ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАН УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАН УКРАЇНИ
Захарійченко Юрій Олексійович
УДК 517.9
МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
З ПАРАМЕТРАМИ ТА ОБМЕЖЕННЯМИ
01.01.02 диференціальні рівняння
Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ-2004
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
ЛУЧКА Антон Юрійович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник.
Офіційні опоненти:
член-кореспондент НАН України
доктор фізико-математичних наук, професор
ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,
завідувач кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
ПОЛІЩУК Олена Борисівна,
Національний технічний університет України “КПІ”,
доцент кафедри математичної фізики.
Провідна установа:
Одеський національний університет ім. І.І. Мечнікова, кафедра математичного забезпечення комп’ютерних систем.
Захист відбудеться “_17_” __лютого___ 2004р. о _15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.
Автореферат розісланий “_14__” __січня____2004р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Пелюх Г.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. При математичному моделюванні фізичних, хімічних, біологічних процесів виникають різноманітні задачі для диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та їх систем. В теперішній час особлива увага приділяється таким задачам, як задачі з параметрами, імпульсним впливом, та задачам, на розвязки яких накладаються певні умови, обмеження. Серед праць, присвячених вивченню згадуваних задач, слід відмітити роботи А.М.Самойленка, М.О.Перестюка, А.Ю.Лучки, О.А.Бойчука, М.І.Ронто.
Проблема всебічного вивчення звичайних диференціальних рівнянь з імпульсним впливом сама по собі не є новою. Ще на початку минулого століття фізики намагались описувати процеси в нелінійних коливних системах. Широко відомим прикладом такої задачі є модель годинника. Але, починаючи з другої половини ХХ століття, простежується зростання інтересу математиків до систем диференціальних рівнянь з розривними траєкторіями. Нові цікаві проблеми в цій області виникали у звязку з новими потребами технічних наук. З’являються праці, присвячені питанням існування і єдиності розв’язків, стійкості, періодичності. Серед них можна відмітити А.Халаная, Д.Векслера, А.М.Самойленка, М.О.Перестюка, А.А.Асланяна, С.Т.Заваліщина, В.М.Шовкопляса тощо.
Теорія імпульсних систем тісно пов’язана з теорією крайових задач, які застосовуються в різних галузях математики, фізики, механіки. Такі задачі розглядались в роботах М.Ч.Ахметова, Ліз Едуардо, Лі Йанга. В монографії А.А.Бойчука, В.Ф.Журавльова, А.М.Самойленка побудована загальна теорія крайових задач для систем функціонально-диференціальних рівнянь. Для імпульсних крайових задач проведена звичайна класифікація на критичний і некритичний випадки. Методом побудови узагальненого оператора Гріна встановлено необхідні і достатні умови існування розвязків імпульсних крайових задач.
Серед крайових задач для систем диференціальних і інтегральних рівнянь зустрічаються системи, про розвязки яких відома додаткова інформація. Вивченню їх розв’язуваності за допомогою задач з параметрами присвячена низка робіт А.Ю.Лучки, О.Б.Поліщук, Т.А.Кучерук, В.В.Лістопадової та інших.
Слід відмітити, що всі згадані дослідження базуються на тому, що задачу довизначають, вводячи в рівняння або в обмеження невідомі параметри, і потім встановлюють умови сумісності початкової задачі і розробляють методи побудови її наближених розв’язків.
Зазначимо, що дослідження такого класу задач можна проводити і іншим способом. Суть його полягає в тому, що параметри вводяться в імпульсні умови. Це дає змогу керувати сумісністю задачі, не змінюючи при цьому рівняння. Такий підхід розширює і збагачує теорію задач з обмеженнями.
В зв’язку з цим постає питання дослідження імпульсних крайових задач з параметрами і обмеженнями, в яких параметри входять в імпульсні умови, і розробки ефективних методів їх розв’язання. Тому тема дисертаційної роботи є актуальною і перспективною.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно із загальним планом досліджень відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідної роботи “Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь” (номер державної реєстрації 0198U001998).
Мета і задачі дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є встановлення умов сумісності крайових задач для імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями; розробка і обґрунтування методів побудови наближених розв’язків задач; побудова ефективних обчислювальних алгоритмів.
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:
1. Розроблено методику дослідження сумісності лінійних та нелінійних імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями.
2. Запропоновано нові варіанти ітераційного та проекційно-ітеративного методів знаходження наближених розв’язків лінійної імпульсної задачі з параметрами та обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів.
3. Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до нелінійної імпульсної крайової задачі з параметрами та обмеженнями, дано їх обґрунтування та розроблено ефективні обчислювальні схеми.
Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Одержані в дисертації результати збагачують теорію задач з обмеженнями і дають можливість поширювати запропонований підхід на інші класи задач з обмеженнями. Розроблені методи можуть бути використані для знаходження розвязків конкретних прикладних задач.
Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану діяльності, постановка задач та аналіз результатів належать науковому керівнику та співавтору наукових праць – А.Ю.Лучці. Дисертанту належить методика розв’язання задач, розробка алгоритму та його реалізація, доведення всіх теорем дисертації.
Апробація дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на :
1. Міжнародному симпозіумі “Питання оптимізації обчислень” Інституту кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України (Україна, м. Київ, 28-30 вересня 1999р.);
2. ІІ Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Україна, м. Івано-Франківськ, 26-29 вересня 2000р.);
3. Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Україна, м. Чернівці, 27-29 серпня 2001р.);
4. Девятій Міжнародній науковій конференції ім. Академіка М.П.Кравчука (Україна, м. Київ, 16-19 травня 2002р.);
5. Наукових щорічних конференціях Нац. ун-та “Києво-Могилянська Академія” (Україна, м. Київ, січень 2001-2003рр.);
6. Семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету КНУ ім. Т.Шевченка (Україна, м. Київ, 22 травня 2003р.);
7. Семінарі відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (Україна, м. Київ, 8 вересня 2003р.).
Публікації. Основні матеріали дисертаційної роботи опубліковано в 6 роботах. З них 3 статті у провідних спеціалізованих журналах і 3 тези доповідей наукових конференцій.
Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел із 58 найменувань. Обсяг дисертації становить 122 сторінки друкованого тексту. На двох сторінках розташовано чотири таблиці.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
У вступі висвітлена актуальність теми, сформульовано мету дослідження, викладено стислу анотацію отриманих результатів.
У першому розділі дається бібліографічний екскурс результатів інших авторів, близьких за проблематикою до теми дисертаційної роботи.
У другому розділі дисертації розроблено методику дослідження умов сумісності та застосовано наближені методи знаходження розв’язку лінійної крайової задачі для імпульсної системи диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями вигляду
, (1)
, , (2)
, , , (3)
в якій А(t) неперервна при матриця розмірності , , , Si – сталі невироджені матриці розмірності , , , Фs(t) неперервні при матриці розмірності , фіксовані моменти імпульсного впливу.
Розглядувана задача вважається сумісною, якщо існують вектор-функція x(t) і параметри і , , які задовольняють систему (1), імпульсні умови (2) і обмеження (3). В противному разі задача несумісна.
В підрозділі 2.1 обгрунтовано метод зведення задачі (1)(3) до рівносильного їй інтегрального рівняння. Для цього невідома вектор-функція x(t) шукається у вигляді
х(t)=z(t)+u(t), (4)
а невідомі параметри визначаються з умови
, , (5)
де вектор-функція u(t), яку називатимемо керуванням, має вигляд
u(t)=B(t), (6)
, p=ml, – шукані параметри, B(t)-задана неперервно-диференційовна матриця при розмірності , яка задовольняє умову
В(0)=О, , ,
де О нульова матриця розмірності .
Після такої заміни отримуємо задачу для визначення вектор-функції z(t) і параметра
, (7)
, , (8)
, , , (9)
в якій
.
Для встановлення умов сумісності задачі (1)(3) розглядається допоміжна задача
, (10)
, , (11)
, , , (12)
де M(t) задана неперервна на [0;T] матриця, відома вектор-функція.
Припускається, що допоміжна задача (10)(12) має єдиний розв’язок, який подається формулами
, (13)
. (14)
Якщо розглянути задачу (10)(12), в якій
y(t)=f(t)+N(t)z(t), N(t)=M(t)A(t), (15)
то за допомогою формул (13),(15) дістанемо інтегральне рівняння
y(t)=p(t)+(Ly)(t), (16)
, L(t,)=N(t)G(t,), p(t)=f(t)+N(t)h(t).
Лема 2.1.1. Для будь-якої диференційованої вектор-функції v(t) , яка задовольняє умови (8),(9), і довільного вектора справедливі співвідношення
, .
Теорема 2.1.1. Задача (1)-(3) і інтегральне рівняння (16) еквівалентні. Еквівалентність розуміється в сенсі:
Якщо y*(t) розв’язок рівняння (16), то вектор-функція
(17)
і вектори
, , (18)
, (19)
є розв’язком задачі (1)(3), і навпаки,
якщо вектор-функція x*(t) і вектори розв’язок задачі (1)(3), то вектор-функція
, (20)
в якій
z*(t)=x*(t)u*(t), u*(t)=B(t)*, (21)
а невідомі параметри * визначаються з системи лінійних алгебраїчних рівнянь (18), є розв’язком інтегрального рівняння (16). Тут
k(t)=h(t)+B(t) , K(t,)=G(t,)+B(t)Г().
В підрозділі 2.2 обгрунтовано застосування ітераційного методу до задачі (1)(3), згідно з яким наближені розв’язки задачі (1)(3) будуємо за формулами
хk(t)=zk(t)+uk(t), , , (22)
uк(t)=B(t)к , (23)
а вектор-функція zk(t) і параметри к визначаються із задачі
, (24)
, , (25)
, , , (26)
в якій
yк(t)=f(t)+N(t)zк-1(t), . (27)
Початкове наближення z0(t), 0 визначається із задачі (24)(26) при =0 і довільно заданій вектор-функції y0(t).
В пункті 2.2.2 встановлено достатні умови збіжності методу.
Теорема 2.2.1. Якщо спектральний радіус , то існує єдиний розв’язок x*(t),, , задачі (1)(3) і мають місце співвідношення
, , .
В пункті 2.2.3 встановлено оцінки похибки методу (22)(27).
Теорема 2.2.2. Якщо оператор L є оператором стиску, то мають місце оцінки похибки методу
, , ,
що характеризують швидкість збіжності методу, і конструктивні оцінки похибки
,
, , ,
константи , q, такі, що виконуються нерівності
, ,
, , ,
де
,
,.
В пункті 2.2.4 наведено обчислювальну схему ітераційного методу (22)(27).
В підрозділі 2.3 розглянуто питання застосування до задачі (1)(3) проекційно-ітеративного методу, у відповідності до якого спочатку знаходимо вектор-функцію
yk(t)=f(t)+N(t){zk-1(t)+k(t)}, (28)
де поправка k(t) має вигляд
, (29)
а невідомі параметри визначаємо з умови
, , (30)
в якій
, (31)
де {і(t), }, {і(t), },{і(t), } задані системи неперервних, лінійно-незалежних вектор-функцій.
Вектор-функція zk(t) і параметри к визначаються із задачі (24)(26), а наближений розвязок задачі (1)(3) будується за формулами (22),(23).
Початкові наближення z0(t) і 0 визначаються із задачі (24)(26) при k=0 і довільно заданій вектор-функції y0(t).
В пункті 2.3.2 дано обґрунтування розглядуваного методу за умови, що системи вектор-функцій {і(t), }, {і(t), }, задовольняють співвідношення
, (32)
, , (33)
, , , . (34)
Тоді справедливі такі твердження.
Теорема 2.3.1. Якщо спектральний радіус , то задача (1)(3) має єдиний розв’язок x*(t),, , а послідовності , , побудовані згідно з проекційно-ітеративним методом, збігаються до цього розв’язку, тобто
, , .
Теорема 2.3.2. Якщо , то справедливі оцінки похибки, які характеризують швидкість збіжності проекційно-ітеративного методу
,
, ,
і конструктивні оцінки похибки
,
,, ,
де
,
, .
Оператори переходу Mn , Ln детально описані в пункті 2.3.2.
В пункті 2.3.3 пропонується зручна обчислювальна схема проекційно-ітеративного методу.
У третьому розділі досліджуються умови сумісності і методи розв’язання імпульсної задачі з параметрами та обмеженнями для нелінійної системи диференціальних рівнянь вигляду
, (35)
, , (36)
, , . (37)
Припускається, що зберігаються умови задачі (1)(3), і крім того, вектор-функція задовольняє умову Ліпшиця, тобто :
. (38)
В підрозділі 3.1 розглянуто питання зведення задачі (1)(3) до рівносильного їй інтегрального рівняння. Як і в лінійному випадку, заміною (4), задача (35)(37) зводиться до дослідження задачі знаходження вектор-функції z(t) і параметрів
, (39)
, , (40)
, , . (41)
Для встановлення умов сумісності (35)(37) розглядається допоміжна задача
, (42)
, , (43)
, , , (44)
в якій
y(t)=M(t)z(t)+N(t)+F(t, z(t)+B(t)), (45)
M(t)=D(t)A(t), N(t)=U(t)C(t),
а D(t), U(t)– задані неперервні матриці розмірності і відповідно.
За умови що існує єдиний розв’язок задачі (42)(44), який має вигляд (13),(14), одержуємо для визначення вектор-функції y(t) інтегральне рівняння
, (46)
p(t)=M(t)h(t)+N(t), .
В підрозділі 3.2 запропоновано і досліджено метод послідовних наближень розв’язання задачі (35)(37). Суть методу полягає в тому, що якщо наближення xk-1(t), вже відомі, а отже, відомі і zk-1(t), k-1, то виконується ітерація
, . (47)
Вектор-функція zk(t) і параметри k визначаються із задачі
, (48)
, , (49)
, , , , (50)
а наближений розв’язок задачі (35)(37) обчислюється за формулами
xk(t)=zk(t)+uk(t), ,, (51)
uk(t)=B(t)k. (52)
Початкові наближення z0(t) і 0 визначаються із задачі (48)-(50) при к=0 і довільно заданій вектор-функції y0(t).
В пункті 3.2.2 встановлено достатні умови збіжності методу.
Теорема 3.2.1. Якщо , то існує єдиний розв’язок x*(t), , , задачі (35)(37) і послідовності , , побудовані за формулами (47)(52), збігаються до цього розв’язку, тобто
, , .
Сталі с, такі, що виконуються нерівності
, ,
де
, , .
В пункті 3.2.3 наведено оцінки похибки методу (47)(52).
Підрозділ 3.3 присвячений розробці і обґрунтуванню модифікованого варіанту проекційно-ітеративного методу розв’язання задачі (35)(37). Згідно з цим методом знаходиться вектор-функція
, (53)
в якій
, . (54)
Для визначення вектор-функції zk(t) і параметрів k розвязуємо задачу (48)-(50), а невідомі параметри визначаємо з умови
, , (55)
де
. (56)
Наближений розвязок задачі (35)(37) обчислюємо за формулами (51), (52).
Тут {і(t), }, {і(t), }, задані системи неперервних, лінійно незалежних вектор-функцій, задані параметри.
Початкові наближення z0(t) і 0 визначаються із задачі (48)(50) при к=0 і довільно заданій вектор-функції y0(t).
В пункті 3.3.2 дано обґрунтування розглядуваного методу за умови, що системи вектор-функцій {і(t), }, {і(t), } і векторів {і , } зв’язані співвідношеннями
,
, ,
, , , .
В цьому випадку запропонований алгоритм зводиться до модифікованого варіанту проекційно-ітеративного методу розвязання інтегрального рівняння (46).
В пункті 3.3.3, використовуючи теорію проекційно-ітеративних методів, встановлено достатні умови збіжності розглядуваного методу.
Теорема 3.3.1. Якщо , то задача (35)(37) має єдиний розв’язок x*(t), , і послідовності , , побудовані за алгоритмом (53)(56),(48)(52), збігаються до цього розв’язку, тобто
, , .
Тут спектральний радіус матриці
,
в якій величини детально описано в пункті 3.3.3.
В пункті 3.3.4 встановлено оцінки похибки модифікованого проекційно-ітеративного методу розвязання задачі (35)(37).
Теорема 3.3.2. Якщо виконуються умови теореми 3.3.1, то справедливі оцінки, що характеризують швидкість збіжності методу
, , ,
, .
Крім того, справедливі конструктивні оцінки похибки
,
, , ,
в яких
, ,
константа така, що справджуються нерівності
, ,
де
, , .
В пункті 3.3.5 наведено зручну обчислювальну схему.
ВИСНОВКИ
1. Розроблено методику дослідження умов сумісності лінійних та нелінійних імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями.
2. Побудовано ітераційний та проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв’язків лінійної імпульсної крайової задачі з параметрами та обмеженнями. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів.
3. Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний метод до нелінійної імпульсної крайової задачі з параметрами та обмеженнями. Дано їх обґрунтування та розроблено ефективні обчислювальні схеми.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧА
ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Лучка А.Ю., Захарійченко Ю.О. Дослідження систем диференціальних рівнянь з параметрами в імпульсних умовах та обмеженнями // Нелінійні коливання.2000.3,№2.С.218225.
2. Захарійченко Ю.О. Методи розв’язання імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями // Вісн. Нац. ун-ту “Львів. політехніка”: Прикладна математика. 2000. №411. С.143147.
3. Захарійченко Ю.О. Застосування проекційно-ітеративного методу до імпульсної задачі з параметрами та обмеженнями // Допов. НАН України.2002.№10.С.1217.
4. Лучка А.Ю., Захарійченко Ю.О. Методи дослідження імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями // Теорія обчислень.К.: Ін-т кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України.1999.С.232236.
5. Захарійченко Ю.О. Застосування ітераційного методу до імпульсної системи диференціальних рівнянь з обмеженнями // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: Тези доповідей Міжнародної наукової конференції (Чернівці, 27-29 серпня 2001р.)Київ, 2001.С.58.
6. Захарійченко Ю.О. Дослідження імпульсної задачі з параметрами та обмеженнями // Дев’ята Міжнародна наукова конференція ім. акад. М.Кравчука (Київ, 16-19 травня 2002р.)Київ, 2002.С.77.
АНОТАЦІІ
Захарійченко Ю.О. Методи дослідження крайових задач для імпульсних систем диференціальних рівнянь з параметрами та обмеженнями. Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння Інститут математики НАН України, Київ, 2004.
В дисертації розглядається крайова задача для системи диференціальних рівнянь з імпульсним впливом у фіксовані моменти часу з параметрами та додатковими умовами. В роботі розроблено новий підхід до дослідження такого класу задач, згідно з яким початкову задачу зведено до відповідної системи інтегральних рівнянь без обмежень. На основі результатів, які отримано для лінійної імпульсної задачі з параметрами та обмеженнями, встановлено умови сумісності нелінійної задачі. Побудовано ітераційний і проекційно-ітеративний методи знаходження наближених розв’язків лінійної задачі. Встановлено достатні умови збіжності та оцінки похибки запропонованих методів. Застосовано ітераційний та модифікований проекційно-ітеративний методи до нелінійної крайової імпульсної задачі. Дано їх обґрунтування та розроблено зручні обчислювальні схеми.
Ключові слова: система диференціальних рівнянь, імпульсний вплив, обмеження, параметри, інтегральне рівняння, ітераційний метод, проекційно-ітеративний метод, оцінки похибки.
Zakhariychenko Y.O. Methods for investigation of the boundary problem for impulse systems of differential equations with parameters and restrictions. Manuscript.
The thesis is presented for a scientific degree of the candidate of physics and mathematics in speciality 01.01.02 – differential equationsInstitute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.
The thesis is devoted a boundary problem for a system of differential equations with an impulse effect at fixed moments of time and with parameters and additional terms. At the paper a new approach to the investigation of this class of problems, in which the initial problem is led to the corresponding system of integral equations without restrictions, is worked. On the base of results given for linear impulse problems with parameters and restrictions conditions of solvability of a nonlinear problem are found. Iterative and projective-iterative methods are applied for approximate solving linear problem. Sufficient conditions of convergence and estimates of errors are received for suggested methods. Iterative and modified projective-iterative methods are applied for solving nonlinear impulse problem. The methods are justified and convenient calculating schemes are built.
Key words: system of differential equations, impulse effect, restrictions, parameters, integral equation, iterative method, projective-iterative method, estimates of error.
Захарийченко Ю.А. Методы исследования краевых задач для импульсных систем дифференциальных уравнений с параметрами и ограничениями. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02дифференциальные уравненияИнститут математики НАН Украины, Киев, 2004.
При математическом моделировании реальных физических, биологических, химических процессов особое внимание уделяется таким задачам, как задачи с параметрами или с импульсным воздействием, и задачам, на решение которых накладываются определенные условия, ограничения. Такие задачи изучались, например, в работах А.М.Самойленко, Н.А.Перестюка, А.Ю.Лучки, А.А.Бойчука, Н.И.Ронто.
Задачи с ограничениями относятся к классу нетеровых задач. Исследование задач для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и ограничениями можно проводить разными методами. В частности, известным является метод, который основывается на теории обобщенно-обратных или псевдообратных операторов. Изучать импульсные задачи с ограничениями можно также и с помощью задач с параметрами. В литературе рассматривался подход, при котором неизвестные параметры вводились в систему дифференциальных уравнений. Исследование подобных задач можно проводить и другим способом. Его суть состоит в том, что параметры вводятся в импульсные условия. Такой подход дает возможность управлять совместностью задачи, не меняя при этом уравнения.
В диссертационной работе исследуются импульсная задача для линейной и нелинейной системы дифференциальных уравнений с ограничениями и параметрами. Для исследования условий совместности, рассматриваемые задачи сведены к соответствующим системам интегральных уравнений без ограничений. Установлена эквивалентность краевой задачи с импульсным воздействием, параметрами и ограничениями системе интегральных уравнений. На основе результатов, которые получены для линейной импульсной задачи, получены условия совместности нелинейной задачи. Построены итерационный и проекционно-итеративный методы отыскания приближенных решений линейной импульсной краевой задачи с параметрами и ограничениями. Найдены достаточные условия сходимости и оценки погрешности предложенных методов. Для отыскания решений нелинейной импульсной краевой задачи с параметрами и ограничениями применены итерационный и модифицированный проекционно-итеративный методы. Дано обоснование методов и эффективные вычислительные схемы.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, импульсное воздействие, ограничения, параметры, интегральное уравнение, итерационный метод, проекционно-итеративный метод, оценки погрешности.
Підп. до друку . Формат 6086/16. Папір офс. Офс. друк. Фіз. друк. 1,25 арк. Ум. друк. арк. 1,16. Тираж 100 пр. Зам. . Безкоштовно.
Інститут математики НАН України
01601, Київ 4, МСП, Терещенківська, 3
