ГАНДЖА Іван Сергійович

УДК 532.591

Особливості розповсюдження крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини

01.04.02 – теоретична фізика

Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті фізики НАН України, м. Київ.

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Лукомський Василь Петрович, Інститут фізики НАН України, старший науковий співробітник відділу теоретичної фізики.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор
Вільчинський Станіслав Йосипович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

завідувач кафедри квантової теорії поля;

доктор фізико-математичних наук, професор
Селезов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України,

провідний науковий співробітник,

завідувач відділом хвильових процесів;

Провідна установа: Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Львів.

Захист відбудеться “21” червня 2005 р. о “14.30” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.08 при Київському національному універ-си-теті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, пр. Глушкова 6, фізичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного універ--си-тету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Воло-ди-мир-ська 58.

Автореферат розісланий “6” травня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Свечнікова О.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Хвильовий рух морської поверхні завжди зачаро-ву-вав та над-звичайно привертав увагу людства. Чарівні, але одночасно й небезпечні океан-ські та морські хвилі викликали інтерес весь час, коли людина займалася ри-баль-ством, морською торгівлею та мореплавством, задовго до того, як розпочалося фор-маль-не наукове вивчення океану. Динаміка поверхні моря настільки складна, що і сьогодні розуміння певних властивостей хвиль на воді та їх моделювання пред-став-ляють справжній виклик як з наукової, так і прикладної точок зору.

Поверхневі хвилі відіграють ключову роль у різноманітних морських процесах та численних аспектах взаємодії гідросфери і атмосфери. Так, захоплення бульба-шок повітря, що відбувається при перекиді й руйнуванні хвиль, та турбулентність морської поверхні підсилюють процес переносу кисню в океан, що є визначальним для морських організмів. З іншого боку, подібні механізми сприяють проникненню в гідросферу відповідальних за парниковий ефект газів (таких як вуглекислий), що моделює річні зміни клімату і є важливим фактором у глобальному потеплінні. На мілкій воді хвилі взаємодіють з підводними рослинами та осадовими породами, часто викликаючи інтенсивну ерозію узбережжя. Масоперенос, що створюють по-вер-хне--ві хвилі, є важливим фактором у великомасштабному розповсюдженні за-бруд-нень.

Раптове виникнення надзвичайно високих і крутих хвиль у відкритому морі скла--дає серйозну небезпеку кораблям та морським спорудам (платформи, нафтові свердловини тощо). Маленькі судна, такі як рибальські шхуни і траулери, перекида-ються та інколи навіть губляться в штормових морях. Більші кораблі та морські кон-струкції зазнають серйозних ушкоджень, що можуть складати загрозу для життя. Тому знання навантажень на морські споруди та суда, що викликаються хвильовим рухом води в несприятливих морських умовах, є визначальним для того, щоб забез-пе-чити їх безпеку та мінімізувати ризик аварії. Супутникове сканування поверхні океану надає цінну інформацію для передбачення штормів та спрямування судів в обхід складних морських умов. Для того, щоб розкодувати мікрохвильовий сигнал радару, відбитий морською поверхнею, необхідне детальне знання форми та дина-міки великоамплітудних (крутих) хвиль та механізмів їх руйнування.

Реальні фізичні процеси, що відбуваються в земній гідросфері, настільки різно-ма-нітні, що жодна фізична модель не може врахувати всі фактори, які обумов-лю-ють хвильовий рух морської поверхні. Тому спочатку завжди досліджуються спро--щені моделі, а потім узагальнюються для врахування більш специфічних вла-сти-востей оточуючого середовища. Подібні моделі, хоча часто й тільки якісно, опи-сують біль-шість з численних хвильових явищ.

В даній роботі вивчається хвильовий рух поверхні рідини, обумовлений лише одним фактором – силою тяжіння. Тому хвилі, що розглядаються, носять назву гравітаційних. Для рідини з малою в’язкістю, якою є вода, найбільш адекватною моделлю (такою, що при мінімумі врахованих умов відображає реальні властивості фізичної системи) в цьому випадку є модель ідеальної рідини, де нехтуються ефекти в’язкос-ті й теплопровідності. Хоча вивчення руху гравітаційних хвиль на поверхні ідеальної рідини розпоча-лося ще в 19 сторіччі з класичних праць Стокса, Релея, Герстнера, Кортевега і де Вріза та інших, дослідження властивостей хвиль великої амплітуди, коли амплітуду хвилі не можна вважати малою порівняно з довжиною хвилі, стало можливим лише в останні десятиріччя 20 сторіччя завдяки револю-цій-ному розвитку комп’ютерної техніки. Незважаючи на значний прогрес у вивченні динаміки таких суттєво нелінійних хвиль, які носять назву крутих хвиль (хвиль з крутим фронтом), деякі особливості їх роз-по-всю-дження досі вимагають деталь-ного теоретичного вивчення та пояснення. Зокре-ма, не до кінця з’ясованими залиша-ють-ся механізми перекиду та руйнування хвиль на глибокій воді, утворення штормових хвиль (явище дев’ятого валу), процес за-гострен-ня гре-бенів гравітаційних хвиль з ростом їх амплітуди.

Зазначені питання і визначають актуальність теми “Особливості роз-повсю-джен-ня крутих гравітаційних хвиль на поверхні рідини”.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота є складовою частиною держбюджет-ної теми “Кінетичні, електричні і оптичні властивості маловимірних систем” (номер держреєстрації 0104U000353), а також виконувалась в межах проекту INTAS №99–1637 “Хвилі великої амплітуди: сильно нелінійні поверхневі хвилі в океані”.

Мета дослідження – здійснити теоретичний аналіз динаміки кру-тих гравітацій-них хвиль на поверхні рідини в межах канонічної (найпростішої) мо-делі гідродина-мі-ки, де (1) рідина вважається ідеальною та нестисливою; (2) рух рідини потен-ціальний (безвихровий); (3) атмосферний тиск вважається сталим на всій по-вер-хні та нехтується рух повітря над рідиною; (4) нехтується вплив поверхневого натягу та оточуючого середовища; (5) дно вважається плоским (нехтується його топографія).

Об’єкт дослідження – гравітаційні хвилі на поверхні рідини.

Предмет дослідження – властивості крутих прогресивних періодичних двови-мір-них (однорідних вздовж вісі, що перпендикулярна до напряму їх розповсю-джен-ня) гравітаційних хвиль сталої форми в межах канонічної моделі гідродинаміки.

Методи дослідження. Для пошуку та аналізу періодичних розв’язків канонічної моделі за-сто-со-вано методи математичної фізики – метод розділення змінних, Фур’є розклади, методи сумування рядів для прискорення їх збіжності, теорія стійкості; чисельні методи з використанням алгоритмів з довільною комп’ю-терною арифмети-кою – метод Ньютона, швидке перетворення Фур’є, метод колокацій. Вірогідність одержаних результатів забезпечується детальним аналізом точності чисельних роз-в’яз-ків, використанням кількох різних методів для підтвердження та порівняння ре-зуль-татів обчислень.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі одержано такі нові результати:

Знайдено нове раніше невідоме сімейство сингулярних періодичних потенціаль-них гравітаційних хвиль з загостреними гребенями (нерегулярні хвилі), відмінні від відомих стоксових хвиль. Показано, що залежність фазової швидкості граві-та--ційних хвиль від амплітуди (амплітуд-но-частотна характеристика) має неодно-значний характер в області великих амплітуд, близьких до граничної. При кож-ній амплі-туді існують гра-віта-ційні хвилі з двома різними конфігураціями про-фі-лю вільної поверхні: хвиля з округлим гребенем (сток-со-ві хвилі) та хвиля з загос-тре-ним гребе-нем (нерегулярні хви-лі). Ці хвилі мають різні фазові швидкості, енергію, імпульс тощо.

Показано, що вище зазначене положення має місце і для субгармонічних гравіта-ційних хвиль – модульованих періодичних хвиль великої амплітуди з гребенями різної висо-ти, які утворю-ються внаслідок нестійкостей стоксових хвиль.

Підтверджено гіпотезу Гранта, що сингулярність стоксової хвилі макси-мальної амплітуди з кутом 120o на гребені утворюється шляхом поєднання кіль-кох син-гулярностей 90o.

Розроблено новий спектральний метод розра-хун-ку стаціонарних періодичних хвиль у випадку нескінченної глибини, оптимізований для ефективного обчис-лен-ня кру-тих хвиль, що мають загострену форму, – узагальнений метод Фур’є роз-кладів. Запро-поно-вано нову загальну реалізацію методу зви-чай-них Фур’є роз-кла-дів для довільної глиби-ни, включаючи випадок субгармонічних хвиль.

Практичне значення одержаних результатів. Реальні фізичні об’єкти, до яких застосовна теорія, викладена в дисертаційній роботі, є великомасштабні морські й океанські хвилі метрової та більшої довжини. Одержані теоретичні результати ва-жли-ві для розуміння та пояснення процесу перекиду і руйну-вання морсь-ких і океан-ських хвиль. Дисертаційна робота присвячена постановці, аналізу та розв’язку сут-тє-во неліній-них задач, що значно підвищує її наукову, академічну та методологічну цінність. Розроблені методи розрахунку хвиль на поверхні рідини можуть бути ви-ко-ристані в інших областях теоретичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в статтях [1–10].

У роботах [1, 3] здобувач вста-новив існування нового сімейства гравітаційних хвиль (нерегулярні хвилі) чисельно. Здобувачеві також належать технічна та прог-рам-на (комп’ю-терна) реалі-зація методу Фур’є роз-кла-дів, включаючи аналітичні ви-ра-зи для матриць Яко-бі, використання швидкого перетворення Фур’є, обчислень з до-віль-ною комп’ю-тер-ною арифмети-кою; підтвер-дження одержаних резуль-татів не-за-леж-ним мето-дом ко-ло-кацій; роз-раху-нок ліній струму та особливих точок. У роботі [2] здо-бу-ва-чеві нале-жать технічна та програмна реаліза-ція методу дро-бових Фур’є розкладів; за-сто-су-ван-ня неліній-но-го перетворення горизонтального масштабу для при-ско--рення збіж-ності Фур’є розкладів профілю вільної поверхні; огляд літератури; ана-ліз феномена Гіб-бса; ілюстрація того, що одержані нерегулярні хвилі мають загострені гребені при всіх амплітудах, для яких ці хвилі існують; чисельне підтвер-дження гіпотези Гранта. У роботі [7] здо-бу-ва-чеві належать узагаль-нен-ня методу для розрахунку субгар-мо--ніч--них хвиль; до-слі-дження хвиль на стій-кість. У методологіч-них роботах [4, 5, 8–10] здобувачеві належать технічна та про-грам-на (комп’ю-терна) реалізація методів; дослідження розв’язків на стій-кість; уза-галь--нення методів для врахування субгармонік; всі чисельні розра-хунки.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації представлено на 13 між-народних конференціях: 21st Int. Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Warsaw, Poland, 2004); 5th Euromech Fluid Mechanics Conf. (Toulouse, France, 2003); EGS-AGU-EUG Joint Assembly (General Assembly of the European Geophysical Society, Nice, France, 2003); Conf. on Computational Physics (San Diego, Cali-for-nia, 2002); 27th General Assembly of the European Geophysical Society (Nice, France, 2002); 26th General Assembly of the European Geophysical Society (Nice, France, 2001); Conf. on Computational Physics (Aahemn, Germany, 2001); Progress in Nonlinear Science Conf. (Nizhny Novgorod, Russia, 2001); Міжн. конф. студентів і мо-лодих науковців з теоретичної та експери--мен-таль-ної фізики Евріка–2001 (Львів, Укра-ї-на, 2001); XIII Congress on Mathematical Physics (London, UK, 2000); Міжн. конф., присвячена сто-річ--чю від дня народження М.О. Лав--рен--тьєва (Київ, Україна, 2000); Міжн. конф. “Су-часні проблеми матема-ти-ки” (Чер-нівці–-Київ, Україна, 1998); Міжн. конф. “Асим-птотичні та якісні мето-ди в теорії нелінійних коливань” (Київ, Україна, 1997).

Публікації. Всі результати дисертації опубліковано в 10 статтях у наукових фа-хо-вих виданнях та 19 тезах конференцій.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох роз-ді-лів основної частини, загальних висновків, списку використаних джерел і 11 додат-ків. Загальний обсяг дисер-тації – 194 сто-рінки, основна частина – 134 сторінки, додатків – 60 сторі-нок, список літератури включає 187 найменувань на 11 сторінках. Робота містить 9 таблиць на 9 сторінках та 26 ілюстрацій на 23 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ роботи

У вступі обґрунтовано актуальність і доцільність теми дисертації; визначено мету, об’єкт і предмет дослідження; викладено його методологічні та теоретичні за-са-ди; розкрито наукову новизну, теоретичне і практичне значення одержаних ре-зуль-татів; зазначено особистий внесок здобувача; наведено інформацію про апроба-цію результатів дослідження та публікації.

У першому розділі – “Рівняння руху та основні властивості гравітаційних хвиль на поверхні рідини” – розглядаються рівняння руху ідеальної рідини та ка-но-ніч-на модель розповсюдження гравітаційних хвиль на її поверхні, аналізуються на-бли-ження цієї моделі, окреслюються основні властивості відомого сімейства роз-в’яз-ків каноніч-ної моделі – стоксових хвиль та аналізуються відомі методи їх роз-рахунку [6]. Викладений матеріал логічно підводить до невирішених задач, що ви-зна-ча-ють основні цілі дисертаційної роботи.

Канонічна модель. Рівняння руху. Стаціонарні періодичні двовимірні гравіта-ційні хвилі на поверхні рідини та пов’язані з ними потоки всередині рідини опису-ють-ся в межах канонічної моделі гідродинаміки такими рівняннями:

, ; (1)

, ; (2)

, ; (3)

; (4)

де (1) – рівняння Лапласа в усій області, що зайнята рідиною; (2) – динамічна гра-нич--на умова на вільній поверхні – рівняння Бер-нуллі; (3) – кінематична гранична умова на вільній поверхні – рівняння неперервності потоку (вільна поверхня є лі-нією стру-му); (4) – гранична умова на дні (дно є лінією струму); означає усе-ред-нен-ня за просторовим періодом. Обрані система відліку та по-зна-чення наведено на рис. 1. При цьому h – глибина рідини відносно середнього рівня хви-лі, що збі-гається з рів-нем спокійної води (); – час; – по-тен-ціал швидкості: ; – функ-ція стру-му, що визначається умовами Коші-Рімана ; ; – функція струму у власній системі відліку хвилі, де хвиля не-ру-хома; B – стала Бернуллі, для випадку нескінченної гли-бини (глибока вода) ;

– імпульс хви-лі.

Безрозмірні змінні обрано так, що хвильовий вектор , довжина хвилі , при-скорення вільного падіння , густина рідини .

Оскільки рівняння руху консервативні, то початкова умова, що має накладатись додатково до граничних умов, однозначно визначає енергію системи, що є вільним параметром моделі. Замість енергії в якості вільного параметра зручніше обирати безрозмірну амплітуду (висоту, крутизну) хвилі – вертикальну відстань від впадини до гре-бе-ня, нормовану на довжину хвилі:

. (5)

Таким чином, при фіксованій глибині h визначенню підлягають потенціал швид-кості , профіль вільної поверхні та фазова швидкість хвилі c за-лежно від одного вільного параметру – амплітуди хвилі A; через них виража-ти-муть-ся всі інші величини та параметри хвилі. Зокрема, лінії струму – траєкторії ча-сти-нок рідини (під частинками рідини розуміємо фізично нескінченно малі частинки моделі суцільного середовища) у власній системі відліку хви-лі – знаходяться з системи диферен-ціаль-них рівнянь

, . (6)

Незважаючи на всі зроблені спро-щен-ня, рівняння канонічної моделі залиша-ють-ся математично складними для розв’язку: (1) рівняння в загальному випадку хвиль великої амплітуди суттєво нелінійні (рів-нян-ня Бернуллі квадратичне за швидкістю); (2) граничні умови задані на невідомій вільній поверхні. Внаслідок цього точний роз-в’язок канонічної моделі можна знайти лише для хвиль нескінченно малої амплі-туди (лінійних хвиль), коли можна нехтувати нелінійністю граничних умов. Зокре-ма, фазова швидкість лінійної хвилі (у випадку глибокої води ); форма вільної поверхні є косинусоїда; швидкість частинок рідини нескінченно мала порів-ня-но з фазовою швидкістю хвилі. В іншому випадку можна знайти лише набли-же-ні апроксимації розв’язків канонічної моделі. При цьому на допомогу приходять чи-сель-но-аналітичні методи по-шу-ку наближених розв’язків нелінійних рівнянь, побу-до-ві яких присвячено методо-логічні роботи здобувача [4, 5, 8–10, 20, 25–29]. На ос-но--ві цих досліджень і реалізовано спектральні методи пошуку набли-же-них роз-в’язків ка-но-нічної моделі, розробці яких присвячено другий розділ дисертаційної ро-боти – “Спек-тральні методи розрахунку стаціонарних періо-дичних хвиль”.

Квадратична нелінійність рівняння Бернуллі. Два можливі види розв’язків.

З рівняння Бернуллі (2) для швидкості поверхневих частинок рідини маємо

. (7)

Видно, що внаслідок своєї квадратичності рівняння Бернуллі допускає як від’ємні, так і додатні значення швидкості частинок на поверхні рідини у власній системі від-лі-ку хвилі. Зокрема, швидкість частинки на гребені хвилі дорівнює

, . (8)

Розв’язки, для яких при всіх (і які на одному періоді мають лише один гребінь і одну впадину Існують також розв’язки, що мають гребені різної висоти, – субгармонічні хвилі.), представляють сімейство відо-мих сток-со-вих хвиль, знак “–” у формулах (7) і (8). Відповідний потік рідини на-зи-ватимемо ре-гуляр-ним. Стоксові хвилі симетричні Гарабедян (1965 р.) довів, що взагалі не існують несиметричні розв’язки канонічної моделі, які на одному періоді мають лише один гребінь і одну впадину. як відносно гребеня, так і відносно впадини, і ру-хаються швидше за частинки рідини в усій облас-ті, що зайнята рідиною. При збіль--шен-ні амплітуди сток-сових хвиль швид-кість частин-ки рідини на гре-бені (у влас-ній системі відліку хвилі) зростає від значення для хвилі не-скін-ченно ма-лої ам-плітуди до граничного зна-чення для хвилі максималь-ної ампліту-ди – гра-нич-ної хвилі Стокса.

На гребені хвилі максимальної амплітуди потік нерухо-мий у власній системі від-лі-ку хвилі. Такі особливі точки, де швидкість потоку обер-та-ється в нуль, назива-ють-ся точками застою або критичними точками. З кінема-тич-ної граничної умови (3) видно, що в точці поверхні, де і , похідна невизначена, тобто має розрив, хоча сам профіль неперервний. Отже, якщо на гребені хвилі , то він утворює кут, де похідна має розрив. Такі хвилі назива-ти-ме-мо гостро-гребеневими. Знаме-нита теорема Стокса (1880 р.) полягає в наступно-му: якщо гребінь хвилі утворює кут, то він дорівнює 120o. Таким чином, гребінь гра-ничної хвилі Стокса утворює 120o кут.

Формули (7) і (8) не заперечують можливості існування іншого сімейства хвиль, коли швидкості частинок на певних ділянках вільної поверхні перевищують фазову швидкість хвилі. Проте, на даний момент однопараметричне сімейство сток-со-вих хвиль при кожному фіксованому h – єдине відоме сімейство розв’язків канонічної моделі з однаковими гребенями і впадинами. Якщо поверхневі частинки рідини рухаються швидше за саму хвилю, то це при-зво-дить до руйнування хвилі, тобто не можуть існу-ва-ти прогресивні гравітаційні Для гравітаційно-ка-пі-ляр-них хвиль (рух яких обумовлюється одночасно впливом сили тя-жіння та поверхневим натягом) ситуація інша. Існує одночасно кілька різних сімейств гравіта-цій-но-ка-пі-ляр-них хвиль, профілі яких при достатньо великих амплітудах не є однозначними кри-ви--ми, тоб-то швидкості частинок на певних ділянках вільної поверхні перевищують фазову швид-кість хвилі. Див. Debiane M., Kharif C. A new way for the calculation of steady periodic capillary-gra-ty waves on deep water // European Journal of Mechanics, B/Fluids. – 1997. – Vol. 16, № 2. – P. 257–275. хвилі сталої форми з . Умо-ва того, що горизонтальні швидкості частинок рідини на гребенях хвилі переви-щу-ють швид-кість са-мих гребенів, є традиційним критерієм руйну-ван-ня хвиль Banner M.L., Peregrine D.H. Wave breaking in deep water // Ann. Rev. Fluid Mech. – 1993. – Vol. . – P. 373–397. – P. 386.. Таким чи-ном, утво-рен-ня кута на гребені хвилі є індикатором початку її пере-киду і руй-ну-ван-ня.

Яким же розв’язкам тоді відповідає знак “+” у формулі (8)? Єдиним можливим варіантом є такий, що для кожного представника сімейства розв’язків зі знаком “+” справджуватиметься умова , тобто . Таким чином, з рівняння Бер-нуллі випливає, що окрім відомого сімейства стоксових хвиль, знак “–” у фор-му-лі (8), може існувати друге сімейство розв’язків, знак “+” у формулі (8), причому кожний представник цього сімейства має мати особливу (критичну) точку на гре-бе-ні, тоді як для сімейства стоксових хвиль таку властивість має лише гранич-на хвиля максимальної амплітуди. Отже, фундаментальна гіпотеза дисертаційної роботи полягає в то-му, що можуть існувати гостро-гребеневі хвилі з іншими амплітудами, ніж у граничної хвилі Стокса. Непряме підтвердження цьому припущен-ню забез-пе--чують експеримен-таль-ні спостереження того, що хвилі можуть перекида-тись і при амплітудах, значно менших за теоретично розра-хо-ва-ну амплітуду гра-нич-ної хвилі Стокса Монин А.С., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. – Л.: Гидрометеоиздат, 1985. – 376 с. – С. 105.. Зауважимо також, що доведення теореми Стокса не залежить від амплітуди хвилі, а, отже, не заперечує можливості існування гостро-гребеневих хвиль іншої ам-плітуди, ніж гранична хвиля Стокса. Чисельному обґрунтуванню да-ної гіпотези та ана-лізу процесу утворення граничної хвилі Стокса присвячено тре-тій розділ ди-сертаційної роботи – “Хвилі з загостре-ни-ми гребенями та нере-гу-лярні пото-ки”.

Спектральні методи розрахунку стаціонарних періо-дичних хвиль. Класич-ний метод Фур’є розкладів для пошуку розв’язків канонічної моделі фактично запо-чаткував Стокс (1847 р.), цей метод відомий також як перший метод Стокса. В ди-сертаційній роботі запро-поно-вано нову загальну реалізацію цього методу в термінах комплексних функцій для ви-пад--ку довільної глибини [3, 7, 23].

Обрізаний розклад Фур’є для потенціалу швидкості має вигляд

, , , (9)

де для зручності введено комплексну функцію R так, що , , ; * означає комплексне спряження. Розклад (9) автоматично задоволь-няє рівняння Лапласа (1) та умову на дні (4). Для нескінченної глибини () і (). Для профілю вільної поверхні маємо

, . (10)

При розклади (9) і (10) представляють точний розв’язок рівнянь ру-ху. В безпосередніх же розрахунках N і M скінченні, чим більше гармонік (коефі-ці-єн-тів розкладів) враховано, тим вища чисельна точність наближеного розв’язку. По-даль-ша процедура така: розклади (9), (10) підставляються в динамічну та кінематич-ну граничні умови (2), (3); прирівнюються коефіцієнти при однакових експонентах; одержується система нелінійних алгебраїчних рівнянь для невідомих коефіцієнтів (), () та фазової швидкості хвилі c. Ця система рівнянь роз-в’я-зується чисельно методом Ньютона, використовуючи швидке перетворення Фур’є для розрахунку гар--монік експоненціальних функцій. Коефіцієнти та в за-галь-ному випадку ком--плексні, для симетричних же хвиль вони дійсні.

З ростом амплітуди хвилі її гребені загострюються, а впадини сплощуються. При цьому коефіцієнти зви-чайних Фур’є розкладів (9), (10) спадають з ростом свого номера все повільніше, і для одержання достатньої точності при розрахунку хвиль загостреної форми необхідно враховувати значно більше число коефіцієнтів, ніж це дозволяє навіть найсучасніша комп’ютерна техніка. Тому в дисертаційній роботі для випадку нескінченної глибини за-пропоновано новий спектральний метод, оптимізова-ний для ефективного обчис-лення кру-тих хвиль, що мають загострену форму, – ме-тод дробових Фур’є роз-кладів та окреслено принцип його узагальнення на випадок скін-чен-ної глибини [2, 13, 15, 16].

Ідея методу полягає у виборі ефективнішого набору функцій, по яких роз-кла-да-єть-ся потенціал швидкості. Для цього було використано метод Ейлера суму-ван-ня ря-дів Хемминг Р.В. Численные методы: Пер. с англ. – М.: Наука, 1968. – 400 с. – С. 64.. Одержаний роз-клад потенціалу швидкості (для глибокої води) має вигляд

, (11)

де – вільний параметр для прискорення збіжності розкладу по-тенці-алу швидкості. При розклад (11) перетворюється в звичайний розклад Фур’є (9). При розклади (11) і (9) еквівалентні () для всіх , проте дро-бовий роз-клад (11) при збігається значно швидше. Тому для одержання одна-кової чи-сель-ної точності дробовий розклад (11) вимагає врахування значно меншого числа ко-ефі--цієнтів, ніж звичайний Фур’є розклад (9).

Для прискорення збіжності розкладу профілю вільної поверхні використано не-лі-нійне перетворення горизонтального масштабу Chen B., Saffman P.G. Numerical evidence for the existence of new types of gravity waves of permanent form on deep water // Stud. Appl. Math. – 1980. – Vol. 62. – P. 1–21.

, (12)

що зосереджує чисельний алго-ритм на області гребеня. Тоді в розкладі

, , (13)

при для одер-жан-ня тієї ж чи-сель-ної точності необхідно врахувати значно мен-ше число ко-ефі--цієнтів, ніж у ряді (10). Подаль-ша процедура аналогічна методу зви-чай-них Фур’є розкладів. При безпосередніх розрахунках значення віль-них пара-мет-рів і методу та співвідношення між числами N і M обираються такими, щоб загальна чисельна похибка була якнайменша. (Чисельна похибка визначається тим, наскільки точ-но наближені розклади (11) і (13) задовольняють динамічну та кінема-тичну гра-ничні умови на всьому періоді хвилі.) При розрахунку майже найвищих хвиль перевага точності методу дробових Фур’є розкладів над методом звичайних Фур’є розкладів складає від одного до десяти порядків залежно від амплітуди хвилі.

Зауважимо, що існують багато інших методів пошуку наближених розв’язків канонічної моделі. Переважна частина з них основана на методі конформних відо-бра-жень фізичної площини (де незалежними змінними є просторові координати та час) до оберненої площини (де незалежними змінними є потенціал швидкості та функція струму). Перевагою цих методів є те, що в оберненій площині вільна по-верхня – відома лінія . Визначальним же недоліком є те, що метод оберненої площини незастосовний до задач розрахунку тривимірних хвиль, які в останнє де-ся--тиріччя набувають все вагомішого значення, оскільки функція струму – суттєво двовимірне поняття. Для розрахунку тривимірних хвиль можуть бути використані лише методи фізичної площини, на яких, зважаючи на цю перспективу, і зосе-ре-джено методологічну частину дисертаційної роботи.

Утворення граничної хвилі Стокса. Гіпотеза Гранта. Яка природа сингуляр-ності граничної хвилі Стокса? Грант (1973 р.) показав Grant M.A. The singularity at the crest of a finite amplitude progressive Stokes wave // J. Fluid Mech. – 1973. – Vol. 59. – P. 257–262., що для стоксових хвиль, які не досягли граничної форми, критична точка лежить над гребенем хвилі за межами по-току в області його аналітичного продовження. З ростом амплітуди хвилі осо-блива точка та гребінь хвилі наближаються один до одного і в граничному випадку доти-ка-ються, при цьому профіль хвилі утворює кут (гребені хвиль майже гра-нич-ної амплітуди залишаються округлими). Проблема полягає в тому, що для будь-якої стоксової хвилі, навіть нескінченно близької до граничної, особлива точка має поря-док 90o, а не 120o, як в граничному випадку. Тому Грант висунув гіпотезу, що непе-рервний підхід до граничної хвилі Стокса можливий лише за умови, що син-гуляр-ність 120o утворюється шляхом поєднання кількох сингулярностей 90o. Про--те ані ма-те-ма-тичного, ані чисельного підтвердження гіпотези Гранта досі не бу-ло. Ди-сер-таційна робота представляє перше чи-сель-не підтвердження цієї гіпоте-зи [2, 12].

На рис. 2 для випадку нескінченної глибини зображено лінії струму (власна сис-те-ма відліку хвилі) поблизу гре-беня майже найвищих сток-со-вих хвиль при двох різ-них зна--чен-нях ам-пліту-ди хвилі разом з аналітичним про-довженням потоку за межі області, що зайнята рі-ди--ною. Відмітимо, що з ростом амплітуди гребінь хвилі за-гос-трю-ється, наближа-ю-чись до осо-бли-вої точки O (яка має порядок 90o). Видно також, що при над гре-бе-нем хвилі на деякій відстані від вертикальної вісі існу-ють дві додаткові си--метрич-ні особливі точки і . Ці побічні осо-бливі точки існують також і при A = 0.14092 (та, зрозуміло, й при ще менших амплі-ту-дах), але вони розташовані за межа-ми мас-штабу, обраного на рис. 2. Більш того, точки і є лише першими в ціло-му наборі подібних додаткових особливих точок, розта-шо-ва-них майже рівно-відда-ле-но одна від одної вздовж горизонтальної коорди-на-ти, збері-га-ючи при цьому май-же не-змін-не вертикальне положення при фіксованій ам-плітуді A. При збільшенні ам-пліту-ди особливі точки і (разом з усіма ін-ши-ми побічними точками) ру-ха-ють-ся в на-пря-мі центральної особливої точки O, при цьому відстань між усіма осо-бливими точ-ками зменшується. Таким чином, сингу-ляр--ність 120o гра-нич-ної хвилі Стокса дій-сно утворюється поєднанням кількох (а, мо--жливо, і нескін-чен-ного числа) сингу-ляр-нос-тей 90o, що підтверджує гіпотезу Гранта.

Нерегулярні хвилі. На рис. 3 зображено залеж-ність фазової швидкості c майже най-вищих хвиль від амплітуди A у випадку нескінченної глибини (криві розра-хо-ва-но методом дробових Фур’є розкладів). Стоксовим хвилям відповідає крива 1–2–4. При збільшенні амплітуди фазова швидкість стоксових хвиль монотонно зростає від зна-чен-ня для хвиль нескінченно малої амплітуди () доти, доки не досягає сво-го максимуму (точка 1, ). Отже, хвиля максимальної амплітуди (точ-ка 4, ) не є найшвидшою (а також не має найбільшу енер-гію та ім-пульс), це вперше встановив Лонге-Хіггінс (1975 р.). Пізніше Лонге-Хіггінс і Фокс (1978 р.) на основі асимптотичного аналізу показали, що фазова швидкість хвилі та її інші характеристики при підході до хвилі граничної форми взагалі мають нескін-чен-ну послідовність локальних мак-си-мумів і мінімумів. Перший локальний мінімум фазової швидкості хвилі зобра-же-но на рис. 3 точкою 2 (). Безпосередній же розрахунок вищих екстремумів фазової швидкості досі представляє надскладну технічну задачу. Лише кілька методів оберненої площини, зокрема метод Танаки Tanaka M. The stability of solitary waves // Phys. Fluids. – 1986. – Vol. 29, № 3. – P. 650–655. Автор вдячний професору Міцухіро Танаці за люб’язно надану копію комп’ютерної програми, де реалізовано цей метод., здат-ні виявити другий ло-каль-ний максимум (точка 3, ) та другий ло-каль--ний мінімум.

Головним результатом дисертаційної роботи є встановлення нового раніше не-ві-до-мого сімейства (за амплітудою A) наближених розв’язків канонічної мо-делі, зо-бра---же--ного на рис. 3 кривою 4–5. На відміну від гілки стоксових хвиль 1–2–4 (яку роз-ра-хо-вано з достатньою точністю так, що її положення не змінюється при подаль-шо-му зменшенні чисельної похибки) точності, яку вдається досягти на-віть за допо-мо-гою методу дробових Фур’є розкладів, недостатньо для стабілізації по-ложення кривої 4–5. Причиною цьому є сингулярність кожного представника одер--жаного сімейства розв’язків 4–5. Визначальною особливістю цих наближених роз-в’язків є те, що критична точка тепер знаходиться всередині області потоку. Це призводить до того, що лі-нії струму стають розривними поблизу гребеня хвилі, при цьому швидкість ча-сти-нок рідини навколо гребеня перевищує фазову швидкість хви-лі. Внаслідок цього такі наближені розв’язки та відповідний потік рідини було названо нерегу-ляр-ни-ми [1, 12, 17, 18, 21, 22].

Приклад нерегулярного потоку () поблизу гребеня хвилі наведено на рис. . Видно, що внаслідок чисельної похибки профіль нерегулярної хвилі , який скрізь залиша-єть-ся не-пе-рервною функцією, навколо гребеня не збігається з розрив-ною лінією струму , що також має описувати вільну по-верх-ню хвилі. В чому причина такої неточності? Яким точним розв’язкам канонічної мо-де-лі від-по-відають наближені нерегулярні потоки, тобто які форма та властивості нерегулярної хвилі, коли її чисельна похибка прямує до нуля? Точність розрахунків, яку на даний мо-мент вдалося досягти навіть спеціально роз-робленим методом дробових Фур’є роз-кла-дів, не дозволяє безпосередньо дати відповідь на ці питання. Проте, можна про-вести такі міркування.

Ідея полягає в тому, що осциляції, які показує профіль нерегулярної хвилі при підході до гребеня, та чітко виражений пік (надвишок), що при цьому утворює гре-бінь хвилі, є характерними ознаками феномену Гіббса Arfken G.B., Weber H.J. Mathematical Methods for Physicists. – 4 edn. – London: Academic Press, 1995. – 1029 p. – P. 836–839., коли (1) розривна функція або (2) неперервна функція з розривною похідною (слабкий розрив) апроксимуються об-рі-за-ним набором неперервних функцій. При цьому збільшення числа мод, що вра-хо-вуються, ніколи не призводить до повного зникнення феномену Гіббса, а лише до його більшої локалізації навколо сингулярності. Рисунок 5 показує, як змінюється профіль нере-гулярної хвилі поблизу гребеня при покра-щен-ні чисельної точності вна-слідок переходу від звичайних до дробових Фур’є розкладів. Видно, що надви-шок стискається як у вертикальному, так і в горизонтальному масштабах, при цьому положення найвищої точки гребеня залишається майже незмін-ним. Це в точності від--по-відає поведінці феномену Гіббса у випадку неперервної функції з розривною по-хід-ною. При збільшенні чисельної точності в 6 разів як вертикальний, так і го-ризонтальний масштаби надвишка зменшились приблизно в п’ять разів. При цьо-му відстань між особливою точкою та найвищою точкою гребеня зменшилась при-близно в чотири рази. При подальшому збільшенні чисельної точності слід очіку-ва-ти, що надвишок стиснеться в єдину точку на гребені хвилі, куди має піднятись особлива точка. Швидкість час-тин-ки рідини на гребені має зменшитись до нуля, а сам гребінь утворити кут по-дібно до граничної хвилі Стокса. При цьому профіль хвилі збігатиметься з лінією струму на всій вільній поверхні. З рис. 5 також видно, що при одній і тій же амплітуді регулярна стоксова та нерегулярна хвилі відрізняються лише поблизу гре-бе-ня – на решті періоду профілі цих двох хвиль май-же однакові.

Таким чином, наближені нерегулярні роз-в’яз-ки, представлені в дисертаційній роботі, відповідають сімейству гостро-гребеневих хвиль, що за своїми власти-вос-тя-ми подібні до граничної хвилі Стокса, але мають меншу амплітуду. На даний мо-мент не вдалося встановити, чи такі розв’язки існують при малих ампліту-дах, але для майже найвищих хвиль при кожній амплітуді існує два розв’язки канонічної моделі: регулярна стоксова хвиля з округлим гребенем та гостро-гре-бене-ва хвиля, що набли-же-но описується знайденими нерегулярними потоками. Наближені роз-в’яз-ки у ви-гля-ді нерегулярних хвиль одержано також і для скін-чен-ної глибини, від-повідні ре-зуль-тати представлено в тексті дисертаційної роботи.

Субгармонічні хвилі. Достатньо круті стоксові хвилі в певному діапазоні ам-плі-туд нестійкі відносно двовимірних субгармонічних збурень, що мають кратну дов--жину до довжини незбуреної хвилі , де m – натуральне число. В точках не-стій-костей внаслідок субгармонічних біфуркацій утворюються нові симетричні ста-ці-о-нарні розв’язки канонічної моделі з періодами, в m разів більшими за період нестій-кої стоксової хвилі, – cубгармонічні хвилі. Вони характеризуються тим, що на од-но-му періоді мають гребені різної висоти. Аналіз субгармонічних хвиль важливий для розуміння динаміки штормових хвиль, в яких округлі гребені помірної висоти зміню-ють-ся на круті загострені великоамплітудні гребені (явище дев’ятого валу). Тому частину з викла-дених вище результатів ди-серта-ційної роботи узагальнено для субгармо-ніч-них хвиль, а са-ме: знайдено нерегулярні субгармонічні хвилі; запро-по-но-вано нову загальну реалізацію методу звичайних Фур’є роз-кла-дів [7, 11, 14, 19, 24].

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено цілісний тео-ре-тичний аналіз динаміки кру-тих гравіта-цій-них хвиль на поверхні рідини в межах канонічної мо-делі гідродина-міки.

1. Знайдено нове раніше невідоме сімейство сингулярних періодичних потенці-аль---них гра--ві-таційних хвиль з загостреними гребенями (нерегулярні хвилі), відмінні від відо-мих стоксових хвиль. Показано, що залежність фазової швидкості гравіта-цій--них хвиль від амплітуди (амплітуд-но-частотна характеристика) має неодноз-нач-ний характер в області великих амплітуд, близьких до граничної. При кожній амплі-туді існують гра-віта-ційні хвилі з двома різними конфігураціями профілю вільної поверхні: хвиля з округлим гребенем (сток-со-ві хвилі) та хвиля з загостреним гребе-нем (нерегулярні хви-лі). Ці хвилі мають різні фазові швидкості, енергію, імпульс тощо. Аналіз властивостей нерегулярних хвиль вказує на те, що їх гребені утворю-ють кут при всіх амплітудах, для яких ці хвилі існують, тоді як для сток-сових хвиль таку властивість має лише гранична хвиля максимальної амплітуди з кутом 120o на гребені. При цьому нерегулярні хвилі мають меншу амплітуду, ніж гранична хвиля Стокса. Оскільки утворення кута на гребе-нях гравіта-цій-них хвиль є традицій-ним критерієм початку їх перекиду і руйнування, то знай-де-ні нерегулярні хвилі можуть надати пояснення експериментальним спос-тере-жен--ням того, що хвилі мо-жуть руй-ну-ватись при амплітудах, менших за тео-ре-тично розрахо-ва-ну ам-плітуду гра-ничної хвилі Стокса.

2. Показано, що вище зазначене положення має місце і для субгармонічних граві-та-ційних хвиль – модульованих періодичних хвиль великої амплітуди з гребенями різної висо-ти, які утворю-ються внаслідок нестійкостей стоксових хвиль.

3. Підтверджено гіпотезу Гранта, яка полягає в тому, що сингулярність стоксової хвилі макси-мальної ам-плітуди з кутом 120o на гребені утворюється шляхом поєд-нан-ня кіль-кох сингу-ляр-ностей 90o.

4. Розроблено новий спектральний метод розра-хун-ку стаціонарних періодичних хвиль у випадку нескінченної глибини, оптимізований для ефективного обчис-лен-ня кру-тих хвиль, що мають загострену форму, – узагальнений метод Фур’є роз-кладів. Запро-поно-вано нову загальну реалізацію методу зви-чай-них Фур’є роз-кла-дів для до-віль-ної глиби-ни, включаючи випадок субгармонічних хвиль.

Основні положення дисертації опубліковано в таких працях:

Статті в наукових фахових виданнях:

Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V. Steep sharp-crested gravity waves on deep water // Physical Review Letters. – 2002. – Vol. 89, № 16. – P. 164502–1-4.

Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Fractional Fourier approximations for potential gravity waves on deep water // Nonlinear Processes in Geophysics. – 2003. – Vol. 10, № 6. – P. 599–614.

Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Lukomsky D.V. Computational analysis of the almost-highest waves on deep water // Computer Physics Communications. – 2002. – Vol. 147, № 1–2. – P. 548–551.

Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Uniform expansions of periodic solutions to strongly non-linear evolution equations with odd polynomial non-linearity // Nonlinear Dynamics. – 2003. – Vol. 32, № 4. – P. 345–370.

Lukomsky V.P., Gandzha I.S. Cascades of subharmonic stationary states in strongly non-linear driven planar systems // Journal of Sound and Vibration. – 2004. – Vol. , №1–2. – P. 351–373.

Ганджа І.С. Гравітаційні хвилі на поверхні рідини // Нелінійні процеси в фізиці: коливання, хвилі, самоорганізація / Чалий О.В., Лукомський В.П., Ганджа І.С., Цехмістер Я.В., Чалий К.О. – К.: Наукова думка, 2004. – С. 93–230.

Статті:

Ганджа І.С., Лукомський В.П. Субгармонічні стаціонарні стани та нестійкості кру-тих симетричних гравітаційних хвиль на поверхні рідини довільної глиби-ни Вісник Львівського університету. Серія фізична. – 2001. – Т. 34. – С. 174–178.

Лукомський В.П., Ганджа І.С. Супер- і субгармонійні резонанси в сильно-нелі-ній-них вимушених коливаннях // Вісник Київського університету. Фізика. – 2000. – Т. 2. – С. 37–40.

Лукомський В.П., Ганджа І.С., Лукомський Д.В. До теорії рівномірних розкла-дів періодичних розв’язків не-лі-нійних рів-нянь // Волинський мате-ма-тичний вісник. – 1998. – № 5. – C. 86–91.

Лукомський В.П., Ганджа І.С., Лукомський Д.В. Рівномірні розклади періодич-них розв’язків нелінійних рів-нянь // Вісник держав-но-го університету "Львів----сь-ка політех-ні-ка". – 1998. – № 337. – С. 130–133.

Тези доповідей:

Lukomsky V.P., Gandzha I.S., Tsekhmister Y.V. Sharpening and breaking of subgravity waves on deep water // Abstracts of the 21st Int. Congress of Theand Applied Mechanics. – Warsaw (Poland). – 2004. – P. 197, FM26_11591.

Gandzha I.S., Lukomsky V.P. Discontinuous irregular flows near the crests of surface gravity water waves // Abstracts of the 5th Euromech Fluid Mechanics Conf. – Toulouse (France). – 2003. – P. 427.

Lukomsky V.P., Gandzha