ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. В.Н. КАРАЗІНА

Чечкін Олексій Вікторович

УДК 533.93

“Аномальні процеси релаксації та переносу

при стохастичних впливах”

01.04.08 – фізика плазми

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут”

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

СТЕПАНОВ Костянтин Миколайович, Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”, начальник відділу

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України

ЗАГОРОДНІЙ Анатолій Глібович, Інститут теоретичної фізики НАН України, директор

доктор фізико-математичних наук, професор

КОНТОРОВИЧ Віктор Мойсеєвич, Радіоастрономічний інститут НАН України, старший науковий співробітник

Провідна установа:

Інститут ядерних досліджень НАН України, сектор фізики плазми, м. Київ.

Захист відбудеться “ 18 березня 2005 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.051.12 Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61108, м. Харків, пр. Курчатова, 31, аудиторія №301.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, площа Свободи, 4.

Автореферат розісланий “ 14 ” лютого 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Письменецький С.О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В дисертаційній роботі проводиться теоретичний аналіз аномальних явищ релаксації та переносу в сильнонерівноважних відкритих системах. Актуальність теми дисертації зумовлена тим, що спектр відкритих систем надзвичайно широкий – від турбулентної рідини, плазми та плазмоподібних середовищ, радіотехнічних пристроїв до біологічних систем. Визначальний вплив на характер релаксаційних процесів у таких системах чинять випадкові шуми та інтенсивні флуктуаційні поля, амплітуди яких істотно перевищують тепловий рівень і які мають своєрідні статистичні властивості, наприклад, довгі часові та просторові кореляції, негауссівські імовірнісні розподіли, спіральність. Для процесів дифузії в таких системах характерна нелінійна залежність середнього квадрату зсуву від часу (яка виявляється як супер– і субдифузія та ультраповільна дифузія), а також аномальні залежності кінетичних коефіцієнтів від параметрів системи, наприклад, для плазми – від магнітного поля і температури. Часова еволюція у відкритих системах не обов'язково веде до рівноважного, тобто, найбільш хаотичного стану. Навпаки, у таких системах можливі процеси самоорганізації, що супроводжуються негативними ефективними значеннями коефіцієнтів переносу (“негативна в'язкість” у турбулентній рідині). Унаслідок таких процесів виникають стаціонарні нерівноважні стани і структури. У цих випадках явища релаксації і переносу не можуть бути адекватно описані в рамках теорії броунівського руху і/чи молекулярно – кінетичної теорії, основу яких складають кінетичні рівняння Фоккера - Планка, Больцмана, Ландау, Балеску – Ленарда.

Лабораторна та космічна плазма є типовими прикладами відкритих систем, в яких нерівноважність, як правило, обумовлена самим способом створення плазми. Відомо, що турбулентність граничної плазми, яка характеризується аномально високим рівнем флуктуацій густини заряджених частинок і флуктуацій електричного поля, відіграє визначальну роль у формуванні аномальних потоків частинок і тепла з області магнітного утримання в замкнених магнітних пастках різного типу. Однак, незважаючи на інтенсивний розвиток методів флуктуаційної діагностики та успіхів теорії слабкої і сильної турбулентності, теорія плазмових флуктуацій і викликаних ними явищ переносу далека від завершення. Тому в теорії плазми актуальними є розробки нових теоретичних концепцій, пошук і узагальнення моделей, що використовують фізичні уявлення і математичний апарат, який застосовується при аналізі відкритих сильнонерівноважних систем у різних областях фізики.

Тепер стало ясно, що теорія стійких імовірнісних розподілів Леві може служити математичним фундаментом для опису широкого кола явищ, що виходять за рамки теорії броунівського руху і кінетичних рівнянь марківського типу. Це зумовлено визначними властивостями стійких розподілів та стійких випадкових процесів Леві, а саме, 1) стійкі розподіли і стійкі процеси задовольняють узагальненим центральним граничним теоремам теорії імовірностей і тому, як і розподіл Гаусса, природно виникають, коли еволюція фізичної (хімічної, біологічної і т.п.) системи та/чи результат випадкового експерименту визначаються сумою великого числа випадкових факторів; 2) ці розподіли мають довільно спадаючі степеневі асимптотики і тому служать природним інструментом для опису флуктуаційних процесів, які мають вибуховий характер та містять великі викиди, як флуктуації густини та потенціалу в граничній плазмі термоядерних установок, та 3) процеси Леві статистично самоафінні і тому можуть бути застосовані для опису випадкових процесів, які володіють фрактальними властивостями, як, наприклад, флуктуаційні процеси в турбулентній плазмі та плазмоподібних середовищах. Ці три причини обумовлюють доцільність виникнення нового напрямку в статистичній фізиці нерівноважних явищ – теорії руху Леві, що є природним узагальненням теорії броунівського руху і дозволяє з єдиної точки зору досліджувати аномальні процеси релаксації та переносу для широкого класу систем. Однак розвиток теорії руху Леві утруднено в силу ряду проблем, в основі яких лежать своєрідні математичні властивості процесів Леві – нескінченність дисперсії, розривність траєкторій, нетривіальність узагальнень на багатовимірні та анізотропні випадки. Тому актуальними є дослідження із створення моделей випадкових блукань, за допомогою яких можна моделювати природні явища, які описуються теорією руху Леві, а також використовувати такі моделі для розробки та удосконалення методів аналізу вимірів флуктуаційних процесів у турбулентній плазмі.

Аномальні явища релаксації і переносу, що спостерігаються в системах різної фізичної природи, зумовили появу нового розділу статистичної фізики – теорії кінетичних рівнянь із дробовими похідними. Такі рівняння узагальнюють відомі кінетичні рівняння теорії броунівського руху і служать фундаментом кінетичної теорії руху Леві. Дробові кінетичні рівняння були застосовані в теорії гамільтонового хаосу, переносу пасивної домішки у турбулентній рідині, фізиці неупорядкованих середовищ, хімічній і біологічній фізиці. В самі останні роки дробові кінетичні рівняння почали застосовуватись в фізиці плазми. Однак розв’язки дробових кінетичних рівнянь відомі лише для невеликого числа порівняно простих окремих випадків. Тому є актуальним розвиток методів розв’язання цих рівнянь та їх застосування для опису флуктуаційних процесів та руху частинок в турбулентній плазмі.

Звязок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалася як частина досліджень, проведених у відділі теорії конденсованих середовищ і ядерної матерії Інституту теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут” по темах Програми робіт з атомної науки і техніки ННЦ ХФТІ (№ держреєстрації 080901ИР009) “Кінетика і термодинаміка фазових перетворень у сильно нерівноважних системах, твердих тілах, що опромінюються, та у переохолоджених рідинах”, “Дослідження кінетичних явищ у конденсованих системах, далеких від рівноваги”; у відділі стелараторів Інституту фізики плазми Національного наукового центру “Харківський фізико-технічний інститут” за темою “Дослідження механізмів генерації радіального електричного поля, утворення внутрішнього теплового бар'єру і режимів переносу в плазмі ВЧ розряду в торсатроні з дивертором “Ураган-3М”. Робота також підтримувалася в рамках проектів Фонду фундаментальних досліджень № 2/278, 6.3/363 і проектів INTAS № 1193-94, 00-0847.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є

- з'ясування ролі амплітудних, кореляційних та імовірнісних властивостей флуктуаційних полів у процесах релаксації та переносу в плазмі та плазмоподібних середовищах,

- дослідження властивостей процесів Леві, розробка методів розв’язання дробових кінетичних рівнянь та їх застосування для дослідження руху частинок в турбулентних полях та флуктуаційних процесів в турбулентній плазмі.

Об'єктами дослідження є турбулентна плазма, плазмоподібні середовища та сильнонерівноважні лінійні і нелінійні стохастичні системи. Предмет дослідження - аномальні флуктуаційні процеси в таких системах. Методи дослідження – аналітичні методи теорії імовірностей, статистичної фізики і фізики плазми, а також числове моделювання. Мета дисертації досягається шляхом розв’язання наступних задач:

розробка теорії ефектів “негативної в'язкості” у плазмі і провідній рідині при впливі дрібномасштабних турбулентних полів;

побудова теорії ефектів релаксації турбулентних середовищ при впливі стохастичних полів, що мають спіральність;

одержання виразів для опису аномальних потоків частинок і тепла і турбулентних частот зіткнень, зумовлених інтенсивними флуктуаційними полями в неоднорідній магнітоактивній плазмі із зіткненнями;

одержання виразів для опису нелінійної флуктуаційної провідності у високотемпературних шаруватих надпровідниках у магнітному полі;

побудова моделей аномального броунівського руху і руху Леві та дослідження на їх основі ефектів скінченності обсягу експериментальних вибірок та імовірнісних розподілів флуктуацій у граничній плазмі торсатрона;

побудова кінетичної теорії для систем під впливом шумів Леві, дослідження розв’язків кінетичних рівнянь із дробовими похідними для лінійних і нелінійних стохастичних систем;

кінетична задача про релаксацію неоднорідної магнітоактивної плазми під впливом випадкових електричних полів, що мають статистику Леві;

формулювання та дослідження кінетичних рівнянь для не- монофрактальних та ультраповільних випадкових процесів, а також для “обрізаних” процесів Леві.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертації вперше в теорії плазми був розроблений та застосований формалізм теорії негауссівських шумів Леві та кінетичних рівнянь з дробовими похідними для дослідження руху частинок та турбулентних властивостей плазми в установках керованого термоядерного синтезу. Найбільш пріоритетні наукові результати, що виносяться на захист:

1. Уперше для магнітоактивної плазми побудовано лінійну теорію генерації дрейфовою турбулентністю великомасштабних електричних полів шляхом механізму негативної в'язкості. Знайдено критерії нестійкості при зміні знака ефективної в'язкості в рівняннях еволюції великомасштабного поля. Уперше розв’язані аналогічні задачі про виникнення ефекту негативної в'язкості для турбулентності хвиль Росбі в атмосфері.

2. Систематично досліджено ефекти негативної кінематичної і магнітної в'язкості в провідній турбулентній рідині. Уперше знайдено магнітогідродинамічні аналоги нестійкості колмогорівської течії і досліджено роль крос – кореляцій магнітного поля і поля швидкості в ефектах негативної турбулентної магнітної в'язкості.

3. Уперше виявлено нові ефекти конвективного переносу пасивної домішки в спіральній турбулентності. Знайдено вираз для швидкості аномального конвективного переносу, що визначається густиною спіральності турбулентності і наведено фізичні приклади, коли напрямок аномального конвективного потоку не збігається з напрямком осередненої течії.

4. Уперше отримано кінетичне рівняння для функції розподілу заряджених частинок у стохастичному електромагнітному полі зі спіральністю. За допомогою цього рівняння досліджено ефект генерації кутового моменту стохастичним спіральним електромагнітним полем і виявлено новий ефект генерації електронного потоку в напрямку, який перпендикулярний швидкості вихідного потоку частинок.

5. На основі моделей трьох типів випадкових блукань, що мають стаціонарні самоафінні збільшення - звичайного руху Леві, дробового броунівського руху і дробового руху Леві, - уперше аналітично виявлені і підтверджені в числовому моделюванні два ефекти, що виникають при обробці експериментальних даних і зобов'язані своїм походженням скінченності числа даних:

а) ефект “помилкової мультиафінності”, що полягає в нелінійній залежності показника структурної функції від порядку моменту,

б) “псевдогауссівські” співвідношення, що полягають у гауссівській часовій залежності структурної функції другого порядку і нормованого розмаху в звичайному методі Херста для всіх значень показника Леві .

6. При дослідженні функцій розподілу флуктуацій іонного струму насичення і потенціалу, що плаває, виміряних ленгмюрівськими зондами у граничній плазмі торсатрона УРАГАН-3М, уперше у фізиці плазми використано метод порівняння вибіркових процентилей часових вибірок із табличними процентилями симетричних стійких розподілів і показано, що ці функції розподілу відносяться до класу стійких розподілів Леві.

7. На основі узагальнень рівняння Ейнштейна - Смолуховського з дробовою просторовою похідною і рівняння Фоккера – Планка з дробовою похідною по швидкості побудовано послідовну теорію лінійних стохастичних систем під дією негауссівських шумів Леві, вперше систематично досліджено дві стадії релаксації (кінетична і дифузійна) у випадку відсутності зовнішнього поля, для лінійного поля, для обертального руху частинок, а також розглянуто варіант двовимірного узагальнення дробових кінетичних рівнянь. Уперше показано, що метод відображень, який широко використовується у теорії броунівського руху, не може бути застосований у теорії аномальної супердифузії в обмеженому просторі.

8. Уперше запропоновано дробове рівняння Фоккера - Планка для опису руху зарядженої частинки в постійному магнітному полі і стохастичному електричному полі, що підкоряється статистиці Леві. Вивчено релаксацію за швидкістю, отримано немаксвеллівські стаціонарні стани і закон аномальної дифузії спробної зарядженої частинки поперек магнітного поля.

9. Уперше запропоновано дробові кінетичні рівняння з розподіленими просторовими і часовими похідними для опису аномальних дифузійних і релаксаційних процесів, часовий показник яких сам залежить від часу (не - монофрактальні процеси). Доведено позитивність розв’язків запропонованих рівнянь і виявлено зв'язок з теорією випадкового блукання. Запропоноване кінетичне рівняння із розподіленою часовою дробовою похідною дозволяє описати процеси ультраповільної дифузії і релаксації. Рівняння із розподіленою просторовою похідною вперше застосовано для опису “обрізаних” процесів Леві та опису еволюції функції розподілу флуктуацій, виміряних в експерименті по вивченню турбулентності в граничній плазмі токамака ADITYA.

10. Уперше поставлено і досліджено задачі про релаксацію і стаціонарні стани систем частинок у зовнішних нелінійних полях під дією шумів Леві. Виявлено нові ефекти, зобов'язані своїм походженням статистиці Леві зовнішнього шуму і нелінійності зовнішнього поля, а саме,

а) бімодальні стаціонарні стани, що мають різкі степеневі асимптотики, показник зменшення яких на нескінченності збільшується зі збільшенням степеня нелінійності поля,

б) біфуркації функції розподілу зі стаціонарних унімодальних у стаціонарні бімодальні стани для системи з ангармонічним потенціалом при збільшенні ступеня ангармонічності і/чи збільшенні інтенсивності шуму,

в) біфуркації функції розподілу з унімодального в бімодальний стан у процесі релаксації,

г) подвійні часові біфуркації “унімодальний стан – проміжний стан із трьома максимумами – бімодальний стан” у процесі релаксації до стаціонарного стану в сильнонелінійних потенціалах.

Обгрунтування. Достовірність і обгрунтованість одержаних результатів підтверджується такими чинниками:

адекватністю використаних математичних моделей дослідженим у дисертації явищам,

відповідністю аналітичним результатам, що були отримані іншими авторами для окремих граничних випадків,

узгодженістю результатів аналітичних розрахунків і результатів, отриманих для вивчених у дисертації явищ при числовому моделюванні методами Монте Карло і числовому розв’язанні кінетичних рівнянь,

відповідністю результатів числовим та експериментальним дослідженням інших авторів,

позитивними результатами апробації на наукових конференціях і семінарах.

Наукове значення роботи. Результати, отримані в дисертації, є внеском в теорію турбулентності плазми та аномальних явищ переносу в плазмі та плазмоподібних середовищах. Результати мають наукове значення не тільки для фізики плазми, але й для статистичної фізики сильнонерівноважних систем і теорії аномальних флуктуаційних явищ. Вони узагальнюють і розвивають закони і методи теорії броунівського руху. Розроблені в дисертації методи дозволили проаналізувати стаціонарні стани та аномальну релаксацію нелінійних стохастичних систем під дією шумів Леві. Одержані наукові результати дозволили сформувати новий напрямок в нерівноважній статистичній фізиці – “Теорія явищ релаксації та переносу в стохастичних системах з негауссівськими шумами Леві”. Дослідження, проведені в дисертації, ініціювали нові експерименти по виміру флуктуацій густини і потенціалу в плазмі торсатрона “Ураган – 3М”.

Практичне значення здобутих результатів. Проведені дослідження показали, що одержані результати можуть бути застосовані для теоретичного аналізу турбулентних процесів та аномального переносу в плазмі, а саме

- при розв’язанні задач генерації великомасштабних електричних і магнітних полів і пучків заряджених частинок у лабораторних установках, а також, у космічній та іоносферній плазмі;

- у задачах про релаксацію турбулентної плазми та аномальний перенос заряджених частинок і домішок у турбулентній магнітоактивній плазмі в неоднорідних електричних полях;

Результати можуть бути використані для розробки нових методів обробки результатів вимірів флуктуаційних процесів в плазмі та їх інтерпретації. Результати також можуть знайти застосування

- при дослідженні аномальних дифузійних та релаксаційних процесів різної природи, які не описуються законами броунівського руху;

- при вивченні питань, пов'язаних із впливом інтенсивних негауссівських шумів на лінійні та нелінійні радіотехнічні пристрої і з обумовленими такими впливами статистичними проблемами передачі та прийому інформації.

Особистий внесок здобувача. Роботи [1, 2, 10, 11, 15] виконані дисертантом самостійно. У роботах [12-14, 17-19, 21, 27] дисертантові належить постановка задач, проведення аналітичних розрахунків і написання статей (комп’ютерні розрахунки виконані В.Ю. Гончаром). У роботах [3, 6, 8, 20, 22-24, 26, 29] – постановка задач, вибір методів дослідження, участь у проведенні аналітичних розрахунків, участь у розробці числових алгоритмів та написанні статей. У роботі [25] – постановка задачі, участь у розробці алгоритма обробки експериментальних даних, написання статті. У роботах [4, 7, 16, 28, 30-32] – участь у постановці задач, проведенні аналітичних розрахунків, розробці числових алгоритмів та написанні статей. У роботах [5], [9] – формулювання аналітичних методів, проведення розрахунків, участь у написанні статей. Усі аналітичні розрахунки, наведені в дисертації, були зроблені автором особисто.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідалися дисертантом на наступних наукових конференціях:

IV Int. Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics “Nonlinear World” (Kyiv, 1989);

Int. Workshop “Effects of Strong Disordering in HTSC” (Zarechny, 1990, USSR);

Конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 1992);

Int. Workshop on Turbulence and Nonlinear Processes in Plasmas (Kyiv, 1992);

Int. Conference “Physics in Ukraine” (Kyiv, 1993);

Int. Workshop “Coherence and Turbulence” (Kyiv, 1994);

23rd European Physical Society Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (Kyiv, 1996);

VI Ukrainian Conf. on Plasma Physics and Controlled Fusion (Alushta, 1998);

5th Int. Workhop on Complex Systems in Natural and Social Sciences (Zakopane, Poland, 2000);

VIII Ukrainian Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion (Alushta, 2000);

1st Int. Conference on Dielectric Spectroscopy in Physical, Chemical and Biological Applications (DS2001) (Jerusalem, 2001);

2nd European Interdisciplinary School in Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis “Euroattractor 2001” (Warsaw, 2001);

Int. Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (Kharkiv, 2001);

3rd European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis “Euroattractor 2002” (Warsaw, 2002);

Int. Conference and School on Plasma Physics and Controlled Fusion (Alushta, 2002);

Int. Conference “Modern Problems of Theoretical Physics” (Kyiv, 2002);

Mini-Symposium on Anomalous Dynamical Processes (Copenhagen, 2003);

Joint Meeting of US-Japan Workshop and Kyoto University 21st COE Symposium on "New Approach in Plasma Confinement Experiment in Helical Systems" (Kyoto, 2004);

Int. Conf. “Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications” (Kyiv, 2004);

Bogolyubov Kyiv Conf. “Modern Problems of Mathematics and Theoretical Physics” (Kyiv, 2004);

10th Int. Conf. Plasma Phys. Contr. Fusion (Alushta, 2004);

12th Int. Cong. Plasma Phys. (Nice, 2004).

Матеріали дисертації доповідалися дисертантом на наукових семінарах в Ін-ті теоретичної фізики та Ін-ті фізики плазми ННЦ ХФТІ, Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, Університетах Тель-Авіва, Болоньї, Вільному університеті Берліна, Університеті ім. Гумбольдта, Університеті Кіото, Технічному університеті Таллінна, Ін-ті теоретичної фізики NORDITA (Копенгаген), Ін-ті фізики атмосфери (Болонья), Інституті фізики складних систем ім. М. Планка (Дрезден).

Публікації. По темі дисертації автором опубліковано 60 робіт, включаючи матеріали конференцій. Основні матеріали дисертаційної роботи представлені в 32 статтях, опублікованих у міжнародних наукових журналах, у яких анонімне рецензування є обов'язковою процедурою і які задовольняють вимогам ВАК.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів основної частини з 58 малюнками, висновків, списку використаної літератури з 381 найменування. Кожний розділ основної частини закінчується висновками, в яких сформульовано головні результати, отримані в цьому розділі. Повний обсяг дисертації складає 380 сторінок, малюнки, розташовані на всій площі сторінки, займають 38 сторінок, список використаної літератури розміщається на 35 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації дана коротка характеристика роботи. Обгрунтовано актуальність наукової проблеми, сформульовано мету і задачі досліджень, перелічено найбільш пріоритетні наукові результати, які було здобуто, вказано апробацію роботи. Коротко за розділами викладено зміст дисертації.

У першому розділі розглядаються процеси аномального переносу в плазмі та плазмоподібних середовищах, в яких збуджені інтенсивні флуктуаційні поля, кореляційні та амплітудні властивості яких визначають характер процесів переносу. Незважаючи на різну фізичну природу систем та/чи середовищ, досліджуваних у цьому розділі (плазма, газ чи рідина, рідина, що проводить, високотемпературні надпровідники), виявляються аналогії як у характері аномального переносу в таких середовищах, так і в математичних методах, які застосовуються для опису явищ переносу. Це дозволяє розглядати різні фізичні процеси з єдиних позицій, використовуючи апарат статистичної фізики відкритих систем.

У перших двох підрозділах розглядаються ефекти, що одержали в науковій літературі назву “ефектів негативної в'язкості”. Розглянуті явища пов'язані з проблемами самоорганізації і формування турбулентних структур у середовищах, де збуджені дрібномасштабні турбулентні поля. З математичної точки зору ефект негативної в'язкості означає появу негативного дисипативного фактора в рівняннях для середніх (осереднених) величин (швидкості, потенціалу електричного поля, магнітного поля). При цьому підсилення великомасштабних середніх полів і генерація великомасштабних структур є проявом великомасштабної (довгохвильової) нестійкості в системі дрібномасштабних вихорів чи хвиль.

У підрозділі 1.1 розглядається нестійкість “негативної в'язкості”, що виникає при наявності турбулентності градієнтно-дрейфових хвиль у магнітоактивній плазмі та турбулентності хвиль Росбі в атмосфері й океані. Вихідним є рівняння Хасегави – Міми з урахуванням дисипації. Отримано загальні вирази для в’язких та дисперсійних доданків у рівнянні для середньої компоненти поля, що визначаються кореляційними властивостями дрібномасштабного турбулентного поля. Ці вирази дозволяють досліджувати еволюцію великомасштабного поля при заданому спектрі стаціонарного дрібномасштабного поля. Турбулентна в'язкість turb у рівнянні для середнього поля розрахована для типових спектрів дрібномасштабної турбулентності:

1. Когерентний просторово – часовий спектр. Ефективна в'язкість негативна, і в середовищі виникає великомасштабна нестійкість, якщо (в безрозмірних змінних) , де - дисперсія дрібномасштабного турбулентного поля ( - потенціал плазми чи функція струму в рідині), - іонна чи молекулярна (кінематична) в'язкість.

2. Вузький ізотропний спектр, що виникає при слабкій інтенсивності дрібномасштабного поля. При цьому ефективна в'язкість позитивна.

3. Широкий ізотропний спектр, що виникає при досить високій інтенсивності дрібномасштабного поля. При цьому ефективна в'язкість негативна, якщо , - ефективна ширина спектральної лінії.

Підрозділ 1.2 присвячений ефектам негативної в'язкості у провідній рідині. Вихідними є рівняння двовимірної магнітної гідродинаміки для функції струму і магнітного потенціалу a, що зв'язані з полем швидкості і магнітним полем співвідношеннями , , . Спочатку за допомогою асимптотичного методу багатомасштабних розкладань розглянуто магнітогідродинамічний аналог течії Колмогорова. Довгохвильова нестійкість і генерація магнітних полів у в’язкій рідині, що проводить, виникають при наявності дрібномасштабних просторово-періодичних збурень магнітного поля, . Нестійкість виявляється в зміні знака ефективної магнітної в'язкості в рівнянні для осередненого магнітного поля (магнітного потенціалу). Критерій нестійкості , де , - відповідно, кінематична і магнітна в'язкості. Далі розглядаються нестійкості “негативної магнітної в'язкості”, що виникають при наявності магнітогідродинамічної турбулентності. Отримано рівняння, що описують еволюцію середньої функції струму і середнього магнітного потенціалу в присутності дрібномасштабних МГД флуктуацій. Ці рівняння дозволяють вивчити еволюцію великомасштабних МГД збурень у припущенні, що статистичні властивості дрібномасштабних полів відомі. Використаний підхід дозволяє наочно простежити появу доданка з негативною магнітною в'язкістю в рівнянні для осередненого магнітного потенціалу. Отримані загальні вирази дозволяють також відтворити результати, які були одержані раніше іншими авторами для турбулентної в'язкості в звичайній рідині і в рідині, що проводить.

Для ізотропних дрібномасштабних флуктуацій обчислені турбулентні в'язкості і знайдені критерії виникнення негативної магнітної в'язкості і зростання великомасштабних МГД полів для трьох найбільш загальних випадків при відсутності крос – кореляцій між полем швидкості і магнітним полем:

1. Флуктуації генеруються джерелом білого шуму. При цьому турбулентна кінематична в'язкість завжди позитивна, а турбулентна магнітна в'язкість негативна, якщо , де - відповідно, дисперсії функції струму і магнітного потенціалу дрібномасштабних полів.

2. Флуктуації мають великі часи кореляції в порівнянні з характерними часами дисипації , k – хвильові числа турбулентних полів. При цьому позитивна, а < 0, якщо .

3. Флуктуації мають малі часи кореляції. При цьому позитивна, а < 0, якщо , де , - відповідно, дисперсії турбулентних флуктуацій швидкості і магнітного поля.

Була з'ясована роль крос – кореляцій у виникненні великомасштабної нестійкості. Виявилося, що наявність крос – кореляцій приводить до посилення обох великомасштабних полів. При цьому приведені вище критерії зберігаються, і цей висновок не залежить від знака крос – кореляцій.

У цьому підрозділі розглянута також задача про збудження великомасштабних полів при наявності просторово - періодичних квазістаціонарних анізотропних дрібномасштабних магнітних полів, що можуть розглядатися як стохастичні магнітогідродинамічні аналоги колмогорівської течії. Виявлено, що

а) якщо в рідині створено дрібномасштабне поле швидкості, інкремент зростання великомасштабного поля швидкості збігається з інкрементом для колмогорівської течії;

б) дрібномасштабне магнітне поле приводить до зростання великомасштабного магнітного поля, причому інкремент великомасштабної нестійкості максимальний для збурень із хвильовим вектором, перпендикулярним хвильовому вектору дрібномасштабних анізотропних флуктуацій;

в) якщо в провідній рідині створені обидва випадкових поля (поле швидкості і магнітне поле), зростають обидва великомасштабних поля; при цьому інкремент нестійкості також максимальний для великомасштабних збуджень, хвильовий вектор яких перпендикулярний хвильовому вектору дрібномасштабних полів.

У підрозділі 1.3 розглядаються ефекти переносу пасивної домішки в однорідному ізотропному турбулентному полі швидкості , , що має спіральність: . За допомогою методу багатомасштабних розкладань отримано рівняння еволюції середньої концентрації пасивної домішки в турбулентному середовищі. Це рівняння містить два аномальних доданка, що описують, відповідно, турбулентну дифузію і турбулентний конвективний перенос. Виявляється, що, якщо однорідна ізотропна турбулентність не має спіральності, то в такій турбулентності відбувається лише посилення дифузійного потоку. Аномальні конвективні потоки зобов'язані своїм походженням двом факторам: наявності спіральності та існуванню осередненої течії з неоднорідним профілем швидкості. Швидкість конвективного переносу визначається величиною густини спіральності. Слід зазначити, що напрямок нових конвективних потоків не збігається з напрямком осередненої течії. У підрозділі приведені природні фізичні приклади, коли напрямок аномального потоку перпендикулярний напрямку середньої течії:

1. Градієнт швидкості перпендикулярний її напрямку. Такий випадок реалізується, наприклад, у граничному шарі атмосфери, у якому швидкість вітру паралельна поверхні, а градієнт швидкості перпендикулярний поверхні. У цих умовах, поряд з дифузійним розширенням хмари домішки виникає дрейф домішки в напрямку, перпендикулярному напрямку вітру.

2. Осереднена течія являє собою великомасштабний плоский вихор. Такі вихори виникають, наприклад, при обтіканні вітром перешкод. У цьому випадку аномальний конвективний потік спрямований до поверхні чи від неї, в залежності від знака густини спіральності. Таким чином, у плоскій вихровій течії виникає механізм опускання чи підняття домішки завдяки спіральності однорідної ізотропної турбулентності.

У підрозділі 1.4 досліджуються плазмові кінетичні ефекти у стохастичному поперечному електромагнітному полі , що має властивості однорідності, ізотропності та спіральності: . З використанням формалізму мікроскопічної фазової густини отримано кінетичне рівняння для функції розподілу :

(1)

де величина H визначається густиною спіральності поля. З цього рівняння випливає, що для прояву ефекту спіральності необхідні два фактори: просторова неоднорідність функції розподілу та анізотропія по швидкості.

Розв’язок кінетичного рівняння з початковою умовою та аналіз рівнянь еволюції для перших моментів функції розподілу (імпульс, енергія, момент імпульсу) дозволяє зробити висновок, що стохастичне електромагнітне поле, що має спіральність, генерує кутовий момент у просторово - неоднорідній плазмі, що має середній імпульс. Далі за допомогою кінетичного рівняння (1) у цьому підрозділі розглядається еволюція холодної плазми з неоднорідним профілем швидкості електронної компоненти в спіральному електромагнітному полі. При цьому виявлено ефект спірального прискорення, що полягає в тім, що виникає потік плазми в напрямку, перпендикулярному напрямку первісного руху, і цей потік здобуває спіральність, густина якої лінійно зростає з часом: . Таким чином, можна стверджувати, що наслідки накачування спіральності в плазму більш нетривіальні, ніж накачування енергії, а саме: у другому випадку енергія стохастичного поля трансформується в енергію хаотичного руху частинок, тоді як накачування спіральності стохастичним полем приводить до виникнення нового регулярного руху частинок, що також має спіральність.

Підрозділ 1.5 присвячений розгляду аномального переносу частинок і тепла, викликаного низькочастотною довгохвильовою електростатичною турбулентністю в зовнішньому магнітному полі. Вихідним є кінетичне рівняння, у праву частину якого поряд з інтегралом парних зіткнень I входить інтеграл , що враховує внесок інтенсивних великомасштабних флуктуацій, спектри яких формуються з урахуванням парних зіткнень. Унаслідок наявності в інтегралі просторових похідних такий інтеграл дає не тільки дисипативний, але й недисипативний внесок у рівняння переносу. Для побудови рівнянь гідродинаміки і розрахунку внесків інтеграла використовується функція розподілу в наближенні 8-ми моментів: густини, гідродинамічної швидкості, температури і теплового потоку, що задовольняють рівнянням гідродинаміки, які містять моменти (передбачається, що значно менше теплової швидкості . Розглядається плазма, вміщена в зовнішні магнітне та електричне поля, , . У підрозділі розраховані аномальні потоки частинок і тепла, а також, турбулентні частоти зіткнень уздовж і впоперек зовнішнього магнітного поля, викликані низькочастотною довгохвильовою турбулентністю при малих і великих частотах зіткнень. Показано, що розглянуті флуктуації не приводять до аномально великих турбулентних частот зіткнень як уздовж, так і впоперек магнітного поля. На основі отриманих виразів проаналізовано приклади аномальної дифузії для різних експериментальних умов:

а) дифузія електронів у слабкоіонізованій слабкозіткненній плазмі в умовах електронно-циклотронного нагрівання; показано, що аномальний коефіцієнт дифузії на три порядки перевищує класичне значення для розглянутого експерименту і більш, ніж на порядок перевищує неокласичне значення;

б) дифузія електронів у слабкоіонізованій сильнозіткненній плазмі в умовах експерименту в іоносфері, коли обернений час кореляції флуктуацій менший за подовжню дифузійну частоту; аномальний коефіцієнт дифузії на два порядки перевищує класичний.

Навіть у станах, близьких до рівноважного, флуктуації можуть приводити до істотного внеску в процеси переносу. Роль рівноважних флуктуацій особливо велика поблизу точок фазового переходу. У підрозділі 1.6 розглядається нелінійний ефект пригнічення флуктуаційної провідності у високотемпературних надпровідниках (ВТНП) у магнітному полі, що виникає вище критичної температури надпровідного переходу Tc завдяки термодинамічним флуктуаціям. Вихідним є часове рівняння Гінзбурга – Ландау для параметра порядку шаруватих надпровідників у магнітному полі, спрямованому перпендикулярно шарам. Флуктуаційна провідність розрахована методом наближення прямої взаємодії, який широко використовується у теорії плазмової турбулентності. Виявлено ефект пригнічення флуктуаційної провідності. Облік нелінійної взаємодії флуктуацій дозволяє задовільно, без підгінного параметра, описати залежність опору, що спостерігається, від температури в магнітному полі і пояснити особливості резистивного переходу, що експериментально спостерігаються у високотемпературних надпровідниках.

Другий розділ присвячений побудові та вивченню властивостей моделей самоафінних випадкових блукань для опису аномальних флуктуаційних та дифузійних явищ в плазмі.

Підрозділ 2.1 присвячений стислому огляду теорії руху Леві. Цей тип випадкового руху варто розглядати як природне узагальнення броунівського руху. У свою чергу, у кожного з цих двох типів рухів – броунівського і Леві, - становлять інтерес два важливих підкласи: підклас звичайних рухів (броунівського і Леві), тобто, процеси з незалежними збільшеннями, і дробові рухи (теж, відповідно, броунівський і Леві), тобто, процеси із сильнокорельованими збільшеннями. Створення моделей броунівських процесів і процесів Леві важливо для моделювання природних явищ, а також для тестування й удосконалення методів аналізу та інтерпретації експериментальних даних.

У підрозділі 2.2 запропонована модель звичайного руху Леві L(t), - показник Леві, 0 < < 2 (для броунівського руху = 2), що заснована на узагальненій центральній граничній теоремі Гнеденко. На основі запропонованої моделі в цьому підрозділі генеруються збільшення і траєкторії випадкового руху Леві.

У цьому підрозділі аналітично виявлені і підтверджені в числовому моделюванні ефекти, що виявляються в русі Леві і зобов'язані своїм походженням скінченності числа даних:

1. Ефект “помилкової мультиафінності”, що полягає в нелінійній залежності показника структурної функції q – го порядку від порядку моменту,

де T – загальна довжина вибірки, звідки випливає перше “псевдогауссівське співвідношення”, що полягає в гауссовій часовій залежності структурної функції другого порядку для всіх значень показника Леві : .

2. Друге “псевдогауссівське співвідношення”, що полягає у гауссовій часовій залежності нормованого розмаху в звичайному методі Херста для всіх значень

показника Леві : , де - розмах руху Леві, і 2 – стандартне відхилення.

Ці ефекти дозволяють припустити, що при оцінці структурної функції другого порядку і нормованого розмаху з експериментальних даних “Леві походження” останніх може бути легко замасковано. Тому пропонується використовувати, по-перше, структурні функції дробових моментів порядку q < , що демонструють лінійну (афінну) залежність від порядку моменту і, по – друге, модифікований метод Херста, що використовує нормування розмаху не на стандартне відхилення для послідовності збільшень, а на - ий корінь з моменту порядку . Модифікований метод Херста приводить до часової залежності нормованого розмаху, що набагато краще відповідає теорії, чим часова залежність нормованого розмаху в звичайному методі Херста.

У підрозділі 2.3 запропоновано модель дробового броунівського руху BH(t), де H – показник Херста, 0 < H < 1; H=1/2 для звичайного броунівського руху, H>1/2 і H<1/2, відповідно, для персистентного й антиперсистентного броунівського руху. Модель заснована на процедурі одержання дробового гауссівського шуму шляхом дробового інтегрування/диференціювання білого гауссівського шуму.

Така модель дозволила генерувати збільшення, що мають сильні кореляції, тобто, автокореляційні функції зменшуються за степеневими законами, побудувати реалізації дробового гауссівського шуму і траєкторії дробового броунівського руху, і з доброю точністю одержати кореляційні характеристики. Перевагою такої моделі є те, що вона допускає безпосереднє узагальнення на випадок дробового руху Леві.

У підрозділі 2.4 запропоновано модель дробового руху Леві , що є узагальненням моделей, розглянутих у двох попередніх підрозділах і заснована на застосуванні узагальненої центральної граничної теореми Гнеденко та на процедурі дробового інтегрування/диференціювання білого шуму Леві. Був аналітично розрахований діапазон порядку дробового інтегрування/диференціювання , у якому виконується властивість само-афінності дробового руху Леві. На рис.1 цей діапазон зображений на площині (,) для 1 < 2. Припустима область обмежена кривою H = + 1/ = 1

Рис.1. Заштрихована область: припустимий діапазон значень - порядку дробового інтегрування/ диференціювання білого шуму Леві з показником , 1 < 2.

зверху і кривою H = 0 знизу. Права вертикальна границя, яка зображена товстою лінією, відповідає дробовому броунівському руху, = 2, -1/2 < < 1/2. Горизонтальна товста лінія = 0 відповідає звичайному руху Леві. Ця лінія розділяє всю область на дві підобласті: верхню, > 0, у якій рух Леві персистентний, і нижню, < 0, у якій рух антиперсистентний.

Числове моделювання, проведене для процесів з параметрами, які змінюються уздовж штрихових ліній на рис.1, продемонструвало ефекти скінченності бази даних і перевагу модифікованого методу Херста для оцінки розмаху.

У підрозділі 2.5 досліджуються властивості функцій розподілу флуктуацій іонного струму насичення і потенціалу, що плаває, виміряних ленгмюрівськими зондами в граничній плазмі торсатрона У-3М. Було виявлено, що експериментальні реалізації мають різкі викиди (піки), що не узгоджуються з припущенням про гауссівську статистику флуктуацій. Поведінка реалізацій виявляє подібність з реалізаціями, отриманими при числовому моделюванні шумів Леві. Застосування методів оцінки відхилення функції розподілу від гауссівської функції (обчислення ексцесу та застосування 2 – критерія нормальності) свідчить на користь того, що вимірювані флуктуації не підкоряються гауссівській статистиці майже у всій області вимірів при різних положеннях зондів. Далі був використаний модифікований метод порівняння процентилей часових вибірок з табличними процентилями симетричних стійких розподілів. Цей метод пройшов апробацію на числових даних. Був зроблений висновок про належність розподілів до класу розподілів Леві і представлена оцінка двох параметрів стійких розподілів - показника Леві і масштабного параметра для різних положень зондів. Остаточні результати представлені на рис.2, де зображені залежності показників Леві (а,б) і масштабних параметрів (в,г) як функції радіуса плазми для іонного струму

Рис.2. Угорі – залежності показника Леві від відстані для а) іонного струму насичення і б) потенціалу, що плаває. Унизу – залежності масштабного параметра від відстані для в) іонного струму насичення і г) потенціалу, що плаває.

насичення (ліворуч) і потенціалу, що плаває (праворуч).

На рис.2а видно, що показник Леві для іонного струму насичення зменшується в міру віддалення від границі плазми. При цьому асимптотики розподілів стають більш положистими, а викиди (піки) в експериментальних вибірках – більш виразними. Була виявлена якісна відпо-відність у поведінці ексцесу і показника Леві зі зміною відстані R: більш положистим степеневим асимптотикам стійких розподілів відповідають великі позитивні значення ексцесу. З нижніх малюнків видно, що масштабний параметр зменшується до периферії плазми. Це означає зменшення інтенсивності флуктуацій. Оскільки при цьому показник Леві або майже не змінюється (для потенціалу), або зменшується (для струму), це означає відносне зростання впливу флуктуаційних викидів. Цей висновок знаходиться в повній відповідності з поведінкою типових сигналів, що спостерігаються на У-3М: ступінь переміжності турбулентності зростає до периферії плазми. Таким чином, для опису цього явища запропоновані кількісні характеристики - масштабний множник і показник Леві , а також метод оцінки їхніх величин.

У підсумку, “турбулентність Леві”, що спостерігається в торсатроні