КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ФЕДОРЯНИЧ Тетяна Василівна

УДК.519.21

КРИТЕРІЇ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ГІПОТЕЗ

ПРО ВИГЛЯД КОРЕЛЯЦІЙНОЇ ФУНКЦІЇ

ГАУССОВИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ ТА ПОЛІВ

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, професор кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ІВАНОВ Олександр Володимирович,

Міжнародний Християнський університет – Київ,

завідувач кафедри загальноекономічних дисциплін.

кандидат фізико-математичних наук, доцент

КУРЧЕНКО Олександр Олексійович,

Київський національний університет імені

Тараса Шевченка, доцент кафедри

математичного аналізу.

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова

НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “ 28 ” лютого . о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус , механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська , 58).

Автореферат розісланий “20” січня 2005 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Оцінювання спектральних та кореляційних функцій випадкових процесів і полів та побудова критеріїв для ідентифікації цих функцій були і залишаються актуальним напрямком в теорії випадкових процесів. Інтенсивне вивчення цих проблем в першу чергу пов’язане з широким застосуванням отриманих результатів при розв’язанні різноманітних задач статистики випадкових процесів.

До цього часу будувались критерії, в яких використовувались відхилення кореляційних функцій процесів та полів від корелограм в рівномірній метриці на відрізку . Це давало змогу побудувати критерій з ймовірністю помилки першого роду меншою ніж задана, але ймовірність помилки другого роду могла бути досить великою.

В дисертаційній роботі побудовано критерій, в якому використовуються оцінки для розподілу відхилення корелограми від кореляційної функції в метриці простору . Цей критерій забезпечує, що ймовірність помилки першого роду буде меншою ніж задана. Застосування одночасно побудованого критерію та критерію, в якому використовується відхилення корелограми від кореляційної функції в рівномірній метриці на відрізку , дає змогу істотньо зменшити ймовірність помилки другого роду.

Ці критерії використовуються коли спостереження ведеться на заданому інтервалі . В багатьох випадках можна проводити спостереження на інтервалі , де досить велике та від досліду до досліду змінюється. При цьому можна використовувати критерії, що базуються на вивченні граничної поведінки корелограм при . Недоліком цих критеріїв є те, що невідома швидкість збіжності у відповідних граничних теоремах, тому невідомо для яких значень можна застосовувати ці критерії.

В дисертаційній роботі досліджено поведінку корелограм при досить великих , а саме, знайдено оцінки відхилень нормованих корелограм від кореляційної функції в рівномірній метриці на . Це дало змогу побудувати критерій перевірки гіпотез про вигляд кореляційної функції на інтервалі , який можна застосовувати при будь-яких великих . При отриманні результатів роботи використовувалась теорія квадратично гауссових випадкових величин. В дисертаційній роботі були отримані нові нерівності для розподілу квадратичних форм від цих величин. Ці нерівності мають самостійний інтерес для цієї теорії. Все це й визначає актуальність тематики дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № БФ03806 “Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, що виконується на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка і входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії просторів випадкових величин та її застосування при оцінюванні чи ідентифікації кореляційної функції та при побудові критеріїв перевірки гіпотез щодо вигляду кореляційних функцій випадкових процесів та полів. В роботі вивчаються наступні задачі:

розвиток теорії випадкових величин з простору ;

оцінювання розподілу квадратичних форм від випадкових величин з та границь в середньому квадратичному таких квадратичних форм;

застосування отриманих нарівностей для оцінювання чи ідентифікації кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу, що заданий на компактній множині;

застосування отриманих результатів для оцінювання чи ідентифікації кореляційної функції однорідного та ізотропного неперервного в середньому квадратичному випадкового поля заданого на кулі в ;

оцінювання розподілу супремума квадратично гауссових випадкових процесів на некомпактній множині та застосування отриманих нерівностей для дослідження стаціонарних в широкому розумінні квадратично гауссових випадкових процесів;

оцінювання розподілу відхилення корелограми від кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу в рівномірній метриці на .

Методика дослідження. В роботі використовуються методи теорії передгауссових випадкових процесів та випадкових процесів з просторів Орлича, а також методи функціонального аналізу та статистики випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів.

Отримано нові нерівності для розподілу квадратичних форм від випадкових величин з простору та границь в середньому квадратичному таких квадратичних форм.

Для стаціонарного гауссового випадкового процесу знайдено оцінки розподілу відхилення корелограми від кореляційної функції в метриці простору та побудовано новий критерій перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процессу, що заданий на компактній множині.

Побудовано новий критерій перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції однорідного та ізотропного неперервного в середньому квадратичному гауссового випадкового поля заданого на кулі.

Отримано оцінки для розподілу супремума квадратично гауссових випадкових процесів, що задані на некомпактній множині.

Для стаціонарного гауссового випадкового процесу знайдено оцінки розподілу відхилення корелограми від кореляційної функції в рівномірній метриці на та побудовано новий критерій перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу заданого на .

Практичне значення отриманих результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в статистиці випадкових процесів та в галузях, в яких вона використовується.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував п'ять наукових статей, з них дві у співавторстві з науковим керівником проф. Козаченком Ю.В., в яких Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою.

Апробація результатів. Результати дисертації доповідались та обговорювались на

сьомій Міжнародній школі "Математичні та статистичні методи в економіці, фінансах та страхуванні" (Ласпі (Крим), 2003р.);

другій Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених "Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної та фінансової математики" (Донецьк, 2003р.);

десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004р.);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2003р.);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі математичного аналізу математичного факультету Ужгородського національного університету (Ужгород, 2004р.).

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано п'ять статей в фахових виданнях та троє тез доповідей на конференціях.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, розбитих на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 140 сторінок. Список використаних джерел займає 17 сторінок та включає 135 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та за спорідненими питаннями, висвітлює деякі результати щодо схожих проблем, отриманих іншими авторами.

Другий розділ присвячений дослідженню випадкових величин з простору та квадратично гауссових випадкових процесів. Розглядається задача оцінювання експоненціальних моментів квадратичних форм від випадкових величин з простору та їх границь в середньому квадратичному. Отримано оцінки зверху й знизу для розподілів квадратичних форм від квадратично гауссових випадкових величин та границь в середньому квадратичному таких квадратичних форм. Оскільки простір квадратично гауссових випадкових величин є підпростором простору Орлича при , то спочатку наводяться необхідні для подальшої роботи означення та твердження про простори Орлича випадкових величин.

Означення 2.4. Нехай – деяка параметрична множина, - сім’я сумісно гауссових випадкових величин, (наприклад, _гауссів випадковий процес). Простір називається простором квадратично гауссових випадкових величин, якщо випадкові величини з можна зобразити у вигляді

де

– гауссовий випадковий вектор для ,

випадкові величини належать , –

довільна симетрична матриця,

або випадкові величини з - це границі в середньому квадратичному послідовностей випадкових величин , .

Означення 2.5. Випадковий вектор називається квадратично гауссовим випадковим вектором, якщо всі його компоненти , належать простору

Означення 2.6. Випадковий процес називається квадратично гауссовим відносно , якщо для всіх випадкові величини належать простору та

Основним результатом другого розділу є наступна теорема.

Теорема 2.3. Нехай - квадратично гауссів випадковий вектор, , - деяка симетрична матриця. Тоді для випадкової величини , , мають місце наступні нерівності

для будь-яких та , де та

для .

Наслідок 2.5. Нехай для послідовностей випадкових величин та симетричних матриць , виконуються умови теореми 2.3. Тоді твердження цієї теореми справедливе для

Отримані оцінки знизу є новими, а оцінки зверху покращують відомі результати.

В третьому розділі розглянуто сепарабельний дійсний стаціонарний гауссів випадковий процес. За допомогою отриманих раніше нерівностей, для цього процесу побудовано критерій перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції. Оцінювання здійснюється по спостереженням за однією траєкторією процесу, а за оцінку кореляційної функції, при цьому, вибрано корелограму.

Нехай , – сепарабельний дійсний центрований стаціонарний гауссів випадковий процес з неперервною кореляційною функцією

визначений на ймовірнісному просторі . Нехай - траєкторія процесу. Розглядатимемо стандартну оцінку кореляційної функції, а саме, корелограму

Оскільки функція - парна, то розглядатимемо лише додатні .

Теорема 3.1. Для оцінки кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу виконуються нерівності

для де , та

для

В цьому випадку

Нехай – гіпотеза, яка полягає в тому, що при , кореляційна функція сепарабельного дійсного центрованого стаціонарного гауссового випадкового процесу дорівнює при цьому за оцінку вибираємо . Для перевірки гіпотези пропонується наступний критерій.

Критерій 3.1. Для заданого рівня довіри знайдемо такі додатні та , що

де

Гіпотеза приймається, якщо

і відкидається в протилежному випадку.

При використанні наведеного критерію ймовірність помилки першого роду не перевищує .

В розділах 3.2 та 3.3 розглядається сепарабельний дійсний стаціонарний гауссів випадковий процес центрований (в розділі 3.2) та з (в розділі 3.3), а за оцінку кореляційної функції випадкового процесу вибрано відповідно

де та – відомі значення випадкового процесу, , та

де – траєкторія стаціонарного процесу, та – оцінки для математичного сподівання:

Для оцінок та кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу виконуються нерівності теореми 3.1 та критерій 3.1, а та обчислюються наступним чином:

В четвертому розділі розглядається однорідне та ізотропне неперервне в середньому квадратичному гауссове випадкове поле, для якого побудовано критерій перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції. Оцінювання здійснюється по спостереженням за випадковим полем на кулі, а за оцінку кореляційної функції використовується сферичне середнє випадкового поля.

Нехай випадкове поле спостерігається на кулі і нехай спектральна функція поля абсолютно неперервна.

В розділі 4.1 за оцінку кореляційної функції в точці r вибрано

де

– сфера радіуса з центром в ,

та - відповідно об’єм кулі та площа поверхні сфери радіусів

та ,

- міра Лебега на .

Теорема 4.3. Для оцінки кореляційної функції однорідного та ізотропного неперервного в середньому квадратичному гауссового випадкового поля виконуються нерівності

для , , де

та

для

В цьому випадку

,де

- сферична бесселева функція,

- спектральна функція поля .

Нехай – гіпотеза, яка полягає в тому, що при кореляційна функція випадкового поля дорівнює , при цьому, за оцінку функції виберемо . Для перевірки гіпотези можна використати наступний критерій.

Критерій 4.1. При деякому рівні довіри , знаходяться такі додатні та , що

де ,

Гіпотеза приймається, якщо

і відкидається в протилежному випадку.

В розділі 4.2 випадкове поле спостерігається на кулі , а за оцінку кореляційної функції в точці вибрано

де

,

- точки на сфері ;

- площа поверхні –го елемента розбиття сфери ;

точки на сфері , ;

– площа поверхні –го елемента розбиття сфери ;

;

.

Теорема 4.3 та критерій 4.1 виконуються і для оцінки .

П’ятий розділ присвячений знаходженню оцінок для розподілу супремума квадратично гауссових випадкових процесів заданих на некомпактній множині.

Нехай – сепарабельний скінченновимірний метричний простір. Припустимо, що простір можна зобразити у вигляді зліченного об’єднання компактних множин , , тобто . Розглянемо сепарабельний квадратично гауссів випадковий процес .

Припустимо, що існують такі неперервні строго монотонно зростаючі функції , що при , для яких виконуються нерівності

Введемо наступну систему позначень:

- функції обернені до ;

;

; - найменше число замкнених куль радіуса , що покривають ;

- монотонно зростаюча функція, така, що при та функція – опукла при .

Теорема 5.3. Нехай , неперервна функція та для всіх . Позначимо . Якщо для виконуються умови

1)

2)

3) ,

тоді для всіх виконується нерівність

де

Теорема 5.4. Якщо виконуються умови теореми 5.3, то для довільних та справедлива нерівність

де

В розділі 5.2 розглянуто стаціонарний в широкому розумінні квадратично гауссів випадковий процес.

Нехай - стаціонарний в широкому розумінні квадратично гауссів випадковий процес та для всіх

Нехай , де - строго монотонно зростаюча неперервна функція, така, що при та

Нехай , таке розбиття , що , , та при та нехай – деяка неперервна функція, така, що .

Позначимо , , .

Дотримуватимемось позначень, введених в розділі 5.1, врахувавши, що для стаціонарного випадкового процесу для всіх Тоді має місце теорема.

Теорема 5.5. Нехай – стаціонарний сепарабельний квадратично гауссів випадковий процес та виконуються умови

1)

2)

3) для деякого та будь-якого

Тоді для довільних та має місце нерівність

де

Теорема 5.6. Нехай – стаціонарний сепарабельний квадратично гауссів випадковий процес.

Якщо виконуються умови

1)

2)

3) для деякого та будь-якого

то для довільних та має місце нерівність

де

В розділі 5.3 для дійсного стаціонарного гауссового випадкового процесу знайдено оцінки для відхилення корелограми від кореляційної функції в рівномірній метриці та побудовано критерій перевірки гіпотези про вигляд його кореляційної функції.

Нехай – дійсний неперервний в середньому квадратичному центрований стаціонарний гауссів випадковий процес з кореляційною функцією . За оцінку виберемо корелограму

Нехай існує спектральна щільність випадкового процесу , що інтегровна за Лебегом в квадраті .

Позначимо . – квадратично гауссів випадковий процес. Нехай простір визначається у такий спосіб

Проведемо розбиття простору , де

,, , при .

Дотримуючись введених раніше позначень, для нашого випадку отримаємо

;

;

- функція обернена до ,

- довільна константа, ,

;

,

- найменше число замкнених куль радіуса , що покривають ,

, - монотонно зростаюча функція, така, що при , та функція – опукла при .

Теорема 5.7. Нехай , - деяка неперервна функція, . Позначимо

Якщо виконуються умови

1)

2)

то для довільного виконується нерівність

де

Позначимо .

Теорема 5.8. Нехай та нехай функція визначена для всіх , де - деяке фіксоване число, що більше 4, та .

Якщо для деякого виконується умова

то для довільного виконується нерівність

де

, -відома стала, що визначається через та

Теорема 5.8 дозволяє будувати критерій для перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції випадкового процесу.

Нехай – дійсний неперервний в середньому квадратичному центрований стаціонарний гауссів випадковий процес з спектральною щільністю та кореляційною функцією

За оцінку виберемо корелограму і вважатимемо, що

Нехай – гіпотеза, яка полягає в тому, що при кореляційна функція випадкового процесу дорівнює Для перевірки гіпотези пропонується наступний критерій.

Критерій 5.1. При деякому рівні довіри знаходиться таке , що

де таке, що ,

, - відома стала, що визначається через та ,

, .

Гіпотеза приймається, якщо для

і відкидається в протилежному випадку.

Отриманий критерій можна застосовувати при досить великих (для простоти вважаємо, що , де , а похибка першого роду при цьому не перевищуватиме . Використання одночасно критерію 5.1 та критерію, побудованого в третьому розділі дозволяє істотньо зменшити похибку другого роду при перевірці гіпотез про вигляд кореляційної функції гауссового випадкового процесу по спостереженням за його траєкторією на скінченому проміжку довільної довжини.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розглядається простір квадратично гауссових випадкових величин, що міститься в просторі передгауссових випадкових величин . Важливість цього класу зумовлена широким використанням випадкових величин з та квадратично гауссових випадкових процесів при оцінюванні спектральних та кореляційних характеристик випадкових процесів та полів, зокрема гауссових.

Отримано нерівності для розподілу квадратичних форм від випадкових величин з простору та границь в середньому квадратичному таких квадратичних форм. Отримані оцінки є новими (нерівності знизу ) та покращують раніше відомі (нерівності зверху).

Для стаціонарного гауссового випадкового процесу та однорідного і ізотропного неперервного в середньому квадратичному випадкового поля знайдено оцінки для відхилень нормованих корелограм від кореляційних функцій в метриці простору Отримані нерівності дозволяють будувати критерії перевірки гіпотез про кореляційні функції випадкових процесів та полів. В дисертаційній роботі побудовано нові критерії перевірки гіпотез про кореляційну функцію стаціонарного гауссового випадкового процесу заданого на компактній множині та кореляційну функцію однорідного та ізотропного неперервного в середньому квадратичному гауссового випадкового поля заданого на кулі.

В дисертаційній роботі також розглядається задача оцінювання розподілу супремума квадратично гауссових випадкових процесів заданих на . Отримано нерівності для розподілу супремума таких процесів, які застосовуються до стаціонарних в широкому розумінні квадратично гауссових випадкових процесів та дають змогу уточнити оцінки для розподілу супремума такого класу процесів.

Розглядається дійсний стаціонарний гауссовий випадковий процес, для якого знайдено оцінки відхилень нормованих корелограм від кореляційної функції в рівномірній метриці на . Це дало змогу побудувати критерій перевірки гіпотез про вигляд кореляційної функції на інтервалі , який можна застосовувати для досить великих

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Козаченко Ю.В., Федорянич Т.В. Критерій перевірки гіпотез про коваріаційну функцію гауссового стаціонарного процесу. // Теорія. ймовірн. та матем. статист. - Вип. 69 - 2003. - С.63-78.

Федорянич Т.В. Критерій перевірки гіпотез про коваріаційну функцію однорідного та ізотропного гауссового випадкового поля. // Вісник Київського університету ім.Т.Г.Шевченка. - Вип. 2 -2003. - С.43-48.

Fedoryanich T. Estimator of covariance function for Gaussian stationary stochastic process and Gaussian random field // Theory of Stochastic Processes. -- 9(25), № 3-4. -2003. - P. 20-26.

Козаченко Ю.В., Федорянич Т.В. Критерії перевірки гіпотез про коваріаційну функцію. // Доповіді Національної академії наук України. - №5 -2004. - С.11-16.

Федорянич Т.В. Одна оцінка кореляційної функції для гауссового випадкового процесу. // Вісник Київського університету ім.Т.Г.Шевченка. - Вип. 2 -2004. - С.72-76.

Федорянич Т.В. Про розподіл корелограм стаціонарних гауссових процесів. // Abstracts of the Seventh International School on Mathematical and Statistical Methods in Economics, Finance and Insurance. - 8-13 September, 2003. - Laspi, Crimea, Ukraine. -P.22.

Федорянич Т.В. Один критерій перевірки гіпотез про коваріаційну функцію гауссового випадкового процесу. // Прикладна статистика актуарна та фінансова математика - №1-2 - 2003. -С.241.

Федорянич Т.В. Один критерій перевірки гіпотези про коваріаційну функцію однорідного та ізотропного гауссового випадкового поля. // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. - Київ, 2004. - С. 644.

АНОТАЦІЯ

Федорянич Т.В. Критерії для перевірки гіпотез про вигляд кореляційної функції гауссових випадкових процесів та полів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05. – теорія ймовірностей та математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії просторів випадкових величин та застосуванню цієї теорії для оцінювання чи ідентифікації кореляційних функцій гауссових стаціонарних випадкових процесів та однорідних і ізотропних гауссових випадкових полів. В роботі отримано нові нерівності для розподілу квадратичних форм від випадкових величин з простору та їх границь в середньому квадратичному. Для квадратично гауссових випадкових процесів заданих на знайдено оцінки розподілу супремума цих процесів. Отримані нерівності застосовуються для дослідження стаціонарних в широкому розумінні квадратично гауссових випадкових процесів.

Розглядається сепарабельний дійсний стаціонарний гауссів випадковий процесс . За оцінку для кореляційної функції випадкового процесу вибрано корелограму, що досліджувалась в роботах Булдигіна В.В. та Козаченка Ю.В. і їх учнів. Знайдено оцінки для розподілу відхилення корелограми від кореляційної функції в метриці простору і в рівномірній метриці на та побудовано нові критерії для перевірки гіпотези про вигляд кореляційної функції стаціонарного гауссового випадкового процесу. Для однорідного та ізотропного неперервного в середньому квадратичному гауссового випадкового поля заданого на кулі в знайдено оцінки розподілу відхилення сферичного середнього від кореляційної функції поля в метриці простору та побудовано новий критерій перевірки гіпотези про вигляд його кореляційної функції.

Ключові слова: простори, стаціонарні випадкові процеси, кореляційна функція, корелограма, критерій про вигляд кореляційної функції.

ANNOTATION

Fedoryanich T.V. The criteria for testing of hypotheses about the form of correlation function of Gaussian random processes and fields. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.05. – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2005.

The thesis is dedicated to development of theory of spases of random variables and processes and application of this theory for estimation or identification of correlation functions of Gaussian stationary random processes and homogeneous and isotropic Gaussian random fields. The new inequalities for distribution of quadratic forms depending on square Gaussian random variables and their mean-square limits are obtained. The estimations for distribution of supremuma for square Gaussian random processes defined on are found. Obtained inequalities are applied for investigation of stationary in wide sense square Gaussian random processes.

The separable real-valued stationary Gaussian stochastic process is considered. The correlogram is choosen as estimator of correlation function of this process. It was investigated by Buldygin V.V. and Kozachenko Yu.V. and their disciples. The estimations for distribution of correlogram deviation from correlation function in -metric and in uniform metric on are obtained and new criteria for testing of hypothesis about correlation function of Gaussian stationary random processes are constructed. For homogeneous and isotropic mean-square continuous Gaussian random field defined on the ball in the inequalities for distribution of spherical mean deviation from its correlation function in -metric are found and new criterion for testing of hypotheses about its correlation function is constructed.

Key words: spaces, Gaussian stationary random process, correlation function, correlogram, criteria about the form of correlation function.

АННОТАЦИЯ

Федорянич Т.В. Критерии для проверки гипотез о виде корреляционной функции гауссовых случайных процессов и полей.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05. – теория вероятностей и математическая статистика. – Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Оценивание корреляционных функций случайных процессов и полей, а также построение критериев для оценивания или отождествления этих функций были и остаются актуальным направлением в теории случайных процессов. Интенсивное изучение этих проблем связано с широким применением полученых результатов при решении задач математической статистики. Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории пространств случайных величин и процессов и применению этой теории для оценивания корреляционных функций гауссовых стационарных случайных процессов и однородных и изотропных гауссовых случайных полей. В работе получены новые неравенства для распределения квадратических форм от случайных величин с пространства и их пределов в среднем квадратическом. Для квадратично гауссовских случайных процессов, определенных на , получены оценки для распределения супремума этих процессов. Полученные неравенства применяются для исследования стационарных в широком смысле квадратично гауссовских случайных процессов.

В частности, в работе рассматривается сепарабельный действительнозначный стационарный гауссовский процесс с нулевым средним и непрерывной корреляционной функцией . В качестве оценки для корреляционной функции случайного процесса рассмотрим коррелограмму (эмпирическую корреляционную функцию)

Основные свойства коррелограм изучались в работах Булдыгина В.В. , Козаченка Ю.В. и их учеников. Предположим, что у процесса существует спектральная плотность , интегрируемая по Лебегу в квадрате , т.е.

Найдены новые оценки для распределения отклонений коррелограммы случайного процесса от его корреляционной функции в метрике пространства и равномерной метрике на . При помощи этих оценок построены новые критерии проверки гипотез о виде корреляционной функции стационарного гауссовского случайного процесса.

В качестве оценки для корреляционной функции однородного и изотропного непрерывного в среднем квадратическом гауссового случайного поля , определенного на шаре в рассматривается сферическое среднее

где

– сфера радиусса с центром в ,

и - соответственно объем шара и площадь поверхности сферы радиуссов и ,

- мера Лебега на .

Получены оценки для распределения отклонения сферического среднего от корреляционной функции поля в метрике пространства и построен новый критерий для проверки гипотезы о виде его корреляционной функции.

Ключевые слова: пространства, стационарный гауссовый случайный процесс, корелляционная функция, коррелограмма, критерии о виде корреляционной функции.