НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ
Аміршадян Артур Акопович
УДК 517.984, 519.210
ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ЗАДАЧИ В УЗАГАЛЬНЕНИХ КЛАСАХ
НЕВАНЛІННИ ТА СТІЛТЬЄСА
01.01.01 – математічний анализ
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико – математичних наук
Донецьк – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Донецькому національному університеті
Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: доктор фізико – математичних наук, доцент
Деркач Володимир Олександрович,
завідувач кафедри математичного аналізу і теорії
функцій Донецького національного університету.
Офіційні опоненти: доктор фізико – математичних наук, доцент
Дубовий Володимир Кирилович,
доцент кафедри математичного аналізу Харківського
національного університету ім. В.Н. Каразіна;
кандидат фізико – математичних наук, доцент
Волчков Віталій Володимирович,
доцент кафедри математичного аналізу і теорії функцій
Донецького національного університету.
Провідна установа Інститут математики НАН України, м. Київ,
відділ диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Захист відбудеться 15.02.2006р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.193.02 Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України, 83114, м. Донецьк, вул. Рози Люксембург, 74.
Автореферат розісланий 29.12.2005р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради _______________________ О.С. Чані.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
У дисертаційній роботі вивчаються інтерполяційні проблеми в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса.
Актуальність теми. Інтерполяційна проблема Неванлінни--Піка формулюється наступним чином: дано два набори, що складаються із скінченного числа точок Знайти голоморфну у верхній півплощині функцію з невід’ємною уявною частиною (функцію классу ), таку, що
(1)
Г.Пік у 1916 році отримав критерій розв’язності інтерполяційної задачі в класі , а Р.Неванлінна, використовуючи ідею покрокового алгоритму І. Шура, дав опис всіх рішень цієї інтерполяційної проблеми у 1919 році. У подальшому інтерполяційна проблема Неванлінни-Піка була як самостійним об’єктом багатьох досліджень, так і слугувала додатком до нових методів дослідження в різних галузях аналізу, що виникали. В дисертації вивчення інтерполяційної проблеми проводиться в межах операторного підходу. Вперше зв’язок між проблемою Неванлінни -- Піка та теорією операторів в гільбертовому просторі був виявлений в роботі Б.С. Надя, А.Коран’ї у 1956 році. Незалежно операторний підхід був розвинений М.Г. Крейном і ефективно застосований до різних задач аналізу в роботах М.Г.Крейна, В.М. Адамяна, Д.З. Арова, Г. Лангера, В.О. Деркача та М.М. Маламуда. Інший підхід, заснований на теорії J - розтягуючих аналітичних матриць був запропонований В.П.Потаповим. Так І.В. Ковалішиною, В.П.Потаповим у 1974 році була розглянута матрична задача Неванлінни -- Піка. У 1972 році І.П.Федчина розглянула дотичну проблему, поставлену М.Г.Крейном. У 1977 році А.А.Нудельман поставив та розглянув більш загальну задачу, яку назвав (A,C,G) - проблемою. Як випадок вона містила не тільки матричну проблему Неванлінни -- Піка, але й кратну задачу Неванлінни -- Піка. Абстрактна схема дослідження ряду класичних задач аналізу, яка містила як випадок бідотичну інтерполяційну задачу, була запропонована в 1986 році в роботі В.Е. Кацнельсона, А.Я. Хейфеца, П.М.Юдицького. Бідотична кратна інтерполяційна задача для неванлінновських пар вивчалась в роботі Д.Алпая, А.Дайксмі, Х. де Сноо, П.Брайнсмі в межах операторного підходу. Задача Неванлінни-Піка для стилтьєсовських функцій була розглянута в роботах М.Г.Крейна, Ю.М.Дюкарева та В.Е.Кацнельсона. Серед інших методів вирішення інтерполяційних задач відзначимо ще й Band - метод І.Ц. Гохберга, М.А. Кашука та метод Д .Болла, Д. Хелтона.
У 1929 році Р.Неванлінна розглянув варіант задачі з вузлами інтерполяції на дійсний осі, який отримав назву граничної інтерполяційної задачі. В роботі Д.Алпая, А.Дайксми, Г.Лангера використовувався операторний підхід до скалярної дефінітної граничної задачі, що має не більше зчисленного числа точек інтерполяції на дійсний осі. Відомо, що проблема моментів може трактуватись як гранична інтерполяційна проблема з нескінченним числом даних. Зауважимо, що індефінітні інтерполяційні задачі є найбільш важкими для дослідження. При їх вирішенні виникають нові ефекти, наприклад, такі як виникнення виключних параметрів у формулах, що описують множину рішень. Індефінітна задача Неванлінни-Піка вивчалась у 1983 році Л.Б.Голинським методом В.П.Потапова. Зауважимо, що в 1981 році А.А.Нудельман розглянув індефінітну (A,C,G) проблему. Проте, бідотична індефінітна задача в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса залишалась невивченою. У зв’язку з цим є актуальним вивчення індефінітних інтерполяційних задач.
Зв’язок з науковими програмами й планами. Робота виконана у відповідності до планів наукової роботи кафедри математичного аналізу і теорії функцій Донецького національного університету, держбюджетна тема Г-02.40 "Теорія функцій та операторів".
Мета дослідження
- дослідити питання існування самоспряжених розширень симетричного оператора у просторі Понтрягіна із заданими регулярними точками;
- вивчити бідотичні інтерполяційні задачі в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса, отримати умови їх розв’язності й опису рішень;
- дослідити індефінітну граничну задачу Неванлінни -- Піка.
Методи досліджень. Для опису рішень інтерполяційних задач застосовується метод граничних значень в теорії розширень симетричних операторів у просторах з індефінітною метрикою та теорія резольвентної матриці М.Г. Крейна.
Наукова новизна отриманих результатів. В дисертації отримані наступні нові результати.
1) Для простого симетричного оператора в просторі Понтрягіна доведено існування його самоспряженого розширення із заданими регулярними точками.
2) Отримано критерій рівномірної додатності (від’ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення симетричного оператора в просторі Понтрягіна.
3) Отримано операторне представлення - пар.
4) Побудована операторна модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх її рішень. Для дотичної інтерполяційної проблеми отримані достатні умови відсутності виключних параметрів.
5) Побудовано операторну модель для бідотичної виродженої індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного відношення.
6) Побудовано операторну модель для граничної індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни--Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задач і множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх рішень інтерполяційної задачі.
Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в теорії крайової задач для диференціальних рівнянь, в теорії розширень симетричних операторів у просторах Понтрягіна, та теорії систем.
Особистий внесок здобувача. Науковому керівнику В.О. Деркачу належить постановка задач у розділах 2-4 та загальне керівництво роботою. В теоремах 2.4.1., 2.5.2. використовуються методи функції Вейля і теорії узагальнених резольвент симетричного оператора у просторах Понтрягіна, що були розвинені в роботоах В.О. Деркача. Остаточні формулювання та доведення цих теорем належать здобувачеві.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на Кримській осінній математичній школі - симпозіумі "Спектральні й еволюційні задачі", 1999р., Першій літній школі з топології та функціонального аналізу, Львів, 2003р., Міжнародній конференції "VI Ogolnopolskie Warsztaty dly Mlodih Matematikow. Teoria Operatorow", Краків, 2003р., Міжнародній конференції з теорії операторів, Тімішоара, Румунія, 1998 р., 2002р.
Результати дисертації доповідались на семінарі з теорії операторів Донецького національного університету (керівник доц. М.М. Маламуд), Міському семінарі з теорії функцій, Харків (керівник проф. А.Ф. Гришин), семінарі в Інституті математики НАН України (керівник чл.-корр. НАН України М.Л. Горбачук).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 6 статтях [1] - [6], що включені в перелік ВАК України і в 6 тезах доповідей конференцій [7] - [12].
Структура та об’єм роботи. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел. Дисертація викладена на 144 сторінках машинописного тексту, список використаних джерел містить 88 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовується актуальність теми, подано короткий огляд її сучасного стану, сформульовано мету та завдання дослідження, відображено наукову новизну і наведено основні положення, що внесено на захист.
Перший розділ містить огляд літератури з теми дисертації. Подано основні результати, що були отримані раніше. Вказано методи, якими вони були отримані. Коротко перелічені основні результати, що містяться в дисертації.
В другому розділі подані основні відомості про самоспряжені розширення й узагальнені резольвенти симетричних операторів і відношень в просторі Понтрягіна. Нехай - простір Гільберта. Лінійний оператор , в із властивостями припускає представлення , де -- ортогональні проектори в . Лінійний простір що забезпечене індефінітним скалярним добутком називається простором Понтрягіна індексу , якщо простір має скінченну розмірність Канонічне розкладення простору дозволяє ввести в норму де Лінеал називається рівномірно додатнім (рівномірно від’ємним), якщо існує константа , така, що для всіх виконано відповідно. Лінійним відношенням в називається лінеал . Множину регулярних точек (точек регулярного типу) лінійного відношення позначимо (). Для замкненого лінійного відношення визначимо спряжене лінійне відношення рівностю Лінійне відношення називається симетричним чи самоспряженим в просторі Понтрягіна, якщо, відповідно, чи . Симетричне відношення називається простим, якщо Тут - дефектні підпростори відношення , Зауважимо, що просте симетричне відношення автоматично виявляється оператором. Говорять, що замкнене симетричне лінійне відношення , що діє в просторі Понтрягіна, має – властивість () якщо форма має від’ємних квадратів і існує самоспряжене розширення таке, що .
Наступні твердження є істотними при доведенні розв’язності різноманітних інтерполяційних задач.
Теорема 2.4.1. Нехай - простий симетричний оператор в просторі Понтрягіна . Тоді для будь-якого набору точок існує самоспряжене розширення оператора , таке що .
Теорема 2.6.2. Нехай – простий симетричний лінійний оператор в просторі Понтрягіна , що має - властивість. Для будь-якого набору точок існує самоспряжене розширення оператора із - властивістю, таке, що .
Нагадаємо, що пару - матриць-функцій голоморфних в області називають узагальненою неванлінівською парою (чи –парою, ), якщо: ядро має від’ємних квадратів в і а – пару називають узагальненою стілтьєсовською парою (чи –парою), якщо . Класи були введені В.О. Деркачем. Зауважимо, що класи і співпадають із узагальненими класами Стілтьєса, що були введені М.Г. Крейном, Г. Лангером і В.О. Деркачем, М.М. Маламудом, відповідно.
Теорема 2.5.2. Нехай – пара голоморфна в і задовольняє умові . Тоді вона припускає представлення , де - самоспряжене відношення в просторі Понтрягіна , При цьому, самоспряжне відношення можна обрати G -- мінімальним, тобто таким, що виконується співвідношення: В останньому випадку
Теорема 2.5.2. про операторне представлення – пар є ключовою при зведенні інтерполяційних задач до задачі теорії розширень симетричних операторів в просторах Понтрягіна. Для вирішення останньої задачі використовується метод граничних операторів і функції Вейля, розроблений в роботах А.В. Штрауса, А.Н.Кочубея, М.Л. і В.І. Горбачуків, В.О. Деркача, М.М. Маламуда та ін.
Визначення 2.3.2. Нехай -- симетричний оператор в просторі Понтрягіна . Сукупність де — лінійні відображення з в називається граничною трійкою (чи простором граничних значень) лінійного відношення якщо відображення з в є сюр’єктивним і для всіх виконується співвідношення:
Кожною граничною трійкою природно породжуються два самоспряжених розширення симетричного відношення :
Визначення 2.3.3. Матриця--функція , що означена співвідношенням називається функцією Вейля симетричного відношення S, що відповідає граничной трійці .
Самоспряжене розширення оператора , що діє в просторі Понтрягіна називається мінімальним індексу , якщо і . При цьому оператор-функція називається узагальненою резольвентою оператора індексу , тут -- ортогональний проектор із на .
Як показано М.Г. Крейном і Г. Лангером (а в нещільному випадку В.О.Деркачем), множина узагальнених резольвент оператора індексу в просторі Понтрягіна П описується формулою
(2)
де , , – проектор на першу компоненту в .
Теорема 2.5.3. Нехай =+ є мінімальним самоспряженим розширенням оператора індексу , що діє в просторі Понтрягіна і є – парою, що відповідає розширенню в силу формули узагальнених резольвент (2). Тоді:
1) тоді і тільки тоді, колі:
2) підпростір де є рівномірно додатним (від’ємним) тоді і тільки тоді, колі:
В третьому розділі вивчається індефінітна бідотична інтерполяційна задача в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса.
Задача . Дані:
1. Точки ; , , ; матриця розміру , що складається з прямої суми блоків Жордана
(3)
2. –матриці блочного вигляду
де
3. – матриці--функції , визначені і локально голоморфні в , інтерполюючі дані, тобто
(4)
та такі, що при задовільняють умовам погодження
(5)
4. Самоспряжене рішення рівняння Ляпунова
(6)
Знайти: –пару , голоморфну в точках таку що виконуються рівняння
(7)
и , де матриця що називається асоційованою з матрицею Піка визначається наступним чином
(8)
(9)
У підрозділі 3.2 будується модельний простір і модельний симетричний оператор . А саме, розглядається лінійний простір формальних сум
(10)
зі скалярним добутком
(11)
Якщо матриця Піка невироджена, то простір є простором Понтрягіна з від’ємним індексом Понтрягіна , що дорівнює числу від’ємних властивих значень матриці . Далі розглядається симетричний оператор множення в ,
(12)
Твердження 3.2.1. Якщо виконано то є простим симетричним оператором, дефектні підпростори якого мають вигляд де
Нехай - оператор вкладення . Тоді - ортопроектор з на і . В наступній теоремі доводиться, що умова є необхідною і достатньою для розв’язності Задачі в класах і встановлюється взаємно однозначна відповідність між множиною рішень Задачі і відповідними самоспряженими розширеннями модельного оператора .
Теорема 3.2.1. Нехай матриця є невиродженою. 1) Якщо , то для будь-якого мінімального самоспряженого розширення оператора , діючого в просторі Понтрягина , такого що и –пара, яка визначена при рівнянням
(13)
є рішенням Задачі
2) Навпаки, нехай – пара є рішенням Задачі . Тоді . Якщо, окрім того, виконується співвідношення , то пара припускає представлення (13), де є мінімальним самоспряженим розширенням оператора , таким що .
Висновок 3.2.1. Якщо є невиродженим рішенням рівняння Ляпунова (6) і , то Задача має розв’язок.
Твердження 3.2.3. Нехай для будь-якого набору з чисел справедливо співвідношення
(14)
Тоді всі рішення Задачі є функціями.
У підрозділі 3.3 будуються основні об’єкти теорії представлення М.Г. Крейна та наводиться явний вигляд резольвентної матриці та матриці рішень. Зокрема, показано, що матриця рішень має вигляд:
(15)
У підрозділі 3.4 приводиться опис рішень Задачі
Теорема 3.4.1. Нехай матриця Піка є невиродженой і . Тоді формула
(16)
встановлює взаємно однозначну відповідність між всіма рішеннями Задачі і множиною –пар , голоморфних у точках таких що:
1. матриця голоморфна в точках ;
2.
У підрозділі 3.5 вивчається дотична інтерполяційна задача та її важливий випадок - задача Неванлінни-Піка. У випадку, коли інтерполяційна Задача не має симетричних точек інтерполяції, можливо сформулювати Теорему 3.4.1. у більш простій формі. В цьому випадку, рівняння Ляпунова (6) має єдине рішення
(17)
що називається матрицею Піка Задачі . Матриця рішень такої задачі голоморфна в точках і умови (і) Теореми 3.4.1. виконуються автоматично. Крім того, для всіх пар , що параметризують множину рішень Задачі .
Твердження 3.5.1. Нехай Задача не має симетричних точек інтерполяції, матриця Піка Р є невиродженою і . Тоді формула (16) встановлює взаємно однозначну відповідність між рішеннями Задачі і множиною –пар , таких що і
(18)
Визначення 3.5.1. – пара називається виключним параметром, якщо, для цієї пари умова (18) не виконується.
Твердження 3.5.2. Нехай Задача не має симетричних точек інтерполяції, матриця Піка є невиродженою, і нехай матриці є додатними для всіх . Тоді Задача не має виключних параметрів.
У підрозділі 3.6 вивчається інтерполяційна задача в узагальнених класах Стілтьєса . Задача . Дані:
1. Точки ; , , ;
2. –матриці ;
3. - матриці функції , визначені та локально голоморфні
в , інтерполюючі дані і такі, що задовільняють (5);
4. Самоспряжене рішення рівняння Ляпунова ).
Знайти: –пару голоморфну в точках таку що виконуються умови ) и .
Нехай – матриця , що визначена формулою і нехай
Теорема 3.6.2. Нехай матриці і є невиродженими і виконуються нерівності Тоді формула
(19)
встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною рішень Задачі і множиною – пар голоморфних у точках і таких, що виконуються умови (1), (2) Теореми 3.4.1., в яких змінюється на
Висновок 3.6.1. Нехай матриці і є невиродженими і Тоді Задача має розв’язок.
У підрозділі 3.7 вивчається однобічна інтерполяційна задача в узагальнених класах Стілтьєса. Нехай всі точки інтерполяції належать . Тоді опис всіх рішень Задачі можна подати в наступному вигляді.
Твердження 3.7.1. Нехай матриці і є невиродженими і нехай виконуються нерівності Тоді формула (19) встановлює взаємно однозначну відповідність між рішеннями Задачі і множиною –пар , таких що і
(20)
Отримаємо достатні умови того, що Задача не має виключних параметрів. Нехай
Твердження 3.7.2.. Нехай матриці Піка і , що відповідають Задачі є невиродженими, і нехай хоча б одна із матриць чи є додатною для всіх . Тоді Задача не має виключних параметрів.
В четвертому розділі вивчається вироджена, інтерполяційна задача в узагальнених класах Неванлінни, тобто розглядається випадок, коли
У підрозділі 4.1 будується модельний простір Понтрягіна і модельне лінійне відношення. А саме, розглядається простір , зі скалярним добутком тут Бо , то простір є виродженим. В якості модельного простору візьмемо фактор простір . Елементи простору будемо записувати у вигляді де – псевдозворотня матриця до матриці . Далі розглядається модельне лінійне відношення :
. Визначимо в підпросторі
(21)
і припустимо
Твердження 4.1.1. Модельне лінійне відношення є симетричним відношенням із рівними індексами дефекту .
Теорема 3.2.1. залишається вірною і для виродженої матриці Піка якщо змінити в ній нерівність рівнянням
У підрозділі 4.2 приводиться опис рішень виродженої задачі в припущенні, що дані Задачі задовільняють додатковій умові:
(22)
Твердження 4.2.1. Підпростір є невиродженим тоді і тільки тоді, коли виконується умова (22).
Покладемо
Теорема 4.2.3. Нехай дані Задачі задовільняють умові (22), і Тоді формула
(23)
встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною рішень Задачі для яких і множиною пар голоморфних у точках таких що
У роботі вказаний явний вигляд елементів , що є елементами предрезольвентної матриці відношення .
У п’ятому розділі вивчається гранична інтерполяційна задача в узагальнених класах Неванлінни.
У підрозділі 5.1 наводиться постановка граничной інтерполяційної Задачі. Дані дійсні точки і симетричні матриці Необхідно знайти матрицю-функцію , що задовільняє умовам:
(24)
(25)
Вище припускається, що недотичні границі в (24), (25) існують. Визначимо блочну матрицю Піка Задачі рівнянням
(26)
У подальшому вважаємо, що . Далі в цьому підрозділі будується модельний простір (27)
зі скалярним добутком і на підпросторі визначається модельний оператор множення на незалежну змінну
Твердження 5.1.1. Оператор є нещільно заданим симетричним оператором із індексами дефекту .
Нехай G оператор вкладення в , тобто .
Наступна теорема встановлює бієктивну відповідність між всіма рішеннями Задачі і відповідними мінімальними самоспряженими розширеннями модельного оператора .
Теорема 5.1.1. Нехай матриця Р є невиродженою і . Для того, щоб функція була рішенням Задачі , необхідно і достатньо, щоб вона представлялась у вигляді
(28)
де є довільним мінімальним самоспряженим розширенням оператора ,
що діє в просторі Понтрягіна , таким що підпростори є рівномірно додатніми .
У підрозділі 5.2 знайдені основні об’єкти теорії представлень М.Г. Крейна для модельного оператора . В їх термінах побудовані гранична трійка для відношення , функція Вейля і – резольвентна матриця оператора .
У підрозділі 5.3 подано опис рішень граничной інтерполяційної задачі. Насамперед, доводиться, що матриця рішень має вигляд (15).
Теорема 5.3.1. Нехай (j=1,..,m). Тоді формула
(29)
встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною рішень Задачі і множиною -- пар , голоморфних у точках (j=1,...,m) і таких, що
(30)
(31)
Зауваження 5.3.1. У випадку, коли і умови (31) виконуються автоматично.
ВИСНОВКИ
1) Для простого симетричного оператора в просторі Понтрягіна доведено існування його самоспряженого розширення із заданими регулярними точками.
2) Отримано критерій рівномірної додатності (від’ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення симетричного оператора в просторі Понтрягіна.
3) Отримано операторне представлення - пар.
4) Побудована операторна модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх її рішень. Для дотичної інтерполяційної проблеми отримані достатні умови відсутності виключних параметрів.
5) Побудовано операторну модель для бідотичної виродженої індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного відношення.
6) Побудовано операторну модель для граничної індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни--Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задач і множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх рішень інтерполяційної задачі.
Основні результати дисертації надруковані в роботах:
[1] Амиршадян А.А., Деркач В.А. Об одной индефинитной касательной проблеме Неванлинны-Пика // Доповiдi НАН Украины.–1998.– №8.- С.7-11.
[2] Amirshadyan A.A., Derkach V.A. Interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes // J. of Operator Theory.–1999.– V.42.– P.145-188.
[3] Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских матриц-функций// Математические заметки.– 2003.- 73, вып.2–С.173-178.
[4] Амиршадян А.А. Интерполяция на спектре в классе обобщенных неванлинновских функций// Труды ИПММ НАН Украины.–2000.– т.5. –С.3-10.
[5] Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских матриц-функций//Труды ИПММ НАН Украины.-2002.- т.7.-С.9-16.
[6] Амиршадян А.А. Вырожденная интерполяционная задача в обобщенных классах Неванлинны // Вiсник Донецького Унiверситету.–2000.–сер.А. вып.1 –С.14-17.
[7] Амиршадян А.А., Деркач В.А. О касательной проблеме Неванлинны – Пика – Такаги // Материалы вузовской конференции Донецького университета.–1997.–С.27-30.
[8] Amirshadyan A.A., Derkach V.A. Interpolation in Generalized Stieltjes Classes // 17th International Conference on Operator Theory. -- 1998.-- Timisoara, June 23 - 26. --P. 9-10.
[9] Amirshadyan A.A. Degenerated interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes// Proceedings of the Ninth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. –1999.- 9.–р.55-60
[10] Amirshadyan A.A. Boundary interpolation problem in the classes of generalized Nevanlinna matrix -- functions // 19th International Conference on Operator Theory. -- 2002.-- Timisoara, June 27 - July 2.
[11] Amirshadyan A.A. Boundary Interpolation Problem in the Classes of Generalized Nevanlinna Matrix Functions// I-а Лiтня школа з топологiчноi алгебри i функцiонального аналiзу, Львiв-Козева –2003. –P.21-22.
[12] Amirshadyan A.A. Boundary interpolation problem in the classes of generalized Nevanlinna matrix functions// 6th conference for young mathematicians.–2003.–Cracow, 22-28 September.–P.8-9.
АНОТАЦІЯ
Аміршадян А.А. Інтерполяційні задачі в узагальнених класах Неванлінни і Стілтьєса. - Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 - математичний аналiз. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2005.
В дисертації вивчаються бідотичні інтерполяційні проблеми в узагальнених класах Неванлінни і Стілтьєса. При дослідженні інтерполяційних проблем застосовується метод крайових значень в теорії розширень симетричних операторів у просторах з індефінітною метрикою і теорія резольвентної матриці М.Г. Крейна.
В дисертації отримані наступні нові результати. Для простого симетричного оператора в просторі Понтрягіна доведено існування його самоспряженого розширення із заданими регулярними точками. Отриманий критерій рівномірної додатності (від’ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення. Побудована операторна модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса як в невиродженому, так і в виродженому випадку. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі і множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх її рішень. Для однобічної інтерполяційної проблеми отримані достатні умови відсутності виключних параметрів. Досліджується гранична індефінітна інтерполяційна проблема Неванлінни -- Піка. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис усіх її розв’язків.
Ключові слова: симетричний оператор, простір Понтрягіна, узагальнені резольвенти, гранична трійка, функція Вейля, резольвентна матриця, узагальнені класи Неванлінни та Стілтьєса, інтерполяційна задача.
АННОТАЦИЯ
Амиршадян А. А. Интерполяционные задачи в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса. -- Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2005.
В диссертации изучаются интерполяционные проблемы в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса.
Постановка задачи восходит к работам Г.Пика и Р.Неванлинны начала двадцатого века. В дальнейшем, интерполяционная проблема Неванлинны--Пика была как самостоятельным объектом многочисленных исследований, так и служила приложением для возникающих новых методов в различных областях анализа. На данный момент существует большое число работ, посвященных такого рода задачам. В этих работах использовались разнообразные методы исследования. В диссертации изучение интерполяционной проблемы проводится в рамках операторного подхода. Операторный подход был предложен в работе Б.С. Надя, А.Кораньи. Независимо операторный подход был развит М.Г.Крейном и эффективно применен к различным задачам анализа в работах М.Г. Крейна, В.М.Адамяна, Д.З. Арова, Г. Лангера, В.А. Деркача и М.М. Маламуда. Другой подход, основанный на теории J – растягивающих аналитических матриц был предложен В.П.Потаповым. Различные варианты интерполяционных задач (касательная, бикасательная задачи) изучались в работах И.П. Федчиной, А.А.Нудельмана, В.Э. Кацнельсона, А.Я. Хейфеца, П.М. Юдицкого, Д. Алпая, А.Дайксмы, Х. де Сноо, П. Брайнсмы, И.Ц. Гохберга, М.А. Кашука, Д. Болла, Д.Хелтона и других. Однако, бикасательная индефинитная задача в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса оставалась неизученной.
Основная цель исследования -- изучить бикасательные интерполяционные задачи в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса, получить условия их разрешимости и описание решений, исследовать индефинитную граничную задачу Неванлинны - Пика.
Получены следующие основные результаты:
1) Для простого симметрического оператора в пространстве Понтрягина доказано существование его самосопряженного расширения с заданными регулярными точками.
2) Получен критерий равномерной положительности (отрицательности) собственных подпространств самосопряженного расширения .
3) Получено операторное представление --пар.
4) Построена операторная модель для бикасательной интерполяционной задачи Неванлинны-Пика в обобщенных классах Неванлинны и Стилтьеса. Установлено взаимно однозначное соответствие между множеством решений задачи и множеством самосопряженных расширений модельного оператора, в случае невырожденной матрицы Пика получено описание всех ее решений. Для односторонней интерполяционной проблемы получены достаточные условия отсутствия исключительных параметров.
5) Построена операторная модель для бикасательной вырожденной индефинитной интерполяционной задачи Неванлинны -- Пика. Установлено взаимно однозначное соответствие между множеством решений задачи и множеством соответствующих минимальных самосопряженных расширений модельного отношения.
6) Построена операторная модель для граничной индефинитной интерполяционной задачи Неванлинны-Пика. Установлено взаимно однозначное соответствие между множеством решений задачи и множеством соответствующих минимальных самосопряженных расширений модельного оператора. В случае невырожденной матрицы Пика получено описание всех решений интерполяционной задачи.
Ключевые слова: симметрический оператор, пространство Понтрягина, обобщенные резольвенты, граничная тройка, функция Вейля, резольвентная матрица, обобщенные классы Неванлинны и Стилтьеса, интерполяционная задача.
ABSTRACT
Amirshadyan A.A. Interpolation problems in generelized Nevanlinna and Stieltjes classes. -- Manuscript.
Thesis for candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. -- The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2005.
In this thesis we consider bitangential interpolation problems in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes. We extensively use M. G. Krein's theory of resolvent matrices and the boundary values method of the extensions theory of Hermitian operators in Krein spaces.
The following new results are obtained.
For a simple Hermitian operator in a Pontryagin space, we proved that there exists its self-adjoint extension with the given regular points. We obtained a necessary and sufficient condition for proper subspaces of a self-adjoint extension to be uniformly positive (negative). An operator model for the Nevanlinna-Pick bitangential interpolation problem in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes for both nondegenerate and degenerate cases is constructed. We determined a one-to-one correspondence between the set of all the problem solutions and the set of all the self-adjoint extensions of the model operator. In the case of a nondegenerate Pick matrix, a description of all the solutions is obtained. For the one-side interpolation problem, we obtained sufficient conditions for the absence of excluded parameters. The Nevanlinna-Pick boundary indefinite interpolation problem was investigated. In the case of a nondegenerate Pick matrix, we obtained a description of all its solutions.
Keywords: Hermitian operator, Pontryagin space, generalized resolvent, boundary triplet, Weyl function, resolvent matrix, generalized Nevanlinna and Stieltjes classes, interpolation problem.
