НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П.ТИМОШЕНКА

Двірний Олександр Іванович

УДК 531.36

КРИТЕРІЇ СТІЙКОСТІ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ

НА ОСНОВІ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ

ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА

Спеціальність 01.02.01 — теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Науковий керівник – член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Мартинюк Анатолій Андрійович,

завідувач відділу стійкості процесів Інституту

механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти – доктор фізико-математичних наук, професор

Ларін Володимир Борисович,

завідувач відділу динаміки складних систем

Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН

України.

– кандидат фізико-математичних наук

Гончаренко Володимир Іванович,

провідний інженер-конструктор

АКБ ім. Антонова.

Провідна установа – Інститут прикладної математики і механіки

НАН України (м. Донецьк).

Захист відбудеться 25.10.2005р. о 10 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П.Тимошен-

ка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім.

С.П.Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Несторова, 3.

Автореферат розісланий 14.09.2005р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

При математичному моделюванні процесів в механічних системах з короткотерміновими збуреннями такими, як наприклад удари, часто тривалістю збурення зручно знехтувати і вважати, що ці збурення носять миттєвий характер. Така ідеалізація приводить до необхідності досліджувати системи з розривними траєкторіями або, як їх ще називають, диференціальні рівняння з імпульсною дією.

Проблема всебічного вивчення звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією з'явилась на початку розвитку нелінійної механіки і привернула увагу фізиків можливістю адекватно описувати процеси в нелінійних коливальних системах. Однією із задач якісної теорії звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією є дослідження стійкоподібних властивостей розв'язків таких систем. Побудова загальної теорії систем з імпульсною дією здійснена завдяки зусиллям таких вчених як Мишкіс А.Д., Самойленко А.М., Лакшмікантам В., Перестюк М.О., Байнов Д.Д., Сіміонов П.С. Основні результати щодо стійкості розв'язків систем з імпульсною дією одержані в роботах Мишкіса А.Д., Перестюка М.О., Лакшмікантама В., Мартинюка А.А., Байнова Д.Д., Lіu X., Ігнатьєва О.О.

В Інституті механіки НАН України системи з імпульсною дією в задачах механіки використовувались Ларіним В.Б. при дослідженні динаміки крокуючих апаратів.

Актуальність теми. Оскільки характерною особливістю систем з імпульсною дією є відсутність властивості інваріантності розв'язків відносно перетворення зсуву по часу то одержати необхідні і достатні умови навіть у найпростіших випадках лінійних систем зі сталими коефіцієнтами можливо лише в деяких частинних випадках. З огляду на це актуальною є проблема встановлення достатніх умов стійкості імпульсних систем, що враховували б динамічні властивості неперервної та дискретної компонент системи. Системи з імпульсною дією використовуються при моделюванні реальних явищ в механіці, теорії вібросистем, робототехніці, екології. З огляду на складність динаміки таких систем актуальною задачею є дослідження якісних властивостей розв'язків систем з імпульсною дією.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження за темою дисертації ввійшли в науково-дослідні роботи Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України: тема № д.р. 0100U000586 "Стійкість і керування системами з неточними значеннями параметрів при наявності хаотичних режимів" (1.2000 — 4.2003 рр., керівник теми член-кореспондент НАНУ, д.ф.-м.н., проф. А.А.Мартинюк), шифр 1.3.1.320; тема № д.р. 0103U003865 "Розробка критеріїв практичної (технічної) стійкості імпульсних систем та систем з післядією." (2.2004 — 1.2005 рр., керівник теми член-кореспондент НАН України, д.ф.-м.н., проф. А.А.Мартинюк), шифр 1.3.1.442п.

Мета i задачі дослідження. Метою роботи є отримання умов стійкості систем з імпульсною дією.

Об'єктом дослідження є системи з імпульсною дією та неголономні механічні системи з ударами.

Предметом дослідження є стійкість за Ляпуновим, практична і технічна стійкість розв'язків систем з імпульсною дією та стійкість многовиду станів рівноваги неголономної системи з ударами.

Задачі дослідження:

1. Отримати достатні умови стійкості за Ляпуновим розв'язків лінійних систем з імпульсною дією;

2. Отримати достатні умови практичної та технічної стійкості розв'язків лінійних систем з імпульсною дією;

3. Отримати достатні умови стійкості за Ляпуновим розв'язків нелінійних систем з імпульсною дією;

4. Отримати достатні умови практичної та технічної стійкості розв'язків квазілінійних систем з імпульсною дією;

5. Отримати достатні умови стійкості за Ляпуновим многовиду станів рівноваги неголономної системи з ударами.

Методом дослідження є метод функцій Ляпунова в контексті методу порівняння, який належним чином адаптований до задач теорії стійкості імпульсних систем.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими i полягають у:—

одержанні достатніх умов стійкості за Ляпуновим та достатніх умов практичної та технічної стійкості розв'язків лінійних систем з імпульсною дією коли неперервна і дискретна компоненти системи одночасно є нестійкими;—

отриманні достатніх умов стійкості за Ляпуновим розв'язків нелінійних систем з імпульсною дією та достатніх умов практичної та технічної стійкості розв'язків квазілінійних систем з імпульсною дією коли стани рівноваги неперервної і дискретної компонент системи одночасно є нестійкими;—

отриманні достатніх умов стійкості за Ляпуновим многовиду станів рівноваги неголономної системи з ударами.

Обгрунтованість і достовірність одержаних в дисертаційній роботі результатів забезпечується використанням класичних методів Ляпунова та повними і строгими доведенням всіх результатів. Крім того в частинних випадках одержані умови стійкості співпадають з раніше відомими.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використані при подальшому розвиненні методів дослідження механічних систем з імпульсною дією.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати роботи одержано особисто автором. Визначення загального напрямку досліджень і постановка задач належить науковому керівнику — А.А. Мартинюку. В роботі [2] співавтору належить постановка задачі та ідея методу дослідження, а автору належить аналітичні розрахунки, доведення теорем, аналіз одержаних результатів та підготовка рукопису до опублікування. В роботі [3] співавтору належить постановка задачі, а автору аналітичні та чисельні розрахунки, доведення теорем, аналіз одержаних результатів, побудова чисельного прикладу та підготовка рукопису до опублікування.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на семінарах відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України; на семінарі секції "Динаміка та стійкість руху механічних систем" Інституту механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України; на міжнародній конференції "Dynamical System Modelling and Stability Investigation" (Київ, 2003); на десятій міжнародній конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004); на міжнародній конференції "Метод функций Ляпунова и его приложения" (Симферополь, 2004).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в 4-х статтях у фахових наукових журналах та 3-х тезах наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел та додатку. Загальний обсяг дисертації 165 сторінки, список використаних джерел із 98 найменувань, містить 4 рисунка.

Автор висловлює глибоку вдячність науковому керівнику члену-кореспонденту НАН України, доктору фізико-математичних наук, професору Анатолію Андрійовичу Мартинюку за постановку задачі та постійну увагу до роботи, а також кандидату фізико-математичних наук Віталію Івановичу Слиньку за підтримку і практичну допомогу при виконанні роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність досліджуваної проблеми, сформульовано мету роботи, розкрито її наукову новизну та відзначено практичне значення.

У першому розділі наведено огляд досліджень виконаних в останні роки і присвячених дослідженню стійкості розв'язків систем з імпульсною дією. Перший розділ закінчено коротким обгрунтуванням проведення подальших досліджень в напрямку дослідження стійкості розв'язків систем з імпульсною дією.

У другому розділі дисертації викладено нові підходи до аналізу стійкості лінійних систем з імпульсною дією.

Розглядається лінійна система з імпульсним збуренням

(1)

де — вектор стану системи, — значення функції справа, — постійна матриця, — постійна невироджена матриця, — малий параметр, . Крім того, — -періодична функція з нульовим середнім значенням, моменти імпульсного збурення такі що виконуються оцінки

.

У підрозділі 2.1 для системи (1) припускається, що , матриця має властивість е-дихотомії.

Неперервна компонента системи (1) лінійним невиродженим перетворенням приводиться до двох незв'язаних систем, перша з яких цілком нестійка, а друга асимптотично стійка. Далі будується двохкомпонентна векторна функція Ляпунова за допомогою якої одержуємо систему порівняння. Далі встановлено умови стійкості стану рівноваги системи порівняння з якої, згідно принципу порівняння, слідує стійкість стану рівноваги системи (1). Побудований приклад в якому , , , а .

У підрозділі 2.2 результати попереднього підрозділу поширено на системи вигляду (1) на основі методу Четаєва. Побудовано чисельний приклад.

У підрозділі 2.3 розглядається система вигляду (1) у припущенні, що , матриця є квазімонотонною відносно деякого конуса , що є прямим добутком скінченного числа напівпрямих, а матриця є позитивною відносно конуса .

Нехай , лінійно незалежні системи елементів такі, що , , .

Теорема 1. Нехай система рівнянь (1) така, що

,

де — спектральний радіус відповідного оператора, тоді розв'язок системи (1) асимптотично стійкий відносно конуса .

Також в цьому підрозділі одержано теорему про нестійкість та побудовано чисельний приклад в якому , , .

У підрозділі 2.4 результати попереднього підрозділу узагальнено на позитивні лінійні системи відносно довільного конуса. Основний результат сформульований наступним чином.

Теорема 2. Нехай лінійна позитивна система (1) є такою, що

,

де — строго позитивний відносно конуса оператор, який визначається наступним чином , , , —- спектральний радіус відповідно матриці.

Тоді стан рівноваги лінійної системи (1) асимптотично стійкий.

В роботі встановлено умови асимптотичної стійкості та нестійкості стану рівноваги даної системи відносно конуса Мінковського.

У підрозділі 2.5 розглядається лінійна система вигляду (1) у припущенні, що . За допомогою відображення , яке зберігає стійкість, ця система приводиться до лінійної системи з імпульсною дією, яка є позитивною відносно конуса додатньо-напіввизначених симетричних матриць, до якої застосовуються умови стійкості одержані в підрозділі 2.3.

Теорема 4. Нехай лінійна система рівнянь (1) така, що

,

де — кронекеровий добуток матриць, ,

Тоді стан рівноваги системи (1) асимптотично стійкий.

У цьому підрозділі запропонований алгоритм оцінки сталої , та наведено приклад дослідження лінійної системи другого порядку.

У підрозділі 2.6 розглядається система (1) у припущенні, що і одержані умови практичної і технічної стійкості стану рівноваги такої системи, а також побудований чисельний приклад.

У підрозділі 2.7 розглядається система (1) у припущенні, що , — матриця, елементи якої задані неточно, тобто з матриці можна виділити постійну матрицю . У цьому випадку , де — матриця неточностей, яка належить деякій компактній множині. Одержані оцінки при яких стійкість стану рівноваги системи (1) зберігається та побудовано чисельний приклад.

Отримані умови робастної стійкості системи (3), а також побудовано числовий приклад.

Третій розділ присвячений дослідженню динаміки нелінійних імпульсних систем.

Розглядається квазілінійна імпульсна система, яка допускає декомпозицію на незалежних підсистем

(4)

де — вектори стану системи; — праві значення функцій ; , — постійні матриці.

У підрозділі 3.1 отримані умови асимптотичної стійкості стану рівноваги системи (4) та побудовано чисельний приклад системи шостого порядку.

У підрозділі 3.2 отримані умови практичної стійкості стану рівноваги системи (4), а також побудовано чисельний приклад.

У підрозділі 3.3 отримані умови технічної стійкості стану рівноваги системи (4).

У підрозділі 3.4 розглядається нелінійна система з iмпульсним збуренням

(5)

де , , для всіх, , , відкритий зв'язний окіл стану .

У підрозділі 3.5 розглядається нелінійна система з імпульсним збуренням

(6)

де , моменти імпульсного збурення фіксовані і задовольняють нерівностям

Крім того, припускається, що функції , , є однорідними поліномами -го виміру, де непарне число.

Одержані умови асимптотичної стійкості стану рівноваги системи (6), отримані оцінки області стійкості. А також проілюстровано застосування одержаних умов асимптотичної стійкості на прикладі системи

(7)

де , а моменти імпульсного збурення постійні і задовольняють умові при всіх .

Встановлено, що стан рівноваги системи (7)

асимптотично стійкий і область асимптотичної стійкості містить відкритий круг з центром у нульовій точці і радіусом .

Четвертий розділ присвячений стійкості імпульсних рухів неголономних механічних систем.

У підрозділі 4.1 описано механічну систему, постановку задачі і виведено систему рівнянь руху. Досліджено питання про стани рівноваги такої системи.

У підрозділі 4.3 розглядається застосування результатів попереднього підрозділу до дослідження стійкості многовиду станів рівноваги саней Чаплигіна при дії заданих ударів. Показано, що в цій задачі відомі умови стійкості руху імпульсних систем незастосовні.

У висновках коротко сформульовані основні результати дисертації.

ВИСНОВКИ

Основні результати проведених досліджень, які представлені в дисертації, полягають у наступному:

1. Отримано достатні умови стійкості за Ляпуновим розв'язків лінійних систем з імпульсною дією;

2. Отримано достатні умови практичної та технічної стійкості розв'язків лінійних систем з імпульсною дією;

3. Отримано достатні умови стійкості за Ляпуновим розв'язків нелінійних систем з імпульсною дією;

4. Отримано достатні умови практичної та технічної стійкості розв'язків квазілінійних систем з імпульсною дією;

5. Отримано достатні умови стійкості за Ляпуновим многовиду станів рівноваги неголономної системи з ударами.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Двирный А.И. Об оценке границы робастности линейной системы с импульсным воздействием // Доп. НАН України, — 2003. — N 9. — C. 34 — 39.

2. Двирный А.И., Слынько В.И. Об устойчивости линейных импульсных систем относительно конуса // Доп. НАН України, — 2004. — N 4. — С. 42 — 48.

3. Двирний А.И., Слынько В.И. Критерии устойчивости квазилинейных импульсных систем // Прикл. механика. — 2004. — 40, N 5. — С. 137 — 144.

4. Двирний А.И. Достаточные условия практической и технической устойчивости квазилинейных импульсных систем // Прикл. механика. — 2005. — 41, N 1. — С. 135 — 142.

5. Двирний А.И. Об оценке границы робастности линейной системы с импульсным воздействием // International Conference: Dynamical System Modelling and Stability Investigation : Тез. докл. — Киев, 2004. — С. 304.

6. Двирный А.И. О спектральных условиях устойчивости линейных импульсных систем // Десята міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука: Тез. докл. — Київ, 2004. — С. 93.

7. Двирний А.И. Условия устойчивости квазилинейных импульсных систем // Седьмая Крымская международная Математическая школа: Метод функций Ляпунова и его приложения : Тез. докл. — Алушта, 2004. — С. 53.

АНОТАЦIЯ

Двiрний О.I. Критерії стійкості імпульсних систем на основі багатокомпонентних функцій Ляпунова. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 — теоретична механіка. — Інститут механіки iм.С.П.Тимошенка НАН України, Київ, 2005.

Дисертацію присвячено дослідженню стійкості руху нелінійних систем з імпульсною дією, для яких характерно, що стан рівноваги неперервної та дискретної компонент є нестійким. В роботі запропоновані нові підходи до аналізу стійкості руху, в тому числі некласичної, лінійних, квазілінійних великомасштабних та суттєво нелінійних систем з імпульсною дiєю. Одержані умови стійкості імпульсних систем з неточно заданими параметрами. Одержані умови стійкості нелінійної системи другого порядку з однорідними правими частинами. На основі запропонованих підходів досліджена задача про стійкість многовиду станів рівноваги неголономної механічної системи з ударами.

Ключові слова: система з імпульсною дією, асимптотична стійкість, практична стійкість, технічна стійкість, функція Ляпунова, неголономна механічна система.

АННОТАЦИЯ

Двирный А.И. Критерии устойчивости импульсных систем на основе многокомпонентных функций Ляпунова. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 — теоретическая механика. — Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2005.

Диссертация посвящена исследованию устойчивости нелинейных систем с импульсным воздействием, для которых характерно, что состояние равновесия непрерырвной и дискретной компонент неустойчиво. Развиты подходы к исследованию устойчивости движения квазилинейных импульсных систем на основе метода векторных функций Ляпунова и теоремы сравнения. В работе предложены новые подходы к анализу устойчивости движения, в том числе неклассической, линейных, квазилинейных, крупно-масштабных та существенно нелинейных систем с импульсным воздействием. Установлены условия устойчивости линейных импульсных систем позитивных относительно некоторого телесного конуса в конечномерном пространстве. Получены условия устойчивости импульсных систем с неточно заданными параметрами. Получены условия устойчивости нелинейной системы второго порядка с однородной правой частью. На основе предложенных подходов исследована задача об устойчивости многообразия состояний равновесия неголономной механической системы с ударами.

Основные результаты диссертации состоят в следующем

1. Получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову решений линейных систем с импульсным воздействием;

2. Получены достаточные условия практической и технической устойчивости решений линейных систем с импульсным воздействием;

3. Получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову решений нелинейных систем с импульсным воздействием;

4. Получено достаточные условия практической и технической устойчивости решений квазилинейных систем с импульсным воздействием;

5. Получено достаточные условия устойчивости по Ляпунову многообразия состояний равновесия неголономной системы с ударами.

Ключевые слова: система с импульсным воздействием, асимптотическая устойчивость, практическая устойчивость, техническая устойчивость, функция Ляпунова, неголономная механическая система.

SUMMARY

Dvirny A.I. Stability tests of impulsive systems via Lyapunov's multicomponent functions. — Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in speciality 01.02.01 — theoretical mechanics. — S.P.Timoshenko of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis is devoted to investigation of stability of motion of the nonlinear impulsive systems for which the equilibrium of continuous and discrete components is unstable. It was proposed new approaches to stability analysis, including nonclassical stability, of linear, quasilinear, large-scale and nonlinear systems with impulsive effect. It was obtained the conditions of stability for uncertain impulsive systems.

On the basis of the proposed approaches it is investigated the problem of stability for manifold of equilibriums of nonholonomic mechanical system with impact.

Keywords: impulsive system, asymptotic stability, practical stability, technical stability, Lyapunov function, nonholonomic mechanical system.