НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Бельський Денис Валерійович

УДК 517.9

АСИМТОТИЧНІ ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ-2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук

ПЕЛЮХ Григорій Петрович,

провідний науковий співробітник

Інституту математики НАН України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

КОРЕНІВСЬКИЙ Данило Григорович,

провідний науковий співробітник

Інституту математики НАН України;

доктор фізико-математичних наук, професор

ЧЕРЕВКО Ігор Михайлович,

декан факультету прикладної математики

Чернівецького національного університету ім. Юрія Федьковича.

Провідна установа:

Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться „14” лютого 2006р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України, 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий „11” січня 2005р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Пелюх Г. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія диференціальних рівнянь з відхиленнями аргументу є важливим розділом математичного аналізу, розвитку якого присвячено велику кількість оригінальних статей і монографій Н. В. Азбелєва, Р. Беллмана, Л. Е. Ельсгольца, Ю. О. Митропольського, А. Д. Мишкіса, Д. І. Мартинюка, Є. М. Райта, А. М. Самойленка, А. Халаная, Дж. Хейла, О. М. Шарковського та інших відомих математиків. В наш час вона володіє спеціальними методами дослідження та має ряд добре розроблених розділів. До них, зокрема, відноситься теорія диференціальних рівнянь з постійними відхиленнями аргументу (в математичній літературі їх називають диференціально-різницевими), головним джерелом яких є задачі теорії керування. Такі рівняння знаходять все нові застосування в різних галузях науки і активно досліджуються в роботах багатьох сучасних математиків. Але цього не можна сказати про диференціальні рівняння з лінійними відхиленнями аргументу вигляду

, (1)

де - деяка дійсна функція дійсних змінних, , які широко використовуються в багатьох областях науки і техніки. Поряд з властивостями, характерними для звичайних диференціальних рівнянь, такі рівняння мають також специфічні властивості, які відсутні у відповідних диференціальних рівнянь без відхилення аргументу. Особливо часто такі властивості виникають при дослідженні розв’язків таких рівнянь в околах особливих точок і . Наприклад, у випадку, коли (1) є лінійним, ряд таких властивостей встановлено в працях К. Г. Валєєва, Г. А. Дерфеля, В. М. Поліщук, П. О. Фредеріксона, Т. Като та Дж. Б. МкЛіода, і для деяких класів нелінійних рівнянь – в роботах Е. І. Грудо, Г. П. Пелюха, О. Ю. Романенко, А. М. Самойленка, О. М. Шарковського. Незважаючи на це багато питань теорії таких рівнянь досліджені дуже мало. Особливо це стосується дослідження властивостей неперервно диференційованих розв’язків різних класів диференціальних рівнянь із змінними відхиленнями аргументу при (). Тому дослідження асимптотичних властивостей розв’язків різних класів рівнянь вигляду (1) та інших класів диференціальних рівнянь із змінними відхиленнями аргументу, яке здійснюється в дисертації, є актуальною і важливою задачею теорії диференціальних рівнянь з відхиленнями аргументу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, темами, планами. Дослідження проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно з загальним планом науково-дослідних робіт за темами „Методи аналізу диференціальних, імпульсних та еволюційних рівнянь” (номер державної реєстрації 0198U001998) та „Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань” (номер державної реєстрації 0101U000526).

Мета і задачі дисертації. Об’єктом дослідження є лінійні і квазілінійні диференціально-функціональні рівняння нейтрального типу з лінійними та нелінійними відхиленнями аргументу. Основною метою роботи є:

- дослідження асимптотичних властивостей розв’язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу;

- знаходження достатніх умов асимптотичної стійкості тривіального розв’язку квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь;

- дослідження сідлової точки систем лінійних і нелінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу.

Методи дослідження. Використовуються основні методи теорії звичайних диференціальних та диференціально-функціональних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертації, які виносяться на захист, наступні:

- досліджена поведінка розв’язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами та лінійно перетвореним аргументом в околах особливих точок;

- отримані достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв’язку квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з нелінійним відхиленням аргументу;

- досліджена структура множини неперервно диференційованих, обмежених при розв’язків систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами і лінійно перетвореним аргументом;

- знайдені достатні умови існування і єдиності обмежених при розв’язків систем квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь з нелінійним відхиленням аргументу та досліджені їх властивості.

Теоретична та практична цінність. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Одержані в ній результати розвивають і доповнюють багаточисельні дослідження, що присвячені розвитку теорії диференціально-функціональних рівнянь, і можуть бути використані при дослідженні задач теорії керування, біології, економіки та інших галузей науки і техніки, математичними моделями яких є такі рівняння.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертації отримані автором самостійно. Постановка задач та визначення загальної схеми досліджень належать науковому керівникові Г. П. Пелюху.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на наступних конференціях і семінарах:

- Х Міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004);

- Міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробагатька (м. Дрогобич, 2004);

- Київській Боголюбовській конференції „Сучасні проблеми математики та теоретичної фізики” (м. Київ, 2004);

- Міжнародній конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування” (м. Київ, 2005);

- наукових семінарах відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у 8 роботах, з яких 5 – у наукових журналах із списку, затвердженого ВАК України, 3 – в збірниках тезисів наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 68 найменувань. Повний обсяг роботи складає 121 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі дається короткий перелік результатів, які є близькими до тематики дисертації, обґрунтовується актуальність розглядуваних у ній задач і вказується на значення отриманих результатів для подальшого розвитку теорії диференціально-функціональних рівнянь.

В першому розділі дисертації одержані нові властивості - розв’язків рівняння

, (2)

де , , , при досить широких припущеннях відносно коефіцієнтів , , , і досліджується поведінка розв’язків квазілійних диференціально-функціональних рівнянь при . Перший параграф цього розділу носить допоміжний характер – тут пропонується один підхід до побудови формального загального розв’язку рівняння (2).

Наступні три параграфи цього розділу присвячені вивченню асимптотичних властивостей обмежених на проміжку розв’язків рівняння (2) при .

Теорема1.3.1. Якщо , , і , то рівняння (2) асимптотичне стійке.

Теорема1.4.3. Нехай , . Тоді

1) якщо , то при розв’язки рівняння (2) задовольняють умові , де ;

2) якщо , то при розв’язки рівняння (2) задовольняють умові , де .

В §1.5 досліджується задача існування - розв’язків рівняння (2), які задовольняють умові

. (3)

При цьому доведена наступна теорема.

Теорема1.5.2. Нехай , . Тоді

1) при задача Коші (2), (3) може мати не більше одного ненульового розв’язку, який задовольняє при умові , де ;

2) при , задача Коші (2), (3) може мати не більше одного ненульового розв’язку, який задовольняє при умові , де .

Перший параграф третього розділу присвячений вивченню задачі:

, (4)

, (5)

де , , - комплексні матриці, . При цьому головна увага приділяється встановленню умов існування - розв’язків і вивченню їх властивостей при .

Теорема3.1.1. Припустимо виконаними наступні умови:

1) , , , тобто існують проектори , , , ( - одинична - матриця) такі, що , :

, і ,

при ;

2) .

Тоді:

1) множина обмежених - розв’язків задачі (4), (5) є лінійним підпростором, гомеоморфним множині ;

2) обмежені - розв’язки задачі (4), (5) прямують до нуля при .

ВИСНОВКИ

В дисертації отримані наступні результати:

- досліджена поведінка розв’язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами та лінійно перетвореним аргументом в околах особливих точок;

- отримані достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв’язку квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу;

- досліджена структура множини обмежених при , неперервно диференційованих розв’язків системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами та лінійно перетвореним аргументом;

- знайдені достатні умови існування, існування і єдиності обмежених при розв’язків систем квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь з нелінійним відхиленням аргументу і досліджені їх властивості.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифферен-циально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом// Нелінійні ко-ливання. – 2004. - Т. 7, №1. – С. 48-52.

2. Бельский Д. В. О свойствах непрерывно дифференцируемых на решений дифференциально-функциональных уравнений// Нелінійні коли-вання. – 2004. - Т. 7, №3. – С. 302-310.

3. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах непрерывно дифференцируемых решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений// Нелінійні ко-ливання. – 2005. - Т. 8, №1. – С. 3-8.

4. Бельский Д. В. Об ограниченных на решениях линейных систем дифференциально-функциональ-ных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом и их свойствах// ДАН України. – 2005. - №8. – С. 10-14.

5. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. О поведении решений линейных дифферен-циально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особых точек// УМЖ. – 2005, Т. 57. - №12. – С. 1668-1676.

6. Бельский Д. В. О поведении решений линейных дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особых точек// X Международная научная конференция им. академика М. Кравчука. – Киев, 2004. – С. 18.

7. Бельский Д. В. Асимптотические свойства решений линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа с постоянными коэффициентами// Международная конференция “Дифференциальные уравнения и их применение”. – Киев, 2005. – С. 14.

8. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа// Международная математическая конференция им. В. Я. Скоробагатько. – (27.09.2004-1.10.2004, г. Дрогобыч), тезисы докладов, Львов, 2004. – С. 52.

АНОТАЦІЇ

1. Бельський Д. В. Асимптотичні властивості розв’язків систем диференціально-функціональних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

В математичних моделях реальних процесів із теорії керування, біології, економіки використовуються диференціальні рівняння з лінійно перетвореним аргументом. Такі рівняння вивчалися в роботах багатьох математиків, і в даний час існує велика кількість робіт, які присвячені вивченню актуальних проблем теорії таких рівнянь. Зауважимо, що серед них особливе місце займають роботи, в яких вивчалися асимптотичні властивості розв’язків диференціально-функціональних рівнянь з лінійно перетвореним аргументом в околах особливих точок, питання існування аналітичних, обмежених та фінітних розв’язків, питання побудови представлення загального розв’язку і ін..

В дисертації досліджена поведінка розв’язків лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами та лінійно перетвореним аргументом в околах особливих точок. Зокрема, досліджено асимптотичні властивості обмежених на відрізку розв’язків таких рівнянь при і одержано достатні умови, при виконанні яких їх розв’язки мають правосторонні границі при . Отримано нові достатні умови асимптотичної стійкості нульового розв’язку квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу із нелінійним відхиленням аргументу і побудовано асимптотичні оцінки розв’язків таких рівнянь при . Досліджена структура множини обмежених при , неперервно диференційованих розв’язків системи лінійних диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу з постійними коефіцієнтами та лінійно перетвореним аргументом. При цьому основна увага звертається на встановлення умов існування - розв’язків і вивчення їх властивостей при . Одержані достатні умови існування, існування і єдиності обмежених при розв’язків систем квазілінійних диференціально-функціональних рівнянь із нелінійним відхиленням аргументу і досліджені їх асимптотичні властивості.

Ключові слова: диференціально-функціональне рівняння нейтрального типу, лінійно перетворений аргумент, постійне запізнення, нелінійне відхилення аргументу, асимптотична стійкість, обмежені на півосі розв’язки, сідло.

2. Бельский Д. В. Асимптотические свойства решений систем дифференциально-функциональ-ных уравнений. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

В диссертации исследовано поведение решений линейных диф-ференциально-функ-циональ-ных уравнений нейтрального типа с постоянными коэффициентами и ли-нейно преобразован-ным аргументом в окрестностях особых точек. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого ре-шения квазилинейных диф-ференциально-функ-циональ-ных уравнений нейтраль-ного типа. Изучены асимптотические свойства решений линейных дифферен-циа-льно-функциональных уравнений с переменными и постоянными отклонениями аргумента. Исследована структура множества ограниченных при , непрерывно диф-ференцируемых решений системы линейных дифференциально-функцио-нальных уравнений нейтрального типа с постоянными коэффициентами и ли-нейно преобразованным аргументом. Установлены достаточные условия существования, существования и единст-венности ограниченных при решений систем квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений с нелинейным отклонением аргумента и исследованы их свойства.

Ключевые слова: дифференциально-функциональное уравнение нейтрального типа, линейно преобразованный аргумент, постоянное запаздывание, нелинейное отклонение аргумента, асимптотическая устойчивость, ограниченные на полуоси решения, седло.

3. Belsky D.V. Asymptotic properties of differential – functional equations systems’ solutions. – Manuscript.

Thesis for obtaining of scientific degree of Candidate of physical & mathematical sciences (Ph.D.) majoring in speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv city, 2005.

Behaviour of solutions for linear differential – functional equations of neutral type with constant coefficient and with linearly transformed argument in the neighbourhoods of special points was researched in the thesis. Sufficient conditions for asymptomatic stability of zero solutions for quasilinear equations of neutral type were obtained. Asymptomatic properties of solutions for differential – functional equations with variable and constant were studied. We studied the structure of solution set, constrained under of continuously differentiable solutions for system of linear differential – functional equations of neutral type with constant coefficient and with linearly transformed argument. There were determined sufficient conditions for existence, existence and uniqueness of solutions, constrained under of solutions for quasilinear differential – functional equations with nonlinear argument deviation; their properties were researched.

Key words: differential – functional equation of neutral type, linearly transformed argument, permanent lag, nonlinear argument deviation, asymptomatic stability, constraint on semi-axis of solution, saddle.