КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЮРЧЕНКО МАРИНА ЄВГЕНІЇВНА

УДК 539.3

ВИЯВЛЕННЯ НЕОДНОРІДНОСТІ ПРУЖНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ТОНКОСТІННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ПО ЗМІНІ РЕЗОНАНСНИХ ЧАСТОТ ПОВЗДОВЖНІХ ТА ЗГИННИХ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ

(МЕТОД НИЗЬКОЧАСТОТНОЇ ТОМОГРАФІЇ)

01.02.04-механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

Дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ 2004

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник - Доктор фізико-математичних наук,

член-кореспондент НАН України, професор

Улітко Андрій Феофанович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук,

Сенченков Ігор Костянтинович,

Інститут механіки НАН України ім. С.П.Тимошенка

головний науковий співробітник,

м. Київ

кандидат фізико-математичних наук,

Олійник Валерій Никифорович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

старший науковий співробітник,

м. Київ

Провідна установа-

Інститут проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного

НАН України, м. Харків

Захист відбудеться “11” лютого 2004 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:

03127, м. Київ, проспект Академіка Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка ( м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “_9___”_січня 2004 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Т.Ю. Копич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню прямих і обернених задач коливань тонкостінних елементів з неоднорідністю пружних властивостей, а також виявленню неоднорідності вказаного типу по зміні резонансних частот власних коливань методом низькочастотної томографії.

Актуальність теми дисертації. Обернені крайові задачі теорії коливань тонкостінних елементів з локальними неоднорідностями не були предметом систематичних досліджень в механіці деформівного твердого тіла та спряжених з нею галузях. Це пояснюється тим, що нові задачі механіки цього класу є досить складними, так як відносяться до класу так званих некоректних і для їх рішення не завжди можливо застосувати класичні методи. З іншого боку, все більша частина математичних моделей приймає стрункість та достовірність як раз за рахунок досягнень теорії обернених задач. В зв‘язку з цим, останнім часом спостерігаємо формування окремого розділу механіки, предметом якого є вивчення загальної теорії обернених задач, в тому числі обернених задач коливальної спектроскопії. Розроблені стійкі чисельні методи для реалізації рішення задач вказаного класу.

З ретельного аналізу наукових праць вітчизняних і зарубіжних авторів можна зробити висновок, що строго математично обернена задача має розв‘язок лише для задачі малих поперечних коливань струни зі змінною щільністю, яка подається неперервною функцією координат точок струни (звичайне диференційне рівняння). Для задач, які описуються диференційними рівняннями в частинних похідних, а саме до таких рівнянь відносяться дослідження в даній дисертації, строгі методи розв‘язання обернених задач відсутні.

В окремих роботах зарубіжних авторів був запропонований наближений метод розв‘язку такого типу задач – метод низькочастотної томографії. Цей метод базується на вимірюванні початкових частот власних коливань елементів з дефектом та співставленні їх з відповідними частотами такого ж елементу без дефектів. У випадку, коли мова йде про локалізований дефект, ні місце його розташування, ні форма дефекту завчасно невідомі. В традиційному методі неруйнівного контролю (дефектоскопії) місце розташування дефекту необхідно знати завчасно. У противному випадку необхідно буде ретельно обстежити всю конструкцію. Зрозуміло, що особливий інтерес викликає повне розкриття математичної основи вищезгаданого методу, а також застосування його до побудови розв‘язків обернених крайових задач про коливання тонкостінних елементів, що містять локальні неоднорідності пружних властивостей (а саме, задачі згинних коливань, які описуються рівняннями в частинних похідних четвертого порядку). Проведення такого дослідження є актуальною з теоретичної точки зору і практично значущою проблемою. Сказаним вище і визначається актуальність теми дисертації.

Зв‘язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Отримані в дисертаційній роботі результати використовувались при виконанні планових наукових досліджень кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка по фундаментальних проектах міністерства України у справах науки і технологій № 1.4/196: “Взаємодія та рух твердих тіл, що коливаються” (№ ДР 0197U003133) в період з 1997 по 2002 р.

Мета дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є побудова розв‘язків обернених крайових задач про коливання тонкостінних елементів, що містять локальні неоднорідності пружних властивостей.

Наукова новизна отриманих результатів.

1.Вперше подано повну (не діагональну) систему рівнянь для визначення коефіцієнтів відрізку ряду Фур‘є, яким наближається шукана неоднорідність. Цей результат є наслідком ретельного аналізу прямих задач, а також введення союзних до нормальних мод коливань повних ортогональних систем функцій.

2.Подано в завершеній формі математичні основи методу низькочастотної томографії.

3.На конкретних прикладах повздовжніх коливань стержня з неоднорідністю (рівняння 2 – го порядку в частинних похідних) та згинних коливань стержня , що містять неоднорідність пружних властивостей (рівняння 4 – го порядку в частинних похідних), проілюстрована ефективність розвинутого методу.

4.Було виконано експериментальне дослідження повздовжніх коливань п‘єзокерамічного стержня з неоднорідністю, яка виникає внаслідок відокремлення діелектричним проміжком частини електродного покриття від робочих електродів. Вдалося надійно виміряти шість резонансних частот коливань як для п‘єзостержня з суцільним електродним покриттям, так і для зразка з відокремленими електродами. На основі розглянутої теорії для повздовжніх коливань п‘єзостержня з одним закріпленим і другим вільним торцем, вдалося поновити дефект – вказати місце розташування відокремлених електродів і досить точно визначити довжину проміжків, на яких вони розташовані.

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення роботи полягає в тому, що досить простими засобами стаціонарної динаміки тонкостінних елементів конструкцій можливо досить точно визначити локальні пружні дефекти, які виникають в процесі їх виготовлення чи експлуатації, не звертаючись до досить складних методів неруйнівного контролю (дефектоскопії).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано 7 наукових праць [1-7]. В тому числі: 4 – в наукових журналах, 3 – в тезах доповідей міжнародних наукових конференцій. Основні результати було отримано автором самостійно. В роботі [7] здобувачеві належить теоретична постановка задачі та ідея розв‘язку, а В. М. Никитенком була здійснена експериментальна частина.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, відображені в роботі, доповідалися на таких Міжнародних наукових конференціях та симпозіумах:

1.II Всеукраїнська наукова конференція з математичних проблем механіки (2002 р., м. Дніпродзержинськ).

2.VI Міжнародна наукова конференція “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (2003 р., м. Львів).

3.Акустичний симпозіум “ Консонанс – 2003”(2003 р., Київ).

В цілому робота обговорювалася на науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (2003 р.).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, п‘яти розділів основної частини, висновків та переліку використаних літературних джерел, що налічує 153 назви і розміщений на 7 сторінках. Загальний обсяг дисертації - 124 сторінки, додатків немає.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема розкривається сучасний стан досліджень, пов‘язаний з проблемами неруйнівного контролю елементів конструкції, обґрунтовується необхідність проведення наукового пошуку в цій галузі, відзначається актуальність теми дисертації, та формулюється мета роботи. Після стислого аналізу ключових результатів, які увійшли до дисертації, відзначено їх наукову новизну та практичне значення, вказано на публікації автора, в яких ці результати відображено і відзначено його особистий внесок в роботах, що опубліковані разом з співавторами. Також наводяться дані про зв‘язок дисертаційної роботи з науковими темами, що виконуються в установі здобувача, дані про апробацію результатів дисертації.

В першому розділі дисертації подано огляд літературних джерел, в яких містяться дослідження, присвячені проблемам коректної постановки задач математичної фізики, а саме, обернених задач коливань пружних тіл з різними типами неоднорідностей. Метою цього огляду було встановити окреме місце і відношення власних досліджень автора до вже відомих результатів, тобто здійснити вибір власного напрямку.

Першими роботами, в яких розглянуті обернені задачі коливань пружних тіл є роботи, виконані в 1912-1913 рр. Вейлем для рівняння Геймгольця, пізніше його дослідження були продовжені Гардингом. Найбільш вичерпані результати для оберненої задачі Штурма-Лиувілля отримані І.М. Левітаном і М.Г. Гельфандом, а також Л.Д.Фаддєєвим та В.О. Марченко для оберненої задачі квантової теорії розсіяння. В.О. Марченко показав, що обернена задача розсіяння зводиться до оберненої задачі Штурма-Лиувілля і запропонував метод, який дозволяє будувати функцію в рівнянні Штурма-Лиувілля безпосередньо за даними розсіяння. Викладенню сучасної теорії даної задачі присвячена книга К. Шадан та П. Сабатьє, до цього направлення відноситься також монографія Р. Филипса та П. Лакса, в якій викладається узагальнений варіант задачі розсіяння. Для рівнянь в частинних похідних різні варіанти обернених задач розсіяння розглядались в роботах О. С. Алексєєва і А. Г. Меграбова, задача визначення форми області за даними розсіяння – в роботах А. Л. Бухгейма.

М. Г. Крейном математично строго досліджена задача про визначення щільності неоднорідної струни, якщо відомий її повний спектр частот коливань. Автором доведено, що щільність розподілення мас на струні однозначно визначається спектром частот коливань струни, а також розглянуті необхідні та достатні вимоги, при яких зростаюча послідовність додатних чисел є спектром частот коливань деякої струни. Доведена умова единості розв‘язку задачі. Однак в зазначених вище роботах не було дано ніяких рекомендацій відносно того, як по відомому спектру коливань неоднорідної струни можливо визначити щільність розподілення мас на струні. Задача про визначення неоднорідності модуля пружності і щільності матеріалу за допомогою резонансних частот коливань розглядалась в роботах американських авторів (Л. Тестарді, С. Нортон, Т. Xcю) методом низькочастотної томографії, однак невдалий вибір власних функцій для представлення неоднорідності не дозволив визначити початкові коефіцієнти ряду Фур‘є з парними номерами.

Оскільки, як відомо, розв‘язок прямої задачі попереджає рішення обернених задач, в даному дослідженні значна увага надана методам рішення прямих задач, яким присвятили в різний час свої роботи Л.В Андрєєв, С.О. Гершгорин, В.С. Гонткевич, Е.І. Григолюк, В.Т. Грінченко, В.Ф. Журавльов, В.В. Мелешко, И.Т. Селєзов, А.Ф. Улітко та ряд інших авторів. Труднощі, пов‘язані з неєдиністю та нестійкістю обернених задач, детально аналізувались в роботах В.Я Арсеніна, В. С. Іванова, М.М. Лаврентьєва, В.Г. Романова, А.Н.Тихонова, А.Г.Яголи. Відзначено, що в даний час все більша частина математичних моделей приймає стрункість та достовірність завдяки досягненням теорії обернених задач, а також вказані основні сучасні області застосування обернених задач.

У другому розділі дисертаційної роботи представлено розв‘язок задачі про поперечні коливання неоднорідної струни, відомий локальний дефект якої подається у вигляді фінітної функції, щоб задовольнити умовам точного розв‘язання оберненої задачі в цьому випадку (звичайне диференційне рівняння другого порядку).

1)

де , , , , .

Згідно методу низькочастотної томографії шукана неоднорідність (1) наближено представлена відрізком ряду Фур‘є по повній ортогональній на проміжку системі функцій

( ) (2)

в наступному вигляді

( ). (3)

При цьому коефіцієнти ряду Фур‘є прямої задачі відомі і визначаються з урахуванням (1) наступним співвідношенням

= =

В першому підрозділі розглянуто випадок шарнірного закріплення струни. Виходячи з рівняння для знаходження амплітудної функції (звичайне диференційне рівняння 2-го порядку)

, (5)

представлення його рішення

(6)

з урахуванням (3) та умов ортогональності власних нормальних мод та функцій (2), отримана нескінченна система однорідних алгебраїчних рівнянь, корні детермінанту якої визначають власні частоти коливань струни з заданим локальним дефектом

+, (7)

де

;

при

.

Ці значеня були чисельно знайдені для відносних розмірів та трьох положень неоднорідності 0 при аналізі скінченої системи N-го порядку (N~20). Знак “штрих” означає, що в сумі тут та в наступних розділах пропущений член з номером .

Показано, що якщо не враховувати позадіагональні елементи системи рівнянь (7), то корені частотного детермінанту можливо знайти зі спрощеної системи алгебраїчних рівнянь

, (). (8)

Проведений чисельний аналіз розв‘язків систем рівнянь (7), (8) для відносних розмірів та трьох положень неоднорідності 0 показав, що розходження вказаних частотних спектрів коливань незначні. Отриманий результат використано при розв‘язанні оберненої задачі по поновленню коефіцієнтів ряду Фур‘є методом низькочастотної томографії.

Суть цього методу полягає в тому, що шукана неоднорідність знаходиться шляхом співставлення частотного спектру коливань однорідної струни, визначеного співвідношенням , () і власних частот коливань струни з заданим локальним дефектом. Останні визначаються як розв‘язки системи (8). Їх ми приймаємо за експериментальні данні. Таким чином було отримано алгебраїчну систему рівнянь N-го порядку відносно коефіцієнтів ряду Фур‘є, якими наближена шукана неоднорідність

(9)

, , .

Ця система є невиродженою і має єдиний розв‘язок. Для прямих задач обрахунки коефіцієнтів ряду Фур‘є співпали з заданими. Подано графіки поновлення дефекту для Як приклад для на рис. 1 зображена істинна залежність неоднорідності (формула 1) та томографічне поновлення неоднорідності з урахуванням початкових коефіцієнтів ряду Фур‘є , знайдених із рішення системи алгебраїчних рівнянь (9) (крива t).

Рис.1

В другому підрозділі задача розв‘язана для струни с жорстко закріпленим лівим і вільним правим краєм.

В третьому розділі розглядається задача про повздовжні коливання стержня з неоднорідністю пружних властивостей. Вважається, що щільність матеріалу стержня постійна по всьому його об‘єму, а неоднорідність пружних властивостей, яку необхідно визначити, локалізована в околі деякого поперечного перетину стержня. При постановці задачі вважається, що поперечні перетини розглядаємого стержня залишаються плоскими та паралельними один одному, здійснюючи при цьому переміщення по осі стержня (рис.2). Повздовжній розтяг та стиск, який має місце при таких коливаннях стержня, супроводжуються виникненням тої чи іншої величини поперечних деформацій, однак, розглядаються тільки ті випадки, для яких довжина повздовжніх хвиль коливань велика порівняно з розмірами поперечних перетинів стержня. В таких випадках, не здійснюючи особливої помилки, можливо знехтувати впливом поперечних переміщень на характер повздовжніх рухів. Вважалось, що на деякій відстані від жорстко закріпленого торця стержня є локалізована область довжиною , модуль пружності в якій відрізняється на певну сталу величину від модуля пружності за її межами (рис.2).

Рис. 2

У цьому випадку пружні властивості стержня описуються кусково-неперервною функцією осьової координати

де .

Задача про власні коливання стержня з неоднорідністю зводиться до інтегрування узагальненого хвильового рівняння відносно функції зміщення точок стержня

, (11)

розв‘язок якого представляємо у вигляді добутку амплітудної функції на гармонійний співмножник

(12)

Рівняння (11) після підстановки в нього співвідношення (12) з урахуванням подання неоднорідності (10) приймає відносно амплітудної функції наступний вигляд

, (13)

де , , - швидкість розповсюдження повздовжніх хвиль. Записані граничні умови для амплітудної функції

(14)

В першому підрозділі даного розділу насамперед приведено точне рішення прямої задачі. Показано, що власні частоти коливань неоднорідного стержня знаходяться з трансцендентного рівняння

(15)

де позначено , , . Корені рівняння (15) були знайдені чисельним методом. Параметри задачі приймали такі значення:При цьому розглядались три положення неоднорідності:

В цьому підрозділі знайдено наближений розв‘язок прямої задачі з урахуванням представлення локального дефекту відрізком ряду Фур‘є, але не у вигляді нормальних мод коливань, а з класу союзної повної ортогональної системи власних функцій на цьому ж інтервалі , тобто за власними формами повздовжніх коливань стержня з вільним лівим торцем () і жорстко закріпленим правим ().

(), (16)

де коефіцієнти ряду Фур‘є відомі і визначаються з урахуванням (10) наступним співвідношенням

(17)

Це подання неоднорідності дозволило уникнути недоліків робіт закордонних авторів (в роботах цих авторів неможливо визначити коефіцієнти ряду Фур‘є з парними номерами). У випадку неоднорідного стержня для визначення амплітудної функції записане наступне рівняння

. (18)

Як і для однорідного стержня, розв‘язок його будуємо у вигляді відрізку ряду Фур‘є

. (19)

З урахуванням представлення неоднорідності (16) та подання розв‘язку рівняння для амплітудної функції у випадку неоднорідного стержня (19), було записано функціональне співвідношення

(20)

Добутки рядів, які входять в (20) були перерозкладені по повній ортогональній на системі функций вихідної задачі

(21)

Коефіцієнти перерозкладення и знаходились за допомогою формул

(22)

де

Після досить громіздких перетворень одержано нескінчену систему однорідних алгебраїчних рівнянь

(23)

де

, (24)

при .

Корені детермінанту системи (24) визначають власні частоти повздовжніх коливань неоднорідного стержня. Підставляючи чисельні значення , знайдені за допомогою формули (17) у записану систему, з урахуванням виразів (24), отримано чисельні значення спектрів власних частот коливань неоднорідного стержня. Якщо не враховувати позадіагональні елементи визначника системи рівнянь (23), корені частотного детермінанта можна знайти з системи алгебраїчних рівнянь

=, (25)

В другому підрозділі , обраховуючи різницю частот для елементів з локальною неоднорідністю і частот коливань ідеальних елементів цієї ж геометрії і щільності матеріалу, які визначаються співвідношенням , було отримано не вироджену алгебраїчну систему рівнянь N-го порядку відносно коефіцієнтів ряду Фур‘є, якими наближено неоднорідність. Вони з високою точністю співпали з завчасно відомими коефіцієнтами Фур‘є для прямої задачі

= (26)

Ці рівняння є базовими рівняннями методу низькочастотної томографії. Наближення для визначення дефекту методом низькочастотної томографії для =1/3 показане на рис.3. На графіку зображені: ступінчата залежність (істинна, за формулою (10)) і томографічне поновлення неоднорідності з урахуванням , знайдених з (26). Параметри задачі вибиралися такими ж , як і в попередньому підрозділі.

Рис. 3

У четвертому розділі для того, щоб пересвідчитись в ефективності розглянутого методу низькочастотної томографії, було проведено експериментальне дослідження повздовжніх коливань п‘єзокерамічного стержня з діелектрично ізольованим електродним покриттям на частині поверхонь. Вважалось, що поза цією ділянкою робочі електроди навантажувалися генератором напруги змінної частоти. Відділений електрод моделює зміну пружних властивостей п‘єзостержня (рис. 4).

Рис. 4

Розглядався п‘єзокерамічний стержень, довжина якого значно більша ніж його ширина і товщина . При цьому, якщо участки 1 і 3 п‘єзостержня живлені генератором напружень з круговою частотою підводу різниці потенціалів , електричні граничні умови для електростатичного потенціалу записуються у вигляді

(27)

В наближенні прикладної теорії стержнів записано повну одномірну систему диференційно-алгебраїчних співвідношень, які описують електропружні процеси в п‘єзооб‘єкті, який розглядається. Ці рівняння будуються на основі прикладной теорії электропружності (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость.-К.: Наукова думка, 1989.-280 с.) і мають наступний вигляд:

(28)

де - пружня податливість, - п‘єзомодуль , - діелектрична проникність. Розв‘язки рівнянь (28) подані у вигляді

(29)

В припущені прикладної теорії потенціали () змінюються по товщині стержня за лінійним законом, отже для їх амплітудних характеристик отримані вирази

, , , (30)

де амплітудна різниця потенціалів на другому участку залишається невідомою сталою. Для амплітуд механічних напружень з урахуванням (28) маємо вирази

; (31) .

Слд зауважити, що рівняння для знаходження амплітудної функції в областях 1-3 стержня однакові, а урахування неоднорідності переноситься на граничні умови. Для знаходження амплітудних функцій , були записані умови спряження розв‘язків, та гранична умова на правому торці стержня.

; (32)

Розв‘язки рівнянь для знаходження амплітудної функції , на ділянках 1-3 представляються у вигляді

(33)

У вигляді аналогічних співвідношень подаються вирази для напружень. Для ділянки з відділеним електродом 2 записана умова відсутності суммарного заряду , яка має вигляд

. (34)

З урахуванням умов спряження і граничної умови на торці , отримано систему п‘яти алгебраїчних рівнянь, нетривіальний розв‘язок якої знаходимо з умови рівності нулю її визначника. Значення вихідного потенціалу , яке входить в отриману систему, знаходилось при цьому з умови (34)

(35)

де

(36)

Прирівнюючи нулеві, отримуємо трансцендентне рівняння для знаходження резонансних частот коливань стержня у вигляді

, (37)

де , . Зазначимо, що у випадку, коли , отримуємо відоме частотне рівняння стержня з суцільними електродами

(38)

Корені рівняння (37) знаходились чисельно для відносного розміру , матеріалу кераміки з повздовжнім коефіцієнтом електромеханічного зв‘язку рівним .

В проведеному експерименті для п‘єзокерамічного стержня см, см, см () вдалось з високою точністю виміряти перші шість частот власних коливань. На цих же модах коливань було проведено виміри власних частот коливань стержня з суцільними робочими електродами (однорідний стержень). Користуючись наведеною раніше в третьому розділі системою рівнянь для коефіцієнтів ряду Фур‘є в задачі повздовжніх коливань стержня (26), по різниці відповідних частот для п‘єзостержня з відділеним електродом і з суцільними, було знайдено шість коефіцієнтів ряду Фур‘є для неоднорідності. По їх значеннях поновлено неоднорідність п‘єзостержня, яка чітко вказує місце розташування відділеного електроду і його розмір (рис.5). Таким чином, достовірність результатів дисертації була підтверджена в цьому розділі експериментальними даними та строгими математичними обрахунками.

Рис. 5

У п‘ятому розділі проілюстрована ефективність розвинутого методу на прикладі задач згинних коливань стержня з неоднорідністю (рівняння 4-го порядку в частинних похідних).

Рис. 6

У першому підрозділі розглядається задача про згинні коливання стержня з шарнірно закріпленими торцями (рис.6). Слід відзначити, що побудова розв‘язку повністю аналогічна розглянутому випадку повздовжніх коливань стержня.

Згинні коливання відносно амплітудної функції описуються таким рівнянням

, (39)

де ,, а згинна жорсткість була задана наступним співвідношенням

(40)

Подання неоднорідності модуля пружності у цьому випадку також у вигляді (16), дозволило одержати нескінченну систему однорідних алгебраїчних рівнянь

, (41)

( ; ; ).

корні детермінанту якої визначають власні частоти коливань неоднорідного стержня. Аналогічно випадку повздовжніх коливань записана також система рівнянь діагонального вигляду.

Згідно методу низькочастотної томографії було отримано систему алгебраїчних рівнянь N-го порядку (N20) відносно коефіцієнтів ряду Фур‘є для неоднорідності

=. (42) .

Експериментальними даними для частот коливань є розв‘язки системи рівнянь діагонального вигляду. Розв‘язки рівнянь (42) також з високою точністю співпали з завчасно відомими коефіцієнтами Фур‘є для прямої задачі.

В другому підрозділі розглянуто випадок консольного закріплення стержня. Знайдено розв‘язок прямої задачі, коли шукана неоднорідність подається відрізком ряду Фур‘є по нормованим функціям Крилова , які мають вигляд

. (43)

Вдалось отримати в явному вигляді коефіцієнти резонансного визначника N-го порядку, беручи інтеграли від потрійних добутків власних функцій на інтервалі зміни останніх

, (44)

де - коефіцієнти ряду Фур‘є прямої задачі, мають дуже громіздкий вигляд і не приводяться. Відзначимо, що для і =1 и дорівнюють 1.875 ; для і =2 вони приймають значення 4.694. Для , , і знаходяться за допомогою формул

. (45)

Беручи різниці чаcтот для прямої задачі, у випадку однорідного і неоднорідного стержня, було отримано систему алгебраїчних рівнянь N-го порядку (N~20) відносно коефіцієнтів ряду Фур‘є для неоднорідності

= (46)

Подано графіки поновлення дефекту.

ВИСНОВКИ

Таким чином, в дисертації подано в завершеній формі математичні основи методу низькочастотної томографії, який базується на представленні локальної неоднорідності скінченим відрізком ряду Фур‘є з невідомими коефіцієнтами. Побудовано точні розв‘язки задач власних повздовжніх і згинних коливань стержня зі ступінчатою неоднорідністю, а також задачі поперечних коливань струни, коли дефект вибирався у вигляді фінітної функції.

Ефективність розвинутого методу проілюстрована на конкретних прикладах повздовжніх коливань стержня з неоднорідністю (рівняння 2-го порядку в частинних похідних) та згинних коливань стержня, що містить неоднорідність пружних властивостей (рівняння 4-го порядку в частинних похідних). Беручи різниці частот для кожної з вказаних вище прямих задач, було отримано системи алгебраїчних рівнянь N-го порядку (N~20) відносно коефіцієнтів ряду Фур‘є для неоднорідності. Розв‘язки цих рівнянь з високою точністю співпали з завчасно відомими коефіцієнтами Фур‘є для неоднорідності прямих задач. Тому ці алгебраїчні рівняння було покладено в основу розв‘язання обернених задач для елементів з локалізованою неоднорідністю. Вони є базовими рівняннями методу низькочастотної томографії. Подано графіки поновлення дефекту в задачах згинних коливань струни, повздовжніх коливань стержня та двох задач згинних коливань стержня (шарнірне і консольне закріплення торців).

Щоб пересвідчитись в ефективності методу, було виконане експериментальне дослідження повздовжніх коливань п‘єзокерамічного стержня з неоднорідністю, яка виникає внаслідок відокремлення діелектричним проміжком частини електродного покриття від робочих електродів. В експерименті вдалось надійно виміряти лише шість резонансних частот коливань як для п‘єзостержня з суцільним електродним покриттям, так і для зразка з відокремленими електродами. По їх значеннях поновлено неоднорідність п‘єзостержня, яка чітко вказує місце розташування відокремлених електродів і досить точно визначає довжину проміжків, на яких вони розташовані.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Основний зміст дисертації відображено в таких публікаціях:

1. Юрченко М.Є. Вплив теплової неоднорідності на деформування тонкої кругової циліндричної оболонки //Вісник Київського університету, Сер.:фіз.-мат. Науки.-1999.-Вип.4.-С.67-71.

2. Юрченко М.Є. Резонансний метод визначення локальної неоднорідності пружних властивостей стержня // Вісник Київського університету, Сер.:фіз.-мат. Науки.-2001.-Вип.3.-С.152-161.

3. Юрченко М.Є. Резонансний метод визначення локальної неоднорідності пружних властивостей при згинних коливаннях стержня // Вісник Київського університету, Сер.:фіз.-мат. Науки.-2002.-Вип.2.-С.148-155.

4. Юрченко М.Є. Резонансний метод визначення локальної неоднорідності пружних властивостей при повздовжніх та згинних коливаннях стержня //Акустичний вісник.-2003.-Т.5, № 4.-C.51-60.

5. Юрченко М.Є. Резонансний метод визначення локальної неоднорідності пружних властивостей стержня //Труди II Всеукраїнської наукової конференції з математичних проблем механіки .- Дніпродзержинськ-2002.-С.119.

6. Юрченко М.Є. Резонансний метод визначення локальної неоднорідності пружних властивостей при згинних коливаннях стержня // Труди VI Міжнародної наукової конференції: “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”.-Львів-2003.-С.20.

7. Юрченко М.Е. , Никитенко В.Н. Определение неоднородности упругих свойств пьезокерамического стержня в месте расположения диэлектрически отделенной части электродного покрытия методом низкочастотной томографии // Акустичний симпозіум : “Консонанс – 2003”.- Київ-2003.-С.39.

АНОТАЦІЇ

Юрченко М.Є. Виявлення неоднорідності пружних властивостей тонкостінних елементів по зміні резонансних частот повздовжніх та згинних власних коливань (метод низькочастотної томографії).-Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена виявленню неоднорідності пружних властивостей елементів конструкцій так званим методом низькочастотної томографії. Узагальнюючи результати попередніх досліджень, автором подано в завершеній формі математичні основи розглянутого методу. Подано повну (не діагональну) систему рівнянь для коефіцієнтів відрізку ряду Фур‘є, яким наближається шукана неоднорідність. Цей результат є наслідком ретельного аналізу прямих задач та введення союзних до нормальних мод коливань повних ортогональних систем функцій. Достовірність результатів підтверджена експериментальним дослідженням повздовжніх коливань п‘єзокерамічного стержня з неоднорідністю, яка виникає внаслідок відокремлення діелектричним проміжком частини електродного покриття від робочих електродів. В експерименті вдалось з високою точністю виміряти перші шість частот власних коливань як для п‘єзостержня з суцільним електродним покриттям, так і для зразка з відокремленими електродами. Подано графіки поновлення дефекту.

Ключові слова: неоднорідність пружних властивостей, обернені задачі коливань, низькочастотна томографія, п‘єзокерамічні матеріали.

Yurchenko M. Е. Eduction of henerogeneity of elastic properties of thin-walled elementі by the change of resonsnce frequency longitudinal and flexural natural vibrations (method of low-frequency tomography). – Manuscript.

Dissertation for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the specialty 01.02.04-mechanics of deformable solids. Taras Shevchenko University, Kyiv, 2003.

Dissertation thesis is concerned with eduction of heterogeneity of elastic properties of construction elements by so called method of low-frequency tomography. Generalizing the results of preconceptual study the author gives mathematical basics of the considered method in the accomplished form. The author represents full (not diagonal) set of eguations for the coefficients of truncated Fourier series to which target heterogeneity is approximating. This result is concequece of thorough analysis of primal problems and introduction of allied to normal modes of vibrations of full orthogonal systems of functions. Adequancy of results was verified by experimental research of longitudinal vibrations of piezoelectric ceramic rod with heterogeneity. Which appears as a result of separation by dielectric gap of the part of electrode coating from operating electrodes. In the experiment the author managed to measure with high degree of accuracy the first six frequencies of natural vibrations for piezo rod as well as for the sample with separated electrodes. The plots of defect renovation are enclosed.

Key words: heterogeneity of elastic properties, inverse problems of vibrations, low – frequency tomography, piezoelectric ceramic materials.

Юрченко М.Е. Выявление неоднородности упругих свойств тонкостенных элементов по изменению резонансных частот продольных и изгибных собственных колебаний (метод низкочастотной томографии).-Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2003.

Диссертационная работа посвящена выявлению неоднородности упругих свойств элементов конструкций методом низкочастотной томографии. Указанный метод основан на измерении начальных частот собственных колебаний элементов (приблизительно 20 частот колебаний) с дефектом и сопоставление их с соответствующими частотами такого же элемента без дефекта. При этом считалось, что последние заранее известны. В основу метода положено представление дефекта отрезком ряда Фурье с неизвестными коэффициентами (приблизительно 20 членов ряда). Задача состояла в том, чтобы по сопоставлению частот колебаний тонкостенных элементов с неоднородностью и идеальных по геометри и структуре образцов, найти месторасположение неоднородности и ее приблизительный размер.

Исходя из различных видов закрепления торцов в случае продольных и изгибных колебаний стержня с локальной неоднородностью упругих свойств, дефект выбирался в виде некоторой кусочно-непрерывной функции, а в задаче о поперечних колебаниях неоднородной струны – в виде финитной функции., для того, чтобы удовлетворить условиям точного решения обратной задачи. Построены точные решения прямых задач собственных продольных и изгибных колебаний стержня со ступенчатой неоднородностью. Найдены решения указанных прямых задач в случае, когда неоднородность представлена отрезком ряда Фурье по союзным системам собственных функций. Удалось получить в явном виде коэффициенты резонансного определителя N – го порядка, путем нахождения интегралов от тройного произведения собственных функций на интервале их изменения.

Получены невырожденные системы однородных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ряда Фурье для неоднородности.. Решения этих уравнений с высокой точностью совпали з известными коэффициентами Фурье для прямой задачи. Эти уравнения были использованы для решения обратных задач для элементов с локальной неоднородностью. Удалось в отличии от работ ряда американських авторов определить коэффициенты ряда Фурье с четными номерами, а также распространить рассматриваемый метод на задачи изгибных колебаний.

Для подтверждения полученных теоретических положенений, было выполнено экспериментальное исследование продольных колебаний пьезокерамического стержня с неоднородностью, которая возникает вследствие отделения части электродного покрытия от рабочих электродов диэлектрическими промежутками. Надежно удалось измерить шесть резонансных частот колебаний пьезостержня как в случае сплошных, так и в случае образца с отделенными электродами. Используя полученные в работе результаты, удалось восстановить дефект – указать месторасположение отделенных электродов и достаточно точно определить длину промежутков, на которых они расположены.

Эффективность рассматриваемого метода подтверждена на конкретных примерах продольных колебаний стержня с неоднородностью (уравнения второго порядка в частных производных) и изгибных колебаний стержня с неоднородностью упругих свойств (уравнения четвертого порядка в частных производных). Представлены графики томографического восстановления дефекта в задачах поперечных колебаний струны, продольных и изгибных колебаний (шарнирное и консольное закрепление) стержней.

Ключевые слова: неоднородность упругих свойств, обратные задачи колебаний, низкочастотная томография, пьезокерамические материалы.