Національний університет “львівська політехніка”

аранчук Роман Ярославович

УДК 621.372

ДОСЛІДЖЕННЯ УМОВ КОНВЕРГЕНТНОСТІ

ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ

05.09.05 - теоретична електротехніка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів-2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник – | доктор технічних наук, професор

Синицький Лев Аронович,

професор кафедри радіофізики

Львівського національного

університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти – | доктор технічних наук, професор

Матвійчук Ярослав Миколайович,

професор кафедри “Теоретична радіотехніка та радіовимірювання” Національного університету “Львівська політехніка”–

кандидат технічних наук

Джала Василь Романович,

молодший науковий співробітник

Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка

НАН України, м.Львів

Провідна установа – | Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”, кафедра “Теоретичні основи електротехніки”

Захист відбудеться “  ” червня 2004 р. о “  ” год. ”  ” хв. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д35.052.02 Національного університету “Львівська політехніка” (79013, м.Львів, вул. С.Бандери, 12, ауд.114)

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічній бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (м.Львів, вул.Професорська,1).

Автореферат розісланий “ 18 ” травня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Д35.052.02 Коруд В.І.

агальна характеристика роботи

Актуальність теми. Практично всі електротехнічні і електронні пристрої та системи є нелінійними. Проте у багатьох випадках розглядається їх лінеаризована модель. Якщо ж нелінійність і враховується при розрахунку, то приймається, що відомий головний режим, виникнення якого є бажаним. Після цього при дослідженні застосовують спрощену нелінійну модель.

Ця модель повинна забезпечувати стійкість, що досліджується при лінеаризації рівнянь в околі бажаного режиму, тобто стійкість у малому. Але в реальній ситуації часто зустрічається існування інших режимів, які суттєво відрізняються від бажаного. Іншими словами, бажаний режим не є єдиним і при деяких початкових умовах він не реалізується. Це є наслідком того, що стійкість у малому не є достатньою для забезпечення стійкості у цілому, або глобальної стійкості. В електроенергетиці це означає виникнення аварійної ситуації, особливо небезпечним є виникнення режимів з частотою, яка не співпадає з частотою напруги живлення. Для радіотехнічних систем таке явище також не є унікальним, достатньо вказати явище генерації у підсилювачах у випадку жорсткого збудження. Тут нелінійні кола застосовуються в основному для передачі і обробки інформації, і виникнення побічних режимів теж недопустиме, оскільки воно призводить до збоїв у роботі та спотворення сигналів.

Тому дуже важливою для практики є задача знаходження таких параметрів системи, які забезпечували б глобальну стійкість єдиного періодичного режиму, тобто конвергентність. Не виключається також, що цей періодичний режим є станом рівноваги, що характерно для деяких класів нелінійних параметричних систем. В загальному випадку така задача є дуже складною і на даний момент далека від повного вирішення. Дослідження умов конвергентності широко проводилось в другій половині минулого століття аналітичними та чисельними методами. Але експерименти доводять, що практично всі ці критерії є надто неефективними для практичного застосування. Іншими словами, вони дають лише достатні умови глобальної стійкості єдиного періодичного режиму, а насправді стійкість спостерігається у значно ширшому діапазоні зміни параметрів

той же час, отримання загальних, чітких і ефективних критеріїв конвергентності, які були б придатними для різних систем з широким класом нелінійностей, дозволить проектувати пристрої зі значно меншим запасом по небезпечних параметрах, а також розробити ефективні засоби для усунення небажаних режимів, що вже виникли. Тому проведення досліджень у напрямі поглиблення та узагальнення використання існуючих критеріїв і створення нових методик та підходів для аналізу умов конвергентності є актуальним.

При дослідженні складних кіл у багатьох випадках можна виділити коливальний контур, який визначає можливі небажані режими. Часто можливо обгрунтувати математично картину біфуркацій у системах високого порядку на підставі аналізу виділеної підсистеми другого порядку. Тому у даній роботі в основному розглядаються властивості нелінійних контурів другого порядку.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика роботи пов’язана з одним із науково-дослідних напрямів кафедри радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка. Наведені у дисертаційній роботі результати знайшли відображення та використовувалися при виконанні держбюджетних робіт: “Синтез автоколивних і неавтономних систем, що відтворюють задані форми коливань” (2000-2002 рр.), номер держреєстрації 0100U001418; “Розробка методів та програм дослідження складних нелінійних та параметричних систем” (2003 р.), номер держреєстрації 0103U001938; а також “Теоретичні засади оптимізації режимів роботи та автоматизація проектування електротехнічних і електромеханічних систем з динамічним навантаженням” (2001-2002 рр.), номер держреєстрації 0101U000875; “Оптимізація режимів потужних електротехнологічних об’єктів з неконвенційними навантаженнями на основі кри-теріїв електромагнітної сумісності” (2003 р.), номер держреєстрації 0103U001364.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є отримання нових чисельних та аналітичних критеріїв конвергентності для нелінійних електричних кіл, які покращува-ли б відомі критерії за збіжністю з експериментально отриманими умовами конвергентності.

Об’єкт дослідження – нелінійні системи другого порядку, лінійні і нелінійні параметричні системи та режими, які у них виникають.

Предмет дослідження – умови існування єдиного стійкого в цілому періодичного режиму (умови конвергентності) в нелінійних системах.

Методи дослідження – аналіз літературних джерел; узагальнення та аналіз раніше відомих умов та критеріїв конвергентності; методи аналізу нелінійних кіл; методи теорії автоматичного керування, аналітичні і чисельні методи розв’язування диференціальних та нелінійних рівнянь і їх систем з використанням комп’ютерного симулювання; методи апроксимації та інтерполяції; перевірка достовірності отрима-них результатів теоретичних досліджень та числових розрахунків шляхом їх спів-ставлення з результатами відомих досліджень, умов та критеріїв конвергентності.

Досягнення поставленої мети вимагає розв’язання наступних задач досліджень:

1. Шляхом зведення проблеми конвергентності до проблеми стійкості лінійної параметричної системи дослідити обмеження, що накладаються на функцію збудження параметричної системи.

2. Дослідити стійкість параметричної системи при різних формах збудження і знайти такі форми збудження, які максимально погіршують стійкість системи. На основі цього отримати новий критерій конвергентності.

3. Чисельно дослідити умови появи та види режимів, які порушують конвергентність для нелінійних систем другого порядку (коливальний контур з нелінійною індуктивністю).

4. Отримані чисельним методом умови конвергентності порівняти з умовами, знайденими за існуючими критеріями конвергентності, а також за критерієм, отриманим у пункті 3.

5. Дослідити умови появи режимів, що порушують конвергентність у нелінійній параметричній системі чисельними та аналітичними методами і отримати на основі цього відповідні узагальнення.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше розроблено уточнену методику отримання умов конвергентності нелінійних електричних кіл на основі теорії стійкості лінійних параметричних систем. Вона дає змогу отримати точніше збігання критичних значень параметрів з фактичними значеннями у порівнянні з відомими критеріями конвергентності.

2. Вперше застосовано принцип максимуму Понтрягіна для знаходження екстремального збудження лінійної параметричної системи другого порядку з фіксованими межами зміни функції збудження, який показав, що екстремальне збудження такої системи має прямокутну форму.

3. Отримано умови існування ферорезонансу залежно від амплітуди зовнішнього збудження та загасання у коливальному контурі з нелінійною індуктивністю, що апроксимується поліномом довільного степеня. Отримані вирази дають змогу відразу отримати межі областей існування ферорезонансу, не вдаючись до чисельного моделювання.

4. Математично описано процеси під час виникнення несиметричних режимів у нелінійних системах другого порядку методом ізоклін та методом лінеаризації диференціального рівняння в околі періодичного режиму. Таким чином обґрунтовано необхідність врахування несиметричних режимів поряд із ферорезонансними при дослідженні умов конвергентності, оскільки при певних значеннях параметрів вони є першими режимами, які виникають на межі порушення конвергентності.

5. Одержали подальший розвиток дослідження параметрів та умов існу-вання режимів, які порушують конвергентність нелінійної параметричної систе-ми. Проаналізовано режими ділення частоти, квазіперіодичні режими і обертові рухи різними методами і проведено їх порівняння. Аналітично отримано новий критерій відсутності обертових рухів.

Практичне значення одержаних результатів. Найсуттєвіші результати досліджень, отримані під час виконання дисертаційної роботи, знайшли практичне використання:

у навчальному процесі Львівського національного університету імені Івана Франка під час викладання дисциплін: “Теорія коливань та хвиль”, “Теорія автоматичного керування”, “Програмування та математичне моделювання”;–

у науково-дослідній роботі під час виконання держбюджетних тем кафедри радіофізики фізичного факультету для вирішування задач параметричного синтезу та аналізу режимів нелінійних електротехнічних та радіотехнічних систем. Зазначені задачі вирішуються шляхом використання розробленого під час виконання дисертаційних досліджень пакету прикладних програм для середовища MATLAB-5.1, призначених для проведення досліджень режимів та умов конвергентності нелінійних систем;–

практичне використання розроблених методик дає змогу отримати налаштування нелінійних систем, що виключають можливість появи небажаних режимів, зокрема аварійних чи нештатних ситуацій.

додатках до дисертації подано документи, що підтверджують впровадження результатів роботи у навчальному процесі та наукових дослідженнях Національного університету “Львівська політехніка”.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота містить теоретичні положення та результати досліджень, отримані автором особисто. В опублікованих у фахових наукових виданнях і написаних у співавторстві працях, авторові належать: в [1] – проаналізовано механізми виникнення несиметричних коливань методом лінеаризації в околі періодичного режиму та методом ізоклін; у [2] – проведено аналітичне дослідження області існування ферорезонансу для різних степеней полінома, який апроксимує нелінійну індуктивність; розроблено програму для отримання областей існування режимів на площині параметрів; в [3] –отримано функції, що дають найсильніше параметричне збудження, проведено аналіз ефективності відомих критеріїв стійкості параметричного рівняння, зроблено чисельний розрахунок форм кривих, які дають найсильніше параметричне збудження; у [4] – досліджено області притягання та умови існування обертових рухів в нелінійній параметричній системі; у [6] – отримано критичне значення загасання для гармонічного збудження; зроблено чисельний розрахунок форми кривої, яка дає найсильніше параметричне збудження; в [7] – отримано ряди для меж областей нестійкості методом Пуанкаре; у [8] – проведено дослідження методів синтезу матриць для реалізації фільтра.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на: Міжнародній науково-технічній конференції “Сучасні проблеми засобів телекомунікації, комп’ютерної інженерії та підготовки спеціалістів” (Львів, 23-28 лютого 1998 року); 5-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Досвід розробки і застосування САПР в мікроелектроніці” (Львів, 1-6 лютого 1999 року); 3-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці” (Львів, 25-30 жовтня 1999 року); Всеукраїнській студентській науковій конференції з фізики (Львів, 15-17 травня 2000 року); Міжнародній науково-технічній конференції “Математичне моделювання як засіб мінімізації енергоспоживання в електротехнічних пристроях і системах” (Львів-Шацьк, 18-22 червня 2001 року); Всеукраїнській конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “Евріка-2002” (Львів, 22-24 травня 2002 року); 2-ій Міжнародній науково-технічній конференції “Інформаційна техніка та електромеханіка” ІТЕМ–2003 (Луганськ, 22-24 квітня 2003 року); 4-ій Міжнародній науково-технічній конференції ”Силова електроніка і енергоефективність” СЭЭ’2003 (Харків–Алушта, 22-26 вересня 2003 року); на наукових семінарах кафедри радіофізики Львівського національного університету імені Івана Франка у 1999-2003рр. (3 доповіді ).

Публікації. Основний зміст дисертації відображено у 12 публікаціях, з них 8 [1–8] - у наукових фахових виданнях і 4 [9-12] - у працях міжнародних науково-технічних конференцій. Три наукові праці написані одноосібно.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел (111 бібліографічних посилань на 10 сторінках) і трьох додатків. Повний обсяг дисертації становить 151 сторінок, у тому числі основний текст – 136 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність роботи, описана наукова новизна, задачі та методи досліджень. Наведено список статей, опублікованих за темою дисертації, із зазначенням особистого внеску автора та перелік конференцій, де проводилася апробація результатів роботи. Показано зв’язок роботи з науковими темами, практичне значення отриманих результатів та описано структуру дисертації.

У першому розділі проведено огляд відомих робіт з проблем конвергентності нелінійних систем та подано приклади розрахунків з використанням наведених у них критеріїв. Наведено визначення поняття конвергентності для електротехнічних та радіоелектронних систем: якщо X та X – розв’язки рівняння для будь-яких двох різних початкових умов, заданих у довільний момент часу t0, то конвергентність означає виконання умови

.

Далі проаналізовано критерії конвергентності Л.В.Данілова для нелінійних електричних кіл. За цими критеріями виконано аналіз кіл, які містять нелінійні резистори, індуктивності та ємності. Наведено приклади застосування критерію Л.В.Данілова.

Описано енергетичний підхід, яким користувався у своїх працях Л.В.Данілов. З його допомогою показано, що коливальний контур, у якому нелінійним є лише резистор з монотонно-зростаючою характеристикою, завжди є конвергентним.

У подальшому в першому розділі проаналізовано критерії конвергентності, сформульовані у роботах з якісної теорії диференціальних рівнянь на прикладі застосування їх до коливального контуру з нелінійною індуктивністю.

Критерій Б.П.Демидовича накладає жорсткі обмеження на нелінійність і конвергентність при його застосуванні забезпечується лише при невеликих неліній-ностях. Крім того, він вимагає, щоб нелінійна індуктивність була зашунтована актив-ним опором. Наведено приклади розрахунків із застосуванням критеріїв В.А.Пліса, В.І.Зубова. Проаналізовано частотний критерій конвергентності В.А.Якубовича.

Проведено аналіз результатів дослідження режимів у нелінійних колах з монографії Т.Хаясі, яка й дотепер є однією з найґрунтовніших робіт з теорії нелінійних систем. Проаналізовано явища ферорезонансу, субгармонічні режими та умови їх виникнення. Розглянуто також результати досліджень нелінійної параметричної системи, отримані у монографії Г.Каудерера.

Наведені результати досліджень узагальнено і поставлено задачу отримання нових аналітичних та чисельних критеріїв конвергентності, які б давали результати, ближчі до реальної границі конвергентності, що отримується шляхом чисельного розрахунку чи експерименту.

Другий розділ присвячений отриманню покращеного критерію конвергентності на основі зведення проблеми конвергентності до проблеми стійкості лінійної параметричної системи, а також пов’язаними з цим питанням дослідженнями параметричного рівняння.

Припустивши, що нелінійне рівняння другого порядку

(1)

має два періодичні розв’язки з періодом T: та і позначивши різницю між ними y(t), отримаємо лінійне параметричне рівняння:

. (2)

Функція змінюється у межах [0; 1] і також має період T. Якщо стан рівноваги рівняння (2) стійкий, то будь-які два T-періодичні розв’язки рівняння (1) з часом збігаються один до одного, тобто періодичний розв’язок є єдиним.

Далі у розділі проаналізовано вигляд областей нестійкості рівнянь Матьє та Хілла; методом Пуанкаре отримано області нестійкості для двох гармонік у функції збудження, а також наведено графічний вигляд областей нестійкості.

Виходячи з області дисипативності для (1)

, де , а , (3)

на функцію можна накласти обмеження , де .

Далі розглянуто відомі критерії стійкості рівняння (2):

(4) та (5)

і проаналізовано їх ефективність. Критерій (4) можна представити в іншому вигляді:

, де – середня частота власних коливань (тут і надалі розглядаємо безрозмірні значення усіх величин). Якщо , то цей критерій зводиться до критерію стійкості Ляпунова .

Проведений чисельний розрахунок показав, що критерій (4) для прямокутної і гармонічної форми збудження дає вкрай неефективні результати. Наприклад, для гармонічного збудження отримуємо ?кр0,13?, тобто що взагалі не залежить від а.

Зважаючи на це, було поставлено задачу знайти таку форму функції збуджен-ня, яка давала б найсильніше параметричне збудження при фіксованому значенні а. Чисельний розрахунок за методом найшвидшого спуску при різних початкових умовах дає дельта-функцію збудження. Оскільки дельта-функція допускає аналітичне знаходження мультиплікаторів, то такий розрахунок було проведено. Рівняння (2) за допомогою перетворення y=z·exp(-t) зводиться до вигляду

, де . (6)

Спочатку було обчислено слід матриці монодромії для прямокутної функції збудження :

,

тут t0 – частина періоду, де функція збудження набуває максимального значення . Далі, зафіксувавши площу під кривою збудження, за допомогою граничного переходу отримаємо:

.

Звівши слід матриці до параметрів (a/; /), отримаємо:

.

Знайшовши межу стійкості за цим виразом можна переконатися, що він еквівалентний критерію (4). Звідси випливає, що найсильніше параметричне збудження дає дельта-функція збудження, їй відповідає критерій (4) і він не може бути покращеним, якщо не накладати додаткових обмежень на функцію збудження.

На рис. наведено області стійкості рівніння (2) в координатах (a/; /a). Нижче від кривих по осі ординат стан рівноваги є нестійким, вище – стійким. Бачимо, що на початко-вій ділянці осі абсцис стійкість завжди забезпечена, що узгод-жується з критерієм Ляпунова.

Крива 1 отримана за критерієм (4). Решта кривих для прямокутних функцій збудження побудовані для різних відносних значень t0/T: 0.03 (крива 2), 0.15 (крива 3) і 0.5 (крива 4). |

Рис. 1. Області нестійкості для прямокутних форм збудження та для дельта-функції

Розглянемо тепер критерій (5), який базується на максимальному значенні функції . Тут також спершу було проведено чисельний розрахунок найсильнішого збудження методом найшвидшого спуску. У цьому випадку отримуємо прямокутну форму функції збудження з певною шпаруватістю, яка залежить від обраного максимального значення.

Для того, щоб додатково переконатися у правильності отриманого результату, було проведено розрахунок з використанням принципу максимуму Понтрягіна. Основна система рівнянь для принципу максимуму складається з двох пар диференціальних рівнянь, утворених з (6) після зведення до нормальної форми Коші та одного рівняння для функції мети. За функцію мети приймався слід матриці монодромії, який необхідно максимізувати. Основна та додаткова системи рівнянь для принципу максимуму Понтрягіна мають вигляд:

а початкові умови є такими: x(0)=(0, , , , )T та (T)=(-1, , , , )T.

Гамільтоніан для принципу максимуму Понтрягіна має вигляд:

.

У кожен момент часу функцію збудження треба вибирати виходячи з умови максимізації гамільтоніана:

Звідси випливає, що функція буде розривною і набуватиме лише двох дискретних значень. Але, оскільки початкові умови для обох систем задані у різних точках, проінтегрувати системи, визначаючи по ходу інтегрування, неможливо.

Тому нами було зроблено припущення, що на періоді функція збудження лише один раз здійснює перехід від максимального до мінімального значення. Тоді з’явля-ється можливість проінтегрувати системи аналітично і припасувати розв’язки у точці переходу. На рис. наведено приклад кривих, що отримуються за такого підходу. Тонкою лінією зображена функція збудження (t), а товстішою – функція .

Тепер ітераційним шляхом для кожного максимального значення функції збудження можна знайти таке значення |

Рис. 2. Функції (t) (крива 1) та

s(t) (крива 2), що отримуються за принципом максимуму Понтрягіна

загасання , яке забезпечує перебування системи на межі стійкості. Звідси отримуємо важливий висновок: критерій стійкості (5) може бути покращений більш як у три ра-зи, а реальне значення критичного загасання можна визначити з наближеного виразу:

. (7)

Крім того, при невеликих значеннях М критичне загасання є ще меншим, і при >2M стійкість зажди забезпечується, незалежно від величини загасання.

Повертаючись тепер до вихідної проблеми конвергентності, бачимо, що при виконанні умови стійкості періодичний режим основної частоти буде єдиним. Нескладні міркування доводять, що субгармонічні та ультрагармонічні режими також відсутні. Відсутність квазіперіодичних режимів забезпечена спеціальним критерієм В.А.Пліса.

Таким чином можна сформулювати наступну теорему: якщо для нелінійної системи з зовнішнім збудженням

,

де f(x) – гладка неспадна функція, область дисипативності така, що , і >0.29M, то система є конвергентною; якщо ж >2M, то система теж є конвергентною.

Далі розглянуто приклад розрахунку за отриманим новим критерієм та за іншими відомими критеріями з дослідження конвергентності нелінійної системи другого порядку з нелінійністю і гармонічним зовнішнім збудженням з амплітудою Y. Результати розразунків наведені на рис. 3.

Рис. 3. Залежності критичного загасання кр(Y), отримані з різних критеріїв

Найнижче по осі розміщена реальна межа області конвергентності, що отримується експериментально. З рисунка бачимо, що при деяких значеннях Y отриманий нами критерій покращує оцінку більш ніж у 2.5 рази.

У третьому розділі розглядається інший підхід до дослідження конвергентності, що ґрунтується на пошуку умов відсутності характерних режимів, що виникають поблизу границі порушення конвергентності. До цих режимів на основі чисельних досліджень віднесено: появу кількох симетричних періодичних режимів (ферорезонанс) і виникнення несиметричних періодичних режимів, характерних наявністю парних гармонік. У розділі розглянуто режими у нелінійному коливальному контурі, оскільки дослідження багатьох складних нелінійних електричних кіл можна звести до дослідження нелінійного контура.

Рівняння показаного на рис. 4 нелінійного коливального контуру

підстановками ; ; ;

(L0 – індуктивність на лінійній ділянці характе-ристики намагнічування; 0 – деяке базове значення потокозчеплення) зводиться до такої безрозмірної форми:

, де . |

Рис. 4. Приклад нелінійного коливального контуру

Далі було знайдено області існування ферорезонансу для довільного степеня поліному f(x). При малому загасанні отримуємо наступну умову: ферорезонанс існує при частотах зовнішнього збудження >1 та при його амплітудах від нуля до

.

Значення параметра a2k-1, що виникає під час обчислень, наведено у таблиці 1.

Таблиця 1. Значення a2k-1 залежно від степеня 2k-1 поліному f(x)

2k-1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19

a2k-1 | 0.750 | 0.625 | 0.547 | 0.492 | 0.451 | 0.419 | 0.392 | 0.371 | 0.352

У часткових випадках при 2k-1=3; 7; 19 отримуємо:

Наближено при великих степенях та a1 отримуємо: .

При ненульовому значенні загасання знайдено наступне критичне значення загасання, вище якого ферорезонанс зникає:

.

У часткових випадках при 2k-1=3; 7; 19 маємо:

; .

Питання про те, наскільки отримані за методом гармонічного балансу результати заслуговують довіри, можна дослідити шляхом чисельного інтегрування та подальшого гармонічного аналізу отриманих розв’язків. У таблиці 2 наведено результати гармонічного аналізу для апроксимаційного поліному степеня 2k-1=11. Як бачимо з таблиці, рівень третьої гармоніки у широкому діапазоні зміни параметрів не перевищує 23%, що можна вважати допустимим.

Таблиця 2. Відносна амплітуда третьої гармоніки для

Y | A3/A1, % | Y | A3/A1, % | Y | A3/A1, %

1.5 | 1 | 0.1 | 13 | 0.8 | 2 | 0.1 | 7 | 7 | 4 | 0.2 | 11

2 | 1 | 0.15 | 18 | 2 | 2 | 0.3 | 8 | 7 | 4 | 0.4 | 11

2.5 | 1 | 0.2 | 23 | 3.2 | 2 | 0.5 | 8 | 14 | 4 | 0.8 | 16

Інший вид режимів, які досліджувалися у третьому розділі – несиметричні режими основної частоти. Під несиметричними тут розуміємо режими, у яких рівність порушується. Виникненню несиметричних режимів, як свідчить експеримент, відповідає м’яке збудження, за якого амплітуди парних гармонік при зміні параметрів зростають від нульового значення, тобто виникає біфуркація Андронова-Хопфа.

Спочатку несиметричні режими були досліджені шляхом лінеаризації рівняння в околі гармонічного режиму. У результаті отримуємо рівняння Матьє:

, де , .

Тут X – амплітуда гармонічного розв’язку. На рис. 5 зображено області нестійкості рівняння Матьє для =0, а також крива, вздовж якої переміщуються значення параметрів при зростанні X. Скориставшись методом гармонічного балансу для оцінки амплітуди гармонічного розв’язку, отримаємо наближене співвідношення для межі виникнення несиметричних режимів:

. |

Рис. 5. Області нестійкості

рівняння Матьє

Порівняння отриманих за цим співвідношенням параметрів з результатами чисельного розрахунку показує його задовільну точність.

Несиметричні режими були проаналізовані також методом ізоклін на дискретній фазовій площині. Для цього вихідне рівняння зводимо до нормальної форми Коші і шляхом його інтегрування на періоді зовнішнього збудження отримуємо систему двох різницевих рівнянь: . (тут ). Пошук можливих періодичних розв’язків проводиться шляхом аналізу кривих:

– ізокліна нуля і – ізокліна .

Ізокліни, отримані чисельним методом, наведені на рис. 6. В області конвергентності вони мають одну точку перетину (рис. 6,а). При наближенні до межі конвергентності кут між дотичними у точці перетину кривих зменшується. На межі області конвергентності у точці перетину криві стають дотичними одна до одної. При подальшому збільшенні амплітуди зовнішнього збудження в околі існуючої точки перетину з’являються ще дві додаткові точки перетину, а вихідна точка відповідає нестійкому режиму (рис. 6,б).

Рис. 6. Ізокліни для значень параметрів =0.025, =1, Y=7.3 а) і Y=8 б)

У кінці третього розділу отримано експериментальні області існування різних типів режимів у площині параметрів для різних значень частоти зовнішнього збудження і проаналізовано їх характерний вигляд.

Четвертий розділ присвячений дослідженню конвергентності нелінійних параметричних систем. Характерними для них є математичні моделі вигляду:

.

Для таких систем, на відміну від розглянутих у попередніх розділах, неможливо розглядати функцію у вигляді суми двох функцій, одна з яких залежить лише від координат та швидкостей, а друга – від часу t. Типовими прикладами таких систем є системи фазового автопідлаштування частоти, параметричні підсилювачі перетворювачі частоти та параметричні генератори коливань. Означення поняття конвергентності для окресленого кола систем вимагає деякої модифікації, а саме: важливим є визначення умов, для яких стан або стани рівноваги є єдиними можливими стаціонарними режимами.

У розділі розглядалась математична модель таких систем у вигляді нелінійного параметричного рівняння:

. (8)

Чисельний розрахунок показує, що у такому рівнянні виникають періодичні режими ділення частоти. Для знаходження цих режимів було застосовано метод гармонічного балансу. Він дає змогу з високою точністю знайти амплітуду періодичних режимів та критичне загасання, при якому ці режими зникають.

Метод повільно-змінних амплітуд при =1 та =0 дає наступні вирази для амплітуди режиму ділення частоти та для частоти коливань огинаючої квазіперіодичного режиму поблизу цього ж режиму ділення частоти:

; . (9)

Проведено зведення системи рівнянь, яка виникає при використанні метода повільно-змінних амплітуд до рівнянь Гамільтона. Це дало змогу отримати перший інтеграл системи, який у полярних координатах має вигляд:

. (10)

У подальшому було виконано чисельний аналіз режимів системи на дискретній фазовій площині з кроком по часу у два періоди параметричного збудження. При дослідженні розв’язків рівняння (8) можна виділити два різні випадки: а) стан рівноваги лінеаризованого рівняння є нестійким і б) стан рівноваги є стійким. Спочатку було розглянуто консервативну систему (=0). Приклади дискретних фазових портретів для цих двох випадків наведені на рис. 7. Стрілками умовно показано напрям переміщення зображаючої точки по кривих (це має зміст лише тоді, коли переміщення за період значно менше за діаметр кривої). Дискретний фазовий портрет на рис. ,а можна отримати аналітично з виразу (10), прирівнюючи його до констант. Послідовність точок, які утворюються на дискретному фазовому портреті від певної пари початкових умов, лягають на замкнені криві, заповнюючи їх з ростом часу як завгодно щільно, що відповідає квазіперіодичному режиму. На обох фазових портретах бачимо дві нерухомі точки, що відповідають стійким режимам ділення частоти у два рази. На фазовому портреті рис. 7,б бачимо також два нестійкі режими ділення частоти. По аналогії з неперервним випадком можна провести класифікацію нерухомих точок на центри, сідла та фокуси.

Рис. 7. Дискретні фазові портрети для параметрів =0.1,=1.0 а) та =0.1,=0.95 б)

У розділі зроблено також деякі висновки про поведінку векторного поля, що задається точковим перетворенням на дискретній фазовій площині. На дискретній фазовій площині було виявлено складні структури: періодичні режими ділення частоти у багато разів. Розглянуто поведінку дискретних фазових портретів із загасанням, а також області притягання режимів на площині початкових умов.

Проведено аналіз поведінки системи поблизу нестійкого стану рівноваги, тобто в околі точок ((2k+1), 0). Для системи без параметричного збудження ці точки є особливими точками типу “сідло”. Показано, що коли функція збудження завжди додатна, то стабілізувати верхній стан рівноваги введенням загасання неможливо.

Досліджено обертові рухи, які виникають у системі з моделлю (8), тобто такі, за яких необмежено зростає або спадає. Обертовий рух Гp,q визначається як такий, для якого виконується співвідношення . Він є сумою лінійної та періодичної складових.

Для значень параметрів =0.1, =0.01, =1.0 з усієї множини початкових умов (, d/dt), при t=0 можна виділити області притягання обертових рухів. Вигляд цих областей наведено на рис. . Числовий розрахунок свідчить, що всі ці обертові рухи належать до класу 1,1.

Встановлено аналітичний критерій відсутності обертових рухів у вигляді:

, (11)

де A – амплітуда періодичної складової. |

Рис. 8. Області притягання

обертових рухів

ВИСНОВКИ

Для дослідження можливих режимів в електротехнічних та електронних пристроях переважно застосовують спрощені нелінійні моделі. За такого підходу часто не вдається виявити всі можливі режими, які можуть виникнути. На практиці виникнення небажаних режимів може призводити до аварійних та нештатних ситуацій, пошкодження обладнання і т.п. У роботі для часткового просування у розв’язанні цієї проблеми отримано ряд чисельних та аналітичних методик і підходів для дослідження умов конвергентності нелінійних систем другого порядку. З метою узагальнення результатів дисертаційного дослідження та вироблення практичних пропозицій щодо їхнього використання нижче сформульовано основні висновки роботи.

1. На основі проведеного огляду літературних джерел встановлено, що існуючі аналітичні критерії конвергентності при застосуванні до реальних систем дають малоефективні умови конвергентності. Зважаючи на це, можна констатувати що створення нових чисельних та аналітичних критеріїв конвергентності нелінійних систем другого порядку є актуальним.

2. Розроблено покращену методику дослідження конвергентності, що ґрунтується на зведенні проблеми конвергентності до проблеми стійкості лінійної системи з параметричним збудженням. Накладаючи на функцію збудження параметричної системи обмеження, які випливають з властивостей вихідної нелінійної системи, можна робити висновки про стійкість стану рівноваги. У результаті отримуємо покращений критерій конвергентності (7) та умову конвергентності >2M.

3. Доведено, що якщо функція параметричного збудження має фіксований інтеграл на періоді, то достатній критерій стійкості (4) не може бути покращеним, тобто він є одночасно і необхідним критерієм. Найсильніше параметричне збудження відповідає дельта-функції, а інші форми функції збудження дозволяють значно покращити умови стійкості.

4. На основі принципу максимуму Понтрягіна показано, що у випадку фіксованого максимального значення функції параметричного збудження, найсильніше параметричне збудження відповідає прямокутній функції з відповідною шпаруватістю.

5. Методом гармонічного балансу отримано області існування ферорезонансу при апроксимації нелінійності поліномом довільного степеня. Така апроксимація є необхідною для точнішого наближення кривої намагнічення при різних величинах насичення. Отримані області за розробленою методикою добре узгоджуються з результатами числового розрахунку.

6. На основі методу ізоклін та застосовуючи лінеаризацію диференціального рівняння системи в околі періодичного режиму показано, що процес виникнення несиметричних режимів являє собою біфуркацію Андронова-Хопфа та знайдено межу області виникнення несиметричних режимів на площині параметрів, що також дає аналітичний критерій конвергентності.

7. Показано, що для нелінійної параметричної системи методи гармонічного балансу та повільно-змінних амплітуд дають результати, які добре узгоджуються з чисельним розрахунком. З їх допомогою можна визначити амплітуди періодичних режимів ділення частоти, критичне загасання, яке усуває ці режими, а також деякі параметри квазіперіодичних режимів. Чисельний аналіз системи за методом дискретної фазової площини дозволяє виявити режими ділення частоти в цілу кількість разів, а також деякі характерні особливості точкового перетворення.

8. За допомогою прямого розрахунку мультиплікаторів для прямокутного збудження доказано, що нестійкий стан рівноваги неможливо стабілізувати введенням загасання при умові, що функція збудження є невід’ємною.

9. Аналітично отримано умову відсутності обертових рухів у нелінійних параметричних системах (11), що добре узгоджується з результатами чисельних розрахунків.

Основні публікації за темою дисертації

1. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Несиметричні коливання в нелінійному контурі з симетричною нелінійністю // Технічна електродинаміка. Тематичний випуск. - Ч.4.– 2003.– С. 106–107.

2. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Дослідження ферорезонансу, субгармонічних і несиметричних режимів у нелінійних колах // Вісник Східноукраїнського національного університету ім.В.Даля. – 2003.– №6(64).– С. 146–152.

3. Паранчук Р.Я., Синицкий Л.А. Об условиях конвергентности для систем второго порядка // Электронное моделирование.– . – №5. – С.59-70.

4. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про обертові рухи в нелінійній параметричній системі // Теоретична електротехніка. – 2002. – Вип.56. – С. .

5. Паранчук Р.Я. Знаходження екстремального збудження для рівняння другого порядку за принципом максимуму Понтрягіна // Вісник НУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. – 2002. – №449. – С.160-164.

6. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про умови конвергентності для систем другого порядку. // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”.– 2001.– №421.– С.144-149.

7. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Про області нестійкості рівняння Хілла // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. – 1997.– №340.– С.84-91.

8. Паранчук Р.Я., Синицкий Л.А. Про синтез цифрових фільтрів Баттерворта системою з періодично змінними параметрами // Вісник ДУ “Львівська політехніка” “Електроенергетичні та електромеханічні системи”. – 1999. – №372.– С.144-149.

9. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Дослідження стійкості систем, що описуються рівнянням Хілла // Матеріали Міжнародної науково-технічної конференції “Сучасні проблеми засобів телекомунікації, комп’ютерної інженерії та підготовки спеціалістів”. - Львів, 1998.– С.52-53.

10. Паранчук Р.Я., Синицький Л.А. Числовий розрахунок нелінійних параметричних систем // Тези 3-ої Міжнародної науково-технічної конференції “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці”.– Львів, 1999.– С.201-202.

11. Паранчук Р.Я. Дослідження нелінійних параметричних систем // Збірник тез Всеукраїнської студентської наукової конференції з фізики. – Львів, 2000.– С. .

12. Паранчук Р.Я. Використання принципу максимуму Понтрягіна для знаходження екстремального збудження рівняння другого порядку // Збірник тез Всеукраїнської конференції молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики “Евріка-2002”.– Львів, 2002.– С.186-187.

Паранчук Р.Я. Дослідження умов конвергентності для нелінійних електричних кіл. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.09.05 – теоретична електротехніка. – Національний університет ”Львівська політехніка”, Львів, 2004.

Робота присвячена дослідженню умов конвергетності у нелінійних електричних колах, отриманню нових аналітичних та чисельних критеріїв конвергентності для систем другого порядку.

Використовуючи зведення проблеми конвергентності до проблеми стійкості параметричної системи отримано покращений критерій конвергентності. Розв’язано проблему знаходження екстремального збудження параметричної системи при фіксованому на періоді інтегралі функції збудження і фіксованих межах зміни функції збудження.

Аналітично отримано області існування ферорезонанасу для довільного степеня поліному, що апроксимує нелінійність. Досліджено механізм виникнення несиметричних режимів аналітично та методом ізоклін на дискретній фазовій площині. Отримані результати підтверджені чисельним розрахунком.

Досліджено режими, які порушують конвергентність у нелінійній параметричній системі, а також умови їх виникнення чисельно та аналітично.

Ключові слова: конвергентність, нелінійне електричне коло, параметричне збудження, стійкість, фазовий портрет, ферорезонанс.

Паранчук Р.Я. Исследование условий конвергентности для нелинейных электрических цепей. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.09.05 – теоретическая электротехника. – Национальный университет ”Львивська политехника”, Львов, 2004.

Диссертация посвящена проблемам исследования условий конвергентности в нелинейных электрических цепях, то есть поиску условий существования единственного установившегося режима независимо от начальных условий и начального момента времени, а также установлению новых аналитических и численных критериев конвергентности. В работе рассматривается конвергентность периодических режимов и состояний равновесия.

Проанализированы существующие критерии конвергентности, сформулиро-ванные в работах по качественной теории нелинейных дифференциальных уравне-ний и теории нелинейных цепей, в частности в работах Л.В.Данилова, В.А.Плисса, В.А.Якубовича, В.И.Зубова и др. Рассмотрены также результаты, полученные в работах по исследованию режимов в нелинейных системах Т.Хаяси, Г.Каудерера.

В работе использовано сведение проблемы конвергентности нелинейной системы к задаче исследования устойчивости линейного параметрического уравнения с некоторым классом функций возбуждения. На эти функции накладываются ограничения исходя их свойств исходного нелинейного уравнения. Зная область диссипативности нелинейного уравнения, можно ограничить макси-мальное значение функции возбуждения или ее интеграл на периоде. В работе исследован вопрос об эффекривности критериев устойчивости параметрического уравнения, использующих указанные ограничения. В частности, установлено, что при фиксированном интеграле функции возбуждения экстремальное возбуждение да-ет дельта-функция и критерий устойчивости в этом случае не может быть улучшен.

В случае же, когда ограничено максимальное значение функции возбуждения, критерий устойчивости, связывающий его с затуханием, может быть улучшен более чем в три раза. В этом случае экстремальное параметрическое возбуждение дает прямоугольная функция с некоторой скважностью, которая зависит от выбранного максимального значения. Этот результат получен как численно методом наискорей-шего спуска, так и аналитически с помощью принципа максимума Понтрягина. На основании этих результатов был получен улучшенный критерий конвергентности. Пример использования полученного критерия показал значительное улучшение оценки критического затухания для некоторых значений параметров.

Аналитически получены области существования феррорезонанса для прозвольной степени полинома аппроксимации нелинейности. Найдены как область существования феррорезонанса по амплитуде внешнего возбуждения при нулевом затухании, так и критическое значение затухания, при котором феррорезонанс исчезает независимо от амплитуды внешнего возбуждения. Численный расчет показывает, что метод гармонического баланса в данном случае применим.

Исследован механизм возникновения несимметрических режимов аналитиче-ски при помощи линеаризации уравнения в окрестности гармонического режима. Показано, что несимметрия возникает в момент, когда параметры полученного после линеаризации уравнения Матье попадают во вторую область неустойчивости. В этот момент возбуждается вторая гармоника, что и вызывает несимметрию, при-чем имеет место бифуркация Андронова-Хопфа. Полученный результат подтвержден и с помощью метода изоклин на дискретной фазовой плоскости. До возникновения несимметрического режима изоклины имеют одну точку пересечения, а после возникновения – три. Исходный режим не исчезает, но становится неустойчивым.

Исследованы режимы, нарушающие конвергентность в нелинейной параметрической системе. В такой системе целесообразно несколько иное определение конвергентности, а именно: конвергентность имеет место, когда единственным устойчивым режимом является состояние равновесия или семейство состояний равновесия. Сначала поведение нелинейной параметрической системы второго порядка было иследовано аналитически. Метод медленно-изменяющихся амплитуд позволяет найти амплитуду режимов деления частоты, а также приближенно оценить частоту колебаний огибающей квазипериодических режимов вблизи