Придніпровська державна академія будівництва та архітектури

Запорожець Олена Вікторівна

УДК 539.3:624.074.435:624.073

АНАЛІЗ НА ОСНОВІ МЕТОДА СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ОСЕСИМЕТРИЧНОГО ДЕФОРМУВАННЯ ТОНКИХ ПРУЖНИХ КОНІЧНИХ ОБОЛОНОК І ПЛАСТИН

Спеціальність 05.23.17 – Будівельна механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Дніпропетровськ – 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури (ПДАБтаА), Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор технічних наук, професор Красовський Василь Леонідович, Придніпровська державна академія будівництва та архітектури, завідуючий кафедрою будівельної механіки та опору матеріалів.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Грищак Віктор Захарович, Запорізький державний університет, професор кафедри прикладної математики, проректор з науково-дослідної роботи та міжнародного співробітництва;

кандидат технічних наук, професор Дем’яненко Анатолій Григорович, Дніпропетровський державний аграрний університет, професор кафедри теоретичної механіки та опору матеріалів.

Провідна установа:

Дніпропетровський національний університет, кафедра обчислювальної механіки та міцності конструкцій, Міністерство освіти і науки України (м. Дніпропетровськ).

Захист відбудеться 17 червня 2004 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.085.02 при Придніпровській державній академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Придніпровської державної академії будівництва та архітектури за адресою: 49600, м. Дніпропетровськ, вул. Чернишевського, 24-а.

Автореферат розісланий 14 травня 2004р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

д.т.н., професор Кваша Е.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У практиці сучасного будівництва та машинобудування в якості відповідальних силових елементів різних конструкцій широко використовуються пружні тонкі круглі пластини та конічні оболонки. Це елементи перекритть, покрівель і фундаментів будівель циліндричної форми, днища та покрівлі циліндричних резервуарів, елементи різноманітних посудин, бункерів і т. ін.

Для розглядуваних тонких пластин та оболонок, поведінка яких описується в рамках лінійної теорії, основні властивості їх напружено-деформованого стану (НДС) під дією різноманітних навантажень вивчено досить докладно. Є відповідні аналітичні розв'язання, які дозволяють визначити практично усі компоненти їх НДС. Для аналогічних пластин і оболонок, розташованих на малозв'язних основах, деякі питання, зв'язані з визначенням усіх компонентів НДС, належним чином не вивчені, тому що для їх визначення використовуються наближені методи. У той же час, точність визначення НДС безпосередньо впливає на матеріалоємність конструкцій, їх довговічність та економічність.

У нелінійній постановці для гнучких круглих пластин і конічних оболонок задачі їх деформування вивчено недостатньо, що обумовлено складністю або й неможливістю отримання більш-менш точних аналітичних розв'язань, придатних для практичного використання. Для дуже обмеженої кількості пластин та оболонок без основи такі розв'язання є тільки для деяких простих випадків навантажень. В більш складних випадках, наприклад, при наявності основи, а тим більше неоднорідностей в навантаженні чи основі, аналітичні розв'язання, які забезпечують достатню точність визначення усіх необхідних компонентів НДС, відсутні. При розв'язанні подібних задач має сенс використовувати числові методи. Найбільш розробленим та ефективним для розв'язання задач такого класу є метод скінченних елементів (МСЕ).

Дана робота присвячена розробці осесиметричних скінченних елементів на пружній основі та аналізу за допомогою МСЕ нелінійного та лінійного осесиметричного деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на однорідних і неоднорідних основах, так і без основи. Розглянуто складні та прості випадки навантажень при різних закріпленнях пластин та оболонок. Сказане й обумовлює актуальність обраної теми роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація узагальнює результати досліджень автора у галузі пластин та оболонок, які виконувались на кафедрі будівельної механіки та опору матеріалів ПДАБтаА у 1999-2004 рр. Дослідження проводились у рамках фундаментальних і прикладних держбюджетних (Програми Міністерства освіти і науки України за напрямком 04 "Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології", номери держ. реєстрації 01100U003689, 1999-2001 рр.; 0102U002364, 2002 і 2003 рр.; 0102U006356, 2002 і 2003 рр.) та госпдоговірної („Аналіз напружено-деформованого стану пластини складної структури”, ПДАБтаА, № 529, 2003 р.) науково-дослідних робіт. В усіх роботах здобувач виступав у якості виконавця: приймав участь у доборі та аналізі літературних джерел, розробляв скінченні елементи, складав програми для розрахунків на ЕОМ та виконував розрахунки.

Мета і задачі дослідження. Головною метою роботи є розробка осесиметричних скінченних елементів на пружній основі та аналіз на їх основі задач нелінійного та лінійного осесиметричного деформування тонких пружних круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на основі, так і без основи.

Задачі дослідження:

1. Розробити конічний, круглий та кільцевий скінченні елементи на пружній основі, які дозволяють розв'язувати задачі нелінійного та лінійного осесиметричного деформування тонких пружних конічних оболонок, кільцевих і круглих пластин, як розташованих на основі, так і без основи.

2. Оцінити точність розрахунків і ефективність запропонованих елементів на основі порівняння з результатами, отриманими за відомими аналітичними та числовими розв'язаннями, і даними експериментів.

3. Виконати аналіз впливу на НДС круглих гнучких та жорстких пластин, розташованих на малозв'язній основі, таких факторів: величини та виду навантажень, типу закріплень, характеристик основи, виду в'язі між пластиною та основою.

4. Вивчити НДС пологих конічних оболонок при різних навантаженнях і закріпленнях на докритичних та закритичних стадіях деформування, а також виявити вплив на НДС оболонок характеристик основи.

Об'єкт дослідження - тонкі круглі пластини і конічні оболонки постійної та змінної товщини на пружній основі та без основи.

Предмет дослідження - процес геометрично нелінійного та лінійного деформування тонких пружних конічних оболонок і круглих пластин, як розташованих на пружній основі, так і без основи.

Теорії і методи дослідження: геометрично нелінійна та лінійна технічні теорії оболонок і пластин; метод скінченних елементів; метод Ньютона; метод послідовних наближень.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Отримано скінченні елементи, які при розв'язанні задач осесиметричного деформування конічних оболонок і круглих пластин дозволяють врахувати основу, не збільшуючи кількості невідомих переміщень. Коефіцієнт постелі основи усередині елемента може бути постійним або змінним. Такий підхід до врахування основи при побудові скінченних елементів для гнучких круглих пластин та конічних оболонок раніше не застосовувався.

2. Коефіцієнти усіх матриць для скінченних елементів отримано при точному аналітичному інтегруванні (звичайно ці коефіцієнти отримують числовим інтегруванням). При цьому побудовано додаткові матриці, необхідні для розв'язання систем нелінійних рівнянь методом Ньютона (при побудові більшості відомих розв'язань використовуються більш прості у реалізації методи розв'язання систем нелінійних рівнянь). Усе це дозволило: а) забезпечити необхідну точність обчислень при використанні порівняно невеликої кількості скінченних елементів; б) виключити особливості, які виникають при визначенні матриць жорсткості для центрального круглого елемента пластини.

3. Сформульовано та розв'язано задачі визначення НДС при осесиметричному деформуванні гнучких і жорстких круглих пластин та конічних оболонок (постійної та ступінчасто змінної товщини), розташованих на малозв'язних неоднорідних та однорідних основах. При цьому враховано можливість порушення контакту між пластиною чи оболонкою та основою. У такій постановці задачі розв'язано вперше.

Практичне значення отриманих результатів полягає у наступному:

1. Розроблено апарат, який при розв'язанні осесиметричних задач дозволяє: а) розглядати тонкі конічні оболонки та круглі пластини постійної і змінної товщини при різних навантаженнях та закріпленнях, як розташовані на пружній однорідній чи неоднорідній основі, так і без основи; б) розглядати як двобічну, так і однобічну в'язь між пластиною чи оболонкою та основою.

2. Складено програми для розрахунків на ЕОМ, які дозволяють визначити усі компоненти НДС різноманітних круглих пластин і конічних оболонок.

3. Надано рекомендації відносно вибору потрібної кількості скінченних елементів для досягнення необхідної точності при визначенні різних компонентів НДС розглянутих пластин і оболонок.

4. Проведено аналіз впливу параметрів основи на НДС тонких пластин та оболонок при різних навантаженнях.

5. Результати, отримані в дисертації, можуть бути використані в проектній практиці, при проведенні науково-дослідних робіт і в учбовому процесі. Зокрема, вони знайшли застосування в ВАТ "Дніпропроектстальконструкція" при проектуванні нових та перевірних розрахунках існуючих конструкцій (об'єкти комплексів доменних печей комбінатів "Криворіжсталь", "Запоріжсталь"), в НВП "НІТОМ", а також в Придніпровській державній академії будівництва та архітектури при виконанні держбюджетних та госпдоговірних науково-дослідних робіт.

Особистий внесок здобувача. Уся робота здобувачем виконана самостійно, за винятком загальної постановки проблеми та заключного аналізу отриманих результатів

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертації доповідалися, обговорювалися та отримали схвалення на 10-му Українсько-Польському семінарі "Theoretical Foundation of Civil Engineering" (Варшава, Польща, 2002), на другій Всеукраїнській науково-практичній конференції "Україна наукова 2002" (Дніпропетровськ, Україна, 2002), на 5-тій Міжнародній науково-практичній конференції "Наука і освіта 2002" (Дніпропетровськ, Україна, 2002), на 11-му Українсько-Польському семінарі "Theoretical Foundation of Civil Engineering" (Дніпропетровськ, Україна, 2003), на конференції "Стародубівські читання 2003" (Дніпропетровськ, Україна, 2003), на форумі "Інформаційні технології у ХХІ столітті" (Дніпропетровськ, Україна, 2004), на Міжвузівському семінарі "Нелінійні проблеми механіки" (Дніпропетровськ, Україна, 2004), на засіданнях кафедри будівельної механіки та опору матеріалів ПДАБтаА (Дніпропетровськ, Україна, 2000-2004).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 8 друкованих праць, у тому числі статей у фахових виданнях - 6, тез конференцій - 2.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних літературних джерел з 167 найменувань та додатка, у якому наведено документи, що підтверджують упровадження результатів роботи. Загальний обсяг роботи становить 137 сторінок (134 сторінки основного тексту). В дисертації наведено 46 рисунків і 36 таблиць.

Автор вважає своїм приємним обов'язком подякувати к.ф.-м.н., доц. Олександра Олександровича Бобильова за змістовні лекції з методу скінченних елементів, консультації та увагу до цієї роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано вибір теми роботи та її актуальність, сформульовано мету та задачі дослідження, перелічено методи, які використовувались при розв'язанні різноманітних задач деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на пружній основі, так і без основи. Відзначено наукову новизну, теоретичну та практичну значимість отриманих результатів.

У першому розділі дано коротку характеристику сучасного стану проблеми, що розглядається в дисертації. Обґрунтовано доцільність досліджень, проведених у даній роботі.

У другому розділі отримано скінченні елементи, які дозволяють описати осесиметричне нелінійне та лінійне деформування тонких конічних оболонок, кільцевих і круглих пластин, як розташованих на однорідній чи неоднорідній пружній малозв'язній основі, так і без основи.

Основним є скінченний елемент у вигляді зрізаної конічної оболонки на пружній основі (рис.1). З нього, як окремий випадок, шляхом відповідного спрощення матриць отримуються елементи для оболонок і пластин без основи. В’язь між елементами та основою може бути як однобічною, так і двобічною.

Рис.1. Схема конічного скінченного елемента | Основними невідомими є переміщення точки серединної поверхні u і w, відповідно спрямовані по дотичній та нормалі до поверхні оболонки. Кут нахилу твірної до основи

конуса - ц; радіус i-го вузлового кола - Ri; радіус нижньої основи конічної оболонки – R; радіус кола, паралельного основі конуса, - r (0 r R); s=r / cosц; довжина скінченного конічного елемента - l.

Використання такого елемента дозволяє значно зменшити порядок матриць, точно описати геометрію, умови закріплення оболонки, радіальні неоднорідності у навантаженнях та основі, а також суттєво зменшити похибки, які виникають з-за округлення чисел при розв’язанні великих систем рівнянь.

Пружна основа складається з малозв’язного ґрунту, поведінка якого задовільно описується у рамках моделі Вінклера. Інтенсивність зовнішніх сил p=p(s), які діють на елемент в околі розглядуваної точки, складається з інтенсивності заданого навантаження q=q(s) та реактивного тиску основи p*=p*(s)=k*w*, де k* – коефіцієнт постелі основи; w* – переміщення поверхні основи, яке дорівнює переміщенню серединної поверхні елемента w в розглядуваній точці, якщо контакт між елементом і основою не порушено. Таким чином p=q - p*.

Згідно з геометрично нелінійною технічною теорією пружних оболонок, деформації та переміщення зв’язані виразами

, , , . (1)

Вважається, що матеріал елемента має ізотропні властивості, тому вирази для визначення погонних нормальних зусиль (N1, N2) та згинаючих моментів (M1, M2), відповідно в меридіональному та коловому напрямках, мають вигляд

, , , . (2)

Тут , Е – відповідно коефіцієнт Пуассона та модуль пружності матеріалу елемента; h – товщина, а D=Eh3/ [12(1-н2)] – циліндрична жорсткість елемента.

Переміщення усієї системи визначаються скінченним числом вузлових параметрів {д}. В кожному з двох вузлів елемента (i, j) задаються його меридіональне (ui, uj) та поперечне (wi, wj) лінійні переміщення, а також кут повороту (вi, вj). В локальній системі координат переміщення будь-якої точки в межах елемента визначаються таким чином

. (3)

Матриця [N] має вигляд

, (4)

де Ni(L), Nj(L), Mi(L), Mj(L) – базисні функції, що належать до класу поліномів Ерміта:

, , , . (5)

Тут - безрозмірна координата (0 L 1); .

Виходячи з принципу віртуальних робіт, повинна виконуватись рівність

, (6)

де {ш} – сума зовнішніх та внутрішніх узагальнених сил; матриця складається з матриць та ; - матриця, яка містить лінійні компоненти деформацій; - матриця, яка містить нелінійні компоненти деформацій; {у} - вектор напружень; - вектор зовнішніх узагальнених сил; - вектор вузлових сил, обумовлений навантаженнями, незалежними від переміщень; - вектор вузлових сил, обумовлений навантаженнями, що залежать від переміщень (реактивний тиск основи). Таким чином

, , (7)

. (8)

Тут {q} – вектор інтенсивностей розподілених навантажень; і - коефіцієнти постелі основи у вузлах i, j. Вираз (8) відповідає лінійній залежності розподілення коефіцієнта постелі основи в межах елемента.

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь (6) розв'язується за методом Ньютона.

У випадку лінійного деформування при нульовому наближенні вектор приймається рівним нулю й на основі рівнянь (6) знаходиться відповідний розв'язок задачі.

При розгляданні конічних оболонок для пошуку розв’язань, які відповідають закритичному деформованому стану оболонки, в якості нульового наближення використовується вектор

, (9)

де {д}A – вектор переміщень, отриманий для стану оболонки, який відповідає точці, що розташована на діаграмі "навантаження – прогин вершини оболонки" лівіше розв'язання, що відшукується; {д}B - вектор переміщень, отриманий для стану оболонки, який відповідає точці на діаграмі, що розташована правіше розв'язання, що відшукується; kA, kB – коефіцієнти, які обираються у кожному окремому випадку, в залежності від того, на якій гілці діаграми необхідно знайти розв’язання.

Кільцевий та центральний круглий скінченні елементи для тонких пластин отримуються при спрощенні виразів для елемента у вигляді конічної оболонки (ц=0). Крім того, центральний круглий елемент потребує додаткового розгляду. При r=0 повинна виконуватись умова: u=0 і dw/dr=0. Для ненульових коефіцієнтів матриці жорсткості при малих деформаціях вирази, що знаходяться під знаком інтегралу, мають таку структуру, що при використанні числового інтегрування, вони дорівнюють нескінченності. Точне аналітичне інтегрування дозволяє при розкриванні невизначеності 0·8 відійти від нескінченності при визначенні згаданих коефіцієнтів. В подальшому при розгляданні пластин використано загальновизнані для них позначення нормальних зусиль (Nr=N1, N=N2) та згинаючих моментів (Мr=М1, М=М2), відповідно в радіальному та коловому напрямках.

У розділі також наведено коефіцієнти матриць жорсткості, отримані при точному аналітичному інтегруванні, для елементів у вигляді зрізаної конічної оболонки та круглої пластини на пружній основі. Для елементів без основи або при порушенні контакту між ними та основою (випадок однобічної в'язі) використовуються ті ж коефіцієнти матриць, але при цьому в них коефіцієнт постелі основи треба покласти рівним нулю.

У випадку однобічної в'язі між розглядуваною конструкцією та пружною основою задача розв'язується за допомогою методу послідовних наближень. У якості першого наближення приймається розв'язання, отримане при двобічній в'язі. В наступних наближеннях у вузлах, де спостерігається розтяг основи, основа повинна виключатися з роботи. Процес повторюється до тих пір, доки у двох послідовних наближеннях зони контакту основи та конструкції не будуть рівними між собою.

У третьому розділі проведено тестування отриманих скінченних елементів шляхом розв'язання відомих задач, котрі мають точне аналітичне або числове розв'язання, отримане іншим методом, а також порівнянням з експериментальними даними. Розрахунки проводились при різній кількості скінченних елементів. Цілком зрозуміло, що необхідна кількість розглядуваних скінченних елементів при розв'язанні кожної задачі повинна встановлюватись індивідуально, бо вона суттєво залежить від обраної моделі, яка описує поведінку конструкції, умов закріплення та виду навантаження, а також від того, які фактори необхідно визначити та дослідити в результаті розрахунку. Для розглянутих пластин надано деякі рекомендації по необхідній кількості елементів.

Результати розрахунків МСЕ різних жорстких круглих і кільцевих пластин постійної та змінної товщини під дією різноманітних навантажень порівнювалися з результатами, отриманими з відомих точних аналітичних розв'язань лінійних задач згину, наведених у роботах В.Л. Бідермана, Д.В. Вайнберга та Є.Д. Вайнберга, О.І. Теребушка, С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера. Для перевірки правильності врахування основи проведено ряд розрахунків круглих пластин, розташованих на основі Вінклера. Результати розрахунків МСЕ порівнювалися з результатами, наведеними в роботах С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера, М.І. Горбунова-Посадова (розрахунок Ф. Шлейхера). Для різних гнучких круглих пластин результати розрахунків МСЕ порівнювалися з наступними результатами: а) отриманими при використанні наближених аналітичних розв'язань, наведених у роботах А.С. Вольміра, С.П. Тимошенка та С. Войновського-Кригера; б) отриманими Ч. Бертом і Д. Мартіндейлом при уточненні наближеного розв'язання С.П. Тимошенка; в) отриманими на основі таблиць М.С. Корнішина та Ф.С. Ісанбаєвої, створених за допомогою методу скінченних різниць (МСР); г) експериментів Ю.Г. Конопльова та А. Макферсона, В. Рамберга, С Леві. Так, Ч. Берт і Д. Мартіндейл навели приклади розрахунку жорстко защемленої круглої пластини з R=2,54 м; h=1,27 см; E=203 ГПа та =0,3. На пластину діє рівномірно розподілене навантаження інтенсивності Qпр=qR4/(Eh4). Для центра пластини визначалися прогини (w) та нормальні напруження від згину на нижній поверхні пластини (уr). Деякі результати розрахунків наведено в таблиці 1.

Таблиця 1

Прогини та нормальні напруження

Джерело | Qпр=5,517 | Qпр=114,7

w, мм | уr , МПа | w, мм | уr , МПа

Ч. Берт, Д. Мартіндейл | 9,235 | 9,721 | 37,39 | 24,58

МСЕ | 9,242 | 9,723 | 37,59 | 24,95

В таблиці 2 наведено результати розрахунку МСЕ та МСР (за даними М.С. Корнішина та Ф.С. Ісанбаєвої) жорстко защемленої круглої пластини з R=1 м, h=4 мм, E=200 ГПа та =0,3 (рис.2). На

Рис.2. Схема навантаження | пластину одночасно діють рівномірно розподілені навантаження інтенсивностей q=563,2 Па та q*=57,02 Н/м. Радіус кола, що обмежує зону дії навантажень, - b*=0,5625 м.

Таблиця 2

Прогини, згинаючі моменти та нормальні зусилля

Метод | В центрі пластини | В защемленні

w, мм | Mr=Mи , Н.м/м | Nr=Nи , кН/м | Mr , Н.м/м | Mи , Н.м/м | Nr , кН/м | Nи , кН/м

МСР | 3,232 | 22,87 | 8,666 | -21,25 | -6,374 | 3,750 | 1,125

МСЕ | 3,254 | 22,99 | 8,743 | -21,26 | -6,377 | 3,793 | 1,138

На рис.3 безперервною лінією наведено експериментальні дані, отримані Ю.Г. Конопльовим при випробуванні шарнірно закріпленої круглої пластини, а чорними кружечками – результати розрахунку МСЕ. Матеріал пластини – дюралюміній Д-16АТ ГОСТ 4977-52 з Е=71·ГПа та =0,31.

Рис.3. Епюра прогинів пластини | Пластину з h=1,9 мм і R=110 мм завантажено силою F=100 Н, рівномірно розподіленою по колу радіуса b*=55 мм.

Рис.4. Залежності прогину центра пластини від

величини навантаження | На рис.4 лініями наведено експериментальні прогини центрів трьох круглих пластин wпр=w/h під дією рівномірно розподіленого навантаження інтенсивності Qпр=qR4/(Eh4), отримані А. Макферсоном, В. Рамбергом і С. Леві, а чорними кружечками та трикутничками - дані, отримані МСЕ. Пластини жорстко защемлені. Матеріал пластин E та F мав н=0,29, а пластини L - н=0,31.

Проведено розрахунок сталевої (E=200 ГПа, =0,3) тонкої конічної оболонки з жорсткою вставкою (рис.5), поведінка якої задовільно описується лінійною теорією.

Рис.5. Схема оболонки | Оболонка защемлена по контуру та навантажена внутрішнім тиском інтенсивності q=0,1 МПа. Результати розрахунків наведено на рис.6.

Рис.6. Епюри нормальних зусиль і згинаючих моментів

На рис.6 безперервними лініями показано нормальні зусилля та згинаючі моменти (N1, M1) в меридіональному, а пунктирними лініями - нормальні зусилля та згинаючі моменти (N2, M2) в окружному напрямку, отримані МСЕ в роботі І.Ф. Образцова, Л.М. Савельєва та Х.С. Хазанова (використовувались ізопараметричні скінченні елементи першого порядку). Білими та чорними кружечками позначено результати розрахунку МСЕ, основаному на елементах, наведених в дисертації. Чорними та білими трикутничками позначено результати, отримані С.В. Бояршиновим з аналітичних розв'язань. Для зручності зображення згинаючий момент М1 наведено з протилежним знаком.

Для конічної панелі під рівномірним зовнішнім тиском побудовано діаграму рівноважних форм. Поведінка панелі описувалася у рамках геометрично нелінійної теорії. Характер залежностей "навантаження – прогин вершини панелі", наведених в роботі А.С. Вольміра, отриманих при наближеному аналітичному розв'язанні задачі, та за допомогою МСЕ, виявилися подібними.

У четвертому розділі розглянуто круглі жорсткі та гнучкі пластини, розташовані на малозв'язних основах двох типів: перший - основа працює тільки на стиск і контакт між пластиною та основою може порушитись (випадок однобічної в’язі), другий – основа однаково працює як на стиск, так і на розтяг (випадок двобічної в’язі). Досліджено вплив на НДС пластин величин та видів навантажень, умов закріплень і характеристик основи: наявності пустот, змінності коефіцієнта постелі, виду в’язі між пластиною та основою.

Для жорсткої пластини розрахунки виконано на дію навантаження, рівномірно розподіленого по всій поверхні пластини. В усіх випадках в основі не виникали зусилля розтягу. Для пластини, вільно опертої на жорсткий контур, розглянуто випадки, коли коефіцієнт постелі основи в межах пластини постійний або змінний. Неоднорідності, зв'язані зі зменшенням коефіцієнта постелі під частиною пластини, призвели до збільшення прогинів та згинаючих моментів. Для цих випадків більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі під центром пластини. При розгляданні пластини, вільно лежачої на основі зі змінним коефіцієнтом постелі, у випадках коли основа, в цілому, більш піддатлива, переміщення збільшились, а усі згинаючі моменти зменшились за абсолютним значенням. Для розглянутих випадків більш небезпечним є збільшення коефіцієнта постелі під центром пластини. Для жорстко защемленої пластини збільшення коефіцієнта постелі призвело до зменшення прогинів і абсолютних значень згинаючих моментів, навіть якщо цей коефіцієнт змінний. При цьому, більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі основи під центром пластини. Також розглянуто два випадки пустот в основі: під центром защемленої пластини та на віддалі від центру. Поява пустот призвела до збільшення прогинів пластини та до збільшення за абсолютним значенням усіх згинаючих моментів. Більш небезпечним виявився випадок, коли пустота віддалена від центру.

Для гнучких пластин варіювалися властивості основи, вид і величина навантаження.

Для випадків, коли в основі не виникають зусилля розтягу, розглянуто гнучкі пластини жорстко защемлені та вільно лежачі на основі. Для жорстко защемленої пластини, розташованої на основі з постійним коефіцієнтом постелі, при навантажені по всій поверхні рівномірно розподіленим тиском різної інтенсивності зі збільшенням тиску або зменшенням коефіцієнта постелі прогини, нормальні зусилля та згинаючі моменти за абсолютним значенням збільшились. Найбільші прогини виникають не в центрі пластини, а в точках, розташованих на колах радіусу r=0,64 – 0,69 м. Причому, зі зменшенням коефіцієнта постелі r зменшується. Найбільші за абсолютним значенням згинаючі моменти виникають в защемленні, а нормальні зусилля – в центрі пластини. Додатний екстремум для радіальних згинаючих моментів розташовано на колі радіусу r=0,82 – 0,85 м і для колових - r=0,84 – 0,85 м. Зі збільшенням навантаження на пластину, вільно лежачу на основі зі змінним коефіцієнтом постелі, усі величини прогинів, нормальних зусиль і згинаючих моментів збільшились за абсолютним значенням. При збільшенні коефіцієнта постелі переміщення зменшились, а згинаючі моменти та нормальні зусилля збільшились. Виходячи з умови міцності, більш небезпечним є зменшення коефіцієнта постелі під центром пластини, а за переміщеннями більш небезпечне зменшення коефіцієнта постелі на контурі пластини.

Для гнучкої пластини (h=4 мм, R=1 м, =0,3 та Е=200 ГПа), що вільно лежить на основі з постійним коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м3, розглянуто два випадки навантажень, при яких контакт між пластиною та основою може порушитись. Наведено результати розрахунків для однобічної та двобічної в'язі між пластиною та основою.

Рис.7. Схема навантаження пластини для випадку 1 | Випадок 1: на пластину діє рівномірно розподілене по контуру навантаження інтенсивності q*=1 кН/м (рис.7). Результати розрахунків наведено на рис.8 – 10, а, б.

а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь

Рис.8. Переміщення пластини для випадку 1

а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь

Рис.9. Згинаючі моменти в пластині для випадку 1

а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь

Рис.10. Нормальні зусилля в пластині для випадку 1

У першому випадку необхідно враховувати вид в'язі між пластиною та основою, тому що вона суттєво впливає на величини усіх компонентів НДС пластини, а також на характер взаємодії пластини з основою. При однобічній в'язі більша частина пластини не прилягає до основи.

Випадок 2: на пластину одночасно діють три рівномірно розподілених навантаження (рис.11). Навантаження інтенсивностей q* =1 кН/м і М*=0,1 кН·м/м прикладені на контурі пластини, а

Рис.11. Схема навантаження пластини для випадку 2 | навантаження інтенсивності q=5 кПа рівномірно розподілене по всій поверхні пластини. На рис.12,а,б наведено епюри переміщень пластини.

а) однобічна в'язь б) двобічна в'язь

Рис.12. Переміщення пластини для випадку 2

У другому випадку вид в’язі не чинить такого суттєвого впливу, як у першому випадку, на НДС пластини. Як при однобічній, так і при двобічній в'язі тільки невелика частина пластини має від'ємні переміщення і границі зон, де відбувається це явище, практично співпадають. При однобічній в’язі екстремальні значення переміщень, згинаючих моментів і радіальних нормальних зусиль за абсолютною величиною мало відрізняються від відповідних значень при двобічній в’язі. Окружні ж нормальні зусилля відрізняються на величину до 10 %.

У п'ятому розділі досліджено поведінку конічних оболонок, як розташованих на пружній малозв'язній основі, так і без основи. У якості замикаючого елемента (вставки) у вершині оболонок використано пластину. Поведінку оболонок розглянуто у рамках геометрично нелінійної теорії. Наведено випадки, коли контакт між оболонками та основою не порушується і в основі не виникають зусилля розтягу.

Насамперед проведено аналіз деформування конічної оболонки з h=4 мм, R=1 м ц=2є, Е=200 ГПа і н=0,3 під рівномірним зовнішнім тиском (рис. 13).

Рис.13. Схема оболонки | На рис.14 зображено діаграму "навантаження – прогин центра замикаючого елемента" для цієї оболонки. На діаграмі навантаження та переміщення наведено у безрозмірних величинах: Qпр=qR4/(Eh4) і wпр=wо/h, де wо – прогин центра вставки. З діаграми видно, що оболонка втрачає стійкість. Характерні стани оболонки на діаграмі позначено точками A, B, C, D та E.

Процес пошуку розв'язань, які відповідають спадній та висхідній ділянкам діаграми між

Рис.14. Діаграма "навантаження – прогин" | точками A та E, будувався за допомогою методу Ньютона при відповідному виборі початкового наближення. Початковий стан серединної поверхні оболонки та її деформовані стани при різних значеннях зовнішнього тиску, які відповідають точкам A,

B, C, D та E, зображено на рис. 15.

Рис.15. Деформовані стани оболонки

На рис.16 - 19 наведено епюри нормальних зусиль N1, N2 та згинаючих моментів M1, M2 для різних станів оболонки, які відповідають точкам A, B, C, D та E.

Рис.16. Нормальні зусилля N1 | Рис. 17.Нормальні зусилля N2

Рис.18. Згинаючі моменти M1 | Рис.19. Згинаючі моменти M2

З наведених даних видно, що при переході з стану A в стан E, через стани B, C і D, спостерігається тенденція до зростання за абсолютними значеннями максимальних прогинів. При цьому переході положення максимального прогину зміщується до вершини оболонки. Та ж тенденція спостерігається й для максимальних за абсолютними значеннями нормальних зусиль і згинаючих моментів.

В дисертації наведено значення найбільших прогинів, найбільших за абсолютними значеннями нормальних зусиль та згинаючих моментів, а також координати перерізів, у яких виникають згадані величини.

Для тієї ж оболонки, але розташованої на пружній основі з постійним коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м3, розглянуто процес деформування при зовнішньому тиску. Побудовано діаграму "навантаження – прогин центра замикаючого елемента" (рис.20). Для розглянутої оболонки, розташованої на основі, на відміну від оболонки без основи (рис.14), на діаграмі немає граничної точки. Тобто відсутня втрата стійкості у вигляді проклацування оболонки до нового стійкого стану. Діаграма на рис.20 має тільки точку перегину.

Рис.20. Діаграма "навантаження – прогин" | Для цієї ж оболонки проведено розрахунки при рівномірному фіксованому тиску q=10 кПа. Досліджено вплив на НДС зміни коефіцієнта постелі. У випадку постійного коефіцієнта постелі його збільшення призвело до зменшення переміщень і абсолютних значень нормальних зусиль та згинаючих моментів в оболонці. При цьому, чим більший цей коефіцієнт, тим ближче

до нижньої кромки оболонки розташовуються максимуми переміщень та зусиль. При змінному коефіцієнті постелі немає єдиної закономірності у зміні величин переміщень та зусиль.

Також проведено розрахунок днища сталевого вертикального циліндричного резервуару для зберігання нафтопродуктів об’ємом 10000 м3. При проектуванні днище, як правило, не розраховують і товщини листів приймають конструктивно. Розрахункову схему днища наведено на рис.21. Матеріал днища - сталь з Е=200 ГПа та ?=0,3. Матеріал основи - пісок середньої крупності з коефіцієнтом постелі k*=50 МН/м3. Вершина оболонки представлена у вигляді круглої

Рис.21. Розрахункова схема днища вертикального циліндричного резервуару об'ємом 10000 м3 | пластини радіусу 0,3 м. Величини навантажень М* і Р* визначені за наближеною методикою, яка використовується для розрахунку з’єднання днища зі стінкою. При

цьому, товщина вертикальної стінки резервуару - 14 мм. Розглянуто два найбільш типових випадки навантаження при осесиметричній деформації. Випадок 1: діє тільки вертикальне рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q*=15,04 кН/м, утворене вагою стінки та покрівлі; випадок 2: діють рівномірно розподілені навантаження: а) від ваги стінки та покрівлі інтенсивності q*=15,04 кН/м; б) згинаючий момент інтенсивності M*=1,820 кН·м/м та сила інтенсивності P*=25,72 кН/м, які враховують сумісну роботу стінки резервуару та його днища; в) гідростатичний тиск, який змінюється в радіальному напрямку за лінійним законом: від 106,6 кПа в центрі до 110 кПа в місці примикання стінки до днища (резервуар заповнено водою на висоту 11 м від нижньої відмітки стінки). Розрахунки показали, що небезпечним є другий випадок. Як і слід було вважати, найбільші зусилля виникають в районі кріплення стінки з днищем. Більша частина днища з товщиною 6 мм знаходиться в напруженому стані, близькому до безмоментного. Також визначались еквівалентні напруження за IV теорією міцності. Найбільші еквівалентні напруження виникають в місці стику стінки з днищем: у першому випадку це 1,97 МПа, у другому - 131,6 МПа. У другому випадку в центрі днища еквівалентні напруження складають 11,3 МПа, в районі стику основних листів днища (h=6 мм) з листами окрайків (h=8 мм) найбільші еквівалентні напруження складають: для листів з h=6 мм - 47,81 МПа та для листів з h=8 мм - 27,01 МПа. Наведені результати розрахунків днища є наближеними, тому що дійсну картину НДС днища можна отримати тільки при розгляданні сумісної роботи покрівлі, стінки та днища резервуару. Однак отримані результати свідчать про те, що в днищі є великий запас міцності.

ВИСНОВКИ

Основні наукові та практичні результати, отримані на основі проведених досліджень, полягають у наступному:

1. Отримано скінченні елементи, які при розв'язанні осесиметричних задач дозволяють:

· розглядати лінійний та нелінійний процес деформування тонких конічних оболонок, круглих і кільцевих пластин постійної та змінної товщини при різних навантаженнях та умовах закріплення, як розташованих на пружній основі, так і без основи;

· врахувати основу, не збільшуючи кількості невідомих переміщень;

· розглядати як двобічну, так й однобічну в’язь між оболонками, пластинами та основою;

· точно описати у радіальному (меридіональному) напрямку геометрію, умови закріплення круглих, кільцевих пластин і конічних оболонок, а також неоднорідності навантажень і основ;

· не застосовувати розбиття на скінченні елементи в окружному напрямку, що значно зменшує потрібну кількість елементів, порядок матриць, а отже й похибки, які виникають з-за округлень чисел при розв'язанні систем рівнянь.

2. Використано аналітичне інтегрування при отриманні коефіцієнтів матриць жорсткості, що дозволило:

· забезпечити необхідну точність обчислень при використанні порівняно невеликої кількості скінченних елементів;

· виключити особливості, які виникають при визначенні коефіцієнтів матриць жорсткості для центрального круглого елемента пластини.

3. Необхідна кількість скінченних елементів при розв'язанні кожної задачі повинна встановлюватись індивідуально, тому що вона суттєво залежить від обраної моделі, яка описує поведінку конструкції, умов закріплення та виду навантаження, а також від того, які фактори необхідно визначати та досліджувати в результаті розрахунку. Для розглянутих оболонок і пластин вказано кількість елементів, яка забезпечує отримання достовірних результатів.

4. Розрахунок тестових прикладів, а також порівняння результатів розрахунків з експериментальними даними свідчать про високу точність результатів розрахунків на основі запропонованих скінченних елементів.

5. Виконано аналіз впливу на НДС круглих гнучких і жорстких пластин, розташованих на малозв'язній основі, таких факторів:

· величини та виду навантажень;

· характеристик основи (основа однорідна або має неоднорідності різної природи: пустоти під частиною пластини, змінний коефіцієнт постелі);

· виду в'язі між пластиною та основою.

6. Вивчено НДС пологих конічних оболонок при різних навантаженнях і умовах закріплення на докритичних та закритичних стадіях деформування, а також виявлено вплив на НДС характеристик основи.

7. Наведені приклади розрахунків ілюструють ефективність отриманих скінченних елементів для розв'язання багатьох задач осесиметричного згину різноманітних тонких круглих пластин і конічних оболонок.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

За результатами дисертації опубліковано 8 робіт, а саме:

а) статті:

1. Запорожец Е.В., Красовский В.Л. Расчет методом конечных элементов осесимметричного изгиба пластин на упругом основании // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. – Дніпропетровськ: ПДАБтаА. - 2002. - №5. – С. 16-23. (Авторові належать отримання скінченних елементів та розв'язання задач на ЕОМ).

2. Запорожец Е., Морозов Г. К расчету симметричного изгиба круглых и кольцевых жестких пластин методом конечных элементов // Теоретичні основи будівництва. - Дніпропетровськ: ПДАБтаА. -2002. – Т. 2, - №10. -С. 638-643. (Авторові належать отримання скінченних елементів та розв'язання задач на ЕОМ. Інші елементи дослідження співавтори виконували спільно).

3. Запорожец Е.В. К расчету методом конечных элементов осесимметричного изгиба круглых и кольцевых жестких пластин постоянной и переменной толщины // Современные проблемы строительства / Ежегодный научно-технический сборник. – Донецк: Донецкий ПромстойНИИпроект. - 2002. – Т. II. – С. 60 – 66.

4. Запорожец Е.В. Расчет методом конечных элементов симметричного изгиба круглых гибких пластин на упругом основании и без основания // Теоретичні основи будівництва. - Дніпропетровськ: ПДАБтаА. - 2003. - №11. - С. 107-112.

5. Запорожец Е.В. Расчет методом конечных элементов симметричного изгиба круглых гибких пластин // Строительство, материаловедение, машиностроение: Сб. научн. трудов / ПГАСиА. – Днепропетровск. – 2003. – Вып. 22, ч. 2. – С. 186 – 190.

6. Запорожец Е.В., Расчет методом конечных элементов осесимметричного изгиба гибких конических оболочек // Вісник Придніпровської державної академії будівництва та архітектури. – Дніпропетровськ: ПДАБтаА. - 2004. - № 3. – С. 24 - 29.

б) тези доповідей на конференціях:

1. Запорожець О.В. Осесиметричний напружено-деформований стан круглих і кільцевих пластин // Матеріали V Міжнародної науково-практичної конференції "Наука і освіта 2002". – Дніпропетровськ: Наука і освіта. - 2002. - Т. 20. - С. 31.

2. Запорожец Е.В. Симметричный изгиб тонких конических оболочек // Матеріали Другої всеукраїнської науково-практичної конференції "Україна наукова 2002". – Дніпропетровськ: Наука і освіта. - 2002. - Т. 9. - С. 29.

АНОТАЦІЯ

Запорожець О.В. Аналіз на основі метода скінченних елементів осесиметричного деформування тонких пружних конічних оболонок і пластин. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.23.17 - Будівельна механіка. - Придніпровська державна академія будівництва та архітектури (ПДАБтаА), Дніпропетровськ, 2004 р.

Роботу присвячено розробці осесиметричного оболонкового скінченного елемента на пружній малозв'язаній основі та дослідженню на його базі осесиметричного лінійного та нелінійного деформування тонких круглих пластин і конічних оболонок, як розташованих на пружній основі, так і без основи. Поведінку основи описано у рамках моделі Вінклера. Запропоновано осесиметричний оболонковий скінченний елемент у вигляді зрізаного конуса, розташованого на основі, з якого, як окремий випадок, отримано скінченні елементи для пластин: кільцевий та круглий. У