НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ВІТРИЧЕНКО Ігор Євгенович

УДК 517.925.51

КРИТИЧНІ ВИПАДКИ СТІЙКОСТІ

ЗА ЛЯПУНОВИМ НЕАВТОНОМНИХ

НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ СИСТЕМ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України

“КПІ” Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант:

академік НАН України, доктор фіз..-мат. наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор;

Офіційні опоненти:

академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор

КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович,

Інститут математики ім. А. Размадзе НАН Грузії, директор;

доктор фіз..-мат. наук, професор

ЄВТУХОВ В’ячеслав Михайлович,

Одеський національний університет ім.. І.І. Мечнікова,

завідувач кафедри;

доктор фіз.-мат. наук

МАЗКО Олексій Григорович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України

(м. Донецьк).

Захист відбудеться “08” червня 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої

ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: вул. Терещенківська, 3, Київ – 4, 01601.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано “28” квітня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фіз.-мат. наук ПЕЛЮХ Г.П.

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Чільне місце в задачах стійкості займає теорія критичних випадків

(к.в.), дослідження яких, як правило, повязано з застосуванням досить тонких методів аналізу, а також зі значними і громіздкими обчисленнями. З математичної точки зору к.в. є виняткови-ми, проте на практиці в конструкціях майже всіх механізмів закладені умови, що призводять до їх виникнення. Наприклад, винайдені Уаттом у 1784 р. центробіжні регулятори, використані на парових машинах малої потужності, стійко зберігали задані оберти двигуна. Але зі зростанням потужності машин регулятори, що працювали за старими схемами, переставали забезпечувати надійне регулювання. Вони навіть збільшували оберти

двигуна, що призводило до нестійкого режиму роботи. Це незрозуміле на той час явище стало причиною кризи в конструюванні двигунів, і над її усуненням працювали вчені багатьох країн.

Теорі к.в. закладена Ляпуновим Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. – 471 с. : він дослідив к.в. одного нульового, пари суто уявних коре-нів характеристичного (х.р.) автономної диференціальної системи (д.с.). Пізніше він же вивчив к.в. кратного нульового кореня х.р. автономної системи двох диференціальних рівнянь (д.р.) Ляпунов А.М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения // Матем. сб. – 1893. – Т. 17, вып.2. – С. 253 – 333..

Подальші дослідження, наприклад, Г.В. Каменкова Каменков Г.В. Избранные труды: В 2-х т. / Отв. Ред. Н.Н. Красовский. – М.: Наука, 1971 – 1972., к.в. автономних д.с. присвячені вивчен-ню стійкості, коли х.р. має багато критичних коренів.

Теорія к.в. досконало побудована для неавтономних д.с. з періодичними та майже періодич-ними коефіцієнтами.

Проте методи, що використовуються при дослідженні таких д.с., не охоплюють д.с. з повільно змінними коефіцієнтами (похідні таких функцій малі у порівнянні з самими функціями, коли , , наприклад, тощо). Хоча існують задачі (наприклад, відоме в ядерній фізиці д..р. Польвані222 Polvani G., Ascoli G. Giacomini A. Questioni riguardanti il magnetron // Rend. Sem.Mat. e Fisico di Milano. –

1936. – 10. – P. 279 – 338.2

де - радіус-вектор електрона, , , яке описує рух електрона у циліндрич-ному діоді, який знаходиться у поздовжньому магнітному полі (магнетрон Хелла)), математичні моделі яких мають вигляд д.р. саме з такими коефіцієнтами.

Відзначимо, що вищезазначеними авторами побудована теорія пошуку асимптотичного

розв’язків лінійних д.с., де за певних умовможна знаходити асимптотики її фундаментальної системи розвязків. Це дає можливість вивчати стійкість точки спокою. Але при дослідженні нелінійної д.с. поняття фундаментальної системи розв’язків втрачає зміст. Для таких д.с. А.А. Белємішева444 Беклемишева А.А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Матем.сб. – 1962. – Т. 56, № 2. – С. 207 – 236.4, О.В. Костін445 Костин А.В. Асимптотика правильных решений обыкновенных дифференциальных уравнений: Дис….док.

физ.-мат. наук: 01.01.02. – Одесса, 1987. – 282 с.5, І.Т. Кігурадзе , Т.А. Чантурія, В.М. Євтухов446 Евтухов В.М. Асимптотическое представление решений неавтономных обыкновенных дифференциаль-ных уравнений: Дис….док. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Одесса, 1998.6 досліджували

асимптотики окремих її розв’язків, які мають наперед задані певні властивості (обмеженість, непродовжуваність, прямування до нуля, коливність, неколивність тощо). Звичайно. Методами асимптотичної теорії д.р. розв’язати задачу стійкості тривіального розв’язку нелінійної д.с. неможливо. Але корисно використовувати ідеї і методи цієї теорії у дослідженні стійкості.

Отже, актуальною проблемою є побудова методу, який дозволяє досліджувати поводження сім’ї розв’язків нелінійних д.с. з неперіодичними коефіцієнтами в околі положення рівноваги або її стійкість. Результати дисертації заповнюють прогалину в дослідженнях неавтономних нелінійних д.с. і ефективно застосовуються до д.с. з повільно змінними коефіцієнтами, що свідчить про доцільність вибору теми.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації тісно приля-гає до науково-дослідних робіт Інституту математики НАН України на 2001-05 рр., що вико-нуються згідно з постановою Бюро Відділення математики НАН України від 19.12.2000, про-токол № 10, і теми “Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коли-вань” (науковий ке-рівник академік НАН України А.М. Самойленко, номер держреєстрації 0101U000526).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи – подальший розвиток теорії к.в. стійкості неавто-номних нелінійних д.с. За допомогою методу дисертації – знайти умови стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості положення рівноваги в алгебраїчному к.в. кратного нульового власного числа граничної матриці коефіцієнтів д.с. першого наближення для а) неавтономних квазілі-нійних д.с.; б) неавтономних істотно нелінійних д.с; в) неавтономних квазілінійних д.р. вищих порядків; г) неавтономних істотно нелінійних д.р. вищих порядків; д) застосування методу дос-лідження до деяких задач неавтономних квазілінійних і істотно нелінійних д.р. другого порядку і неавтономних нелінійних д.с.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації нові. Серед них голов-ними є такі:

- побудовано метод розщеплення д.с. на підсистеми менших розмірів спеціального вигляду на основі поєднання методів узвгвльнених “зрізуючих” і “заморожених” перетворень;

- одержано достатні умови стійкості квазілінійної д.с. з комплексними коефіцієнтами на осно-

ві принципу стійкості О. Перрона;

- запропонвано метод дослідження стійкості істотно нелінійної д.с. з використанням леми про обмеженність розв’язків у кільцеподібній області, методів О.В. Костіна дослідження правиль-них розв’язків д.р. вищих порядків та функцій Ляпунова;

- одержано достатні умови стійкості істотно нелінійної д.с. з дійсними коефіцієнтами;

- одержано достатні умови - стійкості квазілінійного і істотно нелінійного д.р. вищого по-рядку;

- застосування методу дисертації для розвязання деяких задач теорії стійкості.

Узагальнення методу “зрізуючих” перетворень і подальший розвиток методу неавтономних нелінійних “заморожених” перетворень в поєднанні з методами функцій Ляпунова і О.В. Кос-тіна дослідження правильних розв’язків д.р. вищих порядків дозволило одержати нові умови стійкості у к.в. кратного нульового кореня х.р.

Практичне значення одержаних результатів. Побудований в дисертації метод можна ефек-тивно застосовувати у дослідженнях к.в. стійкості конкретних неавтономних д.с., асимптотич-ного поводження розв’язків д.с. і д.р. вищих порядків в околі особливих точок задач фізики,

прикладної механіки, астрономії, хімії, радіоелектроніки, біології і інших природознавчих нау-ках.

Результати роботи можна використати в інших наукових дослідженнях і при викладанні

спецкурсів на фізико-математичних факультетах вищих учбових закладів освіти.

Особистий внесок здобувача. Всі дослідження, наведені в дисертації, виконані автором са-

мостійно і опубліковані в 48 наукових працях. В роботі [2] належить постановка задачі і обго-

ворення одержаних результатів. В статті [8] автору належить постановка задачі і безпосереднє її технічне виконання, а в [33,34] – постановка задачі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на міжна-

родних і вітчизняних конференціях [32-48], семінарі відділу “Нелінійні коливання та звичайні

диференціальні рівняння” Інституту математики НАН України, 27 жовтня 2003 р. (керівник се-мінару акад. А.М. Самойленко), семінарі кафедри диференціальних рівнянь і управління Хар-ківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, 23 грудня 2003 р. (керівник семінару проф. В.І. Коробов), семінарі з загальної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, 14 квітня 2004 р. (керівник семінару чл.-кор. НАН України О.М. Ко-вальов).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 29-ти статтях в наукових журналах [1-29],

2-ох депонованих роботах [30,31], 17-ти тезах наукових конференцій [32-48].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних скоро-чень, вступу, шести розділів і списку літератури, який містить 206 найменувань.

Обсяг роботи – 298 сторінок.

3

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено коротку історичну справку про виникнення і розвиток теоріїї к.в. стійкості, обгрунтовано актуальність визначеної теми, вказано мету роботи, стисло сформульовано зміст і основні результати автора, зазначено теоретичне і практичне значення дисертації, наведено дані про особистий внесок автора, апробацію результатів і публікацій за темою роботи, описано структуру і обсяг дисертації.

В розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації, окреслено основні етапи розвитку теорії к.в. стійкості, визначено напрями досліджень.

У розділі 2 обгрунтовано вибір напряму досліджень. В п. 2.1 проаналізовано означення стій-кості О.М. Ляпунова, який зазначав, що стійкість залежить від характеру незбуреного руху, правих частин д.с. і початкового моменту часу. Тут наведено означення локальної і глобальної стійкостей, нестійкості, коли , , тривіального розвязку д.с., які використано в ди-сертації. Розглянемо д.с. вигляду

, (1)

де і роз-вязок задачі Коші.

В п.п. 2.2, 2.3 наведено метод лінеаризації і функцій Ляпунова. В п. 2.4 описaно метод зведен-ня д.с. (1) до д.с. спеціального вигляду. В п. 2.5 наведено методику дослідження квазілінійних д.с., яка використовує узагальнення принципу стійкості О. Перрона.

В п. 2.6 описано методику дослідження стійкості істотно нелінійних д.с., наведено викорис-тані в дисертації результати О.В. Костіна447 Костин А.В. Асимптотика правильных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений //

Диф. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 524 – 526.7, які використано в дисертації, леми, які мають само-стійне значення.

Розділ 3 присвячено дослідженню стійкості положення рівноваги неавтономних квазілінійних д.с. з комплексними коефіцієнтами.

В п. 3.1 дано постановку задачі про дослідження стійкості при тривіального розвязку

д.с. (1), для якої

,

де , , , , і

1) , , , ;

2) х.р. має корені за умови, що , , , а решта його коренів мають властивість .

3) .

П. 3.2 присвячено зведенню д.с. першого наближення до д.с. спеціального вигляду. Розгляну-то випадок, коли існує матриця , яка має кратне нульове власне число. Методами узагаль-неного “зрізуючого” , лінійного “замороженого” перетворень за певних умов можна побудувати неособливе перетворення

, (5)

де , , , або

, , , яке зводить д.с. (1) до д.с. спеціального блок-

діагонального вигляду

, (6)

6

де ,, ,

Розглянуто задачу про зведення д.с. (1) з повільним часом до д.с. з майже трикутного вигляду,

коли гранична матриця може не існувати.

В п. 3.3 до д.с. (6) застосовано принцип стійкості О. Перрона, що дало можливість одержати

умови стійкості для д.с. (1), (6).

Для кожної із теорем 3.7-3.16 доведено наслідки, за якими умови цих теорем стають більш

прозорими.

В теоремах 3.17-3.26 одержано умови стійкості для класичного к.в., коли в д.с. (1) , а

матриця має подвійне нульове власне число, що дозволяє легко аналізувати результати

дляд.с. загального вигляду.

В п. 3.4 досліджено також класичний к.в. одного нульового і однієї пари суто уявних спряже-

них коренів х.р. Умови стійкості подано через критичні корені, охоплено випадок коренів, які злипаються.

Розділ 4 присвячено дослідженню стійкості неавтономної істотно нелінійної д.с. в алгебраїч-

ному к.в. кратного нульового власного числа граничної матриці коефіцієнтів д.с. першого наб-

лиження.

В п. 4.1 дано постановку задачі про стійкість точки спокою д.с. (1), де

,

,

, і

виконуються такі умови:

1) , , ;

2) матриця з кратним власним числом ;

3) .

За допомогою узагальнеих “зрізуючих”, лінійних і нелінійних “заморожених” перетворень за певних умов можна побудувати неособливу неавтономну нелінійну заміну

, (7)

що зводить д.с. (1) до д.с. спеціального блок-діагонального вигляду

(8)

В п. 4.2 за допомогою поєднання методу дослідження асимптотичного поводження правиль-них розвязків неавтономних нелінійних д.р., закладеного О.В. Костіним і розвинутого В.М.

Євтуховим, методу функцій Ляпунова і леми 2.4 доведено теореми про локальну і глобальну асимптотичну стійкості точки спокою д.с. (1), (8).

Розділ 5 присвячено вивченню -стійкості тривіального розвязку д.р.

(9)

на яке перенесені результати розділів 3, 4.

При дослідженні сімї зникаючих при розвязків д.р. (11) застосування класичного означення стійкості за Ляпуновим не завжди обгрунтоване. Традиційно д.р. зводять до д.с.,

яку потім досліджують на стійкість. Це призводить до накладання жорстких умов мализни

на похідні розвязків даного д.р., що не є обовязковим.

Тому далі поводження розвязків д.р. (11) і їх похідних порівнюється з заданою системою

5

функцій . Такі задачі виникають, наприклад, в теорії розповсюдження хвиль.

Розділ 6 присвячено застосуванню методу дисертації.

Висновки

В роботі одержано нові результати в теорії стійкості неавтономних нелінійних д.с., серед яких

основними є такі:

- побудовано метод розщеплення д.с. на підсистеми менших розмірів спеціального вигляду на основі поєднання методів узагальнених “зрізуючих” і “заморожених” перетворень;

- одержано достатні умови стійкості квазілінійної д.с. з комплексними коефіцієнтами на основі

принципу стійкості О. Персона;

- запропоновано метод дослідження стійкості істотно нелінійної д.с. з використанням леми про

обмеженість розв’язків у кільцеподібній, методів О.В. Костіна дослідження правильних роз-в’язків д.р. вищих порядків та функцій Ляпунова;

- одержано достатні умови стійкості істотно нелінійної д.с. з дійсними коефіцієнтами;

- одержано достатні умови -стійкості квазілінійного і істотно нелінійного д.р. вищого поряд-ку;

- застосування методу дисертації для розвязання деяких задач теорії стійкості.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Витриченко И.Е. К устойчивости нулевого решения одного неавтономного квазилинейного

уравнения второго порядка // Диф. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 4. – С. 708 – 712.

2. Витриченко И.Е., Занун Т.Ю. О центре притяжения решений квазилинейной неавтономной

системы в критическом случае // Диф. уравнения. – 1990. – Т. 26, № 6. – С. 1081 – 1084.

3. Витриченко И.Е. К устойчивости нулевого решения одного нелинейного неавтономного уравнения второго порядка // Диф. уравнения. – 1990. – Т. 26, № 11. – С. 1878 – 1884.

4. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мни-

мых корней одного неавтономного квазилинейного уравнения n-го порядка // Диф. уравнения. – 1990. – Т. 26, № 12. – С. 2027 – 2046.

5. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мни-мых корней одного неавтономного нелинейного уравнения n-го порядка // Диф. уравнения. –

1991. – Т. 27, № 2. – С. 350 – 354.

6. Витриченко И.Е. К устойчивости неавтономной квазилинейной системы в критическом слу-чае одного нулевого и пары чисто мнимых корней одного неавтономного нелинейного уравне-ния n-го порядка // Диф. уравнения. – 1991. – Т. 27, № 11. – С. 2014 – 2015.

7. Вітриченко І.Є. Про коливання розвязків одного неавтономного квазілінійного рівняння дру-гого порядку // Укр. мат. журн. – 1994. – Т. 46, № 4. – С. 347 – 356.

8. Витриченко И.Е., Никоненко В.В. О сведении к почти блок-треугольному (диагональному)

виду линейной неавтономной системы в случае кратного нулевого собственного значения пре-

дельной матрицы коэффициентов // Proc. Of F. Razmadze Math. Inst. – 1994. – V. 110. – P. 59 – 65.

9. Витриченко И.Е. К устойчивости тривиального решения неавтономной квазилинейной сис-темы в случае кратных корней характеристического уравнения n-го порядка // Укр. мат. журн. –

1994. – Т. 46, № 8. – С. 1072 – 1079.

10. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мни-

мых корней неавтономной существенно нелинейной системы // Докл. АН Украины. – 1990. –

№ 9. – С. 7 – 11.

11. Витриченко И.Е. К устойчивости одного уравнения n-го порядка в одном критическом слу-чае // Укр. мат. журн. – 1995. – Т. 47, № 8. – С. 1138 – 1143.

6

12. Витриченко И.Е. Критические случаи устойчивости одного неавтономного существенно

нелинейного уравнения n-го порядка // Укр. мат. журн. – 1997. – Т.49, № 5. – С. 720 – 724.

13. Витриченко И.Е. К устойчивости неавтономной существенно нелинейной системы в одном критическом случае // Доповіді НАН України. – 1997. – № 8. – С. 25 – 28.

14. Vitrichenko I. Critical case of multiple pairs of pure imaginary roots of a nonautonomous essential-ly nonlinear system // Mem. Dif.Eq. Math. Phys. – 1997. – V. 10. – P. 140 – 144.

15. Vitrichenko I. Critical case of multiple pairs of pure imaginary roots of a nonautonomous essential-ly nonlinear n-th order equation // Mem. Dif.Eq. Math. Phys. – 1997. – V. 10. – P. 145 – 149.

16. Вітриченко І.Є. До нестійкості у критичному випадку одного нульового та пари суто уявних

коренів неавтономної істотно нелінійної системи // Крайові задачі для диф. рівнянь, вип. 2. – Київ: ІМ НАН України. – 1998. – С. 51 – 60.

17. Витриченко И.Е. К неустойчивости неавтономной существенно нелинейной системі в одном критическом случае // Доповіді НАН України. – 1999. – № 3. – С. 11 – 15.

18. Витриченко И.Е. О неустойчивости одного неавтономного существенно нелинейного урав-нения n-го порядка // Укр. мат. журн. – 1999. – Т.51, № 6. – С. 835 – 841.

19. Витриченко И.Е. О функциональной полиустойчивости некоторых неавтономных квазилинейных дифференциальных систем // Укр. мат. журн. – 1999. – Т.51, № 7. – С. 989 – 995.

20. 1. Витриченко И.Е. Критический случай устойчивости одного квазилинейного разностного

уравнения второго порядка // Укр. мат. журн. – 1999. – Т.51, № 12. – С. 1593 – 1603.

21. Витриченко И.Е. О функциональной полиустойчивости некоторых существенно нелиней-

ных неавтономных дифференциальных систем // Укр. мат. журн. – 2000. – Т.52, № 2. – С. 197 – 207.

22. Вітриченко І.Є. До глобальної стійкості неавтономної квазілінійної системи в одному кри-тичному випадку // Нелінійні коливання. – 2000. – Т. 3, № 3. – С. 323 – 333.

23. Вітриченко І.Є. Критичний випадок глобальної стійкості неавтономної істотно нелінійної системи // Нелінійні коливання. – 2000. – Т. 3, № 4. – С. 449 – 457.

24. Vitrichenko I.E. On -stability of one essentially nonlinear nonautonomous second order equation

// Nonlinear Oscillation. - 2001. – V. 4, № 4. – P. 547 – 559.

25. Вітриченко І.Є. Про одну ознаку асимптотичної стійкості в одному критичному випадку //

Науковий вісник Чернівецького ун-ту. Математика. Вип. 134. – 2002. - С. 10 – 16.

26. Вітриченко І.Є. Глобальна -стійкість одного неавтономного квазілінійного рівняння дру-

гого порядку // Укр. мат. журн. – 2002. – Т.54, № 9. – С. 1172 – 1189.

27. Вітриченко І.Є. Стійкість у критичному випадку кратного нульового кореня квазілінійної неавтономної системи двох рівнянь // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2003. – № 1. – С. 117 126.

28. Вітриченко І.Е. Критичні випадки -стійкості неавтономного квазілінійного рівняння n-го порядку // Укр. мат. журн. – 2004. – Т.56, № 2. – С. 264 – 270.

29. Вітриченко І.Е. Критичні випадки -стійкості неавтономного суттєво нелінійного рівняння n-го порядку // Нелінійні коливання. – 2003. – Т.6, № 2. – С. 171 – 177.

30. Вітриченко І.Е. Про зведення до майже-трикутного (діагонального) вигляду деяких класів лінійних неавтономних систем у випадку крвтних власних чисел матриці коефіцієнтів / Вітри-ченко І.Є.; Одеський держун-тет. – Одеса, 1992. – 12 с. – Укр. – Деп. в Укр.ІНТЕІ 29.12.92, 2067-Ук92 // Анот. в ж. Реф. Журнал, 13. Математика, Т.6, 6Б207, 1993.

31. Витриченко И.Е. О неустойчивости тривиального решения неавтономной существенно нелинейной дифференциальной системы в одному критическом случае / Витриченко И.Е.;

Одеський держун-тет. – Одеса, 1997. – 12 с. – Укр. – Деп. в Укр.ІНТЕІ 20.05.97, 393-Ук97 // Анот. в ж. Реф. журнал, 13. Математика, Т.1, 1Б216, 1998.

32. Витриченко И.Е. Устойчивость неавтономных квазилинейных дифференциальных систем //

Тез. докл. YI Всесоюзной конф. по кач. теории диф. уравнений. – Иркутск. – 1986. – С. 46 – 47.

33. Витриченко И.Е., Занун Т.Ю. О центре притяжения решений существенно нелинейной неав-

тономной системы в критическом случае одного нулевого корня // Тез. докл. Республиканской конф. “Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения”.– Одесса. – 1987. – С. 43 – 44.

34. Витриченко И.Е., Карауани М. Об устойчивости тривиального решения неавтономной суще-ственно нелинейной системы с медленным временем в критическом случае одного нулевого корня // Тез. докл. Республиканской научно-методической конф., посвящённой 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. – Одесса. – 1992. С. 114.

35. Витриченко И.Е. Об устойчивости тривиального решения неавтономной нелинейной сис-темы в критическом случае кратных собственных чисел предельной матрицы // Тез. докл. Меж-дунар. матем. конф. “Ляпуновские чтения”. – Харьков. – 1992. – С. 28 – 30.

36. Vitrichenko I.E. To stability by Lyapunov in case of multiple zero characteristic exponent for nonautonomous nonlinear equation of n-th order // Czecho-Slovak conference on differential equations

and their applications “EQUADIFF-8”, Abstracts of reports. Comenius University, Bratislava (Slova-kia). – 1993. – P. 261.

37. Витриченко И.Е. К устойчивости по Ляпунову в случае кратных чисто мнимых корней ха-

рактеристического уравнения неавтономного существенно нелинейного уравнения n-го порядка

// Крымская осенняя школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”. Тез. докл. – Симфе-

рополь (Крым). – 1993. – С. 10 –11.

38. Vitrichenko I.E. On vanishing solutions of the nonautonomous nonlinear equation of second //

Abstracts of the First International Conference on Difference Equations. – Trinity University. – San Antonio (USA). – 1994. – P. 21.

39. Vitrichenko I.E. Critical cases of stability by Lyapunov of nonautonomous nonlinear systems //

International Conference “Nonlinear Differential Equations”. – Kiev. – 1995. – P. 179.

40. Витриченко И.Е. Об исчезающих решениях неавтономной нелинейной дифференциальной

системы // Тези доп. Всеукраїнської конф. “Диференціально-функціональні рівняння та їх зас-

тосування”. – Чернівці. – 1996. – С. 36.

41. Vitrichenko I.E. Critical cases of the position of the equilibrium of some nonlinear nonautonomous

differential systems // Тези доп. Міжнародної конф. “Асимптотичні та якісні методи в теорії не-лінійних коливань”. – Київ. – 1997. – С. 193.

42. Vitrichenko I.E. To the stability of the second order difference quasilinear equation in the critical case // Abstracts of reports of International Symposium Dedicated to the 90-th Birthday Anniversary

of Academician I. Vecua. – Tbilisi. – 1997. – P. 49. 43. Вітриченко І.Є. Про центр притягання розв’язків квазілінійної неавтономної системи в од-ному критичному вмпадку // Матеріали Міжнародної наукової конф. “Сучасні проблеми мате-матики”, ч. 1. – Чернівці. – 1998. – С. 108.

44. Витриченко И.Е. Об аттракторе неавтономной существенно нелинейной систем системы в

одном критическом случае // Тези докл. Четвёртой Крымской Международной Математической

школы “Методы функций Ляпунова и его приложения”. – Алушта (Крым). – 1998. – С. 19.

45. Vitrichenko I.E. On some generalization of one result of stability in some critical case // Abstracts of reports of International Conference “Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation”. –

Kyiv. – 1999. – P. 119.

46. Вітриченко І.Є. Про -стійкість одного нелінійного неавтономного рівняння другого поряд-ку // Матеріали YIII Міжнародної наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ. – 2000. – С. 49.

47. Вітриченко І.Є. Про критичні випадки -стійкості одного неавтономного нелінійного рів-няння n-го порядку // Укр. мат. конгрес. – 2001: Тези доп. Міжнародної наукової конф. “Дифе-ренціальні рівняння і нелінійні коливання”. – Київ. – 2001. – С. 30 – 31.

48. Вітриченко І.Є. Критичні випадки стійкості за Ляпуновим // Тези доп. Міжнародної конф., присвяченої 70-річчю з дня народження акад. Шкіля М.І. – Київ. – 2002. – С. 46.

Анотації

Вітриченко І.Є. Критичні випадки стійкості за Ляпуновим неавтономних нелінійних дифе-ренціальних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття нвукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальніс-тю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертацію присвячено побудові методу дослідження алгебраїчних критичних випадків стій-кості квазілінійних і істотно нелінійних диференціальних систем і рівнянь вищих порядків з не-періодичними коефіцієнтами, коли граничне характеристичне рівняння має кратний нульовий

8

корінь. Основні результати праці застосовано у дослідженні стійкості і коливності розв’язків неавтономних нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, квазілінійного різницево-го рівняння другого порядку з дискретним аргументом, аттракторів і функціональної полістій-

кості неавтономних нелінійних систем.

Ключові слова: диференціальні рівняння, диференціальні системи, стійкість, алгебраїчні кри-тичні випадки, неавтономні квазілінійні системи, неавтономні істотно нелінійні системи.

Витриченко И.Е. Критические случаи устойчивости по Ляпунову неавтономных нелинейных дифференциальных систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по спе-циальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена разработке метода исследования алгебраических критических слу-чаев устойчивости квазилинейных и существенно нелинейных дифферециальных систем и

уравнений высших порядков.

При исследовании квазилинейных неавтономных систем и уравнений с комплексными коэф-фициентами строятся обобщённое “срезающее”, линейное “замороженное” и К.П. Персидского

преобразования, позволяющие привести исходную систему к почти диагональному виду. К по-лученной системе применяется принцип устойчивости О. Перрона. Исследован классический критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, когда применяются только

линейные “замороженные” преобразования и условия устойчивости выражены через эти корни.

При исследовании существенно нелинейных неавтономных систем и уравнений с веществен-ными коэффициентами строятся обобщённое “срезающее”, нелинейное “замороженное” преоб-

разования, при помощи которых исходная система преобразуется системе специального вида.

К полученной системе применяется метод А.В. Костина исследования правильных решений, что позволяет получить систему с почти постоянными коэффициентами. К ней применяется

метод функций Ляпунова с использованием леммы об ограниченнсти решений системы в коль-цеобразной области. Исследован классический критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Основные результаты работы применены в исследованиях устойчивости и колеблемости ре-шений неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, квазили-

нейного разностного уравнения второго порядка с дискретным аргументом, аттракторов и

функциональной полиустойчивости неавтономных нелинейных систем.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, дифференциальные системы, устойчивость, алгебраические критические случаи, неавтономные квазилинейные системы, неавтономные существенно нелинейные системы.

Vitrychenko I.E. Critical cases of stability by Liapunov of nonautonomous nonlinear differential

systems. – Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree of sciences in Physics and Mathematics by speciality 01.01.02 – differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to of the method of an investigation of algebraic critical cases of stability of

quasilinear and essentially nonlinear differential systems and equations of higher orders. Main results

of the work are applied for investigation of the stability and oscillation of solutions of nonautonomous

nonlinear second order differential equations, of a quasilinear difference second order equation with

discrete argument, of attractors and of a functional polystability of nonautonomous nonlinear systems.

Key words: differential equations, differential systems, stability, algebraic critical cases, nonautono-mous quasilinear systems, nonautonomous essentially nonlinear systems.

Підп. до друку 19.04.2004. Формат 60x84/16. Папір офс. Спосіб друку – ризографія.

Ум. друк. арк. 1,86. Обл.-вид арк. 3.09. Зам. № 4-35. Наклад 100 пр.

Інформаційно-видавничий центр “Видавництво “Політехніка”” НТУУ “КПІ”

03056, Київ-56, вул. Політехнічна, 14, корп. 15,

тел./факс (044) 241 – 68 – 78, 241 – 66 – 64, e-mail: .kiev.ua