Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

ПЕПЕЛЯЄВА Тетяна Володимирівна

УДК 519.21

НЕЛІНІЙНІ ДИНАМІЧНІ МОДЕЛІ

В ЗАДАЧАХ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

ТА ТЕОРІЇ РИЗИКУ

01.05.01 теоретичні основи інформатики та кібернетики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

Кнопов Павло Соломонович,

Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова

НАН України, завідувач відділу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

Андрєєв Микола Варфоломійович,

Інституту прикладного та системного аналізу

НАН України та Міністерства освіти України,

провідний науковий співробітник,

кандидат фізико-математичних наук,

Чорней Руслан Костянтинович,

Міжрегіональної академії управління персоналом,

доцент.

Провідна установа: Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, факультет кібернетики,

кафедра прикладної статистики.

Захист відбудеться “24” вересня 2004 р. о (об) 12 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені

В.М. Глушкова НАН України за адресою:

03680 МПС Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий “18” серпня 2004 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради СИНЯВСЬКИЙ В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Науково-технічний прогрес вимагає все більшого застосування математичних методів у різних галузях науки, техніки, економіки. Поряд з іншими математичними дисциплінами це сприяє швидкому розвитку фінансової математики та теорії ризику. Про теоретичне та практичне значення цих наук свідчать чисельні публікації, кількість яких швидко збільшується з кожним роком. Ряд фундаментальних результатів, що стосуються моделювання поведінки учасників фінансових ринків, належать Т. Бьйорку, Д. Дюфи, І. Каратзасу, Ю.С. Мішурі, Б. Оксендалу, А.М. Ширяєву та ін.

Кожен суб’єкт економічної діяльності намагається найкращим чином розпоряджатися своїми активами: коштами, акціями, облігаціями та іншими цінними паперами. Інвестор, що оперує на ринку цінних паперів, докладає певних зусиль для отримання найбільш можливого прибутку при вкладі в свою фінансову діяльність наявного капіталу. Але на ринку постійно відбуваються зміни відсоткових ставок, рівня інфляції, валютних курсів, біржевих показників та ін. Від вміння прогнозувати ці показники значною мірою залежить кінцевий результат. Саме для фінансових ринків найбільш важливими та актуальними є проблеми визначення динаміки відсоткової ставки та оптимізації фінансової стратегії.

Динаміка зміни відсоткової ставки в часі описується випадковим процесом, який задовольняє стохастичне диференціальне рівняння. Основи теорії стохастичних диференціальних рівнянь уперше були закладені, незалежно один від одного, К. Іто та І.І. Гіхманом в 1947-1951рр. З часом, методи теорії стохастичних диференціальних рівнянь набули свого розвитку й широких застосувань у фінансовій математиці при розв’язанні чисельних задач, що там розглядаються. Цьому сприяв той факт, що диференціал Іто (в науковій літературі закріпилась саме така назва) як найкраще описує явища на фінансових ринках. Знаходження розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь, як правило, завжди є складною задачею. Вкрай рідко ці розв’язки одержують у явному вигляді. Коли це вдається, то значно підвищується зручність їх використання у практичних цілях. Тому успішні спроби в цьому напрямку є дуже важливими та актуальними.

Іншою проблемою, що привертає до себе все більшу увагу, є оптимізація фінансової стратегії на ринку цінних паперів. Перші роботи в цьому напрямку були пов’язані із застосуванням методів визначення оптимального моменту зупинки до розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь. Але надалі коло застосувань теорії оптимального керування в цій галузі значно зросло. Це пов’язано з необхідністю моделювання оптимальних фінансових стратегій з метою одержання максимального прибутку. Тому дослідження і розробка методів оптимального керування для стохастичних систем, що описують різноманітні моделі фінансового ринку, є актуальна та важлива проблема.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась за планом наукових досліджень в рамках таких бюджетних науково-дослідних тем Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України: “Розробка математичних методів та обчислювальних алгоритмів для аналізу, оптимізації та керування ризиком” (ВФК 130.09); “Розробити методи оцінки ризику та їхні застосування в економіці, фінансовій і страховій математиці, теорії надійності” (ВФ 130.07); “Розробити методи оптимального керування стохастичними системами з післядією для розв’язку прикладних задач в економіці, екології та техніці” (ІП 130.08).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка динамічних моделей фінансового ринку та оптимальних керувань стохастичними системами.

Для досягнення сформульованої мети в роботі поставлені та вирішені наступні задачі:

розробка методів та динамічних моделей визначення відсоткової ставки цінних паперів на фінансовому ринку;

моделювання оптимальної стратегії інвестора, який діє на фінансовому ринку, за наявністю змінної структури портфеля цінних паперів;

розробка методів оптимального керування портфелем цінних паперів для стохастичних моделей, що описуються ланцюгами Маркова;

розробка методів оптимального керування ризиком для стохастичних динамічних моделей з дробовим білим шумом;

знаходження умов існування оптимального керування стохастичною системою, що є розв’язком стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінерівським полем;

Об’єкт дослідження – акції, облігації та інші цінні папери, їх вартості та відсоткові ставки, а також динамічні випадкові процеси, що мають місце на біржах та фінансових ринках.

Предмет досліджень – стохастичні динамічні моделі.

Методи дослідження. При дослідженнях у дисертаційній роботі застосовувались теорія випадкових процесів, теорія стохастичної оптимізації, методи функціонального аналізу, теорія керованих процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Отримані наукові результати є новими та такими, що узагальнюють існуючі, а саме:

розроблено два нові методи розв’язування нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь. Обидва методи дають розв’язок у явному вигляді, що надає суттєві переваги при їх використанні. Розроблені методи детально продемонстровані на конкретних прикладах (задачах моделювання відсоткової ставки на ринку цінних паперів);

розроблено алгоритм знаходження оптимальних моментів переклю-чення між N портфелями цінних паперів на фінансовому та страховому ринках, що в більшості випадках є вигіднішим для інвестора з точки зору максимізації прибутку, ніж стратегія з одним переключенням;

знайдено умови існування оптимальної стратегії на фінансовому ринку в класі однорідних ланцюгів Маркова. Розглянуто випадки скінчених, злічених та компактних множин станів керованої системи та множин вибору можливих торгових стратегій;

розв’язано задачу оптимального керування стохастичними процесами та полями, які є розв’язками стохастичного диференціального рівняння з дробовим вінерівським процесом та полем відповідно. Знайдено умови існування оптимального керування.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, одержані в дисертації, можуть мати своє практичне застосування на реальних фондових та фінансових ринках, біржах та в інших фінансових установах. Вони можуть також використовуватись у тих галузях людської діяльності, де постає питання оптимального керування тими чи іншими стохастичними системами, наприклад, в економіці, телекомунікаційних мережах та ін. Запропоновані методи, алгоритми та моделі можуть бути доведені до користувача через їх програмування на сучасній обчислювальній техніці.

Особистий внесок здобувача. У роботах [2, 3, 5] проведено дослідження самостійно, автору дисертаційної роботи належать усі теоретичні результати. У роботах [1, 4, 6, 7] співавторам належить постановка задачі та визначення методології для її розв’язання, а розрахунки, формулювання та доведення теорем, детальне викладення методів та алгоритмів належить авторові цієї дисертації.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в
7 роботах, з них 6 – надруковано в наукових фахових виданнях, 1 – у збірнику доповідей міжнародної конференції.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновку, списку використаних джерел, що містить 75 найменувань. Загальний обсяг дисертаційної роботи 112 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету роботи, описано наукову новизну досліджень і отриманих результатів та їх практичне значення.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертації, обгрунтовується вибір подальших напрямків досліджень.

Другий розділ присвячено дослідженню нелінійних стохастичних диференційних рівнянь, за допомогою яких визначається коротка відсоткова ставка на ринку цінних паперів. Розроблено два методи розв’язування цих рівнянь, що дають розв’язок у явному вигляді. Ці методи продемонстровані на конкретних прикладах.

У силу того, що коротка відсоткова ставка, як і багато інших процесів, що протікають на ринку цінних паперів, є стохастичним, то загально прийнято вважати, що його динаміка задається стохастичним диференціальним рівнянням, загальний вигляд якого такий

(1)

де r(t) стохастичний процес короткої ставки; (t,r) функція зносу; (t,r) дифузія рівняння; W(t) вінерівський процес; Т фіксований час платежу.

У підрозділі 2.1 описано метод, що базується на застосуванні формули Іто та на тому факті, що всі рівняння, які досліджуються, мають афінну структуру своїх членів.

Методом, запропонованим у роботі, розв’язано рівняння Кокса–Інгерсолла–Росса, яке має такий вигляд:

(2)

де a та є сталими.

Одержано наступний результат.

Теорема 2.1.1. Нехай відсоткова ставка r задовольняє рівняння (2). Тоді r має такий вигляд:

,

де,

.

Досліджено рівняння Халла–Вайта (розширення Васічека), яке має такий вигляд

. (3)

Має місце наступне твердження.

Теорема 2.1.2. Нехай відсоткова ставка r задовольняє рівняння (3). Тоді r має такий вигляд:

,

де .

Розглянуто рівняння Халла–Вайта (розширення Кокса–Інгерсолла–Росса), що має такий вигляд

. (4)

У роботі доведено, що має місце наступний результат.

Теорема 2.1.3. Нехай відсоткова ставка r задовольняє рівняння (4). Тоді r має такий вигляд:

,

де

,

.

У підрозділі 2.2 запропоновано інший метод розв’язування стохастичних диференційних рівнянь та продемонстровано його на прикладі рівняння Кокса–Інгерсолла–Росса. В основу цього методу покладено поняття добутку Віка, який визначається наступним чином.

Розглянемо простір Шварца S швидко спадних гладких функцій, і нехай S двоїстий простір. Будемо вважати випадкові події елементами S , а трійку (S , (S ), ) простором, породженим білим шумом, гаусівська міра.

.

Нехай fL2() випадкова функція. Тоді справедливе представлення:

,

де Hn()=Hn(, n-1) багаточлен Ерміта n-го порядку,

, n(x)S(R) функція Ерміта.

Крім того .

Розглянемо простір

і двоїстий йому простір

.

Для елементів простору S-1 можна ввести операцію добутку таким чином.

Нехай

.

Тоді добутком Віка (Wick product) елементів F і G називається

.

Для невипадкових функцій це звичайний добуток.

Нехай.

Перетворенням Ерміта функції F називається функція

(за умови , що ряд збігається) .

За допомогою перетворення Ерміта визначають функції у сенсі Віка (Wick version) таким чином.

Нехай XS-1 і f : UC аналітична функція , U – окіл точки a0=EX.

Припустимо, що ряд Тейлора функції f в околі a0 має дійсні коефіцієнти.

Тоді функцією у сенсі Віка називається

.

Іншими словами, якщо

,

то

,

де вираз (X– a0)n означає (X– a0), помножене саме на себе n раз добутком Віка.

Розглянемо більш загальне рівняння Кокса–Інгерссолла–Росса (2):

(5)

де (t)= (t,), (t)= (t, ) випадкові процеси.

Розглянемо рівняння (5) як стохастичне диференціальне рівняння у сенсі Скорохода й замінимо всі добутки на добутки Віка, а функцію кореня (квадратного) на функцію у сенсі Віка.

Тоді рівняння (5) матиме вигляд:

(6)

Одержано наступний результат.

Теорема 2.2.1. Припустимо , що (t,), (t, ) неперервні по t S-1-процеси, а також r0S-1. Тоді розв’язком рівняння (5) у просторі S-1 буде процес

,

де (t) білий шум, а всі функції є функціями в сенсі Віка.

При (t) , (t) , r0()r0 розв’язок рівняння (2) прийме вигляд:

.

Третій розділ дисертації присвячено моделюванню оптимальної стратегії на ринку цінних паперів. Розглядаються торгові стратегії на ринку цінних паперів та можливості переходу від одного портфелю активів до іншого за певний час. Досліджено задачу оптимізації стратегії з метою отримання максимального прибутку для інвестора, що оперує на ринку цінних паперів, при певному початковому вкладі. Знайдено оптимальні моменти переключення між трьома та більше портфелями, а також умови їх існування. Підрозділ 3.1 присвячено визначенню оптимальних моментів переключення між портфелями акцій за допомогою теорії переламних моментів зупинки.

Нехай (, , P) повний ймовірнісний простір, t 0, {t, t[0, Т]} зростаючий неперервний справа потік -алгебр, t , =t .

Означення 3.1.1. Процес Xt, t 0 називається мартингалом, якщо

1)

2)

3)

Означення 3.1.4. Невід’ємна випадкова величина =() називається моментом зупинки відносно потоку (t), якщо подія { : t } t для будь-якого t 0.

Означення 3.1.5. Момент зупинки називається передбачуваним, якщо існує послідовність (n) моментів зупинки, що задовольняють такі умови:

1)

2)

Означення 3.1.8. Момент зупинки (м.з.) називається оптимальним для процесу Yt, якщо

.

Розглянемо три фінансових портфелі, що складаються з акцій. Їх вартість задовольняє лінійні стохастичні рівняння

,

де коефіцієнт росту, коефіцієнт волатильності.

Нехай виконуються такі припущення.

(А1) Коефіцієнти і задовольняють умови:

1) процес – передбачуваний та обмежений, t [0, T], i=1, 2, 3;

2) процес – обмежений, t [0, T], i=1, 2, 3;

3) існують передбачувані та обмежені процеси такі, що

майже напевно, t [0, T], i=1, 2, 3.

Капітал інвестора = для кожного портфеля задовольняє рівняння

, причому майже напевно, i=1,2,3.

Нехай інвестор у момент часу t=0 вкладає деякий початковий капітал =x0 у перший портфель. Потім у деякий момент часу t= він вирішує реалізувати свої активи та інвестувати свої гроші в другий портфель, причому нехай С – ціна за переключення, яку сплачує інвестор у момент переключення . Далі в момент часу t= інвестор реалізує свої активи за другим портфелем та інвестує гроші в третій портфель, при цьому заплативши за переключення С. Ціна за переключення пропорційна величині капіталу інвестора, тобто С=с , де сt узгоджена випадкова величина, 0< сt <1 майже напевно.

Означення 3.1.12. Момент зупинки називається оптимальним моментом переключення для стратегії з двома переключеннями з портфеля X(1) на портфель X(2), якщо

,

момент зупинки називається оптимальним моментом переключення для стратегії з двома переключеннями з портфеля X(2) на портфель X(3), якщо

.

Нехай х0 додатня обмежена випадкова величина (0-вимірна).

Припустимо, що х0=1, а коефіцієнти і задовольняють такі умови:

1)

2)

Отже, маємо задачу самофінансованої стратегії з двома переключеннями

,

,

,

.

Метою інвестора є максимізація величини

.

У цьому співвідношенні =, тому що насправді капітал інвестора в момент часу Т залежить від моментів переключення і .

У дисертаційній роботі доведено наступну теорему.

Теорема 3.1.4. Нехай виконані такі умови:

1) випадковий процес {, t [0, T] } не залежить у сукупності від процесів {, Wt, t [0, T] }, випадковий процес {, t [, T] } не залежить у сукупності від процесів {, Wt , t [, T] };

2),

;

3),

.

Тоді

і

.

Розглянемо t-узгоджені випадкові процеси

,

.

При вище наведених умовах з теореми 3.1.4 випливає, що EY= Е та EZ=E, тобто оптимальний момент переключення з першого портфеля на другий збігається з оптимальним моментом зупинки для процесу Yt, а оптимальний момент переключення з другого портфеля на третій збігається з оптимальним моментом зупинки для процесу Zt. У роботі отримано достатні умови існування оптимальних моментів зупинки для процесів Yt та Zt. Таким чином знайдено оптимальні моменти переключення з першого портфеля на другий при t [0, T], та з другого на третій при t [, T].

Для того щоб максимізувати прибуток у момент часу Т, повинна виконуватися наступна умова:

. (7)

Тільки в цьому випадку є сенс переключення з другого портфеля на третій.

У цьому ж підрозділі узагальнено метод знаходження оптимальних моментів переключення для довільного числа N фінансових портфелів, що складаються з акцій.

Підрозділ 3.2 присвячено визначенню оптимальних моментів переключення між портфелями акцій та облігацій для процесів, що допускають факторизацію.

Нехай {t, t, t [0, T]} деякий невід’ємний неперервний випадковий процес і .

Будемо вважати, що t припускає факторизаційне представлення вигляду

t=t t ,

де t деякий невід’ємний мартингал, t деяка узгоджена випадкова величина.

Розглянемо три фінансових портфелі, кожний із який складається з облігацій та акцій.

Вартість облігацій задовольняє диференційне рівняння

,

де відсоткова ставка в момент часу t відповідно для i-го портфеля.

Вартість акцій задовольняє лінійне стохастичне диференціальне рівняння

,

де коефіцієнт росту, - коефіцієнт волатильності.

Нехай виконуються такі припущення.

(А2) 1) процес 0 – передбачуваний та обмежений, t[0, T], i=1,2,3;

2) процес – передбачуваний та обмежений, t[0, T], i=1,2,3;

3) процес – обмежений, t[0, T], i=1,2,3;

4) існують передбучувані та обмежені процеси такі, що

= майже напевно, t[0, T], i=1,2,3.

Капітал інвестора в цьому випадку=+ для кожного портфеля задовольняє рівняння

,

причому майже напевно, i=1, 2, 3.

Метою інвестора є максимізація прибутку при початковому внеску х0 за допомогою оптимальних моментів переключень між портфелями, що детально було описано у підрозділі 3.1.

Розглянемо процеси , t s 0, які називаються дефляторами і задовольняють стохастичні диференціальні рівняння

.

Їх розв’язки при s=0 мають вигляд

.

У дисертаційній роботі отримано наступний результат.

Теорема 3.2.2. Нехай виконані умови (А2). Тоді існують процеси , t s 0, i=1,2,3, які для фіксованого s є мартингалами по t відносно потоку (t) і такі, що для всіх s [0, T]

і для всіх s[ , T], фіксоване

.

З цього твердження випливає, що при виконанні умов (А2) для будь-яких моментів зупинки [0, T] і [, T]

,

.

Має місце наступне твердження Ольцік Я.О. Стохастичний аналіз процесів та полів за допомогою мартингальних методів: Дисертація канд. фіз.-мат. наук: 01.01.05. – К., 1999. – 140 с..

Лема 3.2.1. При виконанні умов (А2) існує рівномірно інтегрований мартингал Mt та деякий узгоджений випадковий процес At такі, що оптимальний момент зупинки для процесу Yt=Mt At збігається з оптимальним моментом переключення для стратегій (, ) , тобто Е =EY.

Аналогічне твердження має місце і для стратегій (, ) і процесу Zt=Nt Bt, де Nt відповідний рівномірно інтегрований мартингал, Bt відповідний узгоджений випадковий процес.

У роботі отримано наступний результат.

Теорема 3.2.3. Нехай виконані умови (А2) та існує момент зупинки

[0, T], такий , що А А для будь-якого моменту зупинки [0, T], й існує момент зупинки [ , T] , що B B для будь-якого моменту зупинки

[, T]. Тоді є оптимальний момент переключення для стратегій (, ), а є оптимальний момент переключення для стратегій (, ).

Таким чином знайдено оптимальні моменти переключення для портфелів
(, ) і (, ).

Для того, щоб друге переключення мало сенс, необхідне виконання
умови (7).

У цьому ж підозділі узагальнено метод знаходження оптимальних моментів переключення для довільного числа N фінансових портфелів, кожний із який складається з облігацій і акцій..

У підрозділах 3.3, 3.4 досліджено задачу вибору оптимальної стратегії за допомогою керованих ланцюгів Маркова. Досліджено задачу вибору портфеля та цін цінних паперів за допомогою метода динамічного програмування. Знайдено умови існування оптимального керування системою. Розглянуто випадки, коли множина станів керованої системи та множина вибору можливих стратегій на ринку цінних паперів є скінченими (підрозділ 3.3), зліченими або компактними (підрозділ 3.4).

У четвертому розділі досліджуються стохастичні диференційні рівняння з дробовим вінерівським процесом та полем, і розглядається задача оптимального керування розв’язком відповідних рівнянь.

У підрозділі 4.1 ця задача розв’язується для дробовох вінерівських процесів з параметром Харста .

Нехай (,,) ймовірнісний простір, (t), t [0, 1] сімейство -підалгебр , причому st, якщо s t.

Нехай дробовий вінеровский процес із параметром Харста , тобто неперервний гаусівский процес, такий, що , , t0, і коваріаційна функція задається таким чином:

.

Зауважимо, що при H=1/2 випадковий процес звичайний броунівський рух.

Нехай (С,) вимірний простір неперервних на [0, 1] функцій f з потоком -алгебр t={f(s), s t}, ={f(t), t[0, 1]}.

Розглянемо рівняння

, (8)

де a t-вимірний функціонал, u: [0,1] керування, що не залежить від майбутнього. Нехай U клас усіх керувань, для яких існує розв’язок рівняння (8). найменша -алгебра борелівських підмножин з [0,1], U -алгебра борелівських підмножин з U, (,U) метричний компакт.

Вартість керування задається таким чином:

,

де f(t, о, u) неперервна невід’ємна функція, (t, о, u)[0,1]C, u(t) розв’язок рівняння (8), що відповідає керуванню u=u(t, u(t)). Задача оптимізації керування розв’язком рівняння (8) полягає у тому, щоб знайти керування u* у класі допустимих керувань, яке б мінімізувало вартість керування F.

Позначимо . Величину Z назвемо оптимальною вартістю керування у класі U. Якщо вартість F(u) при деякому u= досягає мінімуму, керування будемо називати оптимальним у U.

Процес припускає інтегральне представлення

,

де Wt - стандартний вінерівський процес, а ядро KH(t, s) має вигляд

,

де (Г гамма-функція).

Ядро КH визначає оператор КH у L2([0,1]) таким чином:

.

Обернений оператор визначається як

,

де.

Нехай функціонал a(t, , u(t, )) задовольняє наступні умови:

1) a(t, х, u) є U -вимірна функція;

2) t[0,1] функція a(t, х, u) є U - вимірна;

3) t[0,1], хC функція a(t, х, u) – неперервна на U;

4) t[0,1], хC множина a(t, х, U)={ a(t, х, u), u U} опукла та замкнена;

5) L>0, таке, що

;

6) M>0, таке, що

,

де х – норма в С([0,1]).

Покладемо au (t, х)=a(t, х, u(t, х)), t[0,1], хC, u U.

Зафіксуємо ймовірнісний простір (,,0) з вінерівським процесом W=(Wt, t,0).

Нехай множина D визначається таким чином

,

де

.

У роботі показано, що множина щільностей D є слабкий компакт в просторі L1([0,1]). Для цього доведено твердження, про рівномірну інтегрованість та слабку замкненість множини D в L1([0,1]). Звідси випливає наступний результат.

Теорема 4.1.3. Нехай виконуються умови 1) 6) для функціоналу a(t,x,u).

Тоді існує керування u* U, таке, що

.

У підрозділі 4.2 досліджується задача відшукання оптимального керування розв’язком стохастичного диференційного рівняння з дробовим вінерівським полем.

Нехай (,,) ймовірнісний простір, z, zА, А=[0,1]2 двохпараметричне сімейство -підалгебр , причому z, якщо z1 z, де вираз z1 z означає покоординатну нерівність між z1=(t1,s1) та z=(t,s).

Нехай дробове вінерівське поле з параметрами Харста (H,H)(0,1/2)2, тобто гауссівське поле, із коваріаційною функцією

,

.

Зауважимо, що при H=H=1/2 звичайне вінерівське поле.

Нехай (С, ) вимірний простір неперервних на А функцій f із потоком -алгебр z={f(z1), z1z }, ={f(z), zА }.

Розглянемо рівняння

, (9)

де a Bz-вимірний функционал, u: А керування, що не залежить від майбутнього. Нехай U клас усіх керувань, для яких існує розв’язок рівняння (9). найменша -алгебра борелівських підмножин з А, U -алгебра борелівських підмножин з U, ( , U) метричний компакт.

Задача оптимізації керування розв’язком рівняння (9) полягає у тому, щоб знайти керування u* в класі допустимих керувань, яке б мінімізувало вартість керування F, що задається таким чином:

,

де f(z,о ,u) неперервна невід’ємна функція, (z,о ,u) АC , u(z) розв’язок рівняння (9), що відповідає керуванню u=u(z,u(t)).

Нехай . Величину Z будемо називати оптимальною вартістю керування в класі U. Керування називається оптимальним в U, якщо вартість F(u) при u= досягає мінімуму.

Поле припускає інтегральне представлення

,

де KH,H (z,z) = KH (t,t) KH (s,s).

Обернений оператор визначається таким чином

,

де.

Нехай a(t, s, х, u) задовольняє такі умови:

1) a(t, s, х, u) є U-вимірна функція;

2) (t,s)А функція a(t, s, х, u) є U-вимірною;

3) (t,s)А, хC функція a(t, s, х, u) – неперервна на U;

4) (t,s)А, хC множина a(t, s, х, U)={ a(t, х, u), u U} опукла та замкнена;

5) L>0, таке, що

;

6) M>0, таке, що

,

де х – норма в С([0,1]2).

Зафіксуємо ймовірнісний простір (,,0) з вінерівським процесом W=(Wt, t, 0).

Визначимо множину D таким чином

,

де

.

У дисертаційній роботі показано, що множина щільностей D є слабкий компакт у просторі L1([0,1]2). Для цього доведені леми, в яких показано, що D рівномірно інтегрована та слабко замкнена множина в L1([0,1]2). Звідси випливає наступний результат.

Визначимо множину G таким чином:

.

Теорема 4.2.3. Нехай виконуються умови 1)6) для функціоналу a(t,s,x,u) та множина G замкнена в сенсі збіжності за ймовірністю. Тоді існує керування u* U, таке, що

.

ВИСНОВКИ

Основні наукові результати дисертаційної роботи:

1. Для моделювання відсоткової ставки на ринку цінних паперів розроблено новий метод розв’язування нелінійних стохастичних диференціальних рівнянь, який дає розв’язок у явному вигляді. Цей метод продемонстровано на конкретних прикладах фінансової та страхової математики (рівнянні КоксаІнгерсоллаРосса, рівнянні Халла–Вайта (розширенні Васічека) та рівнянні КоксаІнгерсоллаРосса (розширенні Васічека)).

2. Розроблено метод визначення відсоткової ставки на фінансовому ринку за допомогою узагальненого розв’язку стохастичного рівняння та добутку Віка. Метод продемонстровано на прикладі рівняння Кокса–Інгерсолла–Росса.

3. Розроблено метод знаходження оптимальних моментів переключення між портфелями акцій, вартості яких є процесами із суб- та супермартингальними властивостями. Детально описано випадок двох переключень між трьома фінансовими портфелями. Цей метод узагальнено на випадок N-1 переключення між N портфелями.

4. Розроблено метод визначення оптимальних моментів переключення між трьома та N портфелями акцій та облігацій у випадку, коли вартості акцій є факторизованими процесами та описуються стохастичними диференційними рівняннями, а вартості облігацій задовольняють звичайне диференціальне рівняння.

5. Знайдено умови існування оптимальної фінансової стратегії за допомогою теорії керованих ланцюгів Маркова. Досліджено випадки скінченних, зліченних та компактних множин станів керованої системи та множин вибору можливих фінансових стратегій.

6. Знайдено умови існування оптимального керування стохастичною динамічною системою, яка породжується дробовим вінерівським процесом.

7. Доведено теорему про існування оптимального керування випадковим полем, яке є розв’язком стохастичного рівняння з дробовим вінерівським полем.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ
В ТАКИХ ПРАЦЯХ:

1. Кнопова В.П., Пепеляева Т.В. О некоторых стохастических моделях финансовой математики // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 3.
C. 152–158.

2. Пепеляева Т.В. Некоторые вопросы определения оптимальной стратегии на рынке ценных бумаг // Теория оптимальных решений. К.: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины . 2002. № 1. C. 119–127.

3. Пепеляева Т.В. Об оптимальных моментах переключения между портфелями ценных бумаг // Кибернетика и системный анализ. 2002. № 1. C.130–137.

4. Кнопов П.С., Пепеляева Т.В. О некоторых торговых стратегиях на рынке ценных бумаг // Кибернетика и системный анализ. 2002. № 5.
C. 117–121.

5. Пепеляева Т.В. К вопросу об оптимальных стратегиях на рынке ценных бумаг // Теорія оптимальних рішень. К.: Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України . 2003. № 2. C. 25–31.

6. Дериева Е.Н., Пепеляева Т.В. Об одной задаче управления случайными процесами // Кибернетика и системный анализ. 2004. № 1.
C. 116–121.

7. Кнопова В.П., Пепеляева Т.В. О некоторых стохастических уравнениях финансовой математики // Міжнар. наук. конф. “Прогнозування та прийняття рішень в умовах невизначеності” (Київ, 11-14 вересня, 2001). Матеріали конференції. К., 2001. С. 89-90.

Анотація

Пепеляєва Т.В. Нелінійні динамічні моделі в задачах фінансової математики та теорії ризику. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.01 теоретичні основи інформатики та кібернетики. Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2004.

Дисертаційна робота присвячена побудові динамічних моделей фінансового ринку та знаходженню умов існування оптимального керування стохастичною системою. Запропоновано два алгоритми визначення відсоткової ставки на ринку цінних паперів, причому обидва методи дають розв’язки нелінійних стохастичних диференційних рівнянь у явному вигляді. Застосування цих методів продемонстровано на прикладах рівнянь, які найчастіше використовуються при моделюванні відсоткової ставки на фінансовому ринку: рівнянні Кокса–Інгерсолла–Росса, рівнянні Халла–Вайта (розширенні Васічека) та рівнянні Кокса–Інгерсолла–Росса (розширенні Васічека). У роботі також досліджуються фінансові стратегії, моделюються портфелі акцій та облігацій. Розроблено два методи знаходження оптимальних моментів переключення між портфелями цінних паперів, що дає можливість інвестору, який оперує на фінансовому ринку, отримати максимальний прибуток при певному вкладі капіталу. Розглядаються однорідні керовані ланцюги Маркова при моделюванні фінансової стратегії та отримано умови існування оптимальної стратегії. Досліджуються стохастичні диференційні рівняння з дробовим вінерівським процесом та полем. Доведені теореми існування оптимального керування розв’язком цих рівнянь.

Ключові слова: динамічні моделі, відсоткова ставка, фінансові стратегії, портфелі акцій та облігацій, моменти переключення, стохастичні рівняння, однорідні ланцюги Маркова, оптимальне керування, дробовий вінерівський процес.

Аннотация

Пепеляева Т.В. Нелинейные динамические модели в задачах финансовой математики и теории риска. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.01 теоретические основы информатики и кибернетики. Институт кибернетики имени В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертационная работа посвящена построению динамических моделей финансового рынка и нахождению условий существования оптимального управления стохастической системой. Разработано два алгоритма нахождения процентной ставки на рынке ценных бумаг, причем оба метода дают решения нелинейных стохастических диференциальных уравнений в явном виде. Применение этих методов продемонстрированы на примерах уравнений, которые чаще всего используются при моделировании процентной ставки на финансовом рынке: уравнении Кокса–Інгерсолла–Росса, уравнении Халла- Вайта (расширении Васичека) и уравнении Кокса–Інгерсолла–Росса (расширении Васичека). В работе также исследуются финансовые стратегии, моделируются портфели акций и облигаций. Разработано два метода нахождения оптимальных моментов перелючения между портфелями ценных бумаг, что дает возможность инвестору, который оперирует на финансовом рынке, получить максимальный доход при определенном вложении капитала. Подробно исследованы задачи оптимальных переключений между тремя и произвольного числа N финансовыми портфелями. Рассмотрены случаи, когда портфель состоит из акций, стоимость которых описывается стохастическим дифференциальным уравнением и случай, когда портфель состоит из акций, стоимость которых является факторизованым процессом и является решением стохастического дифференциального уравнения, и облигаций, стоимости которых удовлетворяют обычные дифференциальные уравнения. Указаны условия, когда для инвестора более выгодным, с точки зрения получения максималной прибыли, является два и N1 переключения соответственно между тремя и N портфелями. Исследуются однородные управляемые цепи Маркова для описания модели финансовой стратегии, получены условия существования оптимальной стратегии. Рассмотрены случаи конечных, счетных и компактных множества состояний управляемой системы и множества выбора возможных финансовых стратегий. Исследуются стохастические дифференциальные уравнения с дробным винеровским процесом и полем, а также задача оптимального управления решением таких уравнений. Найдены условия существования оптимальных управлений процессом и полем.

Ключевые слова: динамические модели, процентная ставка, финансовая стратегия, портфели акций и облигаций, моменты переключения, стохастические уравнения, однородные цепи Маркова, оптимальное управление, дробный винеровский процесс.

ABSTRACT

Pepelyaeva T.V. Nonlinear dynamic models in the problems of financial mathematics and the theory of risk. Manuscript.

The dissertation for candidate degree in Physics and Mathematics by speciality 01.05.01 theoretical fundamentals of informatics and cybernetics. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics, National Academy of Ukraine, Kyiv, 2004.

The dissertation is devoted to construction of dynamic models for financial market and finding of the existence condition for system optimal control. The two algorithms for interest rate modeling on securities market are suggested; the both methods give explicit solutions of nonlinear stochastic differential equations. Applications of those methods are shown for cases of equations, the most used in interest rate modeling on financial market: CoxIngerssollRoss equation, HullWhite (extended Vasicek) and CoxIngersollRoss equation (extended Vasicek). Financial strategies are also investigated and portfolios of stocks and bonds are simulated. The two methods to find optimal moments of switching between portfolios of securities are developed. Those methods enable the investor operating on financial market to receive of maximal profit at some capital investments. The homogeneous controlled Markov chains as models of financial strategies are investigated, and the existence conditions of the optimal strategy are obtained. The stochastic differential equations with fractional Wiener process and field are investigated. The existence theorems of optimal control for those equations are proved.

Key words: dynamic model, interest rate, financial strategy, portfolio of stocks and bonds, moments of switching, stochastic equations, homogeneous Markov chains, optimal control, fractional Wiener process.

Підп. до друку 03.08.2004. Формат 60х84/16. Офс. друк.

Папір офс. Ум. друк. арк. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,28.

Обл.-вид. арк. 1,0. Зам. 142. Тираж 100 прим.

Редакційно-видавничий відділ з поліграфічною дільницею

Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України

03680 МСП Київ-187, проспект Академіка Глушкова, 40