МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ТОЛОК Олексій В’ячеславович

УДК 514.18:681. 3:771

СИНТЕЗ ВІЗУАЛЬНИХ ОБРАЗІВ

ЛОКАЛЬНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК БАГАТОВИМІРНИХ ФУНКЦІЙ

Спеціальність 05.01.01

Прикладна геометрія, інженерна графіка

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ – 2004

Дисертація є рукописом

Робота виконана у Київському національному університеті технологій та дизайну

Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант: доктор технічних наук, САЗОНОВ Костянтин

Олександрович, завідувач кафедри дизайну, інтер’єру та

меблів

Київського національного університету технологій та

дизайну

Офіційні опоненти:

-

-

-

Провідна установа: Національний авіаційний університет Міністерства освіти і науки України, кафедра нарисної геометрії та комп’ютерної графіки, м. Київ.

Захист відбудеться “20” квітня 2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.056.06 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою: 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 466.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури: : 03680, Київ, Повітрофлотський проспект, 31.

Автореферат розісланий “19” березня 2004р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Д026. 056.06 ____________________ В.О. Плоский

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Суть наукової проблеми. Задачі відображення геометричних властивостей об'єкта у вигляді графічних образів займають особливе місце у геометричному моделюванні.

У роботі розроблений новий узагальнений метод дослідження поверхні функції, що задана аналітичним способом, кусочно-аналітичним (R-функції) способом або тріангульованим каркасом. Вихідними даними є одне із перерахованих представлень поверхні функції, описане спеціальною вхідною мовою. Розроблені алгоритми дозволяють на базі цієї інформації побудувати набір графічних образів, що характеризують окремі геометричні властивості цієї поверхні. Сукупність цих графічних образів дозволяє в цілому охарактеризувати всю поверхню. Кожен такий образ, що моделює конкретну властивість поверхні, у роботі названий М-образом (образом-моделлю). Повна сукупність М-образів, достатня для алгоритмічного дослідження поверхні, у роботі названа образною моделлю поверхні функції. Рішенням поставленої задачі є графічні характеристики, що відображають сукупність властивостей поверхні функції (траєкторію градієнтного спуску, екстремальні точки і т.п.)

Сучасний стан проблеми. Сучасні алгоритми комп'ютерної графіки у сполученні з розвинутою графічною периферією організують зображувальний комплекс, що дозволяє з високою якістю будувати візуальні образи. Точність представлення сучасних растрових зображень підвищує інтерес до використання графічної інформації в процесі алгоритмізації досліджень у системах аналізу складних функціональних залежностей. На сучасному етапі такі підходи розвинуті недостатньо.

Значимість проблеми. В роботі вперше запропоновані принципи побудови і синтезу комп'ютерних графічних М-образів, що дозволяють розробляти алгоритми аналізу локальних геометричних характеристик поверхні досліджуваної математичної моделі. Цей підхід ґрунтується на принципах зорового сприйняття форми рельєфу поверхні, а також на законах побудови реалістичного образу.

Актуальність проблеми синтезу візуальних М-образів локальних геометричних характеристик багатовимірних функцій визначається:

· Практичною необхідністю створення автоматизованих систем аналізу багатовимірних функцій на основі принципів сприйняття через М-образи;

· Практичною необхідністю подальшого розвитку відомих методів прикладної геометрії із використанням графічних М-образів для розв’язання геометричних задач.

· Практичною необхідністю подальшого розвитку способів побудови візуальних образів у комп'ютерній графіці.

Зв'язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Результати роботи відображені у наукових звітах науково-дослідної роботи “Розробка математичних моделей, створення ефективних аналітико-чисельних методів розрахунку складних механічних систем, алгоритмів візуалізації і створення інструментальної системи аналізу задач механіки”, номер державної реєстрації 0197У012795. Розроблена інструментальна система рекурсивного аналізу образних компонентів “РАНОК”, що оцінює рельєф поверхні просторових функцій, заданих аналітичним і кусочно-аналітичним методом. Ця система застосовується в дослідженнях математичних моделей, представлених R-функціями в лабораторії математичного моделювання Інституту проблем машинобудування при Академії наук України. Способи відображення М-образів лягли в основу візуального блоку для аналізу результатів інструментальної системи розв’язання задач механіки “FORTU”, реалізованої на базі МКЕ, розробленої на кафедрі математичного моделювання у Запорізькому державному університеті.

Ціль роботи: Сформулювати принципи образної оцінки поверхні функції N-вимірного простору на основі аналізу і синтезу комп'ютерних візуальних М-образів.

Для реалізації поставленої цілі в роботі поставлені такі основні задачі:

· Провести аналіз існуючих способів дослідження функцій у задачах геометричного моделювання;

· Виконати огляд існуючих графічних способів представлення образів функціональних залежностей;

· Ввести поняття образної моделі як інформаційної основи для образної оцінки рельєфу поверхні функції;

· Розробити алгоритм побудови візуальних образів поверхні функції з рекурсивним уточненням області визначення;

· Розробити принципи побудови візуальних М-образів локальних геометричних характеристик на основі алгоритму рекурсивного уточнення на області визначення функції;

· Розробити геометричну модель “зорового сприйняття” поверхні функції на основі визначення її локальних геометричних характеристик;

· Визначити “базові” (вихідні) М-образи локальних геометричних характеристик для синтезу образної моделі поверхні функції;

· Розробити метод синтезу візуальних М-образів локальних геометричних характеристик на основі “базових” візуальних М-образів;

· Розробити концепцію застосування візуальних М-образів локальних геометричних характеристик у додатках геометричних об'єктів, що аналізуються;

· Розробити спосіб побудови образної моделі локальних геометричних характеристик для поверхні функції, заданої каркасом;

· Розробити спосіб побудови образної моделі основних геометричних характеристик функції в багатовимірному просторі за допомогою рекурсивного уточнення на області визначення;

· Застосувати спосіб побудови образної моделі локальних геометричних характеристик в інструментальній системі FORTU для розв’язання задач математичної фізики методом кінцевих елементів.

Об'єкт дослідження. Об'єктом дослідження є методи дослідження поверхні функції, заданої аналітичним, кусочно-аналітичним способом, а також каркасом.

Методи дослідження. Дослідження проводилися на базі основних методів побудови реалістичного образу в комп'ютерній графіці з використанням методу R-функцій, методів інтерполяції, теорії векторних полів, методів організації файлів і баз даних, а також теоретичних основ аналітичної, диференціальної геометрії і математичного аналізу.

Наукову новизну складають:

Розробка нових алгоритмів і методів візуалізації двовимірних і тривимірних комп'ютерних моделей:

I. Вперше розроблений метод визначення і візуалізації М-образів локальних геометричних характеристик для поверхні елементарної функції вигляду :

1. Вперше запропонована “векторна модель відбиття” тензорного типу, що містить компоненти нормального і дотичного векторів для площадки відбиття;

2. Вперше запропонована “система ортвідбиття”, заснована на організації ортогонально-осьового положення трьох світлових джерел у точку площадки відображення, що дозволяє одержати “базові візуальні М-образи” локальних геометричних характеристик;

3. Вперше запропонований принцип одержання багатошарової образної моделі локальних геометричних характеристик на основі базових візуальних М-образів. Образна модель дозволяє проводити дослідження поверхні функції;

II. Розроблений метод візуалізації М-образів локальних геометричних характеристик для поверхні функції вигляду:

4. Запропонований удосконалений алгоритм “часткового” сортування за глибиною для візуалізації рекурсивно уточнюючої тривимірної сцени, що описує функцію вигляду ;

5. Вперше запропонована модель організації даних для тривимірного візуального М-образу локальних геометричних характеристик на основі рекурсивного розподілу тривимірного масиву;

6. Вперше запропонований алгоритм візуалізації даних тривимірного масиву геометричних характеристик з можливістю виділення областей за знаком значення функції;

ІІІ. Сформульовані принципи образної оцінки поверхні функції N-вимірного простору на основі аналізу і синтезу комп'ютерних візуальних М-образів.

Розробка інструментальних засобів для створення і підтримки систем комп'ютерної графіки:

розроблена нова інструментальна система рекурсивного аналізу образних компонентів “РАНОК”, що дозволяє створювати і візуалізувати образи геометричних характеристик позитивних, негативних областей і поверхні для функції вигляду , що задана аналітично.

Розробка технології і методів комп'ютерної графіки в різних застосуваннях:

вперше запропонований метод використання візуальних М-образів геометричних характеристик для розв’язання геометричних задач, пов'язаних із виявленням рельєфних властивостей поверхні функції на прикладі розв’язання задачі градієнтного спуску і визначення екстремумів.

Достовірність і обґрунтованість отриманих результатів підтверджується несуперечністю із положеннями внутрішньої і зовнішньої диференціальної геометрії кривих і поверхонь, результатами проведених експериментів, практичною реалізацією у вигляді функціонуючого програмного комплексу, що синтезує
М-образи для оцінки геометричних характеристик поверхні функції.

Практичне значення результатів. Розроблений метод і принципи М-образної оцінки локальних геометричних характеристик дозволяють не тільки якісно поліпшити зорове сприйняття функції у процесі дослідження її поверхні, а й припускають можливість розробки алгоритмів автоматизованого аналізу поверхні для багатовимірних функцій.

Апробація роботи. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на міжнародних конференціях і семінарах: міжнародній конференції “САПР-95”(Україна, Крим, Ялта - Гурзуф, 1995 р.); міжнародній конференції “Сучасні проблеми автоматизації” (Ташкент, 1996 р.); XXII Yugoslav Congress Of Theoretical and Applied Mechanics (1997 р.); International Conference on the Applications of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering (Germany, Weimar, 1997); XXV Ювілейній міжнародній конференції “Нові інформаційні технології в науці, освіті, телекомунікації і бізнесі” (Україна, Крим, Ялта - Гурзуф, 1998 р.); міжнародній науковій конференції “штучний інтелект” (Україна, Крим, Кацивелі, 11-16 вересня 2000 р.); докторантському семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки Київського національного університету будівництва і архітектури (2001 та 2002р.); докторантському семінарі відділу прикладної математики та обчислювальних методів Інституту проблем машинобудування ім. А.П. Підгірського при НАН України (Харків, 2001 р.); The ten International Conference on Geometry and Graphics (Ukraine, Kiev, 2002 р.); The 7th Conference SHELL STRUCTURES THEORY AND APPLICATIONS (Gdansk-Jurata, October 9-11, 2002); 20th CAD-FEM Users’ Meeting 2002 International Congress on FEM Technology, 9-11 October 2002 im Graf-Zeppelin-Haus, Friedrichshafen, Germany.

Публікації результатів. За темою дисертації опубліковано 24 роботи, в яких розглянуті основний зміст роботи та етапи її підготовки. З них 22 роботи опубліковані в спеціалізованих збірниках України.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, п'яти розділів із висновками, загального висновку, списку використаної літератури і чотирьох додатків. Вона включає 280 сторінок машинописного тексту, 193 рисунки та 11 таблиць. Список літератури включає 251 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкриті сутність і стан наукової проблеми, обґрунтована актуальність проблеми, сформульовані ціль і задачі дисертаційної роботи, її наукова новизна і практичне значення.

У першому розділі розглядаються задачі геометричного моделювання, пов'язані побудовою образів-моделей (М-образів) поверхні функції для вивчення геометричних властивостей. При цьому запропонований М-образ є моделлю, що відображає конкретну геометричну характеристику досліджуваної поверхні функції. Процес дослідження поверхні функції за допомогою таких М-образів пропонується називати “образним аналізом функції”. М-образ функції можна зіставити зі скалярним полем, у якому для кожної точки простору образу визначене значення скалярної величини (градація кольору). Кількість точок, що утворюють простір образу, залежить від “розділення” створюваного комп'ютерного зображення (кількості колірних точок на один дюйм зображення). Точність збереженої інформації в такому образі залежить від заданої “палітри”. У комп'ютерній графіці палітра характеризується кількістю байт інформації, виділеної на один піксель. Під палітрою в такому аспекті варто розуміти задану кількість градацій тону (кольору), представлену цілочисельним значенням на позитивному проміжку числової шкали.

Концептуально процес моделювання візуального образу функції пропонується представити в такому вигляді:

, (1)

де О – візуальний образ об'єкта, ФО – функція відображення візуального образу об'єкта, під ВСП мається на увазі (rpi Ио), i=1,…,n – сукупність допоміжних засобів представлення візуальної образної інформації, rp – поняття узагальненого оператора представлення візуального образу, Ио – інформація, передана візуальним образом (графічна інформація).

Далі розглядаються існуючі на сучасному етапі ВСП графічної інформації про досліджувані поверхні функцій, що формують принципи візуального аналізу, і пропонуються деякі перспективи розвитку засобів і підходів для зображувальних систем.

Другий розділ розвиває поняття візуальної образної моделі функції. Розглядаються проблеми інформативності візуального образу крізь призму образотворчого мистецтва. Проводиться історична аналогія абстракціонізму із принципами організації образного аналізу. Визначається ступінь повноти образної моделі функції, необхідної для прийняття рішень. Застосовуються методи математичного аналізу як основи виявлення базових критеріїв оцінки поводження кривих на прикладі аналізу плоских функцій. Для цього пропонується принцип розкладання плоских кривих на одновимірні візуальні М-образи локальних геометричних характеристик.

Образна модель функції представляється безліччю нормованих інформаційних шарів-масивів графічних даних (М-образи). У роботі запропонований спосіб представлення образної моделі на основі принципів світлового відбиття як сукупність візуальних М-образів, що містять графічну інформацію про локальні геометричні характеристики поверхні функції. Одиницею такої образної моделі є не одне значення у розглянутій точці образу (значення пікселя), а вектор значень , що перетинає загальну точку М-образів функції, що описують розглянуті геометричні характеристики поверхні цієї функції (рис.1). Тому образна модель функції багатошарова і несе у собі необхідну інформацію для визначення безлічі локальних геометричних характеристик в одиниці образної моделі .

Наприклад, за об'єкт дослідження приймемо деяку функцію на області визначення .

На рис.1 схематично показана образна модель функції .

Розмірність цієї моделі визначається простором одиниці образної моделі

, , (2)

- розмірність масиву елементів, що характеризують геометричну властивість поверхні для області визначення , де .

- розмірність вектора інформаційної одиниці образної моделі функції , визначає вагу образної моделі

- нормовані координати М-образу, де , ,

, , , і т.д. - нормовані значення локальних геометричних характеристик поверхні.

Далі розглядається один із розроблених апаратів побудови візуальних
М-образів способом рекурсивного уточнення області визначення функції. Пропонується спосіб нормування даних у процесі одержання графічних значень для одиниці візуального М-образу.

Розроблений алгоритм розбивки області визначення функції представимо через поворотну рекурсію

,

(3)

де функції g, h є функціями розбивки, f – нова функція розбивки, i – змінна, за якою ведеться рекурсія, j – змінна поточної вкладеності рекурсії, R – радіус досліджуваної області, - параметр положення досліджуваної області, n – кількість секторів повороту (рис.2).

Час обробки рекурсивного алгоритму залежить від двох параметрів: кількості секторів повороту l і ступеня рекурсивної вкладеності k. Процедура сортування на черговому кроці рекурсії в цілому виконується разів, де l – кількість секторів, а k – глибина рекурсії. Однак такий підхід дозволяє робити оцінку досліджуваного образу вже на перших етапах уточнення. Цей факт дає можливість скоротити час реакції дослідника на пошук різного роду помилок, що виникають при описові досліджуваного об'єкту (функції).

Далі розглядається спосіб одержання візуальних М-образів локальних геометричних характеристик за принципом представлення геометричної моделі світловідбиття на основі компонентного розкладання вектора нормалі в кожній точці поверхні функції. При цьому косинуси вектора нормалі у кожній точці поверхні функції є характеристиками, що формують необхідні базові візуальні М-образи.

Наступним кроком у розгляді є спосіб одержання візуального М-образу частинної похідної в обраному напрямі й одержання візуального М-образу другої похідної для розглянутої функції.

При відображенні М-образу частинної похідної скористаємося напівтоновою градацією, традиційно використовуваною в різних системах візуалізації. Білий колір визначить максимальне значення частинної похідної, а чорний колір - мінімальне.

Розглянемо поверхню функції , зображеної на рис.3. Для нормування поточного значення похідної у точці поверхні без використання граничних значень (максимум, мінімум) використаємо векторний принцип , або , де величина розглядається як компонент вектора , що виходить із початку координат (другий компонент вектора прийнятий рівним одиниці). У результаті визначення нормованих значень перших похідних по осях і має вигляд:

, , (4)

де - коефіцієнти рівняння дотичної площини в розглянутій точці.

Рис.4.а зображує результат одержання образу частинної похідної по осі для функції , отриманий традиційним способом візуалізації в системі . На рис.4.б представлений М-образ частинної похідної по осі для функції , отриманий запропонованим способом. Цей спосіб дозволяє оцінювати область, що цікавить, виділену білим кольором (у запропонованому випадку нульове значення частинної похідної).

У висновку другого розділу розглядається один зі способів визначення М-образу другої похідної по обраних напрямах.

Відомо, що кривина в точці визначається через другу похідну

або , (5)

де - радіус кривизни в розглянутій точці поверхні.

Для розв’язання задачі вирішено використовувати трикутник, утворений перетином площини (або ) розглянутої області розбивки, що містить центральну точку (рис.2). Координати точок такого трикутника в рекурсивному алгоритмі розбивки визначаються як

,

, (6)

,

де - координати точки ; - поточний радіус області розбивки. У такому випадку наближене значення першої похідної можна представити відношенням . Визначаємо довжини сторін розглянутого трикутника

;

; (7)

.

Залишилося визначити радіус кривини через напівпериметр трикутника

, де . (8)

На рис.5 представлені приклади роботи алгоритму при одержанні образу другої похідної.

У третьому розділі вирішується питання про необхідну і достатню кількість візуальних М-образів і їхнього змісту для рельєфної оцінки функції багатовимірного простору. Пропонується геометрична модель зорового сприйняття, що використовує інформацію про сферичний окіл у кожній точці. Ця модель містить деякий умовний одиничний сферичний окіл у точці поверхні функції, перетин якої дотичною площиною визначає умовну одиничну радіальну площадку світлового відбиття. Нахил умовної одиничної радіальної площадки характеризується ортогональними проекціями, що збігаються за величиною своїх площ з косинусами нормалі в цій точці.

Сформулюємо векторний взаємозв'язок нормалі в точці поверхні об'єкта зі спрямованим у цю точку світловим променем . При цьому об'єднаємо в матричному представленні основні диференціальні характеристики форми поверхні у розглянутій точці.

Твердження 1: Якщо компоненти нормалі представити як пари ортогональних векторів і повернути навколо початку координат на кут , то отримана система компонентів, записана деякою матрицею , у діагональному сполученні утворить ортогональну пару векторів (рис.6). Вектор колінеарний вектору нормалі і має довжину . Вектор спрямований убік повороту і має довжину .

Доведення: На рис.6 зображений поворот ортогональної пари векторів . При цьому одержуємо систему компонентів:

, (9)

де

;

;

; (10)

.

Вектори утворюють прямокутний трикутник, подібний до трикутника, утвореного векторами :

. (11)

Оскільки вектори і , то вектор колінеарний вектору і довжина його визначається як

. (12)

Виходячи з факту, що вектор , то вектор ортогональний вектору і довжина його визначається як . Що й було потрібно довести.

З цього твердження випливає, що заданий кут повороту скорочує довжину нормального вектора, нарощуючи ортогональний дотичний вектор. Нормальний вектор характеризує нормальне відбиття, а вектор - дотичне відбиття.

Припустимо, що напрям світлового променя паралельний нормалі , що означає в запропонованій моделі відсутність повороту. У такому випадку матриця компонентів приймає вигляд

. (13)

Це говорить про те, що вектор дотичного відбиття відсутній, а вектор нормального відбиття - максимальний, що відповідає закону інтенсивності відбиття світла, який виражається через косинус відхилення від нормалі в точці поверхні.

Розглянемо інший крайній випадок. Промінь спрямований по дотичній. Поворот компонентів на спричиняє зворотне розв’язання

. (14)

Це говорить про те, що вектор дотичного відбиття максимальний, а вектор нормального відбиття - відсутній, що також відповідає закону інтенсивності відбиття світла. Проміжні значення повороту променя формують співвідношення між розглянутими векторами за законом . Слід також зазначити, що різниця цих векторів визначає напрям вектора відбиття

. (15)

Рис.7 зображує концепцію моделі, заснованої на твердженні 1. Вектор відбиття спочатку сполучений з вектором нормалі, утворюючи вектори компоненти і . Вектор відбиття максимальний за величиною і збігається з вектором нормалі у тому випадку, коли світловий промінь збігається за напрямом з нормаллю . Приймемо умовно максимальну інтенсивність відбиття за одиницю. Прийнятий вектор відбиття разом зі своїми векторами-компонентами утворить систему векторів , поворот якої формує матрицю компонентів другого рангу

. (16)

При цьому поворот здійснюється до збігу із заданим світловим променем. Рис.7 зображує поворот системи при світловому промені, що збігається із віссю . Рис.8 зображує поворот системи при світловому промені, що збігається із віссю .

Рис.9 і рис.10 зображують відповідно повороти системи на кути і , при яких промінь, що відбиває , лежить у нормальній площині.

Отриману модель можна віднести до тензорного типу, оскільки здійснюється поворот інваріантної системи .

Розглянемо концепцію моделі відбиття . Для цього виділимо чотири граничних стани такої моделі . Верхній індекс умовно представляє значення , а нижній - .

Чотири виділених випадки (три з яких зображені на рис.11(а, б, в)) мають загальну властивість – відсутність “відбиття” диференціальних характеристик, що унеможливлює оцінку форми поверхні. З погляду законів відбиття ці стани можна віднести до гіпотетичних, оскільки вони абстрактні у своїй постановці (всебічне освітлення, всебічне ковзання, всебічне затулення).

Задамо промінь , що проекціює, і оператор проекціювання як поворот системи до напряму променя , що проекціює, у кожній точці поверхні функції. На рис.11.г зображений один із таких результатів, що
поєднує в собі фіксоване відхилення вектора нормального відбиття із вектором дотичного відбиття . При цьому, довжина вектора відображає нормоване значення інтенсивності відбиття світлового променя на проміжку . Довжина вектора - нормоване значення інтенсивності ковзання на такому ж проміжку. Різниця отриманих векторів утворить одиничний вектор відбиття . Таким чином, ця модель стає інформативнішою з позиції дослідження форми розглянутої фігури.

Далі пропонується розглянути поводження запропонованої моделі на поверхні в просторі . Для цього додамо до плоского повороту векторної системи в площині поворот навколо осі . У результаті маємо матрицю повороту системи трьох ортогональних векторів (компонентів нормалі ) у напрямі світлового променя , за умови, що розташований у площині . Для виконання цієї умови досить сполучити будь-яку з осей системи координат розглянутого об'єкта із напрямом (рис.12). Оскільки, відповідно до моделі перед оператором повороту вихідною матрицею є , то оператор повороту системи координат можна представити у вигляді

, (17)

де - матриця повороту системи координат до сполучення обраної осі системи координат із напрямом . У результаті роботи оператора маємо переорієнтовані компоненти нормалі , а значить, і новий вектор .

Зорієнтувавши об'єкт потрібним чином, розглянемо спосіб визначення шуканих векторів у просторі .

Розглянемо випадок, коли вісь системи координат об'єкта збігається з напрямом променя . Тоді сума другого і третього стовпця матриці , отриманої після виконання оператора , визначає повернений у просторі вектор проекції нормалі на площину . У результаті одержуємо матрицю вигляду

. (18)

З отриманих компонентів матриці одержуємо в просторі ортогональну пару векторів

. (19)

При цьому довжина вектора нормального відбиття виражається через компоненти в такий спосіб

, (20)

а довжина вектора дотичного відображення, відповідно

. (21)

Розглянемо випадок, коли вісь системи координат об'єкта збігається із напрямом променя , або промінь лежить у площині (рис.12). Тоді сума першого і другого стовпця матриці , отриманої після виконання оператора , визначає повернений у просторі вектор проекції нормалі на площину . У результаті одержуємо матрицю вигляду

. (22)

З отриманих компонентів матриці одержуємо в просторі ортогональну пару векторів

. (23)

При цьому, довжина вектора нормального відображення виражається через компоненти в такий спосіб

, (24)

а довжина вектора дотичного відбиття, відповідно

. (25)

Розглянемо випадок, коли вісь системи координат об'єкта збігається із напрямом променя . Тоді сума першого і третього стовпця матриці , отриманої після виконання оператора , визначає повернений у просторі вектор .

У результаті одержуємо матрицю вигляду

. (26)

З отриманих компонентів матриці одержуємо в просторі ортогональну пару векторів

. (27)

При цьому довжина вектора нормального відбиття виражається через компоненти в такий спосіб

, (28)

а довжина вектора дотичного відбиття , відповідно

. (29)

Слід зазначити, що всі три розглянутих випадки дадуть один і той же результат, тобто при повороті системи координат об'єкта в її вихідне положення визначається та сама пара ортогональних векторів .

Очевидно, що ця модель віддзеркалює диференціальні характеристики в напрямі площини , що перетинає об'єкт як показано на рис.12. При цьому площина належить одній із осей системи координат об'єкта. Розглянемо випадок , тоді відношення

, (30)

де - кут повороту площини від осі (рис.12),

- функція, що описує поверхню розглянутого об'єкту,

- напрям диференціювання.

Процес сприйняття форми поверхні припускає єдине охоплення диференціальних характеристик у кожній точці поверхні без зміни орієнтації об'єкта. Виникає природне запитання: “Яким способом удається зорово проводити глобальну диференціальну оцінку форми?”. Спробуємо припустити, що в людське око надходить інформація про відбиття не просто від мінімальної площадки , що абстрактно представляє одиницю зорової інформації (рис.13). На підставі геометричної моделі візуального сприйняття, представленої в роботі, приймемо за одиницю зорової інформації відразу три відбиття ортогональних проекцій . Надалі в роботі таке відбиття пропонується називати - “ортвідбиття ”.

Приводячи до відповідності “ ортвідбиття ” із запропонованою моделлю, досить розташувати три світлових джерела по осях системи координат об'єкта. У результаті одержуємо три матриці . Об'єднавши три повороти системи компонентів нормалі в трьох площинах: (рис.13), маємо загальні властивості отриманої моделі в системі ортвідбиття:

1. - нормальні вектори системи ортвідбиття збігаються за напрямом із нормаллю ;

2. - дотичні вектори системи ортвідбиття належать нормальній площині , перпендикулярні вектору нормалі ;

3. - довжини нормальних векторів системи ортвідбиття відповідають значенням компонентів вектора нормалі .

4. - часткові похідні функції вигляду по осях визначаються відношенням довжин нормальних і дотичних векторів “системи ортвідбиття ”.

Перевага отриманої моделі полягає у тому, що вона поєднує в собі як векторну, так і скалярну інформацію для диференціальних досліджень форми поверхні функції вигляду . Принцип такої моделі застосуємо і для більш складних просторів.

Далі пропонується метод дослідження поверхні функції двох змінних, заснований на синтезі й аналізі М-образів, побудованих за диференціальними принципами математичного аналізу. Цей метод характерний тим, що досить просто алгоритмізується, і легко переноситься на багатовимірні простори.

В основі методу лежить принцип зорового сприйняття рельєфу через реалістичний образ поверхні. При цьому набирають чинності деякі обмеження в точності одержуваних результатів, оскільки палітра комп'ютерного зображення, як правило, базується на цілочисельних даних, а саме зображення обмежене деяким розділенням. Зауважимо, що способи уточнення інформації в цій роботі не розглядаються. Тут запропонований принцип організації і використання растрових зображень для автоматизації оцінки рельєфних характеристик поверхні функції.

Представимо поверхню деякої функції нормальним векторним полем, вираженим трьома скалярними полями

(31)

і введемо поняття базового візуального М-образу. Для цього встановимо деяку відповідність скалярних полів з їх растровим представленням , виразивши через градацію інтенсивності тону монохромної палітри

. (32)

При цьому одержимо три базових М-образи як вихідні масиви даних образної інформації (рис. 14). Як уже відзначалося, на відміну від скалярного поля, базовий візуальний М-образ має цілочисельну область визначення у вигляді індексного масиву із розділенням растра , а також цілочисельні значення для кожного елемента масиву , представлені лінійною градацією цілочисельної інтенсивності монохромної палітри . Ці значення будуть характеризувати точність растрового представлення скалярного поля.

Отримані базові М-образи, виражені градацією тону, характеризують кути повороту нормалі в кожній точці поверхні на проміжку уздовж трьох осей, відповідно. Для наочності результатів до розгляду обрана функція вигляду , що описує поверхню сфери з радіусом , при . Оскільки інтенсивність тону зростає в зворотній залежності значення , то надалі умовимося за максимум інтенсивності приймати (чорний колір), мінімум – відповідно (білий колір).

Характерно те, що на цьому етапі припиняється робота з функцією аналітичного вигляду і в подальших перетвореннях використовуються тільки образні дані отриманих базових М-образів.

Визначимо наступний інформаційний шар М-образів, що характеризує модуль зміни косинуса нормалі .

При цьому, слід зазначити, що обраний кут визначає в просторі горизонт спостерігача. Легко показати, що саме збіг на всіх трьох растрах скалярних полів ( ) мінімальної інтенсивності тону дає .

Традиційно, при розгляді поверхні функції вигляду передбачається збіг напряму площини горизонту з площиною , де напрям осі спостереження протилежний осі . Тому надалі отриманим М-образам, що виражаються через базові М-образи , пропонується додати індекс .

На рис.15 наведені М-образи, нормовані градацією тону палітри зі спостереженням уздовж осі ( ), відповідно.

Рис.16 демонструє способи синтезу диференціальних М-образів на базі двох попередніх підготовчих етапів:

,
,.

Подвійні дужки означають, що розглянуте відношення нормується на проміжку .

Аналогічним способом відповідно до градації палітри визначається останній диференціальний образ .

Рис.17 відображує приклад багатошарової образної моделі функції

до рівня одержання М-образів першої похідної у запропонованій вище послідовності синтезу.

Особливий інтерес представляють способи використання М-образів при рішенні оптимізаційних задач за допомогою дослідження поверхні розглянутої функції. Прикладом такої задачі є визначення траєкторії градієнтного спуску.

Алгоритм у розглянутому випадку полягає у визначенні переміщення точки в один із восьми напрямів можливого зміщення. Пропонується використовувати образну інформацію в розглянутій точці (піксель), використовуючи два шари , наведені на рис.17. Ці шари відображають монохромну градацію відношень і . Цієї образної інформації досить, щоб одержати однозначне значення відхилення градієнта від осей і відповідно в площині і проекцію його напряму. Причому, градація тону в кожній точці відбиває обране відхилення з точністю заданої палітри . Це дозволяє вибрати відповідний стовпець і рядок індексної таблиці (рис. 18). Перетин знайденого стовпця і рядка визначає комірку таблиці з індексом зміщення поточної шуканої точки, що належить лінії градієнтного спуску. Надавши змінним і відповідні значення в обраній точці з поточними координатами для образів і (координатні індекси пропонується розташовувати вгорі) , одержимо такі вирази

, , (33)

де - множина елементів рядка і стовпця відповідно, а - шуканий елемент індексної таблиці, що визначає напрям зміщення лінії градієнтного спуску.

Взявши за зображувальну основу будь-який М-образ, зручний для візуальної оцінки результату (наприклад ), з використанням для одержання розв’язання
М-образів Сху і Сух, одержуємо можливість при інтерактивному розміщенні точок на поверхні динамічно визначати траєкторію градієнтного спуску (рис.19).

Двовимірне представлення образної інформації припускає подальший розвиток принципів побудови і синтезу двопросторових структур із застосуванням воксельних підходів організації М-образів, а також багатовимірних структур, що не піддаються зоровому сприйняттю. Застосування принципів образної оцінки в ході розв’язання багатовимірних задач дозволяє підвищити якісний рівень процедури автоматизації аналізу, підкріпивши його образними експертними системами, що базуються на виділенні рельєфних характеристик поверхні досліджуваної функції. Запропоновані результати лягли в основу розробки системи РАНОК (Рекурсивний АНаліз Образних Компонентів), що використовується для відображення М-образів, описаних методом R-функції.

Четвертий розділ розглядає принципи відображення візуальних М-образів у багатовимірному просторі. В основі розділу лежить опис системи РАНОК, орієнтованої на дослідницькі процедури в математичних побудовах для багатовимірних просторів. Принцип ітераційного уточнення області визначення функції, а також алгоритм часткового сортування, представлений у цьому розділі, дозволяють організувати образні представлення тривимірними візуальними
М-образами. При цьому тривимірний воксельний масив заповнюваного М-образу є віртуальним тривимірним екраном для чотирьохвимірного об'єкта, що проекціюється. Принципи організації такого масиву дозволяють узагальнити процедуру М-образного аналізу в багатовимірному просторі з урахуванням рекурсивного виконання алгоритму.

Запропоноване представлення тривимірного масиву відрізняється своєю логічною організацією. Заповнення масиву здійснюється у зворотному порядку, у порівнянні з традиційним, і починається з елемента, що містить індекси . Попередньо розглянемо початкові етапи формування динамічного масиву.

На першому етапі тривимірний елемент (куб) поділяється на вісім рівних елементів (рис.20). Таким чином, для організації індексу буде потрібно 3 біта (від 000 до 111). Проіндексуємо масив так, щоб послідовність нулів і одиниць відбивала тривимірне положення елементів об'єкта відповідно до напрямів осей i, j, k. На рисунку видно, що нульове значення відповідного біта в значеннях індексів визначає розташування куба безпосередньо на координатній осі. Логічний номер поелементного заповнення для розглянутого випадку можна визначити як

,

де - функція переходу до десяткового значення комбінації двійкового коду, утвореного угрупованням значень елементів .

На другому етапі уточнення тривимірної сцени здійснюється розбивка областей, яким у масиві відповідають елементи , на вісім рівних елементів методом половинного ділення. Рис.21 відображає динамічний розвиток матриці при переході до другого етапу уточнення тривимірної області. При цьому відбувається збільшення розмірності динамічного масиву в два рази уздовж кожної осі. Для наочності на рис.21 логічна послідовність заповнення масиву відбита послідовним рядом значень, де з 9 по 16 - укрупнені елементи, що діляться, на наступній ітерації розглянутої області визначення. Елемент “” є “ітераційним потомком” елемента “”, оскільки відбиває ту ж саму область, тільки вже в уточненому вигляді за рахунок ділення “ітераційного предка” на вісім частин. Процес ітераційного уточнення тривимірної області передбачає послідовну обробку “ітераційних предків” 1-8 з послідовним відбиттям результатів ділення в “ітераційних потомках” 9-16.

Така організація заповнення дозволяє зберігати дані, отримані на попередній ітерації в перших комірках матриці доти, поки не заповняться усі вільні комірки значеннями наступної ітерації. Далі елементи поточної ітерації (16) “витісняють” значення попередньої ітерації (1-8) у перших комірках куба і відбувається перехід до нової ітерації з відповідним збільшенням масиву. Це дозволяє зберігати зв'язок із попередньою ітерацією до необхідної границі.

Тут виникає проблема структурної організації індексних даних динамічного масиву, що дозволяє робити ув'язку між індексним розподілом елементів масиву та їх логічним порядком. Для цього знову звернемося до бінарного коду. Розглянемо перехід від пропонованого бінарного представлення до індексного представлення і навпаки. Індексне представлення елемента масиву визначається як:

,

, (34)

,

де - значення елементів для -ої трибітової комбінації,

- кількість ітерацій алгоритму уточнення області, - розмірність вектора бінарного представлення елемента динамічного масиву.

Наприклад, для вектора елемента індексне представлення можна одержати у вигляді:

,

, (35)

.

Для розв’язання зворотньої задачі досить послідовно перевести десяткове представлення індексів у двійковий код і зробити угруповання за стовпцями у послідовні трійки за кожним елементом, як показано нижче:

0 = 0 0 0

2 = 0 1 0

7 = 1 1 1 .

У результаті одержуємо шукані трибітові комбінації, що відображають положення елемента на всіх ітераційних рівнях.

Розглянута організація тривимірного масиву даних дозволяє досить швидко, і не проводячи складних перерахунків, будувати проекції тривимірної сцени М-образу на екранну площину, використовуючи відомі алгоритми переносу і повороту в просторі і перспективне перетворення.

Далі в розділі наведені приклади одержання візуальних М-образів для об'єктів, описаних R-функціями в різних додатках. Рис.22 зображує обертання функції (еквіпотенціал) усередині циліндра з вкладеним гвинтоподібним елементом. Диференціальні принципи побудови М-образів дозволяють синтезувати наочні зображення поверхонь досліджуваної функції.

П'ятий розділ розглядає синтез візуальних М-образів локальних геометричних характеристик поверхні функції, заданої каркасом. Модель каркаса приведена до системного представлення з виділенням ієрархічної структури і системних модулів керування каркасом.

Далі пропонується спосіб визначення диференціальних властивостей функції, заданої каркасною моделлю на основі принципів інтерполяції. Розглянуто існуючі математичні способи наближення функції. Запропоновано спосіб вираження наближеної дотичної площини у вузлі каркаса через об’єм фігури:

(36)

де: - коефіцієнти площини -го трикутника, що належить -му вузлові; - площа -го трикутника, що належить -му вузлові; - об’єм фігури , утвореної трикутними елементами із загальною вершиною в -тій точці.

У отриманої дотичної площини є дві особливості, що дають переваги при каркасному проектуванні.

Перша особливість полягає в тому, що переміщення вузла в знайденій направляючій площині дозволяє зберігати об’єм розглянутої фігури, утвореної каркасом уцілому, що в механічних процесах деформації і пластичності є однією з немаловажних умов зміщення точок.

Друга особливість не менш значуща, оскільки спосіб визначення дотичної площини, вираженої через об’єм утвореної фігури вузлової області, характерний своєю можливістю переносу на багатовимірний лінійний простір, що дозволило узагальнити формулу одержання дотичної у вузлах ґратки багатовимірного каркаса, привівши її до вигляду

, (37)

де

- розмірність розглянутого простору;

- кількість елементів фігури , що належать розглянутому вузлові;

- -ий коефіцієнт носія основи -го елемента -вимірної фігури ;

- -а координата вузлової точки -вимірного простору;

- відстань від початку координат до носія основи -го елемента;

- об’єм -го елемента в -вимірному просторі;

- об’єм фігури в -вимірному просторі.

Рис.23 зображує результат диференціювання функції заданої каркасом, зображеної на рис.3. Отриманий М-образ цілком зіставимий з М-образами на рис.4, білим кольором зображена зона нульових значень частинної похідної по осі .

У завершенні розділу розглядається застосування візуальних М-образів для оцінки результату розрахунків складних систем методом кінцевих елементів в інструментальній системі FORTU, розробленій у Запорізькому державному університеті. Наведено деякі приклади задач механіки, що дозволяють зорово переконатися у перевазі одержуваних візуальних М-образів при дослідженні поверхонь результатів розрахунку в порівнянні з традиційними зображеннями.

ВИСНОВКИ

Принципи, запропоновані в результаті проведених досліджень в області побудови образів геометричних характеристик поверхні, дозволяють представити нові способи розв’язання геометричних задач, пов'язаних із дослідженням поверхні. На основі виконаних у дисертації досліджень отриманий новий підхід до використання образних даних. При цьому одержані такі основні теоретичні і практичні результати:

1. Розроблена векторна модель відбиття тензорного типу дозволяє визначити компоненти дотичного і нормального вектора відбиття.

2. Розроблена багатошарова образна модель як структура для організації збереження графічної інформації