НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

СТАРКОВ Павло Олександрович

УДК 517.98

Операторний підхід до

задач спряження

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2004 р.

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті

ім. В.І.Вернадського, м. Сімферополь.

Науковий керівник |

доктор фізико-математичних наук, професор Копачевський Микола Дмитрович, завідувач кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету

ім. В.І.Вернадського.

Офіційні опоненти: |

доктор фізико-математичних наук, професор Агранович Михайло Семенович, Московський державний інститут електроніки і математики, професор кафедри математичного аналізу,

кандидат фізико-математичних наук, доцент Маламуд Марк Михайлович, Донецький національний університет, доцент кафедри математичного аналізу та теорії функцій.

Провідна установа | Інститут математики НАН України, вiддiл

диференціальних рівнянь з частинними похідними, м. Київ.

Захист відбудеться “ 29 ” _грудня_ 2004 р. о _15.00_ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки Національної Академії Наук України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “___” __________ 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задачі спряження для рівняння Гельмгольца розглядалися, починаючи с 60-х років ХХ століття, в роботах Аграновича М.С., Ройтберга Я.А. та Ройтберга Б. Я., а також Комаренко О.Н. та інших авторів. Постановки цих задач представлені нижче формулами (1)–(6). Останніми роками в серії робіт Аграновича М.С., його учнів і співавторів (Меннікен Р. та інші) детально вивчалися задачі спряження не тільки для рівняння Гельмгольца, але і для рівнянь теорії пружності та інших. Основна ідея вивчення задач подібного виду, використана в згаданих роботах, полягає в зведенні кожної проблеми до дослідження системи інтегральних рівнянь, заданих на межі області. При цьому параметр ?C, що входить в граничну умову, вважається спектральним параметром, а параметр ?C, що входить в рівняння, є фіксованим. Відзначимо ще, що вивчалися задачі спряження як в гладких так і негладких (ліпшіцевих) областях.

У даній роботі для дослідження задач спряження застосовано інший підхід, оснований на використанні допоміжних крайових задач, білінійних форм, та методів спектральної теорії операторних жмутків (оператор-функцій, які діють у гільбертовому просторі), а також абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів. При цьому область ?2 (див. малюнок 0.1) є обмеженою, як і область ?1. На основі цього підходу одержані твердження про повноту і базисність системи власних та приєднаних функцій (у підпросторі), про структуру і асимптотику спектру задач, що вивчаються, як у випадку спектрального параметра ?, так і у випадку спектрального параметра ?. Вивчені нові класи задач спряження, а також деякі початково-крайові задачі математичної фізики, що породжують задачі спряження.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, що увійшли до дисертації, пов'язані з плановими науковими дослідженнями кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету iм. В.I. Вернадського: бюджетна тема "Математичний аналіз і його застосування" (2000-2005 рр.); 209/00 "Операторні блок-матриці і шкали і проблеми малих коливань суцільних середовищ" (2000-2002 рр.); 223/03 "Розвиток операторних методів у функціональних просторах і їх додатки в механіці суцільних середовищ" (2003-2005 рр.).

Мета роботи – розробити новий підхід до спектральних задач спряження для рівняння Гельмгольца, одержати його узагальнення, розглянути застосування результатів і методів до існуючих і нових задач.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Запропоновано новий операторний метод дослідження задач спряження, що дозволяє усі розглянуті в роботі задачі звести до єдиного вигляду.

2. Вивчені абстрактні задачі спряження, якi узагальнюють задачі спряження для рівняння Гельмгольца.

3. Досліджено абстрактний двопараметричний операторний жмуток, асоційований с задачами спряження, у якому один з параметрів вважається фіксованим, а другий – спектральним.

4. З використанням абстрактних результатів другого і третього розділів роботи досліджені задачі спряження для загальних еліптичних рівнянь, рівнянь лінійної теорії пружності (рівняння Ламе) і лінійної гідродинаміки (рівняння Стокса).

5. На основі методу, використаного в спектральних задачах, вивчені початково-крайові проблеми, що породжують задачі спряження.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач і обговорення результатів належать М.Д. Копачевському, доведення всіх тверджень — авторові.

Апробація роботи. Результати досліджень, що містяться в дисертації, доповідалися на XIII, XIV Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах по спектральним і еволюційним задачам (Крим, Севастополь, 2002 – 2003 рр.); XXIX – XXXIII наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету iм. В.I. Вернадського (2000 – 2004 рр.), на семінарі кафедри теоретичної механіки Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (під керівництвом професора Н.Ф. Пацегона, Харків, вересень, 2003 р.), на семінарі Одеської національної академії будівництва і архітектури (під керівництвом професора В.Н. Півоварчика, Одеса, листопад, 2003 р.), на об'єднаному семінарі кафедри математичного аналізу та теорії функцій Донецького національного університету (М.М. Маламуд, В.А. Деркач) і Інституту прикладної математики і механіки НАН України (професор А.Є. Шишков) (Донецьк, лютий, 2004 р.), на семінарі Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України iм. Б.I. Вєркіна (під керівництвом академіка НАНУ Є.Я. Хруслова, Харків, березень, 2004 р.), на семінарі кафедри математичного моделювання Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (під керівництвом професора А.Г. Руткаса, Харків, березень, 2004 р.), на семінарі “Математичні проблеми механіки і обчислювальної математики” Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАНУ І.О. Луковського, член-кор. НАНУ В.Л. Макарова, Київ, березень, 2004 р.)

Структура і об'єм дисертації. Дисертаційна робота містить 153 сторінки і складається з вступу, п'яти розділів основного тексту, висновків і списку цитованої літератури (5 сторінок, 46 назв.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в п'яти статтях і в чотирьох тезах.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі стисло подається історична довідка про коло питань, яким присвячена робота. Проведено огляд одержаних результатів, виділені положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень в дисертації і авторефераті загальна.

Перший розділ складається з 4 параграфів, в них розглядаються чотири класичні задачі спряження для рівняння Гельмгольца. Нехай ?1Rm, (m?2) – це довільна обмежена область з ліпшіцевою межею ??1=Г, а кінцева область ?2 містить усередині себе область ?1 і тому її межа ??2 складається з двох непересічних поверхонь: внутрішньої поверхні Г і зовнішньої (також ліпшіцевої) межі S.

Мал. 0.1

Тоді постановки досліджуваних задач мають наступний вигляд.

Внутрішня задача:

u1 - ?u1 + лu1 = 0 (у ?1), (на Г); (1)

зовнішня задача:

u2 - ?u2 + лu2 = 0 (у ?2), (на Г), u2=0 (на S); (2)

перша задача спряження:

ui - ?ui + лui = 0 (у ?i), i=1,2, u2 = 0 (на S), (3)

, u1=u2 (на Г); (4)

друга задача спряження:

ui - ?ui + лui = 0 (у ?i), i=1,2, u2 = 0 (на S), (5)

(на Г); (6)

тут є одиничний вектор зовнішньої нормалі до Г, а ?, м – ?е деякі комплексні параметри.

У параграфі 1.1 досліджується задача (1) – внутрішня задача спряження для рівняння Гельмгольца. На прикладі цієї задачі повністю описано метод дослідження, який застосовується і до подальших задач. Метод полягає в приведенні початкової задачі до еквівалентної спектральної проблеми для лінійного операторного пучка, що діє в відповідному гільбертовому просторі (для першого параграфа це L2(Щ1). Для цього у введеному основному гільбертовом просторі розглядаються дві допоміжні задачі: задача Неймана для рівняння Пуассона,

v1 - ?v1 = f1 (у ?1), (на Г), (7)

і задача Неймана для рівняння Лапласа

w1 - ?w1 = 0 (у ?1), (на Г). (8)

(Рівняння (8) назване рівнянням Лапласа скорочено, відповідно його розв’язок називатимемо гармонійними функціями. Форма (1) рівняння Гельмгольца, що містить u1-?u1 замість -?u1, пов'язана з тим, що виникаючі далі енергетичні простори матимуть стандартні соболевські норми.)

Розв’язок початкової проблеми шукається у вигляді суми розв’язків допоміжних задач

u1(x)=v1(x)+w1(x). (9)

Таке зображення єдине.

У подальшому дослідженні істотну роль виконує формула Гріна. Для внутрішньої задачі це класична перша формула Гріна для оператора Лапласа. Використовується також наступне оснащення гільбертових просторів L2(Щ1) і L2(Г):

H:=W(Щ1)H1:= L2(Щ1) (H)*, H1/2(Г) L2(Г)( H1/2(Г))*,

де W(Щ1) є стандартним соболевським простором. Далі за допомогою формули Гріна виписуються означення узагальнених розв’язків допоміжних задач (7), (8) і вводяться оператори і T, за допомогою яких виражаються розв’язки цих задач.

Означення 1.3 Елемент v1H називається узагальненим розв’язком першої допоміжної задачі (7), якщо

(з1, v1)H=<з1,f1> , з1H.

Під символом < , > розуміється функціонал, який одержано при неперервному розширенні скалярного добутку в H1 на елементи з H та (H)*.

Означення 1.5 Елемент w1H називається узагальненим розв’язком першої допоміжної задачі (8), якщо

(з1, w1)H=< г1з1,ц1> (Г), з1H, г1з 1:= з 1|Г.

Остаточно одержуємо, що задача (1) про відшукання розв’язків u1(x) в просторі H рівносильна системі співвідношень

u1(x) = v1(x) + w1(x), (з1,v1)H = (з1, - лu1), (10)

(з1, w1)H=(гз1, мг1u1)(Г), з1H. (11)

Потім, після введення білінійних форм в H і операторів B11 і B21, що відповідають їм, згідно формулам

(з1, B11u1)H := (з1,u1), (з1, B21u1)H := ( г1з1, г1u1)(Г), (12)

приходимо до операторного рівняння

(I1 + лB11 - мB21)u1 = 0, (13)

рівносильного спектральній задачі (1). Подальше вивчення задачі (1) засноване на дослідженні властивостей операторів B11 і B21, а на цій базі – властивостей розв’язків задачі (13).

Лема 1.9 Оператор B11 з (12) має вид

B11 = , D(B11)=H,

тобто є звуженням на H оператора , заданого на всьому H1. Так само, як і оператор , оператор B11 є позитивним компактним оператором, і він діє в H. Його власні значення лk(B11) співпадають з лk(), позитивні, мають граничну точку л = 0 і асимптотичну поведінку, яку маємо з формули

лk() = (с)-2/3 k2/3[1+o(1)] (k>?), с = , Щ1 R3.

Лема 1.14 Оператори

= г1 : H1 ? L2(Г), = T1 : L2(Г) > H1,

є компактними взаємно зв'язаними операторами.

Лема 1.16 Оператор B21 з (12) має вид

B21=, D(B21)=H.

Він є невід’ємним компактним оператором з нескінченновимірним ядром. Звуження цього оператора на підпростір U1, тобто на простір що складається з узагальнених розв’язків другої допоміжної задачі (8) за умови, що ц1 пробігає весь простір H-1/2(Г), є компактним додатним оператором, а власні значення цього звуження мають асимптотичну поведінку

лk(B21)= лk(Q*1Q1)=()1/2 k-1/2[1+o(1)] (k>?), Щ1R3.

Основним результатом першого параграфа є наступна теорема.

Теорема 1.17 Спектральна задача (1) в області Щ1Rm з ліпшіцевою межею ?Щ1 рівносильна спектральній задачі

L1(л, м) з1 := (I1 + л - мB1) з1 = 0, з1H1,

де B1 = Q*1Q1, 0 = B1 у8(H1), dim ker B1 = 8, 0<у8(H1), а символом I1 позначений одиничний оператор в H1.

У другому параграфі розглядається зовнішня задача (2), її дослідження проводиться в точності по схемі першого параграфа. Підсумком розгляду зовнішньої задачі є твердження, аналогічне основній теоремі першого параграфа.

У третьому параграфі вивчається перша з двох "справжніх" задач спряження, коли шукані функції, задані в областях ?1 і ?2, зв'язані між собою граничними умовами на загальній межі. Дана задача (3)–(4) називається першою задачею спряження для рівняння Гельмгольца. Дослідження проводиться по загальній схемі параграфа 1.1, проте тепер як шуканий об'єкт виступає пара функцій u:=(u1(x), xЩ1; u2(x), xЩ2) і гільбертовий простір H= H1H2, де H1=L2(Щ1), H2=L2(Щ2).

Теорема 1.31 Перша задача спряження (3)–(4) в області ЩRm з ліпшіцевими межами Г і S рівносильна спектральній задачі

L3(л, м) з := (I3 + л - мB3) з = 0, з H,

де I3 є одиничний оператор в H. При цьому B3=Q*3Q3, 0=B3у8(H), dim ker B3=8, 0<у8(H).

У четвертому параграфі вивчається друга задача спряження для рівняння Гельмгольца (5)–(6). Дослідження проблеми проводиться по схемі, що подана в параграфі 1.3. Зміни пов'язані з вибором гільбертових просторів, новим видом допоміжних задач і оператора сліду.

В результаті одержуємо, що кожна з класичних задач спряження для рівняння Гельмгольца зводиться до вивчення одного і того ж двопараметричного лінійного жмутка операторів, що діє у відповідно підібраному гільбертовому просторі. Властивості операторних коефіцієнтів цього жмутка для всіх чотирьох задач також ідентичні.

Другий розділ складається з 4-х параграфів і присвячений вивченню абстрактних задач, що узагальнюють розібрані в розділі 1 задачі спряження для рівняння Гельмгольца. Базою для цього є абстрактна формула Гріна для трійки гільбертових просторів, що введена і обґрунтована в роботах М.Д.Копачевського і С.Г.Крейна.

Параграф 2.1 носить допоміжний характер, в ньому стисло описується абстрактна формула Гріна.

Теорема 2.1 Нехай для трійки гільбертових просторів E, F, G виконано наступні умови: 1) Простір F щільно вкладений в E; 2) На просторі F визначений оператор г (абстрактний оператор сліду), обмежено діючий з F в G, причому г відображає F в щільну множину R(г)=:G+ простора G; 3) Ядро N := ker ? оператора г щільне в E. Тоді існують однозначно визначувані по E, F, G і ? оператори L і ?, задані на одній і тій же області визначення D(L)=D(?)F, =F, такі, що при будь-яких vF, uD(L) справедлива тотожність (абстрактний аналог першої формули Гріна для оператора Лапласа)

<v, Lu >E=(v, u)F - <гv, ?u >G, (14)

Тут символами <v, w>E і <ц, ш>G позначені лінійні функціонали, що відповідають елементам vF, wF*, цG+= R(г), шG-=(G+)*.

Параграф 2.2 містить постановки абстрактних внутрішньої і зовнішньої задач, які, після еквівалентних перетворень зовнішньої задачі, стають ідентичними і мають наступний вигляд:

L1u1 + лu1 = 0, u1D(L1)F1E1, ?1u1=мг1u1 (G). (15)

Тут простори і оператори повинні мати властивості, що необхідні для побудови відповідної абстрактної формули Гріна. Дослідження сформульованих задач повністю збігаються.

У параграфах 2.3 і 2.4 розглядаються перша ((16),(17)) і друга ((18),(19)) абстрактні задачі спряження

Liui + лui = 0 (Ei), uiD(L1)FiEi, i = 1,2, (16)

г1 u1 = г2 u2 , (?1 u1 - ?2 u2) = м г1 u1 (G); (17)

Liui + лui = 0 (Ei), uiD(L1)FiEi, i = 1,2, (18)

?1 u1=?2 u2 = м(г1u1 - г2u2) (G), (19)

що узагальнюють відповідно першу і другу задачі спряження для рівняння Гельмгольца. Оператори і простори, що входять до постановки задач, повинні задовольняти умовам теореми про абстрактну формулу Гріна для трійки гільбертових просторів з параграфа 2.1.

Підсумком дослідження всіх чотирьох абстрактних задач є зведення їх до вивчення одного і того ж операторного жмутка, відмінності полягають тільки в побудові операторів, що входять в жмуток, властивості ж їх ідентичні.

Результати, що одержані при дослідженні задач в першому і другому розділі, підводять до думки вивчити абстрактний операторний жмуток, що має ті ж властивості, що і операторні жмутки з попередніх розділів.

У третьому розділі досліджується спектральна задача

L(л, м) з := (I + лA - мB) з = 0, зH, л, м C,

0 < Aу8(H), 0 = Bу8(H),

dim ker B=8, dim= 8, | (20)

H = H0 H1, H0:=ker B, H1:= , (21)

загальна для всіх досліджених в перших двох розділах проблем, причому тут вивчення задачі проводиться в абстрактному гільбертовом просторі H.

У параграфі 3.1 дається постановка загальної спектральної задачі (20).

У другому параграфі розглядається випадок, коли в жмутку (20) параметр ? фіксований, а ? є спектральним. Даний параграф складається з 4 пунктів 3.2.1—3.2.4.

Лема 3.3 Для власних значень м задачі (20) має місце властивість

sign(Im м) = sign(Im л).

Для випадку загального положення Im ? = 0 (пункт 3.2.1) одержана теорема про дискретність спектру задачі (20), про його розташування на комплексній площині і асимптотику, і про повноту і базисність (базис Абеля-Лідського) системи власних і приєднаних елементів після їх проектування на підпростір H1.

У пункті 3.2.2 для випадку невід’ємних значень фіксованого параметра доведена теорема про дискретність спектру задачі і про те, що власні елементи утворюють ортогональний базис в енергетичному просторі оператора

F1(л):=I1+лP1A P1 - л2 P1AP0 (I0 + л P0A P0) P0A P1

(P0 і P1 ортопроєктори на введені в (21) простори H0 и H1).

У третьому пункті параграфа 3.2 розглянутий випадок від’ємних невиняткових значень параметра, тобто ?<0, що задовольняють наступні умови

1+ лk(A)?0, 1+ лk(P0AP0) ?0, k=1,2,... .

Тут ?k() – це власні значення відповідних операторів. За цих умов задача (20) має дискретний спектр з єдиною граничною точкою ?=+?, при цьому ? власних значень від’ємні (к ? ранг індефінітності оператора F1(л)), ? інші додатні. Власні елементи утворюють базис Рісса і ортонормований базис в H1 за формами операторів F1(л) ? B1.

У пункті 3.2.4 вивчений найскладніший випадок, коли фіксований параметр приймає виняткові значення, тобто виконується хоча б одна з рівностей

= (A), = (P0AP0), k=1,2,... .

Для дослідження цього пункту знадобилося додаткове розбиття задачі на підвипадки: належність фіксованого параметра спочатку одній серії виняткових значень, потім другій і, нарешті, обом серіям одночасно. Підсумкові теореми складаються з тверджень про дискретність спектру, при цьому кінцеве число власних значень, що визначено за умовами задачі, приймає від’ємні і нульові значення, а всі інші – додатні. Система власних елементів, після проектування на підпростір H1, утворює базис Рісса в H1, причому ці елементи можна вибрати задовольняючими деяким умовам ортонорміровки.

У параграфі 3.3 вивчається випадок загальної задачі (20), коли параметр ? фіксований, а спектральним параметром є ?.

Дослідження цього випадку розбивається на 4 пункти, еквівалентні 3.2.1—3.2.4. Тут також одержані підсумкові теореми про спектр і властивості власних елементів задачі для всіх випадків значень фіксованого параметра ?.

Відзначимо, що випадок, коли ? є спектральним параметром, а ? є фіксованим, в загальній еліптичній ситуації для задачі (1) вивчено В.І. Горбачук.

На основі одержаних в третьому розділі результатів для загальної проблеми (20) в четвертому розділі одержані остаточні висновки для кожної з розглянутих вище задач (розділи 1, 2), а також аналогічних проблем для загальних еліптичних рівнянь, рівнянь лінійної гідродинаміки (рівнянь Стокса) і лінійної теорії пружності (рівнянь Ламе). Нарешті, розглядаються також багатокомпонентні задачі спряження, коли умови спряження одного з двох типів, що зустрічалися вище, ставляться на частині межі декількох дотичних областей.

Параграф 4.1 присвячений закінченню дослідження задач першого і другого розділу, для цього використовуються загальні результати, що одержані в розділі 3. Абстрактні результати третього розділу переформулюються для конкретних операторів і просторів, в результаті виходять властивості спектрів і систем власних елементів даних задач. Як додатки абстрактних результатів до конкретних проблем математичної фізики розглядається внутрішня задача спряження для рівномірно еліптичного формально самозв'язаного диференціального оператора і, з використанням роботи М.С.Аграновича, задача спряження для сильно еліптичних систем другого порядку в області ?Rm з ліпшіцевою межею Г:=??. У роботі показано, як ці задачі приводяться до виду абстрактної внутрішньої задачі, а тому можна скористатися результатами її дослідження.

У параграфі 4.2 як додаток приведених вище загальних побудов в задачах спряження розглядаються дві фізичні задачі, що відносяться до лінійної теорії пружності (система рівнянь Ламе), а також до лінійної гідродинаміки (система рівнянь Стокса).

Послідовними перетвореннями операторів і введенням гільбертових просторів внутрішня задача спряження для рівняння Ламе приводиться до абстрактної внутрішньої задачі і тому можна скористатися абстрактними результатами другого і третього розділів. Внутрішню задачу спряження для рівнянь лінійної гідродинаміки, тобто для рівнянь Стокса, не вдається привести до абстрактної внутрішньої задачі, оскільки не виконується одна з властивостей, необхідних для побудови формули Гріна в загальному вигляді, проте, застосовуючи схему параграфа 1.1, ми приходимо до операторного жмутка, що підпадає під клас жмутків розглянутий в третьому розділі, тому можна сформулювати загальні властивості її розв’язків, аналогічні викладеним для задач спряження для рівняння Гельмгольца.

Параграф 4.3 містить опис ще одного класу задач, що підпадають під застосування операторного підходу параграфа 1.1. Це багатокомпонентні задачі спряження. Розгляд цього класу задач проводиться на прикладі багатокомпонентної стикової задачі для рівняння Гельмгольца з різними варіантами пристиковки областей.

У п'ятому розділі розглянуто початково-крайові задачі математичної фізики, що породжують задачі спряження як для рівняння Гельмгольца в Rm, так і їх абстрактні аналоги. Вивчено два класи задач: задачі з похідною за часом в рівнянні (параграф 5.1), а також задачі з похідною за часом від шуканої функції в граничній умові (параграф 5.2). Одержані теореми про існування і єдиність сильного розв’язку із значеннями у відповідному гільбертовом просторі для першої задачі і узагальненого для другої.

ВИСНОВКИ

Основні результати, що одержані в дисертації і виносяться на захист, можна сформулювати таким чином.

1. Запропоновано новий операторний метод дослідження задач спряження, що дозволяє звести розглянуті в роботі задачі до єдиного вигляду.

2. Вивчені абстрактні задачі спряження, якi узагальнюють задачі спряження для рівняння Гельмгольца.

3. Досліджено абстрактний двопараметричний операторний жмуток породжений задачами спряження, у якому один з параметрів вважається фіксованим, а другий спектральним.

4. З використанням нового підходу досліджено задачі спряження для загальних еліптичних рівнянь, рівнянь лінійної теорії пружності (рівняння Ламе) і лінійної гідродинаміки (рівняння Стокса).

5. На основі методу, використаного в спектральних задачах спряження, вивчено початково-крайові проблеми, що породжують задачі спряження.

ПУБЛІКАЦIЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Старков П. А. Операторный подход к задачам сопряжения // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), № 1. – С. 58 – 62.

2. Старков П. А. Случай общего положения для операторного пучка, возникающего при исследовании задач сопряжения // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), №2. – С. 82 – 88.

3. Старков П. А. Исследование задач сопряжения при исключительных значениях фиксированного параметра // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2003. – Том 16 (55), №2. – С.81–89.

4. Старков П. А. О базисности системы собственных элементов в задачах сопряжения // Таврический вестник информатики и математики. – 2003. – Вып.1. – С. 118 – 131.

5. Старков П. А. О начально-краевой задаче, порождающей внутреннюю задачу сопряжения // Таврический вестник информатики и математики. – 2003. – Вып.2. – С. 112 – 118.

6. Kopachevsky N., Starkov P. Operator approach to transmission problems for Helmholtz equation // UMC-2001, Nonlinear partial Differential equations: Book of abstracts, Donetsk, – 2001. – P. 68.

7. Kopachevsky N., Starkov P. Abstract Green’s formula and transmission problems // International conference on functional analysis and its applications: Book of abstracts, Lviv, LNU – 2002. – P. 112-113.

8. Starkov P. A. Abstract Transmission Problems // 1-ая летняя школа по топологической алгебре и функциональному анализу, Львовский национальный университет им.И.Франко, Львов. – 2003. – С. 37-38.

9. Старков П. А. Задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и их абстрактные аналоги. // Сборник тезисов межд. конф. "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященной 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского, Москва. – 2004. – С. 220.

АНОТАЦIЇ

Старков П.О. Операторний підхід до задач спряження. — Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02 – диференціальні рівняння.

Дисертація присвячена дослідженню спектральних задач спряження за допомогою операторного підходу. Дане дослідження складається з трьох етапів. Перший етап – зведення задач спряження для рівняння Гельмгольца і їх абстрактних узагальнень до операторного жмутка. На другому етапі вивчається абстрактний операторний жмуток. І завершальний третій етап дослідження полягає в перенесенні загальних результатів дослідження абстрактного операторного жмутка на розглянуті на першому етапі задачі. У роботі за допомогою операторного підходу також досліджені загальні еліптичні рівняння, рівняння лінійної теорії пружності (рівняння Ламе) і лінійної гідродинаміки (рівняння Стокса), а також описані можливі узагальнення, пов'язані із збільшенням кількості областей спряження і ускладненням їх взаємних меж. У останньому розділі роботи вивчені початково-крайові проблеми, що породжують задачі спряження, одержані теореми існування і єдиності розв’язків.

Ключові слова: спектральна задача, операторний жмуток, гільбертовий простір, лінійний оператор, задача спряження.

Старков П.А. Операторный подход к задачам сопряжения. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения.

Диссертация посвящена исследованию спектральных задач сопряжения при помощи операторного подхода. Данное исследование состоит из трех этапов. Первый этап – приведение задач сопряжения для уравнения Гельмгольца и их абстрактных обобщений к операторному пучку. Для этого решение исходной задачи представляется в виде решений двух вспомогательных задач, причем такое представление единственно. Затем на основе определений решений вспомогательных задач формулируется новая проблема, эквивалентная исходной, далее, с применением теории билинейных форм, эта задача приводится к операторному пучку. Таким образом, каждая из классических задач сопряжения для уравнения Гельмгольца сводится к изучению одного и того же двухпараметрического линейного пучка операторов, действующего в соответственно подобранном гильбертовом пространстве. Свойства операторных коэффициентов этого пучка для всех четырех задач также идентичны. После этого задачи сопряжения формулируются в обобщающем классическую постановку виде с использованием абстрактных операторов и гильбертовых пространств. Эти задачи также приводятся к операторному пучку, эквивалентному полученному для задач сопряжения для уравнения Гельмгольца. Таким образом, предложенный метод позволяет свести исследуемые задачи сопряжения к операторному пучку, свойства операторов которого идентичны для всех задач. В дополнение к этому комплексные параметры, входящие в уравнение и краевое условие исходной задачи, в операторном пучке равноправны. На втором этапе изучается абстрактный операторный двухпараметрический пучок. Рассматриваются две серии задач, когда один из параметров фиксированный, а второй спектральный и наоборот, получены теоремы о базисности систем собственных и присоединенных элементов в соответствующих гильбертовых пространствах. Завершающий третий этап исследования состоит в перенесении общих результатов исследования абстрактного операторного пучка на рассмотренные на первом этапе задачи.

В работе исследованы общие эллиптические уравнения, уравнения линейной теории упругости (уравнения Ламе). На основе метода билинейных форм изучены уравнения линейной гидродинамики (уравнения Стокса). Описаны возможные обобщения задач сопряжения, связанные с увеличением количества областей сопряжения и усложнения их взаимных границ.

В последней главе работы изучены два класса начально-краевых задач порождающих задачи сопряжения. Они содержат производную по времени от искомой функции в уравнении либо в граничном условии. Получены теоремы существования и единственности решений.

Ключевые слова: спектральная задача, операторный пучок, гильбертово пространство, линейный оператор, задача сопряжения.

P.A. Starkov. Operator approach to transmission problems. – Manuscript.

The dissertation for obtaining a candidates degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 – differential equations.

Dissertation is devoted to the study of spectral transmission problems by means of the operator approach. The investigation consists of three stages. The first stage is reduction of transmission problems for the Helmholtz equation and their abstract generalizations to an operator pencil. An abstract operator pencil is studied on the second stage. And the last third stage consists in extension of general results of investigation on abstract operator pencil to the problems considered on the first stage. In the work by means of operator approach general elliptic equations, equations of linear theory of elasticity (the Lame equations) and linear hydrodynamics (the Stocks equations) were also studied. Possible generalizations related to the increase of the number of interface regions and complication of their mutual borders were described. Initial boundary problems generating the transmission problems were studied in the last chapter of the work and the theorems of existence and uniqueness of solutions were proved.

Keywords: spectral problem, operator pencil, Hilbert space, linear operator, transmission problem.