ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Гибкіна Надія Валентинівна
УДК 519.673:519.872
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ НЕОДНОРІДНИХ ПРОЦЕСІВ
МАСОДИНАМІКИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В ЗАДАЧАХ
ОПТИМІЗАЦІЇ ОСНОВНИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
01.05.02 – математичне моделювання та
обчислювальні методи
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Харків – 2005
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки, Міністерство освіти і науки України.
Науковий керівник – кандидат технічних наук, доцент
Герасін Сергій Миколайович,
Харківський національний університет радіоелектроніки,
доцент кафедри вищої математики.
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, доцент
Удовенко Сергій Григорович,
Харківський національний університет радіоелектроніки,
професор кафедри електронних обчислювальних машин;
кандидат технічних наук
Басманов Олексій Євгенович,
Академія цивільного захисту України,
докторант.
Провідна установа – Національний технічний університет України “КПІ”,
кафедра прикладної математики,
Міністерство освіти і науки України, м. Київ.
Захист відбудеться “__24__” __травня __ 2005 р. о __1300__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному
університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.
З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Харківського
національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.
Автореферат розіслано “__30__”___березня____ 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Багато реальних систем під час свого функціонування взаємодіють із зовнішнім середовищем шляхом обміну з ним різноманітними ресурсами. Залежно від контексту під ресурсами розуміють матеріальні цінності, робочу силу, кількість обслуговуючих пристроїв та ін. Для дослідження цих систем можуть буди використані математичні моделі процесів масодинаміки, які описують перерозподіл певного типу ресурсів між станами системи із заданими ймовірностями переходу у кожний із станів. Вивченню таких процесів та визначенню оптимальних параметрів їх роботи приділяють багато уваги.
Загальному дослідженню процесів масодинаміки присвячені роботи Дж. Кемені, Дж. Снела, Д. Гейла, Ф. Робертса та ін. В економіці до даного розділу належать задачі лінійного програмування, в яких розглядаються моделі обміну, моделі рівноважних цін, модель міжнародної торгівлі, моделі розподілу початкового капіталу, прибутків та трудових ресурсів, моделі міжгалузевого балансу тощо.
Іншою важливою задачею, для розв’язання якої використовуються моделі масодинаміки, є дослідження процесів обміну речовин у живих організмах. За допомогою моделювання можливо отримати кількісну інформацію про процес транспорту речовини в організмі: визначити концентрацію в різних органах з часом та шляхи виведення з організму. Розробці математичних методів дослідження функціонального стану організму, математичним аспектам керування обміном речовин присвячені роботи В.О. Байдосова, Дж. Якобса, Б.В. Попова, Г.І. Марчука, Дж. Хайна.
На практиці часто мають місце ситуації, у яких вирішення питань щодо керування системою відбувається із урахуванням попередніх спостережень. Дослідження таких процесів може бути виконано за допомогою відповідним чином підібраного марковського процесу, який достатньо точно описує реальний процес. При цьому дослідження роботи системи значно спрощується і вдається визначити її основні характеристики. У тому випадку, коли процес обслуговування відрізняється від марковського, за допомогою методів теорії марковських систем інколи можна визначити наближені значення його характеристик.
З викладеного вище випливає, що розробка адекватних математичних моделей марковських процесів масодинаміки з використанням теорії масового обслуговування та дослідження цих процесів є важливою прикладною задачею. Одним з великих розділів, де можуть бути застосовані результати досліджень, є задачі пошуку оптимальних характеристик таких систем. Серед багатьох робіт у цій галузі можна назвати роботи В.В.Анісімова, Г.П.Клімова, Г.І.Івченка, І.М.Коваленка та ін. До останнього часу в прикладних дослідженнях для моделювання використовувались однорідні марковські процеси, що не завжди повною мірою відповідало реальним задачам. У зв'язку з цим викликає інтерес узагальнення описаних задач на неоднорідний випадок.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася відповідно до плану науково-дослідних робіт Харківського національного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем: 104-1 “Розробка методів дослідження марковських процесів зі швидкозмінними характеристиками з метою створення алгоритмів їх стабілізації. Додатки до задач економіки, екології та моделювання нейронних мереж” (№ДР U001344); 151 “Розробка методів стабілізації і синтезу неоднорідних систем, що мають марковську властивість” (№ДР 103U001574).
Автор брала участь у роботах як виконавець.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка ефективних методів, що дозволяють моделювати процеси масодинаміки речовин, математичною моделлю яких є неоднорідні системи масового обслуговування марковського типу; застосування отриманих теоретичних результатів до розв’язання задач, що виникають у біології, екології, економіці, техніці. Досягнення цієї мети потребує вирішення таких завдань:
1. Розробка математичних моделей неоднорідних процесів масодинаміки марковського типу. Моделювання процесів обміну речовин в організмі та розподілу ресурсів в економічних та екологічних системах.
2. Поширення методу розв’язання систем лінійних нерівностей на випадок системи зі змінними коефіцієнтами. Дослідження достатніх умов сумісності систем лінійних нерівностей зі змінними коефіцієнтами.
3. Розробка методу виведення на заданий розподіл розв’язків неоднорідних процесів масодинаміки, матриці яких не є інфінітезимальними, але задовольняють властивості рівності нулю суми елементів кожного рядка.
4. Розробка методу визначення оптимальної кількості обслуговуючих каналів, оптимальної інтенсивності обслуговування та оптимального плану обслуговування для неоднорідних марковських систем обслуговування типу “склад-магазин”.
Об’єктом дослідження є процеси перерозподілу ресурсів у неоднорідних системах марковського типу.
Предметом дослідження є математичні моделі неоднорідних процесів масодинаміки та методи оптимізації їх основних параметрів (на прикладі обслуговуючих систем постачання марковського типу).
Методи дослідження. Для розв’язання поставлених задач у роботі використовувалися методи теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів, математичної статистики, теорії масового обслуговування, лінійного програмування. Розв’язання задачі перерозподілу ресурсів виконувалося методами лінійної алгебри. Для визначення параметрів моделей обміну речовин використаний метод найменших квадратів розв’язання переозначених систем лінійних рівнянь та обчислювальні методи апроксимації функцій. Корекція отриманих розв’язків виконувалась за допомогою методу фокусування неоднорідних марковських процесів, запропонованого В.А.Дікарєвим. Для визначення оптимальних характеристик обслуговування використаний критерій Байєса прийняття рішень. Уточнення оптимального плану обслуговування виконувалось із використанням методу найменших квадратів.
Наукова новизна отриманих результатів.
1. Вперше сформульовані та доведені достатні умови сумісності систем лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними коефіцієнтами, які використовуються для моделювання неоднорідних процесів перерозподілу ресурсів. Вперше проведено поширення методу розв’язання систем лінійних нерівностей на випадок залежності коефіцієнтів системи від часу.
2. Подальшого розвитку набули математичні моделі неоднорідних процесів масодинаміки у вигляді систем лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, матриці яких мають властивість рівності нулю суми елементів кожного рядка. Вперше запропонований метод виведення параметрів такого процесу на задану траєкторію, що базується на запропонованому В.А.Дікарєвим методі фокусування розподілів неоднорідних марковських процесів. Розроблений метод застосовано для моделювання та корекції процесу обміну йоду в організмі.
3. Для неоднорідних марковських систем обслуговування типу “склад-магазин” вперше розв’язано задачу пошуку оптимальної кількості каналів обслуговування, оптимальної інтенсивності обслуговування, оптимального плану обслуговування.
Практичне значення отриманих результатів. Розроблені математичні моделі масодинаміки і методи оптимізації їх характеристик можуть бути використані під час моделювання й аналізу технічних, економічних, екологічних, біологічних та інших процесів. Зокрема, модель обміну речовин в організмі може бути застосована для аналізу функціонального стану організму та корекції порушень метаболізму деяких речовин. Модель масопереносу може бути використана під час розв’язання питань, пов’язаних із безпечним функціонуванням екологічних систем. Метод пошуку оптимальних характеристик систем обслуговування використовується для організації ефективної роботи торговельних і складських підприємств. Модель неоднорідної системи обслуговування може бути використана також під час розв’язання технічних задач передачі даних в локальних та глобальних комп’ютерних мережах.
Розроблені методи та комплекси програми були використані в дослідженнях з виробництва тест-систем для діагностики захворювань, викликаних порушеннями обміну речовин у ТОВ “Науково-виробнича лабораторія “Гранум” (акт впровадження від 17.02.2004 р). Теоретичні розробки та програмне забезпечення, що дають можливість проводити комп’ютерний аналіз процесу обслуговування та визначати його оптимальні характеристики, застосовані ТОВ “Форпост” (акт впровадження від 25.05.2004 р.).
Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота є результатом самостійної роботи автора. У статті [1] автором досліджено поведінку неоднорідного марковського процесу масодинаміки за умов дії на нього зовнішніх коректуючих впливів. У [2] автором запропонований метод виведення розв’язків процесів перерозподілу ресурсів колмогоровського типу на заданий розподіл. У [3] автором сформульована і доведена теорема про достатні умови сумісності системи лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними параметрами та розроблений метод розв’язання такої системи. У роботі [6] автором наведені умови, за яких можна коректувати розв’язки неоднорідного процесу масодинаміки колмогоровського типу. У [7] автором розглянуто дію на неоднорідний марковський процес масодинаміки різних типів зовнішніх впливів, які використовуються для корекції основних параметрів цього процесу. У роботі [8] автором побудовано неоднорідну модель кінетики речовин в організмі. У роботі [10] автором запропонована математична модель динамічної системи перерозподілу ресурсів. У [11] автором проведено моделювання процесу транспорту йоду в організмі людини на основі побудованої моделі обміну речовин. У [12] автором запропоновано метод уточнення оптимального плану обслуговування для неоднорідної марковської системи масового обслуговування.
Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених досліджень доповідалися й обговорювалися на таких конференціях: Міжнародній молодіжній науковій конференції “ХХVII Гагаринские чтения” (Москва, 2001); Міжнародній конференції “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений” (АМАДЕ-2001), (Мінськ, 2001); Третій Міжнародній молодіжній науково-практичній конференції “Людина і космос” (Дніпропетровськ, 2001); П’ятому та Шостому Міжнародних молодіжних форумах “Радіоелектроніка та молодь в XXI столітті” (Харків, 2001, 2002); Восьмій Міжнародній науковій конференції “Теорія і техніка передачі, прийому і обробки інформації”, (Харків, 2002); Дев’ятій та Десятій Міжнародних наукових конференціях ім. ак. М. Кравчука, (Київ, 2002, 2004); Першій міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні задачі прикладної статистики, промислової, актуарної і фінансової математики”, (Донецьк, 2002); П’ятій Всеукраїнській студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики СНКПМІ-2002, (Львів, 2002); Міжнародній молодіжній науковій конференції “XXVIII Гагаринские чтения”, (Москва, 2002); Міжнародній молодіжній науковій конференції “XXIХ Гагаринские чтения”, (Москва, 2003); Міждержавній науково-методичній конференції “Проблеми математичного моделювання”, (Дніпродзержинськ, 2003).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 5 наукових статтях і в 7 друкованих матеріалах конференцій.
Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та додатків на 2 сторінках. Загальний обсяг роботи – 140 сторінок. Дисертація містить 23 рисунки на 22 сторінках, 4 таблиці на 4 сторінках і список використаних джерел із 134 найменувань на 13 сторінках.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтована актуальність дисертаційної роботи, сформульовані мета та задачі досліджень, наукова новизна та практичне значення роботи.
У першому розділі сформульовані задачі, розглянуті в дисертаційній роботі. Проведений огляд існуючих методів моделювання процесів масодинаміки та оптимізаційних задач, які виникають в таких системах. Розглянуто застосування процесів перерозподілу ресурсів у біологічних, економічних та екологічних задачах. Процеси масодинаміки, з якими доводиться мати справу на практиці, як правило, є неоднорідними, тобто їх головні параметри змінюються з часом. Для багатьох із цих процесів має місце марковська властивість, тобто стан системи в майбутньому залежить лише від її теперішнього стану. Побудова математичних моделей, які б досить точно описували зазначені реальні процеси, та їх аналіз є одним з основних завдань дисертації.
У роботі основна увага приділена дослідженню неоднорідних моделей процесу перерозподілу ресурсів в екологічній системі у вигляді системи лінійних алгебраїчних нерівностей, та процесу обміну речовин в організмі і процесу обслуговування типу “склад-магазин” у вигляді систем диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Слід зазначити, що обидва типи моделей використовують єдиний математичний апарат теорії неоднорідних марковських процесів. Ці моделі адекватні реальним процесам, мають практичну цінність і можуть бути використані під час дослідження екологічних, біологічних, технічних та економічних систем.
Необхідною умовою ефективного функціонування неоднорідних систем перерозподілу ресурсів є визначення таких параметрів цих систем, які б відповідали оптимальним режимам їх роботи. Тому в даній роботі суттєву увагу приділено визначенню оптимальних характеристик неоднорідних процесів масодинаміки марковського типу та вирішенню питань виведення траєкторії таких процесів у заданий стан.
У другому розділі досліджено задачу переносу мас в замкненій екологічній системі за умов обмежень. Розглянуто систему, в кожному з () станів якої зосереджена маса певної речовини , . Розподіл речовини в системі в момент часу описується вектором . З часом відбувається перерозподіл речовини в системі, закон перерозподілу задано у вигляді керуючої матриці , зі змінними коефіцієнтами. Кожному із станів системи відповідає гранично припустима кількість речовини , , яка по всій системі визначається вектором .
За цих умов розв’язується задача про визначення таких компонент вектора , які в будь-який момент часу не перевищували б свого граничного значення , .
Ця задача інтерпретується як задача про перерозподіл шкідливих елементів в екологічній системі. Її розв’язок визначає умови, за яких забезпечується безпечне функціонування системи, тобто умови, за яких досліджувана речовина з часом не перебільшить своєї гранично припустимої концентрації та не спричинить загрози існуванню системи.
Побудовано математичну модель такого процесу у вигляді системи лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними коефіцієнтами
, . (1)
У роботі досліджуються питання існування розв’язків цієї системи. Сформульовано і доведено достатні умови сумісності, які полягають у тому, що для сумісності системи лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними коефіцієнтами достатньо, щоб існував такий стовпець матриці системи , , всі елементи якого були б однаковими за знаком для будь-якого додатного .
Для пошуку загального розв’язку задачі (1) було проведено узагальнення методу розв’язання систем лінійних нерівностей, запропонованого С.М. Черніковим на випадок системи зі змінними коефіцієнтами. Поширення методу полягає у переході від початкової системи (1) до нової системи з більшою кількістю нерівностей. Для цього змінюємо значення змінної із заданим шагом . За таких умов у кожній вузловій точці , система (1) стає системою лінійних алгебраїчних нерівностей із постійними коефіцієнтами. Процес побудови загальної формули розв’язків на кожному кроці дозволяє виключити із системи ті нерівності, які не беруть участі у формуванні розв’язків системи. Всі нерівності, які залишились таким чином для всіх вузлових точок, об’єднуються у нову систему, загальна формула розв’язків якої відповідає розв’язкам системи (1) на всьому інтервалі дослідження і має такий вигляд:
,
де , – ()-і координати фундаментальних розв’язків системи лінійних однорідних нерівностей, матриця якої побудована додаванням до транспонованої матриці системи (1) ще одного стовпця, елементами якого є компоненти вектора ;
, – довільні числа, що задовольняють умові:
.
Побудована матрична модель процесу перерозподілу ресурсів дозволяє отримати розв’язок задачі у вигляді певної області, у межах якої можуть змінюватися припустимі набори змінних, що визначають вміст речовини у кожному із станів системи. Така форма розв’язку є практично значущою, тому що у реальних задачах дуже важко досягти таких умов функціонування системи, за яких маса досліджуваної речовини протягом тривалого часу буде приблизно однаковою.
У третьому розділі проведено моделювання процесів кінетики хімічних елементів у живих організмах, що забезпечують надходження в систему речовин із зовнішнього середовища, хімічні зміни і перетворення цих речовин в організмі та виведення в зовнішнє середовище кінцевих продуктів життєдіяльності.
Для моделювання використовується метод камерного аналізу, який дозволяє розглядати організм як сукупність сполучених камер (відсіків), в кожній з яких речовина, яка досліджується, розподіляється рівномірно.
Побудована -камерна математична модель процесу обміну речовин, яка, на відміну від існуючих аналогів, дозволяє враховувати зовнішнє середовище як один із станів системи. Центральною камерою є – камера крові або іншої рідини організму. Математичною моделлю процесу обміну є система диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами
(2)
за заданих початкових умов , .
Для визначення транспортних коефіцієнтів моделі , побудовано функцію апроксимації для вмісту речовини у центральній камері . Ця функція, після підстановки її у систему, дозволяє розбити систему на незалежних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. На основі розв’язку кожного з отриманих рівнянь та експериментальних даних про вміст досліджуваної речовини в -й камері побудовано систему лінійних рівнянь, яка є переозначеною, тому що кількість невідомих цієї системи менше кількості рівнянь. Пари параметрів та цієї системи визначено за допомогою методу найменших квадратів розв’язання переозначених систем лінійних рівнянь.
У роботі запропоновано метод виведення процесу кінетики речовин, який пов’язаний із наданням процесу сильних зовнішніх впливів, що мають значення терапевтичної дії, тобто доз лікарських засобів, які діють на організм під час порушень обміну речовин. Цей метод базується на використанні теореми про фокусування неоднорідних марковських процесів, запропонованої В.А.Дікарєвим. Система диференціальних рівнянь для процесу транспорту речовини, що піддається зовнішнім впливам, має вигляд
, (3)
де – матриця зовнішніх впливів, елементи якої містять інформацію про збурення транспортних характеристик на всьому інтервалі дослідження.
Для збуреного процесу, що описується системою диференціальних рівнянь (3), виконуються умови теореми про існування точок фокусування та граничних ймовірностей у цих точках, що не залежать від початкового розподілу ймовірностей і моменту часу, починаючи з якого досліджується процес обміну.
Даний метод дозволяє у випадку відхилень від нормального перебігу процесу скласти схему корекції обміну речовин. Виходячи із відомих значень вмісту досліджуваного елемента в нормі, функція впливів обирається таким чином, щоб вивести траєкторію системи на цей розподіл точно або наближено, тобто стабілізувати вміст речовини в органах і тканинах за певний час. Еволюція системи однозначно визначається завданням початкових умов. Вибір функції впливів також залежить від деяких додаткових умов, таких як час, за який необхідно нормалізувати процес обміну або отримати мінімальне відхилення від значень вмісту речовини в нормі.
Проведено комп’ютерне моделювання процесу кінетики в організмі радіоактивного йоду. Для моделювання використана 4-х камерна модель. Ця модель містить такі камери: – кров, – щитовидна залоза, – периферійні тканини, – зовнішнє середовище. Їй відповідає система диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами типу (4):
(4)
Для даної моделі визначені транспортні константи , що описують швидкість переносу речовини із однієї камери до іншої. Після апроксимації виразу, який характеризує вміст речовини в центральній камері, система (4) може бути зведена до незалежних лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Розв’язок кожного з цих рівнянь визначений за допомогою методу найменших квадратів розв’язання системи переозначених лінійних рівнянь, яка побудована на наборі експериментальних даних для . У роботі досліджено залежність величин від стану організму: для здорових людей та тих, хто страждає від порушень йодного обміну в організмі (рис.1). Отримані в роботі результати збігаються з наведеними в медичній літературі даними.
Рис. 1. Вміст радіоактивного йоду в крові з часом
(пунктирною лінією вказано експериментальні дані,
неперервною – результат розв’язання системи рівнянь)
Розрахунки показали, що під час розвитку захворювань, пов’язаних із гіперфункцією щитовидної залози, має місце значне збільшення параметрів (швидкість переносу йоду до щитовидної залози) та (швидкість надходження йоду до крові із залози). Крім того, швидкість виведення йоду з організму зменшується із збільшенням тяжкості захворювання. Швидкість надходження йоду у периферійні тканини при порушенні обміну збільшується. Відносна похибка між розрахунковими та експериментальними даними складає 12%. Результати, отримані за допомогою моделювання, збігаються з даними, наведеними в літературі, і мають чітке медичне обґрунтування.
Для комп’ютерних досліджень процесу обміну речовин створено програмний модуль, який на основі результатів вимірювань дозволяє оцінити стан пацієнта і побудувати ймовірний діагноз. У разі відхилень від нормального перебігу процесу на основі комп’ютерного моделювання можливо виконати розрахунки оптимальної схеми лікування ймовірного захворювання шляхом корекції вже існуючих схем з урахуванням експериментально отриманих даних.
У четвертому розділі досліджено математичні моделі неоднорідних систем обслуговування “склад-магазин” з пуассоновським потоком заявок, кількістю каналів обслуговування та довжиною черги . Робота системи полягає в перерозподілі певних товарів зі складу серед зовнішніх об’єктів. Процес обслуговування є неоднорідним марковським процесом. Побудовано математичну модель такого процесу, яка має вигляд системи диференціальних рівнянь Колмогорова
за заданих початкових умов , , . Звичайно, , , , тобто в початковий момент часу заявки на постачання відсутні. Робота системи характеризується величинами – інтенсивністю вхідного потоку заявок та – інтенсивністю обслуговування, які, в загальному випадку, є функціями часу.
Для такої моделі розв’язуються задачі пошуку оптимальної кількості каналів обслуговування, оптимальної інтенсивності обслуговування та оптимального плану обслуговування. Розглядається еволюція неоднорідної СМО на системі часткових відрізків , .
Пошук оптимальних параметрів полягає в мінімізації на кожному з , , функції
,
де – витрати, викликані експлуатацією одного каналу системи за час ;
– витрати, пов’язані з простоєм одного каналу за час ;
– витрати, пов’язані з однією відмовою в обслуговуванні за час ;
– витрати, пов’язані з перебуванням однієї заявки у черзі за час ;
– загальносистемні витрати за час ;
– кількість зайнятих каналів;
– кількість заявок в черзі за час .
Шаг обрано таким чином, щоб на кожному з параметри системи, які характеризують значення витрат, можна було вважати постійними.
У задачі про визначення оптимальної кількості каналів обслуговування на кожному , , змінними є інтенсивність вхідного потоку заявок та кількість каналів обслуговування . У задачі про визначення оптимальної інтенсивності обслуговування функція витрат є функцією змінних и . Пошук оптимального значення відбувається для матриці виграшів :
, ,
за допомогою критерію Байєса, згідно з яким з усіх варіантів оптимальним є той варіант , який забезпечує максимум математичного сподівання виграшу. Значення, які визначені для кожного з відрізків , , у сукупності визначають оптимальний режим функціонування системи для всього інтервалу дослідження .
Для випадку пошуку оптимального плану обслуговування критерій Байєса застосовано до матриці виграшів , яка на кожному -му інтервалі має вигляд
,
де і – значення витрат, пов’язаних з недостатнім та надмірним обсягом обслуговування.
Таким чином, дорівнює витратам системи на -му частковому інтервалі у випадку, коли на вхід подається вхідний потік заявок з інтенсивністю , а об’єм обслуговування дорівнює , .
Для уточнення отриманих результатів застосовано метод найменших квадратів. Вважаючи, що на рівень втрат найбільшого впливу завдають коливання об’єму обслуговування на послідовних шагах процесу, побудовано цільову функцію задачі у вигляді
, (5)
де – уточнений вектор об’ємів обслуговування;
– похибка обчислень оптимального об’єму обслуговування на -му інтервалі, ;
– величина, що характеризує коливання об’єму обслуговування на послідовних відрізках, ;
– ваговий коефіцієнт значущості похибки обраного об’єму обслуговування.
Уточнений план обслуговування відповідає мінімуму цільової функції (5) та визначає оптимальний режим функціонування системи обслуговування на всьому інтервалі дослідження. У роботі здійснено комп’ютерне моделювання процесу постачання та проведений аналіз залежності оптимальних значень параметрів серед усіх можливих від величини витрат.
Розглянуто неоднорідну задачу розподілу ресурсів, математичною моделлю якої є система диференціальних рівнянь колмогоровського типу
за початкових умов , причому можуть бути як додатними, так і від’ємними.
Кожний з елементів матриці визначає інтенсивність переходу ресурсів від -го об’єкта до -го. Матриця задовольняє умові рівності нулю сум елементів у кожному її рядку, тобто , . Це означає, що сумарні ресурси повністю розподілені серед усіх партнерів.
Для наведеної системи розроблено метод виведення її траєкторії в довільно заданий стан за умов дії на систему сильних зовнішніх впливів, що базується на теоремі про фокусування неоднорідних марковських процесів, запропонованій Дікарєвим В.А. Розроблений метод дозволяє прогнозувати стан системи в будь-який момент часу. У роботі проаналізовано залежність швидкості стабілізації траєкторії системи від типу збурень.
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі наведені результати, які відповідно до мети дослідження у сукупності є розв’язанням неоднорідної задачі масодинаміки для марковських процесів, що виникають в технічних, економічних, екологічних, біологічних системах. Ця задача має важливе значення для реалізації керування реальними процесами. У роботі розроблено метод пошуку оптимальних характеристик систем обслуговування та метод виведення параметрів системи на заданий розподіл. Отримані результати мають перевагу над існуючими, тому що дозволяють враховувати змінність у часі головних характеристик процесу.
Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному.
1. Досліджено задачу масодинаміки в замкненій системі за умов обмежень. Побудована математична модель процесу у вигляді системи лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними коефіцієнтами, що дозволяє враховувати часовий фактор. Досліджено умови, за яких у будь-який момент часу кількість речовини в кожній точці системи не буде перевищувати свого гранично припустимого значення.
2. Вперше сформульовано і доведено достатні умови сумісності системи лінійних алгебраїчних нерівностей зі змінними коефіцієнтами. Запропоновано метод визначення загальної формули розв’язків системи алгебраїчних лінійних нерівностей у випадку, коли коефіцієнти системи залежать від часу. Це дозволяє досліджувати широкий клас процесів масодинаміки, головні характеристики яких є неоднорідними у часі.
3. Досліджено неоднорідну математичну модель процесу транспорту речовини в живому організмі, в якій зовнішнє середовище розглядається як один із станів системи. Побудована модель дозволяє проводити діагностику стану організму в будь-який момент часу. Виконано комп’ютерне моделювання процесу кінетики в організмі радіоактивного йоду, за результатами якого можна визначити стан щитовидної залози. Результати, які отримані під час моделювання, збігаються з наведеними в літературі.
4. Запропоновано метод корекції процесу кінетики речовин, пов’язаний із зовнішніми впливами. У випадку відхилень від нормального перебігу процесу за допомогою цього методу може бути розроблена схема корекції обміну речовин.
5. Розглянуто неоднорідні моделі систем обслуговування “склад-магазин” марковського типу. Вперше розроблено метод оптимізації основних характеристик такої системи, який дозволяє визначити оптимальну кількість каналів обслуговування, оптимальну інтенсивність обслуговування, оптимальний план обслуговування. Розроблено метод уточнення оптимального плану обслуговування. Запропоновані методи можуть буди корисними під час мінімізації часових витрат, пов’язаних з роботою системи. За допомогою побудованої моделі можуть бути також описані процеси передачі даних в локальних та глобальних комп’ютерних мережах. Побудовані моделі більш адекватні реальним системам обслуговування, ніж однорідна модель.
6. Для моделі розподілу ресурсів, яка описується системою диференціальних рівнянь Колмогорова, вперше запропоновано метод виведення траєкторії системи в довільно заданий стан під впливом сильних швидкозмінних збурень. Даний метод дозволяє прогнозувати стан системи в будь-який час. Здійснено комп’ютерне дослідження залежності процесу збіжності розв’язків до заданого розподілу в залежності від типу збурюючих впливів.
СПИСОК ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Герасин С.Н., Гибкина Н.В., Лизгин В.А. Стабилизация распределения неоднородной марковской системы при влиянии распределенных стабилизирующих факторов // Радиоэлектроника и информатика. – 2001. – № 1. С. 71–75.
2. Гибкина Н.В., Паршин О.В. Методы стабилизации решений в задачах распределения ресурсов // Радиоэлектроника и информатика. – 2002. – №1. – С. 36–39.
3. Герасин С.Н., Гибкина Н.В. Неоднородная марковская модель процесса массопереноса в условиях ограничений // Математичне моделювання. – 2003. – №2. – С. 7–10.
4. Гибкина Н.В. Программный модуль для анализа кинетики химических веществ в живом организме // Радиоэлектроника и информатика. – 2003. – №2. – С. 67–71.
5. Гибкина Н.В. Анализ и оптимизация характеристик неоднородных систем обслуживания в торговле // Радиоэлектроника и информатика. – 2004. – № 2. – С. 145–148.
6. Гибкина Н.В., Герасин С.Н., Лизгин В.А. Приведение системы колмогоровского типа к заданному распределению // Междунар. конф. АМАДЕ-2001. – Минск. – 2001. – С. 42–43.
7. Гибкина Н.В., Лизгин В.А. Влияние внешних факторов на стабилизацию распределения неоднородной марковской системы // 5-й Междунар. молод. форум “Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке”. – Харьков. – 2001. – С. 280–281.
8. Гибкина Н.В., Агапова И.С. Моделирование и управление процессами обмена веществ в животных организмах // 8-я Междунар. науч. конф. “Теория и техника передачи, приема и обработки информации” (Интегрированные информационные системы, сети и технологии “ИИСТ-2002”). – Харьков. – 2002. – С. 551–552.
9. Гибкина Н.В. Задача распределения ресурсов в экономической системе // 1-я Междунар. науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых учёных “Современные задачи прикладной статистики, промышленной, актуарной и финансовой математики”. – Донецк. – 2002. – С. 5–6.
10. Гибкина Н.В., Сарнавская Н.Н., Шлейн Е.В. Марковские модели динамического распределения ресурсов в экономических системах // 5-а Всеукр. студент. наук. конф. з прикладної математики та інформатики СНКПМІ-2002. – Львів. – 2002. – С. 28–29.
11. Гибкина Н.В., Лобас А.Н., Мирошниченко А.В. Метод оценки функционального состояния организма на основе моделирования обмена веществ // Междунар. молод. науч. конф. “XXIХ Гагаринские чтения”. – Москва. – 2003. – С. 96–97.
12. Гибкина Н.В., Мирошниченко А.В. Определение оптимального объема обслуживания неоднородной марковской СМО // Матеріали 10-ї Міжнар. наук. конф. ім.академіка М.Кравчука. – Київ. – 2004. – С. 587.
АНОТАЦІЯ
Гибкіна Н.В. Математичні моделі неоднорідних процесів масодинаміки та їх застосування в задачах оптимізації основних характеристик систем масового обслуговування. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2005.
У дисертаційній роботі розглянуті неоднорідні процеси масодинаміки марковського типу. Для задачі переносу мас в замкненій системі побудовано математичну модель у вигляді системи лінійних нерівностей зі змінними коефіцієнтами. Для такої системи сформульовано та доведено достатні умови сумісності, запропоновано метод пошуку її загального розв’язку. Побудовано математичну модель кінетики речовин в організмі. Запропоновано метод корекції обміну речовин. Виконано моделювання обміну йоду. Для неоднорідних систем обслуговування “склад-магазин” запропоновано метод визначення оптимальних характеристик обслуговування. Розроблено метод виведення траєкторії процесу розподілу ресурсів у довільно заданий стан за умов сильних зовнішніх впливів.
Ключові слова: неоднорідний процес масодинаміки, система масового обслуговування марковського типу, інфінітезимальна матриця, система лінійних нерівностей зі змінними коефіцієнтами, система диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами.
АННОТАЦИЯ
Гибкина Н.В. Математические модели неоднородных процессов массодинамики и их применение в задачах оптимизации основных характеристик систем массового обслуживания. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2005.
Диссертационная работа посвящена изучению неоднородных процессов массодинамики марковского типа и определению оптимальных характеристик таких процессов.
В первом разделе проводится обзор существующих методов моделирования процессов массодинамики марковского типа и оптимизационных задач, которые при этом возникают. В большинстве работ для исследования подобных задач используются однородные процессы, поэтому представляет интерес обобщение существующих моделей на неоднородный случай и разработка соответствующих таким моделям методов исследования.
Во втором разделе рассматривается задача переноса масс в замкнутой экологической системе при наличии ограничений. Построена математическая модель такого процесса в виде системы линейных алгебраических неравенств с переменными коэффициентами. Впервые сформулированы и доказаны достаточные условия совместности этой системы. Решена задача поиска таких параметров процесса переноса масс, для которых в любой момент времени количество вещества в каждой точке системы не будет превосходить своего предельно допустимого значения. Метод получения общего решения систем линейных неравенств распространен на случай систем с переменными коэффициентами.
Описанная задача может быть использована при моделировании процесса перераспределения вредных элементов в экологической системе. Ее решение определяет условия, при которых обеспечивается безопасное функционирование системы, то есть исследуемое вещество с течением времени не превысит предельно допустимой концентрации.
В третьем разделе исследован процесс транспорта веществ в организме. Построена математическая модель обмена веществ, которая, в отличие от существующих аналогов, позволяет учитывать внешнюю среду как одно из состояний системы. На основе метода фокусировки распределений неоднородных марковских процессов, предложенного В.А. Дикаревым, разработан метод коррекции процесса обмена веществ. Данный метод позволяет в случае отклонений от нормального содержания вещества вывести решение системы на заданное распределение. Предложенные методы реализованы в виде пакета программ, позволяющего моделировать процесс обмена веществ и при необходимости осуществлять его коррекцию. В качестве примера выполнено компьютерное моделирование процесса кинетики в организме радиоактивного йода.
В четвертом разделе рассмотрены неоднородные модели систем обслуживания типа “склад-магазин” марковского типа. Для таких систем решены задачи определения оптимальной интенсивности обслуживания и оптимального числа каналов обслуживания. Разработан метод определения оптимального объема обслуживания и последующего дополнительного его уточнения, что позволяет избежать резких колебаний этой величины с течением времени. Полученные результаты могут быть полезны при решении вопросов, связанных с уменьшением временных издержек, возникающих в ходе работы системы обслуживания и оптимизации процесса обслуживания.
Для модели распределения ресурсов, описанной системой дифференциальных уравнений Колмогорова, разработан метод выведения траектории системы в произвольно заданное состояние при сильных внешних воздействиях, основанный на теореме о фокусировке неоднородных марковских процессов, предложенной В.А. Дикаревым. Проведено компьютерное моделирование и анализ зависимости скорости сходимости решений к заданному распределению от вида возмущающих воздействий.
Оба типа моделей, рассмотренных в работе, используют единый математический аппарат теории неоднородных марковских процессов. В частности, системы линейных алгебраических неравенств, используемые в работе, содержат неотрицательные матрицы, которые имеют стохастическое обоснование. В задачах обмена веществ и управления обслуживающими системами снабжения в качестве модели выбрана система дифференциальных уравнений, а сами процессы описываются неоднородными марковскими процессами с непрерывным временем и конечным числом состояний. Матрицы таких моделей обладают свойством равенства нулю суммы элементов каждой строки.
Все предложенные в диссертационной работе методы реализованы в виде прикладных программ и могут быть использованы в научных исследованиях и в учебном процессе.
Ключевые слова: неоднородный процесс массодинамики, система массового обслуживания марковского типа, инфинитезимальная матрица, система линейных неравенств с переменными коэффициентами, система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
ABSTRACT
Gibkina N.V. Mathematical models of the nonhomogeneous masses dynamics processes and their application in optimization problems of the main parameters of queue systems. – Manuscript.
Thesis for the candidate degree of the technical sciences on the specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computing methods. – Kharkov national university of radioelectronics, Kharkov, 2005.
The thesis is devoted to Markovian nonhomogeneous processes of masses dynamic. The mathematical model as system of linear inequalities with variable coefficients for problem of the mass transfer in ecological system under limitations is investigated. Sufficient conditions of such system compatibility are proved. The method of the construction of the general solutions is extended on the time domain area for coefficients. The -compartment mathematical model of mass kinetic in organism is developed. The method of metabolism correction was offered. The mathematical model of nonhomogeneous queuing processes of type “hoarder-shop” as system of differential equations with variable coefficients is investigated. Problems of determination of the optimal quantity service line, optimal service intensity, optimal service size are solved. The method of solutions stabilization on arbitrarily allocation for resource redistribution model was offered.
Keywords: nonhomogeneous mass dynamics process, queue system of Markovian type, infinitesimal matrix, system of linear inequalities with variable parameters, system of differential equations with variable parameters.
Підп. до друку 14.03.05 Формат 60х841/16 Спосіб друку – ризографія.
Умов. друк. арк. 1,0 Облік. вид. арк. 1,2 Тираж 100 прим.
Зам. № Ціна договірна.
___________________________________________________________________
ХНУРЕ, 61166, Харків, просп. Леніна, 14
___________________________________________________________________
Віддруковано в навчально-науковому
видавничо-поліграфічному центрі ХНУРЕ
61166, Харків, просп. Леніна, 14
