ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ УКРАЇНИ З ПИТАНЬ ТЕХНІЧНОГО РЕГУЛЮВАННЯ ТА СПОЖИВЧОЇ ПОЛІТИКИ

ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ НАУКОВО-ДОСЛІДНИЙ ІНСТИТУТ

МЕТРОЛОГІЇ

Штефан Наталя Володимирівна

УДК 621.317

МЕТОДИ ТА АЛГОРИТМИ ЕФЕКТИВНОЇ ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАЛЬНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ

05.11.15 - Метрологія та метрологічне забезпечення

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2004

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Харківському національному університеті

радіоелектроніки Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат технічних наук, доцент

Захаров Ігор Петрович, ХНУРЕ,

доцент кафедри метрології та вимірювальної техніки

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Клейман Олександр Самуїлович,

Харківський державний науково -

дослідний інститут метрології,

начальник науково-дослідної

лабораторії

кандидат технічних наук, доцент

Щапов Павло Федорович,

Національний технічний університет

”ХПІ”, доцент кафедри вимірювально-

інформаційної техніки

Провідна установа: Національний технічний університет

України “Київський політехнічний

інститут”

Захист дисертації відбудеться 09 квітня 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.827.01 при Харківському державному науково-дослідному інституті метрології за адресою: 61002, Харків, вул. Мироносицька, 42, ХДНДІМ.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці ХДНДІМ.

Автореферат розісланий 04 березня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доц., к.т.н. І.Ф. Дем’янков

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Методи та алгоритми обробки результатів вимірювального експерименту, що регламентовано нормативною літературою для загального застосування, широко використовуються при виконанні контрольно-перевірочних і прецизійних вимірювань, статистичному приймальному контролі якості продукції, наукових дослідженнях тощо. Ці методи розроблені в 70-80 р. на основі моделі нормального закону розподілу випадкової похибки вимірювань і вимагають значний обсяг повторних спостережень.

Аналогічний підхід здійснено у настанові з виразу невизначеностей для оцінювання невизначеностей вимірювань статистичними методами (за типом А).

Однак, теоретичні та експериментальні дослідження багатьох авторів показали, що закон розподілу результатів спостережень досить часто відрізняється від нормального. Крім того, сучасні вимоги до одночасного підвищення швидкодії та точності вимірювальної апаратури, а також необхідність зниження витрат на проведення вимірювального експерименту, призводить до обмеження обсягу повторних спостережень. За цих умов випадкова складова похибки стає домінуючою в порівнянні з невиключеною систематичною похибкою. Крім того, надмірні похибки та промахи, які присутні у вибірках, легше маскуються під випадкові, і через це можуть бути не виявлені існуючими методами.

Перераховані обставини знижують ефективність та коректність алгоритмів обробки даних, що застосовуються. Тому побудова методів та алгоритмів коректної обробки даних, що враховують їх розподіл і дозволяють знизити часові та матеріальні витрати на проведення експерименту, є важливою та актуальною науково-технічною задачею.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у відповідності з планом наукового напрямку кафедри метрології на вимірювальної техніки Харківського національного університету радіоелектроніки за темами “Розробка інформацій-вимірювального комплексу для електромагнітного моніторингу навколишнього середовища” (номер держреєстрації 0101U005127), "Розробка енергоефективних і екологічних технологій та технічних засобів використання електромагнітної енергії в промисловому і агропромисловому комплексі" (номер держреєстрації 0101U005128), які затверджені листом Міністерства освіти України №15/20-148 від 08.02.2001 р., "Розробка методів і засобів підвищенні ефективності використанні електромагнітної енергії в промисловому та агрокомплексі", яка затверджена наказом Міністерства освіти України №633 від 05.11.2002 р.

Метою дисертаційної роботи є підвищення ефективності статистичної обробки результатів вимірювального експерименту за рахунок збільшення її точності шляхом удосконалення існуючих методів обробки та розробки нових.

Відповідно до мети роботи було поставлено та вирішено такі задачі:

1. Дослідження ефективності та зміщення різних точкових оцінок результату вимірювання та його середнього квадратичного відхилення (СКВ) для довільних розподілів результатів спостережень і синтез на його основі виразів для оцінок, що мали б найбільшу ефективність.

2. Отримання довірчих границь розсіювання оцінок результату прямих і опосередкованих вимірювань при довільних законах розподілу і обмеженої кількості результатів спостережень.

3. Дослідження ефективності застосування різних методів виключення надмірних похибок і промахів. Визначення чутливості різних оцінок результату вимірювання та його розсіювання до них. Розробка ефективного статистичного критерію їх виявлення по вибірках малого обсягу, що мають довільний закон розподілу.

4. Дослідження ефективності застосування методів ідентифікації розподілів за малими вибірками.

Наукова новизна одержаних результатів:

1. Запропоновано співвідношення для оцінки результату вимірювання, яке отримано на підставі точного визначення границь ефективності відомих оцінок та дослідження їх лінійних комбінацій, що дозволяє отримувати ефективну оцінку в залежності від ексцесу розподілу.

2. На підставі розрахунку граничних значень ексцесів розподілів для діапазонів найбільшої ефективності різних оцінок СКВ (вибіркової оцінки, що розрахована за формулою Беселя; оцінки, що розрахована через середнє абсолютне відхилення, оцінки, що розрахована через розмах) вперше надані практичні рекомендації по використанню цих оцінок з урахуванням зсуву, що виникає при малій кількості спостережень.

3. Запропоновано експрес-метод визначення довірчих коефіцієнтів за характеристиками форми симетричних і несиметричних розподілів для оцінювання границь випадкової похибки результату одноразового вимірювання.

4. Для довільних розподілів результатів окремих спостережень та різних оцінок результату вимірювання вперше отримано значення коефіцієнтів -розподілу, що дозволяють коректно визначати границі випадкової похибки за малими вибірками.

5. Досліджено вплив трансформації закону розподілу похибок при нелінійному перетворенні на ширину та зміщення довірчого інтервалу.

6. Для статистичного критерію виключення надмірних похибок і промахів розраховано статистики, які дозволяють використовувати його не тільки для нормального розподілу, як було рекомендовано раніше, але й для розподілів, що відмінні для нього. Крім того, запропоновано подальше вдосконалення цього критерію шляхом використання оцінок, найменш чутливих до надмірних похибок і промахів, та розраховано відповідний статистичний матеріал.

7. На підставі дослідження різних методів ідентифікації розподілів за малими вибірками показано можливість підвищення її ефективності шляхом використання методу імовірнісних сіток, суть модифікації якого полягає в перетворенні емпіричної інтегральної функції розподілу та математичній оцінці відповідності перетвореної функції заданій теоретичній, що виключає необхідність графічної побудови та виключає суб’єктивність прийняття рішень.

Практичне значення одержаних результатів:

Проведені дослідження дозволяють вирішити питання реалізації алгоритмів ефективної статистичної обробки результатів вимірювального експерименту. Запропоновані алгоритми оцінки результату вимірювання та його розсіювання дозволяють підвищити точність отриманих результатів вимірювань або вирішити задачу зменшення необхідної кількості повторних спостережень при збереженні точності результату вимірювання.

Результати дисертаційної роботи використовувались при проведенні експериментальних досліджень в Інституті фізики плазми Національного Наукового Центру "Харківський фізико-технічний інститут".

Розроблені в роботі методи обробки результатів вимірювального експерименту використано в учбовому процесі при проведенні лекцій та практичних робіт на кафедрі Метрології та вимірювальної техніки Харківського національного університету радіоелектроніки, на кафедрі Інформатики та спеціальної техніки Харківського національного університету внутрішніх справ та на кафедрі Метрології та вимірювальної техніки Харківського інституту соціального прогресу.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є закінченим виконаним самостійно науковим дослідженням. Внесок автора в спільні праці: у [1] – досліджено похибку від заміни нелінійної функції перетворення лінійною при трансформації законів розподілів; у роботі [2] – розраховано коефіцієнти для критерію виключення надмірних похибок і промахів; у [3] – розраховано довірчі коефіцієнти для визначення інтервальних оцінок за малими вибірками; у [4] – запропоновано та досліджено ефективну оцінку результату вимірювання; у [5] – запропоновано критерій ідентифікації розподілів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати роботи повідомлені на наукових конференціях:

1. 2-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Харків, 1995).

2. 5-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Харків, 1999).

3. 2-у Міжнародному молодіжному форумі “Радіоелектроніка і молодь у ХХ столітті” (Харків, 1999).

4. II-й Міжнародній науково-технічній конференції “Метрологія та вимірювальна техніка” (Харків, 1999).

5. III-й Міжнародній науково-технічній конференції “Метрологія в електроніці-2000” (Харків, 2000).

6. 7-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Харків, 2001).

7. 8-й Міжнародній конференції “Теорія і техніка передачі, прийому й обробки інформації” (Харків, 2002).

Публікації. Основні наукові результати, висновки і рекомендації дисертаційної роботи опубліковані в 5 статтях у фахових наукових журналах, 7 тезах доповідей.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури та чотирьох додатків. Повний обсяг дисертації складає 161 сторінку машинописного тексту, містить 38 рисунків, 42 таблиці. Список літератури містить 85 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, вказано зв’язок роботи із науковими програмами та темами, сформульовано мету та задачі досліджень, наукову новизну та практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі розглянуті регламентовані нормативно-технічною документацією точкові та інтервальні оцінки числових характеристик емпіричних розподілів результатів вимірювань з багаторазовими рівноточними спостереженнями. Здійснюється аналіз методів ідентифікації законів розподілів, статистичних критеріїв для виключення надмірних похибок і промахів. Оцінюються можливості аналітичних і чисельних методів знаходження ефективних оцінок результату вимірювання для обмеженого обсягу вибірки і довільних законів розподілу.

Аналіз літературних джерел показав, що існуючі методи обробки результатів вимірювального експерименту не відповідають сучасним вимогам. Більшість з них орієнтовані на спрощену модель, коли розподілення результатів окремих спостережень вважається нормальним, а їхня кількість велика. Показано необхідність удосконалення цих методів з метою адаптації до розподілів, що відмінні від нормального, і малих вибірок.

Спроба одержати розподіли і величини, зокрема розподіл емпіричної оцінки СКВ, коефіцієнти Ст’юдента, для розподілів результатів спостережень, які відмінні від нормального, аналітичними методами не увінчалася успіхом. Тому запропоновано застосувати чисельний метод, якій засновано на методі Монте-Карло. Вибіркові дані моделювалися на ЕОМ шляхом функціонального перетворення та (чи) підсумовування рівномірно і нормально розподілених випадкових чисел, які генеруються за допомогою генератора випадкових чисел. Було синтезовано 21 розподіл зі значеннями ексцесів від -1,5 до 3. Для оцінки випадковості вибірок, що отримані за допомогою генератора випадкових чисел, розраховувались коефіцієнти кореляції між їх членами. Отримано, що значення коефіцієнтів знаходяться в межах від 0,01 та менше, і це дозволяє зробити висновок про випадковість вибірок. Перевірка відповідності отриманих моделей розподілів заданим, що здійснювалась за допомогою критерію Пірсона, підтвердилась. Для контролю відповідності точкових характеристик емпіричних розподілів теоретичним, здійснювався їх розрахунок та порівняння. Отримано, що розбіжність складає менш, ніж 1%.

В другому розділі на основі аналізу залежності дисперсій різних оцінок результату вимірювання від ексцесу розподілу результатів спостережень здійснюється синтез ефективних оцінок результату вимірювання та його розсіювання. Оцінюється ефективність запропонованих оцінок у порівнянні з класичними оцінками, які застосовуються на практиці.

При виконанні вимірювань з багаторазовими спостереженнями за результат вимірювання приймається оцінка математичного очікування результатів окремих спостережень , у якості якої найчастіше використовуються середнє арифметичне , центр розмаху чи оцінка медіани . Чисельним методом були розраховані порівняльні ефективності перерахованих оцінок , як відношення їх дисперсій. Розрахунок показав, що середнє арифметичне результатів спостережень є ефективною оцінкою результату вимірювання для розподілів зі значенням ексцесу від -0,7 до 2, для розподілів зі значенням ексцесу, що менше -0,7 оцінка, у вигляді центру розмаху ефективніше , для розподілів зі значенням ексцесу, що більше 2, оцінка медіани ефективніше .

Показано, що для розподілів, у яких значення порівняльної ефективності оцінки стосовно середнього арифметичного близьке до 1, можна домогтися зменшення дисперсії результату вимірювання шляхом застосування в якості його зваженої оцінки , що являє собою лінійну комбінацію розглянутих оцінок

, (1)

де - коефіцієнт впливу, для розподілів із негативним ексцесом, для розподілів із позитивним ексцесом.

Значення , при якому дисперсія оцінки (1) досягає мінімуму, визначається виразом

, (2)

де - коефіцієнт кореляції між оцінками і . Значення , для підстановки в (2) було визначено чисельним методом для розподілів із різними ексцесами і різною кількістю спостережень .

На рис. 1 наведено графіки отриманої чисельним методом залежності . На рисунку для розподілів із негативним ексцесом, для розподілів із позитивним ексцесом.

Рисунок 1

Остаточно вираз для має вигляд

Застосування цієї оцінки, з одного боку, дозволяє зменшити її дисперсію при тій же кількості спостережень, а з іншого боку, зменшити кількість спостережень, що необхідно для досягнення заданої точності знаходження оцінки. На рис. 2 наведено графіки залежності відношення від кількості спостережень для розподілів з різними ексцесами.

З рис.2 видно, що в порівнянні з середнім арифметичним, використання дозволяє знизити дисперсію оцінки результату вимірювання, наприклад, для розподілу з ексцесом -1,2 від 1,1 до 4,4 разів, для розподілу з ексцесом 3 від 1,04 до 1,7 разів з зростанням кількості спостережень від 3 до 21.

Запропонована оцінка забезпечує не менш ефективну оцінку результату вимірювання, ніж центр розмаху для розподілів з ексцесом, що менше -0,5, і не менш ефективну, ніж медіана, для розподілів з ексцесом, що більше 1.

Для розподілів з ексцесом від -1,15 до -0,5, де традиційно вважається найбільш ефективною, дозволяє зменшити дисперсію оцінки результату вимірювання до 2 разів. Для розподілів з ексцесом від 0,8 до 3, де традиційно вважається найбільш ефективною оцінка медіани, дозволяє знизити дисперсію оцінки результату вимірювання до 1,35 разів.

З іншого боку, використання зваженої оцінки дозволяє у відповідне число разів зменшити необхідну кількість результатів спостережень для досягнення заданої точності результату вимірювання.

Середнє квадратичне відхилення (СКВ) оцінки (2) визначається за формулою

, (3)

де - оцінка СКВ окремого спостереження.

Оскільки коефіцієнт - невипадкова величина, то точність визначення оцінки СКВ зваженої оцінки (2) залежить від точності оцінки СКВ результатів окремих спостережень.

Були розглянуті такі оцінки:

- вибіркова оцінка СКВ, яка визначається за формулою Беселя

;

- оцінка СКВ, яка розраховується через оцінку середнього абсолютного відхилення (САВ) за формулою

, (4)

де - параметр, що дорівнює відношенню САВ до СКВ і має визначене значення для кожного розподілу;

- оцінка СКВ, яка розраховується через розмах за формулою

, (5)

де і - відповідно максимальний і мінімальний члени вибірки;

- довірчий коефіцієнт для значення довірчої ймовірності .

Чисельним методом було визначено коефіцієнти зсуву розглянутих оцінок при малій кількості спостережень і зроблено порівняння їх дисперсій з урахуванням цих коефіцієнтів. На підставі цих розрахунків показано, що формула, що забезпечує найбільш ефективну оцінку СКВ результату окремого спостереження для довільних розподілів має вигляд

(6)

де , , - коефіцієнти , що усувають зсув оцінки (6) при малій кількості спостережень.

На рис. 3 наведено графіки залежності відношення від кількості спостережень для розподілів з різними ексцесами. Ці залежності ілюструють, в скільки разів зменшується дисперсія оцінки СКВ при використанні запропонованої оцінки в порівняні з класичною, яку регламентовано нормативною літературою. З рис. 3 видно, що розходження в ефективності оцінок зростає зі збільшенням кількості спостережень. Так, при для всіх розподілів розглянуті оцінки майже рівнорозсіяні, однак, уже при використання оцінки (5) у порівнянні з вибірковою оцінкою СКВ дозволяє підвищити точність визначення оцінки від 12,5 разів (для розподілу арксинус) до 1,15 разів (для трикутного розподілу), від 1,2 рази (для розподілу Лапласа) до 1,1 разів (для розподілу з ексцесом 0,4). З іншого боку, застосування оцінки СКВ (6) дозволяє знизити необхідне для досягнення заданої точності визначення оцінки кількість результатів спостережень у відповідне число разів.

Таким чином, підставляючи в (3) вираз (6) можна розрахувати оцінку СКВ . Для зручності практичного використання доцільно ввести узагальнений коефіцієнт СКВ, який має вигляд

Розрахована залежність може бути апроксимована виразом

з похибкою 10 %.

Третій розділ присвячено методам визначення довірчих коефіцієнтів для одержання границь випадкової похибки результату вимірювань з одноразовими та багаторазовими спостереженнями. Розглядається питання впливу трансформації розподілу при нелінійному перетворенні на ширину і розташування довірчого інтервалу.

При проведенні одноразових вимірювань закон розподілу результату повинний бути відомий апріорно. Пропонується довірчі коефіцієнти в цьому випадку визначати по залежності, що зв'язує значення довірчого коефіцієнту з оцінками характеристик форми розподілу - асиметрією та ексцесом

(7)

Отримано такі апроксимуючі формули цих залежностей

(8)

(9)

(10)

(11)

У порівнянні з аналогічними методами, цей може бути використаний не тільки для симетричних, але і для несиметричних розподілів.

Для зменшення випадкової похибки здійснюють багаторазові вимірювання. Тоді границі довірчого інтервалу для симетричних розподілень визначаються з виразу

, (12)

де - оцінка, яка береться за результат вимірювання; - оцінка СКВ .

Коефіцієнт має розподіл величини

, (13)

яке називається -розподілом. Якщо за береться середнє арифметичне та розподіл результатів окремих спостережень нормальний, то -розподіл являє собою відомий розподіл Ст’юдента. Його інтерквантильний інтервал використається для визначення границь випадкової похибки середнього арифметичного за малими вибірками. Якщо закон розподілу відмінний від нормального та(або) за результат вимірювання береться не середнє арифметичне, то розподіл величини (13) відрізняється від розподілу Ст’юдента. Методом Монте-Карло було отримано моделі -розподілу для різних розподілів результатів спостережень і наступних випадків оцінки результату вимірювання та його розсіювання:

1. За результат вимірювання прийняте середнє арифметичне, а за оцінку розсіювання - оцінка СКВ.

2. За результат вимірювання прийняте середнє арифметичне, а за оцінку розсіювання - оцінка САВ.

3. За результат вимірювання прийнята оцінка (1).

По цих моделях розраховано довірчі коефіцієнти для визначення границь випадкової похибки. Значення довірчих коефіцієнтів наведені для різної кількості спостережень і різних довірчих ймовірностей. Застосування цих коефіцієнтів дозволяє для конкретних розподілів використовувати відповідні довірчі коефіцієнти, що виключає некоректність визначення границь випадкових похибок.

Встановлено, що довірчі коефіцієнти для визначення границь середнього арифметичного по розподілах, відмінних від нормального, найбільш значно відрізняються від коефіцієнтів Ст’юдента при (відмінність до 70%), при досить коректно можна використовувати коефіцієнти Ст’юдента (з похибкою до 5%).

Для розглядання впливу трансформації закону розподілу при нелінійному перетворенні на положення та ширину довірчого інтервалу, в околі математичного очікування на малій ділянці була зроблена заміна нелінійної функції перетворення прямою вигляду . Тоді похибка від заміни нелінійної функції перетворення лінійною визначається виразом

.

Якщо , нелінійним перетворенням можна знехтувати, у протилежному випадку його необхідно враховувати.

Якщо зобразити нелінійну функцію перетворення у вигляді поліному -го ступеня , то похибка змінюється в залежності від ступеня поліному в такий спосіб:

- поліном першого ступеня ;

- поліном другого ступеня ;

- поліном третього ступеня ;

- поліном четвертого ступеня .

Таким чином, доводиться, що вплив нелінійності на ширину довірчого інтервалу відчувається, починаючи з поліному третього ступеня.

В цьому розділі також розглядаються опосередковані вимірювання з багаторазовими спостереженнями як найбільш загальна ситуація для обробки. Здійснюється дослідження процесу знаходження результату опосередкованого вимірювання і границі його випадкової похибки з обліком запропонованих у попередніх главах методів обробки.

При опосередкованих багатократних некорельованих вимірюваннях границі випадкової похибки пропонується розраховувати через ексцес і асиметрію результуючого розподілу, отримані через ексцес і асиметрію розподілів аргументів.

При опосередкованих вимірюваннях з кореляцією між аргументами за оцінку результату вимірювання пропонується брати зважену оцінку значень функцій, отриманих методом приведення, а за оцінку розсіювання – ефективну оцінку СКВ, довірчий коефіцієнт для оцінювання границь випадкової похибки - вибирати в залежності від результуючого розподілу.

Четвертий розділ присвячено дослідженню різних методів виявлення і виключення надмірних похибок і промахів.

Дослідження методу виключення надмірних похибок і промахів шляхом усікання вибірок показало, що при малій кількості спостережень застосування усічених оцінок збільшує дисперсію оцінки результату вимірювання до 2-2,5 разів і оцінки СКВ до 4 -5 разів, крім того призводить до додаткового зсуву оцінки СКВ. Таким чином, для виключення надмірних похибок і промахів краще використовувати спеціальні статистичні методи, а не відкидати частину даних довільно, що призводить до втрати корисної інформації, особливо якщо кількість спостережень мала.

Проведено удосконалення критерію виключення надмірних похибок і промахів по малій кількості спостережень, що засновано на умові

. (14)

Цей критерій було раніше розроблено лише для нормального розподілу результатів спостережень. Нами були розраховані чисельні значення коефіцієнтів для розподілів, які відмінні від нормального. Крім того, на підставі дослідження чутливості різних оцінок результату вимірювання та його розсіювання до надмірних похибок і промахів, пропонується у виразі (14) замість застосовувати , а замість оцінки СКВ - оцінку САВ. Тоді (14) має вигляд

. (15)

Даний критерій названо медіанним. Значення коефіцієнту для розподілів із різними значеннями ексцесу розраховано чисельним методом і наведено у вигляді залежностей від ексцесу для різних значень ймовірності. На рис. 4 наведено графіки залежності для ймовірності для кількості спостережень від 3 до 21 із кроком 2. Для інших ймовірностей залежності мають аналогічний вигляд.

У п'ятому розділі розглянуто питання ідентифікації емпіричних розподілів за допомогою параметричних критеріїв, що засновані на використанні центральних моментів різного порядку , а також за допомогою методу імовірнісних сіток.

Найчастіше для обґрунтування вигляду розподілу використовується метод, який засновано на побудові гістограми чи кумулятивної кривої і застосуванні критеріїв згоди. Однак, цей метод не завжди може бути використано, оскільки потребує великого обсягу спеціальних досліджень і вимагає кількість повторних спостережень, що достатньо для групування. Більш зручно з практичної точки зору для ідентифікації розподілів використовувати характеристики форми - асиметрію та ексцес, оцінки яких визначаються за формулами

, . (16)

Рисунок 4

Для виявлення вірогідності ідентифікації розподілів по оцінках асиметрії та ексцесу було розраховано оцінки математичного очікування і дисперсії цих оцінок по вибірках малого обсягу запропонованим чисельним методом для різних розподілів результатів спостережень. Результати розрахунку показали, що оцінка асиметрії є незміщеною для будь-яких розподілів. Оцінка ексцесу має зсув , величина якого визначається з розрахованої залежності, що наведена на рис.5 для кількості спостережень від 5 до 25 з кроком 2.

Для визначення можливості застосування оцінки ексцесу для ідентифікації розподілів також були визначені довірчі області цієї оцінки для різної кількості спостережень і різних їх розподілах, які наведені на рис. 6 для значення довірчої ймовірності 0,9. Для інших значень довірчої ймовірності хід залежностей аналогічний. На рисунку: Л - розподіл Лапласа, Н - нормальний, Т - трикутний, Р - рівномірний, А - арксинус, з індексом н - нижня границя, з індексом в - верхня границя. Як видно з рис. 6 довірчі області оцінки ексцесу для різних розподілів результатів спостережень перекриваються, що не дозволяє при одержанні точкової оцінки судити про приналежність емпіричного розподілу якому-небудь теоретичному.

Рисунок 5

Рисунок 6

Отримані результати поясняються збільшенням похибки визначення моментів зі зростанням їхнього порядку. Була зроблена спроба підвищити точність ідентифікації форми розподілу за рахунок зменшення порядку характеристик, що використовуються. Був досліджений параметр форми розподілу , оцінка якого визначається за формулою

(17)

через абсолютний момент 1-го порядку. На застосуванні цього параметра засновано широко описаний у літературі складений критерій згоди.

Було отримано, що критичні області цього критерію для різних розподілів перекриваються (див. рис. 7), що робить застосування складеного критерію неефективним. Тому була досліджена можливість ідентифікації розподілів за малими вибірками методом імовірнісних сіток, який засновано на побудові емпіричних функцій на спеціальних сітках, в яких масштаб по осях вибрано таким чином, щоб графік функції являв собою пряму лінію, якщо розподіл результатів спостережень співпадає з тим, для якого була побудована сітка.

Рисунок 7

Оскільки вид закону розподілу апріорно не відомий, то доводиться робити побудову кілька разів на імовірнісних сітках для різних розподілень і вибрати з них те, що при побудові буде більш лінійним. Цей процес, якій здійснюється вручну, дуже трудомісткий. Крім того, процес прийняття рішень при використанні імовірнісних сіток має суб'єктивний характер.

Запропоновано модифікувати метод імовірнісних сіток у такий спосіб. Дані, що отримано в результаті вимірювань, перетворюються таким чином, щоб при побудові експериментальна функція розподілу в прямокутних координатах з рівномірними осями абсцис і ординат являла пряму лінію. Перетворюючою функцією є вираз інтегральної функції розподілу для заданого закону. Якщо перетворююча функція не відповідає експериментальним даним, то функція розподілу не перетвориться в пряму. Перетворюючи експериментальні дані різними функціями та апроксимуючи отримані дані прямими лініями методом найменших квадратів, визначаємо, для якої перетворюючої функції сума квадратів відхилив виявиться найменшою.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Для забезпечення найбільш ефективної оцінки результату вимірювання для довільних розподілів результатів спостережень запропоновано співвідношення, яке отримано на підставі дослідження ефективності різних оцінок результату вимірювання та їх лінійної комбінації.

2. Отримано співвідношення для оцінки СКВ запропонованої оцінки результату вимірювання, що являє собою добуток розрахованого коефіцієнту на оцінку СКВ результату окремого спостереження. Визначено границі ефективності різних оцінок СКВ з урахуванням їх зсуву при малій кількості спостережень

3. Розроблено експрес-метод визначення довірчих коефіцієнтів по характеристиках форми розподілів для оцінювання границь випадкової похибки результату вимірювань з одноразовими спостереженнями.

4. Чисельним методом було отримано моделі - розподілу для різних законів розподілів результатів спостережень, їхньої кількості і виду прийнятої оцінки результату вимірювання. По цих моделях були визначено відповідні довірчі коефіцієнти для визначення границь випадкової похибки результату вимірювання з багаторазовими спостереженнями.

5. Розглянуто застосування запропонованих оцінок для статистичної обробки результатів опосередкованих корельованих і некорельованих вимірювань.

6. Досліджено вплив трансформації закону розподілу при нелінійному перетворенні на положення та ширину довірчого інтервалу.

7. Проведено удосконалення критерію виключення надмірних похибок і промахів за малими вибірками шляхом розширення можливості його застосування для розподілів, які відмінні від нормального.

8. Показано неефективність застосування параметричних критеріїв для ідентифікації форми розподілу за малими вибірками. Розроблено метод ідентифікації, який засновано на синтезі методу імовірнісних сіток і методу найменших квадратів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Захаров И.П., Штефан Н.В. Трансформация законов распределения погрешностей при нелинейном преобразовании // Радіотехніка. - 2000. - Вип. 113. - С. 58 - 61.

2. Захаров И.П., Штефан Н.В. Обнаружение грубых погрешностей и промахов при обработке результатов наблюдений // Радіотехніка. - 2001. - Вип. 121. - С.130-133

3. Захаров И.П., Штефан Н.В., Сазонова И.К. Оценивание границ случайной погрешности по малому числу наблюдений // Радіоелектроніка та інформатика. - 2002. - Вип. 1(18). - С. 53-56

4. Захаров И.П., Штефан Н.В. Определение эффективных оценок центра распределения при статистической обработке результатов наблюдений // Радіоелектроніка та інформатика. - 2002. - Вип. 3(20). - С.97-99

5. Захаров И.П., Штефан Н.В., Сафарян Г.Г., Сергиенко М.П. Идентификация формы закона распределения погрешностей по выборкам малого объема // Радіотехніка.- 2002. - Вип.129. - С.103-106.

АНОТАЦІЯ

Штефан Н.В. Методи та алгоритми ефективної обробки результатів вимірювального експерименту. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 05.11.15 - метрологія та метрологічне забезпечення. - Харківський державний науково-дослідний інститут метрології, Харків, 2004.

Дисертацію присвячено питанням побудови алгоритмів статистичної обробки результатів вимірювального експерименту, ефективних як з погляду визначення оцінок результату вимірювання і його параметрів з найменшою похибкою так і з погляду зниження витрат на проведення вимірювального експерименту за рахунок зменшення кількості повторних спостережень.

Ключові слова: результат вимірювання, статистичний аналіз, вибірка, оцінка, ймовірність, функція розподілу.

АННОТАЦИЯ

Штефан Н.В. Методы и алгоритмы эффективной обработки результатов измерительного эксперимента. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.11.15 - метрология и метрологическое обеспечение. – Харьковский государственный научно-исследовательский институт метрологии, Харьков, 2004.

Диссертация посвящена вопросам построения алгоритмов статистической обработки результатов измерительного эксперимента, эффективных как с точки зрения определения оценок результата измерения и его параметров c наименьшей погрешностью так и с точки зрения снижения затрат на проведение измерительного эксперимента за счет уменьшения числа повторных наблюдений.

Предложены и исследованы выражения для несмещенных и эффективных оценок результата измерения и его среднего квадратического отклонения при произвольном распределении результатов наблюдений. Для определения доверительных границ случайной погрешности результата измерений с многократными наблюдениями по малым выборкам рассчитаны доверительные коэффициенты для произвольных распределений и различных оценок результата измерения. Для оценивания границ случайной погрешности однократного измерения предложен экспресс-метод определения доверительных коэффициентов по характеристикам формы распределения. Исследовано влияние трансформации закона распределения при нелинейном преобразовании на положение и ширину доверительного интервала. Проведено усовершенствование критерия исключения грубых погрешностей и промахов по малым выборкам путем расчета его статистики для распределений, отличных от нормального и введения оценок, наименее чувствительных к грубым погрешностям и промахам. Разработан метод идентификации распределений по малым выборкам, основанный на синтезе метода вероятностных сеток и метода наименьших квадратов.

Ключевые слова: результат измерения, статистический анализ, выборка, оценка, вероятность, функция распределения.

THE SUMMARY

Shtefan N. Methods and algorithms about effective processing of results of measuring experiment. - Manuscript.

Dissertation for candidate degree of technical science on speciality 05.11.15 - metrology and metrological ensuring. – Kharkiv State Scientific Research Institute of metrology, Kharkov, 2003

The dissertation is devoted to questions of construction of measuring experiment results statistical processing algorithms, effective as from the point of view of definition of estimations of measurement result and its parameters by the least error and from the point of view of decrease of expenses on realization of measuring experiment at the expense of reduction of number of repeated supervision.

Key words: result of measurement, statistical analysis, sample, estimation, probability, function of distribution.

Підписано до друку 04.02.2004р.

Формат 60Х90-16. Папір офсетний. Друк на ізографі.

Умовн. друк. Аркуш 1,0. Тираж 100 прим. Безкоштовно.

Копіювальний центр “Палітра”

Полтавський Шлях, 52, оф. 49-А, м.Харків