ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМ. В. Н. КАРАЗІНА

ФЕСЕНЮК Олександр Петрович

УДК 533.9

АЛЬФВЕНІВСЬКІ ВЛАСНІ КОЛИВАННЯ ТА

КОНТИНУУМ МАГНІТОГІДРОДИНАМІЧНИХ

ХВИЛЬ У СТЕЛАРАТОРАХ

01.04.08 – фізика плазми

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті ядерних досліджень Національної Академії наук України.

Науковий керівник: |

доктор фізико-математичних наук, професор,

Колесниченко Ярослав Іванович,

Інститут ядерних досліджень, завідувач відділу теорії ядерного синтезу.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук,

Греков Дмитро Леонідович,
Інститут фізики плазми Національного наукового центру „Харківський фізико-технічний інститут”, провідний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук,

Олефір Володимир Петрович,

Харківський національний університет
ім. В. Н. Каразіна, доцент.

Провідна установа: | Інститут теоретичної фізики
ім. М. М. Боголюбова НАН України, відділ теорії та моделювання плазмових процесів,
м. Київ.

Захист відбудеться 11.11.2005 р. о 17 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.12 в Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна за адресою: 61108, м. Харків, пр. Курчатова 31, аудиторія 301.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна за адресою: пл. Свободи, 4, м. Харків, 61077.

Автореферат розісланий 11.10. 2005 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради Письменецький С. О.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Останнім часом активно ведуться дослідження плазми в так званих „оптимізованих” або „покращених” стелараторах. Конфігурація магнітного поля в цих стелараторах створюється таким чином, щоб мінімізувати струм Пфірша-Шлютера та шафранівський зсув і забезпечити існування замкнених дрейфових поверхонь високоенергійних іонів у значній частині об’єму плазми. Завдяки цьому вирішується, зокрема, проблема мінімізації “класичних” втрат швидких іонів, тобто втрат через відхилення орбіт від магнітних поверхонь, стохастичну дифузію та дифузію, пов’язану з кулонівськими зіткненнями. Оптимізований стеларатор має шанс стати основою для термоядерного реактора, причому такого, що має переваги у порівнянні з реактором-токамаком (стаціонарність, відсутність нестійкості зриву). Проте і в оптимізованих стелараторах утримання швидких іонів може бути незадовільним. Це може статися при збудженні цими іонами альфвенівських нестійкостей. Тому вивчення альфвенівських коливань та їх дестабілізації швидкими іонами являє практичний інтерес. Більше того, аномальний транспорт є не єдиним фактором, що свідчить про важливу роль альфвенівських нестійкостей. У випадках, коли аномальний транспорт швидких іонів відсутній, ці нестійкості можуть бути корисним знаряддям для діагностики плазми (так званої „МГД-спектроскопії”), а також для вилучення з плазми термоядерного „попелу” – загальмованих термоядерних альфа частинок. Слід відзначити, що альфвенівські нестійкості спостерігалися в багатьох експериментах як на стелараторах, так і на токамаках. В деяких експериментах на токамаках альфвенівські нестійкості спричинювали великі втрати енергійних іонів, в інших – втрати були малими або навіть нехтовно малими. В експериментах на стелараторах також спостерігались втрати під час спалахів альфвенівської активності. Крім того, в німецькому стелараторі „Вендельштайн” 7-AS (W7-AS), спорудженому в місті Ґархінґу, такі спалахи інколи супроводжувалися змінами інтенсивності випромінювання з плазми м'яких рентгенівських променів, що свідчить про вплив альфвенівських нестійкостей також і на основну плазму, чого не спостерігалося у токамаках.

Сказане свідчить про важливість та актуальність вивчення альфвенівських хвиль та їх дестабілізації у стелараторах. Саме цим питанням присвячена дисертація. Відзначимо, що на момент початку дисертаційної роботи не існувало послідовної теорії альфвенівських нестійкостей у стелараторах. Як правило, при аналізі спостережень альфвенівської активності, пов’язаної з енергійними іонами у стелараторах, користувалися теорією, розвиненою для токамаків. Однак, відмінності магнітних конфігурацій цих двох типів термоядерних пристроїв часто роблять невиправданим таке використання.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження були виконані в межах тем Національної Академії наук України: „Фізичні процеси у плазмі тороїдальних термоядерних систем з високоенергійними іонами (2001-2003 рр.) і „Нестійкості плазми та транспорт іонів високих енергій у стелараторах, сферичних торах та токамаках” (I квартал 2004 р. – II квартал 2006 р.).

Мета і задачі досліджень. Метою дисертаційної роботи є з'ясування властивостей спектру (дискретного спектру та континууму) альфвенівських хвиль у стелараторах, зокрема, в оптимізованих стелараторах лінії „Вендельштайн”, а також отримання умов виникнення і характерних параметрів нестійкостей неідеальних альфвенівських власних мод, що збуджуються енергійними іонами. Для досягнення цієї мети необхідно було виконати такі роботи:

1. Отримати рівняння редукованої ідеальної магнітної гідродинаміки (МГД), придатні для опису ідеальних альфвенівських та повільних магнітозвукових хвиль у стелараторах.

2. Дослідити за допомогою цих рівнянь альфвенівський спектр у нестисливій плазмі та альфвенівсько-звуковий спектр у плазмі зі скінченною стисливістю в наближенні двох слабко зачеплених хвильових гармонік.

3. Розробити код чисельного розрахунку альфвенівсько-звукового неперервного спектру та дослідити структуру цього спектру в оптимізованих стелараторах лінії „Вендельштайн”.

4. Отримати рівняння, придатні для опису неідеальних альфвенівських хвиль, шляхом додання неідеальних поправок до рівнянь редукованої ідеальної МГД та дослідити за допомогою цих рівнянь властивості кінетичних альфвенівських власних мод у плазмі оптимізованих стелараторів.

5. Отримати інкременти нестійкостей цих мод на енергійних іонах.

Об'єкт дослідження – альфвенівські нестійкості у плазмі оптимізованих стелараторів.

Предмет дослідження – альфвенівські власні моди та альфвенівський континуум.

Методи дослідження – при виведенні рівнянь редукованої ідеальної МГД використано розкладання за малим оберненим аспектним відношенням е, яке в наближенні високих в (відношення тиску плазми до тиску магнітного поля) дозволяє зберегти в рівняннях найважливіші ефекти, пов'язані з тиском плазми, без залучення вищих порядків по е; чисельні обчислення альфвенівсько-звукового неперервного спектру виконувались за допомогою QZ алгоритму – стандартного алгоритму розв’язку алгебраїчної спектральної задачі, матриці для якої отримуються в результаті розкладання отриманих у роботі диференціальних рівнянь редукованої ідеальної МГД в ряд Фур'є за кутовими змінними; при отриманні наближених розв'язків диференціальних рівнянь здійснювалося розкладання рівнянь у ряд Тейлора поблизу очікуваної точки локалізації мод та перетворення Фур'є за радіальними змінними, після чого виводились рівняння Шредингера, для отримання наближених розв'язків яких використовувались методи теорії ВКБ.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що в роботі

1. Відкрито новий тип альфвенівських власних мод – альфвенівські власні моди, існування яких пов’язане з дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації стелараторів, (англ. Mirror-Induced Alfvйn eigenmodes, або скор. MAE).

2. Відкрито кінетичні альфвенівські власні моди, пов’язані з дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації стелараторів, (KMAE) та досліджено їх властивості. Зокрема, показано, що ці моди можуть дестабілізуватися енергійними частинками в чотириперіодному реакторі „Геліас” (HSR4/18).

3. Вперше отримано лінійні рівняння редукованої ідеальної МГД для неосесиметричних тороїдальних пристроїв з великим аспектним відношенням, у яких послідовно враховано ефекти стисливості, градієнта тиску та поздовжнього струму плазми і які є справедливими для мод глобального характеру (тобто мод з довільними, не обов'язково великими значеннями хвильових чисел).

4. Вперше отримано лінійні рівняння для неідеальних альфвенівських мод, викликаних довільними гармоніками магнітної конфігурації неосесиметричних тороїдальних термоядерних пристроїв.

Практичне значення одержаних результатів. Відкриті в роботі ідеальні та кінетичні альфвенівські моди, викликані дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації стеларатора, можуть впливати на утримання високоенергійних іонів в цих пристроях. Слід очікувати, що ефект дзеркальних мод буде домінуючим у центрі плазми стелараторів, бо в центрі плазми всі гармоніки магнітної конфігурації, крім дзеркальних та еліптичних, прямують до нуля. В плазмі нульового тиску MAE моди не існують, у той час як KMAE моди можуть існувати, тому вивчення останніх має самостійне значення. Існування альфвенівських мод, викликаних дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації, підтверджено експериментально: проведено ототожнення спостережуваних в одному з розрядів стеларатора W7-AS високочастотних альфвенівських коливань з MAE модами [5].

В роботі розроблено код COBRAS (Continuum BRanches of Alfvйn and Sound waves) чисельного розрахунку МГД континууму в тороїдальних пристроях, який може бути корисним при дослідженні МГД активності плазми в цих пристроях. За допомогою цього коду було розраховано альфвенівсько-звуковий континуум для одного з розрядів стеларатора W7-AS. Показано, що взаємодія альфвенівських коливань з повільними магнітозвуковими може істотним чином змінювати низькочастотну частину спектру повної МГД.

За допомогою виведених в роботі систем диференціальних рівнянь для ідеальних та неідеальних альфвенівських мод можна отримати інформацію про властивості цих мод, зокрема про їх структуру. Знання структури мод дозволяє сформулювати умови виникнення нестійкостей, пов'язаних з дестабілізацією цих мод швидкими іонами.

Особистий внесок автора. Роботи, покладені в основу дисертації, виконані в співавторстві. Конкретний особистий внесок здобувача є таким:

У роботах [1,5,8] здобувачем були отримані рівняння для альфвенівських власних мод у різних наближеннях магнітної конфігурації та для різних типів зачеплення хвильових гармонік; також досліджувався континуум отриманих рівнянь.

У роботах [2,9,10] виведення основних рівнянь та розробка чисельного коду COBRAS виконані здобувачем разом з к. т. н. Ю. В. Яковенком. Доведення самоспряженості отриманих рівнянь виконано здобувачем особисто. За допомогою коду COBRAS здобувачем був порахований альфвенівсько-звуковий континуум для одного з розрядів стеларатора W7-AS.

У роботі [3] частина рівнянь, які використовувались при виведенні результуючої системи рівнянь та доведенні її самоспряженості, були отримані здобувачем.

У роботах [4,7,11,12] базові системи рівнянь та рівняння для локалізованих мод отримані здобувачем. Ним також були отримані наближені аналітичні розв’язки для різних типів кінетичних мод.

У роботі [6] здобувачем були отримані аналітичні вирази, які характеризують вплив скінченного тиску плазми на властивості MAE мод.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на таких міжнародних конференціях та наукових зустрічах:

1. XXVII Конференція Європейського фізичного товариства з керованого синтезу та фізики плазми (м. Будапешт, Румунія, 2000 р.) [7].

2. VII Технічна нарада МАГАТЕ з енергійних частинок у системах з магнітним утриманням (м. Ґетеборг, Швеція, 2001) [8].

3. XIX конференція МАГАТЕ з енергії синтезу (м. Ліон, Франція, 2002) [5].

4. Всеукраїнська конференція студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики Еврика-2003 (м. Львів, 2003 р., доповідь представлялась здобувачем) [9].

5. XXX конференція Європейського фізичного товариства з керованого синтезу та фізики плазми (м. Санкт-Петербург, Російська Федерація, 2003 р., доповідь представлялась здобувачем) [10].

6. Технічна нарада МАГАТЕ з новітніх концепцій та теорії стелараторів (м. Ґрайфсвальд, Німеччина, 2003 р., доповідь представлялась здобувачем) [6].

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 12 робіт, з них 4 – в фахових журналах, що відповідають перелікам ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку літератури. Повний обсяг дисертації складає 112 сторінок і 22 рисунки, розміщені на цих сторінках. Список використаних літературних джерел налічує 92 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовується важливість та актуальність виконаних у дисертаційній роботі досліджень альфвенівських хвиль у стелараторах, здійснюється історичний огляд надрукованих раніше робіт з даної тематики. Обговорюється наукова новизна отриманих результатів та їх практичне значення.

У першому розділі розповідається про проведені в дисертаційній роботі дослідження низькочастотної частини континууму ідеальної МГД в тороїдальних термоядерних пристроях з магнітним утриманням плазми. В першому підрозділі цього розділу виводиться базова система рівнянь – система рівнянь редукованої ідеальної МГД – та обговорюється зв’язок отриманих рівнянь з аналогічними рівняннями, отриманими в інших роботах.

Рівняння редукованої ідеальної МГД виводяться з рівнянь ідеальної МГД у наближенні адіабатичності коливань плазми. У всіх рівняннях утримано лише величини, лінійні за малими збуреннями. Ключовим моментом редукції є припущення про характерні частоти ? досліджуваних хвиль

де ? – малий параметр, vA – альфвенівська швидкість, a – малий радіус плазми. Це припущення дозволяє відділити характерні частоти швидких магнітозвукових хвиль від частот альфвенівських та повільних магнітозвукових хвиль. У роботі розглядаються пристрої з малим оберненим аспектним відношенням, пропорційним до ?. Кривина силових ліній магнітного поля та поздовжній градієнт вважаються величинами першого порядку за ?. У той же час поперечні градієнти збурених та більшості рівноважних величин не вважаються малими. Припускається, що диференціювання за просторовими координатами компонент рівноважного магнітного поля додає один порядок малості за ?. Також використано наближення високих ? (тобто вважається ? ~ ?), яке дозволяє утримувати найважливіші ефекти плазмового тиску без залучення вищих порядків за параметром ?. При цьому збурення повного тиску плазми, тобто суми термодинамічного та магнітного тисків, виявляється величиною другого порядку за ?. Умову рівності нулю збурення повного тиску плазми вибрано за одне з рівнянь системи. Друге рівняння системи отримується з умови неперервності збурення електричного струму та узагальненого закону Ома. Отримана система рівнянь редукованої ідеальної МГД описує зачеплені альфвенівські та повільні магнітозвукові коливання. В рівняннях збережені доданки, пов’язані з обмінними, балонними та гвинтовими нестійкостями. Рівняння узгоджуються з аналогічними рівняннями, отриманими в інших роботах, якщо застосувати прийняті в цих роботах наближення.

У другому підрозділі першого розділу досліджується низькочастотна частина континууму ідеальної МГД (область частот альфвенівських та повільних магнітозвукових коливань) у наближенні двох слабко зачеплених хвильових гармонік у стелараторі. В альфвенівському континуумі присутні щілини, пов’язані з гармоніками розкладання у ряд Фур’є магнітної конфігурації. Щілини розташовуються поблизу частот перетину гілок циліндричного континууму щ = щ(мн), де

k¦?,? – поздовжня компонента хвильового вектора, горизонтальною рискою позначена альфвенівська швидкість, у якій замість величини магнітного поля взято її значення, усереднене на магнітній осі, R0 – великий радіус тора, м та н – номери відповідної гармоніки магнітної конфігурації (~ exp(ми – нNц), и і ц – полоїдальний і тороїдальний кути, відповідно), N – число тороїдальних періодів поля, й* – значення обертального перетворення в точці перетину.

Третій підрозділ присвячено дослідженню неперервного спектру ідеальної МГД у реальних конфігураціях оптимізованих стелараторів. (Розглядаються стеларатори лінії „Вендельштайн” та реактор „Геліас”.) Спершу на підставі оцінок ширин та положень деяких щілин альфвенівської частини континууму в наближенні двох слабко зачеплених хвильових гармонік показано необхідність розгляду взаємодії багатьох гармонік для обрахунку реального континууму. Далі проаналізовано взаємодію чотирьох хвильових гармонік. Зроблено якісний висновок щодо поведінки щілин континууму: при зростанні величин параметрів зачеплення щілини „відштовхують” одна одну, уникаючи взаємоперекриття. Обчислення альфвенівсько-звукового континууму для випадку, коли в плазмі присутні багато взаємодіючих хвильових гармонік, здійснювались за допомогою коду COBRAS. Кодом COBRAS було пораховано континуум для одного з розрядів у стелараторі „Вендельштайн” 7-AS (Рис. 1). З експерименту бралися значення плазмового в, обертального перетворення й і коефіцієнти розкладань у ряди Фур'є величин g11/B04 та B02. Показано, що взаємодія між альфвенівськими та повільними магнітозвуковими коливаннями приводить до появи альфвенівсько-звукових щілин та зміни розмірів і положень низькочастотних альфвенівських щілин. Зокрема, альфвенівська щілина (1,0) зсувається догори на 12 % та звужується на 35 % у порівнянні з випадком, коли стисливістю знехтувано. Як і слід було очікувати, вплив стисливості на високочастотну область альфвенівського спектру виявився нехтовно малим.

Рис. 1. Альфвенівсько-звуковий континуум у стелараторі W7-AS. Позначення: Щ=?R0/vA(0) – безрозмірна частота; товсті вертикальні лінії – перерізи альфвенівської частини континууму; тонкі вертикальні лінії – перерізи звукової частини континууму; розриви ліній відповідають щілинам у континуумі. Сірим кольором позначено випадок, коли зачепленням між альфвенівськими та повільними магнітозвуковими коливаннями штучно знехтувано; чорним кольором – реальну ситуацію. Щілини позначено параметрами зачеплення (м,н) та буквами AA для альфвенівських щілин, SS для звукових щілин і AS для альфвенівсько-звукових щілин. Кривими лініями показано наближені положення та розміри щілин, обраховані за допомогою процедури коду, яка виконує розмітку щілин.

У другому розділі досліджуються альфвенівські власні моди дискретного спектру у стелараторах. Перший підрозділ цього розділу присвячений вивченню альфвенівських власних мод дискретного спектру у плазмі з в = 0. З метою розв’язання системи радіальних рівнянь для альфвенівських власних мод був розроблений код BOA-E (Branches of Alfvйn modes – Extended). Коефіцієнти рівнянь обраховувались на підставі даних реактору „Геліас”. У наближенні однорідної плазми, в якій збуджені дві хвильові гармоніки, було знайдено кілька мод, зачеплених через гвинтові (м = 2, н = 1) гармоніки магнітної конфігурації, (англ. Helicity-Induced Eigenmodes, скор. HAE21 ). Частоти цих мод лежать під верхньою кривою континууму в верхній половині щілини (тобто вище частоти перетину гілок циліндричного альфвенівського континууму). Для MAE мод результати обрахунків виявились несподіваними: відповідна щілина альфвенівського континууму виявилась порожньою.

Було проведено також аналітичне дослідження наближених розв’язків рівнянь для радіально локалізованих альфвенівських мод. Розкладанням системи двох радіальних рівнянь у ряд Тейлора поблизу точки локалізації та здійсненням перетворення Фур’є було отримано рівняння Шредингера. Профіль залежності ефективного потенціалу від змінної, Фур’є-спряженої до радіальної координати, (радіального хвильового числа) визначається типом зачеплення. Для хвильових гармонік, зачеплених через дзеркальні гармоніки магнітної конфігурації, ефективний потенціал не допускає існування локалізованих розв’язків. Однак, для HAE21 мод локалізовані розв’язки існують. Частоти цих мод розташовані у верхній половині щілини при додатному знаку ширу обертального перетворення та в нижній половині щілини в протилежному випадку, що узгоджується з результатами чисельних обрахунків. У першому випадку частоти мод щl задовольняють рівнянню

де l = 0,1…, е(2,1) > 0 – деякий параметр зачеплення, з» 1 – параметр, обернено пропорційний до ширу. Було також отримано наближені аналітичні розв’язки для загального випадку зачеплення хвильових гармонік.

У другому підрозділі досліджено вплив скінченного плазмового в на альфвенівські власні моди. При цьому в системі радіальних рівнянь у доданках зі скінченним в потрібно було враховувати гармоніки Фур’є магнітної конфігурації до другого порядку включно за е. Було проведено наближені чисельні та аналітичні обчислення спектру альфвенівських власних мод у реакторі HSR 4/18. Результати узгоджуються як якісно, так і кількісно. Зокрема, було показано, що MAE моди в стелараторах можуть існувати лише в плазмі зі скінченним в.

Третій розділ присвячено вивченню неідеальних альфвенівських власних мод. Основна увага приділяється ефектам скінченності ларморівського радіусу іонів основної плазми. У першому підрозділі виведено векторне та система радіальних рівнянь для власних мод, у яких враховано ці ефекти. Отримано рівняння Шредингера для локалізованих мод аналогічно до того, як це робилось у попередньому розділі. Дослідження розв’язків цього рівняння в плазмі малого тиску проводиться у другому підрозділі.

На Рис. 2 показано результати дослідження для KMAE мод. Знайдено кінетичні альфвенівські власні моди, утворені дзеркальними та гвинтовими гармоніками магнітної конфігурації (KMAE та KHAE21 моди, відповідно). Частоти неідеальних альфвенівських мод завжди розташовані над відповідною щілиною континууму. Показано, що при спаданні обертального перетворення з радіусом спектр KHAE21 мод має тонку (дублетну) структуру. Локалізовані альфвенівські моди завжди мають так зване „радіаційне загасання” (англ. radiative damping), яке можна інтерпретувати як тунелювання через потенціальний бар’єр.

Рис. 2. (a) Графік ефективної потенціаль-ної енергії, коли всі неідеальні ефекти враховуються (тонка лінія); і в припущен-ні нехтовно малого радіаційного загасан-ня, яке розглядається як тунелювання через потенціальний бар’єр (товста лінія)

(b) Графік розв’язку рівняння Шредингера у випадку, коли радіаційним загасанням знехтувано, (в центрі наближено дорівнює хвильовій функції квазідискретного спектру).

Було досліджено також можливість дестабілізації KMAE мод б-частинками, утвореними в результаті реакцій синтезу, в чотириперіодному (з N = 4) реакторі „Геліас” HSR4/18. Показано, що інкремент нестійкості KMAE мод слабко залежить від радіального хвильового числа l і має той же порядок що й інкремент нестійкості MAE мод з тими ж хвильовими числами, локалізованих при тому ж радіусі. В другому підрозділі отримано вираз для частот кінетичних альфвенівських власних мод у плазмі зі скінченним в.

Досліджено вплив кінетичних ефектів на ідеальні MAE моди. Знайдено критичне значення в, при перевищенні якого вплив кінетичних ефектів на MAE моди стає нехтовним. Можна очікувати, що при менших значеннях в врахування кінетичних ефектів приводитиме до спотворення спектру MAE мод у верхній частині щілини і зникненню частини мод у нижній частині щілини. У третьому підрозділі обговорюються перші результати чисельних обрахунків неідеальних альфвенівських мод. Для KMAE мод узгодження з аналітичними результатами достатньо добре.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розвинено лінійну теорію альфвенівських хвиль у стелараторах. Ця теорія вдосконалює аналогічну теорію, розроблену для токамаків, однак, не випливає безпосередньо з неї через принципово різні геометрії магнітних конфігурацій токамаків та стелараторів (відсутність аксіальної симетрії у стелараторах). Особлива увага в роботі приділялась оптимізованим стелараторам лінії „Вендельштайн”, зокрема, реактору „Геліас”, проект якого є в стані розробки.

Головні результати даної роботи можна сформулювати таким чином:

1. Відкрито альфвенівські власні моди нового типу, існування яких обумовлене дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації стеларатора, та досліджено їх властивості. Зокрема, показано, що на властивості цього нового типу альфвенівських власних мод істотним чином впливає величина градієнта тиску плазми.

2. Отримано замкнену систему рівнянь редукованої ідеальної МГД, яка описує МГД коливання з частотами, набагато меншими, ніж частоти швидких магнітозвукових хвиль, у стелараторах та токамаках з великим аспектним відношенням. У рівняннях послідовно було враховано ефекти стисливості, градієнта тиску та поздовжнього струму плазми. Рівняння є самоспряженими. Вони придатні для опису мод глобального характеру.

3. Створено код обрахунку МГД континууму в тороїдальних пристроях COBRAS. Він не вимагає великих машинних ресурсів і, коли зачеплення хвильових гармонік не дуже сильне, дозволяє достатньо просто ідентифікувати щілини континууму.

4. Отримано лінійні рівняння для неідеальних альфвенівських мод в неосесиметричних тороїдальних термоядерних пристроях.

5. За допомогою цих рівнянь відкрито неідеальні моди нового типу (тобто відмінні від кінетичних тороїдальних альфвенівських власних мод) – кінетичні альфвенівські власні моди, утворені дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації стелараторів, та досліджено їх властивості. Розгляд взаємодії хвиля-частинка для цих мод показав, що вони можуть дестабілізуватися енергійними частинками в чотириперіодному реакторі „Геліас” (HSR4/18).

Отримані в дисертації результати є завершеними теоретичними розробками, які описують властивості альфвенівських мод в стелараторах. Відкриті в роботі MAE та KMAE моди можуть впливати на утримання високоенергійних іонів, також бути корисними для діагностики плазми та вилучення з неї „попелу”. Причому, ефекти, пов’язані з цими модами будуть домінуючими поблизу центру плазми, де не малими є лише дзеркальні та еліптичні гармоніки магнітної конфігурації. Існування альфвенівських мод, утворених дзеркальними гармоніками, підтверджено експериментально. Відповідний науковий рівень та достовірність отриманих в роботі результатів базуються на фізичній обґрунтованості запропонованих моделей досліджуваних типів мод, використанні сучасних методів математичної і теоретичної фізики, коректності проведених аналітичних та чисельних розрахунків, узгодженості виведених рівнянь та їх розв'язків з відповідними результатами, отриманими в інших роботах.

Код COBRAS дозволяє робити не тільки якісні, а й кількісні висновки про властивості альфвенівського континууму в реальних неосесиметричних тороїдальних термоядерних пристроях.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Wobig H., Yakovenko Yu. V., and Fesenyuk O. P. Alfvйn continuum and high-frequency eigenmodes in optimized stellarators // Physics of Plasmas. – 2001. – Vol. 8, № 2. – P. 491–509.

2. Fesenyuk O. P., Kolesnichenko Ya. I., Wobig H., Yakovenko Yu. V. Reduced MHD equations for Alfvйn eigenmodes in stellarators // Збірник наукових праць Інституту ядерних досліджень, спеціальний випуск: роботи, що доповідались на Міжнародній нараді „Новітні концепції та теорія стелараторів” 28–31 травня 2001. – Київ, 2001. – № 4(6). С. 105–110.

3. Fesenyuk O. P., Kolesnichenko Ya. I., Wobig H., Yakovenko Yu. V. Ideal magnetohydrodynamic equations for low-frequency waves in toroidal plasmas // Physics of Plasmas. – 2002. – Vol. 9.,
№ 5. – P. 1589–1595.

4. Fesenyuk O. P., Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Wobig H., Yakovenko Yu. V. Kinetic mirror-induced Alfvйn eigenmodes in Wendelstein-type stellarators // Plasma Physics and Controlled Fusion. – 2004. – Vol. 46, ?. 1. – P. 89–104.

5. Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Wobig H., Yakovenko Y. V., Fesenyuk O. P. Alfvйn eigenmodes in Helias configurations (part I): Report IPP III/261 / Max-Planck-Institut fьr Plasmaphysik, Garching bei Mьnchen. – 2000. – 65 ?.

6. Lutsenko V. V., Kolesnichenko Ya. I., Weller A., Werner A., Wobig H., Yakovenko Yu. V., Fesenyuk O. P. Peculiarities of destabilization of Alfvйn modes by energetic ions in stellarators // Fusion Energy 2002: Proceedings of the 19th IAEA Conference. – Lyon, 2002. IAEA-CN-94-TH/P.3–16

7. Fesenyuk O. P., Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Wobig H., Yakovenko Yu. V. Nonideal Alfvйn eigenmodes in Wendelstein-type stellarators // IAEA Technical Meeting on Innovative Concepts and Theory of Stellarators September 29–October 1 2003: Proceedings. – Greifswald, Germany, 2003, – Tu. VIII ( /stellarator/TCM2003/).

8. Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Wobig H., Yakovenko Y. V., Fesenyuk O. P. Alfvйn eigenmode structure in Helias configurations // Controlled Fusion and Plasma Physics: Abstracts of the 27th EPS Conference, June 12–16, 2000. – Budapest, 2000. P. 88.

9. Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V.V., Wobig H., Yakovenko Y. V., Fesenyuk O. P. Alfvйn continuum and eigenmodes in Wendelstein-line stellarators // Abstracts of the 7th IAEA Technical Committee Meeting on Energetic Particles in Magnetic Confinement Systems, Gцteborg, 2001. – Vienna: International Atomic Energy Agency, 2001. P. 69.

10. Колесниченко Я. І., Яковенко Ю. В., Луценко В. В., Вобіґ Г., Фесенюк О. П. Альфвенівські та звукові неперервні спектри у стелараторах типу Helias. // Міжнародна конференція студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики Еврика-2001, Львів, 16-18 травня 2001 року: Збірник тез. – Львів, 2001. С. 51.

11. Фесенюк О. П., Яковенко Ю. В., Колесниченко Я. І. Кінетичні альфвенівські власні моди у стелараторах // Всеукраїнська конференція студентів і молодих науковців з теоретичної та експериментальної фізики Еврика-2003, 21-23 травня 2003 року: Збірник тез. – Львів, 2003. С. 156.

12. Kolesnichenko Ya. I., Lutsenko V. V., Fesenyuk O. P., Wobig H., Yakovenko Yu. V. Nonideal Alfvйn eigenmodes in stellarators // Controlled Fusion and Plasma Physics: Abstracts of the 30th EPS Conference, July 7–11, 2003. – St. Petersburg, 2003. P-3.4

Фесенюк О. П. Альфвенівські власні коливання та континуум магнітогідродинамічних хвиль у стелараторах . – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.08 – фізика плазми. – Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, Харків, 2005.

Досліджено спектр альфвенівських коливань у стелараторах. Відкрито альфвенівські моди нового типу – альфвенівські власні моди, викликані дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації. Показано істотність впливу тиску плазми на їх властивості. Виведено редуковані лінійні рівняння ідеальної магнітної гідродинаміки (МГД), призначені передусім для вивчення альфвенівських власних мод у стелараторах з великим аспектним відношенням. У рівняннях враховано ефекти тиску та стисливість плазми. Розроблено чисельний код COBRAS, призначений для дослідження МГД континууму. Проведено обрахунки для одного з розрядів стеларатора „Вендельштайн” 7-AS. Показано, що ефекти стисливості є істотними в низькочастотній частині МГД континууму. Отримано також рівняння для неідеальних альфвенівських власних мод. У цих рівняннях враховано ефекти скінченності ларморівського радіуса іонів основної плазми, паралельного електричного поля та дисипативні механізми. За допомогою цих рівнянь показано, що у стелараторах лінії „Вендельштайн” можуть збуджуватись кінетичні альфвенівські власні моди, викликані дзеркальними гармоніками магнітної конфігурації. Досліджено дестабілізацію цих мод альфа частинками, які можуть виникати в результаті реакцій синтезу в реакторі „Геліас”.

Ключові слова: стеларатор, альфвенівські власні моди, МГД континуум, кінетичні альфвенівські власні моди.

Fesenyuk O. P. Alfvйn eigenmodes and the continuum of the magnetohydrodynamic waves in stellarators. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Science in Physics and Mathematics by speciality 01.04.08, Plasma Physics. – Karazin Kharkov National University, Kharkov, 2005.

The spectrum of Alfvйn waves in stellarators is studied. Alfvйn modes of a new type, the Alfvйn eigenmodes induced by the mirror harmonics of the magnetic configuration, are discovered. The plasma pressure is shown to influence their properties considerably. Reduced linear equations of ideal magnetohydrodynamics are derived; these equations are intended, first of all, for studying Alfvйn eigenmodes in the stellarators with high aspect ratio. They take into account the effects of the plasma pressure and compressibility. The numerical code COBRAS, which calculates the MHD continuum, is developed. Using this code, the MHD continuum in a particular shot of the Wendelstein 7-AS stellarator was calculated. The compressibility effects are shown to be important in the low-frequency part of the MHD continuum. Equations for nonideal Alfvйn eigenmodes are obtained. They include effects of the finite Larmor radius of the bulk plasma ions and the finite parallel electric field, as well as dissipative mechanisms. It is shown with the use of these equations that the kinetic Alfvйn eigenmodes induced by the mirror harmonics of the magnetic configuration do exist in stellarators of the Wendelstein line. The destabilization of these modes by alpha particles arising as a result of fusion reactions is studied.

Keywords: stellarator, Alfvйn eigenmodes, MHD continuum, kinetic Alfvйn eigenmodes.

Фесенюк А. П. Альфвеновские собственные колебания и континуум магнитогидродинамических волн в стеллараторах. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.08 – физика плазмы. – Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, 2005.

Исследован спектр альфвеновских колебаний в стеллараторах. Открыты альфвеновские моды нового типа – альфвеновские собственные моды, вызванные зеркальными гармониками магнитной конфигурации (англ. аббревиатура MAE). Показано, что на их свойства существенным образом влияет давление плазмы. В частности, эти моды не существуют при в = 0 (в – отношение давления плазмы к давлению магнитного поля) в приближении идеальной магнитной гидродинамики (МГД). Учёт кинетических эффектов при в, меньших некоторого критического значения, приводит к искажению спектра MAE мод в верхней части щели и исчезновению части мод в нижней части щели. Выведены редуцированные линейные уравнения идеальной МГД, предназначенные, прежде всего, для изучения альфвеновских собственных мод и МГД континуума в стеллараторах с большим аспектным отношением. В уравнениях учитываются эффекты давления и сжимаемости плазмы. Разработан численный код COBRAS, который использует эти уравнения и предназначен для исследования континуума МГД колебаний. Код COBRAS является модификацией кода COBRA, ориентированного на расчёты только альфвеновского континуума. Кодом COBRAS были произведены расчёты МГД континуума для одного из разрядов оптимизированного стелларатора “Вендельштайн” 7-AS. Показано, что сжимаемость плазмы существенным образом влияет на низкочастотную часть МГД континуума. В частности, взаимодействие между альфвеновскими и медленными звуковыми колебаниями приводит к изменению положения и размеров альфвеновских щелей (в расчётах альфвеновская щель (1,0) поднялась 12 % и сузилась на 35 % по сравнению со случаем, когда взаимодействие искусственно отключалось) и возникновению альфвеновско-звуковых щелей. Получены также уравнения для неидеальных альфвеновских колебаний. В этих уравнениях учтены эффекты конечности ларморовского радиуса ионов основной плазмы, параллельного электрического поля и диссипативные механизмы. С помощью этих уравнений было показано, что в стеллараторах линии “Вендельштайн” могут возбуждаться кинетические альфвеновские собственные моды, вызванные зеркальными гармониками магнитной конфигурации (KMAE моды). Исследована дестабилизация этих мод альфа частицами, которые образуются в результате реакций синтеза в реакторе “Гелиас”. Показано, что давление плазмы может существенным образом влиять на кинетические альфвеновские собственные моды. Однако, KMAE моды, в отличие от их идеальных партнёров, могут существовать и при в = 0.

Ключевые слова: стелларатор, альфвеновские собственные моды, МГД континуум, кинетические альфвеновские собственные моды.

Фесенюк Олександр Петрович

Альфвенівські власні коливання та континуум магнітогідродинамічних хвиль у стелараторах (Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук).

Підписано до друку 17 червня 2005 р. Формат 60х90/16. Папір офс.

Офс. Друк. Обл. вид. арк. 0,7. Наклад 100 прим. Зам.

Інститут ядерних досліджень НАН України,

03680, м. Київ, пр. Науки, 47.