НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка

Безверхий Олександр Ігорович

УДК 539.3: 537.228.1: 534.1

ДИНАМІКА ГНУЧКИХ КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНИХ РОЗГАЛУЖЕНИХ СТРУКТУР ПРИ ВЗАЄМОДІЇ З ЗОВНІШНІМ СЕРЕДОВИЩЕМ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка

Національної академії наук України, м. Київ

Науковий консультант - член-кореспондент НАН України,

доктор фізико–математичних наук, професор

Шульга Микола Олександрович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

завідувач відділу електропружності

Офіційні опоненти:

доктор фізико–математичних наук, професор

Каюк Яків Федорович,

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України,

провідний науковий співробітник відділу динаміки поліагрегатних систем;

доктор фізико–математичних наук, професор

Селезов Ігор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

завідувач відділу гідродинаміки хвильових процесів;

доктор технічних наук, професор

Гайдайчук Віктор Васильович,

Київський національний університет

будівництва і архітектури,

завідувач кафедри теоретичної механіки;

Провідна установа: Донецький національний університет, кафедра теорії пружності і обчислювальної математики, м.Донецьк

Захист відбудеться “_29_”_листопада_2005 р. о_1000годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, Київ, вул. Нестерова,3.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, за адресою: Київ, вул. Нестерова,3.

Автореферат розісланий “ 28 ” жовтня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблеми теоретичного дослідження динамічного деформування гнучких розгалужених протяжних систем, що взаємодіють із зовнішнім середовищем, виникають у багатьох галузях: в гідрофізичних системах експлуатації та досліджень Світового океану, в космічній і авіаційній техніці, у нафтовій та газовій промисловості, в конструкціях високих будівельних споруд (щогли, башти, опори ліній електропередач) та ін. В практиці широко застосовуються утримувані якірними системами плавучі засоби різноманітного призначення, які установлюються на глибинах, що виміряються сотнями метрів і навіть кілометрами. Для забезпечення їх позиці-ювання, стійкості та надійної працездатності в конструкціях плавучих бурових платформ, підводних ліній зв’язку широко використовуються тросові системи. Гнучкі елементи протяжних конструкцій знаходяться під дією нерівномірно розподілених у просторі навантажень і можуть бути довільно закріплені на краях. Специфічні деформативні властивості гнучких елементів полягають в одосторонньому деформуванні (розтягуванні). Однією з проблем функціонування гнучких протяжних конструкцій є поява ривків в тросах, які виникають внаслідок одностороннього деформування (розтягування) і розслаблень при дії зовнішніх фак-торів (вітер, хвилі, потік, вимушені зміщення). Тривала дія перемінних зусиль і ривкових ефектів негативно позначається на міцності та надійності еле-ментів конструкцій і вузлів. Для зменшення впливу ривків на загальну ро-боту таких систем використовують троси з нелiнiйно-пружних та в’язкопружних матеріалів. Значна тривалість експлуатації гнучких елементів конструкцій, їх ефективне використання та попередження аварійних руйнувань потребує наявності інформації про напружений стан, переміщення, амплітудно-частотні характери-стики та ін. Проведення експериментальних випробувань є досить складним і дорогим. Зазначені питання свідчать про актуальність і необхідність глибокого теоретичного вивчення процесів просторового нестаціонарного нелінійного деформування гнучких розгалужених протяжних систем, що взаємодіють із зовнішнім середовищем.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати яких викладені в дисертації, передбачені програмами і планами наукових досліджень з природничих наук на 1993-2005 рр. НАН України та проектами Мiносвiти i науки України, були виконані та увійшли до звітів науково дослідних робіт, зокрема: "Дослідження нелінійних коливань розгалужених дискретно-континуальних систем з одномірними односторонніми в’язями в акустичному середовищі .№ д.р. 0102U003869; "Розробка чисельно-аналітичних способів дослідження перехідних процесів при гармонічних коливаннях анізотропних неоднорідних елементів конструкцій" .№ д.р 0102U000300; "Перехідні процеси при вимушених коливаннях дискретно-континуальних систем з в’язкопружними гнучкими елементами в рідині" .№ д.р. 0104U003869; "Динаміка двовимiрних ниткових структур при взаємодії з навколишнім середовищем" .№ д.р. 01950U009323; "Нелiнiйнi коливання ниткових структур сiткового виду з прикрiпленими тiлами в водi при взаємодiї з поверхневими хвилями та неоднорiдним потоком" .№ д.р. 01950U009323; Проект 01.07/00076 Фонду фундаментальних досліджень Мiністерства освiти i науки України "Динамiка розгалужених дискретно-континуальних систем з однобiчними в'язями при взаємодії з акустичним середовищем"; Проект 1.4/379 Фонду фундаментальних досліджень Мiністерства науки України "Дискретне моделювання i аналiз нестацiонарних нелiнiйних коливань однопараметричних континуальних систем з локальними неоднорідностями при взаємодії з зовнішнім середовищем".

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка методів дослідження динамічного деформування розгалужених дискретно-континуальних гнучких нелінійно-пружних та в’язкопружних структур при дії зовнішнього середовища, і на їх основі виявлення і дослідження закономірностей впливу нелінійно-пружності, в’язкопружності та розгалуженості структури на силові та кінематичні характеристики структури. Досягнення поставленої мети передбачає:

-

-

-

-

-

-

Об’єктом дослідження є динамічне деформування гнучких розгалужених механічних систем з твердими тілами при взаємодії з зовнішнім середовищем.

Предметом дослідження є просторовий рух, амплітудно-частотні характеристики, натяги (зусилля), що виникають в гнучких елементах конструкцій при взаємодії з зовнішнім середовищем.

Методи дослідження. Для розв’язання задач динаміки гнучких елементів конструкцій в роботі використані чисельно-аналітичні методи. Для побудови дискретно-континуальних рівнянь руху використовуються: принцип можливих переміщень для динамічних задач; лагранжів формалізм; теорія графів. Для зведення початково-крайових задач до задач Коші застосовані методи сплайн-функцій. Для нормалізації систем звичайних нелінійних диференціальних рівнянь застосовано метод мінімального ступеня з використанням матриці інцендентності графа розгалуженої системи. Чисельне інтегрування жорстких систем звичайних нелінійних диференціальних рівнянь проводиться методом Гіра.

Достовірність результатів виконаних досліджень підтверджується прийняттям обґрунтованих механічних моделей і методів теоретичного та чисельного аналізу, тестуванням результатів обчислень і співставленням їх в окремих випадках з результатами інших авторів та експериментальними даними. Збіжність чисельних розв’язків виявлялася шляхом зміни кроків інтегрування по часовій та просторовій координатах.

Наукова новизна одержаних результатів визначається :

-

-

-

-

-

-

-

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені методики, алгоритми, програми розв’язання задач та одержані результати дослідження динаміки гнучких континуально-дискретних розгалужених структур при взаємодії з зовнішнім середовищем можуть бути використані в науково-дослідних організаціях і конструкторських бюро при проектуванні буксированих систем дослідження морів та океанів, систем заякорення плавучих бурових платформ, розгалужених космічних систем, систем закріплення висотних споруд, пасивних демпферів вібрацій і ривків, що виникають в таких конструкціях при дії зовнішнього середовища, з метою збільшення терміну їх безпечної експлуатації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на Українській конференції "Моделювання і дослідження стійкості систем" (Київ 1995,1996); The Third International Congress on Indastrial and Applaid. Mathematic (Hamburg 1995); конференції "Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань", Треті Боголюбовські читання (Київ 1997); конференції "Импульсные процессы в механике сплошных сред" (Миколаїв, 1997); міжнародній науковій конференції Современные проблемы концентрации напряжений (Донецьк, 1998); науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури: 61-й (2000 р.), 62-й (2001 р.); на V Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів-Луцьк, 2000); на II Всеукраїнській молодіжній науково-практичній конференції з міжнародною участю “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2000) і на III Міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2001); Українському математичному конгресі (Київ, 2001); Всеукраїнській науковій конференцiї "Математичні проблеми технічної механіки" (Днiпродзержинськ 2001, 2003); Міжнародній науково–практичній конференції: “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2002); І-ІІ Всеросійських конференціях: “Необратимые процессы в природе и технике” (Москва, 2001, 2003); 9 Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 2005); Семінарах відділу електропружності Інституту механіки ім.С.П.Тимошенка НАН України (1995-2005).

У повному обсязі дисертація доповідалась і обговорювалась на загальноінститутському науковому семінарі з механіки Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник – академік НАН України О.М. Гузь, 2005); на науковому семінарі за напрямком “Механіка зв’язаних полів в матеріалах і елементах конструкцій” при Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник – академік НАН України Ю.М. Шевченко, 2005); на семінарі відділу електропружності Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України (керівник – д.ф.-м.н., професор, член-кор. НАН України М.О. Шульга, 2002, 2004), на семінарі відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАН України (керівник – д.ф.-м.н., професор І.Т. Селезов, 2005); на науковому міжкафедральному семінарі “Проблеми механіки деформівного твердого тіла” кафедр будівельної механіки, теоретичної механіки, опору матеріалів Київського національного університету будівництва і архітектури (керівник – д.т.н., професор В.А. Баженов, 2005); науковому семінарі Київського державного науково-дослідного інституту гідроприладів (керівник - д.т.н., проф. О.Г. Лейко, 2005); об’єднаному науковому семінарі кафедри теорії пружності і обчислювальної математики та кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету та відділу аналітичних методів механіки гірничих порід ІПММ НАН України "Математичні проблеми механіки суцільних середовищ" (керівники - академік НАН України В.П. Шевченко, д.ф.м..н., проф. С.О. Калоеров, 2005); науковому семінарі “Механіка деформівного твердого тіла” Запорізької державної індустріальної академії (керівник - д.ф.-м.н., професор В.І. Пожуєв, 2005), і здобула позитивну оцінку.

Публікації. Матеріали дисертації опубліковані в 54 наукових працях. В авторефераті наведено 40 праць, де викладений основний зміст дисертації, з них 21 праця опублікована у фахових виданнях.

Особистий внесок здобувача. Теоретичні та практичні результати дисертації належать здобувачу особисто, що відображено у 18 самостійних працях. У працях, опублікованих разом із член-кор. НАНУ М.О. Шульгою, співавторові належить участь у постановці задач і обговоренні їх результатів; в роботах, опублікованих разом з В.Ф. Корнієнко i О.І. Силенком, співавторам належать участь в комп’ютерних розрахунках та аналізі результатів цих розрахунків.

Основні положення, результати досліджень та висновки кандидатської дисертації на захист докторської дисертації не виносяться.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації становить 296 сторінки, у тому числі основний текст дисертації на 256 сторінках, список 230 використаних джерел приведений на 22 сторінках.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому консультанту член-кореспонденту НАН України, доктору фізико-математичних наук, професору М.О. Шульзі за допомогу та корисні поради при написанні дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, визначені мета і задачі досліджень, подана загальна характеристика роботи.

В першому розділі викладений аналіз стану теоретичних та експериментальних робіт по темі дисертації та поставлено задачу дослідження динаміки гнучких розгалужених пружних, нелінійно-пружних та в’язкопружних систем при взаємодії з зовнішнім середовищем.

Проблема вивчення механіки гнучких стержнів і ниток в потоках має більш ніж сторічну історію. До числа найбільш ранніх робіт, присвячених розв’язуванню задач статики гнучких ниток у потоках, відносяться роботи Ф. Віллерса, О.Ф. Попова та Н.Є. Кочіна, а також класична стаття О.М. Крилова про рівновагу кульової міни на течії. Основні співвідношення теорії гнучких ниток, якими моделюються тросові конструкції, їх експериментальне підтвердження та розв`язання конкретних задач наведені в роботах Н.І. Алексєєва, О.Г. Берто, О.О. Горошка, В.К. Качуріна, П.П. Кульмача, Л.Р. Меркіна, Я.Г. Пановка, Г.М. Савіна, В.О. Свєтліцького, С.А.Y. Choo, М.M.P.та інших вчених. Розвитку і вдосконаленню методів розв’язання задач присвячені роботи В.А. Баженова, В.В. Гайдайчука, В.О. Горбаня, В.І. Гуляєва, Ю.І. Калюха, Я.Ф. Каюка, В.Л. Кошкіна, П.П. Лізунова, В.І. Піддубного, М.В. Салтанова, В.С. Тихонова, М.О. Шульги, Ю.Е. Шамаріна, В.С. Ястребова та інших вчених.

В більшості робіт розглядаються задачі статичного або квазістатичного деформування гнучких елементів конструкцій. Публікації, присвячені вивченню динамічних процесів, в літературі зустрічаються значно менше і в основному в них розглядаються усталені коливання гнучких елементів, пружність яких відповідає закону Гука. Проведений аналіз літературних джерел засвідчив, що питання дослідження нелінійних коливань просторових гнучких розгалужених систем з нелінійно- та в’язкопружних матеріалів через складність не знайшло широкого відображення в наукових дослідженнях.

В другому підрозділі записані нелінійні рівняння руху протяжного гнучкого елемента конструкції. Врахування сил дії зовнішнього середовища, значні переміщення і деформації тросових систем приводять до дуже складних нелінійних рівнянь. Тому розробка ефективних методів розрахунку динаміки таких конструкцій з урахуванням односторонності деформацій є актуальною проблемою механіки деформівного твердого тіла.

В другому розділі виходячи із принципу віртуальної роботи побудовані континуально-дискретні рівняння руху і визначені початково-крайові умови для гнучких систем з врахуванням непотенціально-пружних властивостей матеріалу і при їх односторонній деформації .

Схематично гнучку протяжну конструкцію можна вважати системою з'єднаних гнучких тіл (троси, канати, кабелі), тобто континуально-дискретною одномірною системою. Під гнучким тілом будемо розуміти тіло, яке при малих деформаціях має значні скінченні переміщення і працює тільки на розтягування. Нехай на гнучкий елемент конструкції діють масові сили, на частині поверхні діють поверхневі сили і задані переміщення , де час і переміщення відліковуються від початкового незбуреного стану.

Для знаходження розподілу напружень і деформацій в тілі обумовлених рухом тіла, запишемо принцип віртуальної роботи для такої динамічної задачі

(1)

тут , , а причому функція може бути непотенціальною.

Для знаходження розв’язку задачі (1), за умови непотенціальності залежностей між напруженнями і деформаціями, проведемо дискретизацію системи, тобто переміщення виразимо через дискретне число узагальнених координат. Переміщення можна зобразити в вигляді: ,

тоді , а . (2)

Перетворимо вираз в (1) через узагальнені змінні

, (3)

де використані умови .

З використанням (2) третій і четвертий члени в (1) приведемо до вигляду

, (4)

– узагальнені зовнішні сили.

Використовуючи (2), можна записати . Так як ми розглядаємо гнучкі протяжні елементи конструкції, то перший член у варіаційному принципі (1) можна привести до виду: , (5)

де – узагальнені внутрішні сили.

Підставляючи (3), (4), (5) в (1), одержимо

. (6)

Так як варіації незалежні, то з рівняння (6) одержимо систему рівнянь

, . (7)

Ці рівняння являються рівняннями руху Лагранжа для тіл, пружність яких може бути непотенціальною і переміщення скінченні.

Рівняння руху системи тіл, з’єднаних гнучкими елементами, записані в нерухомій прямокутній системі координат

Для цього проведена дискретизація системи і за узагальнені координати вибрані просторові координати точок дискретизації.

Тоді рух гнучкого елемента між точками дискретизації можна записати через

, (8)

де, - функції, що виражають зв’язок довжин осі гнучкого елемента і координат точок дискретизації.

Кінетична енергія набуде вигляду:

, де - погонна маса розтягнутого елемента, а згідно закону збереження маси

Записані узагальнені внутрішні сили для гнучких елементів (нелінійно-, непотенціально-пружних з односторонньою роботою). Залежність між натягом та відносним видовженням подано у вигляді , де – відносне видовження. – функція Хевісайда ,

. (9)

Записані узагальнені зовнішні сили:

, - розподілена поверхнева сила; - розподілена масова сила

Використовуючи вирази для кінетичної енергії та її похідних, а також узагальнених сил, рівняння руху (7) набуде вигляду

(10)

де ; ; ;

Якщо в деяких r-точках задані кінематичні крайові умови , тоді в системі (10) кількість рівнянь зменшиться на r рівнянь з відповідними номерами.

Для дискретизованої системи початкові умови мають вигляд

, . (11)

Основні типи крайових умов:–

якщо задані переміщення обох країв, або один із країв не рухається, то маємо кінематичні крайові умови

, ;–

для автономних систем використовуються динамічні крайові умови, тобто записується баланс сил на крайові точки

, ;–

в задачах буксирування маємо комбіновані крайові умови, тобто на одному із країв задано переміщення, а на другому динамічний баланс сил

, .

У третьому розділі побудовані дискретно-континуальні рівняння руху гнучких систем з зосередженими масами під дією зовнішнього середовища.

Якщо в системі знаходяться тверді тіла (зосереджені маси), які можна вважати матеріальними точками і якщо – маса твердого тіла, яке прикріплене в точці , то вираз для кінетичної енергії прикріплених тіл матиме вигляд ,

Сили, що діють на тіла, можна записати у вигляді . Деталізація сил для деяких видів тіл приводиться в конкретних задачах.

З врахуванням точок дискретизації в яких прикріплені тіла, отримаємо

,

тут узагальнені сили від сил, що діють на тіла.

Рух розгалужених просторових гнучких структур розглядається в нерухомій системі координат . На гнучких елементах розгалуженої конструкції рис.1 вибирається послідовність точок , так, щоб деякі з них співпадали з кінцями, місцями розгалужень, прикладення зосереджених сил, кріплення тіл. З розгалуженою структурою зв'язується граф (рис.2), вершини якого відповідають вибраним точкам, ребра – з відрізкам троса, що їх з'єднують. Для цього графа будується матриця інцендентності (рис.3) розміром , елементам з ребрами відповідає 1 і елементам без ребер –0. На проміжку між точками і рух відрізку гнучкого елемента можна описати при допомозі радіус-вектора , де – функції, що виражають зв'язок довжин осі троса і координат точок в нерухомій системі координат. Введемо звичайну параметри-зацію від довжини недеформованої осі троса. Нехай – довжина осі троса від точки до точки , в яку перемістилась точка після деформації. На систему діють як масові, так і поверхневі (гідродинамічні) сили. Інтенсивність останніх залежить від орієнтації гнучких елементів у потоці, параметрів потоку і параметрів конструкції. Враховуємо закон збереження маси і те, що гнучкі елементи на стиск не працюють. Використовуючи узагальнення принципу віртуальної роботи на динамічні задачі , вибираємо за узагальнені координати просторові координати точок дискретизації і одержимо систему рівнянь, що описують рух розгалуженої системи з закріпленими точками та тілами в рідині.

Тут і – маса і приєднана маса, – довжина троса, – площа перерізу, – коефіцієнти пружності й гідродинамічного опору руху (дотичного і нормального) -го відрізку гнучкого елемента, – вектор швидкості потоку, – щільність рідини, і – вектор вільного падіння, – маса буя, – сили, що діють на буй.

Для опису руху впорядкованих (сіткових) систем (рис.4) вцілому запровадимо нерухому систему координат зв’язану з конструкцією. Пронумеруємо вузли сітки по рядах: , , .

Нехай деякі вузли закріплені, тобто в них задані кінематичні крайові умови, а в деяких інших вузлах знаходяться тіла (буї, бокси апаратури), які через їх малість в порівнянні з протяжністю конструкції можна вважати матеріальними точками, тобто задані динамічні умови.

За допомогою радіусів-векторів описується рух відрізку троса, що з'єднує між собою стики і , які знаходяться в одному ряду

;

рух відрізку троса, що з'єднує між собою стики і

;

рух відрізку троса, що з'єднує між собою діагональні стики і

.

Тут – орти нерухомої системи координат ;, , – функції, що виражають зв'язок між лагранжевою координатою – довжиною осі троса, що вимірюється від деякої фіксованої точки до поточної точки та эйлеровими координатами – просторовими координатами вузлів.

Рівняння руху запишуться в наступному вигляді

,

тут;; ; – кількість точок pозбиття.

При визначенні гідродинамічних сил впливом гнучкого елемента на потік будемо нехтувати.

Силу гідродинамічного опору руху в рідині беремо пропорційно квадрату відносної швидкості руху гнучкого елемента і рідини , і записуємо у вигляді двох складових: нормальної , і дотичної . Сила опору при цьому буде

або .

Коефіцієнти пропорційності і є функціями експериментальних коефіцієнтів опору, густини рідини, поперечних розмірів гнучкого елемента і визначаються на основі теорії подібності. Для циліндричних тіл, якими здебільшого являються троси, канати, кабелі, вони приймаються в вигляді і , де , - діаметр і периметр поперечного перерізу гнучкого елемента; і - коефіцієнти опору, які являються функціями числа Рейнольдса . При стаціонарному обтіканні в діапазоні чисел , 1,2, 0,020,005.

Силу інерції приєднаної маси рідини беремо пропорційно відносному прискоренню

,

, .

Проведемо деталізацію сил, діючих на тіла.

Сила плавучості -го тіла буде

,

Силу опору тіла будемо брати пропорційно квадрату відносної швидкості тіла

Коефіцієнт залежить від експериментальних коефіцієнтів опору, щільності рідини, розмірів тіла і його можна зобразити у вигляді

.

Силу інерції приєднаної маси беремо пропорційно відносному прискоренню

Коефіцієнти знаходяться експериментально чи розраховуються по одній теорії обтікання

Наведений в четвертому розділі метод чисельного розв’язання дискретно-континуальних рівнянь руху гнучких систем одержав подальший розвиток.

Для визначення радіус-векторів функція зв’язку довжин дуг осей відрізків зв’язків і координат точок виражається за допомогою параметричних локальних сплайнів першого ступеня , та третього ступеня де - параметр сплайна.

Запропонована методика використана для зведення нелінійних початково-крайових задач динаміки гнучких розгалужених систем з тілами до розрахункових систем звичайних диференціальних рівнянь, тобто задачі Коші по часу.

В результаті підстановки виразів для радіус-векторів в рівняння руху і проведення інтегрування, одержана система звичайних нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку відносно , де r – кількість кінематичних крайових умов. Розрахункову систему рівнянь звичайних диференціальних рівнянь другого порядку відносно можна подати в вигляді:

(12)

Для чисельного розв’язку системи диференціальних рівнянь, систему рівнянь руху (12) необхідно привести до нормального виду. Так як елементи матриці А залежать від шуканих функцій, то процес нормалізації необхідно проводити на кожному кроці за часом. Але, так як матриця А є розрідженою, то при її розв’язку методами виключення деякі елементи матриці, що до розв’язку були нульовими, перестають бути рівними нулю.

До цих пір не має ефективного алгоритму для відшукання такої оптимальної матриці перестановки у випадку довільної симетричної матриці. Самим популярним, особливо для сильно розріджених матриць, є алгоритм мінімального ступеня . Для опису цього алгоритму введемо кілька понять.

Якщо ненульові елементи матриці зробити рівними 1, то ми отримаємо матрицю, яка є матрицею інцендентності деякого графу , де – множина вершин графу, – множина ребер графу. Тобто, граф відповідає матриці . Таким чином задається структура матриці .

Розглянемо процес розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом виключення. Нехай при прямому ході виключення Гауса дійшли до -го стовпчика. Нехай елементи та , а . Так як матриця симетрична, то , , . Тоді при виключенні елементів та , елементи та перестають бути рівними нулеві. Розглянемо відповідний підграф. Вершини підграфу та є суміжними до вершини : . При виключенні вершини графу вершини та перестають бути суміжними. В цей же час, в самій матриці “з’являлися” елементи та . Якщо ми додамо ребро між вершинами графу та , то ми задовольнимо умову факторизації матриці. Отриманий таким чином граф , називається графом виключення

.

Використовуючи графи виключення, процес факторизації, з точки зору його дослідження на “появу” нових ненульових елементів, може бути зведений до послідовності графів виключення

.

Якщо пронумерувати вершини графу , то отримаємо перестановку, з якої можна легко одержати матрицю перестановки.

Пронумеруємо перші вершин графу і, відповідно до цієї перестановки, переставимо стовпчики і рядки матриці. Число ненульових елементів від цих елементів при прямому ході виключення Гауса для інших стовпчиків не змінюється. Для зменшення ненульових елементів від і–го стовпчика замість і–го рядка потрібно поставити рядок з найменшим числом ненульових елементів.

Цей процес лежить в основі алгоритму мінімального ступеня.

В термінах графів виключення, алгоритм мінімального ступеня можна викласти наступним чином:

Крок 1 (ініціалізація). .

Крок 2. (вибір мінімального ступеня). В графі виключення вибрати вершину , яка має в мінімальний ступінь .

Крок 3. Побудувати новий граф виключення , виключаючи із вершину .

Крок 4. (Цикл або зупинка). . Якщо – зупинка, інакше – перейти до кроку 2.

Якщо на деякому кроці є кілька елементів з однаковим ступенем, то вибирається один з них.

Розглянемо матрицю, елементами якої є коефіцієнти при старшій похідній. Граф , який відповідає структурі ненульових елементів матриці, співпадає з графом, який відповідає гідрофізичній системі, якщо з нього виключити стики, в яких задані кінематичні крайові умови. Цей факт дозволяє зробити переупорядкування рівнянь системи не під час розрахунків, а до їх початку – перенумерувавши точки розбиття.

Для матриці при старшій похідній, яка виникає в задачі, що розглядається в розділі 3, були порівняні між собою метод паралельних перерізів, метод фактор-дерев та алгоритм мінімального ступеня. Найкращі результати, з точки зору мінімального числа ненульових елементів, які “з’являються” під час факторизації, та часу розв’язку перетвореної системи, були отримані для перестановки, яку одержано при використанні алгоритму мінімального ступеня .Виходячи з цього та з численних прикладів, для перетворення матриці краще за все використовувати перестановку, для знаходження якої потрібно використати алгоритм мінімального ступеня.

Але так як на кожному кроці по часу потрібно розв’язувати лінійну систему рівнянь з матрицею, то постає питання стійкості розв’язку, яке задовольняється вибором головного елемента і залежить від міри обумовленості матриці.

Розглянемо матрицю А. Як видно із рівнянь, для кожного рядка діагональні елементи у два рази перевищують суму недіагональних, тобто матриця є матрицею з діагональною перевагою. Оцінимо міру спектральної обумовленості матриці.

Структура ненульових елементів матриці співпадає із структурою графа, яка відповідає розгалуженій гнучкій системі. Так для матриці при старшій похідній, яка виникає в задачі, що розглядається в розділі 3, спектральна міра обумовленості відповідної матриці

Для чисельного розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь потрібно перевірити її на жорсткість. При інтегруванні жорстких систем звичайних диференціальних рівнянь на великих інтервалах зміни незалежної змінної явні однокрокові методи Рунге-Кутта стають неефективними. Тому слід використовувати інший клас методів, зокрема неявні багатокрокові методи. До цих методів належать як традиційні багатокрокові методи Адамса, які є ефективними для розв’язку нежорстких систем диференціальних рівнянь, так і методи Гіра які є ефективними для розв’язку жорстких систем диференціальних рівнянь.

Для перевірки жорсткості системи диференціальних рівнянь визначається міра спектральної обумовленості матриці Якобі правих частин системи .

В розділі проаналізована достовірність результатів виконаних досліджень, обґрунтованість механічних моделей і методів теоретичного та чисельного аналізу, тестуванням результатів обчислень і співставленням їх в окремих випадках з результатами інших авторів. Збіжність чисельних розв’язків виявлялася шляхом зміни кроків інтегрування по часовій та просторовій координатах.

Для перевірки достовірності використана задача про вимушені коливання важкого в’язкопружного троса при збудженні коливань по осі , Порівняння розрахункових величин з експериментальними даними наведено на рис.5

В п’ятому розділі розглянуто динаміку одновимірних гнучких конструкцій з зосередженими масами під дією гідродинамічних сил

В першому підрозділі виз-начено сили, що діють на тіло(буй), яке плаває на поверхні рідини. Розглядаючи буй віхоподібної форми і припускаючи, що максимальний розмір буя малий у порівнянні з відрізком, на якому швидкість потоку рідини значно змінюється, впливом буя на потік нехтується. При цьому передбачається також, що центр тиску і центр мас збігаються, тоді момент гідродинамічних сил відсутній. При таких припущеннях силу гідродинамічного опору представлено у виді

,

а вираз для сили приєднаної маси рідини вибрано наступним чином

,

де – підйом вільної поверхні; , якщо , де – висота буя; – координати клюзової точки (місце кріплення буя до кабель-троса). Силу плавучості визначимо як

.

Швидкість потоку рідини визначається з градієнта потенціалу рідини, а вплив вільної поверхні враховується у відповідних граничних умовах. І якщо підйом вільної поверхні малий відносно довжини хвилі, то і нахили її будуть малими, тоді Динамічні граничні умови на вільній поверхні одержимо з рівнянь Бернуллі

. (13)

Лінеаризований вираз для ординат вільної поверхні прийме вид

.

В результаті диференціювання по часу у площині й об'єднання з умовою (13), одержимо вираз граничної умови для потенціалу швидкості

, .

Розв’язуючи це рівняння, одержимо

,

де – амплітуда хвилі; – хвильовий спектр, .

Складові швидкості рідини будуть мати вид

;

;

,

а підйом вільної поверхні

.

Підставляючи отримані вирази для складових швидкостей і підйому вільної поверхні в (1)–(3) і проводячи інтегрування, визначимо сили, що діють на буй. Впливом морського хвилювання на елементи гідрофізичних систем на глибинах, більших половини довжини хвилі, нехтуємо.

Коливання на хвилях заякореного буя розглянуті в підрозділі 5.2. Записані рівняння руху, плаваючого на хвилях, буя закріпленого гнучким в’язкопружним буйрепом. Причому в’язкопружні властивості буйрепа задаються законом , де - коефіцієнти пружності і в’язкопружності. На гнучкий елемент діють розподілені поверхневі сили: гідродинамічного опору, інерції приєднаної маси рідини, яка залучається до сумісного руху, а також сила вага і сила Архімеда. Динамічний баланс сил, діючих на буй, записаний відповідно до першого підпункту. Буй закріплений на деякій глибині. Конкретні розрахунки проводилися при таких параметрах системи: буй циліндричної форми масою 100 кг, площа мідельового перерізу якого 1 м2; параметри буйрепів наступні: погонна маса 3 кг/м, незбурена довжина троса , площа поперечного перерізу , коефіцієнти опору дотичного і нормального відповідно: , , приєднана маса рідини, що залучається до сумісного руху, . На рис. 6 показано натягнення біля якоря для пружного буйрепа з коефіцієнтом і в’язкопружного з коефіцієнтами з урахуванням односторонньої роботи (криві 1 і 2) і без урахування (криві 3 і 4) при періоді морського хвилювання Тw=6,4c. Бачимо, що характер зміни натягнення в часі відрізняється як кількісно, так і якісно. Причому врахування в’язкопружних властивостей буйрепів менше впливає на характер зміни натягу в часі, ніж врахування однобічності деформації буйрепа.

На рис.7. показані переміщення точки кріплення буя в площині для пружного і в’язкопружного буйрепів з урахуванням односторонньої роботи (криві 2) і без урахування (криві 1) при дії морських хвиль з періодом Тw=6,4с у напрямі площини . З рисунка слідує, що переміщення в часі точки кріплення буя відрізняється як кількісно, так і якісно. Причому врахування в’язкопружних властивостей буйрепів слабо впливає на зміну переміщення в часі. Врахування односторонньої деформації буйрепа істотно впливає на переміщення точки кріплення як по осі , так і по осі .Знос буя у напрямі ходу хвиль також істотно залежить від врахування односторонньої деформації буйрепа. На рис.8 представлені траєкторії руху буя в площині (нуль по осі відповідає незбуреній поверхні води; нуль по осі співпадає з точкою заякорення) на хвилі залежно від періоду хвилі закріпленого пружним буйрепом, з рисунка слідує, що знос буя від точки заякорення в горизонтальному напрямі істотно залежить від періоду хвиль. Існують періоди хвиль, при яких буй з даними параметрами, зноситься в напрямі, протилежному напряму бігу хвиль. Так, для хвилювання з періодом Тw=1,8c буй зноситься проти напряму ходу хвиль найбільше. Знос буя у напрямі бігу хвиль відбувається до величин періоду хвиль, близьких Тw=6,4c. Далі із зростанням періоду хвиль коливання відбувається навкруги деякого положення за відсутності зносу. На рис.9 представлені натяги в різних точках буйрепа по глибині при періоді хвиль Тw=6,4c (1 – біля буйка, 2 – в середині буйрепа, 3 – біля точки заякорення). З рисунка слідує, що розслаблення, які виникають в буйрепі, приводять до ривків, причому величини натягу по всій довжині практично співпадають. Ривки виникають при всіх розглянутих періодах хвилювань ().

Досліджена також динаміка заякореного з примусовою натяжкою буйрепа, тобто при глибині водоймища довжину буйрепа зробимо меншою глибини. З аналізу переміщень точки кріплення буйка при різних натяжках можна зробити висновок, що при великих натяжках, ривки зникають і коливання носять синусоїдальний характер. Такий же висновок можна зробити при аналізі натягів в точці кріплення буя на хвилі з періодом Тw=6,4c при різних натяжках. Рівень же натягу із зростанням натяжки зростає у декілька разів.

В третьому підрозділі досліджені нелінійні коливання на хвилях буя при підводній круговій буксировці. Для вивчення руху сигнального буя на хвилях введена нерухома просторова система координат таким чином, щоб площина співпадала з незбуреною поверхнею води, а точка 0 сумістимо з точкою кріплення буя в незбуреному стані, вісь спрямуємо проти вектора вільного падіння. Точка співпадає з точкою кріплення буя компактної віхоподібної форми, який вважаємо матеріальною точкою, на яку діють сили, а точка співпадає з точкою кріплення буйрепа до підводного апарату. Вважаємо також, що буйреп з буєм не впливає на рух підводного апарату. Записана система рівнянь руху такої системи. Сили, що діють на буй від морського хвилювання, беруться у відповідності до першого підпункту цього розділу Кінематичні крайові умови в точці будуть

де - радіус циркуляції, - швидкість руху підводного апарату, - глибина занурення підводного апарату.

Конкретні розрахунки проводилися при таких параметрах системи: буй циліндричної форми масою 100 кг, площа мідельового перерізу якого 1 м2, параметри буйрепів бралися: погонна маса 3 кг/м, незбурена довжина троса , площа перерізу , коефіцієнти опору дотичного і нормального відповідно: , , приєднана маса рідини, що залучається до сумісного руху .

На рис. 10 представлені просторові контурні переміщення точок системи і просторові переміщення буя. Бачимо, що система з буєм стягується до центру обертання. З вигляду зверху, представленого на рис. 11, можна зробити висновок, що тоді як глибші точки мають кругову траєкторію, точки що знаходяться ближче до морської поверхні рухаються по траєкторіях відмінних від кола (квадратоподібним).. Це можна пояснити взаємодією буя з плоскими прогресивними хвилями, що біжать уздовж осі 0х1. Оскільки на різних ділянках кругового руху вектор швидкості руху буя складається з вектором переносної швидкості хвиль. Причому фази відмінності траєкторій від кіл залежать від глибини, тобто від віддаленості від буя.

Залежність натягу від часу представлена на рис. 12. Бачимо, що в зміні натягу присутні три різні періоди. Найменший період близький до періоду морських хвиль, причому він зменшується при русі буя проти ходу хвиль і збільшується при русі буя по хвилі. Величина натягу при русі буя проти ходу хвиль зростає, а амплітуда зміни натягу за період зменшується.

При збільшенні швидкості кругового буксирування траєкторія руху буя сильніше стягується до центру обертання, хоча квадратоподібність траєкторії буя зберігається. Величини натягу зросли, хоча амплітуда зміни натягу зменшилася. Наявність трьох різних періодів зміни натягу при таких параметрах системи проявляється ще виразніше.

В шостому розділі використовуючи запропонований підхід, досліджені коливання сіткових буйково-заякорених систем, під дією морського хвилювання.

Зокрема для системи, представленої на рис.13: число точок заякорення – 4, число буйків – 4, число горизонтальних рядів – 1, число вертикальних гілок – 4, число діагональних ділянок – 4. Сили, що діють на буй, визначаються аналогічно пункту 5.1. За початкову вибиралася незбурена конфігурація структури

.

Для плоских морських хвиль, що набігають на структуру по осі головної діагоналі конструкції (буйки 1-3) з періодом , на рис.14 представлені вертикальні переміщення буйків в часі, з яких випливають відмінності в амплітудах і фазах коливань буйків, а також їх занурення. При цьому вертикальні коливання буйків 2 і 4 співпадають в часі. В просторі буйки 1 і 3 зносяться хвилюванням тільки у напрямі бігу хвиль, причому 1 буйок зноситься більше за інших, а буйки 2 і 4 зносяться як у напрямі бігу хвиль, так і стягуються до центру конструкції. Розглядаючи зміну натягу у вертикальній гілці конструкції під буйком 2 в часі, представленої на рис.15, можна зробити такий висновок: на всіх ділянках вертикальної гілки (1 – під буйком, 2 – над стиком з горизонтальною гілкою, 3 –під стиком з горизонтальною гілкою, 4 – для точки заякорення) спостерігаються ривки, причому на верхній ділянці величина ривка дещо менше ніж на нижньому, що можна пояснити частковим гасінням величини ривка вагою ділянки вертикальної гілки, що вільно висить. Аналогічна картина спостерігається у всіх вертикальних гілках.(коли натяг дорівнює нулю).

В сьомому розділі досліджена динаміка розгалужених гнучких систем

В першому і другому підрозділі