Савченко Олена Віталіївна

УДК 534.1:539.3

ПАСИВНЕ ДЕМПФІРУВАННЯ КОЛИВАНЬ

КОМПОЗИТНИХ КОНСТРУКЦІЙ

Спеціальність 05.02.09 –

Динаміка та міцність машин

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано на кафедрі прикладної механіки Чернігівського державного технологічного університету Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Хільчевський Володимир Васильович,

Національний технічний університет України “КПІ” Міністерства освіти і науки України,

професор кафедри лазерної технології, конструювання машин та матеріалознавства

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Василенко Микола Васильович,

Національний технічний університет України “КПІ” Міністерства освіти і науки України,

професор кафедри динаміки та міцності машин

і опору матеріалів

кандидат технічних наук, доцент

Дідиченко Ірина Михайлівна,

Національний транспортний університет

Міністерства освіти і науки України,

доцент кафедри опору матеріалів і машинознавства

Провідна установа: Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка

НАН України (м.Київ)

Захист відбудеться 18 жовтня 2004 р. о 15 годині,

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.002.01 при Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут”

за адресою: 03056, м. Київ-56, пр. Перемоги, 37, корп. №1, ауд. №166.

Із дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”

за адресою: 03056, м. Київ-56, пр. Перемоги, 37.

Автореферат розісланий 14 вересня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор технічних наук, доцент О.О.Боронко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЇ

Актуальність теми. Проблема підвищення надійності й працездатності конструкцій, які працюють при динамічних навантаженнях, тісно пов'язана з проблемою забезпечення високого рівня розсіяння енергії у конструкції. Згідно із сучасними уявленнями, демпфірування розглядається як ключовий елемент, що забезпечує зменшення динамічних напружень і амплітуд коливань, скорочення часу затухання перехідних процесів, підвищення ефективності активних систем управління. Ефективним шляхом вирішення проблеми створення конструкцій із високими характеристиками розсіяння енергії є використання композитних структур, у яких несучі й демпфіруючі функції розділені між окремими елементами з різних матеріалів. Однак реалізація цього шляху можлива тільки при умові врахування демпфірування як рівноправного фактора на етапі проектування конструкції, а це, у свою чергу, потребує використання реальних фізичних рівнянь для матеріалів, розробки математичних моделей, які враховують неоднорід-ність структури і складність граничних умов, розробки методів аналізу розсіяння енергії і реакції конструкцій на зовнішні збурення довільної форми, використання методів оптимального проектування. Усі ці питання повинні бути поєднані єдиною концепцією створення ефективних конструкцій для роботи в умовах динамічних навантажень. Між тим, незважаючи на майже п’ятидесятирічну історію розвитку питання про штучне, або пасивне, демпфірування, такої концепції ще не створено. Недостатньо вивченим залишається питання про визначальні рівняння для демпфіруючих матеріалів, зокрема про врахування частотної залежності розсіяння енергії у в'язкопружних матеріалах; недостатньо розроблене питання про побудову математичних моделей конструкцій із урахуванням демпфірування на рівні мікрооб’ємів; відсутні ефективні методи аналізу власних значень і нестаціонарних коливань при частотно-залежному розсіянні енергії; на початковому етапі знаходиться розвиток методів оптимального проектування структурно-неоднорідних конструкцій із урахуванням демпфірування.

Таким чином, актуальність теми, яка присвячена розробці і аналізу математичних моделей і методів розрахунку структурно-неоднорідних конструкцій із в’язкопружних матеріалів, обумовлена необхідністю розробки єдиної концепції проектування конструкцій із високими демпфіруючими властивостями, яка базується на коректних із фізичної і математичної точок зору моделях матеріалів, методах розрахунку, ефективних для аналізу коливань із довільним спектром, і сучасних підходах до створення оптимальних конструктивних елементів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацію виконано відповідно до науково-дослідних тем “Розробка математичних моделей і методів розрахунку нестаціонарних коливань неідеально-пружних механічних систем” (№ держреєстрації 0199U003859) та “Розробка теоретичних основ проектування оптимальних композитних конструкцій при динамічних навантаженнях (№ держреєстрації 0102U000701), що виконуються у Чернігівському державному технологічному університеті за планами досліджень Міністерства освіти і науки України (2000-2004 р.). Автор є безпосереднім виконавцем цих робіт.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розроблення математичних моделей і методів аналізу стаціонарних і нестаціонарних коливань та оптимізації структурно-неоднорідних конструкцій із частотно-залежним розсіянням енергії.

Поставлена мета потребує реалізації таких завдань:–

розробки методу скінченно-елементного синтезу композитних конструкцій із в'язкопружних матеріалів;–

розробки методу аналізу розсіяння енергії у структурно-неоднорідних конструкціях із в'язкопружних матеріалів;–

розробки методів аналізу нестаціонарних коливань при силових і кінематичних навантаженнях із урахуванням частотно-залежного розсіяння енергії;–

розроблення методики оптимального проектування конструкцій із пасивним демпфіруванням;–

розв'язання задач коливань конкретних композитних конструкцій.

Об'єктом дослідження є структурно-неоднорідні (композитні) конструкції з пасивним в'язкопружним демпфіруванням.

Предметом дослідження є розсіяння енергії, стаціонарні і нестаціонарні коливання і методи оптимізації неідеально-пружних композитних елементів конструкцій.

Методом дослідження є математичне моделювання, при якому використані такі математичні методи:–

метод скінченних елементів і варіаційні методи;–

метод інтегральних перетворень Фур'є;–

чисельні методи аналізу власних значень і вимушених коливань;–

методи теорії нелінійного програмування.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержано такі основні нові результати:–

розроблено єдиний теоретико-методологічний підхід щодо аналізу коливань і оптимального проектування конструкцій із пасивним демпфіруванням;–

розроблено варіант методу скінченно-елементного моделювання коливань конструкцій із в'язкопружних матеріалів у просторі інтегральних перетворень Фур'є з урахуванням залежності розсіяння енергії від частоти коливань; –

побудовано нові скінченно-елементні моделі конструкцій із пасивним демпфіруванням, які відрізняються від існуючих коректним урахуванням демпфіруючих властивостей матеріалів і особливостей структури;–

розроблено методику аналізу демпфірування у структурно-неоднорідних конструкціях, яка базується на запропонованому чисельному методі розв'язку нелінійної задачі на власні значення;–

розроблено методику аналізу нестаціонарних коливань конструкцій із пасивним демпфіруванням, яка дозволяє врахувати частотну залежність розсіяння енергії у матеріалі, силові й кінематичні навантаження на конструкцію;–

побудовано уточнені моделі коливань тонкостінних елементів із композиційних в'язкопружних матеріалів, які дозволяють провести аналіз залежності розсіяння енергії від фізичних і конструктивних параметрів;

сформульовано проблему оптимального проектування структурно-неоднорідних конструкцій і запропоновано методики оптимізації за критеріями максимального демпфірування і мінімальних амплітуд у заданому частотному діапазоні, які використовують рівняння коливань у просторі перетворень Фур'є і амплітудно-частотні характеристики конструкцій;–

досліджено залежності розсіяння енергії і частоти характерних елементів конструкцій від фізичних і конструктивних параметрів, які підтверджують ефективність запропонованих моделей і методів.

Практичне значення одержаних результатів полягає у створенні послідовної, обґрунтованої методики моделювання й аналізу коливань оптимальних структурно-неоднорідних конструкцій із пасивним демпфіруванням, яка може використовуватись при проектуванні конструкцій у суднобудівній, літако-будівній, аерокосмічній промисловостях. Результати досліджень викорис-товуються в навчальному процесі, зокрема при викладанні дисципліни “Обчислювальна механіка” студентам механічних спеціальностей.

Особистий внесок здобувача. Основні теоретичні положення дисертації розроблені здобувачем із використанням концепції аналізу неідеально-пружних конструкцій у просторі перетворень Фур'є і методики побудови визначальних рівнянь композиційних матеріалів, запропонованих у роботах наукового керівника – доктора технічних наук, професора В.В.Хільчевського і співавтора публікацій – доктора технічних наук, професора В.Г.Дубенця. Особисто здобувачеві належать розробки скінченно-елементних моделей конструкцій із пасивним демпфіруванням, методів аналізу розсіяння енергії у конструкціях із частотно-залежним розсіянням енергії, методів оптимізації за критеріями максимального демпфірування і мінімальної амплітуди коливань, методів аналізу нестаціонарних коливань при силових і кінематичних навантаженнях, а також результати аналізу розсіяння енергії, нестаціонарних коливань і оптимізації конкретних моделей конструкцій.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації доповідались на міжнародних конференціях “Композиційні матеріали у промисловості” – Славполіком-99 (м. Київ, 1999 р.), Славполіком-2002 (м. Ялта, 2002 р.), Славполіком-2003 (м. Ялта, 2003 р.); на міжнародній конференції “Проблеми динаміки і міцності у газотурбобудуванні” – ГТД-2001 (м. Київ, 2001 р.); на семінарах Інституту проблем міцності НАН України і кафедри динаміки і міцності машин Національного технічного університету України “КПІ”; на наукових конференціях Чернігівського державного технологічного університету.

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 12 робіт, у тому числі 8 статей у провідних фахових виданнях.

Структура й обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, п’яти розділів і висновків. Загальний текст дисертації викладено на 171 сторінці. Окрім основного тексту, дисертація містить 85 рисунків, 9 таблиць та список використаних джерел із 170 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку доктору технічних наук, професору В.В.Хільчевському, науковому керівнику виконаної дисертації, і доктору технічних наук, професору В.Г.Дубенцю за поради і консультації при виконанні даної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

Вступ до дисертації висвітлює актуальність теми, мету і задачі дослідження та загальну характеристику роботи.

Перший розділ містить огляд досліджень із питань пасивного демпфірування коливань. Відзначається, що за час, який пройшов від першої публікації на цю тему (Oberst H., 1952 р.), доведено ефективність використання спеціальних демпфіруючих матеріалів у складі композитних конструкцій і при створенні нових композиційних матеріалів. Розвиток цього напрямку пов'язаний із роботами В.В.Болотіна, О.Є.Богініча, М.В.Василенка, Ю.С.Воробйова, В.Г.Дубенця, А.П.Зіньковського, О.В.Іонова, В.М.Кондратова, В.В.Матвєєва, А.С.Никифорова, В.О.Пальмова, Я.Г.Пановка, Г.С.Писаренка, В.М.Резнікова, Е.А.Сімсона, Є.С.Сорокіна, Б.Д.Тартаковського, Ю.К.Фавстова, В.В.Хільчевського, А.П.Яковлєва, а також Д.Дітаранто, Д.Міда, С.Маркуша, А.Джоунса, Д.Нашифа, Дж.Хендерсона, Е.Кервіна та інших учених.

Відбувається поступовий перехід від застосування пасивних демпфіруючих пристроїв як своєрідного виправлення запропонованої конструкції до нового напрямку – створення структурно-неоднорідних конструкцій, в яких неоднорідність структури цілеспрямовано використовується для надання конструкції високих характеристик демпфірування вже на початковому етапі проектування. Цьому сприяли фундаментальні дослідження, присвячені теорії структурно-неоднорід-них конструкцій, а також конструкцій із композиційних матеріалів, М.О.Алфутова, С.О.Амбарцумяна, В.А.Баженова, В.В.Болотіна, Г.А.Ваніна, А.Т.Василенка, В.В.Васильєва, Є.О.Гоцуляка, Є.І.Григолюка, Я.М.Григоренка, О.М.Гузя, В.І.Гуляєва, С.Ю.Єременка, Ю.М.Неміша, Ю.М.Новічкова, Н.Д.Панкратової, В.Г.Піскунова, А.В.Плеханова, Б.Ю.Победрі, О.О.Рассказова, Р.Б.Рікардса, О.Ф.Рябова, В.Г.Савченка, О.С.Сахарова, Л.П.Хорошуна, М.О.Шульги та інших.

Однак на шляху розвитку цього напрямку виявились значні труднощі, пов'язані з необхідністю використання реальних моделей розсіяння енергії, моделювання структурно-неоднорідних конструкцій з урахуванням складних граничних умов, розробки методів аналізу математичних моделей конструкцій з урахуванням неідеальної пружності матеріалів, зокрема при наявності частотної залежності розсіяння енергії і, нарешті, з необхідністю вибору найбільш раціональних варіантів композитних структур. Необхідність вирішення цих питань для композитних конструкцій із в'язкопружних матеріалів і обумовила тему і завдання дисертаційної роботи.

У другому розділі розроблено методику скінченно-елементного синтезу конструкцій із в'язкопружних матеріалів у просторі перетворень Фур'є, яка дозволяє коректно врахувати залежність розсіяння енергії від частоти коливань, неоднорідність структури і складність граничних умов для конструкцій із пасивним демпфіруванням. Методика базується на використанні варіаційного рівняння Лагранжа у згортках для одержання рівнянь коливань в’язкопружних конструкцій у часовому просторі з подальшим переходом до простору інтегральних перетворень Фур’є. Рівняння коливань скінченно-елементних моделей в’язкопружних конструкцій у згортках має вигляд

, (1)

де – інтегро-диференціальний матричний оператор; – матриця мас; – матриця вузлових навантажень; – вектори вузлових переміщень і швидкостей відповідно; – початкові значення вузлових переміщень і швидкостей; – час, .

Після переходу у простір перетворень Фур’є одержимо при нульових початкових умовах

, (2)

де – матриця динамічної жорсткості; і – прямі перетворення Фур'є вузлових переміщень і вузлових сил; – частота коливань; .

При одержанні матриці враховувалось, що залежності між напруженнями і деформаціями для в’язкопружного матеріалу, записані у вигляді згортки, перетворюються за правилом

, (3)

де – матриця частотно-залежних комплексних модулів, – зображення напружень і деформацій.

Алгебраїчна форма залежностей (3) дає можливість застосувати традиційну методику скінченно-елементного синтезу безпосередньо у просторі перетворень Фур’є, що є єдиним способом коректного використання поняття комплексного модуля матеріалу, але потребує оберненого перетворення Фур'є для одержання розв’язку у часовому просторі

. (4)

Обернене перетворення виконується методом швидкого перетворення Фур’є.

Аналіз розсіяння енергії і вільних коливань в'язкопружних конструкцій приводить до мало вивченої нелінійної задачі на власні значення

. (5)

Для визначення власних векторів і чисел матриці запропоновано ітераційний метод, який базується на принципі стиснутих зображень і використовує розв'язки узагальненої задачі власних значень частотно-незалежної комплексної матриці жорсткості

, (6)

де – комплексна матриця жорсткості, обчислена для деякої частоти ;

М – матриця мас; – власні числа.

Послідовність ітераційного процесу:

Ітераційний процес закінчується при виконанні умови із заданою точністю. Ітераційну процедуру можна реалізувати для одночасного визначення всіх власних значень матриці . Одночасно з комплексними частотами визначаються і комплексні форми коливань.

Декремент коливань на кожній формі визначається за відомою комплексною частотою

. (7)

Альтернативними є залежності для частот і декрементів коливань, які використовують комплексні форми

, (8)

де – відповідно дійсна й уявна частини комплексної матриці жорсткості;

н – знак спряженого транспонування.

Для ілюстрації методики моделювання конструкцій із пасивними демпфіруючими елементами (рис. 1, а – в) побудовано матрицю динамічної жорсткості плоского шестивузлового елемента з анізотропних в'язкопружних матеріалів (рис. 1, г), моделі характерних стержневих конструкцій із демпфіруючими пристроями, і проведений аналіз залежностей власних частот і декрементів коливань від конструктивних і фізичних параметрів. Приклад аналізу наведений на рис. 2 для стержня, зображеного на рис. 1, а, д.

Рис. 1. Конструктивні елементи з пасивним демпфіруванням: а-в) приклади елементів; г) плоский скінченний елемент; д) скінченно-елементна модель балки з демпфіруючими прокладками (а)

Аналіз ефективності використання універсальних плоских скінченних елементів для моделювання конструкцій із пасивним демпфірування показує, що прямий синтез приводить до матриць динамічної жорсткості високої розмірності. Для таких конструкцій, як багатошарові стержні, пластини, оболонки, доцільно використати спеціальні скінченні елементи, які враховують особливості структури (рис. 3).

У зв'язку з цим, у роботі побудовано матриці динамічної жорсткості стержнів тришарової і п’ятишарової структури (рис. 4) з урахуванням деформацій стиску і зсуву по товщині шарів, і проведено аналіз залежностей частот і декрементів коливань від фізичних і конструктивних параметрів (рис. 5, 6).

Рис. 2. Залежності декрементів коливань по першій (а) і другій (б) формах від величини комплексного модуля матеріалу прошарків ,

Рис. 3. Поперечні перерізи стержнів із демпфіруючими елементами

Рис. 4. Скінченні елементи три- і п’ятишарової структури

Рис. 5. Залежності декремента коливань тришарового стержня від конструктивних і фізичних

параметрів ( – товщини зовнішніх і внутрішнього шарів, – комплексний модуль матеріалу середнього шару)

Необхідність урахування деформацій по товщині середнього шару виникає при збільшенні співвідношення товщин зовнішніх шарів і зменшенні комплексних модулів матеріалу середнього шару (рис. 6). Як показує аналіз форм коливань, при збільшенні товщини одного із зовнішніх шарів другий починає працювати як динамічний погашувач коливань, що приводить до суттєвого збільшення декремента коливань на даній формі.

Рис. 6. Залежності декрементів коливань і частот для тришарових стержнів від відношення товщин зовнішніх шарів (і = h1/h2) при врахуванні деформацій зсуву (- - -) і зсуву з розтягом-стиском (––) по товщині середнього шару.

Одержані результати свідчать про суттєвий вплив конструктивних параметрів елементів демпфірування, а також частотної залежності комплексних модулів на рівень розсіяння енергії у конструкції, наявність екстремальних значень декрементів коливань, можливість розширення ефективного частотного діапазону з великим декрементом за рахунок підбору матеріалів з різною частотною залежністю комплексних модулів (рис. 7).

Рис. 7. Порівняння частот і декрементів коливань тришарового стержня для частотно-залежного (–––) і частотно-незалежного розсіяння енергії; ( – номер форми коливань)

Порівняння результатів розрахунку декрементів і частот коливань, проведеного за запропонованою методикою, з результатами аналізу елементів із демпфіруванням, опублікованими іншими авторами, підтвердило її дієздатність.

У третьому розділі розглядається альтернативний клас конструкцій з пасивним демпфіруванням – конструкції з композиційних в'язкопружних матеріалів (рис. 7).

Одержано визначальні рівняння в'язкопружного матеріалу, армованого волокнами, які дозволяють провести аналіз характеристик демпфірування при довільних варіантах складного напруженого стану. Аналіз розсіяння енергії у таких матеріалах свідчить про суттєвий вплив коефіцієнтів і кутів армування, а також виду напруженого стану на характеристики демпфірування (рис. 8).

Рис. 8. Конструкції з композиційних матеріалів: а) пластина, б) циліндрична оболонка

Рис. 9. Залежність декремента коливань композиційного матеріалу від кута (fi) і коефіцієнта армування (eta) для двох варіантів напруженого стану: а) ;

б)

З використанням одержаних залежностей побудовано скінченно-елементні моделі багатошарових пластин і оболонок із шарами композиційного матеріалу на основі гіпотез Кірхгофа-Лява і варіанту напіваналітичного методу скінченних елементів при апроксимації переміщень по товщині поліномами Лагранжа. Проведено аналіз частот, форм і декрементів коливань пластин і оболонок при зміні коефіцієнтів і кутів армування та комплексних частотно-залежних модулів матеріалів. Показано, що ігнорування частотної залежності може привести до суттєвих відмінностей, у першу чергу для декрементів коливань.

Розсіяння енергії у конструкціях із композиційних матеріалів залежить від коефіцієнта і кута армування, форми коливань, співвідношення габаритних розмірів (рис. 10, 11).

Проведено порівняння результатів розрахунку декрементів коливань, одержаних за класичною теорією і за допомогою напіваналітичного методу скінченних елементів при різних формах коливань циліндричної оболонки (рис. 12). Розглядалась циліндрична оболонка з чотирьох шарів композиційних матеріалів однакової структури. Збіжність результатів свідчить про коректність побудованих скінченно-елементних моделей.

Рис. 10. Залежності декремента згинальних коливань пластини з композиційного матеріалу ортотропної структури від коефіцієнта і кута армування для двох форм коливань

Рис. 11. Залежності декремента крутильних коливань циліндричної оболонки з композиційного матеріалу ортотропної структури від коефіцієнта і кута армування для двох форм коливань

Рис. 12. Залежності декремента коливань від кута армування і коефіцієнта армування = 0.1 для подовжніх (d1), згинальних (d2) і крутильних (d3) коливань циліндричної оболонки за теорією Кірхгофа-Лява (–––) і за уточненою теорією () при різних формах коливань:

а) m = 1, n = 0; б) m = 4, n = 0

У четвертому розділі розроблено методику аналізу нестаціонарних коливань конструкцій із в'язкопружних матеріалів. Використовуються рівняння вимушених коливань дискретних моделей конструкцій, записані у просторі перетворень Фур'є

, (9)

де – матриця динамічної жорсткості, – пряме перетворення Фур'є зовнішнього навантаження .

Для моделювання конструкцій із розподіленими параметрами використовуються скінченно-елементні моделі, побудовані у просторі перетворень Фур'є.

Розв'язок рівняння (9) відносно зображень переміщень шукається для ряду значень частот у заданому частотному діапазоні, після чого до одержаної послідовності комплексних векторів застосовується обернене перетворення Фур'є.

Методика використовується для аналізу коливань стержневих систем і армованих пластин при дії імпульсних навантажень довільного спектрального складу. Розглянуто приклади розрахунку ферм і пластин із композиційного матеріалу. Показано, що перспективним напрямком створення конструкцій із високим рівнем демпфірування є використання спеціальних композитних елементів. На рис. 13, а, зображений скінченний елемент тришарового стержня для конструкцій ферм. Несучі шари (зовнішній або внутрішній) працюють на розтяг-стиск, а прошарок – на зсув. Осцилограми (рис. 13, в, г), побудовані для коливань ферми з композитних стержнів (рис. 13, б) при дії імпульсного навантаження у вигляді -функції по координаті 4, свідчать про можливість регулювання часу затухання коливань ферми при використанні елементів із пасивним демпфіруванням.

Рис. 13. Осцилограми коливань ферми по координаті 4 при дії -імпульсу у напрямку координати 4 (у випадку (г) модуль жорсткості середнього шару зменшений удвічі порівняно з (в))

Для побудови стержневих конструкцій можна використати спеціальні скінченні елементи, приклади яких розглянуто у розділі 2.

Для аналізу коливань пластин побудовані матриці динамічної жорсткості пластини з композиційного матеріалу ортотропної структури (рис. 14).

Рис. 14. Скінченний елемент (а) і скінченно-елементна модель пластини з композиційного матеріалу (б)

На рис. 15 наведені осцилограми переміщень вузлової точки О при дії імпульсного навантаження у вигляді -функції для різних значень параметрів армування.

Рис. 15. Осцилограми коливань пластини для різних кутів армування скінченних елементів пластини: а) ; б) ; в)

Як видно, вплив параметрів суттєвий, – і це можна використати для проектування оптимальних конструкцій.

Методику розрахунку на імпульсні навантаження узагальнено на коливання при короткочасних кінематичних навантаженнях, які створюються внаслідок переміщень окремих вузлів конструкції. Переміщення, задані як функції часу, з використанням компонент матриці динамічної жорсткості записуються у просторі перетворень Фур'є як навантаження у відповідних вузлах, після чого розв'язується задача вимушених коливань у просторі перетворень Фур'є згідно з наведеною вище методикою. Суттєвими перевагами запропонованого методу є можливість урахування частотно-залежного демпфірування, кінематичного збудження довільної форми, діючого на довільні вузли конструкції, незалежність від статичної невизначеності, а також можливість урахування особливостей розподіленого демпфірування по об'єму конструкції. Ефективність методу демонструється на прикладі розрахунку стержневих конструкцій при зміщенні опор за заданим законом. На рис. 16, в, г, д, наведені осцилограми переміщень вузлів рами (рис. 16, а) при переміщеннях опор у формі двох імпульсів синусоїдальної форми, зміщених у часі (рис. 16, б).

Аналіз осцилограм, одержаних при різних рівнях демпфірування, свідчить про можливість суттєвого зменшення амплітуд коливань і, особливо, часу їх затухання при використанні у конструкції в’язкопружних матеріалів. Розроблена методика може використовуватись при аналізі реакцій конструкцій на поштовхи при землетрусах, транспортних засобів на нерівності шляху тощо.

Рис. 16. Скінченно-елементна модель рами і схема переміщень опор (а); форма імпульсу навантаження опор (б); переміщення точок 5 і 35 при горизонтальних (в), вертикальних (г) і кутових (д) зміщеннях опор

У п’ятому розділі пропонуються постановки задач оптимізації конструкцій за критеріями максимального демпфірування і мінімуму амплітуди коливань. Показано, що для визначення параметрів, які забезпечують максимум демпфірування при накладених обмеженнях у конструкціях, доцільно використати методи теорії нелінійного програмування. Цільовою функцією вибирається одна з характеристик демпфірування, зокрема декремент коливань, максимальні амплітуди, час затухання нестаціонарних коливань. Параметрами оптимізації приймаються геометричні розміри, фізичні параметри матеріалів. Обмеження, які накладаються на проектні змінні, визначають границі простору оптимізації.

Задача оптимізації за критерієм максимального демпфірування формулюється у вигляді узагальненої задачі теорії нелінійного програмування:

Знайти вектор параметрів проекту

,

якому відповідає максимальне значення декремента коливань

,

при обмеженнях на параметри проекту

,

а також умовах типу рівностей, якими є рівняння стану

, ( – узагальнені переміщення).

Для розв'язку задачі оптимізації використовувались пошукові методи, зокрема варіант методу Бокса; визначення цільової функції на кожному кроці ітераційного процесу проводилось за методикою, розробленою у розділі 2.

Методика оптимізації використовувалась для пошуку оптимальних параметрів багатошарових стержнів, пластин і циліндричних оболонок із композиційних матеріалів при коливаннях на заданій формі.

Аналіз результатів оптимізації вказує на можливість одержання оптимального проекту у заданому діапазоні обмежень на параметри проекту. Максимальне значення декремента коливань при заданих обмеженнях залежить, зокрема, від довжини стержня, номера форми коливань, комплексного модуля матеріалу і товщини демпфіруючих шарів (рис. 17, 18).

Рис. 17. Оптимальні значення декремента коливань тришарового стержня при різних значеннях модуля зсуву матеріалу середнього шару Па, (довжина стержня: а – , б – )

Рис. 18. Оптимальні значення декремента коливань п’ятишарового стержня при різних формах коливань (а); товщинах демпфіруючих шарів (б)

Для забезпечення мінімальних значень амплітуд коливань у заданому частотному діапазоні розроблено метод оптимізації за критерієм мінімуму амплітуди у заданому частотному діапазоні. Для побудови амплітудно-частотних характеристик використовується рівняння коливань у просторі перетворень Фур'є. Задача оптимізації формулюється так:

мінімізувати ,

при обмеженнях ,

де – амплітуда коливань і-го узагальненого переміщення; – кількість значень амплітуди у вибраному частотному діапазоні; – кількість узагальнених координат; – граничні значення параметрів проекту; – функція неявних обмежень.

Для ілюстрації методу знайдено оптимальні значення параметрів проектування для тришарового стержня. На рис. 19, а, б зображено амплітудно-частотні характеристики до і після оптимізації тришарового стержня із заданими модулями пружності матеріалів. Максимальна амплітуда для оптимального проекту менша майже у 20 разів.

Рис. 19. Амплітудно-частотні характеристики тришарового стержня початкового (а) і оптимального (б) проектів

Одержані результати свідчать про перспективність запропонованого методу і доцільність подальшої розробки методики його використання для оптимізації складних конструкцій із густим спектром частот.

ВИСНОВКИ

У дисертації одержано такі основні наукові та практичні результати:

1. Запропоновано універсальну методику аналізу коливань елементів композитних конструкцій із демпфіруванням в'язкопружними матеріалами, яка полягає у реалізації методу скінченних елементів у просторі інтегральних перетворень Фур'є. Інтегро-диференціальні рівняння коливань у часовому просторі при цьому переходять у комплексні алгебраїчні рівняння відносно зображень узагальнених переміщень. Для описання неідеально-пружних властивостей в'язкопружних матеріалів використовуються фізичні залежності, записані у просторі перетворень Фур'є. Компоненти матриці комплексних модулів є функціями частоти коливань.

Скінченно-елементне моделювання у просторі перетворень Фур'є є єдиним коректним способом застосування комплексних частотно-залежних модулів, і це принципово відрізняє цей метод від методів, що використовують комплексні модулі у часовому просторі.

У зв'язку з частотною залежністю розсіяння енергії, проблема власних значень виявляється нелінійною. Для визначення власних векторів і чисел матриці динамічної жорсткості пропонується ітераційний метод, який на кожному кроці ітерацій використовує власні вектори і числа, знайдені для лінійної задачі.

2. Побудовано математичні моделі композитних конструкцій із пасивним демпфіруванням і тонкостінних конструкцій із композиційних в'язкопружних матеріалів, які дозволили провести аналіз вільних і вимушених коливань конструкцій і сформулювати задачі оптимізації за критеріями максимального демпфірування і мінімуму амплітуд коливань. Одержано матриці динамічної жорсткості для характерних скінченних елементів: плоского чотирикутного з шістьма вузлами, тришарового стержня із середнім шаром, що працює на зсув із розтягом-стиском, п’ятишарового стержня з демпфіруючими шарами, які працюють на зсув, тришарового стержня для моделювання елементів ферми, елемента пластини з композиційного матеріалу.

3. Розроблено методику розрахунку нестаціонарних коливань конструкцій із в'язкопружним демпфіруванням, зокрема коливань від імпульсних навантажень, яка базується на рівняннях коливань скінченно-елементних моделей конструкцій, записаних у просторі інтегральних перетворень Фур'є, і методі швидкого перетворення Фур'є для переходу із простору зображень до часового простору.

Методика дозволяє провести аналіз коливань для навантажень із довільним спектральним складом, урахувати залежності характеристики матеріалів від частоти коливань, використати скінченно-елементне моделювання конструкцій.

4. Запропоновано новий метод розрахунку нестаціонарних коливань конструкцій із в'язкопружним частотно-залежним розсіянням енергії, працюючих при кінематичних збудженнях. Перевагами методу є можливість урахування деформаційних та інерційних сил, що важливо для статично-невизначуваних конструкцій, в яких переміщення опор приводять до появи внутрішніх сил. Метод може ефективно використовуватись для визначення реакцій споруд на кінематичне збудження різної природи.

5. Одержано результати аналізу розсіяння енергії і власних частот характерних конструкцій із пасивним демпфіруванням, зокрема конструкцій із демпфіруючими прошарками, три- і п’ятишарових стержнів, пластин і оболонок із композиційних, армованих волокнами матеріалів на полімерній основі. Одержані результати дозволяють прослідкувати залежності частот і показників демпфірування від конструктивних параметрів конструкцій, демонструють запропоновану методику аналізу, а також вказують напрямок подальшого узагальнення на більш складні конструкції.

6. Розглянуто приклади розрахунку стержневих конструкцій на дію силових і кінематичних навантажень, які підтверджують можливість використання запропонованих методів розрахунку у загальному випадку композитних конструкцій із пасивним демпфіруванням.

Проведено порівняння результатів розрахунку декрементів і частот коливань із результатами експерименту і розрахунків інших авторів, яке свідчить про дієвість запропонованих моделей і методів.

7. Запропоновано методику оптимального проектування композитних конструкцій із максимальним демпфіруванням, яка базується на методах теорії нелінійного програмування. При визначенні параметрів, що забезпечують максимум демпфірування на заданій формі коливань, цільовою функцією приймається декремент коливань. Розглянуто задачі оптимізації багатошарових стержнів із демпфіруючими шарами, пластин і оболонок із композиційних матеріалів.

Для мінімізації амплітуд коливань у заданому діапазоні частот пропонується метод, який використовує амплітудно-частотні характеристики конструкції. Метод дозволяє одержати параметри проекту, які мінімізують амплітуди коливань у вибраному діапазоні частот.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Хільчевський В.В., Дубенець В.Г., Савченко О.В. Нестаціонарні коливання стержня з частотно-залежним розсіянням енергії // Вісник Черніг. держ. технол. ун-ту. – Чернігів, 2000. – № 10. – С. 33-42.

Здобувачем розроблена методика врахування і аналізу частотно-залежного розсіяння енергії.

2. Савченко О.В. Демпфірування коливань пластин з композиційних матеріалів // Вісник Черніг. держ. технол. ун-ту, – Чернігів, 2001. – № 12. – C. 52-62.

3. Дубенець В.Г., Савченко О.В. Розрахунок демпфіруваних конструкцій з частотно-залежним розсіянням енергії на дію навантаження довільного спектрального складу // Вісн. Черніг. держ. технол. ун-ту. – 2001. – № 13. – С. 19-29.

Здобувачу належить методика розрахунку нестаціонарних коливань конструкцій із частотно-залежним розсіяння енергії.

4. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г., Савченко Е.В. Анализ демпфирования и оптимизация слоисто-волокнистых оболочек // Вибрации в технике и технологиях. – Винница, 2001. – № 4. – С. 117-122.

Здобувачем розроблено метод оптимізації композитних оболонок із в'язкопружних матеріалів.

5. Хільчевський В.В., Дубенець В.Г., Савченко О.В. Коливання стержневих систем при кінематичному збудженні // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – К., 2002. – № 5. – С. 95-98.

Здобувачем розроблено метод розрахунку коливань систем із в'язкопружним демпфіруванням при кінематичних навантаженнях.

6. Савченко О.В. Коливання y стержневих конструкціях при імпульсному навантаженні // Вісн. Черніг. технол. ун-ту, 2002. – № 15. – С. 16-26.

7. Савченко О.В. Коливання циліндричної оболонки з в’язкопружних композиційних матеріалів // Вісн. Черніг. технол. ун-ту, 2002. – № 18. – С. 22-30.

8. Савченко О.В. Задачі оптимізації конструкцій із пасивним демпфіруванням // Вісн. Черніг. держ. технол. ун-ту, 2003. – № 21. С. 10-24.

9. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г., Савченко Е.В. Задачи оптимального проектирования композиционных материалов с высокой демпфирующей способностью // Труды междунар. конф. “Композиционные материалы в промышленности” (Славполиком 99). – Київ, 1999. – С. 188-189.

Здобувачеві належить постановка і розв’язок задачі оптимального проектування багатошарових, армованих волокнами композиційних матеріалів із високими демпфіруючими властивостями.

10. Хильчевский В.В., Дубенец В.Г., Савченко Е.В. Анализ демпфирования и оптимизация слоисто-волокнистых оболочек // Тезисы международной конференции “Проблемы динамики и прочности в газотурбостроении”, г. Киев, 9-11 октября 2001 г.

Здобувачем розроблено метод оптимізації композитних оболонок із в'язкопружних матеріалів.

11. Савченко Е.В. Оптимальное проектирование тонкостенных конструкций из композиционных материалов // Материалы XXII ежегодной междунар. научно-практ. конф. “Композиционные материалы в промышленности” (Славполиком-2002). – Ялта, 1-5 июня 2002. – С. 96.

12. Дубенец В.Г., Савченко Е.В. Оптимальное проектирование конструкций из вязкоупругих композиционных материалов // Материалы XXIII ежегодной междунар. научно-практ. конф. “Композиционные материалы в промышленности” (Славполиком-2003), – Ялта, 2-6 июня 2003. – С. 135.

Здобувачем розроблено методику оптимального проектування конструкцій із пасивним демпфіруванням із використанням теорії нелінійного програмування.

АНОТАЦІЇ

Савченко О.В. Пасивне демпфірування коливань композитних конструкцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі спеціальності 05.02.09 – Динаміка та міцність машин. – Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”, Київ, 2004.

Розроблено комплексну методику розрахунку вільних і вимушених коливань композитних конструкцій із елементами демпфіруючих в'язкопружних матеріалів, яка базується на скінченно-елементному моделюванні у просторі перетворень Фур'є. Запропоновано математичні моделі коливань композитних конструкцій для аналізу пасивного демпфірування і методи аналізу вільних і вимушених коливань при дії навантаження з довільним спектральним складом.

Показано, що використання в'язкопружних демпфіруючих матеріалів є перспективним і ефективним шляхом створення задач проектування оптимальних з точки зору максимального розсіяння енергії композитних конструкцій.

Ключові слова: Композитні конструкції, розсіяння енергії, пасивне демпфірування, нестаціонарні коливання, композиційні матеріали, оптимізація.

Savchenko O.V. Passive Damping of Vibration of Composite Constructions. – Manuscript.

The dissertation for a scientific degree of the Candidate of Science (Engineering) by speciality 05.02.09 – Dynamics and strength of machines. – National Technical University of Ukraine “Kyiv Polytechnic institute”, Kyiv, 2004.

Complex calculating procedure of free and forced vibrations of composite constructions with elements of damping viscoelastic materials has been developed. The offered procedure is based on a finite elements modeling in the Fourier transform space. Mathematical models of vibrations of composite constructions for passive damping analysis, and methods of analysis of free and forced vibrations under loads with arbitrary spectral composition have been suggested.

Usage of viscoelastic damping materials is an effective way of solving problems of design of optimal composite constructions with maximum dissipation of energy.

Key words: composite constructions, dissipation of energy, passive damping, non-stationary vibrations, composite materials, optimization.

Савченко Е.В. Пассивное демпфирование колебаний композитных конструкций. – Рукопись.

Диссертация на соискание степени кандидата технических наук по специальности 05.02.09 – Динамика и прочность машин. – Национальный технический университет Украины “Киевский политехнический институт”, Киев, 2004.

В диссертации решена задача построения универсальной методики расчета и проектирования композитных конструкций с демпфирующими элементами из вязкоупругих материалов. В отличие от опубликованных исследований, предлагаемые математические модели и методы позволяют выполнить анализ стационарных и нестационарных колебаний сложных композитных конструкций произвольной структуры с учетом частотно-зависимого рассеяния энергии, характерного для вязкоупругих материалов, а также проектировать конструкции с максимальным демпфированием.

Необходимость постановки задачи обусловлена недостаточной полнотой исследований проблемы демпфирования колебаний в структурно-неоднородных конструкциях из вязкоупругих материалов и важностью той роли, которую играет пассивное демпфирование в уменьшении амплитуд колебаний и времени стабилизации и повышении точности позиционирования, улучшения условий работы активных демпфирующих устройств.

Построение универсальной методики основывается на конечно-элементном моделировании конструкций в пространстве преобразований Фурье. Переход к пространству преобразований Фурье дает возможность использовать экспериментальные данные о частотно-зависимых комплексных модулях вязкоупругих материалов, рассмотреть колебания с произвольным спектральным составом частот, учесть зависимость рассеяния энергии от частоты колебаний. Конечно-элементное моделирование позволяет учесть сложную структуру композитных конструкций с пассивным демпфированием.

Учет частотной зависимости приводит к нелинейной задаче собственных значений, для решения которой предложен метод последовательных приближений, базирующийся на принципе сжимающих отображений и позволяющий определять полный спектр частот и соответствующие формы колебаний конечно-элементных моделей конструкций. Методика предполагает составление и анализ уравнений колебаний непосредственно в пространстве преобразований Фурье и переход во временное пространство с использованием алгоритмов численного обращения решения в частотной области. Для получения уравнений колебаний используется вариационный принцип Лагранжа в свертках, позволяющий корректно учесть начальные условия задачи нестационарных колебаний.

Методика используется для анализа частот и декрементов колебаний характерных элементов конструкций с пассивным демпфированием, в частности трех- и пятислойных стержней, элементов с демпфирующими опорами.

Рассмотрены задачи колебаний пластин, пологих и цилиндрических оболочек слоистой структуры из вязкоупругих композиционных материалов, армированных волокнами. Получены зависимости частот и декрементов колебаний от параметров армирования и структуры пластин и оболочек. Проведены сравнительные расчеты оболочек на основе гипотезы Кирхгоффа-Лява и уточненной теории, использующей полуаналитический вариант метода конечных элементов.

Разработана методика анализа колебаний конструкций с частотно-зависимым рассеянием энергии при кинематических и импульсных возмущениях, использующая прямое и обратное интегральное преобразование. Показано, что использование пассивных демпфирующих элементов позволяет уменьшить время затухания колебаний и максимумы амплитуд.

Предлагается методика оптимального проектирования конструкций с максимальным демпфированием, основанная на методах теории нелинейного программирования. При одночастотных колебаниях в качестве целевой функции принимается декремент колебаний на заданной форме при соответствующих ограничениях на параметры проектирования. Для получения оптимальных конструкций при колебаниях с широким спектром предложен метод минимизации резонансных амплитуд, использующий в качестве целевой функции максимум амплитуды колебаний в заданном диапазоне частот. Рассмотрены примеры оптимизации трехслойных стержней и цилиндрических оболочек слоистой структуры с демпфирующими слоями.

Ключевые слова: пассивное демпфирование колебаний, композитные конструкции, конечно-элементное моделирование, нестационарные колебания, оптимальное проектирование.