НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МІЦНОСТІ ім. Г.С. ПИСАРЕНКА

БОВСУНОВСЬКИЙ АНАТОЛІЙ ПЕТРОВИЧ

УДК 620.178; 620.179

КОЛИВАННЯ ПРУЖНИХ ТІЛ З ЛОКАЛЬНИМ ПОШКОДЖЕННЯМ

ТИПУ ТРІЩИНИ ВТОМИ

05.02.09 – динаміка і міцність машин

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

КИЇВ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі коливань і вібраційної надійності Інституту проблем міцності ім. Г.С. Писаренка НАН України (ІПМіц. НАНУ).

Науковий консультант: | член-кор. НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор

Матвєєв Валентин Володимирович,

Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України,

завідувач відділу коливань і вібраційної надійності

Офіційні опоненти: | доктор технічних наук, професор

Воробйов Юрій Сергійович,

Інститут проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України,

завідувач відділу нестаціонарних механічних процесів

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Зіньковський Анатолій Павлович,

Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України,

завідувач відділу коливань роторних систем

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Плахтієнко Микола Павлович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України ,

провідний науковий співробітник

Провідна установа: Національний технічний університет України "КПІ"

Захист відбудеться "_24_" лютого 2005 р. о 9 годині 30 хвилин на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.241.01 при ІПМіц. НАНУ у приміщенні конференц-залу Інституту за адресою: 01014, Київ, вул. Тімірязєвська, 2.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці ІПМіц. НАНУ.

Автореферат розісланий "_21_" січня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.241.01

доктор технічних наук, професор Карпінос Б.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Механічні конструкції і деталі машин у реальних умовах експлуатації зазнають спільного або роздільного впливу статичного і динамічного навантаження, температури й агресивного середовища, що у багатьох випадках є причиною виникнення і розвитку пошкоджень, що загрожують аваріями і катастрофами. В Україні за різними оцінками більше ніж 5% валового національного продукту втрачається внаслідок пошкоджень і руйнувань машин і конструкцій. Ресурс багатьох екологічно небезпечних об'єктів, таких як атомні реактори, хімічні виробництва, вичерпаний або закінчується незабаром. Тому поточна діагностика їхнього стану, у тому числі і міри пошкодження цих об'єктів, є важливою для запобігання екологічних катастроф і катастрофічних руйнувань.

Як показує практика, причинами руйнування деталей машин і елементів конструкцій є технологічні, виробничі й експлуатаційні дефекти й пошкодження типу тріщин втоми і термовтоми, порожнин, пор, розшарувань, розтріскувань, що названі у роботі локальними пошкодженнями. Велику роль у забезпеченні безпечної роботи машин і конструкцій різного призначення відіграють неруйнівні методи діагностики пошкодження, що дозволяють виявляти дефекти докритичних розмірів. Використання багатьох невібраційних, звичайно локальних, неруйнівних методів діагностики пошкоджень вимагає значних витрат часу і засобів і найчастіше виявляється неефективним.

Вібраційні методи діагностики пошкодження мають ряд переваг у порівнянні з невібраційними, серед яких відносно невисока вартість і можливість проведення діагностики в процесі експлуатації машини або конструкції за відносно короткий проміжок часу, здатність виявляти дефекти в прихованих і важкодоступних місцях. Актуальною задачею технічної діагностики є виявлення пошкодження на ранніх стадіях його зародження з метою забезпечення безпечної експлуатації конструкцій і машин різного призначення і передбачення можливих відхилень у режимах їхньої роботи або стану. Однак такі вібраційні характеристики пошкодження, як власні частоти і форми коливань, передаточна функція, механічний імпеданс, динамічна податливість, антирезонансні частоти і фазові траєкторії виявилися малочутливими до наявності невеликих тріщин.

В той же час, як було показано у ряді досліджень, параметри суб- і супергармонічних резонансних коливань і характеристики демпфірування при певних умовах суттєво змінюються при виникненні локального пошкодження, що може бути використано як основа для розробки високочутливих і стійких до впливу експлуатаційних факторів вібраційних методів діагностики тріщин втоми. Тому вирішення наукової проблеми виявлення закономірностей коливань пружних тіл з локальним пошкодженням типу тріщини є актуальною і має велике практичне значення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи відповідає науковому напрямкові досліджень, які виконуються у відділі коливань і вібраційної надійності Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України в рамках бюджетних тем 1.3.4.224 "Визначення закономірностей впливу пошкоджень на вібраційні характеристики неконсервативних механічних систем і їхню реакцію на збудження різного характеру" (постанова Бюро Відділення Механіки НАН України від 09.12.99 р., протокол № 11), 1.3.4.115 "Дослідження закономірностей збудження і демпфірування коливань неконсервативних механічних систем з врахуванням технологічних і експлуатаційних факторів" (постанова Бюро Відділення Механіки НАН України від 17.11.94 р., протокол № 9) і в рамках теми Міністерства освіти і науки України НТР 5.5.9.Б "Розробка методів діагностики вібраційного стану і прогнозування вичерпання залишкового ресурсу високонавантажених конструктивних елементів з моделюванням їх реальної навантаженості і врахуванням можливих пошкоджень" (наказ Міністерства освіти і науки України від 01 квітня 2003 р. № 197).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розвиток методів моделювання коливань пружних тіл з локальним пошкодженням типу тріщини втоми, встановлення закономірностей впливу параметрів пошкодження на вібраційні характеристики, характеристики демпфірування і нелінійні ефекти при вільних і вимушених коливаннях пружних тіл і оцінка на їхній основі можливості ефективного застосування вібраційних методів діагностики пошкодження.

Для досягнення цієї мети були поставлені і вирішені наступні задачі:

створення експериментальних методик визначення демпфіруючої здатності зразків з локальної несуцільністю матеріалу і проведення спектрального аналізу їхніх коливань при основному і супергармонічному резонансах;

встановлення на основі експериментальних досліджень функціонального взаємозв'язку між розсіюванням енергії в тріщині нормального відриву і напруженістю в околі вершини тріщини;

розвиток і експериментальна апробація методів моделювання коливань пружного тіла з відкритою і тою, що закривається, тріщиною, які враховують розсіяння енергії гістерезисного і в'язкопружного типу, ефект передчасного (пізнього) закриття тріщини, особливості розподілу деформації в околі тріщини й зумовлена тріщиною зміна характеристики демпфірування коливань тіла;

розвиток аналітичних підходів і розробка алгоритмів чисельного рішення задач про вільні і вимушені коливання пружних тіл з несиметричною характеристикою відновлювальної сили і різними видами і рівнем дисипації енергії;

встановлення залежності вібраційних характеристик і характеристик демпфірування коливань пружних тіл від параметрів і виду локального пошкодження;

визначення параметрів супутніх форм коливань пружного тіла з тріщиною, що закривається, і оцінка їхньої залежності від параметрів тріщини;

встановлення закономірностей впливу параметрів тріщини, що закривається, на параметри нелінійних ефектів при коливаннях пружного тіла в околі основного і супергармонічного резонансів з врахуванням розсіювання енергії в матеріалі пружного тіла і в тріщині;

оцінка ефективності досліджуваних вібраційних характеристик пошкодження на основі порівняльного аналізу чутливості і практичної застосовності для цілей вібродіагностики.

Об'єкт дослідження – узагальнена модель пружного тіла у вигляді еквівалентної механічної системи з одним ступенем волі, континуальна і скінченоелементна моделі консольного стержня з крайовою тріщиною нормального відриву і континуальна модель пластини з наскрізною тріщиною, зразки для експериментальних досліджень у вигляді призматичних стержнів з крайовою тріщиною і лопатки компресора низького тиску газотурбінного двигуна з поверхневою тріщиною втоми.

Предмет дослідження – параметри нелінійних ефектів при вільних і вимушених коливаннях пружних систем з несиметричною кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили, зміна дисипативних властивостей, власних частот і форм коливань пружних тіл при наявності пошкодження.

Методи дослідження – у роботі використані експериментальні, аналітичні і чисельні методи дослідження коливань деформованих тіл з локальним пошкодженням. Для експериментальних досліджень характеристик демпфірування коливань зразків використовувався метод вільних згасаючих коливань. Для аналітичних досліджень були використані асимптотичний метод нелінійної механіки (метод малого параметра) і метод Релея для визначення власних частот стержнів з відкритою або тою, що закривається, тріщиною. Для чисельного рішення задачі про коливання пружних систем з несиметричною кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили використовувався метод Ньюмарка. Для визначення власних частот коливань континуальних моделей стержня використовувався метод Гауса. Для моделювання коливань стержнів із тріщиною, що закривається, використовувався метод припасовування. Для моделювання коливань стержня з тріщиною з врахуванням функціональної залежності розсіювання енергії в тріщині від її параметрів і напруженості в її околі використовувався метод скінчених елементів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає у наступному:

в результаті експериментальних досліджень виявлено основний механізм розсіювання енергії в тріщині нормального відриву, що не росте, і встановлено функціональний взаємозв'язок між розсіюванням енергії в тріщині втоми і номінальним розмахом коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН);

встановлено закономірності зміни характеристики демпфірування коливань консольного стержня з крайовою тріщиною і пластини з наскрізною тріщиною в широкому діапазоні варіювання її параметрів;

розвинуто й експериментально апробовані розрахункові моделі пружного тіла з відкритою і тою, що закривається, тріщиною, в яких враховані розсіювання енергії гістерезисного або нелінійного в'язкопружного типу, ефект передчасного (пізнього) закриття тріщини, особливості розподілу деформації в околі тріщини, а також функціональна залежність розсіювання енергії в тріщині від номінального розмаху КІН;

на основі досліджень вільних і вимушених коливань моделей пружного тіла з тріщиною, що закривається, встановлено вплив виду і рівня демпфірування в системі, супутніх форм коливань і ефекту передчасного закриття тріщини на параметри нелінійних ефектів коливних процесів переміщення, прискорення і деформації при основному, супергармонічних і субгармонічному резонансах;

показано, що при коливаннях стержня з тріщиною, що закривається, у моменти її відкриття-закриття виникають супутні форми коливань, амплітуди яких залежать від розмірів і місцерозташування тріщини;

встановлено, що для континуальної системи з пошкодженням типу тріщини, що закривається, значення параметрів нелінійних ефектів досліджених коливних процесів істотно залежить від координати перетину, для якого вони визначаються;

визначено умови виникнення псевдонелінійних резонансів і запропоновані методи їхнього виключення при вібраційних випробуваннях елементів конструкцій;

виконано порівняльний аналіз чутливості вібраційних характеристик, характеристик демпфірування і параметрів нелінійних ефектів різних коливних процесів до наявності пошкодження, а також сформульовано умови ефективного використання цих характеристик в якості діагностичних ознак пошкодження.

Практична цінність роботи полягає в тому, що запропоновані в ній розрахункові моделі пружних тіл з локальним пошкодженням типу тріщини, що закривається, і відповідне програмове забезпечення та отримані експериментальні і розрахункові дані про закономірності зміни власних частот і форм коливань, характеристик демпфірування коливань пружних тіл, а також зміни параметрів нелінійних ефектів в залежності від параметрів тріщини становлять основу для створення методів вібродіагностики пошкодження машин і конструкцій в реальних умовах експлуатації .

Запропонована методологія попередньої оцінки можливості ефективного використання різних вібраційних методів діагностики пошкодження на основі порівняльного аналізу їх чутливості і впливу на вібраційну характеристику умов експлуатації об’єкта діагностики.

Результати роботи використовуються у навчальному процесі кафедри "Динаміка і міцність машин та опору матеріалів" механіко-машинобудівного інституту і кафедри "Приладів і систем орієнтації і навігації" приладобудівного факультету Національного технічного університету України "КПІ" і кафедри "Механіки" Національного авіаційного університету.

Достовірність результатів роботи визначається використанням експериментально апробованих моделей пружного тіла, співставленням чисельних рішень з відомими точними аналітичними рішеннями, застосуванням широко використовуваних і багаторазово перевірених методів розрахунку, оцінкою точності і роздільної здатності використовуваних експериментальних методик.

Особистий внесок здобувача. З 35 публікацій, які відображають зміст роботи, 14 виконані автором самостійно. У роботах, виконаних у співавторстві, автором дисертації виконані експериментальні й аналітичні дослідження впливу пошкодження на власні частоти і форми коливань, характеристики демпфірування і нелінійних ефектів, розроблені методи експериментальних досліджень і вдосконалені моделі тіла з локальним пошкодженням.

Апробація роботи. Основні положення і результати дисертації були представлені на Міжнародному симпозіумі " Прочность материалов и элементов конструкций при звуковых и ультразвуковых частотах нагружения" (Київ-1984); на XIV Республіканській науковій конференції "Рассеяние энергии при колебаниях механических систем" (Київ-1989); на XV Республіканській науковій конференції "Рассеяние энергии при колебаниях механических систем" (Київ-1992); на 10th International conference on experimental mechanics (Portugal, Lisbon-1994); на IIIrd International symposium on mechanics and mechanisms of material damping (USA, Norfolk-1995); на Міжнародній конференції "Динамика роторных систем" (Хмельницький-1996); на 17th International conference on modal analysis (USA, Kissimmee-1999); на Міжнародній науково-технічній конференції "Оценка и обоснование продления ресурса элементов конструкций" (Київ-2000); на Міжнародній науково-технічній конференції "Проблемы динамики и прочности в газотурбостроении" (Київ-2001); на 5th International conference on damage assessment of structures (UK, Southampton-2003); на Міжнародній науково-технічній конференції "Проблемы динамики и прочности в газотурбостроении" (Київ-2004); у НТУ України “КПІ” на кафедрі динаміки і міцності машин; на науково-технічній раді Інституту проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України; на наукових семінарах Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 35 наукових робіт, з них 28 статей в журналах, 5 доповідей у збірниках праць конференцій, один препринт і одне авторське свідотство на винахід.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, семи розділів, списку використаних джерел. Обсяг дисертації складає 337 сторінок машинописного тексту, у тому числі 56 рисунків і 33 таблиці. Список використаних літературних джерел включає 420 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета і задачі дослідження, наведені дані щодо наукової новизни, обґрунтована достовірність і показана практична цінність отриманих наукових результатів, наведені дані про публікації і апробацію роботи.

Перший розділ містить аналіз існуючих проблем вібраційної діагностики пошкоджень, на основі якого визначені перспективні напрямки роботи.

Основна ідея вібраційної діагностики пошкодження полягає в оцінці параметрів пошкодження за мірою обумовленого його утворенням і розвитком зміни жорсткості, і, отже, модальних характеристик (власні частоти і форми коливань, модальне демпфірування) конструкцій або їхніх елементів у процесі експлуатації або ремонту.

У роботах P.G.Kirmsher і W.T.Thomson вперше були запропоновані методи визначення власних частот коливань стержнів з тріщиною. Ці методи були розвинуті у роботах R.D.Adams, A.D.S.Barr, P.Cawley, S.Christides, A.D.Dimarogonas, B.Grabowski, P.Gudmundson, В.М.Чушко. Значний внесок у рішення різних аспектів задачі вібродіагностики пошкодження внесли такі вчені, як В.І.Бересневич, Н.І.Бурау, Л.М.Гельман, Б.І.Крюков, В.В.Матвєєв, М.П.Плахтіенко, А.Б.Ройтман, О.Т.Сідоров, С.Л.Цифанський, М.Г.Шульженко, O.N.L.Abraham, N.Aspragathos, M.Biswas, J.A.Brandon, T.G.Chondros, C.R.Farrar, A.Ibrahim, F.Ismail, P.H.Kirkegaard, M.Krawczuk, S.Maezawa, W.Ostachowicz, A.K.Pandey, H.J.Petroski, P.F.Rizos, R.Ruotolo, A.Rytter, M.M.Samman, M.-H.H.Shen, W.J.Staszewski, D.Storer, C.Surace, D.Wendtland, K.Worden, B.Zastrau. Разом з тим, аналіз публікацій за темою дозволяє констатувати наявність ряду невирішених або недостатньо вивчених проблем, що перешкоджають практичному використанню вібраційних методів діагностики пошкодження.

Як показали дослідження, зміна власних частот і форм коливань виявилася недостатньо інтенсивною для створення ефективних методів діагностики пошкоджень. Це зумовило пошук більш чутливих вібраційних характеристик пошкодження, серед яких зміна характеристик демпфірування, виникнення суб- і супергармонічних коливань, а також рівень нелінійних спотворень коливань при основному, суб- і супергармонічних резонансах (т. зв. нелінійні ефекти). Відомі результати досліджень неповно або неточно відображують взаємозв'язок між параметрами нелінійних ефектів коливного процесу і параметрами пошкодження конструктивних елементів, що зумовлено необґрунтованою оцінкою еквівалентної жорсткості послабленого тріщиною локального об’єму елемента. Не береться до уваги можливість виникнення супутніх форм коливань конструктивних елементів у моменти відкриття-закриття тріщини і їхній вплив на рівень нелінійності коливних процесів, а також закриття тріщини не при нульових напруженнях.

Виникнення і ріст тріщини втоми за певних умов супроводжується істотним збільшенням характеристики демпфірування коливань системи, у той час як прояв нелінійних ефектів залежить не тільки від параметрів тріщини, але також і від рівня демпфірування в коливній системі. Загальним недоліком представлених у літературі моделей тіл із тріщиною є нехтування зміною дисипативних властивостей коливної системи при виникненні і рості пошкодження і зміною жорсткості системи не в момент її проходження через положення рівноваги. Такі розрахункові моделі неадекватно характеризують поведінку реального тіла з тріщиною і, отже, їхнє використання зумовлює істотну погрішність оцінки параметрів пошкодження. Проблемою є також відсутність аналітичної залежності, що зв'язує розсіювання енергії в тріщині з її параметрами, а також з рівнем напруженості в її околі.

Не знайшли свого вирішення проблеми практичної реалізації нелінійних ефектів для діагностики пошкоджень, зокрема, проблема збудження псевдонелінійних резонансів внаслідок негармонійності змушувальної сили, а також проблема оптимізації методу діагностики за кількістю і типом використовуваних вібраційних характеристик пошкодження, за методами їхнього вимірювання, за кількістю використовуваних форм коливань і за способом конкретної реалізації.

Таким чином, підставою для розробки теми слугувала наявність невирішених і недостатня досліджених проблем обґрунтованої оцінки і прогнозування зміни вібраційних характеристик і характеристик демпфірування коливань елементів конструкцій, а також параметрів нелінійних ефектів при наявності пошкоджень типу тріщин втоми.

У другому розділі представлені методи і методики експериментального дослідження, описані експериментальна установка і види випробувань, наведено характеристики зразків.

При дослідженнях використовувалися розроблені у відділі коливань і вібраційної надійності Інституту проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України експериментальні методики і автоматизована система реєстрації коливань і визначення характеристик демпфірування коливань зразків з різних матеріалів і робочих лопаток компресора низького тиску газотурбінного двигуна з локальною несуцільністю матеріалу типу тріщини або прорізу і резонансних частот їхніх коливань, а також для проведення спектрального аналізу коливних процесів деформації і прискорення при основному і супергармонічному резонансах.

В якості характеристики демпфірування використовувався логарифмічний декремент коливань (ЛДК), що визначався методом вільних згасаючих коливань.

Дослідження розсіювання енергії в тріщині і прорізу проводилися при згинальних коливаннях зразків за першою формою. Розсіювання енергії в тріщині визначалося при різній асиметрії циклу як різниця дисипації енергії коливань зразка з пошкодженням і непошкодженого зразка. Для створення асиметрії циклу зразок був закріплений горизонтально і до його кінця підвішувався вантаж. При знятому вантажі мав місце симетричний цикл коливань. Характеристики демпфірування визначалися при амплітудах напружень, що виключали помітне підростання тріщини. Тріщина втоми заданої глибини вирощувалася з концентратора напружень на відстані Lт від місця защемлення зразка. При кожній глибині тріщини визначалися амплітудні залежності ЛДК. На другому етапі випробувань зразок з найбільшою глибиною тріщини було перевстановлено таким чином, щоб тріщина була на нижній крайці зразка. У цьому випадку статичне навантаження не дозволяло тріщині розкриватися. Третій етап випробувань полягав у поступовому видаленні тріщини прорізом шириною 1 мм, який виключав контакт між його поверхнями.

Безконтактна електромагнітна система збудження резонансних коливань зразків була використана для дослідження впливу пошкодження типу тріщини втоми і прорізу на власні частоти їхніх згинальних і поздовжніх коливань. Погрішність визначення пов'язаного з наявністю тріщини відносної зміни власних частот коливань зразків була оцінена у 0,6%.

Була розроблена і використана високоточна система спектрального аналізу коливань, що дозволила досліджувати спектр коливань як при основному, так і при супергармонічному резонансі зразків. Спеціальні тести показали, що відносна погрішність визначення коефіцієнтів Фур'є, величина яких складала 0,001, 0,01 і 0,1% від амплітуди першої гармоніки, не перевищувала 22, 11 і 2%, відповідно.

Третій розділ містить результати досліджень дисипативних властивостей стержнів і пластин з крайовими і наскрізними тріщинами нормального відриву і прорізом.

Закономірності розсіювання енергії в пошкодженнях типу тріщини і прорізу були встановлені за результатами випробувань зразків зі сталей 15Х2НМФА і 08Х18Н10 і титанових сплавів ВТ18У и ВТ-8 при симетричному (R=1) і асиметричному циклах коливань (R=0,12...0,73). Було показано, що основна причина розсіювання енергії в тріщині нормального відриву, що не росте, у металевих матеріалах – пластичні й пружнопластичні деформації в околі її вершини. При симетричних коливаннях можливе тертя між берегами тріщини, однак за своїм внеском цей механізм розсіювання енергії є несуттєвим. Закрита статичним навантаженням тріщина не є ні джерелом розсіювання енергії, ні джерелом зміни жорсткості. В пошкодженні типу прорізу зазначені вище механізми розсіювання енергії відсутні.

Оціночні розрахунки розсіювання енергії в околі вершини тріщини показали, що навіть незначний об’єм пружнопластичної зони, що складає всього 0,001% об’єму зразка, може спричинити зафіксоване в експериментах збільшення ЛДК зразків у кілька разів, зумовлене наявністю тріщини.

Також було встановлено, що енергія, яка розсіюється в тріщині досліджених зразків, найкращим чином описується як функція номінального розмаху КІН (рис. 1). Феноменологічна залежність розсіяної енергії, що припадає на одиницю довжини фронту тріщини b, від величини розмаху КІН має такий вигляд:

. (1)

Розмірність KI у (1) – МПа , а – Дж/м.

Як видно з рис. 1, функція (1) досить точно прогнозує рівень розсіювання енергії в тріщині, що не росте, при різній її глибині, при різних амплітудах напружень і асиметрії циклу в діапазоні номінального розмаху КІН KI2,9 МПа.

Залежність (1) була використана при аналітичних дослідженнях впливу тріщин на характеристики демпфірування коливань стержнів і пластин. У випадку крайової тріщини розсіяна в ній енергія визначалася виразом:

, (2)

де b – це довжина фронту тріщини (рис. 2, а). У випадку напівеліптичної поверхневої тріщини враховувалася зміна КІН по її фронту:

. (3)

Смисл позначень, використаних у виразі (3) зрозумілий з рис. 2, б.

Аналітичні дослідження пока-зали, що якщо матеріал стержневого елемента є низькодемпфіруючим, то характеристика демпфірування його коливань досить відчутно реагує на виникнення тріщини, особливо при малих амплітудах напружень. Так, при рівні ЛДК неушкодженого стержня =0,001 ріст тріщини в дослідженому діапазоні приводить до збільшення характеристики демпфірування майже на порядок (рис. 3). Якщо ж висхідний рівень демпфірування коливань стержня є відносно високим (наприклад, =0,1), то зміна характеристики демпфірування за тих самих умов складає всього 5-6%. Ступінь зміни ЛДК істотно залежить від напруженості в околі вершини тріщини, оскільки рівень розсіювання енергії в тріщині згідно з залежністю (1) пропорційний величині номінальних напружень. Тому відносна зміна ЛДК стержнів по різних формах розрізняється в залежності від місцерозташування тріщини. Наприклад, якщо тріщина виникає у вузлі напружень відповідної форми коливань, вона не впливатиме на ЛДК стержня і, отже, не зможе бути виявлена цим методом.

У випадку напівеліптичної тріщини ступінь збільшення декремента коливань стержня зростає в міру витягування фронту тріщини, але залишається нижчим, ніж у випадку крайової тріщини тієї ж глибини.

При дослідженні впливу наскрізної тріщини на характеристики демпфірування згинальних коливань прямокутної пластини постійної товщини припускали, що джерелом розсіювання енергії є або верхня, або нижня половина тріщини і що розсіювання енергії в тріщині визначається тими ж закономірностями, що були отримані для тріщини нормального відриву (1). Розсіяна в тріщині за цикл коливань енергія визначалася виразом

. (4)

Результати розрахунків відносної зміни ЛДК пластини з розмірами Lb=11 м з початковим ЛДК =0,0005 і модулем пружності матеріалу E=0,71105 МПа показали, що, на відміну від стержнів, ЛДК пластини різко падає з ростом тріщини, причому інтенсивність падіння тим вище, чим гнучкішою є пластина.

Таким чином, вплив тріщини на характеристику демпфірування досліджених стержнів і пластин якісно розрізняється і є істотним за певних умов. Це пов'язано з тим, що в міру росту тріщини в стержнях інтенсивніше збільшується енергія, що розсіюється в тріщині, а в пластинах енергія деформації. На відміну від тріщини, проріз зумовлює деяке зниження характеристики демпфірування коливань стержня, зумовлене збільшенням енергії деформації зразка.

Четвертий розділ присвячений розвиткові способів моделювання коливань пружних тіл з локальним пошкодженням.

В системі з одним ступенем волі вплив тріщини, що закривається, на жорсткість тіла моделювалося несиметричною кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили (рис. 4). Вимушені коливання системи описувалися диференційним рівнянням виду

, (5)

де m коефіцієнт в’язкого тертя; власна кутова частота коливань тіла без пошкодження; q0 амплітуда змушувальної сили, що припадає на одиницю узагальненої маси; C і С0 - узагальнені жорсткості системи, що моделюють тіло на напівциклах коливань, коли тріщина відповідно закрита і відкрита; R(x) відновлювана сила. Враховувалося в’язке і гістерезисне тертя, пружна нелінійність, ефект раннього (пізнього) закриття тріщини, що характеризується точкою перелому xзт функції R(x). Петля гістерезиса описувалася рівняннями, запропонованими Н.Н.Давіденковим. Рівняння (5) вирішувалося чисельно методом Ньюмарка. Як показали тестові розрахунки, коефіцієнти розкладання в ряд Фур'є чисельного рішення рівняння (5) для випадку вільних коливань системи з кусково-лінійною характеристикою відновлювальної сили при відсутності демпфірування співпали з результатами аналітичного рішення з точністю до шести значущих цифр.

Правдоподібність прийнятих у роботі для цієї системи відносних змін жорсткості була забезпечена їх визначенням за результатами вимірювання резонансної частоти поздовжніх коливань зразка зі сталі 08Х18 при різній глибині крайової тріщини втоми. У випадках постійно відкритої і тої, що закривається, тріщини використовувались, відповідно, наступні формули:

; , (6)

де про і т – власні частоти коливань пружного тіла з відповідно відкритою і тою, що закривається, тріщиною. Остання визначалася за формулою т=2про/(про+). Для оцінки відношення Со/С використовувався коефіцієнт відносної жорсткості системи =1Со/С.

В роботі використані дві континуальні моделі стержня з тріщиною. В першій тріщина моделювалася ділянкою зі зменшеним моментом інерції поперечного переріза (рис. 5). В другій моделі тріщина замінялася пружним шарніром з деякою кутовою податливістю.

Вільні поперечні коливання стержня Бернуллі-Ейлера без врахування демпфіру-вання описуються диференційним рівнянням

, (7)

де E і відповідно модуль пружності і густина матеріалу стержня; I=bh3/12 і F=bh відповідно момент інерції і площа поперечного перерізу стержня; b і h ширина і висота поперечного перерізу.

У випадку неушкодженого стержня або на напівциклі, коли тріщина закрита, рішення рівняння (7) можна представити наступним чином:

, (8)

де wi(x) і відповідно власні форми і кутові частоти коливань стержня; i номер форми коливань; Pi, Ri коефіцієнти, що підлягають визначенню з початкових умов для переміщення або кутів поворотів і для швидкості перетинів.

У випадку постійно відкритої тріщини коливання j-ї ділянки стержня мають вигляд:

, (9)

де wij(x) власні форми коливань стержня на j-й ділянці; власні кутові частоти коливань стержня з відкритою тріщиною; Pоi, Rоi коефіцієнти, що підлягають визначенню також з початкових умов (індекс “о” позначає відкриту тріщину).

Рішення диференційного рівняння (7) коливань стержня з тріщиною, що закривається, (така тріщина є відкритою на одному напівциклі коливань і закритою на іншому) на напівциклі, коли тріщина закрита, приймалося таким, як для неушкодженого стержня (8). Рішення для напівциклу, коли тріщина відкривається, знаходився як результат синтезу рішень для неушкодженого стержня (8) і для стержня з постійно відкритою тріщиною (9), що узгоджувалися за переміщеннями і швидкостями у момент переходу системи через положення рівноваги:

(10)

(індекс “т” позначає тріщину, що закривається).

Довжина другої ділянки 2d (див. рис. 5) і зміна податливості пружного шарніра т визначалися виходячи з енергетичного критерію еквівалентності, коли зміна потенційної енергії деформації пошкодженої ділянки визначали, з одного боку, методами класичної механіки, а з іншого методами механіки руйнування. При використанні для визначення КІН формули Черепанова вони мають такий вигляд:

; , (11)

де =a/h відносна глибина тріщини.

Важливою особливістю моделей є врахування впливу тріщини на розподіл деформацій вздовж поверхні з тріщиною, так і вздовж протилежної по відношенню до тріщини поверхні стержня за допомогою спеціальних поправочних функцій. Критерієм оцінки меж застосовності моделі слугував фактор незмінності знака згинаючого моменту в перетині з тріщиною на напівциклі коливань.

Скінченоелементна (СЕ) модель стержня Бернуллі-Ейлера з крайовою поперечною тріщиною, що не росте, була заснована на СЕ моделі, яка була створена в Туринському політехнічному інституті. Модифікація моделі полягала в тому, що було враховане розсіювання енергії в тріщині, що виражається функціональною залежністю розсіювання енергії в тріщині від номінального розмаху КІН (1). Коефіцієнт модального демпфірування в матриці демпфірування пов'язувався з декрементом коливань стержня з тріщиною формулою (max)=(1/2)т(max).

Була використана СЕ модель стержня, що складалася з 20-ти одномірних елементів. Тріщина моделювалася еквівалентним зменшенням жорсткості одного з елементів. Вимушені коливання стержня з тріщиною, що закривається, описувалися наступним рівнянням:

, (12)

де [K]=[Ku] – матриця жорсткості стержня, коли тріщина закрита; [K]=[Kт] – матриця жорсткості стержня, коли тріщина відкрита; {q} – вектор узагальнених переміщень вузлів; {R} – вектор сил, що прикладаються, який у випадку консольного стержня з зосередженою силою, прикладеною до його кінця, має вигляд

. (13)

Рішення рівняння (12) було отримано чисельно методом Ньюмарка неявного інтегрування за часом. Оцінка стану тріщини здійснювалася за знаком відносного кута повороту вузлів елемента, що моделював тріщину.

Були розроблені також дві інженерні моделі стержня з тріщиною.

Перша інженерна модель стержня з тріщиною заснована на використанні асимптотичного методу нелінійної механіки і підходів лінійної механіки руйнування. Рішення диференційного рівняння вільних коливань стержня знаходилося в першому наближенні методом малого параметра. Припущення, що спрощували цю модель полягали у нехтуванні демпфіруванням і зміною власних форм коливань, зумовлених наявністю тріщини. У результаті аналітичного рішення були отримані прості вирази для визначення коефіцієнта відносної жорсткості і відносної зміни частот різних форм поздовжніх і згинальних коливань стержнів і при різних крайових умовах. Зокрема, відносну зміну власних частот коливань стержня з відкритою і тою, що закривається, тріщиною визначається, відповідно, за формулами:

; . (14)

В другій інженерній моделі тріщина моделювалася прямокутним прорізом. Залежність довжини прорізу від глибини тріщини була встановлена на підставі співставлення результатів розрахунку власної частоти першої форми коливань моделі стержня з тріщиною і даних експерименту для зразка з низькодемпфіруючого сплаву ВТ-8, у результаті якого було отримано емпіричне співвідношення

. (15)

Власна частота коливань пружного консольного стержня з тріщиною визначалася методом Релея з залученням методу малого параметра. У результаті були отримані прості формули для визначення відносної зміни відповідно згинальних і подовжніх коливань стержня за першою формою:

; , (16)

де А и В – параметри, що залежать від розмірів і місцерозташування тріщини; L – довжина стержня; mL – маса вантажу на кінці стержня.

Як показали результати експериментальної оцінки достовірності моделей, вони в цілому задовільно передбачають зміни власних частот коливань зразків з пошкодженням типу тріщини і прорізу, а також нелінійні спотворення процесів деформації і прискорення зразків із тріщиною втоми при основному і супергармонічному резонансах. Запропоновані моделі дозволяють визначати параметри тріщини, ґрунтуючись на експериментально визначених відносних змінах резонансної частоти коливань зразків за різними формами, з погрішністю до 30%.

П'ятий розділ містить результати аналітичних досліджень нелінійних ефектів при вільних коливаннях дискретної і континуальної моделей тіла з тріщиною.

Вплив тріщини, що закривається, на нелінійні спотворення вільних коливань моделей оцінювали величиною нульового коефіцієнта і другої гармоніки спектра коливань, а також коефіцієнтом гармонік

. (17)

При дослідженні згасаючого коливного процесу проводився гармонійний аналіз одного з перших його циклів. Для порівняльної оцінки чутливості параметрів нелінійних ефектів до пошкодження визначалося також відношенням першого і другого напівперіодів Т1/Т2 зазначеного процесу.

Як видно з рис. 6, у випадку дискретної моделі при демпфіруванні гістерезисного типу ріст тріщини помітно змінює характеристики нелінійності вільних згасаючих коливань системи, але найбільш істотно коефіцієнти гармонік спектрів переміщення, швидкості і прискорення (далі по тексту ці процеси позначаються відповідно індексами "d", "v" і "a"). Однак їхня зміна в області малих тріщин недостатня для цілей практичної діагностики.

При дослідженні коливань континуальної моделі стержня з тріщиною, що закривається, було встановлено, що при збуджені заданої (основний) форми коливань стержня в результаті періодичної зміни його жорсткості самовільно виникають інші форми його коливань, названі супутніми. Їхня оцінка стосовно до випробуваних зразків з різними параметрами тріщини втоми і з різних матеріалів показала, що амплітуди супутніх форм коливань прямопропорційні глибині тріщини, однак для випробуваних зразків при розмірах тріщини, що мали місце, вони залишалися набагато менше амплітуди основної форми коливань.

Розрахунок власних форм коливань модельного стержня на кожнім з обмеженого числа циклів його коливань (розрахунок обмежувався 200-ми циклами коливань) свідчать про те, що кожен напівцикл коливань стержня характеризується неповторюваним набором амплітуд основної і супутньої форм коливань, а також, що в діапазоні відносних глибин тріщини a/h0,25 межі зміни амплітуд супутніх форм коливань обмежені вузьким діапазоном (до 3,6 % від амплітуди основної форми) і процес коливань у залишається усталеним.

На відміну від дискретної моделі, континуальна модель дозволяє виявити важливу особливість таких систем, а саме істотну зміну нелінійних спотворень коливань пружного тіла по його довжині. Параметри нелінійних спотворень визначалися для моделі консольного стержня з наступними характеристиками L/h=20; Lт/L=0,1 або Lт/L=0,5. Модуль пружності і густина матеріалу стержня, а також відношення b/h практично не впливають на відносну зміну розглянутих вібраційних характеристик (при розрахунках приймали E=200 ГПа; =7800 кг/м3; b/h=1; mL=0).

Причина зміни рівня нелінійних спотворень коливних процесів по довжині стержня криється в спотворенні форм коливань стержня на напівциклі розкриття тріщини. Рис. 7 ілюструє зміну відношення максимальних відхилень осі стержня від його нейтрального положення по довжині на напівциклах коливань, коли тріщина відкрита (yтjmax(x)) і закрита ((ymax(x)). Відносна зміна цієї функції невелика (не перевищує 10% для першої форми коливань) і чим вище форма коливань, тим вона менше. Розрив відповідних функцій для другої і третьої форм коливань пов'язаний з тим, що координати вузлів коливань на напівциклах, коли тріщина закрита і відкрита, не збігаються. Особливістю розглянутих функцій є те, що вони мають перелом у перетині з тріщиною (x/L=0,1 і 0,5). Рівень спотворень форм коливань на напівциклі розкриття тріщини визначається параметрами тріщини і номером форми коливань.

Наслідком спотворення форм коливань є нерівномірність розподілу нелінійних спотворень процесів переміщення, прискорення і деформації, оцінюваних нульовим коефіцієнтом і коефіцієнтом гармонік, по довжині стержня. Розподіл відносної зміни нульового коефіцієнта для процесів переміщення і прискорення по довжині стержня якісно аналогічні залежностям, які показані на рис. 7, хоча ступінь їхньої зміни трохи менша: до 9% для переміщення і до 6% для прискорення (ці оцінки не стосуються поведінки функцій в околі вузлів коливань, де вказані зміни набагато більші). Розподіли коефіцієнта гармонік розглянутих коливних процесів мають якісно інший вид. Рис. 8 ілюструє такий розподіл для процесу прискорення. Як видно, найбільші значення коефіцієнт гармонік має поблизу защемлення і вузлів коливань. Чутливість обох характеристик для хвилі переміщення і прискорення знижується в міру віддалення тріщини від защемлення, а перелом функцій їхнього розподілу по довжині стержня вказує на перетин із тріщиною.

Характерною особливістю зміни нульового коефіцієнта по довжині стержня для процесу деформації є наявність максимуму в перетині з тріщиною при всіх формах коливань. При цьому амплітуда нульового коефіцієнта є співставною з амплітудою першої гармоніки. Тут так само, як і у відповідних випадках для процесів переміщення і прискорення, має місце розрив функцій при другій і третій формах коливань, обумовлений розбіжністю координат перетинів, при яких згинальний момент досягає нульового значення на різних напівциклах коливань.

Коефіцієнти гармонік спектра процесу деформації також досягають найбільших значень у перетинах із тріщиною, а також в околі вузлів згинального моменту (рис. 9). Ступінь зміни коефіцієнта гармонік на неушкодженій поверхні стержня в околі тріщини росте в міру віддалення останньої від защемлення, що якісно відрізняє цю характеристику від всіх інших.

Вплив маси вантажу на кінці стержня і його моменту інерції на відносну зміну досліджуваних характеристик нелінійності залежить від форми коливань стержня. Так, розходження в значеннях відношення yтjmax(x)/(ymax(x) по довжині стержня з масою (m=7,8 кг, що дорівнює 50-кратній масі стержня, і Im=0,01 кгм2) і без маси на кінці не перевищує 1% для першої і 20% для другої форми. Наявність маси на кінці стержня приводить до збільшення ступеня відносної зміни нульового коефіцієнта (у деяких випадках у кілька разів) і до зниження ступеня відносної зміни коефіцієнта гармонік для усіх видів коливних процесів.

Як видно, аналіз характеру розподілу характеристик нелінійності по довжині стержня дозволяє визначити перетини, у яких прояв тієї або іншої характеристики найбільш істотний. Так, для відносної зміни асиметрії циклу коливань і нульового коефіцієнта для переміщення і прискорення це перетин x/L=0,2 і перетини в околі вузлів коливань. Коефіцієнт гармонік для процесів переміщення і прискорення найбільш істотно проявляються поблизу защемлення і вузлів коливань. Нульовий коефіцієнт і коефіцієнт гармонік для деформації досягають максимуму поблизу перетинів із тріщиною і з нульовим згинальним моментом.

Таким чином, виникнення пошкодження типу тріщини, що закривається, у стержневому елементі при його коливаннях зумовлює істотну залежність характеристик нелінійності процесу коливань від координати перетину, для якого вони визначаються, внаслідок спотворення форм коливань стержня на напівциклі відкриття тріщини. З цього випливає, що чутливість діагностичної ознаки пошкодження, заснованого на використанні нелінійних ефектів, визначається також і раціональним розташуванням вздовж стержня датчика для реєстрації коливань.

Рівень нерівномірності розподілу характеристик нелінійності по довжині стержня може бути використаний як діагностична ознака наявності пошкодження типу тріщини