НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА МЕХАНІКИ

Бондаренко Віктор Григорович

УДК 517.956.4

ПАРАБОЛІЧНЕ РІВНЯННЯ НА РІМАНОВОМУ МНОГОВИДІ

01.01.02 — Диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Донецьк

2005

Дисертацією є рукопис

Роботу виконано в Навчально-науковому комплексі „Інститут прикладного системного аналізу” в структурі Національного технічного університету України „Київський політехнічний інститут” МОН України та НАН України

Науковий консультант: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук,

професор Далецький Юрій Львович

Офіційні опоненти:академік НАН України, доктор фізико-

математичних наук, професор,

Хруслов Євген Якович,

Фізико-технічний інститут низьких

температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України,

завідувач відділу

доктор фізико-математичних наук,

професор Кондратьєв Юрій Григорович,

Бієлефельдський університет (Німеччина),

професор департаменту математики

доктор фізико-математичних наук

Копитко Богдан Іванович, Львівський

Національний університет ім. І.Франка,

завідувач кафедри вищої математики

Провідна установа: Інститут математики НАН України, відділ диференціальних рівнянь з частинними похідними (м. Київ)

Захист відбудеться 28 вересня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 в Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р.Люксембург, 74

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України

Автореферат розісланий 3 серпня 2005 р.

Вчений секретар

cпеціалізованої вченої ради О.А.Ковалевський

Загальна характеристика роботи

Стан проблеми. Дисертацію присвячено вивченню параболічних рівнянь на -вимірному некомпактному рімановому многовиді недодатної кривини. Такі рівняння мають вигляд

, (1)

де

— операторне поле на. Першим кроком цього вивчення є дослідження рівняння теплопровідності

, (2)

де — оператор Лапласа—Бельтрамі. Нехай — фундаментальний розвязок рівняння (2). Його дослідженню присвячено низку робіт, починаючи з двох статей S.R.S.Varadhan (1967), в яких встановлено асимптотику фундаментального розвязку параболічного рівняння

в лінійному просторі. Ця асимптотика має вигляд

,

де — ріманова метрика в, що породжена метричним тензором, тобто вивчення фундаментального розвязку, навіть у лінійному просторі, вимагає переметризації останнього.

Найбільш змістовними із згаданої низки є роботи таких авторів, як С.О.Молчанов (1975), S.T.Yau, P.Li, S.Y.Cheng, J.Cheeger (1975—1981), A.Debiard, B.Gaveau, E.Mazet (1976). Одним з основних результатів, що належать згаданим авторам, є встановлення двосторонніх оцінок ядра теплопровідності в формі теорем порівнянь з функцією

.

Такі оцінки мають вигляд

, (3)

де функції залежать від характеристик многовиду та його вимірності. Якщо секційна кривина многовиду недодатня, то.

Сучасніші результати (1988 — 2002 р.) належать таким авторам, як О.А.Григор’ян, K.D.Elworthy, D.Bakry, K.Davies. В згаданих роботах також вивчається ядро теплопровідності, і результати згаданих авторів зводяться до точкових оцінок вигляду (3) або глобальних оцінок на многовиді з варіацією умов на многовид.

Інший підхід до дослідження параболічних рівнянь на многовиді пов’язаний з їх ймовірносною інтерпретацією як рівняння Колмогорова для дифузійного процесу

. (4)

Перехідна ймовірність цього процесу розглядалась в роботах багатьох авторів. Згадані результати найбільш повно викладені в монографії Я.І.Бєлопольської та Ю.Л.Далецького (1989). Більш того, в цій монографії досліджено дифузійний процес на нескінченновимірному многовиді і доведено диференційовність перехідної ймовірності як міри вздовж деякого класу векторних полів.

Взагалі інтерес до нескінченновимірних ймовірносних розподілів зростає після доведення в 1958 р. теореми про еквівалентність гаусових мір в гільбертовому просторі (Гаєк та Фельдман). Перехідна ймовірність дифузійного процесу в гільбертовому просторі є безпосереднім узагальненням гауссової міри. Побудову такого процесу було здійснено в роботі Ю.Л.Далецького (1967 р.), а властивості перехідної ймовірності вивчалися в роботах таких авторів, як L.Gross (1966 р.) та H.A.Piech (1970 р.).

Проблему абсолютної неперервності перехідних ймовірностей (які нижче називаються дифузійними мірами) в гільбертовому просторі можна розв’язати за допомогою скінченновимірних апроксимацій. Вперше умова абсолютної неперервності двох мір в термінах їх апроксимацій — рівномірна інтегрованість — була встановлена в роботі І.І.Гіхмана та А.В.Скорохода (1966 р.).

У даній роботі узагальнюються оцінки вигляду (3) для фундаментального розв’язку рівнянь (1) та (2) на рімановому многовиді недодатної кривини, обчислюється логарифмічний градієнт фундаментального розв’язку та обгрунтовуються методи його побудови. Для дифузійної міри в гільбертовому просторі будується апроксимуюча послідовність скінченновимірних розподілів, щільність кожного з яких є фундаментальним розв’язком параболічного рівняння на деякому рімановому многовиді. Встановлюються умови рівномірної інтегровності послідовності щільностей мір, тобто умови абсолютної неперервності дифузійних мір в гільбертовому просторі при збуренні початкової умови та оператора дифузії.

Актуальність теми. Роботу присвячено оцінюванню та побудові фундаментального розвязку параболічного рівняння на рімановому многовиді недодатної кривини. Доведення оцінок вигляду (3) за умов недодатності секційної кривини та спадання кривини Річчі на нескінченності дає можливість скінченновимірної апроксимації ймовірносних розподілів в гільбертовому просторі; за допомогою такої апроксимації встановлюються умови абсолютної неперервності перехідних ймовірностей в гільбертовому просторі, що дозволяє розв’язати ряд задач аналізу та статистики.

Встановлені оцінки, а також доведене в дисертації зображення логарифмічного градієнта ядра теплопровідності дозволяє обгрунтувати вперше запропонований метод побудови розв’язку збуреного рівняння. Цей метод може бути застосований як обчислювальний алгоритм.

Зв’язок роботи з науковими програмами. Тематика дисертації відповідає науковому напрямку „Міри в нескінченновимірних просторах”, що ведеться на кафедрі математичних методів системного аналізу НТУУ „КПІ” з 1988 р. спільно з Інститутом математики НАН України. Згадані дослідженн підтримані рядом грантів МОН України та Програми INTAS.

Мета роботи — доведення оцінок вигляду (3) фундаментального розв’язку, обгрунтування методів його побудови (метод параметрикса та метод збурень) і встановлення достатніх умов абсолютної неперервності дифузійних мір в гільбертовому просторі. При цьому використовується диференціально-геометричний апарат диференціювання, повязаний з полями Якобі та принцип максимуму для параболічних рівнянь.

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертації вперше отримано такі результати.

1. Доведено несуперечливість оцінки норми форми кривини через значення тензора Річчі.

2. Визначені базисні поля Якобі і доведено оцінку швидкості їх зростання вздовж геодезичної.

3. Отримано зображення коваріантної похідної поля Якобі в ортогональному до геодезичної напрямку. Доведено оцінки ортогональної складової в даному зображенні.

4. Для тестових функцій параболічного рівняння на многовиді обчислено похідні першого та другого порядку. Отримано оцінки таких похідних з константами, що визначаються умовами на тензор кривини. У випадку зростання вимірності ці константи не залежать від останньої.

5. Доведено формулу заміни змінних для інтегрування на многовиді з тестовою функцією. За допомогою цієї заміни даний інтеграл переводиться в інтеграл по дотичному простору по гауссовій мірі.

6. Доведено двосторонні оцінки ядра теплопровідності як теореми порівняння з тестовою функцією; доведено квадратичну інтегрованість дробу по мірі.

7. Доведено формулу для логарифмічного градієнта ядра теплопровідності

,

де векторне поле обмежене.

8. Для параболічного рівняння (2) на многовиді недодатної кривини обгрунтовано метод побудови ядра теплопровідності, що узагальнює метод параметрикса.

9. Запропоновано новий метод побудови фундаментального розвязку рівняння (1) як збуреного рівняння (2) і доведено збіжність цього метода.

10. Отримано достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір в гільбертовому просторі при збуренні початкової умови та оператора дифузії.

Практичне значення отриманих результатів. Результати дисертації мають теоретичне значення і можуть бути використані по напрямках „Параболічні рівняння” та „Ймовірносні розподіли в нескінченновимірних просторах”.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що викладені в дисертації, отримані здобувачем особисто. В роботі [7], що опублікована в співавторстві, співавтор О.М.Новіков сформулював фізичні аспекти задачі, а всі математичні результати отримано здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на V міжнародній конференції з теорії ймовірностей (Вільнюс, 1989 р.), на засіданнях Українського математичного конгресу (2001 р.), а також на таких семінарах:

в Інституті математики НАН України:—

Семінар з теорії випадкових процесів та розподілів у функціональних просторах (керівники академіки НАНУ Ю.Л.Далецький та А.В.Скороход);—

Київський семінар з функціонального аналізу (керівники академік НАНУ Ю.М.Березанський та чл.-кор. НАНУ М.Л.Горбачук);—

Семінар з диференціальної геометрії та топології (керівник професор В.В.Шарко);—

Семінар „Числення Маллявена” (керівник д.ф.-м.н. А.А.Дороговцев);—

Київський семінар з нелінійного аналізу (керівник академік І.В.Скрипник);

у Фізико-технічному інституті НАНУ (м. Харків):—

Обєднаний семінар математичного відділення (керівники академіки НАНУ Л.А.Пастур та Є.Я.Хруслов);

в Інституті прикладної математики і механіки НАНУ (м. Донецьк):—

Об’єднаний семінар відділів інституту (керівник академік НАНУ І.В.Скрипник);

у Чернівецькому державному університеті:—

Обєднаний семінар кафедр математичного факультету (керівник професор М.І.Матійчук);

у Московському державному університеті:—

Семінар кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики (керівник професор С.О.Молчанов);

в університеті П.Сабатє (м. Тулуза, Франція):—

Семінар лабораторії ймовірності та статистики (керівники професора D.Bakry та M.Ledoux);

у Львівському Національному університеті ім. І.Франка:—

Міський семінар з диференціальних рівнянь (керівники М.І.Іванчов, Б.Й.Пташник).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1 — 21].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів і списку літератури, що містить 117 найменувань. Повний обсяг дисертації — 267 сторінок машинопису.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано літературний огляд робіт, що мають безпосереднє відношення до теми дисертації, обгрунтовано актуальність теми та подано коротку анотацію результатів, одержаних в дисертації.

У першому розділі (§ 1 — § 3) будується апарат диференціювання для деякого класу функцій, визначених на повному однозвязному рімановому многовиді недодатної кривини. До цього класу належать функції, де — змінна, — параметр,. Основний результат першої глави — побудова базисного поля на за допомогою полів Якобі вздовж:

, , ,

де — геодезична, що сполучає та, , ,.

У § 1 сформульовано основну умову на многовид — недодатність секційної кривини, тобто виконання нерівності

(5)

для всіх, , де — тензор кривини многовиду.

Основним результатом § 1 є

Теорема 1.1. На многовиді недодатної кривини наслідком рівності

є рівність

.

Наведений результат означає несуперечливість умови на форму кривини

. (6)

Вважається, що — константа.

Далі, у § 1 формулюється додаткова умова на тензор кривини: вздовж довільної геодезичної має місце нерівність

, (7)

де константа не залежить від, а скалярна кривина визначається формулою

,

та наводяться приклади многовидів, що задовольняють умови (5) — (7).

§ 2 присвячений вивченню базисних полів Якобі — розв’язків граничної задачі для рівняння Якобі на інтервалі

, , ,

де — геодезична, , , — елемент напівгеодезичного ортобазису в.

Позначимо через еволюційний оператор рівняння Якобі, тобто

,

.

Леми 1.1 — 1.2 оцінюють швидкість зростання поля Якобі вздовж: якщо, то мають місце нерівності:

;

,

де.

У лемі 1.3 доводиться оцінка швидкості зростання коваріантної похідної вздовж:

,

тобто при виконанні умови (7) обмежена.

Лема 1.4 встановлює оцінку для через:

.

Ряд властивостей полів Якобі можна визначити через оператори

та

,

що діють в дотичних просторах та відповідно.

Лема 1.5 встановлює оцінку

,

а в лемі 1.6 доведено властивості оператора:

самоспряжений,.

Теорема 1.3 встановлює оцінку для функції

;

.

Якщо умова (7) виконана, то

.

Перелічені више результати використовуються для розвязку основної задачі § 2 — обчислення коваріантної похідної, де — поля Якобі вздовж, ,. У допоміжній лемі 1.7 доведено співвідношення для похідної паралельного поля та формулу

,

якщо.

Обчисленню коваріантної похідної присвячені леми 1.8, 1.9 та 1.10. Спочатку виводиться рівняння для шуканого поля, що має виглдя

, (8)

де складовими векторного поля є значення тензора кривини та його похідної на деяких векторних полях. Лема 1.8 встановлює структуру поля, а в лемі 1.9 визначаються граничні умови для рівняння (8):

, . (9)

В лемі 1.10 доведено зображення розвязку граничної задачі (8), (9):

, (10)

де, , , а векторне поле вздовж задовольняє рівняння (8) із заміною поля на поле

.

Головним результатом § 2 є

Теорема 1.4. Якщо многовид задовольняє умови (5) — (7), то векторне поле задовольняє оцінку

, ,

де константа визначається умовами (5) — (7).

Оцінки норми полів Якобі та зображення їхніх похідних використовуються при диференціюванні деяких функцій на многовиді. Так, враховуючи наведені вище результати, обчислимо похідні функції

, — геодезична, ,.

Якщо, , , то

;

,

де, — поля Якобі вздовж, , ,. Таким чином, похідні функції виражаються через значення полів Якобі та їхні похідні на інтервалі.

Згаданий факт використовується в § 3, який присвячено обчисленню похідних першого та другого порядків від функцій

;

,

де — базисні поля Якобі;

.

Ці функції будуть грати роль тестових при вивченні ядра теплопровідності.

Наведемо головні результати § 3.

Теорема 1.6. За умов (5) — (7) має місце нерівність

,

де константа визначається умовами (5) — (7).

Більш складним є оцінка лапласіану . В лемі 1.12 встановлюється явний вигляд, який містить доданок виду

,

де, — базисні поля Якобі. Для перетворення цього виразу в роботі доведено леми 1.13 та 1.14, наслідком яких є таке зображення лапласіана

,

де складовими векторного поля вздовж геодезичної є значення тензора кривини та його похідних на полях, , , , , , а оператор визначено вище.

Останнє зображення дає можливість довести такий результат:

Теорема 1.7. За умов (5) — (7) має місце оцінка

.

Аналогічні властивості встановлено для функції:

Теорема 1.8. За умов (5) — (7) мають місце оцінки:

, ,

де — ортобазис в.

Другий розділ (§ 4 — § 6), що є центральним в даній дисертації, присвячено вивченню фундаментального розвязку параболічних рівнянь (1) та (2).

У § 4 встановлюються двосторонні оцінки ядра теплопровідності як теореми порівняння з функцією, що визначена вище. Ідея доведення таких оцінок використовує принцип максимуму для параболічних рівнянь. Спочатку розглядаються властивості функції як щільності міри

на многовиді. Наведені нижче теореми 2.1 та 2.2 встановлюють правила заміни змінної при інтегруванні за мірою.

Теорема 2.1. Нехай многовид задовольняє умови (5) — (7). Тоді заміна

приводить вираз

до вигляду

,

де — канонічна гаусіва міра на, а якобіан, де

.

Теорема 2.2. За умов (5) — (7) для довільної функції, що інтегровна по мірі, мають місце співвідношення:

1..

2.,

де

.

Доведення теореми спирається на заміну:

,

тобто

;

або:

,

тобто

.

Доведені в розділі 1 результати дозволяють встановити верхню оцінку ядра теплопровідності.

Теорема 2.3. Якщо задовольняє умову (5), має місце оцінка

, , .

Ідея доведення теореми полягає у встановленні суперпараболічності функції.

В теорії параболічних рівнянь більш складним результатом є доведення нижньої оцінки розв’язку. Таким результатом є

Теорема 2.4. За умов (5) — (7) ядро теплопровідності задовольняє нерівність

, , ,

де — константа, що визначаєтьс з умови (7), а тестова функція визначена в § 3.

Ідея доведення теореми 2.4 — встановлення субпараболічності функції

.

У свою чергу, доведення нерівності

спирається на оцінку, одержану в теоремі 1.6.

Встановлена нижня оцінка дозволяє довести квадратичну інтегровність щільності мір

.

Теорема 2.5. За умов (5) — (7) для кожного та має місце нерівність

.

Задача, що розглядається в § 4 далі, — обчислення логарифмічного градієнту ядра теплопровідності. Розглянемо векторні поля:

;

та позначимо

, .

У лемі 2.3 доводиться співвідношення

,

де.

Подальша мета — оцінка функції. В леммі 2.5 одержано систему рівнянь для поля:

,

де поле, — базисні поля Якобі, а функція визначена в § 2.

Наслідком леми 2.5 є рівняння для функції, що одержано в лемі 2.6:

,

, оператор визначено в § 2.

Рівняння, що одержане, разом з початковою умовою дозволяє довести такий результат:

Теорема 2.7. Нехай задовольняє умови (5) — (7). Тоді задовольняє нерівності

, .

У § 5 для одержана більш точна оцінка за рахунок обчислення початкової умови.

У § 5 розглянуто методи побудови фундаментального розвязку, як рівняння (2), так і збуреного рівняння (1). Метод побудови ядра теплопровідності узагальнює класичний метод параметриксу. Так, для параболічного рівняння в

початкове наближення фундаментального розвязку визначається формулою

.

Фундаментальний розв’язок шукається у вигляді

,

де функція задовольняє інтегральне рівняння Вольтерра. Розв’язок останнього є сума ряду

,

де

є нев’язкою рівняння. Ця нев’язка має інтегровну по особливість в нулі і швидкість збіжності ряду залежить від ступеня особливості.

Якщо для рівняння теплопровідності (2) на многовиді вибрати початковим наближенням, то невязка

також має інтегровну особливість. В роботі запропоновано вибір іншого початкового наближення, що має невязку без особливостей.

Покладемо

,

де функцію визначено на початку § 3, а — деяка константа.

Лема 2.8. Якщо задовольняє умови (5) — (7), то для нев’язки

має місце нерівність

.

Константа вибрана таким чином, щоб задовольнялась нерівність

, .

Можливість такого вибору гарантована теоремою 1.8.

Лема 2.9. За умов леми 2.8 на кожному інтервалі має місце нерівність

, ,.

Ядро теплопровідності шукається у вигляді

, (11)

звідки

. (12)

Теорема 2.9. За умов леми 2.8 інтегральне рівняння (12) має єдиний розв’язок, що задовольняє нерівність

, , .

При доведенні теореми розвязок рівняння (12) будується у вигляді

, ,

тобто ряд збігається краще порівняно з класичним методом параметриксу, завдяки оцінці невязки, що доведена в леммі 2.8.

Метод параметриксу дає можливість поліпшити оцінку для векторного поля, одержану в теоремі 2.7. Так, безпосередньо із зображення ядра теплопровідності та твердження теореми 2.9 випливає

Теорема 2.10. За умов теореми 2.9 має місце нерівність

.

Детальний розгляд ядра теплопровідності дозволяє одержати більш точну оцінку.

Диференціювання співвідношення (11) після ряду перетворень приводить до такого твердження.

Лема 2.10. Початкова умова для векторного поля визначається рівністю

.

Одержане співвідношення дозволяє розглядати задачу Коші для функції

.

Рівняння для було одержане в лемі 2.6, а початкова умова

.

Теорема 2.11. За умов (5) — (7) на многовид для, має місце оцінка

,

де константа залежить тільки від.

Доведення спирається на принцип максимума для квазілінійного рівняння для функції.

Розглянемо дріб

, , .

Оскільки є перехідна щільність дифузійного процесу на многовиді, є взаємна щільність двох перехідних ймовірностей цього процесу, що відповідає різним початковим умовам. Наступний результат встановлює оцінку функції.

Лема 2.11. За умов (5) — (7) функція задовольняє нерівність

для довільного.

Доведення використовує зображення

, .

Наслідком доведеної оцінки є інтегровність по мірі

для довільного.

Результати, що встановлені вище, характеризують ядро теплопровідності, тобто фундаментальний розвязок рівняння (2), який нижче позначаєтьс як — ядро півгрупи з генератором. Через позначимо фундаментальний розвязок рівняння (1), вважаючи його збуреним по відношенню до (2). Розглянемо один метод побудови збуреної півгрупи.

Нехай — еліптичний оператор, — відповідна півгрупа:

.

Розглянемо збурене рівняння

,

де оператор також є еліптичним.

Метод побудови півгрупи використовує такі міркування. Якщо коефіцієнти операторів та сталі,то

.

За деяких умов і в загальному випадку права частина останньої рівності є досить точним наближенням півгрупи, тобто

,

і сім’я операторів може бути побудована за допомогою ітераційної процедури. Нижче розглянуті такі приклади еліптичних операторів:

1. — еліптичний оператор із сталими коефіцієнтами

,

а збурення має вигляд

, .

2., — оператор Лапласа-Бельтрамі на повному однозвязному рімановому многовиді, , що задовольняє умови (5) — (7), а збурення має вигляд

,

де, (скалярне збурення).

3. такий самий, як у прикладі 2, а збурення будується за допомогою операторного поля на,:. Якщо для існує обернений, покладемо

, .

В усіх випадках

,

де — фундаментальний розвязок незбуреного рівняння.

Позначимо через фундаментальний розвязок збуреного параболічного рівняння, тобто ядра півгрупи:

і будемо шукати у звичному вигляді (11).

Збіжність ітераційної процедури при побудові функції визначається властивостями невязки

початкового наближення. Покладемо

,

де функція є наближенням ядра півгрупи.

Оскільки початкове наближення та невязка визначені в інтегральній формі, для перетворення невязки та її оцінки застосуємо формулу інтегрування частинами

,

де — векторне поле, а роль міри грає вираз:

, (13)

де логарифмічна похідна міри

.

Застосуємо запропоновану процедуру до вищезазначених прикладів.

1. Параболічне рівняння має вигляд

, ,

де додатне збурення задовольняє умови:

5.1. Існує додатний оператор такий, що

, .

5.2..

5.3. Перші дві похідні оператора обмежені:

,

.

Розв’язок незбуреного рівняння є гаусівська щільність.

Покладемо

.

Тоді початкове наближення

,

а нев’язка

.

Подвійне застосування до останнього доданку формули (13) інтегрування частинами приводить нев’язку до вигляду

,

,

,

що не містить похідних функції.

Лема 2.13. Невязка задовольняє оцінку

.

З урахуванням умов 5.1 — 5.3 на одержуємо таку оцінку для невязки.

Лема 2.13А. Має місце нерівність

.

Стандартна процедура побудови фундаментального розвязку

приводить до такого результату:

Теорема 2.12. За умов 5.1 — 5.3 фундаментальний розвязок збуреного рівняння

задовольняє оцінку

,

, .

У наведеному прикладі використано той факт, що явний вигляд відомий. У прикладах 2 та 3 є ядром теплопровідності, властивості якого вивчались вище.

2. Параболічне рівняння має вигляд

, ,

де задовольняє умови (5) — (7).

Збурення

,

де скалярна функція задовольняє умови

5.4..

5.5., .

Покладемо,

та визначимо початкове наближення за правилом, сформульованим вище:

.

Невязка, що визначається формулою

,

оцінюється із застосуванням формули (13).

Лема 2.14. Доданки та обмежені функціями

та,

відповідно, де

, .

Лема 2.15. Має місце оцінка

.

Наслідком є така нерівність для невязки:

.

Доведені оцінки дозволяють обгрунтувати збіжність стандартної ітераційної процедури побудови фундаментального розвязку збуреного рівняння, що приводить до такого результату.

Теорема 2.13. Фундаментальний розвязок збуреного параболічного рівняння

задовольняє оцінку

,

де функція визначена вище, а її властивості встановлено в теоремі 1.6.

3. Збурення має вигляд

,

де, а многовид задовольняє умови (5) — (7). Нехай поле задовольняє умови

5.6., .

5.7. Дві коваріантні похідні оператора обмежені:

, .

Початкове наближення для фундаментального розвязку збуреного рівняння

визначимо як

,

де

,

а функція

,—

одиничний дотичний вектор до геодезичної, що сполучає точки та.

Невязка, що визначена формулою

,

за допомогою формули (13) перетворюється до вигляду, зручного для оцінювання. В лемах 2.16, 2.17 доведено оцінки для початкового наближення та нев’язки:

та

.

Теорема 2.14. Фундаментальний розвязок збуреного рівняння задовольняє оцінку

.

§ 6 присвячено вивченню одного з прикладів ріманового многовиду — переметризованого евклідового простору.

Нехай в евклідовому просторі, , із скалярним добутком, задане поле операторів таких, що для кожного існує. Новий скалярний добуток

дозволяє розглядати як ріманів многовид з дотичними просторами.

Нехай — векторне поле. Якщо — матриця оператора та координати вектора в деякому базисі, то диференціальне рівняння

,

де

,

є параболічним. Зауважимо, що праву частину цього рівняння можна записати у вигляді

, .

Наведене параболічне рівняння можна розглядати на многовиді з метричним тензором. З наведених вище результатів випливає, що фундаментальний розвязок оцінюється через функції на цьому многовиді. Цей розв’язок є щільністю (по відношенню до ріманового об’єму ) ймовірнісної міри

,

що є перехідною ймовірністю дифузійного процесу — розв’язку рівняння Іто

.

Далі міра буде називатись дифузійною.

Задача § 6 — виразити основні обєкти многовиду в термінах оператора.

Визначимо на поле білінійного симетричного оператора:

,

де — диференціал.

Слід білінійного оператора визначається рівністю

,

де — ортобазис в .

Лема 2.18. Формула для сліду оператора має вигляд

.

Зауваження. В даній моделі, коли — евклідів простір, що ототожнюється для кожного з дотичним простором, але з різними

скалярними добутками, ортонормований в базис вже не має такої властивості в:

,

де координати метричного тензора є матрицею оператора в базисі. Назвемо цей базис в канонічним. Сліди в обчислюються в базисі

,

який є в ортонормованим. Так, якщо зсув в стохастичному рівнянні Іто визначити рівністю

,

то відповідне рівняння Колмогорова має вигляд

,

де

і фундаментальний розвязок є симетричною функцією:

.

За допомогою операторів та визначається тензор кривини многовиду — трилінійний оператор на:

,

де — другий диференціал оператора.

Тензор Річчі — білінійний функціонал в, який визначається рівністю

можна виразити безпосередньо через вихідний оператор та його похідні. Нагадаємо, що в роботі головною умовою є недодатність кривини многовиду, звідки випливає нерівність.

Таким чином, звязність (оператор) та тензор кривини переметризованого евклідового простору виражаються через вихідні дані нової метрики — оператор.

У § 6 також розглядаються властивості фундаментального розвязку як щільності дифузійної міри. Так, обчислено логарифмічну похідну цієї міри.

У лінійному просторі диференціювання міри вздовж вектора визначається формулою

,—

вимірна множина в, а функція, визначена співвідношенням, називається логарифмічним диференціалом вздовж. Якщо — евклідів простір із скалярним добутком, то, де векторне поле називається логарифмічною похідною міри. З цих визначень випливає формула (для довільної,)

,

інтегрування частинами, яку можна вважати визначенням логарифмічної похідної скінченної міри на евклідовому просторі.

Узагальненням наведеної процедури є диференціювання міри вздовж векторного поля, що дозволяє визначити логарифмічну похідну міри, заданої на рімановому многовиді. Нехай — фазовий потік поля на, тобто

, , .

Тоді диференціал міри вздовж поля визначається формулою

,

звідки випливає існування векторного поля такого, що

,

і з використанням формули Ліувілля для скінченної міри одержуємо формулу інтегрування частинами

,

де – логарифмічна похідна міри – визначається формулою

,—

щільність міри відносно об’єму,.

Якщо отримано переметризацією евклідова простора, то ріманова дивергенція.

Позначимо через та логарифмічні похідні міри відносно та, відповідно.

Лема 2.19. Нехай, , — ріманів об’єм. Тоді мають місце рівності

,

.

Таким чином, формула інтегрування частинами має місце як в евклідовій, так і в рімановій метриках — відповідно до своїх дивергенцій та логарифмічних похідних.

Як приклад розглянемо дифузійну міру. З наведених вище результатів випливає вигляд її логарифмічної похідної:

,

де за теоремою 2.11.

Нижче встановлюються умови на векторне поле, за яких функція (від)

є квадратично інтегровною по мірі.

Теорема 2.16. Нехай многовид задовольняє умови (5) — (7), а векторне поле на таке, що для деяких, збігаються інтеграли

1.;

2.;

3..

Тоді для цих, збігається інтеграл

.

Розділ 3 (§ 7, 8) присвячено вивченню властивостей дифузійних мір в нескінченновимірному гільбертовому просторі. Мета — встановити умови на дифузійний оператор, виконання яких гарантує абсолютну неперервність дифузійних мір при перетворенні початкової умови

та збуренні дифузійного оператора. В розділі доведено результати, що узагальнюють відомі умови абсолютної неперервності гауссових мір в. Так, відому теорему Гаєка-Фельдмана можна сформулювати для дифузійних мір. Позначимо через та перехідні ймовірності дифузійних процесів

та ,

де та — сталі оператори Гільберта-Шмідта в. Позначимо

, .

Якщо, , то

, .

Якщо є оператором Гільберта-Шмідта, то

, , .

Узагальненням наведених результатів є встановлення умов абсолютної неперервності дифузійних мір, що відповідають змінним коефіцієнтам. Апарат, що використовується при доведенні абсолютної неперервності — скінченновимірні апроксимації мір в гільбертовому просторі та результат, доведений в 1966 р. І.І.Гіхманом та А.В.Скороходом.

Нехай, — дві скінченні міри на борельовій -алгебрі в, та — дві послідовності мір, , , , -алгебра, , і для кожного існує щільність

.

Якщо послідовність рівномірно інтегровна по мірі, то міра абсолютно неперервна відносно міри.

В свою чергу, рівномірна інтегровність забезпечується рядом достатніх умов, які грунтуються на оцінках, не залежних від. Один з прикладів такої умови — нерівність

,

де, не залежить від.

Наведені міркування підказують розглянути скінченновимірні апроксимації стохастичного рівняння Іто та відповідну їм послідовність рівнянь Колмогорова, що і реалізується в § 7. Нехай — ортопроектор в, — ортопроектор з в. Якщо — борельова -алгебра в, , то множину

назвемо циліндричною, — його основою. Нехай є розподіл випадкової величини, а — розподіл,. Покладемо

, де.

Лема 3.1. Нехай диференційовна вздовж, щільне в, для всіх, і логарифмічна щільність,. Тоді

,

де — циліндрична множина, кожна основа якої має межу з нульовою лебеговою мірою в.

Застосуємо лему 3.1 до дифузійних мір, що визначаються оператором дифузії та зсувом. Нехай та задовольняють умови:

7.1., , — додатний ядерний оператор в.

7.2., , де.

7.3., , — оператор Гільберта-Шмідта в, — норма Гільбарта-Шмідта.

Визначимо дифузійний процес рівнянням Іто

і позначимо його перехідну ймовірність

Теорема 3.1. За умов 7.1 — 7.3 має місце співвідношення

.

Наслідок. За умов теореми послідовність розподілів збігається до.

Виявляється, що за умов теореми 3.1 має місце і збіжність логарифмічних похідних.

Теорема 3.2. Нехай — фундаментальний розвязок рівняння Колмогорова, що відповідає, — векторне поле на, що задовольняє умови:

1. неперервна на.

2..

Позначимо. Тоді за умов 7.1 — 7.3 має місце співвідношення

.

Таким чином, одну з умов теореми Гіхмана-Скорохода — збіжність на алгебрі циліндричних множин — встановлено. Оцінки, необхідні для рівномірної інтегровності послідовності щільностей, випливають з властивостей фундаментального розв’язку, що доведено в розділі 2. Так, для одного рівняння Іто при збуренні початкової умови

, (14)

, , ,

і оцінки, з яких випливає рівномірна інтегровність, можна отримати з теореми 2.11 про зображення логарифмічного градієнта. При цьому константи, що входять в оцінки, мають не залежати від вимірності многовиду, що вимагає адаптації умов на тензор кривини (5) — (7).

Аналогічно, при збуренні оператора дифузії розглядаються дві метризації евклідова простора метричними тензорами

та

, (15)

кожному з яких відповідає ядро теплопровідності та та дифузійна міра та. Розглянемо послідовність щільностей

. (16)

Оцінка щільності випливає з результатів § 4 (теореми 2.3, 2.4). Для застосовності згаданих результатів обидві метризації (15) мають задовольняти умови (5) — (7) на многовид. В роботі наведені приклади операторів в , що задовольняють умови 7.1 — 7.3, а відповідні їм метричні тензори та при кожному задовольняють умови (5) — (7).

У § 8 встановлені достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір при згаданих вище збуреннях, тобто знайдено умови рівномірної інтегровності послідовності щільностей, визначених формулами (14) та (16).

Припускається, що поле зсуву вибране таким чином, що рівняння Колмогорова ма самоспряжений вид, і для кожного многовид задовольняє умови (5) — (7) з незалежними від вимірності константами. Тоді основні теореми 1 та 2 розділів мають вигляд:

Теорема 1.6..

Теорема 1.7..

Теорема 2.5..

Теорема 2.11., .

За згаданих умов має місце

Теорема 3.3. Нехай задовольняють умову

,

де ядерний оператор визначено умовою 7.1. Тоді міри та еквівалентні для,.

Подальший результат — абсолютна неперервність дифузійних мір при збуренні дифузійного оператора — грунтується на двосторонній оцінці ядра теплопровідності

,

доведеній в теоремах 2.3 та 2.4. Позначимо через відстань в, що породжена метричним тензором (15). Тоді

і щільність, визначена рівністю (16), задовольняє оцінку

.

Рівномірна інтегровність послідовності по мірах буде мати місце, якщо різниця

задовольняє деяку верхню оцінку.

Теорема 3.4. Нехай метричні тензори та породжують в метрики та, які для кожного задовольняють нерівність

,

де — геодезична в метриці, , а — поле додатних операторів на, таких що

, , ; ,

де не залежить від. Тоді послідовність рівномірно інтегровна по мірах.

Перевірити умови теореми 3.4 досить складно. Дальші результати присвячені дослідженню цих умов, тобто співвідношенню між метриками і

Нехай многовид має дві метрики і з метричними тензорами та, відповідно. Позначимо та геодезичні для метрик і, через та, відповідно, експоненціальні відображення, через, та, — скалярний добуток та норму в. Покладемо

;.

Тоді

.

Теорема 3.5. Якщо в обох метризаціях многовид має недодатну кривину, то формула для похідної має вигляд

,

де оператори та досліджені в лемі 1.5.

Наслідок. Має місце формула

.

Дослідимо таке питання. Нехай мало відрізняється від. Чи буде відображення близьким до тотожного?

Теорема 3.8. Нехай в евклідовому просторі задана ріманова структура двома метричними тензорами та. Якщо обидві метризації мають недодатну кривину, то

,

де.

З наведених результатів випливає такий наслідок. Якщо дифузійні оператори двох рівнянь Іто мають вигляд

та, — ядерний і для всіх обидві метризації та задовольняють умови (5) — (7) з незалежними від константами, то для кожного виконується нерівність

, ,

де не залежить від та.

Остання нерівність означає, що одна з достатніх умов теореми 3.4 виконується тотожно, як наслідок ядерності. Виконання другої умови, залежить від швидкості спадання скалярної кривини. В роботі наведено достатню умову на швидкість спадання вздовж геодезичної, яка гарантує виконання нерівності,.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано такі результати.

1. На многовиді недодатної кривини доведено властивість форми кривини (теорема 1.1), визначено базисні поля Якобі та встановлено швидкість зростання та вздовж геодезичної (леми 1.4, 1.5, теорема 1.2).

2. Отримано зображення коваріантної похідної поля Якобі в напрямку поля Якобі,. Це зображення має вигляд

,

де оцінюється як

через відоме векторне поле (теорема 1.4).

3. Обчислено та оцінено градієнти та лапласіани тестових функцій

,

, ,

де — лінійний оператор, визначений на полях Якобі. Похідні цих функцій оцінюються константами, що входять в умови на тензор кривини (теореми 1.6 — 1.8).

4. Доведено двосторонні оцінки ядра теплопровідності у вигляді теорем порівняння з тестовою функцією на многовиді

.

Для інтеграла

доведено формулу заміни змінної (теореми 2.1, 2.2), а оцінки мають вигляд (теореми 2.3, 2.4):

.

З цих оцінок випливає квадратична інтегровність по мірі.

5. Для векторного поля

отримано формулу

і доведено обмеженість (теореми 2.7 та 2.11). Як наслідок встановлено оцінку для щільності

.

6. Запропоновано та обгрунтовано методи побудови фундаментального розвязку. Так, для ядра теплопровідності — фундаментального розв’язку рівніння

узагальнено метод параметриксу (теорема 2.9).

Для збуреного рівняння вигляду

, ,

запропоновано метод побудови фундаментального розв’язку; складовими останнього є функції та, де

.

Метод продемонстровано на прикладах конкретних збурень (теореми 2.12 — 2.14).

7. Розглянуто застосування отриманих результатів для розвязку задач абсолютної неперервності нескінченновимірних розподілів. Прикладами таких розподілів є дифузійні міри в гільбертовому просторі, тобто перехідні ймовірності дифузійних процесів із значеннями в гільбертовому просторі. Доведено, що апроксимацією таких мір є послідовності мір вигляду

,

де — ядро теплопровідності (теореми 3.1, 3.2).

Результати, отримані в розділі 2, дозволяють отримати достатні умови абсолютної неперервності дифузійних мір для збурення початкової умови (теорема 3.3) та дифузійного оператора (теореми 3.4 — 3.9).

Основні результати дисертації опубліковано в таких роботах.

1. Бондаренко В.Г. Оценка фундаментального решения параболического уравнения на многообразии неположительной кривизны // Доп. НАН України. — 1995. — № 12. — С. 10 — 12.

2. Bondarenko V.G. Diffusion sur varie’te de courbure non positive // C.R. Acad. Sci. Paris, Seria I. — 1997. — T. 324. No 10. — PP. 1099 — 1103.

3. Бондаренко В.Г. О некоторых свойствах диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Доп. НАН України. — 1997. — № 6. —

С. 14 — 18.

4. Бондаренко В.Г. Ковариантные производные полей Якоби на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журнал. — 1998. Т. 50. — № 6. — С. 755 — 764.

5. Бондаренко В.Г. Оценки ядра теплопроводности на многообразии неположительной кривизны // Укр. мат. журнал. — 1998. Т. 50. — № 8. —

С. 1129 — 1136.

6. Бондаренко В.Г. Построение решения параболического уравнения с переменными коэффициентами // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 1. — С. 136 — 139.

7. Бондаренко В.Г., Новиков А.Н. О производной ядра теплопроводности // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 4. — С. 132 — 135.

8. Бондаренко В.Г. Градієнт ядра теплопровідності на рімановім многовиді // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1998. — № 1. — С. 89 — 91.

9. Бондаренко В.Г. Оцінки ядра теплопровідності на рімановім многовиді // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1998. — № 3. — С. 26 — 28.

10. Бондаренко В.Г. Аппроксимация плотности бесконечномерных распределений // Кибернетика и системный анализ. — 1998. — № 1. —

С. 172 — 174.

11. Бондаренко В.Г. Об абсолютной непрерывности возмущенных гауссовых мер // Кибернетика и системный анализ. — 1998. — № 2. —

С. 168 — 170.

12. Бондаренко В.Г. Параболічне рівняння на многовиді недодатньої кривизни // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1997. — Вип. 40. — № 4. — С. 66 — 69.

13. Bondarenko V. Parabolic equation on the Riemann manifold // Матема-тичні студії. — 1998. — Вип. 10. — № 1. — С. 93 — 96.

14. Бондаренко В.Г. Про властивості деякого класу мір в гільбертовім просторі // Математичні методи та фізико-механічні поля. — 1998. — Вип. 41. — № 3. — С. 26 — 28.

15. Бондаренко В.Г. Абсолютна неперервність нескінченновимірних розподілів // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 1999. — № 3. — С. 102 — 104.

16. Бондаренко В.Г. Метод параметрикса для параболического уравнения на римановом многообразии // Укр. мат. журнал. — 1999. Т. 51. — № 11. — С. 1443 — 1448.

17. Бондаренко В.Г. Конечномерные аппроксимации диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журнал. — 1999. — Т. 51. — № 12. — С. 1587 — 1592.

18. Бондаренко В.Г. Логарифмические производные диффузионных мер в гильбертовом пространстве // Укр. мат. журнал. — 2000. — Т. 52. — № 4. — С. 537 — 543.

19. Bondarenko V. Construction of the fundamental solution of disturbed parabolic equation // Bulletin des sciences mathematiques, 2003. — Vol. 127. —

N 3. — P. 191 — 206.

20. Бондаренко В.Г. Логарифмический градиент ядра теплопроводности на римановом многообразии // Матем. заметки. — 2003. — Т. 74. — № 3. — С. 471 — 475.

21. Бондаренко В.Г. Возмущенное параболическое уравнение на римановом многообразии // Укр. мат. журнал. — 2003. — Т. 55. — № 7. —

С. 977 — 982.

АНОТАЦІЇ

Бондаренко В.Г. Параболічне рівняння на рімановому многовиді. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — Диференціальні рівняння. — Інститут прикладної математики і механіки НАН України. — Донецьк, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню фундаментального розв’язку параболічного рівняння на асимтотично евклідовому рімановому многовиді недодатної кривини. Встановлено властивості тензора кривини згаданого многовида та розроблено апарат диференціювання функцій на многовиді, що пов’язаний з полями Якобі. Одержано двосторонні оцінки фундаментального розв’язку параболічного рівняння, запропоновано та обгрунтовано методи побудови цього розв’язку — метод параметриксу для самоспряженого рівняння та метод збурень. Одержано явну формулу для логарифмічного градієнта ядра теплопровідності. Доведено апроксимативні за вимірністю властивості дифузійних мір, щільністю яких є фундаментальний розв’язок. Як наслідок, одержано достатні умови абсолютної неперервності перехідних ймовірностей дифузійних процесів в гільбертовому просторі при збуренні початкової умови та оператора дифузії.

Ключові слова: ріманів многовид, тензор кривини, параболічне рівняння, ядро теплопровідності, перехідна ймовірність, абсолютна неперервність.

Бондаренко В.Г. Параболическое уравнение на римановом многообразии. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 — Дифференциальные уравнения. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецк, 2005.

Диссертация посвящена исследованию