ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Міністерство освіти і науки України
Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна
Цвєтков Денис Олегович
УДК 517.9:532
МАТЕМАТИЧНІ ПРОБЛЕМИ ТЕОРІЇ КОЛИВАНЬ
СТРАТИФІКОВАНОЇ РІДИНИ
01.01.03 – математична фізика
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Харків – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України, м. Сімферополь.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Копачевський Микола Дмитрович,
Таврійський національний університет
імені В.І. Вернадського, завідувач кафедри
математичного аналізу, м. Сімферополь.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Руткас Анатолій Георгійович,
Харківський національний університет імені
В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичного
моделювання та забезпечення ЕОМ;
доктор фізико-математичних наук, професор
Шишков Андрій Євгенійович,
Інститут прикладної математики і механіки НАН України, завідувач відділу рівнянь з частинними похідними, м. Донецьк.
Провідна установа: Фізико-технічний інститут низьких температур імені
Б.І. Вєркіна НАН України, відділ математичного моделювання фізичних процесів, Національна академія наук України, м. Харків.
Захист відбудеться 10 червня 2005р. о 17-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 6-48.
З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.
Автореферат розісланий 25 квітня 2005р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. На даний час у зв'язку з проблемами геофізики, океанології і фізики атмосфери, використанням криогенних рідин у техніці і низкою інших проблем виріс інтерес до вивчення динаміки хвильових рухів різних неоднорідних, зокрема, стратифікованих рідин. Цей інтерес обумовлений не тільки практичними потребами, але і теоретичним змістом проблем, які тут виникають. У багатьох випадках математичні моделі таких проблем істотно нелінійні і піддаються дослідженню лише чисельними методами. Проте у ряді випадків якісне первісне уявлення про досліджуване коло явищ можна одержати і на основі простих лінійних моделей, що піддаються аналітичному дослідженню. У цьому відношенні дуже характерні і задачі динаміки стратифікованих рідин. Навіть у рамках лінійних моделей їхні математичні постановки дуже своєрідні і приводять до нестандартних початково-крайових задач. Це визначає поряд з нетривіальними фізичними результатами і самостійний математичний інтерес до цих проблем.
Починаючи з середини XX століття багато початково-крайових задач математичної фізики, які пов'язані з проблемою малих рухів і власних (нормальних) коливань суцільних середовищ, вивчаються методами функціонального аналізу. Одними з перших у цьому напрямку були статті і монографії С.Л. Соболєва, С.Г. Крейна, О.О. Ладиженської, В.І. Юдовича, М.Г. Крейна, Г. Лангера та інших відомих математиків і механіків. Наступні дослідження задач подібного роду проводилися в роботах І.О. Луковського, М.Д. Копачевського, Нго Зуй Кана, М.Б. Оразова, А.Г. Костюченка, А.А. Шкалікова та інших. Ці методи дозволяють досліджувати одновимірні і багатовимірні лінійні задачі математичної фізики, зокрема, не залишилися осторонь і дослідження стратифікованої рідини в обмежених водоймах.
У роботах М.Д. Копачевського і його учнів О.М. Темнова, С.І. Смірнової, Т.П. Темченко розглядалися задачі про коливання стратифікованої рідини, що цілком заповнює посудину; досліджувався випадок, коли змінна щільність для ідеальної рідини змінюється не уздовж деякої осі (стратифікована рідина), а більш складним чином, що враховує, наприклад, дію неоднорідного потенційного поля і поля відцентрових сил; вивчалися коливання системи шарів ідеальної стратифікованої рідини, а також коливання в’язкої стратифікованої рідини, що не змішується, і ідеальної однорідної рідини при наявності вільної поверхні. Відзначимо, що моделі, які містять одну стратифіковану рідину, розглядалися також у роботах і монографіях С.О. Габова й О.Г. Свєшникова.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень, які ввійшли до дисертації, пов'язані з плановими науковими дослідженнями кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського: бюджетна тема "Математичний аналіз і його застосування" (1997-2000 рр., 2000-2005 рр.); бюджетна тема "Операторні методи в лінійній гідродинаміці і суміжні питання теорії оператор-функцій" (1996-2000 рр., номер державної реєстрації 0198U005792); бюджетна тема "Операторні методи, аналіз у шкалах просторів і їхнє застосування в механіці суцільних середовищ" (1997-1999 рр., номер державної реєстрації 0197000426).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розгляд нового класу задач гідродинаміки і математичної фізики.
Об’єкт дослідження – рівняння стратифікованої родини.
Предмет дослідження – коливання стратифікованої рідини у нерухомій чи рівномірно обертовій посудині.
Основні задачі:
– дослідження задачі про малі рухи і нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої в стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення на випадок рівномірно обертової посудини; –
дослідження задачі про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не змішуються, і які частково заповнюють довільну посудину; передбачається, що нижньою, стосовно дії сили ваги, є в'язка стратифікована рідина, а верхня – стратифікована ідеальна рідина.
Методами дослідження є методи функціонального аналізу, зокрема, методи теорії диференціальних рівнянь у гільбертовому просторі і теорії рівнянь у частинних похідних, методи теорії стискаючих півгруп операторів, методи спектральної теорії операторних жмутків (операторів-функцій, що залежать від спектрального параметра), теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою, а також підходи, засновані на використанні так званих операторних блок-матриць з необмеженими операторними коефіцієнтами.
Наукова новизна отриманих результатів.
1. Розроблено підхід, який оснований на використанні теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, і який дозволяє перейти від вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин до рівносильних задач Коші для диференціально-операторного рівняння в гільбертовому просторі.
2. Вперше вивчена задача про малі рухи і нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої в стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення на випадок рівномірно обертової посудини. Отримано умови, при яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач. Отримано твердження про структуру спектра, про властивості кореневих функцій, встановлені асимптотичні формули для віток власних значень.
3. Вперше вивчена задача про малі рухи і нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не змішуються, і які частково заповнюють довільну посудину. Передбачається, що нижньою, стосовно дії сили ваги, є в'язка стратифікована рідина, а верхня – стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі. Отримано твердження про структуру спектра, встановлені асимптотичні формули для трьох віток власних значень.
Практична цінність. Робота, проведена в дисертації, доповнює теорію хвильових процесів і може бути використана в подальших дослідженнях задач гідродинаміки, зокрема, задач, пов'язаних з гідросистемами, що містять як ідеальні стратифіковані, так і в’язкі стратифіковані рідини. На основі отриманих результатів можуть бути проведені розрахунки частот і форм коливань досліджуваних гідродинамічних систем.
Особистий внесок здобувача. Постановка задач і обговорення результатів належить М.Д. Копачевському, доведення усіх тверджень – автору.
Апробація роботи. Результати дисертації доповідалися на VIII Міжнародній конференції студентів і аспірантів з фундаментальних наук "ЛОМОНОСОВ" (Москва, 2001 р.), XI, XII, XIV Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах із спектральних і еволюційних задач (Крим, Севастополь); XXVIII – XXXII (1999 – 2003 р.) наукових конференціях професорсько-викладацького складу Сімферопольського державного університету (нині Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського), на семінарі Одеської національної академії будівництва й архітектури (під керівництвом професора В.Н. Пивоварчика, Одеса, 2003 р.), на об'єднаному семінарі кафедри математичного аналізу Донецького національного університету (завідуючий кафедрою професор В.А. Дергач) і інституту прикладної математики і механіки (професор А.Є. Шишков) (Донецьк, 2004 р.), на семінарі Фізико-технічного інституту низьких температур НАН України (під керівництвом академіка НАНУ Є.Я. Хруслова, Харків, 2004 р.), на семінарі кафедри теоретичної механіки Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (під керівництвом професора Н.Ф. Пацегона, Харків, 2004 р.), на семінарі кафедри математичного моделювання та забезпечення ЕОМ Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна (під керівництвом професора А.Г. Руткаса, Харків, 2004 р.), на семінарі “Математичні проблеми механіки й обчислювальної математики” Інституту математики НАН України (під керівництвом академіка НАН України І.О. Луковского, член-кор. НАН України В.Л. Макарова, Київ, 2004 р.).
Структура й обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків, списку використаних джерел і одного додатка. Повний обсяг роботи – 180 сторінок, у тому числі основного тексту 150 сторінок. У списку використаної літератури 93 назви.
Публікації. Результати дисертаційного дослідження знайшли відображення в семи наукових публікаціях, в тому числі в чотирьох статтях у фахових наукових виданнях, у двох збірниках наукових праць та в одній тезі.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
У вступі розкривається сутність і стан наукової проблеми та її значущість. Проведено огляд отриманих результатів, виділені положення, що виносяться на захист. Нумерація тверджень у дисертації й авторефераті та сама.
У розділі 1 наводиться коротка історична довідка стосовно кола питань, що мають відношення до теми роботи. Наведено огляд літератури з теми дисертації і сформульовані основні результати, що досягнуті в цьому напрямку.
У розділі 2 вивчається задача про малі рухи і нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої у стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення на випадок рівномірно обертової посудини. Розділ складається з трьох підрозділів.
Підрозділ 2.1 присвячений математичній постановці задачі про малі рухи важкої в'язкої (з коефіцієнтом динамічної в'язкості м>0) стратифікованої нестисливої рідини, що частково заповнює нерухому посудину. При цьому вважається, що рідина, щільність якої с0=с0(x3) у стані спокою змінюється уздовж вертикальної осі, займає область Щ, обмежену твердою стінкою S і вільною поверхнею Г. Система координат Ox1x2x3, яка жорстко зв'язана з посудиною, введена таким чином, що вісь Ox3 спрямована проти дії сили ваги, а початок координат знаходиться на поверхні Г.
Розглядається основний випадок стійкої стратифікації рідини по щільності:
де – квадрат частоти плавучості (частоти Вейсяля-Брента).
Вивчаються малі (лінійні) рухи рідини, які близькі до стану спокою. Позначимо через одиничний вектор, нормальний до ?Щ і спрямований поза Щ, а через = (t,x), xЩ, – поле швидкості в рідині, p=p(t,x) – динамічний тиск, с=с(t,x) – відхилення поля щільності від поля с0(x3), т=т(t,), Г, – відхилення вільно рухомої поверхні рідини Г(t) від Г по нормалі .
Лінійна постановка початково-крайової задачі про коливання розглянутої гідросистеми має наступний вигляд
(1)
(2)
(3)
Далі в цьому підрозділі, зв'язуючи з функцією с0=с0(x3) гільбертовий простір (Щ,с0) вектор-функцій зі скалярним добутком одержуємо аналог відомого ортогонального розкладання Вейля гільбертового простору векторних полів швидкостей
(Щ,с0)=(Щ,с0)(Щ,с0)(Щ,с0), (4)
де
Вводяться також гільбертові простори Z2(Щ) скалярних функцій зі скалярним добутком вигляду
і гільбертовий простір L2(Г) зі скалярним добутком
У пункті 2.1.7 шляхом проектування рівнянь початково-крайової задачі (1) – (3) на введені функціональні підпростори здійснено перехід до диференціально-операторного рівняння першого порядку в гільбертовому просторі
H:= (Щ,с0) L2,Г Z2(Щ), L2(Г):=L2,Г {1Г}, (Щ,с0):=(Щ,с0)(Щ,с0):
(5)
Тут оператор A є необмежений самоспряжений додатно визначений оператор з =(Щ,с0), у якого обернений оператор A-1 є компактний і додатний, діючий у просторі (Щ,с0); оператор гn є спряженим до оператора G і необмеженим, при цьому D(A) D(гn); оператор C є обмеженим.
Позначимо операторну матрицю в (5) через Г, а вектор змінних через y і перепишемо задачу Коші (5) у наступному вигляді
+ Гy = f(t), y(0)=y0. (6)
У підрозділі 2.1 встановлено, що оператор Г є акретивним, проте не є максимальним акретивним оператором.
Означення 2.2. Назвемо сильним розв'язком вихідної початково-крайової задачі (1) – (3) такі функції , т, с і p, для яких вектор y(t) = (; т; с)t є сильним розв'язком задачі Коші (6). У свою чергу сильним розв'язком задачі Коші (6) назвемо функцію y(t) таку, що y(t)D(Г) для будь-якого t з проміжку [0,T], Гy(t)C([0,T];H), y(t)C1([0,T];H) і для будь-якого t з проміжку [0,T] виконане рівняння і початкова умова з (6).
Здійснивши в (6) заміну y(t)=eaty1, a>0, одержуємо наступну задачу Коші:
+ Гay1 = f(t), y1(0)=y0, (7)
де Гa:= Г + aI, I – одиничний оператор у H.
Введемо допоміжні оператори
Aa = A + aI, Q1:= G*Aa-1/2, D(Q1) = (Щ,с0), Q1+:= Aa-1/2G, D(Q1+) = D(G).
Лема 2.8. Для операторів Q1 і Q1+ справедливі властивості
Q1+ Q1*, Q1+ = Q1*¦D(G), = Q1*.
Лема 2.10. Замикання A0:= оператора Aa є максимальний рівномірно акретивний оператор. При цьому D(A0) = { y1=(;з;у)t H : +Aa-1/2Q1*зD(Aa) },
де Q2:=C*Aa-1/2, Q2*= Aa-1/2C.
У пункті 2.1.9 з операторним рівнянням (7) асоціюється аналогічне рівняння з максимальним акретивним оператором Г0. Застосування загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь дозволило довести теорему про сильну розв'язність отриманої задачі Коші. Потім шляхом вибору початкових умов з області визначення незамкненого оператора Гa вдається показати, що відповідний розв'язок задачі (7) також лежить в області визначення оператора Гa.
Теорема 2.2. Нехай для задачі Коші (7) виконані умови
D(A), т0D(G)=HГ1/2, с0Z2(Щ), C1([0,T];(Щ,с0)).
Тоді вона має єдиний сильний розв'язок на проміжку [0,T].
Використовуючи теорію аналітичних півгруп, вдається послабити умову на праву частину рівняння (7). Підсумком підрозділу 2.1 є наступний результат.
Теорема 2.4. Якщо виконані умови
D(A), т0D(G)=HГ1/2, с0 Z2(Щ), Cб([0,T];(Щ, с0)), 0<б?1,
то задача (1) – (3) має єдиний сильний розв'язок для будь-якого t[0,T].
Підрозділ 2.2 присвячений вивченню задачі про нормальні коливання гідросистеми, описаної в підрозділі 2.1. Нормальними коливаннями досліджуваної гідросистеми називаються такі розв'язки y(t) однорідного рівняння (асоційованої з (7)) задачі Коші
+ Г0 y = f(t), y(0)=y0, (8)
які залежать від t за законом e-лt.
У випадку рівняння (8) при f = 0 (вільні рухи гідросистеми) і y(t)= e-лty, y H, лC, одержуємо наступну спектральну задачу
Г0y= лy, y D(Г0), (9)
тобто задачу на власні значення для замкненого рівномірно акретивного оператора Г0.
Вивчено загальні властивості спектра матричного оператора Г0.
У лемах 2.11, 2.14 послідовно встановлюються наступні факти: оператор Г0 має обмежений обернений оператор; спектр ?(Г0) оператора Г0 належить області {лC, Reл ? a}, при цьому л=a є нескінченно кратним власним значенням; граничний спектр ?ess(Г0) оператора Г0 складається з точок a і 8.
Подальше дослідження задачі (9) основане на використанні теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою, зумовленою оператором J : = diag(IK+; -IK-), де IK+ і IK- – одиничні оператори в просторах K+:=(Щ,с0) і K–:= H0 Z2(Щ) відповідно.
Загальний підсумок застосування індефінітного підходу до задачі (9) приводить до наступного твердження про повноту і базисність системи кореневих елементів оператора Г0.
Теорема 2.7. Нехай F0(Г0) – замикання лінійної оболонки власних елементів оператора A0, а F(A0) – замикання лінійної оболонки кореневих (власних і приєднаних) елементів. Тоді мають місце наступні властивості:
1. dim(F(Г0)/F0(Г0)) < 8.
2. H=F(Г0), тобто замикання лінійної оболонки кореневих елементів оператора збігається з H.
3. H=F0(Г0) тоді і тільки тоді, коли немає приєднаних елементів, що відповідають недійсним власним значенням ? оператора , тобто Lл(Г0)=ker(Г0 - лI). (?ператор A0 має не більше скінченного числа недійсних власних значень).
4. Якщо H=F0(Г0) (відповідно H=F(A0)), тоді існує майже J-ортонормований базис Рісса, складений із власних елементів (відповідно з кореневих елементів) оператора A0.
5. Якщо F0(Г0)=H, то J-ортонормований базис у H із власних елементів оператора A0 існує тоді і тільки тоді, коли ?(Г0) R.
6. Згадані вище базиси можуть бути p-базисами для p >3/2. (Система векторів утворює p-базис у гільбертовому просторі H, якщо un=(I+T)vn, де – ортонормований базис у H, (I+T) – обернений, T Sр).
Доведені властивості спектра і системи кореневих елементів оператора Г0 дуже близькі до властивостей спектра відомої задачі С.Г. Крейна про малі коливання в'язкої рідини у відкритій посудині. Цей зв'язок уточнюється наступною теоремою.
Теорема 2.8. Нехай ?0 a – скінченнократне власне значення оператора і елементи y0, y1, …, yk – ланцюжок власних і приєднаних елементів, де yj=(;зj;уj)t, j=0,...,k. Тоді елементи ?0,, ц1, …, цk, цj=A1/2, – ланцюжок власних і приєднаних елементів для операторного жмутка:
L(л) =I–лA-1–л-1(B+E), (10)
0 = B:= V1*V1 S8, 0 = E:= V2*V2 S8, V1:=гnA-1/2, V2:=C*A-1/2,
ці елементи відповідають власному значенню ? =л0–a. Зворотно, кожному ланцюжку ?0, ц1, …, цk власних і приєднаних елементів жмутка (10) і власному значенню відповідає ланцюжок кореневих елементів y0, y1, …, yk оператора A0 і власне значення ?0, при цьому має місце наступний зв'язок
yj = (; зj; уj)t=, .
Зазначений зв'язок між розв'язками задачі (9) і задачі на власні значення для жмутка (10) дозволяє встановити властивості розв'язків задачі (9), вивчаючи властивості розв'язків задачі на власні значення L(л)ц = 0. Цей план реалізовано на базі застосування спектральної теорії операторних жмутків.
Теорема 2.9. Для оператора Г0 мають місце наступні властивості.
1. Недійсні власні значення оператора Г0 і ті дійсні, котрим відповідають приєднані елементи, розташовані в сегменті
M:={ лC : Reл – a ? м (2¦A-1¦)-1, ¦л-a¦ ? 2м-1¦gВ+E¦ }
комплексної області C. Цій обмеженій множині власних значень відповідають нейтральні власні елементи оператора A0. Зворотно, нейтральним власним елементам оператора A0 відповідають власні значення, розташовані в сегменті M, і для власних значень оператора A0 з цього сегмента маємо приєднані елементи.
2. Власні значення ?k+, що відповідають додатним власним елементам невід'ємного інваріантного підпростору L+ оператора A0, розташовані на інтервалі (a+2?-1¦gВ+E¦,+?). Власні значення ?k-, що відповідають від'ємним власним елементам недодатного інваріантного підпростору L–, розташовані на
3. Якщо виконана умова 4¦A-1¦•¦gВ+E¦<?2, то оператор A0 не має недійсних власних значень, нейтральних елементів, а також приєднаних елементів. У цьому випадку об'єднання нормованих власних елементів L+ і L– дає J-ортонормований базис у просторі H.
4. Для власних значень ?k+ і ?k- мають місце двосторонні оцінки
м лk(A) – 2 м-1¦gВ+E¦ ? ?k+ – a ? м лk(A), k N,
м-1 g лk(B) ? лk–– a ? [м – 2 м-1 g лk(B)¦A-1¦] –1 g лk(B),
при цьому (при k > ?)
лk+ = м лk(A) + O(1) = м ( )-2/3 k2/3[1+o(1)],
лk– = a + м-1 g лk(B)[1+o(1)] = a + м-1 g · ( )1/2 k-1/2[1+o(1)].
Підрозділ 2.3 присвячений вивченню задачі про малі рухи і нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює деяку посудину, яка рівномірно обертається навколо осі, яка співнаправлена з дією сили ваги.
У припущенні, що стан відносної рівноваги обертової рідини статично стійкий за лінійним наближенням, вихідна початково-крайова задача зводиться до диференціально-операторного рівняння в деякому гільбертовому просторі:
+Еy+2?0iSy=f(t), y(0)=y0, (11)
де оператор Е має такі ж властивості, що й оператор Г з (6), оператор S є самоспряжений, обмежений і зв'язаний з дією на гідродинамічну систему коріолісових сил.
Далі, повторюючи міркування підрозділу 2.1, вдається довести теорему про сильну розв’язність задачі Коші (11), а потім і вихідної початково-крайової задачі (теорема 2.12).
Досліджено спектральну задачу про нормальні коливання гідросистеми, що містить в'язку стратифіковану рідину, яка частково заповнює рівномірно обертову посудину. Доведено, що при "включенні" обертання спектр задачі "іде" з дійсної осі, причому усі власні значення, крім, можливо, скінченного числа, потрапляють до області
Властивість базисності Рісса заміняється на властивість повноти (при досить великій в'язкості), а властивість дефектної базисності Рісса (з довільною в'язкістю) – на властивість дефектної повноти.
У розділі 3 розглянуто частково-дисипативну гідросистему, яка містить дві важкі стратифіковані рідини, що не змішуються. Вивчено початково-крайову задачу про малі рухи такої системи. Розділ складається з трьох підрозділів.
Підрозділ 3.1 присвячений математичній постановці задачі про малі рухи системи з двох важких стратифікованих рідин, що не змішуються і які частково заповнюють нерухому посудину. При цьому область Щ1, нижня стосовно дії сили ваги, заповнена в'язкою стратифікованою нестисливою рідиною з динамічним коефіцієнтом в'язкості м>0. Верхня область Щ2 заповнена ідеальною стратифікованою нестисливою рідиною. Щільності с1 і с2 (с1>с2 ), відповідно, в'язкої і ідеальної рідини в стані спокою змінюються уздовж вертикальної осі.
Позначимо через (i=1,2) одиничний вектор, нормальний до ?Щi (i=1,2) і спрямований поза Щi (i=1,2). Через Si позначимо частину стінки посудини, що відповідає області Щi (i=1,2). Представимо Г=??2\ =Г1Г2, де Г1 і Г2 – нижня і верхня межі області Щ2 відповідно. Для Щ1 маємо Г1=?Щ1\. Система координат Ox1x2x3 введена таким чином, щоб вісь Ox3 була спрямована проти дії сили ваги, а початок координат знаходиться на поверхні Г1. Товщину шару ідеальної рідини позначимо через b.
Розглядається основний випадок стійкої стратифікації рідин по щільностям сi =сi(x3) (i=1,2):
с1(0)>0, с2(b)>0, (i=1,2).
Вивчаються малі рухи рідин, близькі до стану спокою. Нехай (i=1,2) – поля швидкостей у рідинах, а тi=тi(t,), Гi являють собою відхилення вільно рухомих поверхонь рідин Гi(t) від Гi (i=1,2) по нормалі ; pi =pi(t,x), xЩi, – відхилення полів тисків від рівноважних; – відхилення полів щільності від сi(x3) (i=1,2).
Лінійна постановка початково-крайової задачі про коливання розглянутої гідросистеми має вигляд:
(12)
(13)
(14)
(15)
Далі в цьому підрозділі проведено допоміжні побудови, що дозволяють у досліджуваній задачі одержати аналог відомого ортогонального розкладання Вейля гільбертового простору векторних полів швидкостей:
(Щ2,с2)=(Щ2,с2)(Щ2,с2) {б ц0}(Щ2,с2). (16)
У розкладанні (15) (Щ2,с2) – підпростір соленоїдних полів з нормальною складовою на межі ?Щ2, яка дорівнює нулю; (Щ2,с2) – підпростір квазіпотенціальних полів з потенціалами, які перетворюються в нуль на Г; підпростір (Щ2,с2) складається з квазіпотенціальних гармонічних полів з нульовою нормальною складовою на твердій стінці S2, для яких також виконано умову збереження обсягу на кожній із меж Г1 і Г2 окремо; функція ?0 є розв'язком крайової задачі:
? (с2-1 ц0)=0 (у ?2), с2-1 ц0· =0 (на S2),
ц0=mesГ1 (на Г2), ц0=–mesГ2 (на Г1).
У підрозділах 3.2, 3.3 шляхом проектування рівнянь руху на виділені ортогональні підпростори і введення допоміжних крайових задач і їхніх операторів вихідна початково-крайова задача (12) – (15) про малі рухи частково дисипативної гідросистеми приведена до диференціального рівняння першого порядку в гільбертовому просторі H:=(Щ1,с1) Z2(Щ1) H(1):
+ (17)
де H(1) – деякий гільбертовий простір, зв'язаний з ідеальною рідиною. Позначимо в (17) операторні матриці при першій і нульовій похідній через R і В відповідно, а вектор змінних через y. Перепишемо задачу Коші (17) у наступному вигляді
R +Вy=f, y(0)=y0. (18)
Показано що, квадратична форма оператора R дає подвоєну повну енергію гідросистеми. Оператор R самоспряжений, додатно визначений і обмежений у H. Оператор A з операторного блоку В самоспряжений, додатно визначений і зв'язаний з дисипацією енергії в гідросистемі. Оператор г1 є спряженим до оператора G1 і необмеженим. Оператори C1 і L1 є обмеженими. Оператор iМ2 є самоспряженим у H(1). Оператор В акретивний, однак не є максимальним акретивним оператором.
Далі шляхом введення ортопроектора P простору H на L2,Г1 Z2(Щ1) H(1) і заміни y(t) = ety1 здійснюється перехід від (18) до наступної задачі Коші
R +(В+eP)y1+(R–еP)y1=e-tf, y1(0)=y0. (19)
Тут число е>0 вибрано таким, щоб R – еP >> 0. Відзначимо, що при цьому оператор В+ eP не є замкнутим через те, що оператор г1 є необмеженим у просторі (Щ1,с1) і D(г1)D(A).
Позначимо gс1-1(0) с1 г1A-1/2=Q1, gс1-1(0) с1 A-1/2G1=Q1+.
Лема 3.13. Q1+ Q1*, Q1+=Q1*¦D(G1), =Q1.*
Лема 3.14. Замикання A0:= оператора A+ еP ? максимальним акретивним оператором. При цьому
D(В0) = {( ,т1, ,v)t : м +A-1/2Q1*т1 D(A), v D(M2)},
,
де Q2 = C1* A-1/2, Q3 = L1* A-1/2; IГ1, IZ, I – одиничні оператори в L2,Г1, Ж2(Щ1), H(1) відповідно.
У пункті 3.3.3 замість (19) розглядається задача з замкненим оператором В0:
R + В0y1 + (R - еP)y1 = e-tf, y1(0) = y0. (20)
На основі загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь у банахових просторах доведено твердження про існування сильного розв'язку задачі (20). Шляхом вибору початкових умов з області визначення незамкненого оператора В вдається довести, що цей розв'язок є також розв'язком задачі (19).
Підсумком третього розділу є наступна теорема.
Теорема 3.5. Початково-крайова задача (12) – (15) має єдиний сильний розв'язок на проміжку [0,T], якщо виконані умови:
1) D(A), (Щ2,с2)n( (Щ2,с2)(Щ2,с2) ),
причому ··= ·;
2) C1([0,T];(Щ,с)) (Щ=Щ1 Щ2).
Розділ 4 присвячений вивченню задачі про нормальні коливання гідросистеми, описаної у підрозділі 3.1.
У підрозділі 4.1 проведено зведення жмутка з необмеженими операторними коефіцієнтами до операторного жмутка з обмеженими коефіцієнтами. Встановлено теорему про перелічення кореневих елементів відповідних операторних пучків, що відповідають скінченнократним власним значенням (теорема 4.1).
У підрозділі 4.2 доведено, що спектр жмутка з обмеженими операторними коефіцієнтами, що не співпадає з відрізком [-iN0,2; iN0,2], є дискретним; точками скупчення спектра можуть бути тільки точки відрізка [-iN0,2; iN0,2] і ?. Вивчені властивості розв’язків основної спектральної задачі, що відповідає вихідній початково-крайовій задачі (12) – (15) про малі рухи частково дисипативної гідросистеми:
(21)
(Щ1,с1)(Щ2,с2)(Щ2,с2),
(Щ2,с2):={с2-1 p : ?(с2-1 p)=0 ( у ?2), с2-1 p· =0 ( на S2 ),
с2-1 p· =0 ( на Г1 ), }.
Тут BQ:=B1+Q*Q, Tij S8 (i,j=1,2), оператори T і A2,2 компактні і додатні, а оператор B1 – компактний і невід'ємний, dimKerВ1=8; I1, I2 і I0 – одиничні оператори в гільбертових просторах (Щ1,с1), (Щ2,с2) і (Щ2,с2) відповідно. Власні числа оператора A2,2 мають степеневу асимптотику. Оператор Cv зв'язаний зі стратифікацією в ідеальній рідині і є обмеженим самоспряженим оператором. Весь його спектр граничний і збігається з відрізком [-i N0,2; iN0,2].
Подальше дослідження задачі (21) проведено у припущенні, що власні числа оператора T мають степеневу асимптотику. Доведено, що дискретний спектр задачі (21) розташований у правій замкненій півплощині, а граничний спектр співпадає з відрізком [-iN0,2; iN0,2]. Звідси випливає, що весь спектр задачі (21) розташований у правій замкненій півплощині.
Далі встановлюється, що спектральна задача (21) має, принаймні, три гілки власних значень. Дві, які локалізовані біля уявної осі, з граничними точками в нескінченності, і одну, локалізовану біля дійсної додатної півосі, також із граничною точкою на нескінченності.
Теорема 4.2. Для кожного довільно малого ?>0 і досить великого R = R(е) > N0,2 спектральна задача (21) має дві комплексно-спряжені гілки власних значень, розташованих у секторах
= { л : ¦л¦>R, ¦argл р/2¦<е }, ( -р < argл ? р ),
з наступною асимптотикою: = ig1/2 лk1/2( ) [1+o(1)] (k?8).
Теорема 4.3. Для кожного довільно малого ?>0 і досить великого R=R(?) спектральна задача (21) має гілку власних значень , розташованих у секторі
ЛR,е= { л : ¦л¦>R, ¦argл¦<е }, ( -р < argл ? р )
з наступною асимптотикою =м лk() [1+o(1)] (k?8).
ВИСНОВКИ
1. Розроблено підхід, який оснований на використанні теорії операторних блок-матриць, що діють у гільбертових просторах, і який дозволяє перейти від вихідних початково-крайових задач для стратифікованих рідин до рівносильних задач Коші для диференціально-операторного рівняння в гільбертовому просторі.
2. Вивчена задача про малі рухи в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину, щільність якої в стані рівноваги має стійку стратифікацію, а також її узагальнення на випадок рівномірно обертової посудини. Отримано умови, при яких існують сильні за часом розв'язки відповідних початково-крайових задач.
3. Досліджена задача про нормальні коливання в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому посудину. Ця спектральна задача вивчена за допомогою двох підходів (самоспряжені оператори в просторі з індефінітною метрикою і спектральна теорія операторних жмутків), що взаємно доповнили один одного. Отримано твердження про структуру спектра, про властивості кореневих функцій і інші питання.
4. Вивчена задача про малі рухи частково дисипативної гідросистеми з двох важких рідин, що не змішуються, і які частково заповнюють довільну посудину. Передбачається, що нижньою, стосовно дії сили ваги, є в'язка стратифікована рідина, а верхня – стратифікована ідеальна рідина. Доведено теорему про сильну розв'язність відповідної початково-крайової задачі.
5. Досліджена задача про нормальні коливання частково дисипативної гідросистеми з 4. Для цієї спектральної задачі отримано твердження про наявність граничного спектра у вигляді відрізка уявної осі. Встановлено асимптотичні формули для трьох віток власних значень. Надано фізичне пояснення результатів, отриманих у спектральній задачі.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ РОБІТ ІЗ ТЕМИ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Tsvetkov D.O. On normal oscillations of a viscous stratified fluid // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), № 1. – С. 100 – 104.
2. Цветков Д.О. Малые движения стратифицированной жидкости // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2002. – Том 15 (54), № 2. – С. 99 – 104.
3. Цветков Д.О. Нормальные колебания частично диссипативной гидросистемы // Ученые записки Таврического национального университета. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика. – 2003. – Том 16 (55), № 2. – С. 99 – 108.
4. Цветков Д.О. О малых движениях частично диссипативной гидросистемы, состоящей из стратифицированных жидкостей // Межведомственный научный сборник "Динамические системы". – 2004. – Вып. 18. – C. 119 – 124.
5. Цветков Д.О. Малые движения идеальной стратифицированной жидкости в сосуде // Таврический вестник информатики и математики. – 2002. – Вып.1. – С. 98 – 103.
6. Цветков Д.О. Малые движения стратифицированной жидкости во вращающемся сосуде // Таврический вестник информатики и математики. – 2003. – Вып. 1 – С. 140 – 149.
7. Tsvetkov D.O. On small motions of a partially dissipative hydrosystems consisting of stratified fluids // International Conference on Functional Analysis and its Applications. Book of Abstracts. – Lvov (Ukraine). – 2002. – P. 200 – 201.
АНОТАЦІЯ
Цвєтков Д.О. Математичні проблеми теорії коливань стратифікованої рідини. — Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 – математична фізика. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.
Дисертація присвячена дослідженню задач про коливання гідродинамічних систем, що складаються як з однієї в'язкої стратифікованої рідини, що частково заповнює нерухому чи рівномірно обертову судину, так і з системи двох стратифікованих рідин, що не змішуються, при наявності вільної поверхні. Шляхом проектування рівнянь відповідних початково-крайових задач на спеціальні функціональні підпростори здійснюється перехід до диференціально-операторного рівняння першого порядку в деякому гільбертовому просторі. Застосування методу операторних блок матриць, а також загальної теорії абстрактних диференціально-операторних рівнянь дозволило довести теореми про сильну (за часом) розв'язність вихідних початково-крайових задач.
Досліджено спектральні задачі про нормальні коливання відповідних гідродинамічних систем. Вивчено структури спектрів частот нормальних коливань. Отримано асимптотичні формули для віток власних значень.
Ключові слова: початково-крайова задача, диференціально-операторне рівняння, задача Коші, гільбертовий простір, лінійний оператор, нормальні коливання, спектральна задача.
АННОТАЦИЯ
Цветков Д.О. Математические проблемы теории колебаний стратифицированной жидкости. — Рукопись.
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 – математическая физика. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2005.
Диссертация посвящена исследованию задач о колебаниях гидродинамических систем, состоящих как из одной вязкой стратифицированной жидкости, частично заполняющей неподвижный или равномерно вращающийся сосуд, так и из системы двух несмешивающихся стратифицированных жидкостей, при наличии свободной поверхности.
Изучены задачи о малых движениях исследуемых гидродинамических систем. Проведены построения, которые позволяют получить аналог известного разложения Вейля, приспособленный к исследованию указанных задач. Путем проектирования уравнений движения на соответствующие ортогональные подпространства и введения вспомогательных краевых задач и их операторов начально-краевые задачи, описывающие малые движения гидродинамических систем, приводятся к дифференциальным уравнениям первого порядка в некоторых гильбертовых пространствах. Главные операторы дифференциальных уравнений оказываются аккретивными и незамкнутыми, что затрудняет применение известных теорем о разрешимости из общей теории дифференциально-операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Для исследования полученных задач Коши осуществляется процедура замыкания главных операторов и рассмотрения задачи Коши с замкнутыми операторами, называемыми сопутствующими. Далее, на основе общих теорем, получены утверждения о сильной разрешимости сопутствующих задач Коши. Путем выбора начальных данных из областей определения незамкнутых операторов удается показать, что соответствующие решения задач лежат также в областях определения незамкнутых операторов. На этом пути доказаны теоремы о существовании и единственности сильных решений соответствующих начально-краевых задач (для вращающейся системы в случае статической устойчивости по линейному приближению).
Исследована спектральная задача о нормальных колебаниях гидросистемы, содержащей вязкую стратифицированную жидкость, частично заполняющую неподвижный сосуд. Доказано свойство дискретности спектра с двумя предельными точками: в нуле и на бесконечности. Получены асимптотические формулы для двух ветвей собственных значений с этими предельными точками, объяснен физический смысл этих ветвей. Доказано существования почти J-ортонормированного базиса Рисса составленного из корневых элементов соответствующего оператора спектральной задачи. Выяснены условия существования J-ортонормированного базиса из собственных элементов соответствующего оператора.
Исследована спектральная задача о нормальных колебаниях гидросистемы, содержащей вязкую стратифицированную жидкость, частично заполняющую равномерно вращающийся сосуд. Доказано, что при "включении" вращения спектр задачи "уходит" с вещественной оси, причем все собственные значения, кроме, быть может, конечного числа, попадают в область
Далее, свойство базисности Рисса заменяется на свойство полноты (при достаточно большой вязкости), а свойство дефектной базисности Рисса (при произвольной вязкости) – на свойство дефектной полноты.
Исследована спектральная задача о нормальных колебаниях частично диссипативной гидросистемы, содержащей две тяжелые несмешивающиеся стратифицированные жидкости. При этом нижняя по отношению к действию силы тяжести жидкость считается вязкой, верхняя – идеальной. Доказано, что весь спектр задачи лежит в правой замкнутой полуплоскости. Спектр, лежащий вне отрезка (N0,2 – максимальное значение частоты плавучести для идеальной жидкости), состоит из собственных значений конечной кратности. Непрерывный спектр соответствующего операторного пучка совпадает с отрезком мнимой оси . Установлено, что точками сгущения спектра могут быть только точки отрезка и бесконечность. Существует три ветви собственных значений с предельными точками на бесконечности. Одна ветвь локализована у действительной положительной полуоси и две у мнимой. Получены асимптотические формулы для этих ветвей собственных значений.
Ключевые слова: начально-краевая задача, дифференциально-операторное уравнение, задача Коши, гильбертово пространство, линейный оператор, нормальные колебания, спектральная задача.
ABSTRACT
D.O. Tsvetkov. Mathematical problems of theory of fluid stratified oscillations. – Manuscript.
The dissertation for candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.03 –physics.— Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2005.
The dissertation is devoted to research of hydrodynamic systems oscillations problems. Researching systems consist of sole viscous stratified fluid that partly filling by motionless or rotating with regular intervals vessel, as well as of two immiscible stratified fluids in presence of a free surface. By designing the corresponding initial-boundary value problems equations projected to special function spaces, a transition to a first order operator - differential equation in some Hilbert space is realized. Operator matrices with unbounded entries theory and general theory of the abstract operator-differential equations, allowed to prove the strong solvability of initial boundary value problems theorems.
Normal oscillations spectral problems of appropriate hydrodynamic systems are studied. Spectrums of normal oscillations frequencies are scrutinized. Asymptotic formulas of eigen values branches are obtained.
Keywords: initial-boundary value problems, operator-differential equations, Cauchy problem, Hilbert space, linear operator, normal oscillations, spectral problem.
