НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНЕ КОСМІЧНЕ АГЕНТСТВО УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ КОСМІЧНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ

Дмитришин Дмитро Володимирович

УДК 681.3.06

МЕТОДИ РОБАСТНОГО АНАЛІЗУ

ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ З ПІСЛЯДІЄЮ

05.13.03 - системи і процеси керування

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Одеському національному політехнічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант - лауреат Державної премії України,

доктор технічних наук,

професор Усов Анатолій Васильович,

Одеський національний політехнічний університет

Міністерства освіти і науки України, завідувач

кафедри вищої математики №2

Офіційні опоненти:

- доктор технічних наук, провідний науковий

співробітник Зєлик Ярема Ігорович, Інститут

космічних досліджень Національної академії наук України і Національного космічного агентства України;

- лауреат Державної премії України,

доктор технічних наук, професор

Любчик Леонід Михайлович, Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”, Міністерства освіти і науки України,

завідувач кафедри комп'ютерної математики і математичного моделювання;

·

Стенін Олександр Африканович,

Київський Національний технічний університет України “КПІ”, Міністерства освіти і науки України, професор кафедри технічної кібернетики

Провідна організація - Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, кафедра систем управління літальними апаратами, м. Харків.

Захист відбудеться 09 червня 2005 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.205.01 в Інституті космічних досліджень Національної академії наук України і Національного космічного агентства України за адресою: 03187, м. Київ, Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту космічних досліджень Національної академії наук України і Національного космічного агентства України за адресою: 03187, м. Київ, Академіка Глушкова, 40.

Автореферат розісланий 07 травня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук Н.М. Куссуль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми обґрунтована потребою в ефективних методах і алгоритмах, що дозволяють вирішувати проблему стійкості систем керування різного призначення з урахуванням післядії.

У реальних задачах структура моделі системи та її параметрів завжди відомі з деякою похибкою. У цих випадках як операторів, що описують моделі, вибираються або стохастичні, або не цілком визначені оператори. В дисертації розглядаються моделі другого типу, що приводять до необхідності дослідження стійкості не однієї фіксованої системи, а цілого сімейства, тобто до задачі робастної стійкості.

Якщо передатні функції всіх ланок системи є дробово-раціональними, то в просторі станів таким системам (і тільки таким) відповідають звичайні диференціальні рівняння. Вивчення проблеми робастної стійкості цих систем походить від класичних робіт А.А. Маркова і П.Л. Чебишова і продовжено в роботах В.Л. Харитонова. Подальший розвиток і узагальнення цих результатів зв'язано з фундаментальними роботами Я.З. Ципкіна, Ю.І. Неймарка,
В.М. Кунцевича, Л.М. Любчика, В.М. Вартаняна, B.R. Barmish, D. Henrichsen, O.B. Soh та інших.

Значно складніше стає проблема, коли система містить одне чи, тим більш, кілька невизначених ланок з кінцевою пам'яттю. У просторі станів такі системи моделюються функціонально-диференціальними рівняннями, теорія стійкості яких у лінійному випадку розвинена в класичних роботах
М.Г. Чоботарьова, Л.С. Понтрягіна, Н.Н. Меймана, Б.Я. Левіна, В.І. Зубова,
R. Bellman.

За наявності невизначеності досить вивчені системи, коли ця невизначеність має параметричний тип (В.Л. Харитонов, О.П. Жабко, M. Fu,
A.W. Olbrot, M.P. Polis, B.R. Barmish, Z. Shi, A. Rantzer). У дисертації одержали подальший розвиток методи дослідження стійкості сімейств квазіполіномів з параметрично невизначеними запізненнями.

У випадку, коли структура деяких лінійних ланок з кінцевою пам'яттю досліджуваної системи відома не цілком, сімейство характеристичних квазіполиномов буде залежати від невизначених перехідних функцій цих ланок, тобто буде мати непараметричний чи комбінований тип невизначеності. В дисертації розроблені методи дослідження стійкості таких систем. Це стає ще більш затребуваним, коли при дослідженні систем з непараметричним чи комбінованим типом невизначеності не вдається застосувати методи H - теорії.

Таким чином, у дисертації розробляється новий ефективний теоретичний апарат, що дозволяє вирішувати широке коло актуальних задач робастного аналізу, а також моделювання і синтезу реальних систем з урахуванням неповноти інформації і за наявності післядії.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконувалася на базі тематичних планів науково-дослідницьких робіт
№ 248-31, реєстраційний № 0196U023205 “Моделювання і забезпечення надійності і довговічності технологічних систем”, (1997 - 1999 р.р.), № 363-31, реєстраційний № 0199U001547 “Фізико-механічні основи технології прецизійного машинобудування”, № 420-31; реєстраційний № 0237U002558 “Технологічні проблеми механіки неоднорідних структур” Одеського національного політехнічного університету, а також тематичних планів підприємств м. Одеси НВВ “Мікрон” і ВАТ “Одескабель”.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка методів аналізу систем керування з запізнювальними ланками з урахуванням неповноти інформації щодо структури системи та її параметрів.

Для досягнення цієї мети в роботі поставлені і вирішені наступні задачі:

·

·

·

·

Об'єкт дослідження - система керування з не повністю визначеними структурою і параметрами, що включає ланки запізнювального типу.

Предмет дослідження - ефективні методи й алгоритми розв’язання задач робастного аналізу систем керування з післядією.

Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач використані методи теорії керування, теорії функції комплексної змінної, лінійної алгебри, функціонального аналізу, теорії моментів, а також методи комп'ютерного моделювання.

Наукова новизна

Одержали подальший розвиток методи дослідження стійкості систем автоматичного керування з параметричною невизначеністю, у тому числі в запізненнях. Розроблено алгоритм побудови множин, цілком розміщених в області стійкості простору запізнень характеристичного квазіполінома, на основі якого одержане достатні умови стійкості деяких класів систем керування з параметричною невизначеністю в запізнювальних ланках.

Уперше уведено в розгляд новий клас сімейств квазіполіномів з непараметричною невизначеністю, що моделюють не повністю ідентифіковані системи.

Уперше розроблена методика одержання достатніх умов стійкості систем керування з декількома запізнювальними непараметрично невизначеними ланками ланцюга зворотного зв'язку. Досліджено випадки, коли ці умови стають також і необхідними.

Уперше розроблено алгоритми дослідження стійкості систем з однією не повністю ідентифікованою запізнювальною ланкою зворотного зв'язку з відомими степеневими моментами перехідної функції.

Уперше уведено поняття міри робастної стійкості сімейства систем керування. Запропоновано алгоритми обчислення цієї величини.

Розроблено нові методи одержання достатніх умов робастної стійкості деяких класів систем, заданих у просторі станів диференціально-різницевими рівняннями, у термінах коефіцієнтів і запізнень.

Одержала подальший розвиток методика визначення точних оцінок показників якості сімейств систем керування з післядією: критичного запізнення, часу перехідного процесу, коефіцієнта підсилення.

У сукупності отримані результати утворять методологічну основу розв’язання задач робастного аналізу, а також задач синтезу і моделювання деяких класів систем різної природи в умовах неповноти інформації.

Обґрунтованість наукових положень, висновків і рекомендацій. Обґрунтованість наукових положень підтверджується строгим математичним доведенням тверджень, комп'ютерним моделюванням на типових прикладах, впровадженням у практику алгоритмів для створення систем керування об'єктами різного призначення.

Практичне значення отриманих результатів. Запропоновані методи, алгоритми і процедури дослідження систем керування з невизначеністю і післядією дозволяють: на початковій стадії проектування системи обґрунтувати її структуру і параметри, врахувати розкид невизначених параметрів, провести оцінку точності розрахунку цих параметрів при розв’язанні задач стійкості і стабілізації, оцінювати величини післядій у ланках ланцюга зворотного зв'язку, у тому числі невизначених. Це скорочує час розробки системи і підвищує її надійність. Результати дисертації впроваджені у виді методик і алгоритмів коректування ланок блоків керування технологічними процесами на таких підприємствах, як НВВ “Мікрон” при виготовленні вузлів шліфувальних і довідних верстатів, ВАТ “Одескабель” при нанесенні захисних покриттів на оптичні волокна.

Особистий внесок здобувача. У монографії [1] автором написано розділ 2: “Застосування звичайних диференціальних рівнянь до моделювання технічних систем”; у монографії [2] - розділ 4: “Стійкість керованих процесів із запізнюванням”; у монографії [3] - Частина ІІ (розділи 1 - 9): “Моделювання робастних систем”. У статтях [4, 6] автором сформульовані і доведені теореми про деякі властивості інтеграла Стілтьєса, що застосовані до дослідження САК з запізнювальним зворотним зв'язком; у [5, 11, 12] - уведено новий клас рівнянь для опису динаміки механічних систем і сформульований результат про стійкість цих систем у вигляді реберних теорем; у [10, 13, 20] - сформульовано достатні умови стійкості систем малих порядків із запізненнями. У [9] автору належить алгоритм визначення умов абсолютної робастної стійкості; у [18] - математична модель і умови стійкості в аналітичному виді; у статтях [21, 23, 26, 27] - постановка задачі, формулювання і доведення теорем про стійкість.

Апробація результатів дисертації. Основні результати і дисертаційна робота в цілому апробовані на 7 Міжнародних або Всеукраїнських конференціях, симпозіумах, конгресах: 1-ша Міжнародна науково-практична конференція: математика і психологія в педагогічній системі “Технічний університет” (Одеса, 1996); Всеукраїнська конференція “Молодь третього тисячоліття” (Одеса, 2000); 11-th IFAC Workshop CAO-2000 (С. Петербург, 2000); Міжнародна конференція “Диференціальні й інтегральні рівняння” DIFIN-2000 (Одеса, 2000); Міжнародна науково-технічна конференція “Фізичні комп'ютерні технології” (Харків, 2001); Міжнародна конференція “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання” (Чернівці, 2001); Міжнародна конференція по керуванню “Автоматика-2001” (Одеса, 2001); Міжнародна конференція по керуванню “Автоматика-2004” (Київ, 2004). Також на наукових семінарах кафедри теорії керування (факультет Прикладної Математики - Процесів Керування, СПбДУ), кафедр математичного аналізу й оптимального керування (Інститут математики, економіки, бізнесу, ОНУ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 41 науковій праці. З них 31 стаття в фахових наукових журналах відповідно до переліку ВАК України (у тому числі 17 без співавторів), та три монографії. Також результати представлені в 7 тезах і матеріалах доповідей на конференціях.

Структура й обсяг дисертації. Загальний обсяг дисертаційної роботи 411 сторінок. Основна частина займає 321 сторінку, ілюстрована 64 рисунками і 3 таблицями, розміщеними за текстом. Робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел, що налічує 227 найменувань і займає 18 сторінок і чотирьох додатків на 90 сторінках, ілюстрованих 20 рисунками і 1 таблицею.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані цілі і задачі дослідження, наукова новизна і практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі - “Огляд літератури за темою і стан проблеми” - наведені приклади різних реальних явищ, описуваних системами з післядією. Представлено огляд існуючих методів вирішення проблеми стійкості таких систем. Розглянуто і класифіковано підходи до вирішення проблеми стійкості в умовах невизначеності. Більшість цих підходів, так чи інакше, використовують принцип виключення нуля: сімейство характеристичних поліномів чи квазіполіномів замкнутих систем керування робастно стійко тоді і тільки тоді, коли стійкий один із елементів множини і множина на комплексній площині не містить нуля для усіх . Тоді або вивчається функція , що характеризує відстань від множини до нуля, або будується множина більш проста, ніж, з властивостями: з робастної стійкості якої за цих властивостей випливає робастна стійкість усієї множини. При цьому бажано, щоб множина була кінцевою і залежало не більш, ніж від кінцевого числа параметрів.

Перший підхід - частотний - розвинений у роботах Я.З. Ципкіна, Ю.І. Неймарка, Б.Т. Поляка, A.M. Gorovitz, D. Hinrichsen, C.B. Soh, C.B. Berger, S.P. Bhattacharya та інших.

Другий підхід, зв'язаний з одержанням теорем реберного типу, використовувався в роботах В.Л. Харитонова, О.П. Жабко, B.R. Barmish,
M.Y. Fu, A.W. Olbrot, M.P. Polis та інших.

Ще один можливий підхід пов’язаний із застосуванням прямого методу О.М. Ляпунова (М.М. Красовський, Б.С. Разуміхін, В.Б. Колмановський та інші).

Якщо вихідна інформація щодо системи задається не характеристичним рівнянням, а у виді частотних властивостей передатних функцій чи їхніх елементів, то виходить задача стійкості з непараметричною невизначеністю, що вирішується в рамках Н-теорії (А.А. Первозванський, А.С. Позняк,
P. Dorato, M.G. Safonov й інші).

Якщо елемент системи - лінійна ланка - стійка, то її також можна охарактеризувати коефіцієнтами розкладання передатної функції в ряд Маклорена чи зв'язаними з ними степеневими моментами імпульсної перехідної функції. При цьому передатна функція цілком визначається кінцевим числом степеневих моментів тоді і тільки тоді, коли вона - дробово-раціональна. Отже, лінійні ланки з кінцевою пам'яттю неможливо ідентифікувати кінцевим числом моментів, а виникаючі в цьому випадку задачі робастної стійкості мають, власне кажучи, непараметричний тип невизначеності. Однак, як окремий випадок, містять у собі задачі стійкості з параметричною невизначеністю, як афінного типу, так і з невизначеними запізненнями.

На основі критичного аналізу розглянутих методів були розроблені нові підходи до вирішення проблеми стійкості і робастної стійкості систем з комбінованим типом невизначеності, в яких присутні лінійні ланки з кінцевою пам'яттю. Розроблені методи і алгоритми теорії робастної стійкості застосовані до дослідження моделей конкретних систем. Розглянуто можливість використання цих методів при синтезі робастних систем керування і дослідженні якості цих систем.

Розділ другий - “Методи дослідження стійкості систем з невизначеними запізненнями” - присвячений аналізу робастної стійкості систем з різними видами параметричної невизначеності, яким відповідають сімейства характеристичних квазіполіномів з головним членом

, (1)

де - поліноми чи квазіполіноми запізнювального типу (чи нейтрального з головним членом) з дійсними чи комплексними коефіцієнтами повністю ідентифіковані, або мають параметричну невизначеність; - невизначені запізнення. В (1) функції є передатними для ланок чистої затримки.

На основі уніфікованих формул для визначення аргументу
комплексного числа: чи наводиться алгебраїчний спосіб розв’язання задачі робастної стійкості.

У підрозділі 2.1 методом D - поділів вирішується питання стійкості систем з однією невизначеною запізнювальною ланкою (m = 1).

Якщо позначити через множину всіх додатних коренів рівняння, - від’ємних і покласти

, ,

то необхідною і достатньою умовою стійкості квазіполінома є нерівність. У випадку дійсних коефіцієнтів.

Для поліномів малих степенів умови стійкості виписуються в наявній формі. Наприклад, при, (, , - дійсні числа, такі що,)

.

Аналогічні формули наведені для випадків,;,; , ( , , , , , , , - дійсні числа).

У підрозділі 2.2 розглянуто випадок систем з двома запізнювальними ланками (m = 2).

Заданий квазіполіном з дійсними коефіцієнтами

,

причому фіксований поліном (квазіполіном) - стійкий. Такі квазіполіноми виникають, наприклад, при моделюванні технологічних систем шліфування (В.А. Кудінов).

Множину додатних рішень систем

позначимо і відповідно (кожна з цих множин може виявитися пустою). Для кожного , (s = 1, 2) визначимо

, k = 0, 1, … .

Тоді прямі виявляються лініями D-поділу.

Позначимо множину додатних коренів рівняння

через . Покладемо

(за деяких множина може бути пустою). Рівняння

де ,

визначають останні лінії D-поділу.

Нехай, наприклад, структурна схема системи керування має вид (рис. 1). Характеристичний квазіполіном розглядуваної системи

, . Тоді рівняння ліній D-поділу наступні(рис. 2):

На основі цих рівнянь наводиться оцінка величини , що характеризує стійкість квазіполінома при .

Рис. 2. Область стійкості квазіполіномів у просторі параметрів :

а) ; б) .

Аналогічним чином виписані рівняння кривих D-поділів для квазіполіномів виду , a > 0, b > 0 (рис. 3).

Рис. 3. Область стійкості квазіполіномів у просторі параметрів : а) ; б)

У підрозділі 2.3 запропоновані чисельно-аналітичні алгоритми, що дозволяють визначати множини, цілком розміщені в області стійкості простору запізнень досліджуваного квазіполінома. На основі цих алгоритмів одержані методи розв’язання задач робастної стійкості сімейств квазіполіномів з довільним числом невизначених запізнень.

У пункті 2.3.1 розв’язується задача стійкості систем з декількома невизначеними запізненнями, характеристичні квазіполіноми яких належать сімейству , де - деяка відома норма, і оцінюється величина L, за якої всі квазіполіноми розглядуваного сімейства стійкі. Ця задача зводиться до допоміжної задачі на умовний екстремум.

Введемо функцію

,

де - результант по щ двох функцій.

Позначимо мінімум функції за умов , , через М. Нехай щ* - максимальний додатний корінь рівняння . Тоді доведено, що .

У пункті 2.3.2 вивчено випадок, коли запізнення залежать від невідомих параметрів , зокрема, коли , , де - задані позитивні числа. Для раціонально-залежних задача розв’язується за допомогою алгоритму В.Л. Харитонова. В дисертації наводиться інший алгоритм, що дозволяє розв’язати задачу для довільних (не обов'язково раціонально-залежних) додатних .

У пункті 2.3.3 досліджується проблема робастної стійкості сімейства . У цьому випадку функція після заміни , зводиться до полінома від перемінних : =

=, де - однорідні форми відповідних порядків, коефіцієнт дорівнює узагальненому визначнику Гурвіца полінома . Доведено, що якщо поліном додатний у конусі , то .

Наведено різні алгоритми для оцінок величин через коефіцієнти форм . Розглянуто приклади. Так, для сімейства достатні умови стійкості приводяться до виду: , , , де .

У підрозділі 2.4 на основі концепції четвірки поліномів Харитонова і теореми Жабко про оцінку фазової швидкості на класі стійких квазіполіномів розроблено методи дослідження робастної стійкості сімейств квазіполіномів з інтервальними запізненнями та інтервальними коефіцієнтами загального виду:

. (2)

Нехай, наприклад, система містить одну невизначену запізнювальну ланку (). Визначимо величини з формул

,

де - поліноми Харитонова, Тоді при всі квазіполіноми сімейства (2) стійкі.

Покладемо m = 2 (у системі дві запізнювальні ланки). Припустимо, що - інтервальний поліном, що містить тільки парні степені, - тільки непарні.

Нехай виконані нерівності:

,

,

де - максимальний додатний корінь серед коренів чотирьох рівнянь

.

Встановлено, що за цих припущень усі квазіполіноми сімейства (2) стійкі тоді і тільки тоді, коли стійкі квазіполіноми 16 однопараметричних сімейств:

,

.

Як приклад перевірена робастна стійкість сімейства квазіполіномів

при .

У пункті 2.4.2 вивчене питання стійкості сімейства (2), в якому ,…,-дійсні інтервальні поліноми, а поліном залежить від параметрів у такий спосіб. Якщо номінальний поліном позначити , то збурений поліном буде , де , U - матриця розміру n ґ k, що одержана з одиничної викреслюванням деяких її n-k стовпців. Вектор стиснений умовою , де

- задані додатні числа. Такі сімейства виникають у замкнутих системах з невизначеністю як у власне системі, так і в ланках зворотного зв'язку. Сформульовано алгоритм визначення радіуса робастності сімейства квазіполіномів щодо заданої норми.

Так для сімейства

при = 0,4 радіус робастності щодо норми дорівнює .

Для сімейства де побудовано графік залежності r від (рис. 4).

Зокрема, якщо , то радіус робастності . На цьому прикладі проведено порівняльний аналіз пропонованого алгоритму з раніше відомими, і показана перевага його (у монографії I. Kogan одержана оцінка 0,01 < r < 0,05, у статті Б.Т. Поляка і П.С. Щербакова на основі ймовірнісного підходу - оцінка r ? 0,024).

У третьому розділі - “Методи дослідження систем з непараметричною і комбінованою невизначеністю” - вивчені системи з непараметричною і комбінованою невизначеністю. Лінійну стаціонарну ланку системи керування можна описати одним з чотирьох способів: за допомогою передатної функції ; за допомогою імпульсної перехідної функції ; за допомогою перехідної функції ; за допомогою частотної характеристики , при цьому .

У багатьох практичних задачах вихідна інформація про систему задається за допомогою властивостей передатної функції, отже, невизначеність зводиться до завдання сімейства передатних функцій. Якщо це сімейство задавати за допомогою обмежень на норму передатної функції в просторі Харді, вийде класична задача робастної стійкості системи керування з HҐ - невизначеністю.

Розглянуто лінійні підсистеми непараметрично ідентифіковані за допомогою спеціального функціоналу, визначеного на множині перехідних функцій, і за методом моментів.

У пункті 3.1.2 уведено функціонал . Визначимо функцію рівнянням і покладемо Якщо вважати, що лінійна ланка породжена неспадною перехідною функцією , то

(3)

Геометричний зміст функціоналу La(H) наступний: якщо La(H)=ra, то точка на комплексній площині лежить у колі для всіх

Знаменник у (3) обертається в нуль тільки для функції Для інших неспадних функцій H знаменник додатний. Установлено ряд оцінок зверху і знизу функціоналу . Так, наприклад, справедливі наступні властивості.

Властивість 1. де

Властивість 2. Якщо функція H(t) неперервна праворуч у нулі, то .

Властивість 3. Якщо функція терпить розрив першого роду в нулі з величиною стрибка l, то

Для ланок з кінцевою пам'яттю оцінка зверху уточнюється.

Властивість 4. Нехай і Тоді

(4)

У підрозділі 3.2 уведений і досліджений на стійкість новий клас сімейств квазіполіномів з непараметричною невизначеністю.

Для систем з однією невизначеною ланкою основний результат роботи наступний: стійкість усіх квазіполіномів сімейства

(5)

рівносильна стійкості всіх квазіполіномів двох однопараметричних сімейств

, (6)

.

Якщо для всіх виконується нерівність

то умови стійкості сімейств (5) і (6) рівносильні.

Результат розповсюджений природним чином на випадок додаткового обмеження

Використовуючи теорему про оцінку фазової швидкості на класах стійких квазіполіномів, цей результат удається розвити на випадок декількох невизначених ланок.

Теорема 1. Нехай головний член квазіполінома міститься в і дорівнює ( ). Якщо виконані нерівності

, (7)

то всі квазіполіноми сімейства

стійкі в тому і тільки в тому випадку, коли стійкі всі квазіполіноми m-параметричного сімейства

. (8)

Конструктивний спосіб вирішення проблеми робастної стійкості сімейства (8) розглянуто у розділі 2.

Для різних класів поліномів (квазіполіномів) нерівності (7) вдається уточнити. Зокрема показана еквівалентність умов стійкості сімейств

і

Теорема 1 дозволяє одержати достатні умови стійкості довільного квазіполінома запізнювального (нейтрального) типу в термінах коефіцієнтів і запізнень. Дійсно, будь-який квазіполіном належить сімейству

,

де поліноми визначаються початковим квазіполіномом . Поліном подано у виді , де поліноми , містять тільки парні степені, причому , , поліноми , - тільки непарні і , . Тоді, якщо робастно стійке сімейство , то стійкий початковий квазіполіном .

Так, для квазіполінома

,

де , , , умова робастної стійкості
дається нерівністю . А для сімейства - відповідно нерівностями: а1 > 0, а2 > 0, , де

Теорема 1 і висновок з неї дозволяють визначати умови, коли не повністю ідентифіковані лінійні ланки з кінцевою пам'яттю можна при моделюванні заміняти ланками чистої затримки.

У підрозділі 3.3 результати робастного аналізу сімейств квазіполіномів з непараметричною невизначеністю поширені на сімейства квазіполіномів з комбінованою невизначеністю. Уведено поняття міри робастності таких сімейств і наведено алгоритм відшукання цієї величини. Як приклад показано, що сімейство

робастно стійке при r » 0,05562.

У четвертому розділі - “Методи досліджень робастної стійкості систем з однією невизначеною ланкою з кінцевою пам’яттю” - досліджується стійкість непараметрично ідентифікованих систем за наявності додаткової інформації про властивості лінійних ланок з кінцевою пам'яттю. Передбачається, що перехідна функція H(t) повинна задовольняти додатковим моментним співвідношенням

У випадку однієї невизначеної ланки система керування описується сімейством характеристичних квазіполіномів

, (9)

де .

Теорема 2. Якщо ( визначається як і раніше), то робастна стійкість сімейства квазіполіномів (9) еквівалентна стійкості двох однопараметричних сімейств, обумовлених верхнім і нижнім канонічним розподілом степеневої проблеми моментів.

Визначено рівняння границь множини значень сімейства (9), що дозволило знайти явний вид граничних сімейств квазіполіномів (рис. 5).

Для l = 1, ці сімейства мають вигляд

Для l = 2, -

Тому що знайдені сімейства мають надто громіздкий вид, то в роботі сформульовано більш прості достатні умови у виді стійкості трьох однопараметричних сімейств. Наприклад, для l = 2 ці сімейства наступні:

,

,

,

де

Для систем з декількома невизначеними ланками, не повністю ідентифікованими за методом моментів, проблема стійкості зводиться до дослідження стійкості кінцевого числа скінченнопараметричних сімейств.

У підрозділі 4.4 розглядаються системи з іншими додатковими обмеженнями на імпульсну перехідну функцію.

У підрозділі 4.5 щодо імпульсної перехідної функції не передбачається, що вона обов'язково повинна належати множині функцій розподілу. Якщо в системі керування є одна невизначена ланка, то в цьому випадку характеристичний квазіполіном належить сімейству (рис. 6)

. (10)

Теорема 3. Якщо , то всі квазіполіноми сімейства (10) стійкі в тому і тільки в тому випадку, коли стійкі наступні шість однопараметричних сімейств квазіполіномів

Якщо де то всі квазіполіноми сімейства (10) стійкі в тому і тільки в тому випадку, коли стійкі сімейства і наступні два двопараметричні сімейства квазіполіномів:

Якщо то в сімействі (10) знайдеться нестійкий квазіполіном.

Рис. 6. Множина значень сімейства квазіполіномів (10)

Оскільки при поліном (квазіполіном) стійкий, то можливо знайти критичні значення запізнень : сімейства робастно стійкі, якщо .

Висновок. Нехай при стійкі сімейства . Якщо , то всі квазіполіноми сімейства (10) стійкі. Якщо , то також усі квазіполіноми сімейства (10) стійкі.

У п'ятому розділі - “Методи дослідження стійкості систем малих порядків” - показано, що для різних окремих випадків поліномів (квазіполіномів) кількість сімейств, що перевіряються, можна зменшити. Результати цього розділу вносять істотні уточнення в аналіз систем, що допускають декомпозицію на підсистеми малих порядків. Наведемо декілька основних результатів. Для підсистеми першого порядку вірні наступні дві теореми.

Теорема 4. Всі квазіполіноми сімейства

стійкі тоді і тільки тоді, коли виконуються нерівності:

1)

2) , де .

Теорема 5. Усі квазіполіноми сімейства

де , стійкі тоді і тільки тоді, коли

1)

2) , де

Для сімейства

(11)

вірний наступний результат.

Теорема 6. Нехай Якщо:

1) b > 0 і a0 < b, то робастна стійкість сімейства (11) рівносильна стійкості квазіполінома

2) то сімейство (11) робастно стійке за будь-якого запізнення ;

3) b < 0 і то робастна стійкість сімейства (11) рівносильна стійкості квазіполінома

4) то сімейство (11) робастно стійке за будь-якого запізнення .

У випадку критичне запізнення визначається формулою

Для підсистеми другого порядку

(12)

досягається аналогічний результат.

Теорема 7. Для робастної стійкості сімейства (12) при необхідно і досить, щоб був стійкий квазіполіном

Як висновок теореми наведено формулу для визначення критичного запізнення

де .

Ці результати можуть бути застосовані для одержання достатніх умов стійкості диференційно-різницевих рівнянь першого і другого порядків, тобто для систем з ланками чистої затримки.

Розглянемо рівняння

(13)

Теорема 8. Нехай Якщо , те система (13) стійка за будь-яких значень запізнень . Якщо , то для стійкості досить справедливості нерівності

.

При т = 1 справедливість цієї нерівності стає також і необхідною умовою стійкості.

Якщо коефіцієнти додатні, то умови стійкості суттєво уточнюються. Вважаємо і (якщо , то система (13) стійка за будь-яких ).

Теорема 9. Якщо виконана нерівність

де

то система (13) стійка.

Якщо і

де

то система (13) стійка.

Усі теореми цього розділу проілюстровані значною кількістю типових прикладів з рисункам і графіками (рис. 7).

У підрозділі 5.4 наводяться достатні умови асимптотичної стійкості тривіального рішення узагальненого логістичного рівняння

, ,

або його дискретного аналога

, , ,

де (табл. 1).

Розділ шостий - “Застосування методів робастного аналізу до моделювання динамічних процесів і систем” - присвячений питанням практичної реалізації основних наукових результатів роботи. Розглянуто задачі моделювання динамічних процесів рівняннями з післядією з подальшим дослідженням одержаних модельних рівнянь.

У підрозділі 6.1 розглянуто моделі динаміки в’язкопружних систем й установлено кількісні зв'язки між властивостями повзучості матеріалу і запасом стійкості. Як співвідношення між напругами і деформаціями використовувалося наступне: , в якому функція релаксації була стиснута різними обмеженнями. Як основну модель малих коливань в’язкопружної системи використовувалося функціонально-диференціальне рівняння

, (14)

де , . Умову стійкості рівняння (14) представлено у виді

,

де . Тому що права частина останньої нерівності залежить від параметрів системи , , що характеризують жорсткість і демпфірування, а ліва частина - від параметра, що характеризує властивості функції релаксації, то можна зробити висновок, що у в’язкопружних системах з тими самими коефіцієнтами демпфування і жорсткості запас стійкості тим вище, чим менше виражені властивості повзучості матеріалу.

У підрозділі 6.2 використані результати попереднього підрозділу для моделювання сили різання і систем механообробки, зокрема технологічних систем процесів шліфування і доведення. Так, у загальному виді структурна схема технологічної системи механообробки має вид (рис. 8): тут еквівалентна пружна система виявляється замкнутої зворотними зв'язками робочих процесів силового паралельного впливу з запізненнями, Wепс, Wрп, Wзз - передатні функції еквівалентної пружної системи, робочих процесів (різання, приводу, тертя), зворотного зв'язку. Wззз ? передатна функція елемента запізнення в ланцюзі зворотного зв'язку, яка в загальному випадку має вид
Wззз(л)=, де функція H(t) належить деякій підмножині множини функцій обмеженої варіації.

Природа запізнень у робочих процесах різання і тертя відповідно до теорії в’язкопружності обумовлена кінцевою швидкістю поширення сил взаємодії; у робочому процесі приводу - кінцевою швидкістю поширення електромагнітних хвиль; у ланці зворотного зв'язку - кінцевою швидкістю оброблення інформації і вироблення керуючого сигналу.

У залежності від поставленої задачі вибирається модель, що містить ті чи інші зворотні зв'язки в робочих процесах. При цьому кожну окрему ланку можна деталізувати, більш повно враховуючи властивості модельованих фізичних процесів. Однак у системах керування процесами шліфування і доведення досить обмежитися наведеною класичною структурною схемою.

Установлено зв'язки між параметрами системи, режимами обробки і запасом стійкості. Показано, що уведення післядії в модель дозволяє врахувати вплив макропараметрів системи на поведінку мікропараметрів у моделях одного рівня ієрархії, зокрема, врахувати вплив температурних факторів на якість оброблюваної поверхні. Наведені результати експериментів підтверджують одержані розрахункові формули.

У підрозділі 6.3 розглянута задача моделювання динаміки ядерних енергетичних установок. Показано, що як універсальну модель можна взяти систему рівнянь виду:

(15)

Різні окремі постановки, таким чином, приводять до рівнянь, що виходить із системи (15) за деяких, залежних від властивостей конкретної задачі, що спрощують, припущення.

Так, характеристичний квазіполіном лінеаризованої системи (15) може мати вигляд

Характерний вид області стійкості в площині (a, b) наведений на рис. 9 і рис. 10.

Рис. 10. Скорочення області стійкості в площині a, b

зі зростанням відношень характерного часу прогріву реактора до часу життя випромінювачів запізнювальних нейтронів c (при r = 1, b = 1, t1 = t2 = 0,2)

Запропоновані в дисертації методи дозволяють одержувати умови стійкості досліджуваних моделей в алгебраїчній формі, що включає параметри системи, тобто дозволяють будувати багатовимірні області, цілком розміщені в області стійкості простору досліджуваних параметрів. Ці методи застосовні до систем, як із зосередженими запізненнями, так і з розподіленими. Це дозволяє будувати більш адекватні математичні моделі, що враховують розподільність запізнення у зворотних зв'язках ланцюга потужність-реактивність, а також температурний фактор, зв'язаний зі скінченністю часу прогрівання реактора.

За допомогою запропонованих методів можливо точніше визначати точки біфуркації в просторі параметрів, що дозволяє робити вірні висновки про нестаціонарні процеси в області нестійкості робочого режиму реактора.

У підрозділі 6.4 розглянуті деякі моделі екологічних систем з післядією. При дослідженні різних процесів в озерах, очисних спорудах, виробництві ліків і т.д. у лабораторних умовах використовується установка, називана “хемостат”. Як лінеаризовану модель процесу неперервної ферментації в хемостаті можна взяти систему функціонально-диференціальних рівнянь

Ця система стійка, якщо

, ,

де

,. .

При цьому - довільні функції, стиснуті умовами при при при .

Як приклад визначення умов стійкості стаціонарного стану процесу ферментації розглянуто процес вирощування культури кліток кишкової палички Escherichia coli в аеробних умовах в бідному мінеральному середовищі з глюкозою, що містить як єдине джерело азоту хлорид амонію.

У додатку А одержані в дисертації методи й алгоритми робастного аналізу застосовані до розв’язання задач ідентифікації, синтезу й оцінки якості систем керування. Зокрема, обґрунтована можливість апроксимації передатної функції не повністю ідентифікованої лінійної ланки з кінцевою пам'яттю передатною функцією ланки чистої затримки і навіть передатними функціями інерційних ланок; наведено алгоритм синтезу стабілізуючого керування деяких класів систем з післядією і невизначеністю в ланцюзі зворотного зв'язку; отримані в дисертації формули визначення умов стійкості застосовані до оцінки деяких параметрів якості систем керування з післядією і невизначеністю.

У додатку Б розглянута модель Вольтерра, яка була застосована А.В. Прасоловим для опису процесів в економіці з урахуванням часового лагу:

де характеризує одну з конкуруючих фірм. Показано, що такі моделі обов'язково допускають періодичні, майже періодичні і рекурентні рішення, якщо величини післядій більше критичних. Наведено оцінки для цих критичних величин.

Розглянуто деякі моделі біологічних систем з післядією. Як приклад застосування розроблених у дисертації методів досліджена одновимірна модель процесу розвитку видів, що зводиться до дослідження стійкості тривіального рішення допоміжного узагальненого логістичного рівняння. Сформульовано результати про стійкість, що випливають з теорем 8, 9, і узагальнюють усі раніше отримані.

Урахування статевозрілості осіб шляхом уведення запізнення гарантує існування граничних циклів, що теоретично обґрунтовує деякі природні явища і лабораторні експерименти. Відзначено, що аналогічно можна моделювати процеси розвитку декількох взаємодіючих між собою видів. При цьому такі фактори, як неоднорідність опору зовнішнього середовища, міграції за кордон сфери життя, дискретності сезонів розмноження, закінчення часу розвитку осіб і т.п. можна врахувати шляхом уведення післядії.

У додатках В, Г містяться документи, що підтверджують практичне використання розроблених методів робастного аналізу в задачах моделювання і синтезу технологічних систем.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі надане нове вирішення науково-технічної проблеми - розробка ефективних практичних методів розв’язання задач стійкості лінійних неперервних систем із запізнювальними ланками в умовах неповноти інформації з подальшим використанням цих методів у задачах моделювання систем керування різної природи, вибору структури та урахування розкиду параметрів системи, оцінки показників якості.

Основні результати дисертації:

1. Розроблено методи дослідження стійкості лінійних систем керування з параметричною невизначеністю за наявності запізнень, що дозволяють одержувати рівняння границь множини, цілком розміщеної у множині стійкості простору параметрів системи (коефіцієнтів і запізнювань). Ці рівняння містять крім алгебраїчних функцій трансцендентні функції - арккотангенси.

2. З метою подальшого удосконалювання моделювання систем керування в умовах неповноти інформації про структуру системи запропоновано новий клас моделей з непараметричною невизначеністю. Цей тип невизначеності є найбільш природним: він характеризує множину можливих перехідних функцій невизначеної лінійної системи, у тому числі з кінцевою пам'яттю.

3. Одержано результати, що дозволяють зводити дослідження системи з непараметричною чи комбінованою невизначеністю до дослідження допоміжних множин систем з параметричною невизначеністю. В залежності від необхідної точності оцінок параметрів системи керування, ці допоміжні множини можуть виявлятися більш-менш складними.

4. З метою урахування невизначеності в самому об'єкті регулювання, уведене поняття міри робастності сімейства систем керування непараметричною чи комбінованою невизначеністю в ланках ланцюга зворотного зв'язку. Сформульовано алгоритми визначення цієї величини, які реалізовані у виді програми в середовищі МАРLЕ.

5. На основі сформульованого в роботі принципу загрублення одержані достатні умови стійкості лінійних систем диференціально-різницевих рівнянь запізнювального (нейтрального) типу в термінах коефіцієнтів і запізнювань. Для систем малих порядків ці умови приведені до явного виду. Як приклади досліджені узагальнене логістичне рівняння і рівняння коливальної системи.

6. На конкретних прикладах показана ефективність запропонованих методів при розв'язанні задач моделювання систем різного призначення. Зокрема розв'язана задача розрахунку первинних параметрів моделей технологічних систем шліфування і доведення, моделей економічних процесів, моделей процесів у ядерних реакторах, моделей екологічних і біологічних систем.

7. На основі одержаної методики вирішення проблеми робастної стійкості сформульовані алгоритми розв'язання задач моделювання і синтезу систем керування різного призначення. Ця методика застосована до одержання точних оцінок показників якості систем керування з післядією і невизначеністю.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Математическое моделирование технических систем / А.В. Усов, В.А. Вайсман, Д.В. Дмитришин, Л.И. Плотникова, Г.А. Оборский. - К.: Техника, 1995. - 328 с. (автором написано розділ 2: “Застосування звичайних диференціальних рівнянь до моделювання технічних систем”).

2. Экономико-математическое обеспечение управленческих решений в менеджменте / В.М. Вартанян., Д.В. Дмитришин, А.И. Лысенко, А.Г. Осиевский и др. - Харьков: ХГЭУ, 2001. - 288 с. (автором написано розділ 4: “Стійкість керованих процесів із запізнюванням”).

3. Усов А.В., Дубров А.Н., Дмитришин Д.В. Моделирование систем с распределенными параметрами. - Одесса: Астропринт, 2002. - 664 с. (автором написано частина ІІ (розділи 1-9): “Моделювання робастних систем”).

4. Усов А.В., Дмитришин Д.В. Монотонность убывания нормы равномерной аппроксимации и задача L-проблемы моментов // Труды Одесского политехнического университета, Вып. 2 (8).- Одесса: ОГПУ, 1999. - С. 213-219 (автором сформульовані і доведені теореми про деякі властивості інтеграла Стілтьєса, що застосовані до дослідження САК з запізнювальним зворотним зв’язком).

5. Усов А.В., Дмитришин Д.В. О моделировании динамики системы тел с учетом конечности скорости распространения взаимодействий // Вестник Херсонского государственного технического университета. - Вып. 2 (8). - Херсон: ХТГУ, 2000. - С. 104-109 (автором уведено новий клас рівнянь для опису динаміки механічних систем і сформульований результат про стійкість цих систем у виді реброва теорем).

6. Усов А.В., Дмитришин Д.В. О свойствах одного разбиения пространства функций ограниченной вариации // Сб. научн. тр. Международной Академии Наук высшей школы, Сер. Математическое моделирование в образовании, науке и промышленности. - С.Пб, 2000. -
С. 184-189 (автором сформульовані і доведені теореми про деякі властивості інтеграла Стілтьєса, що застосовані до дослідження САК з запізнювальним зворотним зв’язком).

7. Дмитришин Д.В. Исследование