афінних фракталів і обґрунтувати постановки задач у межах побудованої моделі для рівнянь Максвела і законів електромагнетизму, записаних у термінах диферінтегральних форм дробового порядку;

дослідити на основі нової концептуальної схеми якісні та кількісні характеристики електромагнітного поля у несуцільному штучному середовищі з використанням відображення фрактально структурованих меж на топологію гладких контурів і поверхонь;

визначити межі застосування традиційно уживаного для аналізу електромагнітного поля диференціального та інтегрального числення цілих порядків для виявлення основних властивостей процесів поширення хвиль у фрактально структурованому середовищі в залежності від скейлінгу геометричних та електродинамічних параметрів;

за допомогою створених варіантів диферінтегральних моделей для різних конфігурацій як сторонніх, так і індукованих у середовищі інтегродиференціальних струмів, здійснити чисельний аналіз електродинамічних характеристик та надати фізичну інтерпретацію отриманим новим результатам. Результат чисельного розрахунку для введених адекватних моделей порівняти з відомими теоретичними та експериментальними і визначити умови переходів між наближеними методами та такими, що базуються на фрактальній концепції;

застосувати розроблену модель для опису фрактальних шарів зі спеціальними властивостями та визначити їх відповідність імпедансним покриттям у задачах поширення керованих електромагнітних хвиль з нелінійними ефектами.

Об’єктом дослідження в роботі є фізичні явища випромінювання електромагнітного поля фрактальними носіями та взаємодії високочастотного електромагнітного поля з фрактальним середовищем.

Предметом дослідження є амплітудні, фазові і частотні характеристики інтегродиференціальних розподілів зарядів та струмів, що збуджують електромагнітне поле або виникають за рахунок взаємодії хвиль із фрактально структурованими штучними магнітодіелектричними, металевими і плазмоподібними середовищами.

Для розв’язання поставлених задач у роботі було використано такі методи:

метод опису масштабно інваріантної фізичної взаємодії зарядів і струмів у поляризованих та намагнічених геометрично фрактальних середовищах;

метод інтегродиференціального дробового числення для одержання з інтегральної та диференціальної форм рівнянь Максвелла у просторі неперервних гельдерівських -характеристик електромагнітного поля у фрактальному середовищі з хаусдорфовою метрикою;

метод диференціальних форм і зовнішнього числення для обґрунтування вводу диферінтегралів у рівняння електродинаміки з урахуванням геометричної інтерпретації одержаних -форм, їх відповідності компонентам коваріантного кососиметричного тензора порядку та пов‘язаної з цим незалежністю -форм від параметризації -вимірного контуру інтегродиференціювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Практичне значення одержаних результатів полягає у тому, що вони є науковим фундаментом для практичних рекомендацій щодо побудови строгих математично обґрунтованих моделей, які дозволяють ураховувати наявність фрактальних (фізично – сильно структурованих, шорстких, порізаних, пористих тощо) контурів та поверхонь у задачах дифракції та поширення хвиль у хвилеводних системах з наявними ефектами фрактального типу. Важливе самостійне значення отриманих результатів полягає у тому, що вони надають можливість зробити висновки про складний характер поведінки амплітудних, фазових та частотних характеристик поля поблизу фрактально структурованої плазмоподібної штучної речовини з включеннями різної матеріальної природи, що впливають на фізичні процеси випромінювання та хвиль. Досліджені фізичні механізми формування поля у фрактальних середовищах мають чітку фізичну інтерпретацію інших нових поверхневих нелінійних та аномальних проявів фрактальної структури у геометрії технічних пристроїв, електродинамічних матеріальних параметрах та фізичних конфігураціях зарядів і струмів. На основі проведених досліджень та виявлених ефектів визначено нові можливості керування характеристиками пристроїв збудження електромагнітного поля субміліметрового та оптичного діапазонів довжин хвиль.

Особистий внесок здобувача. У дисертаційній роботі теоретично узагальнено матеріали багаторічних самостійних наукових досліджень. У роботу включено незначну кількість результатів, отриманих у співавторстві за безпосередньою участю автора як керівника дослідницької роботи аспірантів та здобувачів. Із спільних, ініційованих автором публікацій, використано частини, що відображають формулювання мети досліджень та постановку задач [2;5;7], побудову розв‘язків [8;10;11], обговорення теоретичних і чисельних розрахунків та їх фізичної інтерпретації і узагальнення [13;14;17;18;19; 25;29;30]. Фізичні ідеї, моделі дослідження, наукові висновки та положення, що виносяться на захист, є особистим здобутком автора.

Апробація результатів дисертації здійснювалася на міжнародних конференціях і симпозіумах: 12 International Conference on Microwaves & Radar (Krakov ( Poland), 1998 р.); International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-98) (Kharkov (Ukraine), 1998); Third Іnternational Kharkov symposium “Phisics and Engineering of Millimeter and submillimeter waves” (MSMW’98)(Kharkov,(Ukraine), 1998); 9-й Международной Крымской конференции “СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии”(КрыМиКо-99) (Севастополь, 1999); ІІІrd International Conference “Antenna theory and techniques (ICATT’99)(Sevastopil (Ukraine),1999); 13 International Conference on Microwaves, Radar and Wireless Communications (Wroclaw (Poland), 2000); International Symposium on Antenna and propagation “Radiation Illuminating a New Millennium” (ISAP’2000) (Fukuoka (Japan), 2000); International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2000) (Kharkov (Ukraine), 2000); 10-й Международной Крымской Микроволновой конференции (КрыМиКо-2000)(Севастополь, 2000); Fourth International Kharkov Symposium “Physics and Engeneering of Millimeter and SubMillimeter Waves” (MSMW’ 2001) (Kharkov (Ukraine), 2001); 11-й Международной Крымской конференции “СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии” (КрыМиКо-2001)(Севастополь, 2001); Всероссийской научно-технической конференции “Излучение и рассеяние электромагнитных волн-ИРЭМВ-2001”(Таганрог Россия), 2001); International Conference “Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science” (TCSET’2000) (Lviv-Slavsko (Ukraine), 2002); 14 International Conference on Microwaves, Radar and Wireless Communications (Gdan’sk (Poland), 2002); International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2002) (Kiev (Ukraine), 2002); ХI-й международной научно-практической конференции (Севастополь, 2002); Всероссийской научной конференции “Физика радиоволн”(Томск (Россия), 2002); Международной научной конференции “Излучение и рассеяние ЭМВ” (Таганрог (Россия), 2003); IVth International Conference on Antenna Theory and Techniques (ICATT’03) (Sevastopol (Ukraine), 2003); Международном мемориальном науч. семинаре, посвященном восьмидесятилетию со дня рождения ак. В.П.Шестопалова/ НАН Украины. Ин-т радиофизики и электроники им. А.Я.Усикова (Харьков, 2003); XV International Conf. on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON-2004).-Warszawa ( Poland); Fifth International Kharkov Symposium “Physics and Engineering of Millimeter and SubMillimeter Waves” (MSMW’2004).-Kharkov(Ukraine); International Conference of Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2004).- (Dnepropetrovsk) Ukraine.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження автором викладено у 12 статтях без співавторів [3;4;6;9;12;15;16;20-22;26;27], 8 статтях у співавторстві [8;10-11;13-14;18;28;29] в національних наукових журналах і збірниках наукових праць, а також у 21 тезах та матеріалах доповідей на міжнародних симпозіумах, конференціях і семінарах [30-41;43-51]. Додатково зміст дисертації відображено у публікаціях [2;5;7;17;19;23;25], а в [1;24;42] апробовано ідеї автора та закріплено його пріоритет.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, семи розділів, загальних висновків на 308 сторінках, списку використаної літератури з 230 позицій на 24 сторінках. Повний обсяг дисертації складає 332 сторінки.

Зміст дисертації

Вступ містить загальну характеристику та обговорення суті наукової проблеми, яка полягає в розробці математичних методів дослідження інтегродиференціальних моделей електромагнітних полів у фрактальному середовищі, стан та обґрунтування необхідності проведення подальших фундаментальних та прикладних досліджень за темою дисертації та їх актуальність; сформульовано мету та завдання дисертаційної роботи, розглянуто коло питань, розв‘язування яких лягло в основу дисертаційної роботи, визначено новизну і практичну цінність та перспективи застосування отриманих результатів.

Розділ 1. Моделювання процесів електромагнітних хвиль у матеріальних середовищах

Розділ присвячено розгляду ключових ідей і методів розв‘язування проблем теоретичної та прикладної електродинаміки, пов‘язаних із визначенням розподілів зарядів і струмів, випромінених хвиль та їх характеристик, розсіювання електромагнітних хвиль суцільним та структурованим середовищем, впливу неоднорідностей на електродинамічні параметри середовища. Автором здійснено огляд наукової літератури з аналізом стану проблеми та основних напрямків дослідження полів зарядів і струмів в неоднорідних структурованих середовищах і зроблено висновок про те, що методи не в усіх випадках адекватно описують фізичні процеси випромінювання та поширення хвиль у неоднорідно структурованому середовищі.

Традиційно застосовна теоретична модель, що враховує деякі фізичні аспекти у формулюванні електродинамічних задач про аналіз неоднорідного середовища, як проаналізовано у підрозділі 1.1, реалізується у декількох варіантах математичної моделі, які зводяться до чисельного експерименту у розв‘язуванні диференціальних, інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь електромагнітної теорії. Наведені приклади розв‘язання електродинамічних задач стимулюють пошуки моделей для розвитку методів якісного та чисельного аналізу електромагнітного поля поблизу структурованих штучних середовищ.

У підрозділі 1.2 розглядається методика моделювання електромагнітного поля у штучному середовищі з локально неоднорідними властивостями. Теоретичні дослідження та електромагнітне моделювання процесів збудження та взаємодії хвиль із комплексними середовищами, всередині яких або на поверхні розміщені частинки наповнювача, базуються на відомих теоретичних моделях, що пояснюють наявні електродинамічні ефекти фізичною структурою діелектричної та магнітної проникностей звичайних діелектричних та магнітних середовищ. Виявлено, що перші приклади застосування елементів фрактальної геометрії і фрактального аналізу в радіофізиці та радіолокації вимагають теоретичного обґрунтування основних понять теорії фракталів, що носять міждисциплінарний характер, знаходяться на стадії становлення, але набувають усе більшого використання.

Застосування фрактальної схеми розширюється за рахунок введення нових кількісних показників у вигляді дробових розмірностей, що характеризують не тільки топологію зарядів і струмів, але й відбивають процеси еволюції розглядуваних систем і визначають їхні динамічні властивості. Відмічається невирішеність питань адекватного математичного опису носіїв зарядів і струмів, що мають задану фрактальну фізико-геометричну структуру або виникають у фрактальному середовищі за рахунок взаємодії хвиль із фрактальною структурою. Застосування апарату дробових похідних та інтегралів для постановки електростатичних задач розпочате роботами Н. Енгети, перші результати постановки задач та чисельні розрахунки електромагнітних полів у неоднорідному фрактальному середовищі наведено в [1]-[2] та [3]-[4], а фрактальне моделювання середовища як узагальненої моделі широкого класу штучних середовищ, що взаємодіють з електромагнітним полем, починається з робіт [6]-[9], апробованих в [31]-[33]. Проведені дослідження засвідчують, що розробка теоретичних інтегродиференціальних основ фрактальної концептуальної схеми в електродинаміці сприяє розширенню застосувань теорії фракталів.

Розділ 2. Фізико-геометричні основи моделювання усереднених електричних і магнітних характеристик неоднорідного середовища

У розділі проаналізовано фізичну модель зарядів і струмів у неоднорідному середовищі, яка ґрунтується на урахуванні скейлінгових співвідношень у вимірюванні протяжності неоднорідної множини точок. Для наближення в описах природної структури зарядів і струмів використано масштабно інваріантні множини. Узагальнено фізичну гіпотезу відносно просторової геометричної неоднорідності, заповненої сукупністю зарядів і струмів.

У підрозділі 2.1 для побудови фізичних моделей зарядів та струмів у неоднорідному середовищі використано положення про можливість визначення точкових множин, наділених властивостями інваріантності відносно паралельних переносів у будь-якому напрямку та відносно зміни масштабів довжини для площини та об‘єму. Модель просторової геометричної неоднорідної точки, заповненої сукупністю зарядів , використано для визначення фізичного змісту заряду у деякому об‘ємі , де , з властивостями масштабної інваріантності, які характеризуються скейлінговим показником . Середня густина зарядів у кожній комірці визначається як , де підсумовування виконується по всіх зарядах в , а визначає центр -ї комірки. Неперервна функція досягає заданих значень у центрах комірок та зберігає неперервність та гладкість між цими центрами (коефіцієнт введено для вирівнювання розмірностей). У зв‘язку з цим автором означено -польний момент поляризованої нейтральної множини формулою де підсумовування проводиться по всіх зарядах у множині, а - вектори, що проведені з центра множини до зарядів. Об‘ємною щільністю -польного моменту (поляризованістю) визначено усереднений макроскопічний стан поляризації в околі кожної точки заповненої матеріальної області.

У твердих тілах (металах) з вільними електронами, в іонізованих рідинах (електролітах) та іонізованих газах, у плазмі, в області просторового заряду між електродами можна викликати впорядкований рух частинок одного знаку або обох знаків шляхом прикладання до зарядів відповідних зовнішніх сил. Середню макроскопічну характеристику такого потоку заряджених частинок в об‘ємі представлено неперервною повільно змінюваною векторною функцією – об‘ємною густиною струму . Ця густина визначається інтерполяцією по величині і напрямку дискретних значень, що задаються в центрах об‘ємних комірок (з координатами центрів, що визначаються векторами ): , де - швидкість заряду . Для розрізнення поверхневих струмів, зосереджених у тонких неоднорідних шарах, введено поверхневу густину рухомих зарядів , що визначається шляхом двовимірної інтерполяції дискретних значень: , де підсумовування проводиться по всіх зарядах з паралельними поверхні швидкостями у тонкій поверхневій комірці , координати центра якої визначаються вектором .

Магнітний момент, що виникає за рахунок упорядкованого мікроскопічного кругового зі швидкістю руху зарядів відносно загальної осі в елементі об‘єму , означено як , де вектор визначає координати центра об‘ємної комірки. Інтерполяцією дискретних значень одержано неперервну і повільно змінювану об‘ємну щільність магнітного моменту , або намагніченість (обумовлену циркуляцією зарядів) .

Розробленою моделлю неоднорідностей з масштабною інваріантністю та введенням структурованих -полів узагальнено відомі класичні моделі розподілів (квадруполів, октуполів та мультиполів у загальному випадку), що складаються з двох близько розміщених рівних і антипаралельних електричних або магнітних -польних моментів.

У підрозділі 2.2 введено основні означення, що використовуються у новій математичній моделі поля в неоднорідному середовищі. Виявлено існування деяких інваріантних величин, що не залежать від способу розділення на комірки, якщо середовище складається з нейтральних множин із сильно зв‘язаними зарядами (круговими струмами). Таким величинами є: в середині об‘єму - густина зарядів та струмів ; на поверхні - густина зарядів та струмів , де - зовнішня нормаль до поверхні області, в якій визначається та , де - замкнута навколо об‘єму поверхня.

Розділ 3. Топологія фрактальної моделі зарядів і струмів

Побудова фізико-геометричної моделі фрактальної сукупності зарядів та елементів струмів у вигляді польного фрактоїду та розгляд його властивостей базується на уявленнях про геометричну хаусдорфову міру. Введено поняття фрактального -шару. Обговорюється можливість застосування в електродинаміці об‘єднувальної ідеї про неперервні властивості будови фрактоїдів, що допускають структурування на відомі типи точкових, поверхневих, об‘ємних монополів та диполів.

У підрозділі 3.1 застосовано відомі основні положення про самоподібні та самоафінні фрактали для побудови моделі та аналізу топологічних властивостей геометричного носія сукупності точкових зарядів. Фізико-геометричною моделлю фрактальної сукупності зарядів пропонується вважати об‘єднання взаємно доповнювальних одна одну множин: множини зарядів першої категорії Бера, що вводяться у вигляді скінченного або зліченного об‘єднання ніде не щільних множин зарядів, та множини зарядів другої категорії, що не є множиною першої категорії за означенням. Сформульовані властивості фізико-геометричної моделі фрактальної сукупності зарядів узгоджуються із введенням топології досліджуваних підмножин першої категорії. Запропонована модель фрактального заряду дозволяє ввести основні поняття, необхідні для побудови теорії розподілів таких зарядів як у суцільному, так і у фрактальному середовищі. Для об‘ємної густини фрактального заряду у суцільному об‘ємі повинно виконуватись Якщо на двох достатньо близько розташованих поверхнях і розміщено фрактальні заряди протилежних знаків так, що на протилежних елементах обох поверхонь густини зарядів та рівні за величиною і протилежні за знаком ( ), а відстань від до є малою у порівнянні з відстанню до точок, де визначається поле, то сукупність зарядів запропоновано називати фрактальним -шаром. Потенціал -шару в точці Р визначено у відповідності з класичними уявленнями у вигляді , де , як і у класичному випадку, названо потужністю або моментом фрактального шару.

Розглядувані фрактальні властивості носія струму визначають особливості топології магнітного поля, збуджуваного фрактально структурованим струмом. Вихор магнітного поля відмінний від нуля лише усередині обтічного струмом фрактального провідника, простір, зайнятий струмом, названо фрактальним вихровим простором, або через замкнутість струму – фрактальним вихровим кільцем. Досліджено фізичні властивості магнітного поля, що стає за новою моделлю проміжно однозв‘язним у просторі з фрактально структурованим струмом . Циркуляція вектора по будь-якому можливому контуру, що не перетинає вихровий простір, дорівнює нулю. У такому однозв'язному полі однозначно визначається скалярний потенціал магнітного поля Для усіх точок розглядуваного простору , так що поле стає -потенціальним після виділення означеного фрактального вихрового кільця. Для двох близьких точок Р і Р’ , розділених товщиною вихрового кільця, різниця потенціалів причому шлях інтегрування не перетинає вихрове кільце. Шлях нескінченно мало відрізняється від замкнутого контуру , тому .Таким чином, фрактальність множини струмів проявляється у появі розриву суцільності магнітного потенціалу, що досягає стрибку на . Цей стрибок буде позитивним , якщо циркуляція по контуру позитивна (нескінченно малий вектор утворює з напрямком струму правогвинтову систему), величина стрибка залежить як від струму (як у суцільному середовищі), так і від ступеню його фрактальної структури, що характеризується показником .

У підрозділі 3.2 аналізується тонка топологія моделі фрактальних зарядів (струмів). З аналізу відомих фізико-геометричних властивостей (а) фрактального носія класичного суцільного заряду (струму) або (б) класичного суцільного носія фрактального заряду (струму) випливає необхідність введення у розгляд поняття розрідженості носія заряду(струму) чи розрідженості самого фрактального заряду(струму). Введенням у розгляд тонкої топології на фрактальних множинах зарядів(струмів) як найслабшої топології в з неперервними всіма потенціалами мір , реалізується об‘єднувальна ідея про фрактальність зарядів і струмів з переходами від найслабшої топології (що визначається системою множин ) через тонку топологію (що не збігається зі звичайною, оскільки в останній існують розривні потенціали) до найсильнішої, так званої дискретної топології (для якої система множин складається з усіх підмножин ). Показано, що тонку топологію можна задавати за допомогою вводу системи фрактальних околів. Інтерпретація тонкого околу точки як фрактального околу та розгляд його топології дозволяє виділяти поблизу концентрацію множини зарядів(струмів) у двох діаметрально дотичних протилежних напрямках, що знаходить використання у визначенні тангенціальних складових поля та їх співвідношення на межах розділу фрактальних середовищ.

Розділ 4. Метрика фрактальних зарядів і струмів

За допомогою засобів фрактального аналізу – розділу розмірнісно-метричної теорії множин метричних просторів, що вивчає об‘єкти за допомогою мір дробових порядків, розглядається нова задача сучасної електромагнітної теорії про визначення метрики фрактальних точкових зарядів і означення інтегро-диференціальної структури сингулярних розподілів на топології множин фізичних зарядів (елементів струмів) зі складною (фрактальною) локальною будовою.

Наближенням некоординатних меж множини точок Е покриттям простими компактами з діаметром з вимірюванням відстані між компактними множинами, необхідної для означення відповідної метрики, у підрозділі 4.1 визначено - міру Хаусдорфа носія фрактального заряду (елементу струму) , що виступає мірою фрактальних властивостей множини. Для вихідної множини фрактального точкового заряду за допомогою конструкції Каратеодорі визначено зовнішню -вимірну міру Хаусдорфа множини заряду у вигляді границі . У вигляді визначено момент заряду, де є -вимірним моментом частини заряду на фрактальній підмножині, що покривається . Застосуванням у хаусдорфовій метриці дилатації як відстані між двома множинами з однаковими але протилежними за знаком зарядами та , означено фрактальний заряд , як різницю двох фрактальних мір.

Одержано перетворення Лежандра від незалежних змінних до незалежних змінних , чим визначається параметричне представлення зв‘язку фрактальної розмірності носія сингулярностей заряду з показником Ліпшиця-Гольдера. Виявлено, що показник фрактальності заряду визначається через показник Ліпшиця-Гольдера і фрактальну розмірність множини носія цього показника.

У підрозділі 4.2 для опису локальних відображень фрактальних зарядів (струмів) доводиться можливість інтегродиференціального визначення міри Хаусдорфа на фрактальних носіях. Відомий факт, що для з - вимірна міра Хаусдорфа збігається з - вимірною лебеговою мірою у вигляді - вимірного об‘єму , використано у розглядуваній моделі для узагальнення означення густини заряду (струму) розподілу на борелівській множині з у записах величини заряду(струму): , де константа - є об‘ємом - вимірної кулі з одиничним діаметром. Для випадку виконання умов Гольдера степеня для перетворення точок множини у вигляді для кожної - вимірної міри Хаусдорфа на множині з зарядом(струмом) густини зазначено виконання співвідношення , з якого випливають важливі для подальшого практичного застосування випадки. З використанням властивостей таких відображень доведено, що зв’язок між кількістю елементів покриття k-го, (k+1)-го та (k+2)-го покоління та їх розмірами >>: описується функціональним рівнянням , , , з єдиним гладким і неперервним розв’язком у формі степеневої функції (характеристики Коші ) , . Граничний перехід, коли , у мірі заряду , розподіленого на ланці (k+1)-го покоління покриття, дає , де . Визначенням диферінтеграла або , вказано на можливість ефективного застосування диферінтегрального апарату дробового для конструювання мір та розмірностей Хаусдорфа. Показано, що для -вимірного фракталу, навантаженого зарядом(струмом) з густиною на , ортогональним проектуванням на відрізок [а,х] прямолінійної осі ОХ задача зводиться до розгляду еквівалентної ізометричної задачі, чим підтверджується фундаментальна властивість: хаусдорфова розмірність, що інваріантна відносно біліпшицевого перетворення, зберігається при диферінтегральному відображенні. Такий підхід дає можливість сформулювати означення нормованого -потенціалу розподілу заряду(струму) у вигляді з нормувальним коефіцієнтом , де дробова похідна , . Інтегро-диференціальне означення -потенціалу дозволяє узагальнити проекційну теорему про співвідношення між розмірностями навантаженої зярядом (струмом) множини та її проекції на деякий кутовий напрямок, а також визначити -енергію заряду(струму) та -ємність множиниз розподіленим зарядом .

Розділ 5. Інтегро-диференціальна модель узагальнених фрактальних зарядів і струмів

У розділі узагальнюється модель фрактальних зарядів і струмів для використання в сучасних задачах електродинаміки фрактальної моделі штучного середовища, що інтерпретується трьома модельними різновидами, об‘єктом розгляду яких є: неоднорідне середовище з фрактальною геометричною структурою і однорідними розподілами електродинамічних параметрів, зарядів (струмів) [1]-[7], [11]-[17]; однорідне суцільне середовище з фрактально неоднорідними диферінтегральними розподілами електродинамічних матеріальних параметрів, зарядів (струмів) [8]-[9], [16],[20],[22],[26]; неоднорідне середовище з фрактальною геометричною структурою і з фрактальними неоднорідними диферінтегральними розподілами електродинамічних матеріальних параметрів, зарядів (струмів) [27]-[28].

У підрозділі 5.1. вводиться означення густини одиничного фрактального заряду (елементу струму) , орієнтованого вздовж напрямку , та розподілу з неперервною густиною на поверхні зарядів (елементів струмів) (фрактального шару) , що є узагальненням означення традиційно застосовних розподілів у вигляді так званого простого та подвійного шарів. Фрактальні заряди (струми) з носіями у вигляді сукупності ізольованих точок допускають явний опис у вигляді єдиного представлення через дробовий диферінтеграл від дельта-функції Дірака . Для розглядуваної фрактальної моделі зарядів (елементів струмів) на осі, півосі та відрізку кожна точка розриву 1-го роду розподілу зарядів(струмів) зі скачком додає у вираз густини заряду(струму) порядку доданок . У найбільш загальному випадку, коли розподіл заряду(елементів струму) має скінченне число степеневих особливостей, можна розкласти вісь на скінченне число проміжків, на кожному з яких виділяється лише по одній особливій точці на тому чи іншому кінці. Використання регуляризаційних формул на кожному проміжку та об‘єднання одержаних результатів приводить до розв‘язку проблеми, причому загальний результат не залежить від вибору проміжкових точок.

Ефективність моделі у постановках задач про збудження електромагнітного поля заданими на фрактальному носієві сукупностями зарядів(струмів) забезпечується рівняннями Абеля виду ; , єдині розв‘язки яких існують відповідно у вигляді та . Дробове інтегрування здійснює неперервне взаємно однозначне відображення (ізоморфізм) класу на , де - множина функцій з , для яких (тобто коли множина містить нескінченно віддалену точку). У зв‘язку з цим з‘ясовуюються геометричні апроксимаційні властивості інтегро-диференціального дробового числення у задачах про суцільні розподіли класичних зарядів(струмів) на фрактальних множинах та фрактально структурованих зарядів(струмів) на класичних суцільних множинах. Фрактальний заряд (струм) з густиною , що розподілений по геометричному фракталу зі скейлінговими показником на сегменті , має півгрупові властивості .

У підрозділі 5.2 розглядаються інтегро-диференціальні розподіли зарядів і струмів у фрактальному середовищі, яке виступає узагальнювальною моделлю штучного середовища за рахунок збігання топологій та визначення метричних співвідношень за допомогою інтегродиференціального числення. Фрактальні розподіли зарядів і струмів у теоретичній моделі однорідного середовища безпосередньо виражаються чотирма інтегро-диференціальними густинами (повного заряду і повного рухомого заряду та струмів , а на поверхні - густиною зарядів та струмів ) за допомогою диферінтегрального електричного та магнітного моментів, проекції яких на напрямок мають вид Таким чином, застосування математичного диферінтегрального апарату відкриває можливості для зведення електродинамічних задач з особливостями до класичних задач з гладкими межами, чим вирішується важливе для теорії дифракції питання про необхідність додаткового використання умов про особливості поведінки поля поблизу ребра, або про залучення іншої апріорної інформації про розв’язок.

У підрозділі 5.3 поняття фрактальної структурованості поширюється на електродинамічні параметри несуцільного середовища. Інтегро-диференціальні вектори поляризації , намагніченості і струму є колінеарними і виконуються рівності Таким чином, для фрактального середовища зберігаються класичні означення електричної , магнітної сприйнятливостей та провідності з відповідним фізичним змістом про міру активності матеріальних параметрів фрактального середовища у відношенні до електромагнітного процесу. Доведено, що у неоднорідному неперервному середовищі з діелектричною і магнітною проникностями, що визначають зв‘язок між індукціями та напруженостями у вигляді , та зі сторонніми джерелами електричного і магнітного струмів введенням у рівняння Максвелла поляризаційних фрактальних струмів (електричного і магнітного ) неоднорідне середовище зводиться до моделі однорідного з відповідними рівняннями.

Для фрактально структурованого середовища у комплексному хвильовому числі виділяються два множники, перший з яких характеризує дофрактальне безвтратне середовище, а другий множник характеризує фрактальні властивості середовища. Загальні формули комплексного хвильового опору суцільного середовища поширено на фрактальне середовище з поглинанням: , де - хвильовий опір вільного простору, . Ці нові означення використано для порівняння властивостей фрактального середовища із суцільним.

Визначено, що для середовища з відсутніми спонтанними поляризаціями, намагнічуваннями та струмом, використанням значень скейлінгового показника можна врахувати “долінійні” та “післялінійні” (до другого порядку) випадки нелінійності, що характеризують фрактальне середовище, яке, таким чином, завжди є слабо нелінійним.

Розділ 6. Диферінтегральні -форми зарядів і струмів на топології меж фрактального середовища

У розділі обґрунтовано диферінтегральну схему відображення фрактальної геометричної множини з навантаженим фрактальним розподілом зарядів (струмів), для чого введено поняття диферінтегральної форми, яку покладено в основу конструювання чисельних алгоритмів дослідження електромагнітних полів на топології меж середовища.

У підрозділі 6.1 узагальнено відомі формули для моделі фрактального шару з несиметричним розподілом позитивних і негативних зарядів (струмів). Для цього використано перетворення Кельвіна заряду , що не має атомної складової у точці , в інший заряд : записане у термінах диферінтегралів . За допомогою міри Гріна та функції Гріна визначено потенціал за його значеннями на носієві міри та одержано формулу Риса для диферінтегральних потенціалів і доведено, що проблема вимітання довільного заряду (струму) на компакт має єдиний розв‘язок у класі зарядів (струмів). Для будь-якої міри розподілу фрактального заряду (струму) існує єдина міра така, що має всі властивості проекції фрактальної міри на , а оператор проектування є звуженням оператора вимітання на міри зі