Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет

імені Івана Франка

СИМОВОНИК ІРИНА БОРИСІВНА

УДК 517.95

ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ

З НЕЛОКАЛЬНИМИ ТА ІНТЕГРАЛЬНИМИ УМОВАМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук,

професор Іванчов Микола Іванович,

Львівський національний університет імені Івана Франка, завідувач кафедри диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України,

професор Пташник Богдан Йосипович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики НАН України, завідувач відділу математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Нитребич Зіновій Миколайович,

Інститут прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка”, доцент кафедри обчислювальної математики та програмування.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м.Донецьк), відділ нелінійного аналізу.

Захист відбудеться “26“ лютого 2004 р. о 15.20 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському нацiональному унiверситетi iмені Івана Франка за адресою: 79000, м.Львів, вул. Університетська, 1, аудиторія 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м.Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розісланий “24“ січня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Бокало М.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія і методологія обернених задач відноситься до нового наукового напрямку, який швидко розвивається, оскільки має широке використання у практиці. Методами обернених задач розв'язують питання, що виникають в таких галузях науки та техніки, як машинобудування, авіаційна та космічна техніка, енергетика, металургія, медицина і біологія, геофізика та океанографія. Параболічні рівняння моделюють процеси теплопровідності, дифузії, біохімії та хімічної кінетики.

На відміну від прямих задач, що пов'язані з моделюванням наслідку при заданій причині, в обернених задачах визначають причину за відомим наслідком. Кожній прямій задачі можна співставити ряд обернених, в залежності від того, яка причина є невідомою. До обернених задач звертаються, коли неможливо визначити ту чи іншу характеристику, і часто, використовуючи додаткову інформацію про процес, потрібні характеристики можна знайти, розв'язавши обернені задачі.

Великий інтерес викликають коефіцієнтні обернені задачі, в яких увагу зосереджено на визначенні того чи іншого коефіцієнта в рівнянні. Перші роботи, в яких досліджувалися коефіцієнтні обернені задачі, були присвячені визначенню залежного від часу старшого коефіцієнта в рівнянні теплопровідності, так званого коефіцієнта температуропровідності, і з’явилися в 1960-х роках (Джонс Б.Ф.(Jones B.F.), Кенон Дж.Р.(Cannon J.R.)).

Обернені задачі для параболічних рівнянь, вільний член яких має вигляд добутку відомої функції та невідомої, що залежить від просторової змінної або від часу, є лінійними. Дослідженнями таких задач займалися Прилєпко О.І., Соловйов В.В., Васін І.А., Узлов А.Є., Іванков А.Л., Малишев І.Г. В якості умови перевизначення, яка відіграє роль додаткової інформації про досліджуваний об'єкт або процес, використано фінальну або інтегральну умову, або значення невідомої функції у внутрішній точці області. Іванчов М.І. встановив умови існування та єдиності розв’язку оберненої задачі знаходження залежного від часу множника вільного члена у загальному параболічному рівнянні, коли умова перевизначення є нелокального типу. У цій дисертації отримано аналогічний результат для обернених задач визначення залежного від часу множника або двох множників у загальному параболічному рівнянні, в яких умова перевизначення має вигляд загальної нелокальної умови з інтегральним доданком.

Обернені задачі для параболічних рівнянь з невідомими коефіцієнтами зводяться до нелінійних операторних рівнянь. В історії розвитку обернених задач для параболічних рівнянь відома велика кількість робіт, присвячених визначенню старшого коефіцієнта, який залежить лише від часової змінної (Джонс Б.Ф.(Jones B.F.), Кенон Дж.Р.(Cannon J.R.), Іванчов М.І.), або від просторових змінних (Прилєпко О.І., Костін А.Б., Аніконов Ю.Є., Клібанов М.В., Провоторов В.В. та інші), або від частини просторових змінних та часової змінної (Безнощенко М.Я., Іскендеров А.Д.). Іванчов М.І. для оберненої задачі знаходження залежного від часу старшого коефіцієнта у рівнянні теплопровідності в якості умови перевизначення використовував нелокальну умову. У цій дисертації дослідження поширено на випадок загального параболічного рівняння, а також доведено існування та єдиність розв’язку оберненої задачі у випадку, коли і крайові умови, і умова перевизначення мають вигляд загальних нелокальних умов з інтегральним доданком.

Новим напрямком досліджень в теорії обернених задач є вивчення багатопараметричних обернених задач, тобто задач з кількома невідомими коефіцієнтами у рівнянні. Обернені задачі одночасного визначенням кількох коефіцієнтів у параболічному рівнянні досліджували Іскендеров А.Д., Саватєєв Є.Г., Провотарьов В.В., Іванчов М.І., Пабирівська Н.В. Умови єдиності розв’язку оберненої задачі одночасного визначення трьох залежних від часу коефіцієнтів у крайовій задачі для нелінійного рівняння теплопровідності встановив Щеглов А.Ю. У цій дисертаційній роботі встановлено умови існування та єдиності розв’язку обернених задач одночасного визначення залежних від часу старшого коефіцієнта та множника вільного члена у рівнянні теплопровідності та у загальному параболічному рівнянні у випадку загальних нелокальних умов з доданком у вигляді інтеграла від невідомої функції.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження дисертації повязані з науковою роботою кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка. Результати даної дисертації є складовою частиною завдання держбюджетної теми “Побудова математичних моделей та розробка методів дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь та випадкових еволюцій” (номер держреєстрації 0100U001411).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення умов існування та єдиності розв'язку обернених задач для параболічного рівняння на знаходження старшого коефіцієнта, множника у вільному члені рівняння, залежного від часу, у випадку нелокальних та інтегральних крайових умов та умов перевизначення.

Задачі дослідження полягають у:

–

–

–

–

–

Об'єкт дослідження: обернені задачі для параболічних рівнянь.

Предмет дослідження: коефіцієнтні обернені задачі знаходження старшого коефіцієнта та вільного члена.

Методи дослідження: метод функцій Гріна (при зведенні оберненої задачі до еквівалентної системи рівнянь); метод нерухомої точки (при знаходженні розв'язків операторних рівнянь); метод інтегральних рівнянь (при знаходженні розв'язків інтегральних рівнянь, еквівалентних оберненим задачам, та при доведенні єдиності розв'язків обернених задач); метод інтегральних нерівностей (при встановленні апріорних оцінок розв'язків систем рівнянь, що еквівалентні оберненим задачам).

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше вивчено можливість використання загальних нелокальних умов та нелокальних умов з доданком у вигляді інтеграла як в якості крайових умов, так і в якості умов перевизначення при дослідженні обернених задач для параболічного рівняння. Умови такого типу використовуються при відшуканні залежних від часу старшого коефіцієнта, множника у вільному члені та при одночасному визначенні старшого коефіцієнта та множника у вільному члені.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичне значення і результати її досліджень є певним внеском в теорію диференціальних рівнянь у частинних похідних, а точніше, в теорію обернених задач для таких рівнянь. Вони можуть бути використані при ідентифікації параметрів теплових процесів або процесів дифузії, а також при встановленні характеристик спостережуваних об'єктів.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримано автором самостійно. У спільній науковій праці [1] науковому керівнику Іванчову М.І. належать постановка задач і аналіз результатів. У спільних працях [1,2] Симовоник І.Б. належать результати, сформульовані у теоремі 2 (праця [1]) та теоремі 2 (праця [2]).

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на Львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (керівники: Пташник Б.Й., Іванчов М.І., Каленюк П.І., 1999-2002 рр.); VIII-ій Міжнародній науковій конференції ім. академіка М.Кравчука (11-14 травня 2000р., Київ); Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (1-5 жовтня 2001р., Дрогобич); Міжнародній науковій конференції "Боголюбовські читання" (26-30 серпня 2003, Чернівці); International conference dedicated to J.P. Schauder "Nonlinear partial differential equations" (Lviv, August 23-29, 1999); International conference "Nonlinear partial differential equations" (Kyiv, August 22-28, 2001); International conference on "Functional analysis and its applications" dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach (May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine); International conference "Nonlinear partial differential equations" (Alushta, September 15-22, 2003).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 13 працях, серед яких 6 – у наукових журналах, 7 – у матеріалах конференцій. Серед публікацій 6 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел та викладена на 152 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 167 найменувань і займає 15 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку Іванчову М.І. за наукове керівництво та постійну увагу до роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, викладено зв’язок роботи з науковими програмами, державними темами, сформульовано мету роботи і задачі досліджень та методи їх розв’язувань, подано анотацію нових наукових результатів та практичне значення одержаних результатів, їх апробації, вказано кількість публікацій та структуру дисертації.

У першому розділі подано огляд праць, в яких висвітлюються основні етапи розвитку теорії коефіцієнтних обернених задач для параболічних рівнянь, та описано результати, отримані в дисертації.

У другому розділі наведено твердження, результати яких мають технічний характер і використовуються у наступних розділах, хоча можуть бути використані і як допоміжний матеріал при розгляді інших задач, невикладених у дисертації. Перша лема використовується при зведенні обернених задач з нелокальною умовою перевизначення, що містить похідні від невідомої функції, до системи рівнянь. Наступні чотири леми мають застосування при встановленні апріорних оцінок розв’язків систем рівнянь, до яких зводяться коефіцієнтні обернені задачі, причому останні три присвячено нелінійним інтегральним нерівностям.

У третьому розділі в області QT={(x,t): 0<x<h, 0<t<T} розглянуто обернені задачі, в яких крім розв’язку u(x,t) прямої задачі визначено множник у вільному члені параболічного рівняння, та встановлено умови існування та єдиності розв’язків таких задач.

У підрозділі 3.1 досліджено обернені задачі знаходження залежного від часу множника f(t) в параболічному рівнянні

ut = a(x,t)uxx +b(x,t)ux +c(x,t)u+ f(t)g0(x,t)+g1(x,t), (x,t)QT , (1)

з початковою умовою

u(x,0)=(x), x [0,h], (2)

крайовими умовами

ux(0,t)=1(t), ux(h,t)=2(t), t[0,T], (3)

та умовою перевизначення

1(t) u(0,t) +2(t) u(h,t) +3(t)=3(t), t[0,T]. (4)

Означення 3.1. Розв’язком задачі (1)-(4) будемо називати пару функцій

(f, u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, яка задовольняє рівняння (1) та умови (2)-(4).

Для цієї задачі доведено теорему існування та єдиності розв’язку:

Теорема 3.1. Нехай виконуються умови:

(A1) H2+[0,h], iH(1+)/2[0,T], i=1,2, i, 3H1+/2[0,T], i=1,2,3, a, b, c, gi

H,/2( ), i=0,1, 0<б<1;

(A2) a(x,t)>0, (x,t)

(A3) 1(t)g0(0,t)+2(t)g0(h,t)+3(t)

(A4) '(0)=1(0), '(h)=2(0), 1(0)(0)+2(0)(h)+3(0) 3(0).

Тоді задача (1)-(4) має єдиний розв’язок.

При доведенні теореми розв’язок прямої задачі (1)-(3), записаний за допомогою функції Гріна другої крайової задачі для рівняння (1), підставляємо в умову перевизначення (4) і отримане рівняння першого роду за допомогою диференціювання за змінною t зводимо до інтегрального рівняння Вольтерра другого роду відносно функції f(t)

t[0,T],

причому для ядра K(t,ф) правильна оцінка

Встановлено еквівалентність оберненої задачі та інтегрального рівняння Вольтерра. Умови теореми – це, по суті, умови, при яких існує єдиний розв’язок інтегрального рівняння Вольтерра відповідної гладкості.

Для того ж рівняння (1) з початковою умовою (2) розглянуто випадок крайових умов

u(0,t)=1(t), u(h,t)=2(t), t[0,T], (5)

та умови перевизначення

1(t)ux (0,t) +2(t)ux (h,t) +3(t)=3(t), t[0,T]. (6)

Означення 3.2. Розв’язком задачі (1), (2), (5), (6) будемо називати пару функцій (f,u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, яка задовольняє рівняння (1) та умови (2), (5), (6).

Умови існування та єдиності розв’язку оберненої задачі (1), (2), (5), (6) встановлено у наступній теоремі:

Теорема 3.2. Нехай виконуються умови:

(B1) H2+[0,h], i H1+/2[0,T],iH1+/2[0,T], i=1,2,3, b, c, gi, a, ax, g0x

H,/2( ), i=0,1, 0<б<1;

(B2) a(x,t)>0, (x,t)

(B3)

(B4) (0)=1(0), (h)=2(0), 1(0)'(0)+2(0)'(h)+3(0) 3(0), (1'(0) – a(0,0)''(0) –

b(0,0)'(0) – c(0,0)(0) – g1(0,0))g0(h,0) = (2'(0) – a(h,0)''(h) – b(h,0)'(h) – c(h,0)(h) –g1(h,0))g0(0,0).

Тоді задача (1), (2), (5), (6) має єдиний розв’язок.

За допомогою функції Гріна першої крайової задачі для рівняння (1),аналогічно як і в попередньому випадку, задачу (1), (2), (5), (6) зводимо до еквівалентного інтегрального рівняння Вольтерра першого роду відносно функції f(t). Для перетворення рівняння першого роду проведемо перетворення Абеля, продиференціюємо рівність за змінною t і отримаємо:

t[0,T],

причому для ядра K(t,ф) правильна оцінка

Задача (1), (2), (5), (6) еквівалентна інтегральному рівнянню Вольтерра другого роду. При виконанні умов теореми інтегральне рівняння, а отже і обернена задача, мають єдиний розв’язок.

У підрозділі 3.2 встановлено умови існування та єдиності розв’язку оберненої задачі одночасного знаходження двох множників вільного члена f1(t), f2(t) у параболічному рівнянні

ut = a(x,t)uxx +b(x,t)ux +c(x,t)u+ f1(t)g1(x,t)+ f2(t)g2(x,t)+g0(x,t), (x,t)QT . (7)

Дослідження проводяться аналогічно, як і у попередньому підрозділі, з тією відмінністю, що в цьому підрозділі обернені задачі зводяться до системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду відносно функцій f1(t) та f2(t).

Четвертий розділ присвячено оберненим задачам знаходження залежного від часу старшого коефіцієнта.

Зокрема в підрозділах 4.1 та 4.2 досліджено такі задачі:

Задача 1. Знайти пару функцій (a, u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, a(t)>0, t[0,T], що задовольняють рівняння

ut = a(t) uxx +b(x,t) ux +c(x,t)u+ f (x,t), (x,t) QT, (8)

умови (2), (3) та

1(t) u(0,t) +2(t) u(h,t)=3(t), t[0,T]. (9)

Задача 2. Знайти пару функцій (a, u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, a(t)>0, t[0,T], що задовольняють рівняння

ut = a(t)uxx +c(x,t)u+ f (x,t), (x,t)QT, (10)

умови (2), (5) та

1(t)ux (0,t) +2(t)ux (h,t)=3(t), t[0,T]. (11)

Задача 3. Знайти пару функцій (a, u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, a(t)>0, t[0,T], що задовольняють рівняння (8) та умови (2)-(4).

Задача 4. Знайти пару функцій (a, u)H/2[0,T]H2+,1+/2( ), 0<<1, a(t)>0, t[0,T], що задовольняють рівняння (10) та умови (2), (5), (6).

Особливістю цих задач є те, що розв’язок прямих задач не можна подати в явному вигляді. За допомогою функцій Гріна першої (в задачах 1 та 3) та другої (в задачах 2 та 4) крайових задач прямі задачі зведено до еквівалентних їм систем рівнянь відносно функцій u(x,t), ux(x,t), uxx(x,t) (в задачах 1 та 3), або до систем рівнянь відносно функцій u(x,t), ux(x,t) (в задачах 2 та 4). Рівняння для визначення функції a(t) отримано з умов перевизначення диференціюванням за змінною t. В задачах 2 та 4 при цьому використано перетворення Абеля. Для отриманих систем рівнянь встановлено апріорні оцінки розв’язків і показано, що вони задовольняють умови теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Єдиність розв’язків вище вказаних задач доведено методом від супротивного. Відшукання умов єдиності розв’язків зводиться до знаходження умов існування єдиного нульового розв’язку обернених задач визначення невідомого множника вільного члена, дослідження яких проведено у попередньому розділі. Для задач 1-4 встановлено умови існування розв’язку на зменшеному часовому проміжку та умови єдиності розв’язку на всьому часовому проміжку.

У підрозділі 4.3 досліджено використання нелокальних умов з доданком у вигляді інтеграла від невідомої функції як в якості крайових умов так і умови перевизначення. Таке дослідження проведено для рівняння теплопровідності

ut = a(t)uxx + f (x,t), (x,t)QT , (12)

коли крайові умови та умова перевизначення мають вигляд

uj(t)=i(t), i=1,2,3, (13)

де через uj(t) позначено

u1(t)=u(0,t), u2(t)=u(h,t), u3(t)=ux(0,t), u4(t)=ux(h,t), u5(t)=

Припускаючи, що ранг матриці K(t), складеної з коефіцієнтів ij(t), дорівнює трьом і ненульовий мінор третього порядку не змінює свого розташування при t[0,T], сукупність умов (13) зведено до вигляду

ux (0,t)=1(t)u(0,t) +2(t)u(h,t)+1(t), t[0,T], (14)

ux (h,t)=3(t)u(0,t) +4(t)u(h,t)+2(t), t[0,T], (15)

=5(t)u(0,t) +6(t)u(h,t)+3(t), t[0,T]. (16)

Означення 4.5. Розв’язком задачі (12), (2), (14)-(16) будемо називати пару функцій (a,u)C[0,T]C2,1( ), a(t)>0, t[0,T], які задовольняють рівняння (12) та умови (2), (14)-(16).

Умови існування та єдиності розв’язку задачі (12), (2), (14)-(16) встановлено у теоремах:

Теорема 4.14. Нехай виконуються умови:

(A1) C2[0,h], iC 1[0,T], i=1,2,3, iC 1[0,T], fC2,0

(A2) 3'(t)+5(t)f(0,t)+6(t)f(h,t) -i(t)0, i=1,2,5,6, i(t)0, i=3,4,

i'(t)0, i=1,2, i'(t)0, 3(t) - 1(t)>0, 4(t) - 2(t)>0, 1(t)0, 2(t)0, 2(t) - 1(t)>0,

1'(t) - fx(0,t)0, 2'(t) - fx(h,t)0, t [0,T]; (x)0, ''(x)0, x[0,h]; f(x,t)0, fxx(x,t)0, (x,t)

(A3) '(0)=1(0)(0)+2(0)(h)+1(0), '(h)=3(0)(0)+4(0)(h)+2(0),

=5(0)(0)+6(0)(h)+3(0).

Тоді задача (12), (2), (14)-(16) має розв’язок.

Теорема 4.15. Нехай виконуються умови (A2) теореми 4.14 та

(A4) i(t)C1[0,T],

Тоді розв'язок задачі (12), (2), (14)-(16) єдиний.

При доведенні теореми 4.14 функції u(0,t), u(h,t) вважаємо відомими і задачу (12), (2), (14)-(16) вказаним раніше способом зводимо до еквівалентної системи рівнянь відносно функцій a(t), f(t), u(0,t), u(h,t), ut(0,t), ut(h,t). Дослідження отриманої системи рівнянь проводимо аналогічно, як і в попередніх підрозділах.

П’ятий розділ присвячено оберненим задачам одночасного визначення залежних від часу старшого коефіцієнта та множника у вільному члені параболічного рівняння.

У підрозділі 5.1 досліджено обернену задачу одночасного знаходження залежних від часу старшого коефіцієнта та множника вільного члена загального параболічного рівняння

ut = a(t)uxx +b(x,t)ux +c(x,t)u+ f(t)g0(x,t)+g1(x,t), (x,t)QT (17)

з локальними крайовими умови та умовами перевизначення вигляду (5) та

ux(0,t)=3(t), ux(h,t)=4(t), t[0,T]. (18)

Означення 5.1. Розв’язком задачі (17), (2), (5), (18) будемо називати трійку функцій (a,f,u)(H/2[0,T])2H2+,1+/2( ), 0<<1, a(t)>0, t[0,T], яка задовольняє рівняння (17) та умови (2), (5), (18).

Умови існування та єдиності розв’язку такої задачі встановлено у теоремах:

Теорема 5.1. Нехай виконуються умови:

(A1) H2+[0,h], iH1+/2[0,T], b, c, gi, bx, cx, gixH,/2( ), i=0,1, 0<<1;

(A2) (1'(t) – b(0,t)3(t) – c(0,t)1(t) – g1(0,t))g0(h,t) – (2'(t) – b(h,t)4(t) – c(h,t)2(t) – g1(h,t))g0(0,t)>0, g0(0,t)<0, g0(h,t)>0, t[0,T]; ''(x)>0, x [0,h];

(A3) (0)=1(0), (h)=2(0), '(0)=3(0), '(h)=4(0).

Тоді задача (17), (2), (5), (18) має розв'язок при x[0,h], t[0,T0], де число T0, 0<T0?T, визначається вихідними даними задачі.

Теорема 5.2. Нехай виконуються умови:

(A4) b, c, g0H,/2( ), 0<<1;

(A5) (1'(t) - b(0,t)3(t) - c(0,t)1(t) - g1(0,t))g0(h,t) - (2'(t) - b(h,t)4(t) - c(h,t)2(t) - g1(h,t))g0(0,t)?0, t[0,T].

Тоді розв'язок задачі (17), (2), (5), (18) єдиний.

Припускаючи тимчасово, що (a, f, u) є розв’язком задачі (17), (2), (5), (18) та використовуючи крайові умови та умови перевизначення (5), (18), запишемо рівняння (17) при x=0 та x=h. Позначивши w(x,t)=uxx(x,t) та розглядаючи утворені рівності як систему рівнянь відносно функцій a(t) та f(t), отримаємо

a(t)=[(1'(t) - b(0,t)3(t) - c(0,t)1(t) - g1(0,t))g0(h,t) –

- (2'(t) - b(h,t)4(t) - c(h,t)2(t) - g1(h,t))g0(0,t)]

(w(0,t)g0(h,t) - w(h,t)g0(0,t))-1, t[0,T1], (19)

f(t)=[(2'(t) - b(h,t)4(t) - c(h,t)2(t) - g1(h,t))w(0,t) -

- (1'(t) - b(0,t)3(t) - c(0,t)1(t) - g1(0,t))w(h,t)]

(w(0,t)g0(h,t) - w(h,t)g0(0,t))-1, t[0,T1]. (20)

Позначивши v(x,t)=ux(x,t), за допомогою функцій Гріна Gi(x,t,,), i=1,2, першої та другої крайових задач для рівняння теплопровідності пряму задачу (17), (2), (18) зведемо до системи рівнянь

(21)

(22)

(23)

де

Доведено, що обернена задача (17), (2), (5), (18) еквівалентна системі рівнянь (19)-(23). Встановлено апріорні оцінки розв’язків сиcтеми рівнянь (19)-(23) та на основі теореми Шаудера про нерухому точку існування розв’язку системи рівнянь, а отже і оберненої задачі.

При доведенні теореми єдиності використано результати дослідження оберненої задачі відшукання двох множників вільного члена у параболічному рівнянні, які отримано у розділі 3.

У підрозділах 5.2 та 5.3 досліджено обернені задачі з нелокальними умовами перевизначення вигляду

1(t)u(0,t) +2(t)u(h,t)=3(t), t[0,T], (24)

3(t)u(0,t) +4(t)=4(t), t[0,T], (25)

або

1(t)ux (0,t) +2(t)ux (h,t)=3(t), t[0,T], (26)

3(t)ux (0,t) +4(t)=4(t), t[0,T]. (27)

Причому у підрозділі 5.2 дослідження проведено для рівняння теплопровідності

ut = a(t)uxx + f(t)g0(x,t)+g1(x,t), (x,t)QT , (28)

а в підрозділі 5.3 для загального параболічного рівняння (17). В якості крайових умов використано умови (3) або (5).

Означення 5.2. Розв’язком задачі (28), (2), (3), (24), (25) будемо називати трійку функцій

(a, f, u)(C[0,T])2C2,1 a(t)>0, f(t)0, t[0,T], яка задовольняє рівняння (28) та умови (2), (3), (24), (25).

Означення 5.3. Розв’язком задачі (28), (2), (5), (26), (27) будемо називати трійку функцій

(a, f, u)(C[0,T])2C2,1 a(t)>0, f(t)0, t[0,T], яка задовольняє рівняння (28) та умови (2), (5), (26), (27).

Встановлено умови існування та єдиності розв’язків таких задач на всьому часовому проміжку. Якщо під розв’язком відповідних задач розуміти трійку функцій з вказаними властивостями, але без умови f(t)0, t[0,T], то існування та єдиність такого розв’язку можна встановити лише на зменшеному часовому проміжку.

Означення 5.4. Розв’язком задачі (17), (2), (3), (24), (25) будемо називати трійку функцій

(a, f, u)(H/2[0,T])2H2+,1+/2 0<<1, a(t)>0, t[0,T], що задовольняє рівняння (17) та умови (2), (3), (24), (25).

Доведено наступні теореми існування та єдиності розв’язку такої задачі:

Теорема 5.6. Нехай виконуються умови:

(A1) H2+[0,h], i,iH1+/2[0,T], b, c, gi, bx, cx, gix H,/2 i=0,1, 0<<1;

(A2) 2(t)>0, 4(t)<0, 1'(t)0, 4'(t)0, 2(t)- 1(t)>0, 1(t)g0(0,t)+ 2(t)g0(h,t)>0,

1(t)4(t)-2(t)3(t)g0(h,t)>0, 3(t)g0(0,t)+4(t)>0, 3'(t) - 2(t)(b(h,t)2(t) +

+g1(h,t))>0, 4'(t) - 4(t)0, 2'(t)+2(t)c(h,t)0, 3'(t) - 4(t)b(0,t)0, b(0,t)1(t)+g1(0,t)0,

c(0,t)0, b(h,t)0, t[0,T]; (x)>0, ''(x)>0, x[0,h]; c(x,t) - bx(x,t)0, (x,t)

(A3) '(0)=1(0), '(h)=2(0), 1(0)(0)+2(0)(h)=3(0), 3(0)(0)+4(0)=4(0).

Тоді задача (17), (2), (3), (24), (25) має розв'язок при x[0,h], t[0,T0], де число T0, 0<T0T, визначається вихідними даними задачі.

Теорема 5.7. Нехай виконуються умови (A2) теореми 5.6 та

(A4) b, c, g0, bx, cx, g0xH,/2 i(t) H1+/2[0,T], 0<<1.

Тоді розв’язок задачі (17), (2), (3), (24), (25) єдиний при x[0,h], t[0,T0], де число T0,, 0<T0T, визначається вихідними даними задачі.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі встановлено умови існування та єдиності розв’язків коефіцієнтних обернених задач для параболічного рівняння з нелокальними та інтегральними умовами, а саме:

–

–

–

–

–

Обернені задачі знаходження множника у вільному члені рівняння зведені до інтегрального рівняння або системи інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Тому умови існування та єдиності розв’язків таких задач встановлено з використанням властивостей інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду.

Обернені задачі визначення старшого коефіцієнта та множника у вільному члені рівняння зведено до еквівалентних систем рівнянь, існування розв’язків яких встановлено на основі теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Дослідження єдиності таких задач проводиться з врахуванням вже досліджених раніше обернених задач ідентифікації джерела.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

АНОТАЦІЯ

Симовоник І.Б. Обернені задачі для параболічних рівнянь з нелокальними та інтегральними умовами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2003.

У дисертації досліджено використання нелокальних та інтегральних умов в якості крайових умов та умови перевизначення в обернених задачах ідентифікації залежних від часу множника у вільному члені, старшого коефіцієнта та одночасного визначення старшого коефіцієнта та множника у вільному члені параболічного рівняння. Існування та єдиність розв’язків обернених задач знаходження множника у вільному члені зведено до встановлення умов існування та єдиності розв’язків інтегральних рівнянь або систем інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Обернені задачі визначення старшого коефіцієнта та одночасного визначення старшого коефіцієнта та множника у вільному члені зведено до еквівалентних систем рівнянь, існування розв’язків яких встановлено на основі теореми Шаудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. При доведенні єдиності розв’язків таких задач використано результати досліджень обернених задач відшукання невідомого джерела в параболічному рівнянні.

Ключові слова: обернена задача, параболічні рівняння, рівняння теплопровідності, нелокальна умова, інтегральна умова, умови перевизначення, теорема Шаудера про нерухому точку.

Abstract

Symovonyk I.B. Inverse problems for parabolic equations with nonlocal and integral conditions. – Manuscript.

Thesis of obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 – Differential equations. – Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2003.

The dissertation is dedicated to research of using nonlocal and integral conditions as the boundary conditions and the overdetermination conditions. These conditions are using for inverse problems of

–

–

–

The inverse problems of the first type are reduced to the Volterra’s integral equations or to systems of the Volterra’s integral equations of the second kind. The inverse problems of the second type are reduced to equivalent operator systems. Existence of solution is proved by Schauder fixed-point theorem. Uniqueness is based on the properties of the Volterra's integral equations of the second kind.

Key words: inverse problem, parabolic equations, heat equation, nonlocal condition, integral conditions, overdetermination condition, Schauder fixed-point theorem.

Аннотация

Симовоник И.Б. Обратные задачи для параболических уравнений с нелокальными и интегральными условиями. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2003.

В диссертации исследовано использование нелокальных и интегральных условий в качестве краевых условий и условия переопределения. Такого рода условия использованы для следующих коэффициентных обратных задач для параболического уравнения общего вида:

–

–

–

–

–

Обратные задачи нахождения множителя в свободном члене уравнения сведены к интегральным уравнениям или системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Поэтому условия существования и единственности решений таких задач установлены с использованием свойства интегральных уравнений Вольтерра.

Обратные задачи нахождения старшего коэффициента и множителя в свободном члене уравнения приведены к эквивалентным системам уравнений, существование решения которых установлено на основании теоремы Шаудера о неподвижной точке вполне непрерывного оператора. Доказательство единственности решения таких задач проводится с использованием результатов исследований обратных задач идентификации источника в параболическом уравнении.

Ключевые слова: обратная задача, параболические уравнения, уравнение теплопроводности, нелокальное условие, интегральное условие, условие переопределения, теорема Шаудера о неподвижной точке.

Підписано до друку 15.01.04.

Формат 6090/16

Папір – офсетний. Ум.друк.арк. 0,9

Наклад 100 прим. Зам.№116

Друк ТзОВ “Сплайн” м.Львів, вул.Коперніка, 11

Тел.: (0322) 98-00-81