Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

БОМБА Андрій Ярославович

УДК 517.95+519.63.001.57+532.5

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЗБУРЕНЬ ПРОЦЕСІВ ТИПУ “ФІЛЬТРАЦІЯ-КОНВЕКЦІЯ-ДИФУЗІЯ” З ПІСЛЯДІЄЮ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Рівненському державному гуманітарному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАНУ СКОПЕЦЬКИЙ Василь Васильович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор ГРИЩЕНКО Олександр Юхимович, Київський національний університет ім. Тараса Шевченка, професор кафедри обчислювальної математики;

доктор технічних наук, професор НОВІКОВ Олексій Миколайович, Національний технічний універcитет України “КПІ”, директор фізико-технічного інституту;

доктор технічних наук, професор БУЛАВАЦЬКИЙ Володимир Михайлович, Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, провідний науковий співробітник.

Провідна установа: Чернівецький державний університет ім. Юрія Федьковича, факультет комп’ютерних наук.

Захист відбудеться “    ”     вересня     2005 р. о   00   годині на засіданні спеціалізо-ваної вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680, МСП, м. Київ 187, пр. Академіка Глушкова, 40.

Із дисертацією можна ознайомитись у науково-технічному архіві Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України

Автореферат розісланий “  5  ”      липня     р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При моделюванні еко-енергосистем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у схильних до деформації середовищах за умов оптимізації відповідних параметрів виникає необхідність врахування: зворотного впливу (взаємовпливу) визначальних факторів процесу (наприклад, градієнтів напору, величини струму, різного роду концентрацій “забруднюючих” середовище речовин ін.) на характеристики середовища (коефіцієнт провідності, коефіцієнт конвективної дифузії, опір і т.д.); впливу додаткових компонент на процес (наприклад, вплив явищ дифузії на конвективно-фільтраційних фонах); впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу на нього додаткових (як внутрішніх, так і примежових) джерел на характер течії.

При дослідженні, зокрема, процесів фільтрації (наприклад, у навколодренному середовищі) досить актуальне на сьогоднішній день врахування явища втрати фільтраційної міцності ґрунтів внаслідок перевищення діючими градієнтами допустимого критичного їх значення для даного ґрунту, що може супроводжуватись суттєвими змінами питомої витрати та значно вплинути на роботу всієї дренажної системи, навіть вивести меліоративну систему з ладу. При моделюванні ж такого роду процесів, де важливим моментом є розв’язання крайових задач теорії фільтрації з урахуванням суфозії, взаємовпливу градієнтів напору, фільтраційних характеристик середовища та ін., дослідники, як правило, пропонують нові за суттю постановки задачі, які відрізняються від попередніх напрацювань. Реалізація відповідних моделей на практиці часто виявляється надто ускладненою; у цьому криється причина їх низької поширеності. На відміну від такого підходу, автором дисертаційної роботи запропоновано нову методологію побудови моделей вказаних процесів шляхом збурення вихідних фільтраційних фонів, що дозволяє не відкидати, а ефективно використовувати усі попередні досягнення та напрацювання. Реалізація такого загального ідейного підходу, зокрема, приводить до постановки відповідних нових нелінійних крайових задач з післядією, задач про стабілізацію середовища, задач фільтрації у випадку формування збурених зон змінним коефіцієнтом фільтрації із врахуванням нерівномірного заповнення пористого простору та ін.

При розв’язанні такого типу задач для областей, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, виникає проблема однозначності нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення за умов збурення, зокрема, проблема виявлення так званих “ключових” задач на знаходження тих значень потенціалу керування, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, перетоків тощо).

Зазначимо також, що на сьогоднішній день не вирішеною лишається актуальна проблема обернення просторових нелінійних крайових задач теорії потенціальних та квазіпотенціальних полів, а саме відшукування спеціальних типів просторових аналогів конформних і квазіконформних відображень зв’язаних з моделюванням фільтраційних процесів, що важливо при дослідженні більш складних процесів (наприклад, поширення забруднень на таких фільтраційних фонах).

Вирішення проблеми “обернення” крайових задач на конформні та квазіконформні відображення створює основу для розширення меж застосування розробленої автором методики розв’язання типових крайових задач для сингулярно збурених параболічних та еліптичних рівнянь, суттєвого його розвинення (побудови пограншарових поправок стосовно нових типів областей комплексного потенціалу із змінною у часі ділянкою границі області) з метою вирішення не менш важливих й актуальних проблем моделювання процесів конвективної дифузії (міграції забруднень) на фільтраційних фонах, деформацій граничних (вільних) поверхонь (русел) турбулентним водним потоком, розробки ефективних методів розв’язання збурених нелінійних задач для параболічних рівнянь дифузії у випадку, коли їх коефіцієнти залежать не тільки від шуканої функції, але й від положення вільних ділянок границі області.

Зв’язок роботи із науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності із планами держбюджетних науково-дослідних робіт на теми: “Математичне моделювання нелінійних збурень еко-енергосистем” (№ державної реєстрації 0100U004897); “Чисельно-асимптотичні методи в задачах екології” (Державний фонд фундаментальних досліджень ДКНТ України, проект № 1/778 від 4.05.92 та № 11.3/91), а також пов’язана із науково-дослід-ними роботами: “Математичні моде--лі нелінійних стаціонарних і нестаціонарних фільтра-ційних і гідравлічних проце-сів, проблеми взаємозв’язку та врахування локальних неоднорідностей” (№ І-34 на підставі рішення експертної комісії НУВГП від 10 січня 1995 р., протокол №4 до наказу ректора від 12 січня 1995 р. за №6); “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів у ґрунтових греблях із врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища” (№ 2-62, НУВГП, 17.05.03).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка методології моделювання, дослідження та оптимізації параметрів нелінійно-збурених систем типу “конвекція-масообмін-дифузія” у деформівних середовищах за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища та врахування впливу зміни вільної границі, додаткових джерел та явищ на основний процес. Для її досягнення визначені наступні завдання дослідження.

1. Розробити новий підхід до моделювання фільтраційних процесів із урахуванням взаємовпливу більших за критичні градієнтів напору і коефіцієнта фільтрації та розв’язання відповідних нелінійних крайових задач із післядією. На основі модифікації закону Дарсі побудувати локально нелінійні моделі процесів фільтрації у зернистих середовищах, де при великих градієнтах напору мають місце суфозійні деформації, та розвинути методи розв’язання відповідних крайових задач про стабілізацію середовища. В рамках моделей, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, розробити алгоритми для знаходження значення фільтраційної витрати. Встановити співвідношення між характеристиками недеформованого середовища та відповідного середовища, що деформується в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку і конструктивних характеристик гідроспоруд.

Виходячи з проблем оптимізації конструктивних параметрів в залежності від характеристик ґрунту та гідродинамічної дії фільтраційного потоку, розробити критеріальні моделі формування зон збурення середовища (за рахунок процесів типу суфозії, кольматажу і ін.) з урахуванням нерівномірного заповнення порового простору та зворотного впливу.

2. Розробити методологію числового розрахунку потенціальних і квазіпотенціальних течій у деформівних середовищах, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, з урахуванням взаємовпливу характеристик середовища та процесу на основі розв’язання відповідних нелінійних задач на конформні і квазіконформні відображення.

3. Розробити методику нелінійного обернення крайових задач на конформні та квазіконформні відображення (на основі модифікації методу Р-трансформацій та інших методів) в областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії. З метою системного вивчення такого класу задач проаналізувати та описати всі можливі випадки формування течії залежно від значень потенціалу збурення (керування) і виділити типи задач (“ключових”) на знаходження тих його значень, які забезпечують оптимізацію певних функціоналів (витрат, витоків, втоків, перетоків тощо).

Відповідну методику системного дослідження перенести на випадки тризв’язних областей із потенціалом керування на одному із внутрішніх контурів.

4. Розробити числово-асимптотичну методику: розв’язування нелінійних сингулярно збурених задач – математичних моделей типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, зокрема, методику побудови відповідних асимптотичних поправок в околах ліній розділу течії; асимптотичного розвинення розв’язків періодичних задач стосовно багатозв’язних областей, сингулярно збурених задач із запізненням та аналогічних задач для інтегро-диференціальних рівнянь при врахуванні різного роду взаємовпливу.

На основі розв’язання крайових задач на обернені конформні та квазіконформні відображення розробити методику системного підходу до побудови асимптотичних розвинень розв’язків сингулярно збурених задач типу “конвекція-дифузія” на відповідних фільтраційних фонах за умов керування.

5. Побудувати просторові аналоги крайових задач на конформні відображення. На цій основі отримати розв’язки сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” для просторового криволінійного паралелепіпеда.

6. Розробити підхід до моделювання та дослідження процесів “руйнування” окремих ділянок границь областей (деформації дна, вимивання частинок, руйнування свердловин, дрен та ін.), а також методику наближення розв’язків мішаних сингулярно збурених нелінійних задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними ділянками меж, де коефіцієнт, що характеризує проникнення частинок в рідину, залежить від змінної в часі ділянки границі області.

Об’єкт дослідження – різнокомпонентні нелінійні процеси типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” в середовищах схильних до деформації. Предмет дослідження – математичні моделі нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія-конвекція-дифузія” за умов взаємовпливу визначальних факторів процесу на характеристики середовища, впливу додаткових компонент на процес, впливу зміни вільної границі середовища на потік та впливу додаткових джерел на характер течії.

Методи дослідження – при моделюванні процесів, що досліджуються використовуються ідеї методу послідовних наближень, асимптотичні методи, методи теорії функцій комплексної змінної (конформних і квазіконформних відображень) в комбінації із різними чисельно-аналітичними методами (зокрема методом Р-трансформацій). При переході від “незбурених” задач до “збурених” (нелінійних) ставилась вимога: класичні форми законів, що описують дані процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.) залишити початково прийнятими, та, не починаючи “спочатку”, отримані “незбурені” розв’язки доповнювати різними поправками; при моделюванні та дослідженні процесів із післядією (при врахуванні зворотнього впливу) кожне з послідовних наближень розв’язків відповідних нелінійних задач повинно відображати певний “часовий” стан до стабілізації процесу.

Наукова новизна одержаних результатів. Проведені теоретичні дослідження дозволили отримати такі нові результати.

1. Розроблено новий підхід до моделювання фільтраційних процесів з урахуванням взаємовпливу визначальних факторів процесу та характеристик деформівного середовища. На основі модифікації закону Дарсі, як узагальнення апробованих та експериментально підтверджених базових моделей взаємовпливу градієнту напору та характеристик середовища для осесиметричної фільтрації створені нові локально-нелінійні моделі та підходи до розв’язання задач про стабілізацію процесів типу “фільтрація-суфозія” із встановленням відповідних зон збурення в одно та багатозв’язних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями.

2. Створена нова ефективна методологія чисельного наближення розв’язків неліній-них задач типу “фільтрація” на конформні та квазіконформні відображен-ня в чотирикутних областях, обмежених лініями течії та еквіпотенціальними лініями, а також у двозв’язних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями, з викорис-танням ідеї їх обернення, яка поширена на випадки неоднорідних, шаруватих, анізотропних середовищ та задачі в областях з вільними межами та особливостями.

3. В результаті виконаного системного аналізу (евристичного опису з наступним логіч-ним обґрунтуванням) всіх можливих випадків формування течії в залежності від зада-них значень потенціалу керування на ділянці збурення однієї з граничних ліній течії чотирикутної криволінійної області, а також на одному з внутрішніх контурів тризв’язної області, розв’язана проблема неоднознач-ності нелінійного обернення відповідних крайових задач на конформні відображення та розроблена процедура автоматизованого вибору відповідного випадку.

На цій основі запропоновано постановки та методику розв’язання крайових задач на конформ-ні відображення при невідомому значенні потенціалу на ділянці збурення однієї із граничних ліній течії за відомою схемою формування течії як задачі на керування.

4. Вперше побудовано асимптотичні розвинення розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія” у криволінійних областях, зокрема для многочленної та інтегральної залежностей коефіцієнта дифузії від шуканої концентрації, з урахуванням запізнення та інших форм взаємовпливу характеристик середовища (коефіцієнтів фільтрації та дифузії) та процесу.

5. Запропоновано методологію побудови асимптотики розв’язків сингулярно збурених задач в чотирикутних криволінійних областях за умов збурення на ділянці однієї із ліній течії та відповідних періодичних задач для тризв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями, до якої уведено нового типу пограншарові поправки вздовж ліній розділу течії, а регулярна частина конструюється нестандартно в залежності від шуканого значення потенціалу керування.

6. Побудовано просторовий аналог плоскої крайової задачі на конформне відображення криволінійного чотирикутника на прямокутник і, на цій основі, вперше одержано асимптотичний розклад розв’язку сингулярно збуреної крайової задачі для рівняння конвективної дифузії в криволінійному паралелепіпеді.

Достовірність одержаних в дисертації результатів і висновків забезпечена строгістю математичної постановки задач, обґрунтованістю структури розв’язків відповідних систем диференціальних рівнянь еліптичного та параболічного типів, застосуванням збіжних числових, асимптотичних та числово-асимптотичних методів, а також високим рівнем співпадання результатів числових експериментів, проведених за різними розробленими автором методиками та аналітичними розв’язками відповідних спеціальних типів автомодельних тестових задач.

Адекватність представлених у роботі математичних моделей підтверджена відповідністю результатів проведених числових експериментів з даними фізичних досліджень, проведених в спеціалізованих лабораторіях Національного університету водного господарства та природокористування (м. Рівне), а також на основі їх порівняння з даними окремих натурних спостережень.

Практичне значення одержаних результатів. Результати досліджень дають змогу переглянути діючі держстандарти щодо фільтраційних розрахунків з метою їх уточнення при прогнозуванні та проектуванні дренажних споруд та інших гідросистем.

На основі виконаних досліджень знайдені залежності для розрахунку фільтраційної витрати в середовищах, що деформуються. Реалізація розрахункових алгоритмів дозволяє враховувати вплив суфозійних явищ на питому витрату із зволожувача та притік до дрени. Крім того, за відповідними алгоритмами пропонується розраховувати параметри (коефіцієнт фільтрації, товщина) фільтрів (засипок), які найбільш доцільні при наявності фільтраційних деформацій придренного середовища. Розроблені на цій основі рекомендації щодо фільтраційного розрахунку питомої витрати та стоку до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища використані при проектуванні модуля дослідно-виробничої автоматизованої осушувально-зволожувальної системи Дубенського району Рівненської області. Робота меліоративної системи протягом 1996 - 1999 років забезпечувала запроектовані питомі витрати.

Запропоновані в роботі моделі та покрокова процедура числово-асимптотичного наближення розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях з вільними ділянками їх границь дозволяють ефективно розраховувати форму вирви розмиву та зону активного відкладення наносів із урахуванням зміни епюр швидкостей у процесі деформації піщаного русла турбулентним водним потоком та можуть бути використані і при побудові моделей процесів конвективного теплопереносу у відповідних областях. Розроблені рекомендації прийняті інститутом “Львівдіпроводгосп” до впровадження у проектах берегоукріплень передгірських ділянок річок Івано-Франківської та Закарпатської областей.

Результати роботи впроваджені в Національному університеті водного господарства та природокористування при виконанні науково-дослідної роботи “Фізико-математичне моделювання фільтраційно-деформаційних процесів в ґрунтових греблях з врахуванням взаємовпливу градієнтів напору та характеристик середовища, зокрема запроваджені у Державному акціонерному товаристві “ДАК “Укргідроенерго” (м. Вишгород Київської області), як вихідна модель фільтрації в земляних греблях для визначення надійності їх роботи. А саме: розроблені в роботі методи використані при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформівних процесів в земляних греблях, зокрема – для розрахунку впливу суфозійно-деформівних явищ на сумарний потік. Також результати роботи використані у МКП “Рівневода” при моделюванні та прогнозуванні фільтраційно-деформівних процесів навколо водозабірних свердловин (водозабір Гощанський, водозабірний майданчик “Новий Двір”, ін.) при зміні режимів їх експлуатації, зокрема – для розрахунку впливу суфозійно-деформівних явищ на дебіт свердловин (результати проведених у роботі досліджень підводять до необхідності перегляду тих стандартів, що пов’язані із фільтраційними розрахунками при прогнозуванні та проектуванні земляних гідроспоруд, з метою їх уточнення). Крім цього, окремі результати використані у сумісній розробці (співавтори Плетюк О.В. та Сівак В.М.) “Гідравлічний аератор із змінним масообміном кисню (Держ. патент України: заявка №99031432 від 16.ІІІ.1999р”) та при виконанні теми “Способи ліквідації прихвату колони труб” в Івано-Франківському національному технічному університеті нафти і газу (використані у навчальному підручнику: Мислюк М.А., Зарубін Ю.О. Моделювання явищ і процесів у нафтогазопромисловій справі. – Івано-Франківськ: ЕКОР, 1999. – Розділ 5.6. Двовимірна фільтрація в’язкої рідини в зоні прихвату колони труб, – С. –224, для студентів вищих закладів освіти, що навчаються за спеціальностями “буріння” та “видобування нафти і газу”).

Особистий внесок здобувача. Всі приведені в роботі основні результати, які складають предмет дисертації (методологія моделювання, постановки задач та методи їх роз-в’я-зання, загальні підходи до побудови обчислювальних процедур тощо) розроблені авто-ром самостійно. В роботах, які виконані у співавторстві, здобувачу, зокрема, належить: за-галь-ні принципи побудови математичних моделей процесів фільтраційно-суфозійної взаємо-дії та розв’язків відповідних осесиметричних задач – [35,36,44]; перенесення та розвинення методології моделювання процесів у деформівних середовищах за умов зворотного впливу для криволінійних чотирикутних та двозв’язних областей, розробка методів розв’язання відповідних нелінійних крайових задач – [9,10,15,17,20,22,23,25-28,30,33,34,37,41,43]; постановка крайових задач на конформні та квазіконформні відображення за умов збурення (керування), системне дослідження і обґрунтування структури розв’язків – [11,12,13,14,18,19,21,24]; розробка загальної методології асимптот-ичних наближень розв’язків лінійних модельних сингулярно-збурених задач типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, її розвинення на випадки областей з вільними межами та нелінійних задач, що враховують фільтраційно-суфозійну та фільтраційно-дифузійну взаємодію, інші явища зворотного впливу – [16,29,32,40,42,50,51]. При підтвердженні адекватності та впровадженні запропонованих моделей, отриманні числових результатів для конкретних прикладних задач залучались інші дослідники.

Апробація результатів дисертації. Окремі положення роботи апробувались у доповідях на більше ніж 40 конференціях-семінарах, зокрема: Всесоюзних та Всеукраїнській конференціях “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич: 1987-2001 рр.); Республіканській науково-технічній конференції “Роль вычислительного эксперимента при исследовании физико-химических процессов” (Івано-Франківський інститут нафти і газу, червень 1987 р.); на сумісному засіданні семінару з гідродинаміки під керівництвом акад. П.Я. Полубарінової-Кочіної і проф. О.В. Голубєвої при відділі математичних методів механіки Інституту проблем механіки АН СРСР та підсекції гідродинаміки МТДП при Московському державному університеті ім. М. Ломоносова (листопад 1986 р., листопад 1987 р.); Республіканському науково-технічному семінарі “Краевые задачи фильтрации грунтовых вод” (м. Казань, червень 1988 р.); ІІІ Всесоюзному семінарі “Современные проблемы теории фильтрации” (м. Москва, травень 1989 р.); Республіканському семінарі “Проблемы и методы организации социально благоприятной среды при развитии промышленного потенциала в новых экономических условиях” (м. Ужгород, вересень 1990 р.); Республіканському семінарі “Предсказание и математическое моделирование катастрофических явлений и их последствий” (м. Київ, червень 1991 р.); Сьомому всесоюзному з’їзді з теоретичної і прикладної механіки (м. Москва, серпень 1991 р.); Міжнародних конференціях присвячених пам’яті акад. М. Кравчука (м. Київ, 1992, 2000, 2002 рр.); Міжнародній конференції “Нелинейные граничные задачи” (Крим, травень 1993 р.); Всеукраїнських наукових конференціях “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання та математичних методів у наукових дослідженнях” (м. Львів: жовтень 1994 р; вересень 1996 р.); науковому семінарі механіко-математичного факультету та факультету кібернетики КДУ ім. Т. Шевченка присвяченому пам’яті Г. Положого (м. Київ, квітень 1994 р.); семінарі акад. А.М. Самойленка в Інституті математики НАНУ (м. Київ, вересень 1994 р.); науково-практичних конференціях Української державної академії водного гос-подарства (м. Рівне, 1995-1998 рр.); Міжнародній науковій конференції “Крайові задачі термомеханіки” (м. Львів, 1996 р.); міжнародній науковій конференції “Сучасні пробле-ми механіки і математики” (м. Львів, травень 1998 р.); міжнародній науковій конференції “Сучасні пробле-ми теорії фільтрації” (м. Рівне, червень 1998 р.); міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (м. Київ, січень 2001 р.); міжнародній конференції присвяченій 100-річчю від дня народження акад. М.О. Лаврентьєва (м. Київ, жовтень листопад 2000 р.); Українському математичному конгресі (м. Київ, серпень 2001 р.); Міжнародній науковій конференції “Обчислювальна математика і математичні проблеми механіки” (м. Дрогобич, 2001 р.); Міжнародних конференціях “Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (м. Дрогобич, 1987, 1989, 1994, 2001 рр.); Всеукраїнських наукових конференціях “Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (м. Львів, 2000, 2002 рр.); II Міжнародній конференції “Обчислювальна та прикладна математика”, присвяченій 90-й річниці з дня народження члена-кореспондента НАН України Г.М. Положого (м. Київ, 2004 р.).

У повному обсязі дисертація обговорювалася на розширеному науковому семінарі при кафедрі інформатики і прикладної математики Рівненського державного гуманітарного університету під керівництвом д.т.н., проф. А.О. Сяського; розширеному науковому семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем математики і механіки ім. Я.С. Підстригача НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., член-кореспондента НАН України Я.Й. Бурака, д.ф.-м.н., проф. Я.Г. Савули; на розширеному семінарі Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України під керівництвом д.ф.-м.н., член-кореспондентів НАН України В.В.Скопецького та А.О. Чикрія; розширеному семінарі факультету комп’ютерних наук Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича під керівництвом д.ф.-м.н., проф. Ф.О. Сопронюка.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи відображені більш як у 60 наукових працях, з них 31 – у фахових виданнях за напрямком досліджень (з них 6 написані без співавторів).

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти розділів, висновків, переліку використаних джерел та додатків. Робота викладена на 360 сторінках (з яких основний зміст викладений на 300), в тому числі 130 рисунків, 15 таблиць, а також 14 додатків. Список використаних джерел містить 313 бібліографічних найменувань. Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 407 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертаційної роботи обґрунтовано актуальність теми, сформульована мета і задачі дослід-жень, а також наукова новизна отриманих результатів та їх практичне значення.

У першому розділі описано стан досліджень та виконаний огляд літератури з проблем моделювання процесів фільтрації, конвективної дифузії, асимптотичних методів розв’язання сингулярно-збурених крайових задач. Відзначено, що одним з перших питання про закон руху рідин в пористих середовищах поставив та експериментально дослідив французький інженер А.Дарсі. Результати його досліджень вилились у закон, який опубліковано у 1856 р. у вигляді , де V – швидкість фільтрації; І – градієнт напору; k – коефіцієнт пропорційності, що пізніше отримав назву коефіцієнта фільтрації. Основні положення теорії фільтрації розробляли такі видатні вчені, як Ж. Дюпюї, М.Є. Жуковський, П.Я. ПолубариноваКочина, А.М. Костяков, В.І. Аравін і С.М. Нумеров, Н.Н. Веригін, С.Ф. Авер’янов, Н.М. Гeрсеванов, М.Г. Бернардинер, Р. Коллінз, М.М. Павловський, Р.Р. Чугаєв, П.Ф. Фільчаков, І.І. Ляшко, В.І. Лаврик, А.Я. Глущенко, В.В. Скопецький, В.С. Дейнека, В.Н. Монахов, В.Г. Голубєв, Н.Д. Якімов та інші. Нелінійні залежності між швидкістю фільтрації та градієнтом напору для крупнозернистих ґрунтів в залежності від пористості, розміру частинок та інших факторів вперше запропоновані А.Ф. Форхгеймером, ідеї якого стосовно нелінійних процесів фільтрації (що не описуються за допомогою закону Дарсі) зазнали суттєвого розвитку у роботах С.А. Християновича та його учнів. Праці С.В. Ізбаша, А.М.Патрашева, М.І.Хрисанова, В.С.Козлова, С.В.Ковальчука, О.Я.Олійника, О.М.Костякова, Д.М.Мінца, М.Т.Ефендієва, А.П.Вавілова, А.І.Мурашка поклали початок для грунтовного вивчення і дослідження суфозійних явищ та кольматужу. Нелінійні залежності градієнтів напору та швидкості фільтрації розглядались А.П.Власюком, П.М.Мартинюком та В.М.Булавацьким при моделюванні процесів фільтраційної консолідації ґрунтів з урахуванням впливу концентрації сольового розчину.

На основі результатів експериментальних лабораторних досліджень, проведених під керівництвом М.М.Хлапука в Національному університеті водного господарства і природокористування (м. Рівне) зроблено висновок про те, що втрата фільтраційної міцності ґрунтів (яка пов’язана зі зміною коефіцієнта фільтрації) в навколодренному середовищі відбувається при перевищенні діючими градієнтами допустимого (критичного) значення для даного ґрунту. З метою математичного моделювання такого роду процесів фільтрації з урахуванням взаємовпливу градієнтів напору та коефіцієнта фільтрації нами (сумісно з Хлапуком М.М. і Сидорчуком Б.П.) запропоновано підхід до розв’язання відповідних осесиметричних нелінійних крайових модельних задач, що враховують суфозійно-кольматаційні явища, одержано аналітичні вирази для знаходження фільтраційної витрати та встановлено співвідношення між характеристиками деформованого середовища та середовища, що деформується, в залежності від гідродинамічної дії фільтраційного потоку та конструктивних характеристик дренажу, визначені критерії формування різними способами деформованих зон, наведено рекомендації для розрахунку витрати до дрени з урахуванням фільтраційних деформацій придренного середовища тощо.

Теоретичні дослідження актуальних проблем моделювання (головним чином одновимірних) різного роду процесів масопереносу (конвекція, дифузія, масообмін типу сорбція-десорбція, тощо) на згаданих вище фільтраційних і довільних інших ідеальних та квазіідеальних фонах були зроблені, зокрема, у роботах І.Г.Богуського, А.Н.Патрашева, С.Н.Нумерова, Н.Н.Веригіна, В.Н.Ніколаєвського, Д.Ф.Шульгіна, Б.С.Шержукова, інших. Використання ідеї переходу у рівнянні конвективної дифузії до координат області комплексного потенціалу разом із аналітичними або числово-аналітичними методами дало змогу В.І.Лаврику та його учням отримати точні або наближені аналітичні розв’язки типових двовимірних задач масопереносу при плоско-вертикальній і плановій, усталеній або квазіусталеній фільтрації, що виникають при дослідженні процесів забруднення або засолення ґрунтових вод. Розробці методів чисельного та чисельно-аналітичного розв’язання одновимірних і двовимірних задач волого– і солепереносу, розповсюдження забруднень та суміжних задач геогідродинаміки присвячені роботи І.І.Ляшка, І.В.Сергієнка, В.В.Скопецького, В.С.Дейнеки, В.М.Булавацького, Я.Й.Бурака, Є.Я.Чаплі, О.Ю.Чернухи, Я.Г.Савули, Г.А.Шинкаренка та ін.

Розроблений метод асимптотичного наближення розв’язків сингулярно збурених задач масопереносу при плановій фільтрацї підземних вод у випадку переважання конвективних складових процесу над дифузійними в криволінійних областях, обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії є ефективним в зв’язку з можливістю розщеплення складної математичної моделі вихідного процесу на послідовність розв’язання простіших задач. Зазначимо, що асимптотичні методи зародились у 18 ст. і широко застосовувались у працях Лагранжа, Лапласа, Лавер`є, Ньютона, Лідштедта, Гільдена та інших. Відомий метод усереднення був розроблений Н.М.Криловим, М.Н.Боголюбовим, Ю.А.Митропольським. Для диференціальних рівнянь із частинними похідними асимптотику розв'язків досліджували В.Штернберг, В.Вазов, Н.Левінсон, М.В.Келдиш, О.А.Олійник, С.М.Каменомостська, Є.П.Жидков, Д.Аронсон, Є.К.Ісакова, М.І.Вішик, Л.Люстернік, М.Джавадов, Л.Бобісуд, Су Юй-чен, Я.А.Ройтберг, Н.С.Бахвалов, Р.I.Мурадов, Л.Чезарі i багато інших. Інтенсивний розвиток теорії сингулярних збурень започаткований відомими роботами А.Н.Тихонова, С.А.Ломова, А.М.Ільїна, Д.Аронсона, Дж.Коул та ін. Ефективний асимптотичний метод розв’язку сингулярно збурених задач запропонований М.І.Вішиком і Л.А.Люстерником, значущою особливістю якого є ідейна простота, “охоплення” основних і другорядних явищ (складових частин процесу) та чутливе реагування на них, застосування до широкого кола задач. В основі цього методу лежать дві ідеї: регулярного перетворення, яка йде ще від Прандтля, а також ідея пограншарових поправок. Модифікуючи цей метод (шляхом введення примежових функцій та розробки спеціальної процедури згладження), В.Ф.Бутузов і А.Б.Васильєва, А.В.Нєстєров отримали асимптотику розв’язків сингулярно збурених задач типу “реакція-дифузія-перенесення” для типових канонічних областей. У випадку недостатньої узгодженості граничних умов А.П.Власюком побудовані відповідні реброві та кутові функції. Н.О.Нікіфорович поширила запропоновану методику на випадки дослідження процесів масопереносу з урахуванням масообміну. Запропоновані підходи розвинено С.В.Барановським при побудові асимптотичних наближень розв’язків нелінійних сингулярно збурених задач для рівнянь конвективної дифузії в областях із вільними межами, які виникають при математичному моделюванні та дослідженні процесів розмиву дна русел.

При визначенні ж власних завдань дослідження в роботі наголошено на наявність складної структури взаємозалежностей різних факторів, що визначають процеси у системах типу “фільтрація-конвекція-дифузія”, які не враховувались у традиційних (класичних) моделях таких систем. Врахування ж різних взаємовпливів, а також різних додаткових факторів, що вносяться до базової моделі з метою глибшого вивчення процесу, часто приводить дослідників до необхідності побудови громіздких, але малоефективних (з точки зору чисельної реалізації і практичного використання) математичних моделей. Проте у багатьох практично важливих випадках при дослідженні таких процесів вдається побудувати узагальнюючу ідеологію математичного моделювання систем типу “фільтрація-конвекція-дифузія” та методологію розв’язання відповідних нелінійних задач з використанням ідей збурень (де врахування нових факторів, явищ здійснюється шляхом збурення добре вивчених класичною теорією вихідних фонів, а не в результаті розв’язання відповідних нових громіздких модельних задач). У роботі нами розглядаються відповідні процеси у середовищах – областях (рис. ), обмежених еквіпотенціальними лініями та лініями течії (зокрема, вільними кривими), які можуть піддаватися деформаціям (зокрема, фільтраційним) залежно від певних характеристик процесу, що, в свою чергу, зумовлює характер перебігу процесу, тобто є підстави говорити про взаємовплив характеристик середо-вища та процесу. Крім цього, досліджувані середовища, їх границі можуть містити окремі “ділянки-джерела”, що зумовлюють зміну структури деякої вихідної (базової) течії (зокрема, їх можна розглядати і як джерела забруднень), або ділянки границі, які змінюють свою форму у часі в залежності від розвитку процесу в середовищі (ділянки “розмивання”). Фільтраційна течія розглядається нами ще і як певний фон для конвективного перенесення роз-чинних речовин (забруднення) з урахуванням малих дифузійних явищ.

Згадані вище процеси в анізотропних, неоднорідних, схильних до деформації середовищах вивчатимемо на основі нелінійних диференціальних рівнянь

, ,

, , .

Задачу для такого типу рівнянь з запізненням зведено до послідовності “відокремлених” (відповідно “конвективно-дифузійних” та “фільтраційних”) задач без запізнення, що дозволяє відповідні “компоненти” процесу в певному сенсі вивчати автономно, концентруючи увагу переважно на конкретних видах “взаємовпливів”.

Відзначено, що розроблені математичні модельні залежності коефіцієнта фільтрації, а також метод послідовних наближень, запропонований для розв’язання нелінійних задач із післядією, які виникають при моделюванні процесів фільтрації у деформованих середовищах, дозволяють розвивати дані процеси і в часі. При переході від “незбурених” задач до “збурених” ставиться вимога, щоб класичні форми законів, що описують ці процеси (руху рідини в пористих середовищах, конвективної дифузії та ін.), залишити початково прийнятими та, відмовляючись розв’язувати останні “з нуля”, отримані “незбурені” розв’язки доповнювати різними поправками. Більш того, моделюючи та досліджуючи процеси з післядією (з врахуванням зворотнього впливу), вимагаємо, щоб кожне з послідовних наближень розв’язків відповідних нелінійних задач відображало певний “часовий” стан (етап) до стабілізації процесу.

У другому розділі представлені: підходи до моделювання нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” в деформівних середовищах (на прик-ладах осесиметричних задач); поста-новки обернених задач про конформні відображення криво-ліній-них чотири-кутників на пря-мо-кутники та мно-гочленні наближення їх розв’язків; методи чисельного розв’язання обер-нених нелі-ній-них крайових задач на конформні та квазі-кон-формні відоб-раження; асимптотич-ний ме-тод розв’язання сингу-ляр-но збурених крайових задач типу “конвекція-дифузія” в неодно-рід-ному анізо-тропному се-ре-до-вищі.

Третій розділ при--свячено розвитку запропонованої нами методології квазі-кон-формних ві-доб-ражень стосовно моде-лювання взаємовпливу градієнтів напору (потенціалу) та харак-теристик середо-вища для об-ластей, обме-жених лініями течії та еквіпо-тен-ціальними лініями. Ефективність нелінійних обернень крайових задач на квазіконформні відоб-раження при моделю-ванні впливу градієнтів напору на процес фільтрації в роботі демонструється на прикладі одно-зв’язної криволінійної області (пласт, що піддається деформації) , обмеженій чотирма гладкими кривими , , , (рис. 2), в якій розглядається типова модельна крайова задача:

; , (1)

де – квазіпотенцiал поля; – відповідна функція течії; Q – повна витрата (невідомий параметр); рівняння (1) є наслідком закону Дарсі (рівняння руху) і рівняння нерозривності ; – напір; – обмежена неперервно диференційовна в області функція, що характеризує провідність середовища та його схильність до деформації; – коефіцієнт фільтрації; – зведений коефіцієнт фільтрації; – швидкість фільтрації, а – її потенціал. Відповідну їй обернену задачу на квазіконформне відображення області на при невідомій витраті отримано у вигляді

, ,

, (2)

.

При цьому відповідні рівняння другого порядку (аналоги рівнянь Лапласа для випадку, коли ) для знаходження функцій () з огляду на залежності коефіцієнта від кожної із них є взаємозв’язаними :

. (3)

В основу розробленого нами методу знаходження розв’язку відповідної різницевої задачі (отриманої за схемами типу “хрест” або “ящик” з масовими операторами) в загальному випадку покладено ідею “почергового заморожування” параметра квазіконформності (де і – параметри рівномірної сітки в ) та граничних і внутрішніх вузлів сітки . А саме, задавши початкові наближення координат граничних вузлів і початкові наближення координат внутрішніх вузлів, знаходимо початкове наближення невідомої величини як зважено (відносно ) усередненого відношення величин сторін елементарних в чотирикутників. Використовуючи дане наближення , проводимо уточнення координат внутрішніх вузлів шляхом обчислення координат вузлів на основі вираження їх значень через відповідні значення координат сусідніх вузлів з різницевих аналогів рівнянь (3). Далі “підправляємо” координати граничних вузлів, виходячи з умов ортогональності сіткової області та знову обчислюємо нові наближення величин () і т.д. Умовами закінчення процесу є стабілізація значень координат граничних вузлів та витрати в процесі ітерації, мінімізація величини відхилення відношення діагоналей від одиниці, інше (при цьому процес може бути закінчений при виконанні однієї із зазначених умов, з можливістю виділення тих ділянок області , де не виконуються інші умови). Якщо ж потрібно збільшити ступінь точності наближеного розв’язку, то збільшуємо кількість і вузлів розбиття сіткової області та розв’язуємо різницеву задачу заново (оптимальність співвідношення між і досягається, наприклад, шляхом оптимізації функціоналів типу Рімана з урахуванням заміни конформної сітки на відповідну квазіконформну).

На основі описаної вище методики проведені численні експерименти з розв’язання тестових та прикладних задач і деякі з одержаних результатів представлені в дисертаційній роботі. Зокрема, розроблена методика застосована для дослідження процесу фільтрації з урахуванням суфозійних деформацій середовища з використанням моделі, в якій коефіцієнт фільтрації середовища приймався сталим у випадку, коли градієнт напору є меншим від деякого його критичного для даного ґрунту значення , і рівним у протилежному випадку. За результатами числового експерименту для тестової області (рис. 3: , , , ) без врахування явищ суфозії () при отримано розрахункове значення повної витрати . Врахування ж взаємовпливу градієнта напору та коефіцієнта фільтрації за вказаним вище законом при , викликало збільшення шуканої витрати до .

Рис. 3. Збурена та незбурена зони у фізичній області та області комплексного потенціалу

На рис. 4, 5 відповідно зобра-же--ні розрахункові ди-намічні сітки (з ви-ді-ленням зон збу---ре-ння), одер-жані при дослід-женні проце-су фільт-рації в сис-темі горизон-таль-но-го дренажу та в земля-ній греб-лі, де вра-хування філь-тра--ційно-су-фо-зійного взаємовпливу при-зводить до збільшення роз-рахункової ви-трати до 20%. При цьому нами роз-роб-лено метод “фік-тивних ді-ля-нок” розв’язання кра-йо-вих задач на конформні відображення для об-ластей із вільними межами (див. рис. ).

У роботі запропоно-вані також деякі спеціальні приклади розширення сфе-ри застосування розроб-ле-ної методології, які пов’я-зані з розв’язанням відпо-відних задач з різного роду особ-ливостями: неліній-ні обернення крайо-вих задач на кон-формні відображу-ння у трикутних областях (об-меже-них однією еквіпо-тен-ціль-ною лінією та двома лініями течії); мо-делювання збуре-ння ідеаль-но-го поля точковим джере-лом, а також еквіпо-тен-ціальною ділян-кою на гра-ничній лінії течії; крайові задачі для рівнянь дивер-гентного типу із кусково сталими коефіцієнтами (з розривами вздовж ліній течії та еквіквазіпотенціальних ліній) в L-подіб-них областях (із використа-нням методу сумарних представлень Г.М. Положія).

Розроблена в роботі методологія, підходи до моделювання і дослідження нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” розви-нені і узагальнені стосовно розв’язання відповідних задач для двозв’язних областей, обмежених еквіпотенціальними лініями шляхом введення спеціальних апроксимацій вихідних нелінійних рівнянь навколо умовного розрізу вздовж вибраної лінії течії, що дозволяє створювати ефективні чисельні алгоритми розв’язків такого роду задач. Зокрема, розглядаються модельні нелінійні задачі на знаходження квазігармонiчної функцiї (квазіпотенцiалу) в деякій двозв’язній криволінійній області (пористому пласті, що піддається деформації) (), обмеженій двома замкненими гладкими контурами – внутрішній, – зовнішній:

, , , (4)

де , – симетричний тензор другого рангу, – обмежені неперервно диференційовані функції, що характеризують провідність середовища, його анізотропію та деформівність. Ввівши квазікомплексно спряжену до функцію течії , що задовольняє рівняння , де , зафіксувавши на внутрішньому контурі деяку точку A та здійснивши умовний розріз вздовж відповідної лінії течії приходимо до задачі на квазіконформне відображення утвореної при цьому однозв’язної області на відповідну область квазікомплексного потенціалу з невідомим параметром (повною витратою):

(5)

де AD та BC – “береги” розрізу . Відповідна їй обернена крайова задача на квазіконформне відображення області на та відповідні рівняння другого порядку для функцій і (аналоги рівнянь Лапласа для випадку, коли , ) отримано у вигляді

(6)

(7)

В роботі наведені їх різницеві аналоги, алгоритми розв’язків відповідних дискрет-них нелінійних задач (особливістю яких є враху-вання умов “квазі-орто-го-наль-ності”, “квазі-подіб-ності” тощо), в тому числі специфічні для цих випадків умови зупинки алгоритму, що дозволяють в діалоговому режимі керувати процесом обчислень, та результати числових розрахунків. Так, на рис.6 зображена дина-мічна сітка, отримана в результаті розв’я-зання задачі, що описує процес фільтрації із свердло-вини ( , ) в еліп-тич-ний пласт ( , ) при (, ), , , n=40, m=120, . При цьому знай-дена повна витрата при максимальній нев’язці , що має місце в деяко-му околі точки (-15,0), де криво-лінійні елементарні чотирикут-ники найбільше відхи-ляються від квадратів і яка зменшується при збільшенні параметрів роз-биття n та m області при умові збереження певного спів-відношення між ними (на рис. 6 схематично пунктиром розділені ділянки вели-ких та малих нев’язок від-носно деякого значення ).

На рис. 7 проілю-стро-вано один із розроблених нами варі-антів моделю-вання взаємовпли-ву кое-фіцієнта фільтрації та градієнта напору () при осе-си-метричній фільтрації від сверд--ловини радіуса в кру-говому пласті радіуса , де – незбурена зона (), , – відпо-відно зона відриву () та зона осі-дання () суфозійних час-тинок грунту, n – пористість, – концентрація суфозійних частинок ( – ске-лету), і є розв’язками рівнянь та відповідно (, – критичні значення градієнта напору стосовно відриву та затримки частинок). Причому значення та визначаються за формула-ми:

, .

Моделювання в умо-вах неповних да-них щодо пара-мет-рів зон відриву та за-тримки части-нок, а та-кож ділян-ки на-си-чення за умов збереження не--пе-рер-вності коефі-ці-єн-та філь-трації та гра-ді-єнта напору про--ве-дено у такий спосіб: при ; при ; при (див. рис.8), де